На правах рукописи

Лю Шухуань

МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ СИСТЕМЫ РОБАСТНОГО

МАГНИТНОГО ПОДВЕСА

Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный руководитель:

кандидат технических наук ЧЕЧУРИН Леонид Сергеевич

Официальные оппоненты:

Доктор технический наук, профессор СПбГПУ УСТИНОВ Сергей Михайлович Кандидат технический наук, ст.преподаватель СПбГУАП ПЕТРОВА Ксения Юрьевна

Ведущая организация: ФГУП «ОКБМ им. И.И. Африкантова» (Н. Новгород)

Защита состоится 09 июня 2005г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.10 Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «СанктПетербургский государственный политехнический университет» по адресу:

195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29, корп. 9, факультет технической кибернетики, ауд. 535.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО СПбГПУ.

Автореферат разослан 07 мая 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.229. Доктор технических наук, профессор Малыхина Г.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Разработка и приложение теории синтеза робастных динамических систем в различных областях техники остается актуальной темой исследований в последние два десятилетия.

Принципиальным достоинством робастного синтеза является надежность создаваемой системы, ее способность функционировать в условиях неизбежных внешних и внутренних неопределенностей описания. С другой стороны, реализация теоретических алгоритмов для практиков имеет три принципиальные трудности: сложность математического аппарата и формализации требований робастности, высокий консерватизм (пассивность) и большая размерность создаваемых систем. Многие из этих проблем не имеют строгого математического решения, однако, попытки эвристических, интуитивно понятных инженерных решений являются предметом постоянной научной дискуссии. Этой проблемой занимались и занимаются многие известные российские и зарубежные ученые Харитонов В.Л, Позняк А.С, Барабанов А.Е, Первозванский А.А, Фэн Чуньбо, Гуансюн, Зеймс (Zames), Дойл (Doyle), Гайне (Gainet) и многие другие.

Задача моделирования системы магнитного подвеса ротора сколь актуальна столь и трудна. Актуальность обусловлена перспективой создания агрегатов со сверхвысокой скоростью вращения. Трудности заключаются как в сложности применяемых для управления моделей объекта – многомерного, неустойчивого, высокого порядка, так и в неизбежном наличии неопределенностей в используемой для управления модели. На настоящее время довольно распространены лабораторные установки магнитного подвеса ротора, например, ОКБМ им. И.И. Африкантова (Нижний Новгород), Сеульского национального университетаи (СНУ, Юж. Корея) и др., однако известны лишь единичные примеры успешной промышленной реализации.

Цель исследования заключается в разработке математической модели системы робастного магнитного подвеса ротора.

Методы исследования. Поставленная цель достигается следующими путями:

1) использованием теории робастного управления (H-теории), 2) выбором модели неопределенности, адекватного критерия качества управления и схемы редукции системы, 3) использованием техники решения линейных матричных неравенств и матричных уравнений Лурье-Риккати.

Основные научные результаты.

1) разработана математическая модель и проведен синтез субоптимальной робастной системы магнитного подвеса ротора, в частности а) предложена методика прямого моделирования неопределенностей и их учета в функционале робастности, б) предложена методика составления обобщенного функционала робастности;

2) предложена методика прямого получения регулятора пониженного порядка для системы магнитного подвеса ротора;

3) проведен анализ и сравнительная оценка современных методов робастного управления и снижения размерности.

подтверждается использованием адекватных поставленным задачам математических инструментов и вычислительными экспериментами.

Научая новизна. В диссертации впервые сформулирована методика расчета робастного регулятора для системы магнитного подвеса на основе функционала смешанной чувствительности и предложена методика прямой редукции регулятора.

разработанной методике синтеза робастного регулятора, применимой к широкому классу задач активного подвеса машин и инструментов, а также в проведенной редукции полученных регуляторов, позволяющей практическую их реализацию.

