на правах рукописи
Мальцева Татьяна Владимировна
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВОДОНАСЫЩЕННОГО
ГРУНТА С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
Специальность 05.13.18-Математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Казань - 2006
Работа выполнена на кафедре математики и информатики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Тюменский государственный университет»
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Мальцев Лев Евгеньевич
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Васильев Виталий Захарович доктор физико-математических наук, профессор Карчевский Михаил Миронович доктор физико-математических наук, профессор Паймушин Виталий Николаевич
Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН
Защита состоится «16» марта 2006 г. в 13.30 часов на заседании Диссертационного совета Д 212.081.21 Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 430000 Республика Татарстан, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.
C диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им.
Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.
Автореферат разослан «14» февраля 2006г.
Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент Задворнов О. А.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. Объектом исследования является водонасыщенный грунт, поведение которого под нагрузкой описывается с позиций адаптированной механики деформируемого твердого тела и теории линейной наследственной вязкоупругости без учета старения материала.
Промышленное освоение нефтяных и газовых месторождений в Тюменской области, связанное со строительством объектов нефтегазодобывающего комплекса, жилых поселков и подведением к ним дорог, ведется на водонасыщенных глинистых грунтах, на заболоченных и заторфованных территориях, где водосток практически отсутствует. Описание процесса консолидации водонасыщенного грунта с помощью моделей фильтрационной консолидации приводит к тому, что избыточное поровое давление после истечения конечного промежутка времени практически обращается в нуль, затем водонасыщенный грунт рассматривается как однофазный, для описания напряженного и деформированного состояния которого используются модели механики деформируемого твердого тела. На основании натурных экспериментов известно, что суммарные напряжения почти не изменяются во времени, их можно описать с позиций теории упругости. Однако полученные по теории упругости перемещения в несколько раз отличаются от результатов натурного эксперимента, поэтому тема диссертационной работы, связанная с построением и развитием математической модели, описывающей вклад поровой воды в напряженное и деформированное состояние скелета грунта, и обработкой новых лабораторных экспериментов по изучению механических упругих и вязкоупругих свойств этих грунтов является актуальной. Результаты исследований могут быть использованы при проектировании и расчете осадок инженерных объектов, возводимых на слабых основаниях, что обуславливает принятие безопасных и экономичных решений, развитие новых технологий, направленных на усиление несущей способности жидкой фазы.
Целью диссертационной работы является решение научнотехнической проблемы математического моделирования напряженного и деформированного состояния водонасыщенного грунта с позиций теории вязкоупругости при описании процесса консолидации и с позиций обобщения консолидации, то есть при стабилизированном состоянии среды. Ставятся следующие научные задачи:
1. Построение двух математических моделей в виде систем фундаментальных решений типа Фламана и Буссинеска, которые после фундаментальными решениями интегро-дифференциальных уравнений в изображениях по Лапласу - Карсону.
2. Разработка аналитических (в упругом варианте модели) и численно-аналитических (в вязкоупругом варианте) методов решения краевых задач для двухфазного полупространства и двухфазной полуплоскости, основанных на новых фундаментальных решениях.
дифференциального оператора Ляме и их формулировки в виде основных теорем для двухфазного тела.
4. Исследование существования и единственности обобщенного решения статической смешанной краевой задачи для двухфазного тела.
5. Разработка методик определения параметров (материальных постоянных и функций времени) моделей, описывающих упругие или вязкоупругие свойства двухфазной среды по результатам одномерных, лотковых и натурных испытаний.
Методы исследования. При анализе полученных математических моделей и решений краевых задач применяются функциональный анализ, методы математической физики, теории упругости и вязкоупругости.
Количественный анализ изучаемой проблемы осуществляется по аналитическим решениям с использованием современных математических программных продуктов.
Научная новизна работы состоит в том, что 1. Упругие варианты математических моделей двухфазной среды описываются системами двух и трех линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа, которые отличаются от известных уравнений Ляме дополнительными слагаемыми, отражающими разгружающий вклад поровой воды. Полученный не симметричный дифференциальный оператор назван обобщенным оператором Ляме.
2. Показана положительная определенность обобщенного оператора Ляме для ограниченной односвязной пространственной области с кусочно гладкой границей. Доказано существование и единственность обобщенного решения статической смешанной краевой задачи для двухфазного тела.
3. Не симметричность обобщенного оператора Ляме привела:
а) к отсутствию взаимности работ в двухфазном теле (аналог формулы Бетти);
б) к билинейному функционалу (помимо квадратичного) при описании энергии деформации (аналог формулы Клапейрона);
в) к новым формулам типа Грина, отвечающим билинейному функционалу, которые появились при анализе приращения энергии деформации.
