Munncrepcrno poccnficrcofi

o6pasonarus HayKu (De4epaqnu

lr

OIEOYBIIO

I{ncrnryr apxureKTypbr crporrreJrbcrBa

r{

KaQe4pacoflporrrBJreHnfl

MarepnaJroB crporrreJrrnofiuexanr.rru

rr YTBEP)I(NAIO e6uofipa6orc H.II. Konosarog 8_,,.{ 2013r.

*_ OEPA3OBATE JIbHA.fl NPOTPAMMA AI,ICITITII,IHbI

COIIPOTIIBJIEHI4EMATEPI,IAJIOB

(pa6ovaxy.re6uarnporpaMMa Ar.rcqr,rnnr,rnrr) Hanpan.neuue noAroroBnr{ 221000 Mexamonarau po6ororexrzxa :

IlpoQnlr noAroroBKrr:

rponnrtx n po6ororexnnqecxr.u cracreu Kna;ruQuraqur(crenenr): 6axanasp @oprua o6yveuna:

Cocras[rers nporpaMMbr:

crpoztemHofi ti4exanl1xtl.

x.t.H.

Zpxyrcr 2013r.

1. Информация из ФГОС, относящаяся к дисциплине 1.1. Вид деятельности выпускника Дисциплина охватывает круг вопросов относящиеся к виду деятельности выпускника: проектно-конструкторская, научно-исследовательская.

1.2. Задачи профессиональной деятельности выпускника В дисциплине рассматриваются указанные в ФГОС задачи профессиональной деятельности выпускника:

проектно-конструкторская:

- разработка варианта возможного принципиального решения по структуре, функционированию, конструкции, алгоритмическому и программному обеспечению изделия;

- разработка проектной конструкторской документации технического проекта по составным частям изделия;

- проведение предварительных испытаний составных частей опытного образца изделия по заданным программам и методикам.

научно-исследовательская деятельность:

- планировать и выполнять теоретические, экспериментальные и лабораторные исследования, обрабатывать полученные результаты с использованием современных информационных технологий.

1.3. Перечень компетенций, установленных ФГОС Освоение программы настоящей дисциплины позволит сформировать и развить у обучающегося следующие компетенции:

- способность к обобщению и анализу информации, постановке целей и выбору путей их достижения (ОК-1);

- способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-9);

- готовность вести патентные исследования в области профессиональной деятельности; проводить кинематические, прочностные расчеты, оценки точности механических узлов (ПК-3).

Формирование компетенций при изучении дисциплины «Сопротивление материалов».

При выполнении лабораторного практикума студент формирует способность ставить и формулировать цель лабораторной работы, определять путь ее достижения путем изучения методики выполнения лабораторных испытаний. Студент проводит лабораторные исследования, после чего формируется способность обработать, обобщать и анализировать результаты испытаний и расчетов для составления выводов и отчета по лабораторной работе.

После соответствующей подготовки студент производит защиту отчета. Таким образом, в ходе выполнения лабораторного практикума формируются компетенции ОК-1.

На практических занятиях вырабатываются навыки использования теоретических знаний при решении инженерных задач расчета деталей машин и конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. На основе методических рекомендаций студент учится анализировать эпюры внутренних силовых факторов, определять опасные сечения и опасные точки в сечениях, анализировать условия прочности и делать вывод о надежности конструкции.

При этом формируется компетенция ОК-1. При решении задач по определению оптимальных размеров и форм поперечных сечений конструкционных элементов из условий прочности, жесткости и устойчивости формируется компетенция ОК-9, развивающая способность к поиску правильных технических решений при выполнении инженерных задач.

Формирование одной из важных профессиональных компетенций будущего специалиста ПК-3 происходит за счет всех вышеперечисленных видов занятий. При проектировании и эксплуатации мехатронных модулей и робототехническиех систем необходимо на основе научных законов и методов уметь правильно назначать конструкционные материалы и устанавливать их физико-механические свойства (лабораторный практикум), определять наиболее рациональные формы и размеры поперечных сечений конструкционных элементов, выполнять проверочные расчеты на прочность, жесткость, устойчивость (практические занятия, КР).

1.4. Перечень умений и знаний, установленных ФГОС Студент после освоения программы настоящей дисциплины должен:

знать: классификацию механизмов, узлов и деталей мехатронных модулей и роботов, основы их проектирования и стадии разработки;

уметь: конструировать механизмы, узлы и детали мехатронных модулей и роботов; производить расчеты передач на прочность;

владеть: методами конструирования новых мехатронных и робототехническихсистем, оценивать при лабораторных и натурных испытаниях результаты аналитического конструирования;

Дополнительно в результате изучения дисциплины студент должен:

знать:

- основные соотношения, связывающие приложенные к объекту внешние силы с характером распределения усилий внутри объёма, занимаемого им;

- базовые механические характеристики конструкционных материалов и методы их определения по результатам испытаний;

- основные методы расчетов на прочность, жесткость и устойчивость;

- формировать различные расчетные схемы, проводить анализ их нагруженности и решать типовые задачи, связанные с расчетом на прочность, жесткость и устойчивость при различных видах нагружения;

- строить эпюры внутренних силовых факторов и производить расчеты на прочность и жесткость брусьев при растяжении-сжатии, кручении, изгибе, при статическом и ударном приложении нагрузок;

- определять геометрические характеристики плоских сечений;

- производить анализ напряженного состояния в нагруженном теле;

- рассчитывать простые статически неопределимые системы;

- определять характеристики прочности и пластичности материала по первичным экспериментальным данным;

- работать с учебной, справочной и нормативно-технической литературой;

- оформлять результаты своей работы в соответствии с действующими нормативными документами;

иметь представление:

- об инженерном решении типовых задач в области прочности, жесткости и устойчивости;

- о работе и нагруженности типовых элементов конструкций, способах их схематизации и методах оценки прочностной надёжности;

- о несущей способности элементов конструкций;

- о применении ЭВМ при определении напряженно-деформированного состояния в точках нагруженного тела.

2. Цели и задачи освоения программы дисциплины Основными целями изучения дисциплины являются:

- усвоение теоретических знаний и выработка практических навыков в составлении расчетных схем и овладение методами расчета на прочность, жесткость и устойчивость типовых конструкций, и тем самым обеспечение базы инженерной подготовки инженера-механика;

- теоретическая и практическая подготовка в области механики деформируемого твердого тела;

- развитие инженерного мышления и воспитание специалиста, способного к самосовершенствованию и умеющего самостоятельно, вдумчиво и инициативно решать инженерные задачи в своей области;

- приобретение знаний, необходимых для изучения последующих дисциплин.

В состав задач изучения дисциплины входят:

- овладение теоретическими основами и практическими методами расчетов на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций и машин, необходимых как при изучении дальнейших дисциплин, так и в практической деятельности инженера-механика;

- овладение экспериментальными методами определения деформаций и напряжений, экспериментальными методами определения механических свойств материалов;

- ознакомление с современными подходами к расчету сложных систем, элементами рационального проектирования конструкций;

- освоение такого метода обучения, как самостоятельная работа при изучении теоретического курса и выполнении практических расчетов;

- воспитание профессионала в своей отрасли и личности в общечеловеческом понимании.

Для изучения дисциплины, необходимо освоение содержания дисциплин: математика, информатика, физика, теоретическая механика, начертательная геометрия, материаловедение.

Знания и умения, приобретаемые студентами после освоения содержания дисциплины, будут использоваться в последующих дисциплинах: детали мехатронных модулей, роботов и их конструирование; кинематика и динамика устройств автоматизации производственных процессов; надежность робототехнических и мехатронных систем; процессы формообразования и инструменты; проектирование робототехнических и мехатронных систем, механика манипуляционных систем; основы автоматизации проектирования роботов и мехатронных систем.

Общая трудоемкость дисциплины – 180 часов, 5 ЗЕТ Таблица 1 – Структура дисциплины Самостоятельная работа (в том числе кур- 57 39 Вид промежуточной аттестации и итогово- 36 5.1. Перечень основных разделов дисциплины семестр Тема 1. Основные понятия и гипотезы сопротивления материалов. Схематизация элементов конструкций, свойств материалов, внешних сил.