опубликованы в четырех печатных трудах и обсуждались на семинаре «Моделирование и управление инновациями» Института инноватики СПбГПУ, на городском семинаре по теории управления НИИ Проблем машиноведения, в рамках 33 Недели Науки СПбГПУ (27 ноября – 25 дек.

2004г.), на конференции «Фундаментальные исследования в вузах» СПбГПУ в мае 2005 г.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 148 наименований.

Полный объем диссертации – 143 страницы, включая 35 рисунков и таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дается обзор и анализ существующих подходов к синтезу стабилизирующих H-оптимальных и робастных регуляторов для линейных непрерывных систем. Вводятся математические модели для параметрической и структурной неопределенностей. Рассматриваются основные критерии робастной устойчивости системы во временной и частотной областях: теорема В.Л. Харитонова (параметрическая неопределенность), критерий Найквиста и теорема о малом коэффициенте усиления. Формулируется задача H-многокритериальной оптимизации и рассматривается основной метод во временной области для решения этой задачи. Дается обзор основных методов редукции системы и регулятора.

Рассматриваются несколько основных подходов редукции: редукция с помощью методов главных координат, сбалансированная редукция, редукция с сохранением качества по квадратичной норме (H2- норме) и равномерночастотной норме (H-норме). Отмечаются главные недостатки известных методов синтеза H-регулятора полной размерности для линейных непрерывных систем, а также показываются недостатки типичных методов для решения задачи синтеза H-регулятора пониженной размерности.

Ставятся задачи проектирования H-регулятора полной и пониженной размерности для линейных непрерывных системы с помощью методики линейных матричных неравенств.

Во второй главе рассматриваются основные аспекты синтеза регуляторов на основе ЛМН. Приводятся необходимые математические определения и результаты теории линейных матричных неравенств.

Рассматриваются некоторые общие проблемы в задаче синтеза робастного регулятора на основе ЛМН, например, анализ D- устойчивости, робастное многокритериальное управление, синтез робастного регулятора замкнутой системы.

Рассматриваются системы, описываемые уравнениями в пространстве состояний где xRn – вектор состояния, uRm – вектор управления, yRp – вектор измерений. На языке ЛМН даются необходимое и достаточное условия, обеспечивающие D-устойчивостью матрицу A. Рассматривается проблема решения невыпуклой задачи с помощью методики ЛМН. Приведен пример – задача минимизации ранга положительно определенной матрицы. Дается основное описание и результаты задачи минимизации ранга положительной определенной матрицы. Поставлена задача конструирования субоптимального робастного регулятора пониженной размерности замкнутой системы по выходу с помощью методики ЛМН.

Ставится следующая эквивалентная задача оптимизации, при условии, что Задача (2) является задачей невыпуклой оптимизации. Для ее решения вводится вспомогательная выпуклая задача оптимизации при условии, что Задача (3) может быть решена с помощью функции mincx в LMI-Toolbox.

В третьей главе рассматривается задача моделирования робастной системы магнитного подвеса ротора при неопределенной скорости вращения, когда не известны ни гироскопический момент, ни возмущения центробежными силами, вызванными эксцентриситетом ротора. При этом ставится задача обеспечения необходимого качества управления – отклонения оси вращения не должны превышать весьма малого зазора между магнитом и ротором.

Используется стандартное описание объекта в обобщенных координатах, дается анализ влияния неопределенности на его передаточную функцию.

Предлагается метод рационального моделирования неопределенностей, обеспечивающий наименее консервативную их оценку. Вводится функционал качества управления, учитывающий требования робастной устойчивости и работоспособности. Рассматривается задача редукции построенного H-регулятора. Приведены процедуры понижения порядка регулятора тремя способами, в том числе, рассматривается проблема синтеза H - регулятора заданного порядка с помощью методики ЛМН. Составляются алгоритмы разных методов для решения этих задач.

