На правах рукописи

ВШИВЦЕВА ПОЛИНА АЛЕКСАНДРОВНА

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ

НЕЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ВАКУУМА

Специальность 01.01.03 – математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008 г.

Работа выполнена на кафедре "Прикладная математика" факультета "Прикладная математика, механика и информатика" ГОУ ВПО "МАТИ" Российского государственного технологического университета им. К.Э.

Циолковского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Денисов Виктор Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Боголюбов Александр Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Эминов Павел Алексеевич

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится "23"декабря 2008 г. в 16 часов на заседании диссертационного Совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики, по адресу: 109028, Москва, Б.Трехсвятительский пер., д.3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан " " ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 212.133.07, кандидат физико-математических наук, доцент П.В. Шнурков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Недавние эксперименты, выполненные в Стэнфорде, показали, что электродинамика в вакууме является нелинейной.

В нелинейной электродинамике вакуума для описания электродинамических процессов используется система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, общие методы решения которых в настоящее время отсутствуют. Поэтому актуальной задачей математической физики является разработка различных частных методов интегрирования этой системы уравнений, позволяющих исследовать хотя бы отдельные нелинейно-электродинамические процессы. Именно несколько таких методов разработано, обосновано и применено к решению конкретных задач в настоящей диссертации.

Цель работы. Основной целью разработка частных методов, позволяющих решать задачи нелинейной электродинамики вакуума. Важной задачей диссертации является доказательство теорем и применение разработанных для этого частных методов для исследования новых эффектов нелинейной электродинамики вакуума.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: доказаны теоремы о тензорном соотношении в произвольном N-мерном псевдоримановом пространстве-времени;

о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих ковариантность уравнения эйконала в четырехмерном пространстве-времени; об уравнениях характеристик нелинейной электродинамики вакуума; об уравнениях движения электромагнитных сигналов в нелинейной электродинамике вакуума.

Доказана теорема о коэфициенте нелинейно-электродинамичекого линзирования электромагнитного излучения в задаче Райснера-Нордстрема.

Впервые разработаны методы решения и решены задачи нелинейноэлектродинамического удвоения частот при распространении электромагнитных волн в сильном магнитном дипольном поле; задачи о нелинейноэлектродинамическом и гравитационном искривлении электромагнитных лучей при их распространении в сильных гравитационных и магнитных дипольных полях при произвольной ориентации магнитного момента;

нелинейно-электродинамической задержке электромагнитных волн в сильном поле магнитного диполя;о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитного излучения в сильных полях звезд.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Проведенное в диссертации исследование показало, что доказанные теоремы и построенные на их основе частные методы интегрирования уравнений нелинейной электродинамики вакуума, могут быть применены для решения широкого круга задач о распространении электромагнитных волн во внешних электромагнитных полях, происходящего по законам нелинейной электродинамики вакуума. Как следует из приведенных в диссертации оценок, некоторые из предсказанных нами нелинейно-электромагнитных эффектов, происходящих в сильных полях пульсаров и магнетаров, достигают измеримых величин. Поэтому развитый в настоящей диссертации математический аппарат найдет применение при разработке и планировании физических экспериментов по исследованию основных закономерностей нелинейной электродинамики вакуума.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на четырех международных научных конференциях: ЛомоносовМосква, МГУ им. М.В. Ломоносова), Ломоносов-2008 ( 2008, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова), а также на международных конференциях XXXI Гагаринские чтения (2005, Москва, МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского) и XXXIV Гагаринские чтения (2008, Москва, МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского).

Результаты диссертации являются составной частью исследований, выполняемых в МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского. Работа была поддержана грантом РФФИ, проект № 04–02–16604а.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 печатных научных работах, куда входят: 6 статей [1-2,4-5,7-8], 5 тезисов конференций [3,6,9-11] и один препринт [12]. Все 6 статей [1-2,4-5,7опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Личный вклад автора. Постановка задачи принадлежит научному руководителю группы Денисову В.И.. Разработка методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, доказательство теорем о тензорных соотношениях и решение задач нелинейной электродинамики вакуума выполнены Вшивцевой П.А. лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Список литературы содержит 103 наименования. Объем диссертации 114 страниц, включая 1 рисунок.

Основное содержание диссертационной работы Во введении обосновывается актуальность исследуемых в диссертации задач. Кратко излагается содержание диссертации.

Глава I (§§ 1-4) посвящена исследованию современных теоретикополевых моделей математической физики, которые применяются для описания нелинейной электродинамики вакуума. Приводится обзор литературы по изучаемой и смежной тематике.