Тема 2. Метод сечений, внутренние силовые факторы, понятие о напряжениях.

Тема 3. Центральное растяжение-сжатие, расчет напряжений и деформаций.

Тема 4. Испытание материалов.

Тема 5. Сдвиг, расчет соединений на срез.

Тема 6. Кручение стержней.

Тема 7. Геометрические характеристики плоских сечений.

Тема 8. Прямой поперечный изгиб, построение эпюр силовых факторов в балках. Анализ эпюр силовых факторов, исследование уравнений силовых факторов на экстремум, дифференциальные зависимости при изгибе.

Тема 9. Изгиб. Определение напряжений при изгибе.

семестр Тема 10. Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии балки.

Тема 11. Анализ напряженного и деформированного состояния в точке тела.

Тема 12. Теории прочности.

Тема 13. Сложное сопротивление (косой изгиб, изгиб с кручением).

Тема 14. Сложное сопротивление (изгиб с растяжением или сжатием, внецентренное сжатие).

Тема 15. Устойчивость стержней.

Тема 16. Расчет стержней при продольно-поперечном изгибе Тема 17. Усталостное разрушение, определение предела выносливости, факторы, влияющие на предел выносливости.

Тема 18. Расчет на прочность при динамическом нагружении.

5.2 Краткое описание содержания тем дисциплины (теоретической части) Тема № 1. Основные понятия и гипотезы сопротивления материалов Сопротивление материалов, являясь составной частью механики твердого тела, рассматривает основные приближенные методы расчетов на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций.

Под конструкцией понимаются любые сооружения, машины, приборы.

Прочность, жесткость и устойчивость обеспечивают прочностную надёжность элементов конструкции.

Целью преподавания курса «Сопротивление материалов» является изучение основных методов расчета прочностной надежности конструкций, выработка навыков простейших расчетов, их оформление, анализ результатов расчета, знакомство с экспериментальными методами исследования и определения механических свойств материала.

Расчеты выполняют на основе расчетных схем. При составлении расчетной схемы используются схематизированные элементы конструкции, внешние нагрузки, закрепления, свойства материалов.

Элементы различных конструкций можно разделить на три типа: брус (стержень), пластина (оболочка), массивное тело. В сопротивлении материалов, в основном, рассматриваются элементы первого типа.

Силы являются мерой механического воздействия тел. Внешние силы, действующие на элементы конструкции, делятся на активные и реактивные (реакции связей). Активные внешние силы принято называть нагрузкой.

Различают нагрузки статические и динамические.

Внешние силы разделяются на объемные и поверхностные. Объемные силы (сила тяжести, инерционные, магнитного притяжения) распределены по объему тела и приложены к каждой его частице. Поверхностные силы могут быть сосредоточенными или непрерывно распределенными по поверхности тела. Величина нагрузки, приходящаяся на единицу площади, называется интенсивностью нагрузки. Часто нагрузку, распределенную по поверхности, приводят к главной плоскости, в результате чего получается нагрузка, распределенная по линии, которая называется погонной, или линейной нагрузкой. Нагрузки могут быть представлены так же в виде сосредоточенного или распределенного моментов. Реактивные силы возникают в закреплении элементов конструкции (опорных устройствах). Основные типы опор: шарнирно-подвижная, шарнирно-неподвижная, жесткое закрепление или заделка.

Для определения реакций опор используются уравнения равновесия статики.

В расчетах методами сопротивления материалов относительно свойств материала предполагается: материал имеет сплошное (непрерывное) строение, то есть материал – сплошная среда; материал – однороден, то есть его свойства во всех точках одинаковы; материал – изотропен, то есть его свойства во всех направлениях одинаковы; материал – идеально упругий в определённых пределах нагружения, то есть возникающие в нём деформации исчезают после снятия нагрузок.

Основные типы задач при расчёте на прочность:

1. Проверочный расчёт (проверка прочности стержня), то есть по заданным нагрузке и размерам стержня рассчитывают напряжения и сравниваются с допускаемыми значениями.

2. Проектировочный расчет: определение размеров поперечного сечения стержня по известной нагрузке и допускаемому напряжению.

3. Определение допускаемой допускаемой нагрузки - эксплуатационный расчёт.

Допущения, используемые в сопротивлении материалов 1. Принцип неизменности начальных параметров: изменения в расположении сил, происходящие при деформации конструкции, не следует учитывать при составлении уравнений равновесия и при определении внутренних сил.

2. Перемещения точек упругого тела, в большинстве случаев, прямо пропорциональны силам, вызвавшим это перемещение, то есть действует известный из физики закон Гука.

3. Принцип суперпозиций (принцип независимости действия сил): результат действия нескольких сил равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности.

4. Принцип Сен – Венана: в точках тела, достаточно удалённых от мест приложении нагрузок, внутренние силы мало зависят от способа приложения этих нагрузок.

Тема № 2. Метод сечений, внутренние силовые факторы, понятие о напряжениях Прочность твердого тела обусловлена силами взаимодействия между отдельными его частицами. В сопротивлении материалов под внутренними силами подразумевается приращение сил взаимодействия между отдельными частицами тела, возникающее при его нагружении. Для выявления внутренних сил, возникающих в теле под нагрузкой, в сопротивлении материалов используется метод сечений.

Рассмотрим элемент конструкции, который под действием системы внешних сил F1, F2,…Fn находится в состоянии статического равновесия (рис.2.1, а).

Рассечем мысленно элемент на две части произвольной плоскостью П (см. рис.2.1, а). При этом устраняются связи, соединяющие части элемента в единое целое, и действие одной части на другую заменяется в сечении системой сил (рис.2.1, б). Эти силы называются внутренними. Систему внутренних сил (рис.2.1, б) можно привести к центру тяжести сечения и таким образом получить главный вектор R и главный момент M внутренних сил (рис.2.1, в). Выберем систему координат x, y, z с началом координат в центре тяжести сечения, оси x, y – в плоскости сечения, ось z направлена по нормали к плоскости сечения. Спроецировав главный вектор и главный момент на оси x, y, z, получим шесть составляющих: N, Qx, Q y, M x, M y, M z (рис.2.1, г). Эти составляющие называются внутренними усилиями или внутренними силовыми факторами. По внутренним силовым факторам производится классификация основных видов нагружения или деформаций. При известных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов определяются из шести уравнений равновесия статики, которые могут быть составлены для отсеченной части элемента.

Графики, показывающие закон изменения внутренних усилий по длине бруса, называются эпюрами внутренних силовых факторов.

Понятие о напряжениях чина и направление в каждой точке могут быть различными. Мерой внутренних сил является напряжение. Упрощённо можно сказать, что напряжение – это внутренняя сила отнесённая к площади, выделенной во- Рис. 2. круг точки рассматриваемого сечения. Вектор полного напряжения р можно, разложить на составляющие: нормальное напряжение - направленное по нормали к сечению и касательное напряжение - расположенное в плоскости сечения (рис.2.2). Для удобства представляют в виде двух составляющих по направлению координатных осей.

Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет определённый физический смысл. Нормальные напряжения возникают, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости рассматриваемого сечения.

Выражение внутренних усилий через напряжения:

Математическое определение внутренних силовых факторов, приведённое выше (стр. 9), можно представить в следующем виде:

Тема № 3. Центральное растяжение-сжатие, расчет напряжений и деформаций Растяжение, сжатие (центральное) - это вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникает только продольная сила, а другие внутренние силовые факторы отсутствуют.

Рассекаем стержень плоскостью, перпендикулярной продольной оси, отбрасываем верхнюю отсечённую часть стержня (рис.3.1, б). Заменяем действие отброшенной части на оставшуюся часть стержня силой, приложенной в сечении. Уравновешиваем силы, действующие в оставшейся отсечённой части стержня продольной силой N. Для определения продольной силы используем уравнение равновесия в виде суммы проекций сил на ось z: z =0;

N-F=0 ; N = F. Эпюра силы N показана на рис.3.1, в.

