МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М.В. Ломоносова
Научно-исследовательский институт ядерной физики
им. Д.В. Скобельцына
На правах рукописи
Савельев Василий Иванович
ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЧАСТИЦ
В АТОМНЫХ СТРУКТУРАХ ПРИ ПОМОЩИ ЧИСЛЕННОГО
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА
Специальность: 01.04.04 – физическая электроникаАвтореферат диссертации
на соискание ученой степени кандидата физико-математических наукМосква – 2007
Работа выполнена на кафедре общей и теоретической физики ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева»
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор Филиппов Геннадий Михайлович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Насонов Николай Николаевич кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Похил Григорий Павлович
Ведущая организация:
«МАТИ» – Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского
Защита состоится « 01 » ноября 2007 г. в 14 час. на заседании диссертационного совета К 501.001.06 в НИИЯФ МГУ.
Адрес: 119991, г. Москва, Ленинские горы, НИИЯФ МГУ, 19-й корпус, ауд. 2-15.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ.
Автореферат разослан « 28 » сентября 2007 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук О.В. Чуманова
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Подавляющее большинство проблем квантовой механики, как правило, не имеет точных аналитических решений. Часть таких задач решается или с использованием упрощенных математических моделей, не отражающих всю полноту проблемы, или с использованием медленно сходящихся рядов теории возмущений. С развитием компьютерных методов научных исследований становится очевидным, что, применяя ЭВМ, мы способны решать значительно более широкий класс задач, чем это было возможно до сих пор при помощи аналитических или модельных методов расчета. Неоспоримым преимуществом аналитических методов является то, что они позволяют получить общее решение задачи, но численные методы позволяют исследовать даже те проблемы, которые не могут быть описаны ни точными, ни приближенными аналитическими методами.
В последнее время численные методы часто используются при решении квантовомеханических задач. В большинстве случаев это стационарные задачи. При решении эволюционных задач обычно применяются квазиклассическое приближение или метод молекулярной динамики. Точное решение эволюционных задач обычно сопряжено с большими вычислительными затратами. Тем не менее, бурно развивающиеся возможности вычислительных машин позволяют справляться с теми задачами, которые в недалеком прошлом находились за пределом возможностей ПЭВМ.
Наиболее естественным и точным способом исследования эволюционных задач квантовой механики является решение нестационарного уравнения Шрёдингера, так как вычисление волновой функции дает максимально возможное полное описание квантовой системы.
Целью диссертационной работы является исследование некоторых нерешенных проблем атомной физики на основе численного решения многомерного нестационарного уравнения Шрёдингера и развитие техники проведения расчетов такого типа.
диссертационной работе исследуются физические системы, состоящие из частиц двух типов: а) квантовых частиц, движение которых необходимо описывать на основе квантовой механики; б) частиц с относительно слабо выраженными квантовыми свойствами в рассматриваемой задаче.
Так, в работе исследованы столкновения атома водорода и протона в области промежуточных энергий, когда относительная скорость тяжелых частиц соизмерима со скоростями электронов на боровских орбитах. Описано основное состояние однократно ионизированной молекулы водорода, продемонстрирована возможность расчета многомерного туннельного эффекта и представлены различные подходы к изучению систем, состоящих из двух квантовых частиц.
Научная новизна работы состоит в применении численных методов решения многомерного уравнения Шрёдингера в совокупности с другими численными методами к задачам физики атомных столкновений и физической электроники.
Научная и практическая значимость работы. Полученные результаты свидетельствуют о применимости использованных в работе методов для исследования широкого круга задач квантовой физики и, в частности, физической электроники, и позволяют в полной мере использовать возможности современных ЭВМ для решения этих проблем.
Достоверность результатов подтверждается согласием расчетных данных с экспериментальными данными для тех решенных в работе задач, для которых они известны, а также внутренней согласованностью и логической завершенностью применяемых математических моделей.
Личный вклад автора заключается в развитии математических моделей, разработке и тестировании компьютерных программ, выполнении численного моделирования, анализе промежуточных и окончательных результатов.
Основные положения, выносимые на защиту.
• Результаты исследования процессов рассеяния атома водорода на протоне. Произведенная оценка сечения перезарядки при рассеянии хорошо согласуется с экспериментальными данными.
• Получена и исследована осцилляционная зависимость сечения перезарядки при рассеянии протона на атоме водорода на угол 3°, находящаяся в хорошем согласии с экспериментальными данными.
• Путем введения комплексного времени в нестационарное уравнение Шрёдингера рассчитана волновая функция основного состояния электрона в ионе H +, находящаяся в хорошем согласии с экспериментом.
• Продемонстрирована возможность расчета многомерного туннельного эффекта.
• Проанализированы некоторые подходы к исследованию систем, состоящих из двух квантовых частиц.