В § 1 проводится обзор самых актуальных на данный момент теоретикополевых моделей.

В § 2 рассматриваются экспериментальные подтверждения нелинейности электродинамики вакуума и возможность экспериментальнного подтверждения различных эффектов нелинейной электродинамики вакуума.

В § 3 описываются различные астрофизические источники, которые создают сильные электромагнитные и гравитационные поля.

В § 4 формулируется математическая проблема, с которой приходится сталкиваться исследователю при рассмотрении нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих различные задачи нелинейной электродинамики вакуума. Проводится постановка задач, которые рассматриваются и решаются в настоящей диссертации.

Глава II (§§ 5-8) посвящена развитию метода характеристик для задач нелинейной электродинамики вакуума.

В § 5 доказана теорема и на ее основе выведены алгебраические тензорные соотношения.

Рассмотрено некоторое N – мерное псевдориманово пространство RP,N P, т.е. пространство, сигнатура метрики которого содержит P знаков плюс и N P знаков минус. Метрический тензор этого пространства обозначен через gik.

Введены определения. Пусть в пространстве RP,N P задан некоторый ковариантный тензор второго ранга ik (x), зависящий от координат xp = {x1, x2,..., xN }. Назовем s–ой степенью тензора ik тензор nm (x) (s)nm (x), построенный из произведения s тензоров ij, индексы которых свернуты метрическим тензором g ij пространства RP,N P по правилу:

Сворачивая оставшиеся индексы в этом выражении, получим инвариант s –ой степени этого тензора:

В соответствии с этим определением нулевая степень тензора совпадает с метрическим тензором ik = g ik, поэтому инвариант нулевой степени любого тензора равен размерности пространства.

Определим абсолютно антисимметричный аксиальный тензор E i1 i2 ···iN в соответствии с равенством:

определитель метрического тензора, ei1 i2 ···iN Антисимметричные свойства аксиального тензора Леви-Чивиты позволили доказать две леммы, которые были использованы при доказательстве теоремы 1.

Лемма 1. В произвольном псевдоримановом пространстве Rp,N p справедливо тензорное соотношение:

Лемма 2. В произвольном псевдоримановом пространстве Rp,N p справедливо тензорное соотношение:

где матрица ||j || составлена из компонент тензора j, причем нижний С использованием этих определений и лемм, изложена теорема и установлены важные нелинейные тензорные соотношения, которым удовлетворяют степени тензора второго ранга и их инварианты.

Теорема 1. В произвольном псевдоримановом пространстве RP,N P справедливо следующее нелинейное тензорное соотношение:

где целое число Q заключено в пределах 0 Q N, а det ||i || определитель матрицы, элементами которой являются компоненты тензора Доказательство теоремы проведено с использованием метода математической индукции и свойств определителей.

Сформулировано Следствие 1. В произвольном псевдоримановом пространстве RP,N P из соотношения (7) можно получить и другие полезные тензорные равенства. Так, например, после опускания тензорных индексов при Q = приходим к соотношению:

Указано, когда доказанная теорема находит применение для наших целей, а именно – при двух наборах N и Q. Первый из них имеет значения N = 3, Q = 2, а второй набор при N = 4 и Q = 3. Что и было использовано в § 6 и § 7 настоящей диссертации.

В § 6 сформулирована и доказана Теорема 2: релятивистская ковариантность уравнения эйконала будет обеспечена во всех допустимых системах отсчета, если и только если потребовать обращения в нуль тензора:

где Wn – четырехмерное расширение тензора.

Доказательство проведено с использованием ранее введенных определений, свойств и соотношений.

К теореме 2 сформулировано Замечание 1. Так как тензор Wm, входящий в уравнения достаточно сложен, то при проведении практических расчетов получаются очень громоздкие выражения, оперировать с которыми удобнее на компьютере с использованием системы аналитических вычислений Reduce. Одним из способов решения поставленной задачи является построение степеней тензора Wm путем последовательного их перемножения, после чего, образовав из них инварианты, можно подставить все необходимые величины в нужное нам уравнение.

В § 7 разработан метод, позволяющий определять частотно-фазовые характеристики слабой электромагнитной волны, распространяющейся во внешних электромагнитном и гравитационном полях по законам постмаксвелловской электродинамики вакуума, а также получать уравнения для лучей, по которым электромагнитные сигналы распространяются.

В обоснование этого метода нами доказана Теорема 3: Уравнение характеристик для слабой электромагнитной волны, распространяющейся в сильном внешнем электромагнитном поле, в соответствии с уравнениями постмаксвелловской электродинамики вакуума, имеет вид:

Доказательство построено с использованием ранее доказанных в диссертационной работе теорем 1 и 2.