Напряжения в поперечном сечении стержня Продольная сила N является равнодействующей нормальных напряжеN = d.

ний в сечении (3.2):

Из этого выражения можно определить, если известен закон распределения напряжений по сечению. Предполагается, что при растяжении, сжатии действует гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): поперечные сечения стержня плоские и перпендикулярные к его оси до деформации остаются плоскими и нармальными к оси после деформации. Это предположение основывается на экспериментальных данных. Следовательно, нормальные напряжения по сечению распределены равномерно, то есть = const на площади поперечного сечения А. Используя эту зависимость в интегральном выраN жении продольной силы, получаем: N=·A. Тогда, =. Если N=F, то =. Эти выражения справедливы и для сжатия.

Деформации и перемещения Разность между конечным и начальным размерами отрезков представляет абсолютную деформацию длины рассматриваемого отрезка (рис.3.2):

l1 - l=l – изменение длины l,или абb солютная деформация длины l, или абсоb лютная продольная деформация; b1-b=b – абсолютная деформация длины b или абсоl относительная продольная деформация;

=/ - относительная поперечная деb формация.

Между продольной и поперечной / деформациями существует устагде – коэффициент попеновленная экспериментально зависимость:

речной деформации (коэффициент Пуассона 0 0,5).

Между напряжением и относительной деформацией, возникающей в направлении, опыты показывают следующую зависимость: = Е или =. Эта зависимость носит название: закон Гука. Е – коэффициент, завиЕ сящий от материала, и называемый модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он характеризует жесткость материала, то есть его способность сопротивляться деформациям.

Абсолютная деформация стержня определяется: l =, где N, E, A – параметры участка стержня на длине l.

Условия прочности и жёсткости при растяжении, сжатии Условие прочности: напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня и вычисленное по расчётной формуле, не должно превышать допусN каемого напряжения, записывается следующим образом: = [ ], где – расчётное напряжение; [ ] – допускаемое напряжение.

Допускаемое напряжение определяется как отношение предельного напряжения ПР к нормативному коэффициенту запаса прочности [n], то есть []=ПР/[n]. Предельное напряжение – это напряжение, при котором возникают не допустимые в конструкции остаточные деформации или может произойти разрушение. Если материал хрупкий, то ПР=В (временное сопротивление или предел прочности); если же материал пластичный, то ПР=Т (предел текучести). Выбор нормативного коэффициента запаса прочности [n] определяется условиями эксплуатации, свойствами материала и другими технико-экономическими факторами. Коэффициент запаса прочности n в основном учитывает неточность в определении нагрузок, неоднородность материала и степень ответственности детали. Фактический коэффициент запаса прочности n является отношением предельного напряжения к максимальному расчётному: n = ПР / МАХ.

Предел текучести Т и предел прочности (временное сопротивление) В – это механические характеристики материала: определяются при испытании образцов на специальных установках.

Условие жёсткости при растяжении (сжатии) имеет вид:

Величина допускаемой абсолютной деформации [l] и величина д Работа и потенциальная энергия деформации растяжения (сжатия) Стержень растягивается силой F (рис.3.3, а).

Действие силы – статическое, то есть нагрузка возрастает постепенно.

Зависимость между нагрузкой и перемещением (деформацией) в пределах действия закона Гука – линейная, графически представлена на рисунке 3.3, б.

Введём следующие обозначения: W – работа, совершаемая внешними силами, U – потенциальная энергия деформации.

При упругих деформациях работа равна потенциальной энергии: W = U.

Из рис.3.3, б видно, что сила F не является постоянной на абсолютном перемещении l. Элементарная работа в какой-то малый промежуток времени будет равна dW = Fd(l), а вся работа силы F на перемещении, равном деF l F 2 l Так как объём всего стержня V=F·l, то значение удельной потенциальной энергии стержня, то есть энергии, приходящейся на единицу объёма равF Расчет удельной потенциальной энергии конструкции необходим при прочностном анализе на основе энергетических теорий прочности.

Для изучения поведения материала под нагрузкой и получения числовых характеристик материала, необходимых в расчётах, проводятся испытания материала.

Механические свойства материала определяются при испытании образцов на специальных установках. Испытания производят при следующих видах нагрузок: статической, ударной и циклической (испытание на усталость или выносливость).

По виду деформации, которую испытывает образец, различают испытания на растяжение, сжатие, кручение, изгиб и т.д..

Наиболее распространёнными являются испытания на растяжение и сжатие статической нагрузкой.

Размеры образца, форма, обработка поверхности определяются стандартами.

При испытании на растяжение обычно применяют цилиндрические образцы (рис.4.1): lo - расчетная (рабочая) длина образца; обычно lo =5do или lo = 10 do.

Образцы при испытании на сжатие выполняются в форме цилиндра или кубика (рис.4.2). В цилиндрическом образце высота не должна превышать трехкратного диаметра: h (2 - 3)d.

Механические свойства материала Целью испытания на растяжение является определение механических характеристик материала. При испытании автоматически вычерчивается диаграмма зависимости между растягивающей образец нагрузкой F и удлинением (абсолютной деформацией) образца l (рис.4.3).

Диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали Характерные участки диаграммы:

ОВ – зона линейной зависимости между нагрузкой и деформацией (действует закон Гука); ОС – зона упругих деформаций; DM – площадка текучести; МЕ – участок упрочнения; ЕК – участок локальных деформаций (площадь поперечного сечения шейки становится меньше и в точке К происходит разрыв образца).

Е - точка диаграммы соответствует наибольшей нагрузки, которую выдерживает образец; при достижении максимальной нагрузки на образце образуется шейка.

Чтобы можно было сравнить результаты испытания образцов различных размеров, изготовленных из одного материала, диаграмму растяжения образца перестраивают в координатах,, где =F/Ao, = l/lo (рис.4.4).

Ao – площадь поперечного сечения образца до испытания;

lo - расчётная длина образца до испытания.

Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали Обозначения основных величин на диаграмме (рис.4.4), в скобках представлены обозначения с латинскими индексами:

F ПЦ/Ao =ПЦ - предел пропорциональности ( pr ); FУ/Ao =У –предел упругости ( e ); FТ/Ao =Т – предел текучести ( y ); FВ/Ao =В – предел прочности или временное сопротивление (u); ОСТ – остаточная деформация (r ); – относительное удлинение после разрыва или остаточная деформация после Тангенс угла наклона прямой на диаграмме (рис.4.4) является модулем упругости материала: tg=E. Также, определяется относительное сужение площади поперечного сечения образца после разрыва: = 100% (, – основные характеристики пластичности материала).

Перечисленные величины: ПЦ, У, Т, В,,, Е являются механическими характеристиками материала.

Площадка текучести на диаграмме растяжения есть не у всех пластичных материалов. Поэтому вводится понятие условного предела текучести:

напряжение, которому соответствует остаточная деформация, равная 0,2% (0.2) или равная заданному нормативному При испытании материала на сжатие, так же как и при растяжении, строится диаграмма в координатах,. Однако предел прочности пластичного материала при сжатии обычно не определяется, так как трудно определить максимальную (разрушающую) нагрузку: цилиндрический образец превращается в диск, высота которого зависит от мощности установки, на которой испытание проводится. Поэтому предел прочности (временное сопротивление) при сжатии берётся условно, равным пределу прочности при растяжении.

На рис.4.5 показаны диа- Диаграммы растяжения и сжатия чугуна грамма сжатия для одной и той же марки чугуна: ВР – предел прочности (временное сопротивление) при растяжеВС нии (ut); ВС – предел прочности (временное сопротиврастяжение ление) при сжатии (uc).

Как видно из рисунка предел прочности (временное сопротивление) при сжатии прочности (временного сопротивления) при растяжении. Это характерно для многих хрупких материалов. Предел текучести у хрупких материалов отсутствует.