4. Фундаментальные решения Фламана для упругой однофазной полуплоскости и Буссинеска для упругого однофазного полупространства аналитически разложены на две фазы. Показано, что разложение решения Фламана на две фазы совпадает с точным решением системы обобщенных дифференциальных уравнений Ляме. Разложение решения Буссинеска выполнено приближенно. Фундаментальные решения применены для аналитических расчетов двухфазных плоских и пространственных оснований, загруженных площадными фундаментами с изучением их взаимных влияний.
5. Разложения фундаментальных решений Фламана и Буссинеска представлены в вязкоупругом варианте. В соответствии с методами, вязкоупругих задач разбивается на два этапа: упругий и вязкоупругий. На втором этапе для фиксированной точки пространственных координат приближенный аналитико-численный переход от решения в изображениях по Лапласу - Карсону к решению в оригинале осуществляется по предложенной модификации метода ломаных, которая позволила получить немонотонные оригиналы.
6. Созданы методики определения механических постоянных и немонотонных функций времени (параметров моделей) по результатам одно-, двумерных лабораторных и натурных экспериментов.
Достоверность защищаемых положений обеспечивается:
- применением строгих математических методов исследования и решения, возникающих в работе дифференциальных уравнений;
- сравнением полученных в работе теоретических результатов в виде теорем с известными фундаментальными положениями теорий упругости и вязкоупругости;
- сопоставлением результатов численных и аналитических решений а) с данными лабораторных и натурных экспериментов, б) с известными решениями по другим моделям.
Практическая значимость.
На основании предложенных математических моделей (упругие варианты) проведено научное обоснование расчетов напряженного и деформированного состояния двухфазных оснований из водонасыщенных грунтов при разных плоских или пространственных нагрузках на дневной поверхности и для сочетаний нагрузок (взаимное влияние фундаментов).
деформированных состояний двухфазных оснований, загруженных различными видами нагрузок. Получены расчетные формулы для окончательных осадок, отвечающих стабилизированному состоянию оснований, минуя описание процесса консолидации, что отвечает запросам проектировщиков. Во всех расчетах показано разгружающее влияние поровой воды на уменьшение напряжений и деформаций, возникших в скелете грунта.
Приведены примеры использования методик обработки результатов лотковых и натурных испытаний.
На защиту выносятся 1) математические модели в виде двух- и трехмерных систем линейных дифференциальных уравнений, которые отличаются от уравнений Ляме дополнительными слагаемыми в каждом уравнении, и соответствующие им системы интегро-дифференциальных уравнений;
2) свойства обобщенного оператора Ляме: а) доказательство существования и единственности обобщенного решения краевой задачи; б) следствия не симметричности оператора, сформулированные в виде аналогов теорем Бетти, Клапейрона, формул Грина;
3) фундаментальные решения типа Фламана и Буссинеска для двухфазного тела и основанные на них решения частных задач, вязкоупругие варианты фундаментальных решений; усовершенствование метода ломаных, позволяющее получать немонотонные оригиналы;
4) методики определения параметров моделей по результатам лабораторных и натурных экспериментов.
Апробация работы. Основные результаты работы доложены и обсуждены на: II Всероссийской научно – практической конференции «Моделирование технологических процессов бурения, добычи нефти и газа и обустройства сопровождающих объектов на основе современных технологий»
(ТГНГУ, Тюмень, 2000); научно–практической конференции «Актуальные проблемы строительства и экологии Западно-Сибирского региона»(ТГАСА, Тюмень, 2000); Международном научном симпозиуме «Упругость и неупругость» по проблемам механики деформируемых тел, посвященном 90летию со дня рождения А. А.Ильюшина (МГУ им. М. В.Ломоносова, Москва, 2001); Международном совещании заведующих кафедрами «Механика грунтов, оснований и фундаментов» «Инженерная геология и геоэкология», «Подземные сооружения» (МГСУ им. В.В.Куйбышева, Москва, 2002);
городском научном семинаре НИИ оснований и подземных сооружений (Москва, 2002); научно – техническом семинаре факультета «Мосты и тоннели» Государственного университета путей сообщения (С.–П-бург, 2003);
городском научном семинаре кафедры «Механика многофазных сред»
Государственного университета (Тюмень, 2003); 60-ой Всероссийской Государственного строительного университета (Новосибирск, 2003); на научном семинаре отдела механики деформируемого твердого тела института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева (Новосибирск, 2003); Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2003); научном семинаре кафедры «Механика композитов» Московского государственного университета моделирования РАН (Москва, 2003); научном семинаре кафедры «Прикладная математика» Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева (Саранск, 2004); научном семинаре лаборатории «Механика пористых сред»
государственного университета (Казань, 2004); XVII сессии Международной научной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 4-10 июля теоретической механики Казанского государственного университета (Казань, 2005).