Согласно Замечанию 2, наличие двух множителей в уравнении (8) характеристик означает, что параметризованная пост-максвелловская электродинамика вакуума при 1 = 2, и 3 = 4, предсказывает существование эффекта двулучепреломления слабой электромагнитной волны при ее распространении в сильном внешнем электромагнитном поле. Поэтому электромагнитное излучение во внешнем электромагнитном поле распространяется в виде двух нормальных волн, имеющих взаимно ортогональные поляризации и различные групповые скорости. Получены уравнения характеристик для первой и второй нормальных волн.

В § 8 решена задача вывода уравнения, позволяющего исследовать закономерности распространения электромагнитных сигналов во внешних электромагнитном и гравитационном полях в постмаксвелловской электродинамике.

Доказана Теорема 4: Уравнения движения электромагнитных сигналов во внешних электромагнитном и гравитационном полях в постмаксвелловской электродинамике имеют вид:

где – некоторый параметр, Доказательство проведено с использованием метода Лагранжа-Шарпи.

Глава III (§§ 9-13) посвящена применению метода характеристик для решения задач искривления лучей в нелинейной электродинамике вакуума.

В § 9 на основе теоремы 3 найдено уравнение, которому удовлетворяют лучи слабой высокочастотной электромагнитной волны, распространяющейся в гравитационном и магнитном полях нейтронной звезды. Найден угол 1,2 нелинейно-электродинамического и гравитационного искривлений луча в магнитном дипольном и гравитационном полях нейтронной звезды для луча, начинающегося на пространственной бесконечности, искривляющегося в поле звезды и уходящем на пространственную бесконечность.

В § 10 рассмотрен общий случай, когда луч электромагнитной волны входит в магнитное поле звезды под произвольным углом к вектору ее магнитного дипольного момента m.

С помощью специфически выбранных координат и введения промежуточной параметризации, на основе результатов теоремы 4 § 8 записано уравнение движения фотонов в эффективном псевдоримановом пространстве-времени. Дальнейшее решение этих уравнений найдено методом последовательных приближений. Вычислены углы и, характеризующие искривление луча в результате нелинейно-электродинамического и гравитационного воздействий и найдены параметрические уравнения луча r = r(), = ().

В § 11 изложен удобный способ вычисления интегралов вида:

при произвольном числе k трехмерных единичных векторов N = r /r = {sin cos, sin sin, cos }. Способ вычисления интегралов основан на доказанной нами теореме об интегрировании угловой части функции Грина волнового уравнения.

N 1 N 2... N 2k+1 могут быть разложены единственным образом по системе тензоров в соответствии с выражениями:

могут быть вычислены при помощи доказанной нами Леммы 4: В декартовых координатах интеграл (14) по сфере единичного радиуса имеет вид:

где тензорные полиномы Pn 1 2...n (, ) получаются из тензорных полиномов Pn 1 2...n ( ), если в выражениях (12) единичный вектор N = N ( ) = r /r = {sin cos, sin sin, cos } заменить на единичный вектор На основе доказанных лемм доказана Теорема 5: интегрирование тензоров N 1... N 2k и N 1... N 2k+1 с весовой функцией PQ (cos ) по поверхности сферы единичного радиуса дает:

при четырехмерном числе векторов N и при трехмерном их числе В § 12 на основе теоремы 5 § 11 исследован эффект удвоения частоты электромагнитного сигнала при его распространении в сильном магнитном дипольном поле нейтронной звезды.

Показано, что в окрестности Земли при благоприятных условиях поток энергии возникающего в магнитном поле нейтронных звезд электромагнитного излучения частоты 2 может достигать вполне измеримых значений.

В § 13 проведен расчет времени запаздывания электромагнитных сигналов, поляризованных ортогонально друг другу, прошедших через сильное магнитное поле пульсара или магнетара. Проведенные в диссертации оценки показали, что этот новый эффект может быть измерен при современном уровне чувствительности приборов.

Глава IV (§§ 14-15) посвящена развитию метода апертур в задачах о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитных волн.

В § 14 разработан метод позволяющий складывать не потоки энергии при линзировании электромагнитного излучения, а напряженности электромагнитных волн и учитывать разности фаз электромагнитных волн, распространяющихся по различным лучам. Доказана Теорема 6: коэффициент нелинейно-электродинамического линзирования электромагнитной волны в поле гравитирующего центра, обладающего зарядом Q, имеет вид:

где плоскостей сечения входной и выходной апертур соответственно, rA радиус выходной апертуры.