Факторы, влияющие на механические свойства материала:

1) скорость нагружения; обычно механические характеристики определяются при статическом нагружении; скорость нагружения определяется стандартами;

2) температура; при повышении температуры материалы становятся более пластичными; при понижении температуры материал охрупчивается;

3) время действия нагрузок; явление изменения деформаций при постоянных напряжениях в результате длительного действия нагрузок называется ползучестью; ползучесть проявляется не только у пластичных материалов, но и у хрупких; ползучесть зависит от температуры;

4) повторное нагружение; при повторном нагружении (после предварительного за пределом упругости) материал изменяет свои свойства: становится как бы более хрупким.

Сдвиг (срез) вид нагружения или деформации характерен тем, что из шести внутренних силовых факторов отлична от нуля только одна поперечная сила QX или QY, а остальные равны нулю.

Примером среза может быть стержень, на который действуют две силы, равные по величине, противоположно направленные, и расстояние между которыми очень малая величина (рис.5.1. а).

В сечении стержня (рис.5.1, б), возникают внутренние силы (рис.5.1, в), для определения которых применяется метод сечений. Внешняя сила, находящаяся по одну сторону от сечения, а) F уравновешивается силой, приложенной в сечении, то есть силой QY. На схеме (рис.5.1, в) и далее в тексте эта сила обозначается без индекса: Q. Так как расстояние между внешними нагрузкаF ми - малая величина, изгибающий моа –малая величина мент в сечении не учитывается. Из условия равновесия отсечённой части:

Q=F.

Поперечная сила представляет собой равнодействующую внутренних сил, распределённых по сечению (рис.5.1, г). Мерой внутренних сил яваF ляется напряжение. Напряжение, действующее в плоскости сечения (рис.5.1, напряжения в плоскости среза распределены равномерно. Следовательно:

Сдвиг (срез) испытывают многие соединительные элементы: болты, за- г) клёпки, штифты и другие детали. Срез часто сопровождается другими видами деформации, например изгибом и смятием.

Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге.

Чистый сдвиг – это вид плоского напряжённого состояния, при котором вокруг точки нагруженного тела можно выделить элемент, на гранях которого действуют только касательные напряжения. Чистый сдвиг, например, возникает при кручении образца в виде тонкостенной трубы (рис.5.2, а).

Выделим элемент, размеры которого малы, в виде параллелепипеда (кубика) (рис.5.2, а). Одна грань кубика находится в плоскости поперечного сечения. В увеличенном виде без деформации элемент показан на рис.5.2, б. Из условия равновесия на параллельных гранях действуют напряжения равные по величине и противоположные по направлению. На гранях 122/1/ и 433/4/ (в плоскости поперечного сечения) действуют касательные напряжения. На горизонтальных гранях 22/3/3 и 11/4/4 действуют по закону парности касательных напряжений. На грани 1234 (поверхность элемента) усилия отсутствуют; тогда нет усилий и на параллельной грани 1/2/3/4/. Если на одной грани из трёх напряжения отсутствуют, напряжённое состояние называется плоским. Плоское изображение элемента без деформации на рис.5.2, в.

Рассмотрим деформацию элемента, принимая грань 12 за неподвижную.

Элемент, в результате действия нагрузки, деформируется и занимает положение 123//4// (рис.5.2, г).Линейное перемещение При испытании образца на чистый сдвиг вычерчивается диаграмма в координатах, (рис.5.3). Для пластичных материалов она аналогична диаграмме растяжения. Линейная зависимость между отно- сительной деформацией и напряжением б) упругости при сдвиге или модуль сдвига На диаграмме это участок прямой до Между модулем упругости при сдвиге и модулем упругости при растяжении существует следующая зависимость:

ассона.

допускаемого напряжения: = Часто используется зависимость: [] = Практические расчёты на сдвиг Рассмотрим расчёт заклёпочного соединения (рис.5.4, а). Требуется определить диаметр заклепки.

Элементы (две полосы), соедипц нённые заклёпкой, нагружены силами F. При расчётах на прочность тельные напряжения в плоскости среза заклёпки распределены равномерно.

Условие прочности заклёпки может быть записано в виде: = Кроме расчёта на срез заклёпочные соединения рассчитываются на смятие. Распределение усилий смятия по контактной поверхности неравномерное (рис.5.4, б). В расчётах площадь смятия (цилиндрическая поверхность) условно представляет проекцию контактной поверхности на диаметральную плоскость (рис.5.4, г): AСМ = d, где – минимальное значение из 1 и 2. В расчётах на смятие расчётное напряжение сравнивается с допускаемым:

Тема № 6. Кручение стержней круглого поперечного сечения Кручение – это вид деформации или нагружения, при котором под действием внешних сил в поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент, другие внутренние силовые факторы отсутствуют.

В технической литературе можно встретить различные обозначения крутящего момента, а именно ТКР, МКР, МZ (если продольная ось стержня обозначена через z). Работающий на кручение стержень называется валом.

Кручение обычно возникает при действии пары сил, образующей момент, расположенный в плоскости поперечного сечения. Под действием скручивающего момента в поперечном сечении вала возникают внутренние силы, мерой которых является касательное напряжение. Эти внутренние силы образуют крутящий момент ТКР. Для определения внутренних усилий используется метод сечений. График, показывающий распределение крутящего момента вдоль оси стержня, называется эпюрой крутящих моментов.

Напряжения в круглом поперечном сечении бруса при кручении При исследовании деформации кручения на поверхность стержня до нагружения наносилась прямоугольная сетка линий (рис.6.1, а).

Одни линии этой сетки являлись образующими цилиндрической поверхности (продольные линии), другие (поперечные) – находились в плоскости перпендикулярной оси стержня. При нагружении прямоугольная сетка деформируется (искажается): прямоугольник превращается в параллелограмм (рис.6.1, б). Искажение происходит в результате изменения положения продольных линий. Расстояния между линиями окружности и диаметр стержня не изменяются. На основании опыта предполагается, что при кручении бруса круглого поперечного сечения:

- действует гипотеза плоских сечений: сечения плоские до деформации остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси стержня после деформации;

- размер продольной оси стержня, размер и форма поперечного сечения не изменяются.

Следовательно, - радиусы всех поперечных сечений поворачиваются (на разные углы), оставаясь прямолинейными;

- происходит сдвиг поперечных сечений относительно друг друга;

- в произвольной точке поперечного сечения возникает только касательное напряжение, направленное перпендикулярно радиусу, проходящему через рассматриваемую точку (рис.6.1, в).

При выводе формулы для определения касательного напряжения в произвольной точке поперечного сечения вала (задача статически неопределимая) используются: зависимость между внутренним силовым фактором и напряжениями, возникающими в сечении: Т КР = dA ; геометрически опA ределяемая зависимость между углом поворота радиуса сечения и углом сдвига; закон Гука при сдвиге.

Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня определяется по формуле: = КР, где ТКР – крутящий момент в сечении; – расстояние от центра сечения до точки, в которой определяется напряжение; IP – полярный момент инерции поперечного сечения стержня.

В этой формуле ТКР и IP - постоянные величины в сечении, не зависящие от положения точки, в которой определяется напряжение. Касательное напряжение находится в прямой зависимости от. В точках равноудалённых от центра сечения напряжения одинаковы. Распределение касательных напряжений показано на рис.6.2. Эпюра может быть представлена в сечении стержня (рис.6.2, а) или вынесена за сечение (рис.6.2, б, в). Максимальные касательные напряжения в точках контура сечения при = МАХ =d/2:

= КР МАХ = КР, где P = WP - полярный момент сопротивления попеMAX речного сечения.

Деформации и перемещения при кручении валов При кручении вала точки круглого поперечного сечения перемещаются по окружности. Перемещение точки можно определить по углу поворота радиуса сечения. На рис.6.3 обозначена линия ВС до нагружения стержня. В результате действия скручивающего момента М точка С занимает положение С1. Линия ВС1 - после нагружения. Точка О – центр тяжести поперечного сечения. Угол СОС1= - угол закручивания (угловое перемещение), зависит от длины скручиваемого участка стержня. Отношение угла закручивания к чивания.