Апробация работы. Основные результаты диссертации и работа в целом докладывались на • XXX Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2000 г);
• Международной конференции по ядерной физике «Кластеры в ядерной физике» (г. Санкт-Петербург, 2000 г);
• XXXII Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2002 г);
• XVI Международной конференции «Взаимодействие ионов с поверхностью. ВИП-2003» (г. Звенигород, август 2003 г);
• XXXIV Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2004 г);
• XXXV Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2005 г);
• XVII Международной конференции «Взаимодействие ионов с поверхностью. ВИП-2005» (г. Звенигород, август 2005 г).
• XXXVI Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2006 г);
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 статей, в том числе 5 статей в академических журналах и 2 статьи в материалах конференций. Полный список публикаций приведен в конце автореферата.
Объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы.
Диссертация содержит 87 страниц, 30 рисунков и список цитируемой литературы из 47 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы, кратко сформулированы цели и существенные результаты, полученные в диссертации.
В первой главе приведен краткий обзор аналитических методов изучения атомных столкновений. Приведены критерии применимости широко распространенных методов и подходов. Приведено краткое описание методов изучения квантовых систем, состоящих из небольшого числа частиц, и не поддающихся точному аналитическому описанию, в частности атомных столкновений в области промежуточных энергий. Дан краткий обзор работ, отражающих современное состояние теоретических подходов и расчетных методов для исследования таких систем.
Во второй главе рассмотрены использованные в работе методы изучения квантовых систем на основе численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера.
В разделе 2.1 рассмотрены непосредственно используемые в данной работе методы решения нестационарного уравнения Шрёдингера. Для определенности рассмотрим эволюцию волновой функции электрона в потенциальном поле U (x, y, z; t ). Волновая функция определяется трехмерным нестационарным уравнением Шрёдингера:
где х, y и z – пространственные координаты частицы, t – время, (x, y, z; t ) – волновая функция электрона, U (x, y, z; t ) – потенциальная энергия электрона, Планка, me = 9.111031 кг – масса электрона, – оператор Лапласа.
Существует немало методов решения нестационарного уравнения Шрёдингера. Все методы, так или иначе, используют сеточные значения волновой функции. Поэтому введем сетку:
где h и – шаги сетки по пространственным координатам и времени соответственно; xc, yc и zc – центр сетки по пространственным координатам. Значение какой-либо функции в узлах сетки (2.2) обозначается тремя пространственными индексами ijk снизу и индексом времени сверху, например:
В работе в основном использовались следующие две разностные схемы.
последовательном приближении решения на следующем временном шаге по каждой координате 1 :
Данная разностная схема разработана Самариным В.В. и впервые была опубликована в работе [1].
где ijk – значение сеточной функции, аппроксимирующей значение массивы; x, y и z – разностные операторы, аппроксимирующие вторые производные по декартовым координатам. Например, Разности вида аппроксимируют частную производную по дифференциальную задачу со вторым порядком по h и первым – по.
В ходе расчета норма волновой функции может незначительно изменяется. Для «коррекции» нормы достаточно разделить ijk на, то есть произвести замену Исследование устойчивости разностной схемы (2.4) методом гармонического анализа [2, 3], показывает, что схема устойчива при для постоянного нулевого потенциала U 0, где = (h 2 me ).
Исследование разностной схемы (2.4) при различных и U показывает, что более предпочтительным является значение = 0.
При этом для отрицательного потенциала U устойчивость разностной схемы улучшается, а для положительного существенно ухудшается.
Разностная схема 2. Следующая разностная схема решения r-мерного нестационарного уравнения Шрёдингера предложена диссертационной работы где p – r-мерный индекс массива значений волновой функции; – разностный оператор r-мерного Лапласиана; q – разностный оператор Лапласа по q-й координате; q – разностный оператор Лапласа по всем координатам, кроме q-й. Уравнение (2.9б) последовательно решается для всех q = 1, r. При этом, при q = r принимаются за конечный результат и берутся в качестве значений волновой функции на + 1 временном слое.
Исследования устойчивости разностной схемы (2.9) показывают, что она менее устойчива для трехмерных задач и задач большей размерности, чем разностная схема (2.4).
В разделе 2.2 представлен подход к описанию систем с одной легкой частицей в поле тяжелых частиц. Решение многомерного нестационарного уравнения Шрёдингера является ресурсоемкой задачей. Современный уровень развития широко распространенных вычислительных машин позволяет решать уравнения Шрёдингера с Александров В.А. – к. ф.-м. н., Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова.
приемлемой точностью и скоростью счета для размерности не более трех. Данное обстоятельство не позволяет проводить чисто кватовомеханические исследования различных процессов в квантовых системах, состоящих из более чем одной частицы.
Тем не менее, существует немало интересных задач, в которых одна из частиц имеет существенно меньшую массу по сравнению с другими частицами в изучаемой системе. Довольно часто в таких системах представляется возможным описывать движение тяжелых частиц уравнениями классической физики, и лишь движение одной легкой частицы описывать с позиции квантовой механики.
Согласно [4] условием применимости классической физики является соотношение