Также исследовано поведение луча электромагнитной волны при прохождении от входной до выходной апертур и сами апертуры.

В § 15 изучены основные закономерности эффекта нелинейно-электродинамического линзирования электромагнитных волн в магнитном поле диполя. Найдены коэффициенты нелинейно-электродинамического и гравитационного линзирования, как функции времени.

В заключении перечислены основные результаты диссертации выносимые на защиту.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту 1. Доказана теорема 1 о нелинейном тензорном соотношении в произвольном N-мерном псевдоримановом пространстве-времени. Данный результат является обобщением ранее известных результатов.

2. Доказана теорема 2 о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих ковариантность уравнения эйконала для нелинейной электродинамики вакуума в четырехмерном пространстве-времени.

3. Доказана теорема 3 об уравнениях характеристик нелинейной электродинамики вакуума.

4. Доказана теорема 4 об уравнениях движения электромагнитных сигналов в нелинейной электродинамике вакуума.

5. Решена задача о нелинейно-электродинамическом и гравитационном искривлении электромагнитных лучей при их распространении в сильных гравитационном и магнитном дипольном полях при произвольной ориентации магнитного момента.

6. Доказана теорема 5 об интегрировании функции Грина волнового уравнения с весовой функцией по сфере единичного радиуса. С использованием этой теоремы решена задача о нелинейно-электродинамическом удвоении частот при распространении электромагнитных волн в сильном магнитном дипольном поле.

7. Решена задача о нелинейно-электродинамической задержке электромагнитных волн в сильном поле магнитного диполя.

8. Доказана теорема о коэффициенте нелинейно-электродинамичекого линзирования электромагнитного излучения в задаче Райснера-Нордстрема.

Решена задача о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитного излучения в сильных полях звезд.

Основные публикации по теме диссертации 1. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Нелинейно-электродинамический эффект удвоения частот в поле магнитного диполя.

Доклады РАН, 2002, Т. 387, № 2, С. 178-180.

2. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Кривченков И. В., Искривление лучей в магнитном поле нейтронной звезды при произвольной ориентации магнитного дипольного момента. Доклады РАН, 2003, Т. 393, № 4. С. 461-465.

3. Вшивцева П. А., Эффекты нелинейной электродинамики вакуума в астрофизических условиях. Тезисы докладов Международной конференции "Ломоносов-2003", 2003, секция "Физика", с. 157-159.

4. I. P. Denisova, I. V. Krivchenkov, P. A. Vshivtseva, A. A. Zubrilo, Nonlinear gravitational-electromagnetic bending of the rays of weak electromagnetic waves in the elds of pulsars and magnetars. General Relativity and Gravitation, 2004, V. 36, № 4, P. 889-898.

5. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Кривченков И. В., Нелинейно-электродинамическая задержка электромагнитных сигналов в магнитном поле нейтронной звезды. Доклады РАН. 2004, T. 399, №3 с.

330-333.

6. Вшивцева П. А., Нелинейно-электродинамическое и гравитационное воздействие полей нейтронной звезды на движение фотонов. Тезисы докладов Международной конференции "XXXI Гагаринские чтения", секция "Прикладная математика и математическая физика",2005, с. 33-34.

7. Вшивцева П. А., Кривченков И. В., Развитие метода апертур в задаче о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитных волн.

Вестник Московского Университета, сер. 3, 2006, Т. 3, стр. 14-17.

8. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Кривченков И. В., Нелинейно-электродинамическое линзирование электромагнитных волн в поле магнитного диполя. Теоретическая и математическая физика, 2007, Т. 150, № 1, с.

85-94.

9. Вшивцева П. А., Теорема о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитных волн в задаче райснера-нордстрема. Тезисы докладов Международной конференции "XXXIV Гагаринские чтения", секция "Прикладная математика и математическая физика",2008, с. 42-43.

10. Вшивцева П. А., Теорема об эффективной метрике в нелинейной электродинамике вакуума Тезисы докладов Международной конференции "XXXIV Гагаринские чтения", секция "Прикладная математика и математическая физика",2008, с. 44-45.

11. Вшивцева П. А., Теорема о тензорной свертке в произвольном псевдоримановом пространстве. Тезисы докладов Международной конференции "Ломоносов-2008", 2008, секция "Математика", с. 71-72.

12. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П. Теорема об интегрировании функции Грина по сфере единичного радиуса. Препринт, физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, №11/2008. -5 c.