СВС1= – угол сдвига (относительная деформация при кручении).

- величина постоянная на длине l, угол закручивания опреЕсли деляется по формуле: =, где G – модуль сдвига; G·IP – жёсткость поG IP перечного сечения вала при кручении.

Условия прочности и жёсткости вала Условие статической прочности вала при кручении имеет вид:

где [] – допускаемое касательное напряжение. При действии статической нагрузки [] = (0.5 - 0.6) [].

Это условие используется для проверки прочности вала, определения диаметра поперечного сечения и определения допускаемого крутящего момента. Диаметр вала из условия прочности:

Условие жёсткости вала определяется сравнением расчётного угла закручивания с допускаемым:

где [] – допускаемый угол закручивания.

Чаще условие жесткости записывается по относительному углу закручивания:

где [] – допускаемый относительный угол закручивания.

Это условие используется для проверки жёсткости и для определения диаметра вала. Диаметр вала из условия жёсткости:

Условия прочности и жёсткости независимы друг от друга. Диаметр вала обычно вычисляется из условия прочности, а затем (при найденном значении диаметра) проверяется условие жёсткости. Если при этом условие жёсткости не удовлетворяется, диаметр вала определяется из условия жёсткости.

Кручение стержней не круглого поперечного сечения.

Практика показывает, что при кручении стержня не круглого сечения его поперечные сечения искривляются (депланируют, рис.6.4). Это значительно усложняет задачу определения напряжений и деформаций, так как не позволяет применить гипотезу плоских сечений. Поэтому данные задачи решаются методами теории упругости.

Рассмотрим стержень прямоугольного поперечного сечения. Полученное Сен-Венаном методами теории упругости решение для стержня прямоугольного сечения показывает сложный характер распределения напряжений в поперечном сечении стержня при кручении.

Касательные напряжений в точках на контуре сечения возрастают от нулевых значений в углах сечений к середине стороны по нелинейному закону (рис.6.5). В центре сечения напряжений равны нулю, максимального значения они достигают в серединах длинных сторон:

Наибольшее напряжение на короткой стороне прямоугольного сечения:

Угол закручивания стержня определяется:

где I K = hb ; WK = hb ; b – длина короткой стороны; h - длина длинной стороны прямоугольного сечения;,, - коэффициенты, зависящие от соотношения сторон h / b (определяются по справочным таблицам).

Рассмотрим кручение стержня тонкостенного замкнутого профиля (случай свободного кручения, при котором поперечные сечения могут свободно депланировать). Тонкостенным считается профиль, толщина стенки которого существенно меньше его линейных размеров (рис. 6.6). Средней линией (контуром сечения) называется линия, делящая толщину сечения поРис.6. полам.

Для тонкостенного профиля принимают, что касательные напряжения одинаковы по толщине стенки профиля и равны напряжениям посредине толщины стенки. Направлены по касательной к средней линии стенки. Формула для расчета касательных напряжений имеет вид:

где - толщина стенки профиля; - площадь, охватываемая средней линией тонкостенного профиля.

Если толщина стенки профиля является переменной величиной, то максимальные напряжения определяются:

где min - минимальная толщина стенки.

Угол закручивания тонкостенного профиля определяется:

где s – длина замкнутого контура.

Тема № 7. Геометрические характеристики плоских сечений C Рассмотрим геометрические характеристики произвольного сечения, изображённого на геометрическая характеристика сечения;

S X = y dA - статический момент сечения относительно оси x;

SY = x dA - статический момент сечения относительно оси y;

I X = y 2 dA - осевой момент инерции сечения относительно оси x;

I Y = x 2 dA - осевой момент инерции сечения относительно оси y;

I XY = x y dA - центробежный момент сечения относительно осей x,y;

I P = 2 dA - полярный момент инерции сечения.

Если учесть, что 2=у2+х2 (рис.7.1), получаем IP = IX + IY.

Статические моменты сечения, если известны координаты центра тяжести, могут определяться по формулам:

Как видно из математических выражений, статические моменты сечений могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Статический момент равен нулю относительно центральной оси. Ось, проходящая через центр тяжести сечения, называется центральной.

Если известны статические моменты сечения, можно определить положение центра тяжести этого сечения:

Осевые и полярный моменты инерции сечения могут быть только положительными и не могут быть равными нулю.

Центробежный момент инерции сечения может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осяу ми. Ось симметрии всегда является главной.

центральных осей называются главными центральными Моменты инерции сечения относительно параллельных осей х1 определить моменты инерции сечения относительно осей х1, у1 по формулам:

Моменты инерции сечения при повороте координатных осей моментов инерции при повороте координатных осей не изменяется.

Главные оси. Главные моменты инерции При изменение угла а моменты инерции изменяются. Чтобы определить при каком значении угла а осевые моменты имеют экстремальные значения, производную от I X 1 или I Y1 по а приравняем к нулю:

Угол а0 определяет положение двух взаимно перпендикулярных осей, относительно одной из которых осевой момент инерции имеет максимальное, а относительно другой – минимальное значения. Центробежный момент относительно этих осей равен нулю. Следовательно, это главные оси сечения.

Главные оси сечения – это оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальное значение (относительно одной оси – максимум, относительно другой – минимум). Это более полное определение главных осей сечения.

Сложные сечения Статические моменты и моменты инерции сложных сечений определяются алгебраическим суммированием соответствующих моментов составных частей этого сечения. Это следует из свойств интегральных выражений, которые определяют статические моменты и моменты инерции сечения.

Сложное сечение разбивается на составные части. Например, многоугольник (рис.7.5, а) можно рассматривать состоящим из треугольников; сечение балки (рис. 7.5, б), состоящим из прямоугольника и двух уголков.

Площадь сложного сечения, изображённого на рис.7.5, а и на рис.7.5, б, можно записать в виде Следует обратить внимание: суммируются моменты относительно одной и той же оси и суммирование - алгебраическое. Знаки моментов составных фигур совпадают со знаками слагаемых при определении площади всего сечения.

Геометрические характеристики стандартных сечений являются табличными величинами. Таблицы стандартных поперечных сечений прокатных изделий: двутавр, швеллер, уголок равнобокий, уголок неравнобокий, обычно приводятся в приложениях учебников по сопротивлению материалов. Для двутавра таблицы приведены в приложении данного пособия.

Поперечный изгиб – это вид нагружения, при котором под действием внешних сил в поперечном сечении стержня возникает изгибающий момент и поперечная сила. Если в поперечных сечениях стержня возникает только изгибающий момент, изгиб называется чистым.

Изгиб называется плоским или прямым, если изгибающий момент (силовая плоскость) проходит через одну из главных осей поперечного сечения стержня. Ось балки после деформации при плоском (прямом) изгибе остаётся в плоскости внешних сил – силовой плоскости.

Для определения внутренних усилий используется метод сечений. Рассекаем балку поперечным сечением на расстоянии z от свободного конца (рис.8.1, а). Одну часть балки с закреплением отбрасываем. Действие отброшенной части на оставшуюся часть заменяем усилиями в сечении (рис.8.1, б).

Уравновешивающими внешнюю нагрузку F являются изгибающий момент МX и поперечная сила QY. В дальнейшем изгибающий момент может быть обозначен МИЗ, поперечная сила без индекса Q. Расчетная схема представлена на рис.8.1, в.

Из условия равновесия отсеченной части бруса в его поперечном сечении: поперечная сила численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, на ось Y; изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно оси X. При составлении алгебраической суммы сил и моментов следует руководствоваться условным правилом знаков: если сила стремится повернуть отсечённую часть стержня по ходу часовой стрелки, её знак положительный, если момент вызывает сжатие верхних волокон балки, его знак положительный.

График, показывающиt закон изменения поперечной силы b изгибающего момента вдоль продольной оси балки, называют эпюрой поперечной силы э" Q" и эпюрой изгибающего момента э" M ИЗ ".