Модель ротора на магнитных подшипниках. Система координат и силы, действующие на ротор, представлены на рис. 1. Эта система описывается системой дифференциальных уравнений где x G = [x1 x 2 x1 x 2 y1 y 2 y1 y 2 ] – вектор перемещений и скоростей точек u G = [ I x1 I x2 I y1 I y2 ] – вектор токов возбуждения катушек магнитных FG = [ Fdx Fdy ] – вектор центробежных сил, вызванных наличием Индексы 1и 2 в выражении (4), обозначают верхний и нижний подшипник, соответственно.

Матрицы пространства состояний системы (4) с учетом эксцентриситета и других физических параметров, имеют вид:

Здесь принято где Ja и Jr – аксиальная и радиальная инерции вращения;

KM1 и KM2 – коэффициенты жесткости магнитных подшипников;

KI1 и KI2 – коэффициенты усиления контуров управления магнитных Отмечается, что в блоке A2 содержится переменный параметр – скорость вращения ротора p. При изменении скорости вращения этот параметр является причиной неопределенности системы.

Требования к регулятору. Требуется построить робастный регулятор с обратной связью по выходу, который обеспечивает два следующих условия одновременно:

1) система является устойчивой при любой скорости вращения (робастная устойчивость);

2) при любой скорости вращения гарантируется минимум энергии перемещений на выходе (номинальное качество).

Моделирование неопределенностей. По множеству частотных характеристик максимального сингулярного собственного числа передаточной матрицы ошибок можно построить их действительную мажоранту w1(s). Тогда при любой скорости вращения p можно будет гарантировать Так, для параметров, соответствующих физическому прототипу СНУ, на рис. 2 показано семейство максимальных сингулярных собственных чисел передаточных функций (s, p, 4000), где p = 0, 1, …, 6 (103 рад/с) для номинального объекта с p0 = 4000 рад/с и выбранная мажоранта – амплитудно-частотная характеристика передаточной функции Формализация требований к управлению а) Робастная устойчивость. Возмущение несбалансированности ротора моделируется введением центробежных сил синусоидальной формы где е – эксцентриситет [м].

Затем подбирается по возможности простой реализуемый фильтр высоких частот w2(s) с далекими от мнимой оси устойчивыми полюсами. Так, в прототипе СНУ M = 1.0849 кг, e = 4010-6 м, график |fG| и его мажоранты |w2| как функции частоты вращения p, представлены на рис. 3, в котором диапазон скоростей вращения ротора от 0 до 6000 рад/c. Здесь принято образом, в соответствии с инженерными условиями задачи.

Показывается, что в исследуемом случае, задача улучшения робастной устойчивости сводится к оптимизационной проблеме где W1(s) – диагональная матрица с диагональными моментами w1 ( s).

б) Ослабление внешних возмущений. Ставится задача построения K(s), обеспечивающего минимизацию H-нормы передаточной функции Tzf(K(s)) от сигнала возмущения к выходу. При выбранной форме обратной связи задача сводится к где W2(s) – диагональная матрица, на блоках главной диагонали которой находятся w2(s). G0w(s) – номинальная передаточная матрица от возмущения к перемещению.

Объединение (8) и (9) дает общую задачу оптимизационного синтеза регулятора K(s) Очевидно, что при ограничении (10) ограничиваются (8) и (9).Однако, прямая минимизация (10) невозможна. Поэтому строится обобщенная передаточная функция в виде Соответствующая передаточная функция от d к z представлена на рис. 4. Очевидно, что передаточные функции из (8) и (9) входят в (11) как элементы. Следовательно, ограниченность T zd (s ) означает ограниченность (8) и (9). С другой стороны, задача поиска K(s) (см. рис. 4) с функционалом качества T zd (s) является стандартной для ее разработки. Однако и в решении этой более общей задачи есть смысл, поскольку при этом накладываются ограничения на сигналы внутри системы.

Построение -субоптимального H -регулятора с помощью ЛМН подхода Поставлена стандартная задача синтеза H - управления для системы (4) (рис. 5): построить динамический регулятор по измеряемому выходу, при котором обеспечивается гашение возмущений в заданном отношении, т.е.