Публикации. По материалам исследований опубликовано 32 научные работы, список которых приведен в конце автореферата, в том числе в соавторстве одна монография и патент на изобретение, 13 работ - в журналах из перечня, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, содержит 240 страниц, 65 рисунков, библиографию из 124 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы. Сформулированы цели и задачи представленного научного исследования с кратким описанием полученных результатов.
В первой главе проанализированы классические, современные модели и различные подходы, в том числе и экспериментальные (Амарян Л.С., Бугров А.К., Голли А.В., Зехниев Ф.Ф., Воронцов В.В., Демин В.А., Набоков А.В. и др.), к моделированию напряженного и деформированного состояния водонасыщенных (двухфазных) грунтов. Согласно натурному эксперименту на расстоянии от дневной поверхности более одного метра для глины и полутора метров для торфа имеются остаточные избыточные поровые давления после окончания процесса консолидации грунта. Моделями теории упругости и пластичности (Соколовский В.В., Горбунов-Посадов М.И.
Малышев М.В., Ломизе Г.М., Крыжановский А.Л. и др.) это поровое давление не описывается, потому что грунт рассматривается однофазным. По линейным фильтрационным моделям (Терцаги К., Герсеванов Н.М., Био М., Флорин В.А., Зарецкий Ю.К., Тер-Мартиросян З.Г. и др.) остаточные избыточные поровые давления обращаются в нуль.
По вязкоупругому варианту кинематической модели (одномерный случай), предложенной Мальцевым Л. Е., экспериментальная кривая порового давления l (рис.1) описывается практически точно ломаной линией.
Рис.1. Качественный характер кривой изменения Здесь tст – начальный момент времени стабилизации, например, при испытании образца высотой в 1м из водонасыщенной глины процесс консолидации закончился в момент tст = 95сут. На графике горизонтальная полка соответствует остаточному избыточному поровому давлению.
Штриховая линия продолжает горизонтальную полку до начального значения времени. Упругий вариант кинематической модели отвечает замене действительного графика на горизонтальную полку, отвечающую остаточному избыточному поровому давлению l ( t > t ст ), до начального (нулевого) момента времени. В упругом варианте модели отсутствует время.
В вязкоупругом варианте кинематической модели решение разбивается на два этапа: 1) находится решение соответствующей задачи в упругой постановке; 2) вводится система переобозначений (принцип Вольтерра) и для фиксированной точки пространственных координат осуществляется приближенный переход от изображения к оригиналу по методу ломаных, согласно которому составляется система линейных алгебраических уравнений, ее порядок совпадает с числом звеньев ломаной линии. Разбиение на два этапа позволяет на первом этапе в ряде случаев получать аналитическое решение задачи за счет отсутствия времени.
В нелинейных фильтрационных моделях (Флорин В.А., Костерин А.В. и др.), в которых учитывается начальный градиент порового давления, вводятся две зоны – активная и пассивная, в последней фильтрация воды отсутствует.
Нахождение границы, разделяющей две зоны и движущейся во времени, значительно осложняет решение задачи, но по-прежнему, не учитывается вклад остаточных избыточных поровых давлений в деформированное состояние двухфазного тела.
Таким образом, кинематическая модель в отличие от фильтрационных описывает остаточное избыточное поровое давление и его влияние на деформацию скелета грунта при стабилизации процесса консолидации, поэтому она была выбрана для обобщения на пространственный случай и ее дальнейшего развития.
Во второй главе представлены основные допущения, уравнения на базе кинематической модели, описывающие напряженное и деформированное наследственной линейной вязкоупругости без учета старения материала. В упругом варианте система уравнений сводится к системе дифференциальных уравнений эллиптического типа, которая от известных уравнений Ляме отличается дополнительными слагаемыми, учитывающими вклад поровой воды, что позволило ее назвать системой обобщенных уравнений Ляме. В вязкоупругом варианте имеем систему интегродифференциальных уравнений.
Основные допущения:
1. Рассматриваются водонасыщенные грунты с наличием в порах гидравлически непрерывной воды.
2. Относительные деформации твердой (индекс s) и жидкой (индекс l) фаз малы is 0,01; il 0,01, в одной геометрической точке по модели находятся две материальные точки: жидкая и твердая. Сплошность тела обеспечивается применением соотношений Коши к каждой из фаз.
3. Для скелета грунта справедливы шесть гипотез теории упругости.
Касательные напряжения по модели возникают только в скелете грунта.
4. Для поровой воды вводится гипотеза о линейной связи между частной производной от остаточного избыточного порового давления и относительной линейной деформацией вдоль каждой из координатных осей и указывается на относительной пористости вдоль координатной оси. Вместо равенства давлений на горизонтальных и боковых площадках поровая вода по модели наделяется свойством, согласно которому они разные, как и у скелета грунта.
Гипотеза однородности сохраняется, вместо изотропности вводится ортотропность, например, механические постоянные поровой воды в случае полуразложившегося торфа вдоль остатка стебля и поперек различны, различие сохраняется при выборе направлений вдоль пласта и поперек пласта, поэтому свойства жидкости, помещенной в поры грунта, отличаются от свойств обычной воды. Линейная наследственная теория вязкоупругости применяется не только к физическим уравнениям для скелета грунта, но и к уравнениям состояния поровой воды. В вязкоупругом варианте модели для скелета грунта используется закон Больцмана, для поровой воды вводится аналог закона Больцмана.
5. Взаимодействие двух фаз описывается кинематической гипотезой, согласно которой одна фаза освобождает часть своего объема для другой фазы, поэтому относительные линейные деформации скелета грунта и поровой воды вдоль каждой из координатных осей противоположны по знаку и прямо пропорциональны.
Постановка задачи. Система уравнений кинематической модели включает: уравнения равновесия (1) с учетом объемных сил K, физический закон Гука с измененными (за счет наличия в порах воды) механическими характеристиками (2), физические уравнения состояния для поровой воды (3), уравнения Коши (4), кинематические уравнения взаимодействия фаз (5).
Растягивающие нормальные напряжения в скелете грунта, сжимающие в поровой воде считаются положительными, поэтому сумме напряжений отвечает выражение ij ijij. Вдоль каждой координатной оси приращение касательного напряжения, возникающего в скелете грунта. Используется суммирование по повторяющемуся индексу. Система уравнений имеет вид:
E s – модуль деформации, - коэффициент Пуассона, G – модуль сдвига, постоянная Ляме вводятся для скелета грунта, безразмерные параметры i, размерные параметры hi (м), Eil (Мпа) описывают возможную ортотропию поровой воды. Все параметры модели определяются из эксперимента с двухфазным образцом или из лотковых, или из натурных испытаний.
Путем преобразований уравнений равновесия (1) получилась система дифференциальных уравнений, записанная через перемещения частиц скелета грунта (индекс s опущен):
которая от известных уравнений Ляме отличается двумя дополнительными слагаемыми в каждом уравнении с параметрами bi, ci.
Введем три дифференциальных вектора - оператора: а) оператор Ляме A = (G + )graddiv + G; б) оператор B = bi 2, который отражает изменение трех диагональных элементов в тензоре четвертого ранга механических постоянных; в) оператор C = ci уравнениям состояния для поровой воды (3).
(водопроницаемой) избыточные остаточные поровые давления обращаются в нуль, статическое граничное условие записывается только для скелета грунта и смешанные граничные условия имеют вид:
t ( ) оператор напряжений в скелете грунта, который отличается от постоянных за счет слагаемых bi. Кинематическое граничное условие является главным, статическое – естественным.
Запишем вязкоупругий вариант одномерной кинематической модели.
По закону Больцмана для физических уравнений имеем где П s (t ), Пl (t ) - функции ползучести.
Введение в систему уравнений (1) - (5) соответствующих интегральных соотношений приводит к системе интегродифференциальных уравнений.
В изображениях по Лапласу - Карсону на основании теоремы Бореля свертка двух функций заменяется произведением их изображений В простейшем случае параметры,, h будем считать постоянными.
Используем правило переобозначений (принцип Вольтерра) для перехода от решения задачи в упругой постановке к решению в вязкоупругой постановке:
тогда уравнения вязкоупругой задачи в изображениях с точностью до обозначений совпадают с уравнениями (1) – (5) и соответственно (6).
Разделение решения на два этапа для системы фиксированных пространственных точек позволяет отказаться от решения системы интегродифференциальных уравнений.
В третьей главе записывается работа деформации двухфазного тела и связанные с нею принципы.
Специальная запись физических уравнений для жидкой фазы (3) позволила новые характеристики напряженного состояния жидкой фазы Pil (i = 1,2,3 ) методически использовать для описания удельной работы внешних сил, приложенных к жидкой фазе, и записать выражение для приращения Rsl двухфазному параллелепипеду, в виде Слагаемое Piil,iuil описывает диссипацию работы деформации и в диссертации не рассматривается.
«