Построение эпюр внутренних усилий в балках Построение эпюр внутренних усилий в шарнирно закрепленных балках начинается с определения опорных реакций. Реакции опор при симметричной нагрузке равны между собой и равны половине приложенной нагрузки:

R A = R B = ql / 2 (рис.8.2).

Аналитическое выражение поперечной силы Q( z ) = R A qz - это уравнение прямой. Вычисляем ординаты двух точек этой прямой:

Дифференциальные зависимости между интенсивностью распределённой нагрузки q, поперечной силой Q и изгибающим моментом MИЗ Рассмотрим балку, нагруженную произвольной нагрузкой (рис.8.3).

Двумя сечениями 1-1 и 2-2 выделим на балке элемент длиною dz (рис. 8.3,а).

Длина dz – малая величина. В увеличенном виде элемент, в поперечных сечениях которого действуют поперечные силы и изгибающие моменты, изображён на рис.8.3,б. Направления для этих силовых факторов приняты положительными в соответствии с правилами знаков. Если в сечении 1–1 внутренние силовые факторы Q и MИЗ, то в сечении 2–2 их величины изменяются (получают приращения) на dQ и dMИЗ, соответственно.

Проведём координатные оси х, у через середину отрезка dz. Составим уравнения равновесия в виде суммы проекций сил на ось у:

Анализ эпюр силовых факторов. Контроль правильности построения эпюр.

Контроль правильности построения эпюр Q и MИЗ Для контроля используются основные правила, вытекающие из метода сечений и дифференциальных зависимостей:

• на участках балки, где нет распределенной нагрузки, поперечная сила постоянна ( Q( z ) =const и поэтому эпюра Q ограничивается прямой, параллельной оси эпюры), а изгибающий момент изменяется по линейному закону (эпюра M из ограничивается наклонной линией);

• на участках балки, где поперечная сила отсутствует, эпюра изгибающих моментов ограничивается линией, параллельной оси эпюры;

• на участках балки, загруженных равномерно распределенной нагрузкой, поперечная сила изменяется по линейному закону (эпюра Q ограничивается прямой линией, наклон которой направлен в сторону действия q, если ось z направлена вправо), а изгибающий момент изменяется по закону квадратичной параболы (при этом выпуклость параболы направлена навстречу действия нагрузки, если эпюра строится со стороны сжатых волокон);

• на участках балки, где поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает слева направо, а если поперечная сила отрицательная - убывает;

• в сечении, где поперечная сила, непрерывно изменяясь, проходит через ноль, изгибающий момент имеет экстремальное значение (максимальное или минимальное);

• в сечениях, где к балке приложена сосредоточенная сила, на эпюре поперечных сил будет скачок на величину и в направлении этой силы, а на эпюре изгибающих моментов будет излом, острие которого направлено навстречу действия силы;

• в сечениях, где к балке приложен сосредоточенный момент, на эпюре изгибающих моментов будет скачок на величину этого момента, а на эпюре поперечных сил никаких изменений не будет.

Опасные сечения.

Требуемый момент сопротивления рассчитывается из условия прочности по нормальным напряжениям по максимальному значению изгибающего момента M MAX. Оно определяется из эпюры моментов и данное сечение считается опасным по нормальным напряжениям.

После этого устанавливают другие опасные сечения балки для проверке по касательным и эквивалентным напряжениям в опасных точках опасных сечений и оценивают надежность по условиям прочности.

При проверке по касательным напряжениям в качестве опасного принимается сечение с QMAX. При проверке по эквивалентным напряжениям расчет выполняется для сечений, в которых М и Q одновременно достигают больших значений. Таким образом, при выполнении полной проверки балки на прочность могут рассматриваться разные сечения балки. Если же имеет место случай, когда М и Q достигают своих экстремальных значений одновременно в одном и том же сечении балки, тогда все проверки выполняются для одного сечения, являющегося опасным одновременно по всем условиям прочности.

Тема № 9. Определение напряжений при изгибе Нормальные напряжения при чистом изгибе При чистом изгибе в поперечных сечениях балки в результате действия нагрузок возникает только изгибающий момент. Прямоугольная сетка, нанесённая на поверхность балки до нагружения (рис.9.1,а), искажается в результате действия нагрузок (рис.9.1,б).

Поперечные линии, оставаясь прямыми, поворачиваются на некоторый угол; продольные – превращаются в дуги, длина их изменяется (увеличивается или уменьшается). Есть линия, которая не изменяет своей длины (изображена штрихами). Она проходит через нейтральный слой. Основываясь на результатах экспериментов, предполагается:

- действует гипотеза плоских сечений;

- часть продольных волокон балки растягивается, часть – сжимается;

между растянутыми и сжатыми волокнами существует слой, который не изменяет своей длины (нейтральный слой). Пересечение нейтрального слоя с поперечным сечением образует нейтральную ось, которая проходит через центр тяжести поперечного сечения балки;

- продольные волокна балки не оказывают давление друг на друга.

Следовательно, при чистом изгибе продольные волокна испытывают чистое растяжение или сжатие. В поперечном сечении балки возникают только нормальные напряжения. В направлении перпендикулярном продольной оси балки напряжения отсутствуют.

При выводе формулы для определения напряжений используем интегральную зависимость между изгибающим моментом и напряжением Геометрическая часть. Рассмотрим деформацию произвольного продольного отрезка АВ малой величины dz. Участок балки до нагружения (рис.9.2, а) и после нагружения (рис.9.2, б).

Угол поворота сечения d – малая величина. Дуга О1О – нейтральная линия радиусом. Длина отрезка АВ:

Длина дуги А1В:

Относительная деформация слоя АВ:

Физическая часть. Так как продольные волокна испытывают растяжение или сжатие, нормальные напряжения в поперечном сечении балки описываются законом Гука:

Используя выражения из геометрической и физической частей, получаем:

Выражение (2) указывает на линейный закон распределения напряжений по высоте поперечного сечения (рис.9.2,в). По ширине поперечного сечения напряжения распределены равномерно. Поэтому чаще изображается эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении в виде плоского графика (рис.9.2, г). Вводим (2) в (1):

Так как y 2 dA = I X, получаем выражение кривизны нейтральной лиA нии:

Величина EIX - жёсткость поперечного сечения при изгибе.

Выражение кривизны (3) вводим в (2) и после преобразований получаем выражение для определения напряжения в произвольной точке поперечного сечения:

Максимальное напряжение возникает в точках наиболее удалённых от нейтральной оси:

где X = W X – осевой момент сопротивления поперечного сечения.

Касательные напряжения в поперечном сечении балки В общем случае плоского (прямого) изгиба в поперечном сечении балки кроме изгибающего момента действует поперечная сила. Следовательно, кроме нормальных напряжений в сечении возникают и касательные напряжения. Касательные напряжения определяются по формуле Журавского:

Q SX ОТС

где Q – поперечная сила; S X - статический момент относительно оси х части поперечного сечения, отсечённой на уровне точек, в которых определяется напряжение; I X - осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси х; bY - ширина сечения на уровне точек, в которых определяется напряжение.

Предполагается, что по ширине сечения напряжения распределены равномерно.

Рассмотрим распределение касательных напряжений по высоте в прямоугольном поперечном сечении балки (рис.9.3). Обозначим главные центральные оси х, у и координату у произвольных точек, в которых определяем напряжения.

поперечного сечения.

Заштрихованная площадь:

Координата центра тяжести заштрихованной площади:

Статический момент отсечённой части:

ОТС ОТС

По формуле Журавского получаем:

После преобразований выражение для определения касательного напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки имеет вид:

Получили параболическую зависимость от координаты у. Касательное напряжение в точках, наиболее удалённых от оси х: y =h / 2 = 0; y = h / 2 = 0.

Максимальное касательное напряжение возникает в точках нейтральной оси:

По вычисленным значениям y=h/2, y=-h/2 и мах строится эпюра касательных напряжений (рис.9.3).

