Tел. (+371)-7100650. Факс: (+371)-7100660 E-mail: [email protected], [email protected] В работе рассматривается ряд задач актуарной математики. В частности, обсуждается задача расчета ущерба страховой компании при наличии портфеля из n одинаковых договоров страхования жизни.
Решение такого рода задач требует интенсивного использования статистических методов с их последующей реализацией в интегрированных пакетах, например, пакете Matchcad. Задачи, которые обсуждаются в работе, реализованы на программном уровне в среде пакета Matchcad, что может быть полезным инструментом деятельности любой страховой компании.
Ключевые слова: актуарная математика, программная реализация, пакет Matchcad Многие задачи актуарной математики сводятся к нахождению оптимального соотношения между величиной p у.е., которую платит страхователь страховой компании, и величиной b у.е., которую выплачивает компания в случае возникновения страхового случая [1]. Понятно, что для страховой компании интерес представляет не конкретный страховой случай и соответствующие выплаты, а общая сумма выплат по всем договорам. Пусть сумма выплат S по всем n договорам представляется в виде S = 1 + 2 +... + i, (1) где i – дискретная случайная величина (с.в.), представляющая собой индивидуальный убыток по i-му договору. Обозначив через u величину активов компании, найдем, что вероятность разорения компании будет определяться соотношением P(S > u). Подсчет вероятности разорения сводится к нахождению функции распределения c.в. S, которая представляет собой сумму конечного числа дискретных случайных величин. При решении подобной задачи неоценимую помощь могут оказать интегрированные пакеты, например, пакет Mathcad [3]. В этой связи задача сводится к нахождению распределения суммы = 1 + 2 двух целочисленных с.в. 1, 2, распределение p1 (n), p 2 ( n) которых известно. Задача свелась к реализации в пакете Matchcad известной формулы вида n p(n) = p1 (k ) * p2 (n k ). (2) k = Пусть подобно одной из основопологащих в области актуарной математике работе [1] рассматривается портфель из n одинаковых договоров страхования жизни, где каждая из n случайных величин i, i = 1,..., n имеет распределение, задаваемое рядом L 0 1 P(L) 0.8 0.1 0.1 (3) Здесь принято, что вероятность смерти как от несчастного случая, так и от естественных причин равна 0.1, при этом вероятность дожития равна 0.8. Кроме того, как это делается в актуарных расчетах, 1 условная единица (у.е.) выплачивается семье в случае смерти от несчастного случая и 2 у.e. – в случае естественной смерти. Программа, разработанная в пакете Matchcad и представленная в листинге 1, позволяет находить распределение (1) для любого конечного n. Так, в таблице 1 представлено распределение с.в. S при n = 6.
Proceedings of the 5th International Conference RelStat’05 Part Таблица 1. Реализация распределения суммы S из (1) при n = n 0 1 2 3 4 5 P(n) 0.262 0.197 0.258 0.133 0.093 0.035 0. n 7 8 9 10 11 4.3*10-3 1.4*10-3 2.6*10-4 6.3*10-5 6*10-6 1*10- P(n) Листинг 1. Распределение суммы дискретных случайных величин при ипользовании свертки pp ( p1, p2 ) := for i 1.. cols ( p2 ) Distr ( n ) := for i 1.. rows ( n ) + cols ( n ) for j 1.. cols ( p1 ) i d 1, i p1 p d i, j 2, j 2, i d 2, i d for k 1.. rows ( n ) for j 1.. cols ( n ) U( n, p ) := qp d +n d for i 1.. n 1 2, k + j 1 2, k + j 1 k, j q pp ( p, q ) d q Distr ( q ) q 1 2 3 4 5 6 7 8 U( 6, p ) = 1 0 1 2 3 4 5 6 7 0.016 4.326·10 -3 1.455·10 - 2 0.262 0.197 0.258 0.133 0.093 0. Нельзя не отметить возможность реализации распределения суммы S в пакетных средствах с помощью другого подхода, основанного на использовании производящих функций.
Как известно, производящей функцией X (z ) целочисленной случайой величины X называется функция вида Легко найти функцию распределения аналитически в этом случае FY ( y ) = 1 y * e y e y, соответственно FU ( y ) = 1 FY ( y ) и окончательно Подобные аналитические расчеты (для некоторых плотностей достаточно сложные) могут быть реализованы в пакете Matchcad весьма просто. В приведенном ниже листинге представлено вычисление среднего для максимума и минимума при выборе плотности ущерба (3) и числе заявленных случаев n = 3.
Листинг 2. Программная реализация вычисления средних для экстремальных величин Задачи расчета средней выплаты компании по страховому случаю в условиях ограничения ответственности компании некоторым верхним пределом D также легко формализуется на уровне пакетных средств. Пусть вновь величина ущерба компании имеет функцию распределения F(x), x > 0, при условии, что установлен верхний предел ответственности D. Условие ограниченной ответственности можно выразить следующим образом:
Понятно тогда, что Отсюда среднее значение страхового возмещения определяется выражением Пример формализованного подхода (10) для экспоненциального распределения представлен в листинге 3.
Листинг 3. Средние выплаты компании в условиях ограничения ответственности В заключение отметим, что создание комплекса готовых программ в удобном интегрированном пакете может быть важным и полезным инструментом деятельности любой страховой компании.
Весьма естественным становится применение пакетных средств для решения актуарных задач, связанных с проверкой статистических гипотез. В частности, нередко страхователи завышают число автомобилей, поврежденных в результате аварий. Вероятность, связанная с числом поврежденных автомобилей в одной аварии, известна из статистических источников. В таблице 1 представлены как соответствующие вероятности, так и статистика дорожных происшествий.
Таблица 3. Статистические сведения о дорожных происшествиях Число поврежденных Для проверки гипотезы о мошеничестве со стороны страхователей используется КритеN i Npi ) Ниже проедставлен листинг для реализации вычислений по критерию.
Листинг 4. Использование критерия 2 для проверки гипотезы о мошеничестве Исходя из вычислений гипотеза об отсутствии мошеничества отвергается.
Литература [1] Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. М.: Анкил, 2002. 262 c.
[2] Aндронов А.М., Копытов Е.А., Гринглаз Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов. СПб.: Питер, 2004. 461 c.
[3] Кудрявцев Е.М. Мatchcad 2000. M.: ДМК, 2001. 571 c.
[4] Hossack I.B., Pollard J.H., Zehnwirth B. Introdactory statistics with applications in general insurance.
[ 
«