Условия прочности При расчёте на прочность балок при поперечном изгибе главным является расчёт по нормальным напряжениям. Для определения опасной точки балки следует по эпюре изгибающего момента найти самое нагруженное сечение, в котором M ИЗ max. Условие прочности по нормальным напряжениям для пластичных материалов определяется соотношением вида:

Если материал ведёт себя как хрупкий, то есть по-разному сопротивляется деформациям растяжения и сжатия ( [ Р ] [ С ] ), то должно выполняться два условия прочности (по растяжению и сжатию).

Условие прочности по нормальным напряжениям используется для проверки прочности, определения размеров поперечного сечения балки, нахождения допускаемой нагрузки. Вид условия прочности балки по касательным напряжениям:

Q SX ОТС

Это условие прочности применяется, в основном, для проверки прочности балки, но может использоваться для определения размеров поперечного сечения в коротких балках. Балка называется короткой, если её длина меньше пятикратного линейного размера поперечного сечения.

Дифференциальное уравнение упругой линии балки а) кривляется (рис.10.1,а). Поперечные сечения перемещаются перпендикулярно – радиус кривизны изогнутой оси балки;

fMAX – максимальный прогиб.

Из рисунка видно, что линейные и угловые перемещения являются функцией переменной z. Угол наклона касательной равен углу поворота сечения. Угловые перемещения при упругих деформациях малы (tg), поэтому можно записать:

Кривизна изогнутой оси балки:

Математическое выражение кривизны:

Приравнивая значения кривизны, получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

где - малая величина второго порядка (для малых углов), которой можно пренебречь.

Тогда, получим приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

Изгибающий момент вводится как функция переменной z.

В полученной формуле учтено, что положительный изгибающий момент (сжатые волокна выше нейтрального слоя) соответствует положительной кривизне балки.

Проинтегрировав дифференциальное уравнение изогнутой оси балки один раз, получим уравнение углов поворота:

где С – постоянная интегрирования. Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов:

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий (условий закрепления балки). Физический смысл постоянных интегрирования:

Положительный знак результатов вычислений перемещений означает, что сечение перемещается в положительном направлении оси у (вверх) и поворачивается против хода часовой стрелки.

Условие жёсткости: линейные и угловые перемещения, возникающие в результате действия нагрузки на балку, не должны превышать допускаемой Пример определения перемещений Консольная балка постоянного поперечного сечения нагружена силой F (рис.10.2). Определить прогиб и угол поворота конца консоли, то есть в точке В. EIX – жёсткость поперечного сечения стержня.

3. Интегрируя один раз, получаем уравнение углов поворота:

4. Интегрируя ещё раз, получаем уравнение прогибов:

5. Составляем граничные условия для определения постоянных интегрирования: = 0 при z =l (угол поворота в закреплении); = 0 при z = l (прогиб в закреплении).

Подставляем значения перемещений и координаты z в соответствующее уравнение (1) и (2):

6. Прогиб на конце консоли о из уравнения (В) при z=0:

Знак минус полученного результата означает перемещение конца консоли вниз (точка В занимает положение В1).

Угол поворота на конце консоли:

Следовательно, сечение поворачивается против хода часовой стрелки.

Если балка по условиям нагружения разбивается на п участков, число постоянных интегрирования удваивается, то есть становится равным 2п. Чтобы сократить число неизвестных постоянных, сведя решение к определению только двух постоянных интегрирования, необходимо обеспечить равенство соответствующих постоянных на всех участках балки. Это равенство может быть только тогда, когда в уравнениях моментов, углов поворота и прогибов от одного участка к другому повторяются все члены предыдущего участка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на левых границах своих участков. Для обеспечения этих условий при составлении дифференциальных уравнений упругой линии и их интегрирования должны соблюдаться следующие условия:

1. Начало координаты z должно быть в одной точке для всех участков нагружения (на одном из концов балки).

2. Внешний сосредоточенный момент вводится в уравнение изгибающего момента с множителем (z - a) в нулевой степени (то есть (z - a)0). Здесь a – расстояние от начала координат до сечения, в котором этот внешний момент приложен.

3. Если распределенная нагрузка не доходит до конца балки, она продлевается до этого конца, а для восстановления действительных грузовых условий вводится компенсирующая нагрузка обратного направления на данном участке.

4. Интегрирование уравнения на всех участках производится без раскрытия скобок.

Тема № 11. Анализ напряжённого и деформированного состояния в Рассмотрим напряжения в произвольной точке тела. Через точку можно провести бесчисленное множество плоскостей и в каждой плоскости возникаю свои нормальные и касательные напряжеy ния.

ведённых через точку нагруженного тела, наX зывается напряжённым состоянием в точке.

ориентированы по граням элемента. Напряжения на гранях элемента обозначены с индексами. Первый индекс соответствует нормали этой площадки, второй – оси, параллельной напряжению.

Напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных площадках, записанные в определённом порядке, представляют тензор напряжения в точке нагруженного тела:

XY Y ZY Н

Напряжения на параллельных гранях равны по величине и противоположно направлены. Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и противоположно направлены (закон парности касательных напряжений):

Если известны напряжения на трёх взаимно перпендикулярных площадках, можно определить напряжения на любой другой площадке, положение которой известно относительно этих трёх.

При повороте элемента вокруг точки (повёртываются и координатные оси, параллельные граням) величина напряжений на гранях изменяется, то есть изменяются компоненты тензора напряжений.

Вокруг точки нагруженного тела всегда можно выделить элемент, на гранях которого действуют только нормальные напряжения, а касательные отсутствуют. Площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, называются главными. Нормальные напряжения на главных площадках называются главными. Главные напряжения обозначаются с цифровыми индексами: 1, 2, 3. При этом 123.

Виды напряженного состояния 1). Объёмное или трёхосное напряжённое состояние.

Если вокруг точки нагруженного тела нельзя выделить элемент, у которого хотя бы на одной грани (из трёх) напряжения отсутствуют, напряженное состояние называется объёмным или трёхосным (рис.11.2, а). В этом случае все три главных напряжения не равны нулю: 1 0; 2 0;3 0.

2). Плоское или двухосное напряжённое состояние.

При плоском напряжённом состоянии напряжение на одной грани (из трёх) отсутствует: 1 0; 2 0; 3 = 0; или 1 0; 2 = 0; 3 0 (рис.11.2, б).

3). Линейное или одноосное напряжённое состояние.

В этом случае действует только одно из трёх главных напряжений:

Анализ напряжённого состояния при различных видах нагружения Рассмотрим, каким образом определяется вид напряжённого состояния и определяются напряжения по наклонным площадкам через напряжения в поперечном сечении.

Линейное напряжённое состояние. Напряжения по наклонным площадкам.

Примером линейного напряжённого состояния является растяжение Напряжения в поперечном сечении стержня, изображённого на рис.11.3, а, опF площадь поперечного сечения стержня.

Рассечём стержень плоскостью под углом к поперечному сечению (рис.11.3, а).

=. Рассмотрим напряжения, дейстcos вующие на наклонной площадке (рис.11.3, б). Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций сил на ось z:

где р – полное напряжение, действующее на наклонной площадке.

Получаем:

Напряжение р можно разложить на составляющие и (рис.11.3, в).

После преобразований получаем выражения нормальных и касательных напряжений через напряжение, действующее в поперечном сечении:

Проанализируем полученные выражения:

- max ==0 =, то есть наибольшие нормальные напряжения возникают в плоскости поперечного сечения стержня;

- max ==45o = /2 – наибольшие касательные напряжения возникают в плоскости под углом 450 к поперечному сечению, а их величина в два раза меньше величины нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении.

В плоскости, где действуют наибольшие нормальные напряжения, может произойти разрушение в результате отрыва частиц друг от друга. В плоскости, где действуют наибольшие касательные напряжения, может произойти разрушение в результате сдвига частиц относительно друг друга.

Плоское напряжённое состояние. Напряжения по наклонным площадкам.

Рассмотрим элемент, у которого на одной (из трёх) грани напряжения отсутствуют (рис.11.4, а). На наклонной площадке (рис.11.4, б) действуют нормальные и касательные напряжения а и а. (рис.11.4, в).

Y YX YX YX Y

Если известны напряжения, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках и положение наклонной площадки, то есть Х, У, ХУ=УХ, угол а - известны, то а, а определяются по формулам, выведенным из условия равновесия отсечённой части элемента (сочетание двух линейных видов напряженного состояния):

При = 0 касательные напряжения на наклонной площадке: = =0 = 0, а нормальные напряжения являются главными. Положение главных площадок, на которых касательные напряжения отсутствуют, определяется через тангенс угла наклона:

Главные напряжения имеют экстремальные значения:

Наибольшие касательные напряжения возникают на площадках, расположенных под углом 450 к главным площадкам, и вычисляются по формуле: MAX = 1 ; а нормальные напряжения: 45 = Площадки, по которым действуют наибольшие касательные напряжения, называются площадками сдвига.

Деформированное состояние в точке нагруженного тела В общем случае нагружения деформированное состояние не однородно, то есть деформации в точках тела различны. Совокупность деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих данную точку, носит название деформированного состояния в точке. Деформированное состояние в точке нагруженного тела аналогично напряжённому состоянию можно представить тензором деформаций ТД:

где X, Y, Z – линейные деформации в направлении осей х, у, z;

XY, YZ, XZ – углы сдвига в координатных плоскостях.

Через рассматриваемую точку всегда можно провести три взаимно перпендикулярных оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют.

Линейные деформации в направлении этих осей называются главными деформациями. Главные деформации обозначаются с цифровыми индексами:

1, 2, 3. В изотропном материале направление главных деформаций совпадает с направлением главных напряжений.

Обобщённый закон Гука Зависимости между деформациями и напряжениями при объемном напряженном состоянии носят название обобщённого закона Гука:

Если на гранях элемента действуют нормальные и касательные напряжения, обобщённый закон Гука записывается в следующей форме:

Из обобщённого закона Гука видно, что линейные деформации зависят от нормальных, а угловые деформации – от касательных напряжений.

Объёмная деформация Объёмная деформация характеризуется относительным изменением объёма тела:

где V – объём элемента до деформации; V – изменение объёма.

Подставив значения деформаций по обобщённому закону Гука, получим выражение относительного изменения объёма через напряжения:

Потенциальная энергия деформации Удельная потенциальная энергия в общем случае нагружения определяется следующим образом:

Подставив в эту формулу выражения деформаций по обобщённому закону Гука, получим:

Одна часть потенциальной энергии расходуется на изменение объёма, другая - на изменение формы: u=uОБ+uФ.

Удельная потенциальная энергия изменения формы:

Условие прочности при одноосном напряжённом состоянии: [ ], где [ ] = ; ПР – предельное или опасное напряжение – это напряжение, при котором возникают значительные остаточные напряжения или начинается разрушение; n – коэффициент запаса прочности; ПР = Т - для пластичных материалов; ПР = В - для хрупких материалов.

При плоском и объёмном напряжённом состоянии предельное (опасное) напряжение зависит от соотношения главных напряжений, и кроме того испытания требуют очень сложных машин и приборов. Поэтому возникла необходимость оценивать предельное состояние при сложном нагружении, используя опыты (в том числе механические характеристики прочности материала) при растяжении, сжатии. Для этого вводится понятие эквивалентного напряжённого состояния (рис.12.1) и эквивалентное напряжение Э. Это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце (рис.12.1,б), чтобы его напряженное состояние стало равноопасным (равнопрочным) с заданным напряженным состоянием (рис.12.1,а).

Предполагается, что два элемента считаются равнопрочными, если их коэффициенты запаса прочности одинаковы. Для сравнения различных напряженных состояний используют гипотезы (теории) прочности. Рассмотрим основные из них.

Первая гипотеза прочности или гипотеза наибольших нормальных напряжений: за критерий прочности принимается наибольшее нормальное напряжение: 1=Э. Имея ввиду, что Э [], первую теорию прочности можно сформулировать следующим образом: прочность материала при сложном напряжённом состоянии обеспечивается, если наибольшее нормальное напряжение не превышает допускаемого нормального напряжения, установленного для одноосного напряжённого состояния: 1 [].

Вторая теория прочности или теория наибольших деформаций. Критерием равнопрочности элементов являются наибольшие деформации:

МАХ = МАХ, где МАХ = 1 - максимальная деформация при сложном напряЭ жённом состоянии; МАХ - максимальная деформация при одноосном напряЭ Вторая теория мало применима.

Третья теория прочности или теория наибольших касательных напряжений. Критерием равнопрочности является наибольшее касательное наМАХ = МАХ. При объёмном напряжённом состоянии:

МАХ = 1 ; при растяжении (сжатии): МАХ = Э. Условие прочности по теории наибольших касательных напряжений имеет вид: Э = 1 3 [ ].

Четвёртая теория или энергетическая теория прочности. Критерием равнопрочности является потенциальная энергия изменения формы: uФ = uФ. Э Удельная потенциальная энергия деформации формы при объёмном напряжённом состоянии:

При растяжении (сжатии):

Условие прочности по энергетической теории прочности:

Третья и четвёртая теории прочности применяются для пластичных материалов. Для хрупких материалов – результаты неудовлетворительные.

Теория прочности Мора.

Условие прочности по теории Мора:

где коэффициент m = ПР.С - предельное напряжение при сжатии.

Тема № 13. Сложное сопротивление (косой изгиб, изгиб с кручением).

В общем случае нагружения стержня в его поперечных сечениях одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов, связанных с четырьмя простыми видами деформаций: растяжением или сжатием, сдвигом, кручением и изгибом. Такой случай нагружения называется сложным нагружением или сложным сопротивлением.

На основании гипотезы о независимости действия сил напряженное состояние в точках стержня определяется путём суммирования напряжённых состояний, вызванных каждым видом простого нагружения в отдельности.

Аналогично деформации (перемещения) могут быть определены путём сложения деформаций (перемещений), вызванных каждым компонентом нагрузки в отдельности. Принцип суперпозиций применим, когда деформации малы, а материал подчиняется закону Гука.

Косой изгиб. Изгиб называется косым, если под действием внешних сил в поперечном сечении стержня возникает два изгибающих момента Mx, My.

Косой изгиб вызывается внешними силами, действующими в разных плоскостях, проходящими через центр тяжести сечения балки (рис.13.1, а), или в плоскости, не проходящей через главные центральные оси поперечного сечения балки (рис.13.1, б). Изогнутая ось в этом случае не является плоской кривой.

Напряжения в произвольной точке поперечного сечения стержня от изгибающих моментов, действующих относительно осей X, Y, вычисляются по формулам:

Используя принцип независимости действия сил, суммарное напряжение равно = / + // и после подстановки значений / и // получаем:

Знак слагаемого определяется по физическому смыслу: при растяжении плюс, при сжатии минус.

Так для точки В, расположенной в первом квадранте сечения, напряжение определится по формуле:

Положение нейтральной оси и наибольшие напряжения в поперечном сечении балки Рассмотрим произвольное поперечное сечение, вершины которого обозначены цифрами 1, 2, 3, 4 (рис.13.1, 13.2).

Наибольшие напряжения возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси. На рис.13.2 эти точки обозначены цифрами 1 и 3. По одну сторону от нейтральной оси действуют растягивающие напряжения, по другую – сжимающие. Наибольшие растягивающие напряжения вычисляются по формуле:

где у3, х3 –координаты точки 3.

Наибольшие сжимающие напряжения вычисляются по формуле:

где х1, у1 координаты точки 1.

При построении эпюры напряжений ось эпюры проводится перпендикулярно нейтральной линии. Значения напряжений откладываются перпендикулярно оси эпюры. Условие прочности балки при косом изгибе имеет вид:

Изгиб с кручением пряжения. В произвольной точке поперечного сечения от каждого внутреннего силового фактора напряжения определяются по формулам:

Касательные напряжения, обусловленные поперечной силой, по величине значительно меньше касательных напряжений от крутящего момента: