Главная >> Программы

Pages: |

| 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 8 |

«МОЛОДЕЖЬ И НАУКА XXI ВЕКА Материалы XIII Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Красноярск, 17 апреля 2012 г. В 4 томах Том 1 КРАСНОЯРСК 2012 2 ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Красноярский государственный педагогический университет

им. В. П. Астафьева»

МОЛОДЕЖЬ И НАУКА

XXI ВЕКА

Материалы XIII Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Красноярск, 17 апреля 2012 г.

В 4 томах Том 1 КРАСНОЯРСК 2012 2 ББК 74.4 М 75 Редакционная коллегия:

Бортновский С.В., Грасс Т.П., Ломаско П.С., Михасенок Н.И., Пихутина В.И. (отв. за выпуск), Соколовский А.А., Тимофеенко А.В., Шкерина Л.В.

М 75 Молодежь и наук

а XXI века: материалы XIII Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. В 4 томах. Том 1. Красноярск, 17 апреля 2012 г.

/ отв. за выпуск В.И. Пихутина; ред. кол. Краснояр. гос. пед. ун-т им. В.П.

Астафьева. – Красноярск, 2012. – 307 с.

Издание осуществлено в рамках реализации Программы стратегического развития КГПУ им. В.П. Астафьева 2011-ПР-217, поддерживаемой Министерством образования и науки РФ, проект №06/12 «Исследования проблем развития человека» на базе Гуманитарной технологической платформы (Инновационный человек), подпроект №06-5/12 «Свежий ветер»

К ВОПРОСУ ОПИСАНИЯ ПОДРЕШЕТОК РЕШЕТКИ ПОДПРОСТРАНСТВ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ

ПОЛЕМ Л.С. Гоборова Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Научный руководитель: Ларин С.В., к.ф.-м.н., профессор В связи с описанием подрешеток решетки подпространств векторного пространства над произвольным полем возникло предположение о том, что всякая оптимально вложенная подрешетка (см. определения ниже) вместе с каждым своим элементом содержит класс эквивалентных ему элементов. Ранее это было доказано для случая подпространств размерности 3. Из доказанной ниже теоремы вытекает, что в общем случае это не так.

Определения основных первичных понятий достаточно представлены в литературе [Скорняков 1982; Гретцер 1982].

Определение 1. Интервал [a, b] высоты 2 решетки L назовем широким, если он содержит не менее трех элементов x L таких, что a x b.

Определение 2. Подрешетку H решетки L будем называть сильно вложенной в L, если для всякого широкого интервала [a, b] высоты 2 подрешетки H и всякого x L, если a x b, то x H.

Через Vn (F ) будем обозначать n-мерное векторное пространство над полем F, а решетку его подпространств обозначим L(V, F ). Через Z 2 будем обоn значать поле из двух элементов.

Легко видеть, что если подрешетка H решетки L(Vn, F ) сильно вложена, то для любого автоморфизма f векторного пространства Vn (F ) подрешетка H1 f ( H ) сильно вложена в L(Vn, F ).

Определение 3. Зафиксируем базис B {e1, e2,...,en } пространства Vn ( Z 2 ) и определим алгоритм построения стандартных базисов подпространств пространства Vn ( Z 2 ) относительно базиса B.

1. Формируем список S1 одномерных подпространств, заданных стандартными базисами.

1.1. Первым в список S1 вносим одномерное подпространство x1 e1 и называем {e1} стандартным базисом подпространства x1.

1.2. Если базис B не содержит новых базисных векторов, то переходим к пункту 2.

1.3. Пусть {x1,...,xk } есть множество всех одномерных подпространств, вписанных в список S1, и m – наименьший номер такой, что em S1. Тогда m 1 и для любого i 1,...,k подпространство xi, заданное своим стандартным базисом, имеет вид xi i1e1... i m1em1 при некоторых i1,..., i m1 {0,1}.

Вписываем в список S1 последовательно подпространства, называя их базисы стандартными: xk 1 em, xk 1i i1e1... i m1em1 em, i 1,...,k. Переходим к пункту 1.2.

2. Пусть уже составлен список S r всех r -мерных подпространств, заданных стандартными базисами.

2.1. Если r n, то переходим к пункту 3.

2.2. Если r n, то составляем список S r 1 всех r 1-мерных подпространств, заданных стандартными базисами. Для этого к базису каждого подпространства из списка S r всех r -мерных подпространств присоединяем поочередно базисный вектор каждого одномерного подпространства из списка S1.

Если полученный таким образом базис порождает r+1-мерное подпространство, которое ранее не встречалось, то вписываем его в список S r 1, называя его базис стандартным. При получении полного списка S r 1 всех r+1-мерных подпространств переходим к пункту 2.

3. Процесс построения специальных базисов подпространств завершен.

Пользуясь этим алгоритмом, построены стандартные базисы подпространств векторных пространств размерности 3 и 4. В качестве примера приведем список всех подпространств 3-мерного векторного пространства, заданных своими стандартными базисами, построенными по алгоритму.

Список одномерных подпространств:

Список двухмерных подпространств:

Список трехмерных подпространство: S3 {e1, e2, e3 }.

Определение 4. Рассмотрим пространства Vn ( Z 2 ) и Vn (F ) с общим базисом B {e1, e2,...,en }. Параметризацией специальных базисов подпространств пространства Vn ( Z 2 ) назовем замену всякого базисного вектора всех ненулевых элементов поля F. При конкретных значениях параметров всякое подпространство x0 Vn ( Z 2 ) преобразуется в некоторое подпространство x Vn (F ), которое будем называть эквивалентным подпространству x0 и писать x ~ x0. При этом будем говорить, что подпространство x пространства Vn (F ) получается из подпространства x0 пространства Vn ( Z 2 ) в результате параметризации стандартных базисов подпространств пространства Vn ( Z 2 ).

Легко видеть, что при параметризации стандартных базисов подпространств пространства Vn ( Z 2 ) мы получаем все подпространства пространства Vn (F ). Причем всякое подпространство x Vn (F ) эквивалентно единственному подпространству x0 Vn ( Z 2 ). Отсюда следует, что множество всех подпространств пространства Vn (F ) распадается на непересекающиеся классы x0 {x Vn ( F ) | x ~ x0 }, образующие разбиение множества L(Vn, F ).

Отношение ~ является отношением эквивалентности на множестве L(Vn, F ). Класс всех элементов, эквивалентных элементу x L(Vn, F ), будем обозначать x. Таким образом, всякий класс x содержит единственное подпространство x0 Vn ( Z 2 ) и x x0.

ЛЕММА 1. Если подпространство a a1,...,ak, ak 1 Vn ( F ) задано своим Определение 6. Пусть Vn ( F ) – векторное пространство с базисом B {e1,..., en}. Сильно вложенную подрешетку L решетки L(Vn, F ) назовем оптимально вложенной (относительно базиса B ), если для любого автоморфизма f пространства Vn ( F ) при любом натуральном k n количество подпространств вида ei1,..., eik, {i1,..., ik } {1,..., n}, принадлежащих L0 L Vn (Z 2 ), не меньше, чем количество подпространств такого же вида, принадлежащих Для всякой сильно вложенной подрешетки K высоты n решетки L(Vn, F ) существует автоморфизм g пространства Vn ( F ) такой, что подрешетка L f ( K ) оптимально вложена. Следовательно, описание сильно вложенных подрешеток сводится к описанию оптимально вложенных подрешеток.

ЛЕММА 2. Пусть L оптимально вложенная подрешетка решетки L(Vn, F ). Если 1ei1... k eik L, где {i1,..., ik } {1,..., n}, 1,..., k F *, то ei j L для любого j 1,..., k.

ЛЕММА 3. Пусть L оптимально вложенная подрешетка решетки ТЕОРЕМА. Если подрешетка L высоты n решетки L(Vn, F ) оптимально либо x L {x} и существуют базисные векторы e4, e5 B такие, что L содержит подрешетку, изображенную на рисунке 1:

СЛЕДСТВИЕ 1. Если подрешетка L высоты n решетки L(Vn, F ) оптимально вложена и x e1 e2, e3 L, где F *, то x L тогда и только тогда, когда e3 L.

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть n 4 и подрешетка L высоты n решетки L(Vn, F ) Решетка L, изображенная на рисунке 1, является оптимально вложенной подрешеткой решетки L(Vn, F ), подпространство x e1 e2, e3 L, но подпространство e1 e2, e3 L при. Таким образом, x L.

Следствие 2 вселяет надежду, что выдвинутое выше предположение окажется справедливым для пространств размерности n 4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Скорняков Л.А. Элементы теории структур. – М: «Наука», 1982.

2. Гретцер Г. Общая теория решеток. – М: «Мир», 1982.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Красноярский государственный педагогический университет Мы будем использовать следующее определение периодической функции:

функция f называется периодической, если существует такое число Т 0, что при любом х из области определения D(f) числа х – Т и х + Т также принадлежат D(f) и выполняется равенство: f (х + Т) = f (х) … (1) Фигурирующее в определении число Т 0 называется периодом функции f. Нетрудно доказать, что если функция является периодической, т. е. имеет хотя бы один период Т, то она имеет бесконечно много периодов – ее периодом будет и всякое число nT, где n – отличное от нуля целое число. Если же Т – наименьший положительный период функции, то ее периодами являются все числа вида nТ, где n 0 – целое, и только они.

Доказать периодичность некоторой данной функции обычно нетрудно: как правило, сначала угадывается период, после чего доказательство сводится к проверке определения. Доказательство же непериодичности функции может вызвать некоторые затруднения. Один из способов преодоления их заключается в использовании утверждения: если все периодические функции обладают некоторым свойством, а данная функция этим свойством не обладает, то она не является периодической. Но чтобы эффективно использовать это утверждение необходимо иметь набор общих свойств периодических функций.

Перед нами стояла задача описать некоторые свойства периодических функций и показать, как можно их использовать для доказательства непериодичности функций.

Свойство. Если точка х0 принадлежит области определения периодической функции с периодом Т, то ее области определения принадлежат и все точки Аналогично, если точка х0 не принадлежит области определения периодической функции с периодом Т, то ее области определения не принадлежат и все точки х0 + nТ, n Z.

Свойство получается из определения периодической функции.

Следствие. Область определения периодической функции содержит сколь угодно большие по модулю положительные и отрицательные числа.

Пример 1. Доказать непериодичность функции f ( x) x1 x.

Область определения данной функции – отрезок [0;1]. Значит, эта функция не является периодической в силу следствия из свойства.

Свойство. Периодическая функция принимает каждое свое значение при бесконечном числе значений аргумента, среди которых есть сколь угодно большие по модулю положительные и отрицательные числа.

Это свойство легко вытекает из равенства: f (х + nТ) = f (х), n – целое, … (2) справедливого для периодической функции f с периодом Т.

Следствие. Периодическая функция не может быть возрастающей или убывающей на всей области определения.

Пример 2. Доказать непериодичность функции f (x) = 2х – cos x.

Вычислим производную функции: f (x) = 2+ sin x. Т.к. f (x)>0 при любом хR, то функция возрастает на всей числовой прямой. Следовательно, она не является периодической.

Свойство. Если f – периодическая функция, то уравнение (1), где Т – неизвестное, а х – параметр, имеет по крайней мере одно ненулевое решение Т = Т0 для всех значений параметра хD(f).

Свойство представляет собой переформулировку определения: ведь если функция f– периодическая, то существует такое число Т0 0, что f (х +Т0) = f(х) для любого хD(f), а это и означает, что число Т0 0 является корнем уравнения (1) при всяком значении параметра хD(f). В соответствии со свойством III для доказательства непериодичности функции f достаточно найти такие два значения аргумента х = a и х = b, что уравнения относительно Т f (a+T)=f (a), f (b+T)=f (b) не имеют общего ненулевого решения.

Пример 3. Выяснить, является периодической функция f (x)= {x} +sin x.

Допустим, что f – периодическая с периодом Т; тогда при любом хZ справедливо равенство {x +T} + sin (x +T) = {x} +sin x.

В частности, при х=0 получаем уравнение {T} + sin T = 0, а при х = -Т – уравнение {-T}- sin T = 0. Складывая эти два равенства, получаем {T} + {-T} = 0. Дробная часть {x}любого числа х неотрицательна. Поэтому последнее равенство возможно только при {T} = {-T} = 0, т.е. если Т – целое число.

С другой стороны, если {T} = 0, то из равенства {T} + sin T = 0 следует, что sin T = 0, т.е. Т = k (kZ). Но среди чисел такого вида целым является лишь число 0, так что наши уравнения имеют единственный общий корень Т = 0. А это означает, что данная функция непериодическая.

Свойство IV. Если для периодической функции f с периодом Т на некотором отрезке [; + Т] длиной Т выполнено неравенство f (x) М, … (3) то это неравенство выполняется и для любого значения аргумента.

Свойство IV вытекает из следующих рассуждений. Пусть f – периодическая функция с периодом Т и пусть неравенство (3) справедливо при х + Т. Тогда, в силу (2), это неравенство справедливо и на всяком отрезке [ + nT; + (n+1)T], nZ. Однако каждое значение аргумента принадлежит одному из таких отрезков, и, следовательно, неравенство (3) выполняется для любого значения х.

Пример 4. Доказать непериодичность функции f (x) = 2х cos(x2).

Допустим, что эта функция – периодическая с периодом Т. Так как при х[0; Т] 2х cos(x2) 2х 2Т, то согласно свойству IV, при хR должно выполняться неравенство f (x) = 2х cos(x2) 2Т. Но, как легко проверить, это неравенство нарушается, например, в точке x 2k, если только натуральное число k удовлетворяет условию k > Т2 /2.

Свойство V. Если периодическая функция дифференцируема в каждой точке своей области определения, то ее производная – периодическая функция с тем же периодом.

Докажем это свойство. Из предположения, что периодическая функция f c периодом Т имеет производную f ’(x) в любой точке х D(f), следует, что D(f ) = D(f). отсюда ясно, что если хD(f ), то х – Т D(f ), х + Т D(f ).

Поскольку пои любом х D(f) выполняется равенство f (х + Т) = f (х) – это одна и та же функция. Но тогда и их производные равны: (f (х + Т)) = f (х).

Функцию у = f (x + T) можно рассматривать как сложную функцию аргумента х с «внутренней» функцией х + Т и «внешней» функцией f. Поэтому по формуле для производной сложной функции (f (х + Т)) = f (х + Т)(х + Т) = f (х + Т) для любой точки хD(f ). Поэтому f (х + Т) = f (х) при любом хD(f ), так что f – периодическая функция с периодом Т.

Пример 5. Доказать непериодичность функции f (x) = sin (x2).

Вычислим производную функции: f (х) = 2х cos (x2). Функция f не является периодической (пример 4), а потому не является периодической и функция

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Дорофеев Г.В. Функции периодические и непериодические / Г.В.

Дорофеев, Н.Х. Розов // Квант. – М.: Наука, 1987. – №9. – С. 51–55.

Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класса: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профилирующий уровни / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин; под редакцией А.Б. Жижченко. – М.: Просвещение, 2009. – 336 с.

ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ОСНОВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

НАД ЧИСЛАМИ

Красноярский государственный педагогический университет Научный руководитель: Ларин С.В., к.ф.-м.н., профессор Настоящая работа является продолжением темы, начатой ранее [Кошкин 2010].

Определение. Произведением точек ( x, y) и ( x, z) назовем точку ( x, yz ). При z 0 частным от деления точки ( x, y) на точку ( x, z ) будем называть точку ( x, ).

Если y 0, то корнем квадратным из точки ( x, y) будем считать точку ( x, y ).

Теорема 1. Пусть прямые AD и BC пересекают ось абсцисс в точках A и B, а ось ординат в точках C и D. Тогда множество всех произведений точек этих прямых есть парабола, пересекающая ось абсцисс в точках A и B.

Доказательство. Докажем, что произведение данных прямых AD и BC есть парабола. По условию, данные прямые не параллельны оси ординат, а значит, задаются уравнениями вида соответственно y ax b и y a1x b1. По условию, эти прямые не параллельны оси абсцисс, а значит a 0 и a1 0. По определению, произведением данных прямых является множество {( x,(ax b)(a1x b1 )) | x R}, задаваемое уравнением y aa1x (ab1 a1b) x bb1.

Поскольку aa1 0, то это парабола, пересекающая ось абсцисс в точках A(,0) и B( 1,0). Теорема доказана.

В компьютерной среде GeoGebra [2] это выглядит так (рис. 1).

ТЕОРЕМА 2. Пусть различные точки A и B лежат на оси абсцисс и точка D отлична от A и B. Рассмотрим параболу, являющуюся множеством всех произведений точек пары прямых ( AD, BD). Множество всех корней квадратных из точек этой параболы, абсциссы которых принадлежат отрезку AB, образует эллипс с осью AB, а множество всех корней квадратных из точек параболы, абсциссы которых не принадлежат отрезку AB вместе с концами этого отрезка образует гиперболу.

Доказательство. Пусть прямые AD и BD задаются уравнениями соответственно y ax b и y a1x b1. По теореме 1, множество точек {( x,(ax b)(a1x b1 )) | x R}, задаваемое уравнением y aa1x 2 (ab1 a1b) x bb1, есть парабола, пересекающая ось абсцисс в точках A(,0) и B( 1,0), ось которой проходит через середину отрезка AB, параллельно оси ординат.

1. Пусть a 0, a1 0 (как на рисунках 2 и 3). Тогда aa1 0, а значит, ветви параболы y aa1x 2 (ab1 a1b) x bb1 направлены вниз. Парабола пересекает ось абсцисс в точках A(,0) и B( 1,0). Будем считать, что x1 x2 1.

Рассмотрим точки параболы, абсциссы которых принадлежат отрезку AB, то есть удовлетворяют неравенству x1 x x2. Ординаты этих точек неотрицательны, а значит можно извлечь корень квадратный из ординат. Докажем, что множество точек M {( x, aa1x 2 (ab1 a1b) x bb1 | x1 x x2} есть эллипс, а множество точек N {( x, | aa1x 2 (ab1 a1b) x bb1 | | x x1 или x2 x} есть гипербола.

2. Множество точек M задается уравнениями y aa1x 2 (ab1 a1b) x bb y 2 aa1x2 (ab1 a1b) x bb1 при тех же ограничениях на x. Это уравнение приводится к виду (2aa1x ab1 a1b)2 4aa1 y 2 (ab1 a1b)2. Вспомним, что aa1 0, поэтому это уравнение заменой переменных легко приводится к каноническому уравнению эллипса.

3. Множество точек N задается уравнениями y | aa1x 2 (ab1 a1b) x bb1 | и y | aa1 x2 (ab1 a1b) x bb1 |, x x1 или x1 x, а значит уравнением y 2 | aa1x2 (ab1 a1b) x bb1 |. Поскольку aa1x2 (ab1 a1b) x bb1 0, то получаем уравнение y 2 (aa1x2 (ab1 a1b) x bb1 ), которое приводится к виду (2aa1x ab1 a1b)2 4aa1 y 2 (ab1 a1b)2. Так как aa1 0, то это уравнение заменой переменных приводится к каноническому уравнению гиперболы.

Остальные случаи относительно a и a1 рассматриваются аналогично. Теорема доказана.

Геометрическое моделирование утверждений теоремы 2 в системе GeoGebra приводит к рисункам 2 и 3, взятым с дисплея.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Кошкин И.Г. Геометрическое моделирование дробно-линейных отображений в компьютерной среде «Живая геометрия» // Материалы Всероссийской конференции «Алгебра, логика и методика обучения математике», посвященной 100-летию со дня рождения С.Л.Эдельмана. – Красноярск, 5-6 ноября 2010. – С. 45-48.

2. «Что такое GeoGebra?» [Электронный ресурс]. – Режим доступа:

http://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ СУММ НЕКОТОРЫХ

ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

Красноярский государственный педагогический университет Рассмотрим геометрический ряд 1+q2+q3+…+qn+….Известно, что он сходится тогда и только тогда, когда q 1, причем сумма этого ряда равна Оказывается для q=, где n N, существует простой геометрический способ нахождения этой суммы.

Перед нами стояла задача конкретизировать этот способ для различных значений n.

1+ + + + +…+ +…Возьмем произвольный прямоугольник площади 2. Разрежем его на два равновеликих прямоугольника единичной площади так, как показано на рисунке 1. Один из этих прямоугольников снова разрежем на две равновеликие части, получим прямоугольники площади. С одним из них снова поступим так же – получим два прямоугольника площади. Продолжая указанный процесс, мы получим прямоугольники, площади которых соответственно равны 1,,,,, …,,…Объединение этих прямоугольников дает исходный прямоугольник (без одной угловой точки). Поэтому сумма площадей частичных прямоугольников равна площади исходного прямоугольника, то есть двум. Таким образом, сумма ряда 1+ + + + +…+ +…=2.

Аналогично поступаем, взяв n=3, то есть положив q=. Имеем ряд 1+ + + +…+ +…Берем прямоугольник площади 3. Процесс разрезания его на частичные прямоугольники представлен на рисунке 2.

Мы получим по 2 частичных прямоугольника, площади которых соответственно равны 1,,,,…,,…В объединении они составляют исходный прямоугольник (опять без одной угловой точки). Поэтому сумма площадей частичных прямоугольников равна 2(1+ + + +…+ +…), то есть трем. Итак, Аналогично мы рассмотрим более общий случай (q= ) и найдем сумму ряда 1+ + +…+ +…На рисунке 3 представлен процесс разрезания прямоугольника площади n на частичные прямоугольники.

Искомая площадь равна (n-1)( 1+ + +…+ +…)=n, следует сумма ряда Эту же идею можно использовать при нахождении суммы геометрического ряда с рациональным знаменателем 0 q 1q= (m, m и n – натуральные числа). В самом деле, используя прямоугольник площади n и рассуждая аналогично, можно доказать, что сумма ряда 1+ +…+ +…равна для этого нужно оставить без изменения n-m единичных прямоугольников, а раньше: разрежем прямоугольник на два прямоугольника площади 1; один из них – на два прямоугольника площади (рис.5). А затем один из этих прямоугольников разрежем уже Продолжая этот процесс до бесконечности, мы получим в результате один прямоугольник площади 1, один – площади, два прямоугольника площади, три – площади,…, n прямоугольников площади и т.д.

Значит, искомая сумма ряда равна площади исходного прямоугольника, то есть двум.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч.1.8-е изд. стер. – СПб.: Лань, 2006. – 448 с.

2. Апресян М. Бесконечные суммы и прямоугольник / М.Апресян // Квант.

– М.: Наука, 1981. – №2. – С. 20-21.

НЕРАЗРЕШИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ

Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова Проблема решения в радикалах алгебраического уравнения произвольной степени, так называемого Векового уравнения, интересовала математиков всех времён и народов. Однако решения долгое время найти не удавалось [Никифоровский 1987]. В справочниках по высшей математике отмечается, что не существует решения в радикалах алгебраических уравнений выше четвёртой степени, но это не гарантирует существование или отсутствие корней уравнений.

Возможность решить алгебраическое уравнение в радикалах зависит от разрешимости некоторой группы. Абель доказал, что уравнение выше четвертой степени неразрешимо в радикалах. Общая идея доказательства теоремы Абеля состоит в следующем. Многозначной функции комплексного аргумента сопоставляется некоторая группа, так называемая группа Галуа. При этом группа Галуа для функции, выражающей корни некоторого уравнения 5-й степени через параметр, не может совпадать ни с какой группой Галуа для функций, выражающихся в радикалах, и, следовательно, сама эта функция не может выражаться в радикалах [Алексеев 2001].

В рамках данной теории было проведено исследование возможности решения алгебраических уравнений в радикалах выше четвертой степени. Для решений некоторых видов уравнений выше четвертой степени использовались следующие методы:

неопределенных коэффициентов;

группировки;

введения параметра;

умножения уравнения на функцию.

С помощью теории групп были исследованы доказательства неразрешимости некоторых групп. В дальнейшем планируется рассмотреть приложении теории групп в применении в различных областях знаний, например, в технике, квантовой механике, кристаллографии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров П.С. Введение в теорию групп [Текст]: учебное пособие. – М.: Наука, 1980. – 145 с.

2. Алексеев В.Б. Теорема Абеля в задачах и решениях [Текст]: учебное пособие. – М.: МЦНМО, 2001. – 192 c.

3. Никифоровский В.А. В мире уравнений [Текст]: учебное пособие. – М.:

Наука, Академия наук СССР, 1987. – 176 с.

4. Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней [Текст]:

учебное пособие. – 2-е изд. – М.: Наука, 1975. – 34 с.

Теория и методика обучения математике

НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Стерлитамакская государственная педагогическая академия На уроках математики осуществляются во взаимосвязи все основные принципы обучения: сознательность, наглядность, систематичность, прочность, учет возрастных возможностей, индивидуальный подход. В обучении математике особую роль играет принцип наглядности.

Применение различных средств наглядности активизирует учащихся, возбуждает их внимание и тем самым помогает их развитию, способствует более прочному усвоению материала, дает возможность экономить время. Тот факт, что математике присуща большая абстрактность, определяет и характер средств наглядности, и особенности применения их. Здесь предметы, во- первых, выступают только как элементы множеств, над которыми могут производиться некоторые операции и относительно которых может быть поставлен вопрос об их численности. Поэтому когда учитель говорит о яблоках на ветке или о птичках на дереве, то он не останавливается на том, какие это яблоки или птички на дереве. Он обращает внимание детей лишь на количество их и на количественные отношения. Во-вторых, когда идет речь о том или ином предмете, то может быть поставлен вопрос об исследовании его формы или некоторых числовых характеристик, носящих названия величин. Но чтобы исследовать количественные отношения и формы в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от содержания. В этом и оказывают помощь учителю различные средства наглядности, и в первую очередь модели, чертежи, схемы, которые более всего отвечают указанному требованию.

В начальном обучении математике используются различные виды наглядных пособий:

Предметы окружающей среды. С первых же дней пребывания детей в школе при обучении их счету и действиям сложения и вычитания, предметы окружающей обстановки могут быть использованы в качестве счетного материала. Таким материалом могут служить книги, тетради, карандаши, счетные палочки и т.д.

Демонстрационные изобразительные пособия. К этому виду наглядных пособий относятся прежде всего картины и учебные таблицы с изображением ряда знакомых детям предметов, наборы картинок, картины со вставками, аппликации, наглядные экранные пособия, учебные фильмы, презентации.

Таблицы. Таблицами называют текстовые или числовые записи, располагаемые в определенном порядке. Таблицы издаются на больших листах бумаги, наклеенных для удобства пользования на ткань или картон.

Измерительные инструменты. К этим инструментам относятся линейка чертежная, угольники, линейка метровая, рулетка, циркуль; весы чашечные с разновесами, весы циферблатные; кружки литровая, пол-литровая; циферблат;

палетка; классный циркуль и др.

В настоящее время на уроках математики в начальной школе широкое распространение приобретает использование мультимедиа.

Мультимедиа – это средство или инструмент познания на различных уроках. Мультимедиа способствует развитию мотивации, коммуникативных способностей, получению навыков, накоплению фактических знаний, а также способствует развитию информационной грамотности. Мультимедиа вносит и этический компонент: компьютерная технология никогда не заменит связь между учениками. Она только может поддерживать потенциал их совместного стремления к новым ресурсам и подходит для использования в различных учебных ситуациях, где ученики, изучая математику, участвуют в диалоге со сверстниками и учителями относительно изучаемого материала.

Такие мультимедиа, как слайд, презентация или видеопрезентация, уже доступны в течение длительного времени. Компьютер в настоящее время способен манипулировать звуком и видео для достижения спецэффектов, синтезировать и воспроизводить звук и видео, включая анимацию и интеграцию всего этого в единую мультимедиа-презентацию.

Разумное использование в учебном процессе наглядных средств обучения играет важную роль в развитии наблюдательности, внимания, речи, мышления учащихся. Богатейшие возможности для этого представляют современные информационные компьютерные технологии. В отличие от обычных технических средств обучения информационные технологии позволяют не только насытить обучающегося большим количеством готовых, строго отобранных, соответствующим образом организованных знаний, но и развивать интеллектуальные, творческие способности учащихся.

Наглядность материала повышает его усвоение, т.к. задействованы все каналы восприятия учащихся – зрительный, механический, слуховой и эмоциональный. Использование мультимедийных презентаций целесообразно на любом этапе изучения темы и на любом этапе уроке. Также возможны ситуации, в которых будет иметь смысл сначала проводить обзор раздела или только демонстрировать нужную тему без углубления и накопления знаний или навыков, а углубление и совершенствование навыков использования нужной темы в дальнейшем можно осуществить за счёт самообразования. Данная форма позволяет представить учебный материал как систему ярких опорных образов, что позволяет облегчить запоминание и усвоение изучаемого материала. Подача учебного материала в виде мультимедийной презентации сокращает время обучения, высвобождает ресурсы здоровья детей. Учеников привлекает новизна проведения таких моментов на уроке, вызывает интерес.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др. Методика преподавания математики в начальных классах / Под ред. М.А. Бантовой. – М., 1984. – 335 с.

2. Истомина Н.Б. Комплект наглядных пособий по математике для I класса // Начальная школа. – 2002. – № 12. – С. 87-88.

3. Петкевич Н.В. Комплексы наглядных пособий как средство повышения эффективности обучения младших школьников // Начальная школа. – 2007. – № 12. – С. 54-57.

СЦЕНАРИЙ ИГРЫ «ЛОТО» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 7-8 КЛАССОВ

Красноярский государственный педагогический университет Научный руководитель: Шкерина Л. В., д.п н., профессор На уроках математики часто возникает перегрузка учащихся как информацией, так и предметными действиям, вследствие чего снижается их интерес и активность на уроке. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль школьников, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Немаловажная роль здесь отводится дидактическим играм на уроках математики – современному и признанному методу обучения и воспитания, обладающему образовательной, развивающей и воспитывающей функциями, которые действуют в органическом единстве. Игра – творчество, игра – труд. В процессе игры у детей вырабатывается привычка сосредоточиваться, мыслить самостоятельно, развивается внимание, стремление к знаниям. Увлекшись, дети не замечают, что учатся, познают, запоминают новое, ориентируются в необычных ситуациях, пополняют запас представлений, понятий, развивают фантазию. Разнообразные игровые действия, при помощи которых решается та или иная умственная задача, поддерживают и усиливают интерес детей к учебному предмету.

Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, насколько умело будет построена учебная работа. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и увлеченно, и использовать это как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубокого познавательного интереса.

В данной статье автор предлагает свой вариант одной из математических игр, которые полезно использовать с обозначенной выше целью.

Условия игры:

1) Класс делится на 5 команд. (В каждой команде выбирается командир).

2) Раздаются карточки с номерами и с заданиями.

3) Учитель достает из мешка фишку с номером. Команда, у которой есть этот номер, получает право на ответ.

4) Если ответ верный, то фишка переходит команде и закрывает этот номер.

5) Если не ответит команда, право ответа переходит к другой команде (за правильный ответ – красный жетон, за следующий ответ – зелёный, два зелёных жетона – выкуп одной фишки).

6) Побеждает та команда, которая первая поставит фишки на все номера в карточке, или та команда, которая больше всех приобретёт фишек [2; 3].

Данная игра может проводиться как на уроке, так и вне урока, после уроков, в виде математического вечера или какого-либо математического соревнования между классами, параллелями. Мы же рассмотрим проведение данной игры на уроке. Игра основана на известной телевизионной игре «лото». Проводя игру, учитель выполняет роль ведущего, а ученики роль игроков.

Для проведения данной игры учителю необходимо подготовить нужные материалы, а именно: мешок для фишек, сами фишки с номерами, карточки для каждой команды, жетоны и таблицу с заданиями, которые будут выполнять ученики по ходу игры.

Перед тем как приступить к игре, учитель должен настроиться сам и настроить учеников на работу, приготовить нужные ему материалы для игры.

Объявить основные цели урока.

Слова учителя:

Сегодня я предлагаю вам поиграть в очень интересную игру, она основана на телевизионной передаче «лото». Тема нашей игры «Многочлены и одночлены». Основная цель нашей сегодняшней работы – это закрепление изученного материала по данной теме.

После объявления целей, настраивающих на работу, учитель разбивает класс на команды по своему усмотрению, при этом учитывая, что команды должны быть равносильны, должна быть исключена ситуация, что одна команда состоит только из слабых учеников, а другая из сильных, иначе могут возникнуть проблемы с проведением игры. Затем каждой команде раздаются карточки с номерами и таблицы с заданиями. Объявляются основные правила игры. После чего можно приступать к проведению самой игры.

Слова учителя:

У вас на партах лежат карточки с номерами и таблицы с заданиями. Для начала я объявляю номер самого задания из таблицы, затем все команды приступают к решению этого задания. На решение одного задания вам дается минуты, после чего следуем тем же правилам, что и в игре лото. То есть я вынимаю из мешка жетон с номером, объявляю его вам. Команда, у которой есть этот номер в карточке, получает право на ответ. Если ответ верный, то фишка переходит команде и закрывает этот номер. Если команда не ответит, право ответа переходит другой команде (за правильный ответ красный жетон, за следующий ответ – зелёный, два зелёных жетона – выкуп одной фишки). Побеждает та команда, которая первая поставит фишки на все номера в карточке, или та команда, которая больше всех приобретёт фишек.

После окончания игры подводятся итоги. Учитель выставляет хорошие оценки команде победителей и ребятам других команд, которые принимали активное участие во время игры.

Рассмотрим один из примеров игры в формате «лото».

Тема: «Одночлены и многочлены».

Цель урока: повторить с учащимися правила выполнения действий над многочленами и одночленами, закрепить умения и навыки по выполнению действий над ними.

Оборудование: таблицы, фишки-лото, карточки, жетоны, плакат.

Правила игры описаны выше.

Задания к игре:

1. Представить одночлен в виде суммы двух слагаемых.

2. Представить одночлен в виде произведения двух множителей.

3. В пустую клетку записать такое выражение, чтобы сумма трех выражений была равна 0: (2а – в) + ( ? )+ (а + 2в) = 0.

4.В пустую клетку записать такое выражение, чтобы равенство было верным: ( ) (- 3а4в11) = 0,6а7в12.

5. Заполните пустую клетку: 5х5у ( ) = - 1,5х8у5.

6. Впишите в скобки многочлены с целыми коэффициентами так, чтобы выполнялось равенство: ( )3 ( )2 = - 27р3х5у2.

7. Впишите в скобки многочлены с целыми коэффициентами так, чтобы выполнялось равенство: ( )4 ( )3 = 8с4d7n3.

8. Заполните пустую клетку так, чтобы выполнялось равенство:

( ) ( -3а4в11) = 0,6а7в12.

9. Заполните пустую клетку так, чтобы выполнялось равенство:

10. Представьте двучлен в виде суммы трехчленов: 3х5 – 7.

11. Запишите вместо точек такие выражения, чтобы выполнялось равенство: (m–1) (… + 4) = m2 + ….

3) -3а-в; 4) -0,2а^3в; 5) -0,3х^3у^4; 6) (-3рх)^3 (ху)^2; 7) (cd)^4 (2dn)^3;

8) -0,2а^3*в; 9) -0,3х^3у^4; 10) например, (2х5+х2-4)+(х5-х2-3);

11) (m-1)(m+4)=m^2+3m-4 [Алимов, Колягин 2005].

Команде победителей и активным ученикам выставляются хорошие оценки.

В играх ученики учатся планировать свою работу, оценивать результаты не только чужой, но и своей деятельности, проявлять смекалку при решении задач, творчески подходить к любому заданию, использовать и подбирать нужный материал, то есть игры способствуют развитию как мышления в целом, так и логического мышления в частности.

Результаты игр показывают школьникам их уровень подготовленности, тренированности. Математические игры помогают в самосовершенствовании учащихся и тем самым побуждают их познавательную активность, повышается интерес к предмету.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2005.

2. http://metodsovet.su/load/matem/inoe/igra_matematicheskoe_loto/62-1-0http://festival.1september.ru/articles/502942/

class='zagtext'> ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ С УЧЕТОМ

ПСИХОФИЗИОЛОГИЧЕСКОГО ТИПА РЕБЕНКА
Красноярский государственный педагогический университет В настоящее время особо актуальным становится образование, рассматриваемое с позиций здоровьесберегающего фактора и природосообразности учащихся. Активно разрабатывается направление, связывающее особенности развития познавательной и личностной сфер учащихся со специализацией полушарий головного мозга.

Обучение с учетом психофизиологических особенностей учащихся требует отбора такого содержания учебного материала и применение таких методов и форм обучения, которые соответствовали бы разному типу функциональной асимметрии мозга в восприятии информации девочками и мальчиками, отвечали бы запросам и тех, и других в отношении к учебной работе.

При построении процесса обучения следует руководствоваться тем, что при одних и тех же методах обучения, при одном и том же учителе мальчики и девочки приходят к знаниям и умениям разными путями, используя разные стратегии мышления.

Изучая личностные особенности детей, необходимо проводить диагностику функциональной асимметрии полушарий для того, чтобы определить ведущий тип мышления, который определит психофизиологическое место каждого учащегося в классе, что значительно облегчит учителю выбор и разработку классных и домашних заданий, оптимальных как для девочек, так и для мальчиков, и повысит качество усвоения учебного материала.

Диагностика функциональной асимметрии полушарий головного мозга позволяет выявить у учащихся преобладание одного из полушарий (правополушарность, левополушарность, равнополушарность), что определенным образом влияет на особенности усвоения учебного материала и результативность обучения.

Существуют различия между правополушарным типом (чаще встречается у мальчиков) и левополушарным (свойственного в основном девочкам), которые необходимо учитывать при подборе заданий учащимся с различными типами функциональной асимметрии головного мозга.

Девочки лучше усваивают информацию, когда им известен алгоритм, когда информация уложена в схему. Обычно для них не составляет труда запомнить правило или порядок операций и затем применять его в подобных типовых ситуациях. Мальчики же требуют более образной формы изложения, наглядности (замена словесного объяснения картинками, диаграммами), им нужно прожить материал в действии, а не умозрительно. Им требуется обучение, основанное в первую очередь на целостном подходе, с опорой на конкретность, жизненность. Они должны понять принцип и смысл.

К примеру, в 5 классе при изучении темы «Задачи на проценты» девочкам следует сказать правило нахождения процента от числа:

1. Процент записать десятичной дробью.

2. Данное число умножить на эту дробь;

Далее можно предложить решить задачу: В школе 1000 обучающихся, из них 55% девочек. Сколько девочек в школе?

Мальчикам же целесообразно нужно объяснить решение этой же задачи, используя рисунок:

А затем можно ввести правило нахождения процента от числа.

Девочки лучше справляются с типовыми заданиями, опираются на память, используя штампы. У мальчиков страдает исполнительская сторона деятельности, зато они лучше справляются с заданиями на сообразительность.

Например, в 5 классе при изучении темы «Математическая модель» девочкам целесообразно подбирать задание на составление математической модели и задачи, а мальчикам можно предложить модель и попросить их придумать ситуации, которые бы могли описывать эту модель.

Мальчики большинство пространственных задач решают во внутреннем плане, тогда как девочкам нужна дополнительная наглядность. Например, в классе при изучении темы «Объем призмы» при решении следующей задачи: В наклонной призме проведено сечение, пересекающее все боковые ребра.

Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны l.

Мальчики смогут «без проблем» решить задачу, заметив, что проведенное сечение разбивает призму на две части и, если перенести одну из них параллельным переносом, совместив с основанием призмы, получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а высота равна l, то есть эта призма имеет тот же объем, что и исходная, поэтому объем равен Ql, а девочкам нужна дополнительная наглядность, они сразу не смогут представить такое решение в уме.

В ходе описанной выше работы учитель на уроках математики, учитывая все психофизиологические особенности учащихся, создает условия для лучшего усвоения материала, что помогает воспитать гармоничную, развитую в интеллектуальном и личностном плане, творчески и нестандартно мыслящую, владеющую необходимой суммой базовых знаний, умений и навыков, психологически и физически здоровую личность.

АКТИВИЗАЦИЯ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

СТУДЕНТОВ КОЛЛЕДЖА В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова Научный руководитель: Михалкина Е.А., к.п.н., доцент Проблема активизации познавательной деятельности обучающихся остается одной из актуальных образовательных задач. Переход современного образования на компетентностную основу предполагает создание в учебном процессе условий, в которых обучающийся может проявить познавательную активность.

Вместе с тем на общеобразовательную подготовку в учреждениях среднего профессионального образования учебными планами, разработанными в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами, отводится недостаточно времени. Очевидно, что без применения методов, способствующих активизации учебно-познавательной деятельности, улучшить качество знаний, повысить успеваемость и уровень активности студентов колледжа в процессе изучения математики сложно. Среди последних исследователи выделяют интерактивные методы. В большинстве источников приводится общее описание интерактивных методов активизации, но мало конкретных примеров методики применения их в какой-либо предметной области. Авторы рассматривают возможности и опыт внедрения таких методов в процессе изучения студентами колледжей специальных дисциплин. Однако до сих пор остаются малоизученными условия активизации учебно-познавательной деятельности студентов при обучении математике интерактивными методами в учреждениях СПО. Анализ психолого-педагогической литературы, собственный опыт позволили выделить с этой целью такие методы обучения, как активная учебная лекция, «жужжащие группы», составление интеллект-карты, информационный лабиринт (баскетметод) и дидактические игры.

Суть технологии интеллект-карты состоит в том, что в специальную форму записываются все идеи, которые ассоциируются с определенным понятием, причем каждая идея должна быть выражена одним словом или фразой на отдельной строке. Так, после рассмотрения нового учебного материала можно предложить студентам сначала в парах выделить основные понятия, формулы, необходимые для решения задачи, расположить их в порядке значимости, установить взаимосвязь между ними, постараться представить эти взаимосвязи в виде диаграммы, а затем обсудить всей группой полученные варианты и на доске или ватмане построить одну общую интеллект-карту. Например, при изучении темы «Физический и геометрический смысл производной» перед студентами необходимо поставить следующие вопросы: Перечислите, пожалуйста, основные понятия, которые вы узнали сегодня на занятии. Перечислите, пожалуйста, физические величины, рассматриваемые сегодня на занятии. В чем состоит физический смысл производной? Каким образом теперь можно установить связь между всеми этими объектами?

О ФОРМАХ РАБОТЫ С УЧАЩИМИСЯ НА ЗАНЯТИЯХ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ»

Красноярский государственный педагогический университет Научный руководитель: Шашкина М.Б., к.п.н., доцент Задачи с параметрами обладают развивающим характером, который, в свою очередь, определяется следующими факторами.

1. Разнообразие типов частных уравнений и неравенств требует владения соответствующими методами решения, использования значительного числа теоретических фактов. Этим обеспечивается постоянная актуализация знаний многих разделов математики, глубина их усвоения.

2. В процессе решения задач с параметрами одновременно проводится исследование конкретных типов частных уравнений, неравенств и поиск общего способа решения. Осознание каждого этапа в общей схеме решения вместе с предвосхищением итогового результата формируют исследовательские умения, востребованные во всех отраслях научных знаний [Горбачев 1998: 7], [Горнштейн 2003: 5].

3. Исследование графических изображений обеспечивает развитие у учащихся навыки работы с различными видами математических моделей, способствует более глубокому пониманию материала и метода моделирования.

Потребность развития учащихся в процессе обучения математике, наличие задач с параметрами в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ определяют важность содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе математики.

Но поскольку такая линия в школьном курсе математики «официально»

отсутствует, лишь в некоторых темах есть небольшое количество заданий с параметрами, мы предлагаем элективный курс «Методы решения задач с параметрами» для учащихся 11 класса. Данный курс позволит развивать активную творческую деятельность и системное мышление учащихся, подготовит к решению нестандартных задач, которые со временем перед школьниками поставит сама жизнь.

Курс рассчитан на 24 часа. Мы разбили его содержание на 7 учебных модулей.

1. Основные понятия задач с параметрами.

2. Аналитический метод решения задач с параметрами.

3. Функционально-графический метод решения задач с параметрами.

4. Метод замены переменной.

5. Метод изменения ролей переменных.

6. Метод от общего к частному и обратно.

7. Использование симметрии аналитических выражений.

Для стимуляции проявления активности, инициативы, самостоятельности, творчества, обеспечения развития критического и теоретического мышления, основных интеллектуальных умений – обобщения, систематизации, анализа, синтеза, дедукции и индукции – мы решили использовать на занятиях элективного курса нетрадиционные технологии и методы обучения.

Наибольшее внимание уделяем использованию технологии проблемного обучения, организации самостоятельной работы, коллективного способа обучения, кейс-технологии. Большое значение придаем применению таких методов, как эвристический, исследовательский, проблемное изложение.

Основными формами проведения занятий элективного курса являются лекции, семинары, дискуссии, практикумы по решению задач. Большое внимание уделяем следующим формам организации обучения: урок-наоборот (ученик в роли учителя), защита творческих работ, урок-конкурс, проблемная лаборатория.

На занятиях элективного курса применяются такие методы активного обучения, как лекция-провокация (с запланированными ошибками), анализ конкретных ситуаций. Также целесообразно использовать кейс в виде открытой дискуссии.

В качестве источников проблемных ситуаций можно использовать: составление текстовой задачи по заданному уравнению (неравенству) с параметром;

разрешение имеющихся противоречий в решении задачи с параметрами; установление причинно-следственных связей; разрешение задачи выявления достоинств и недостатков того или иного варианта решения уравнения (неравенства) с параметром; умышленно допущенные учителем ошибки; различные способы решения одной задачи.

Рассмотрим примеры создания проблемной ситуации через умышленное допущение учителем ошибки.

Пример 1. Учитель на доске записывает решение задачи: «При каких значениях параметра a уравнение 4 x (a 3)2 x 4a 4 0 имеет единственное решение?», следующим образом:

Тогда исходное уравнение будет равносильно уравнению Если D 0, то есть a 5, то уравнение (*) имеет единственный корень Возвращаемся к исходной переменной x : 2 x 4, x 2.

Далее можно разбить учащихся на группы по 4–5 человек и дать каждой группе задание: определить, сколько корней будет иметь исходное уравнение при a 1, a 0, a 2, a 3, a 1. Выясняется, что исходное уравнение имеет единственный корень не только при a 5. Возникает проблемная ситуация. Ученики ищут ошибку, решают проблему. После этого учащиеся очень внимательно следят за мыслью и решением учителя. Результат – внимательность и заинтересованность на уроке.

Пример 2. Дано задание: найдите все значения параметра a, при которых все корни уравнения x 2 2ax a 2 a 0 меньше 2. На слайде записано решение данного задания, которое комментирует учитель.

Так как в условии задания не сказано, являются ли корни различными, то D 0. По рисунку видно, что, для того чтобы корни x1 и x2 были меньше x0 2, нужно выполнить условие f ( x0 ) 0.

Итак, решение данного задания сводится к решению системы Далее, нужно дать задание: проверьте правильность ответа, подставив какое-нибудь значение параметра a из найденного промежутка. Выясняется, что ответ не верен. Опять возникает проблемная ситуация.

Рассмотрим пример создания проблемной ситуации, созданной с помощью различных способов решения одной задачи: «При каких значениях параметра a уравнение 7 9 x 2 3 x1 0,5a, имеет два различных действительных корня?».

Решение.

Пусть 3 x t. Тогда уравнение (**) равносильно системе:

Уравнение (**) имеет два различных действительных корня, если оба корa ня квадратного уравнения положительные. Т.к. корень t1 положителен при всех a, для которых 36 14a 0, то уравнение (**) имеет два различных действительных корня, если и другой корень t 2 будет положительным.

После рассмотрения данного способа (работа непосредственно с корнями) решения следует дать учащимся задание: предложите другие способы решения, основанного на знаниях свойств квадратного трехчлена (использование теоремы Виета, использование графической интерпретации того, что оба корня положительны).

Чтобы повысить заинтересованность, работоспособность, создать условия для проявления творческой активности учащихся, можно на уроке дать задание:

составить текстовую задачу по данному уравнению (неравенству) с параметром. Это один из возможных путей реализации эвристического метода.

Для ускорения процесса составления задачи, создания условий развития коммуникативных умений, умения отстаивать своё мнение, формирования своей точки зрения, можно привлечь учащихся к решению данного задания в группах и предложить каждой группе сделать презентацию составленной текстовой задачи. Также мы рекомендуем в качестве творческого задания на дом как можно чаще давать задания на составление текстовых задач по заданным уравнениям (неравенствам) с параметрами, что будет способствовать развитию креативного мышления у школьников.

Для развития познавательных навыков учащихся, умения самостоятельно конструировать свои знания, умения ориентироваться в информационном пространстве можно использовать метод проектов. Мы предлагаем следующие темы проектных заданий: «Метод декомпозиции при решении неравенств с параметрами», «Квадратный трехчлен и расположение его корней», «Параметр в системах уравнений», «Параметр в системах неравенств».

Большое внимание уделяем применению на уроках информационнокоммуникационных технологий. Так, например, при решении системы компьютере рассмотреть возможные случаи расположения графиков, что позволяет синтезировать решение задачи на основе использования вспомогательных чертежей (табл.).

Занятия элективного курса были апробированы во время двух педагогических практик. Тестирование и контрольные срезы показали, что учащиеся стали успешно овладевать не только предметными знаниями, умениями и способами деятельности, но также и надпредметными умениями:

исследовательскими, коммуникативными, информационно-аналитическими.

В настоящее время мы оформляем подробную поурочную разработку элективного курса с методическими рекомендациями для учителя.

Таблица 1. Возможные варианты расположения окружностей Количество решений Нет решений Единственное решение Более одного решения
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горбачев В.И. Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. – Брянск: Издательство БГПУ, 1998. – 264 с.

2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003. – 336 с.

ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ТВОРЧЕСКОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ СТАРШЕКЛАССНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова Научный руководитель: Тумашева О.В., к.п.н., доцент В процессе изучения геометрии происходит развитие логического и алгоритмического мышления учащихся, чувства точности и экономичности речи, способности четко выразить мысль, формулировать и обосновывать утверждения, что дает возможность воспитать конкурентоспособную личность.

Однако в последнее время в знаниях большинства учащихся наблюдаются неглубокое и неосознанное понимание геометрии, особенно это касается старших классов. Выпускники школ, зная теоретический материал, часто теряются при виде конкретных задач. Одной из причин обозначенной ситуации является неумение школьниками самостоятельно планировать и выполнять учебную деятельность по приобретению, преобразованию и анализу новых для себя знаний, и применению их в нестандартных ситуациях. Иными словами речь идет о проявлении школьниками творческой самостоятельности, для формирования которой в школьном курсе геометрии имеются потенциальные возможности.

Формированию творческой самостоятельности в процессе обучения геометрии могут способствовать правильно подобранные задачи и разнообразные приемы по обучению их решению. Безусловно, не каждая задача способствует формированию творческой самостоятельности школьников. На наш взгляд, этому в большей степени способствуют задачи с открытой формулировкой, в которых используются такие вопросы, как: исследуйте …; найдите связь …;

выясните, чем является …; может быть или нет … и т.д. Такая формулировка задач в определенных условиях способна натолкнуть учащихся на такой вид творческой деятельности, который предполагает выдвижение гипотез и их проверку.

Приведем примеры задач с открытой формулировкой:

Задача 1: Может или не может треугольная пирамида быть такой, у которой площади двух соседних граней равны между собой, а их периметры относятся как 1:4? Если не может быть, то почему? Если может быть, то изобразите какую-нибудь такую пирамиду [Потоскуев 2004: 163].

Задача 2. Какому условию должны удовлетворять радиусы трех шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную?

Задача 3. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны а и 0,5 а, апофема боковой грани равна а. Что можно найти посредством этих данных? Можно ли найти объем усеченной пирамиды? Если можно, то найдите, а если нет, то обоснуйте почему.

Значительную роль в формировании элементов творческой деятельности мы отдаем нахождению различных связей между задачами. Эти связи могут носить как процессуальный, так и содержательный характер. Причем данная деятельность предполагает дополнительную работу над задачами, которая включает сравнение, обобщение, нахождение частного случая, составление новых задач на основе данной, проведение аналогии или составления аналогичного утверждения и т.д. В ходе данной работы учащиеся приобщаются к творческому подходу к задачам, что предполагает больше возможностей для ее решения, также учатся самостоятельно получать новые геометрические факты и утверждения. Например, можно попросить учащихся сформулировать для треугольника задачу, аналогичную той, которая сформулирована ниже для тетраэдра, и решить полученную пару задач, сопоставив их решения.

Задача. На основании АВС треугольной пирамиды ОАВС взята точка М, и через нее проведены прямые, параллельные ребрам ОА, ОВ, ОС и пересекаюМА1 МВ1 МС щие боковые грани в точках А1, В1, С1.Докажите, что
ОА ОВ ОС
Нахождение указанных связей мы относим к такому виду деятельности, как анализ задачи или развитие задачи, где под развитием задачи понимается получение следующих результатов: новых задач, методов, выводов и т.д. Например, работа по анализу уже решенной задачи может включать поиск ответов на следующие вопросы:

1. Нельзя ли проверить результат?

2. Можно ли решить задачу другим способом?

3. Попробуйте составить обратную задачу.

4. Можно ли сформулировать аналогичную задачу из планиметрии? Если да, то сформулируйте и сопоставьте способы их решения.

5. Можно ли сформулировать более общую задачу?

6. Можно ли на основе данных задачи найти еще какие-нибудь элементы, то есть попробуйте изменить требование задачи и т.д.

Следует отметить, что проводить анализ или развитие задач необходимо как на обычных уроках, так и на специально созданных: урок решения одной задачи, урок решения одним методом, урок решения динамических задач.

Так как самостоятельное решение любой стереометрической задачи не возможно без оперирования пространственными фигурами, мы рекомендуем включать задачи целенаправленно направленные на развитие пространственного мышления. К таким задачам можно отнести:

- задачи на сопоставление, построение и использование различных видов изображений данного пространственного объекта (модели, развертки, чертежа, проекции и т.п.);

- задачи на определение взаимного расположения объектов и их элементов.

- задачи, содержанием которых является оперирование формой и величиной, пространственными отношениями, изменение положения объекта в пространстве [Грачева 2007: 32];

- задачи на формирование умения видеть на рисунке или предметной модели информацию об указанной фигуре, а также умение увидеть реальную ситуацию [Грачева 2007: 33];

- задачи, в которых требуется достроить фигуру или восстановить чертеж;

Таким образом, включение в обучение стереометрии правильно подобранных задач и целенаправленной работы с ними будет способствовать формированию элементов творческой самостоятельности, что в свою очередь способствует повышению качества математической подготовки старшеклассников, изменению их отношения к геометрическим знаниям, осознанию своих возможностей в этой области и преодолению страха перед задачами, предложенными в части С на ЕГЭ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Грачева Н.Ю. Геометрические задачи на формирование творческой деятельности учащихся V – VI классов [текст] / Н.Ю. Грачева // Математика в школе. – 2007. – 7. – С. 31-37.

2. Потоскуев Е.В. Задачник для 11 классов с углубленным и профильным изучением математики. – М.: Дрофа, 2004. – 240 с.

К ВОПРОСУ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ОБУЧЕНИИ ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКЕ
Красноярский государственный педагогический университет Век компьютерных технологий набирает обороты и уже, пожалуй, нет ни одной области человеческой деятельности, где она не нашла бы свое применение. Педагогические технологии не остались в стороне от всеобщего процесса компьютеризации. Использование информационных технологий в процессе обучения школьников математике ведет к повышению качества математического образования.

Сопровождение занятий имитационными моделями и интерактивными иллюстрациями значительно облегчает и углубляет проникновение в сущность математических понятий.

Средства компьютерного моделирования и мультимедиа позволяют эффективно стимулировать познавательный интерес к математике и максимально использовать потенциальные возможности визуального мышления учащегося.

Электронные учебно-методические комплексы, включающие обучающие и контролирующие программы, предоставляют прекрасные возможности организации эффективной самостоятельной работы учащихся. С их помощью можно организовывать факультативное изучение различных разделов математики в соответствии с пожеланиями и наклонностями учащегося.

Средства автоматической компьютерной диагностики позволяют осуществлять тотальный контроль знаний и умений учащихся на всех этапах учебного процесса, постоянно следить за их интеллектуальным развитием и при этом значительно экономить время преподавателя.

Обучающие программы в виде карт понятий, представляющих интерактивный массив информации, дают возможность наглядно работать с большим объемом данных и логическими связями между этими данными. Они могут послужить основой для построения новых траекторий учебного процесса, исключающих последовательное «линейное» усвоение материала и включающих многообразие межпредметных связей и междисциплинарных вопросов и проблем.

В целом комплекс современных информационных технологий и соответствующее программное обеспечение дают возможности преподавателю реализовывать индивидуальное обучение, а учащемуся – успешно заниматься самообразованием в соответствии со своими интересами и приоритетами.

Таким образом, вопрос об использовании информационных технологий в обучении школьников математике остается актуальным. Поиск эффективных методик обучения математике, проектирование, создание новых электронных дидактических средств и их внедрение в образовательный процесс являются одними из приоритетных задач, которые должен уметь решать современный учитель.

По теме «Показательная и логарифмическая функции» нами разработан электронный образовательный ресурс, который может быть использован в реальном учебном процессе на этапе объяснения, закрепления, контроля, повторения учебного материала.

Созданный нами ресурс состоит из двух частей: презентационной и практической. Презентационная часть ресурса представляет собой коллекцию мультимедийных презентаций, анимаций, графиков, сравнительных таблиц, опорных конспектов, справочников, исторических экскурсов и информации о приложениях математических знаний, соединенных логическими связями, иллюстрирующими выбранную тему. В практическую часть мы включили практикум по решению задач, лабораторные работы, тесты, вопросы для самоконтроля, список тем рефератов и творческих проектов.

Для эффективного внедрения электронного ресурса в образовательный процесс нами разработаны методические рекомендации. Подготовленный таким образом образовательный электронный ресурс полезен не только учителям при подготовке и проведении уроков, но и интересен учащимся в их самостоятельных исследованиях по теме.

К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ КОМПЕТЕНЦИИ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

НА ПРОФИЛЬНОМ УРОВНЕ
Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова Научный руководитель: Майнагашева Е.Б., к.п.н., доцент В последнее время понятие «компетентностный подход» получило особенно широкое распространение, что, безусловно, связано с постоянными дискуссиями о проблемах и путях модернизации образования. Обращение к понятиям «компетенция» и «компетентность» связано с необходимостью нахождения модели образования, в том числе и школьного, отвечающей запросам современного общества.

При изучении математики на профильном уровне использование компетентностного подхода предусматривает самостоятельное участие личности школьника в учебно-познавательном процессе.

Одной из значимых компетенций, формируемых в процессе школьного математического образования, является исследовательская компетенция, которая предполагает владение умениями и способами исследовательской деятельности на уровне технологии в целях поиска знаний для решения образовательных проблем [Попова 2009].

Анализ литературы позволил сделать вывод о том, что исследовательская компетенция имеет свою собственную сущность и методологическую специфику. Поэтому для того, чтобы знать, как формировать данную компетенцию, необходимо выявить ее составляющие компоненты, а также критерии сформированности указанной компетенции.

Мы придерживаемся позиции, согласно которой исследовательская компетенция учащегося – это совокупность знаний в области изучения, наличие исследовательских умений (видеть и решать проблемы образовательного процесса на основе выдвижения и обоснования гипотез, ставить цель и планировать деятельность, осуществлять сбор и анализ необходимой информации, выбирать наиболее оптимальные методы, выполнять педагогический эксперимент, представлять результаты исследования), наличие способности применять эти знания и умения в учебной деятельности [Маркова 2007].

Важнейшей дидактической предпосылкой формирования исследовательской компетенции учащихся в процессе обучения является наличие продуманной системы организации исследовательской деятельности учащихся.

На наш взгляд, эта система должна обеспечивать выполнение определенных условий: включение учащихся в исследовательскую среду, посредством разработки и реализации учебных исследовательских проектов; использование элементов проблемного обучения, создание учебных ситуаций, отличающихся противоречивостью, неполнотой информации с целью обучения учащихся работать с этой информацией, самостоятельно мыслить; использование элементов технологии обучения в сотрудничестве с целью создания диалогичных учебных ситуаций и выработки умений учащихся работать в команде [Маркова 2007:

41].

В качестве основного средства организации исследовательской работы мы рассматриваем систему исследовательских заданий.

Исследовательское задание – это предъявляемое учащимся задание, содержащее учебную проблему, для решения которой требуется проведение теоретического анализа, применение одного или нескольких методов научного исследования, с помощью которых учащиеся открывают ранее неизвестное для них знание [Гусев 2003].

Исследовательский процесс – это не только логико-мыслительное, но и чувственно-эмоциональное освоение знаний [Гусев 2003: 327].

Школьный курс математики профильного уровня имеет большие возможности для формирования и развития исследовательской компетенции учащихся.

Большую роль при этом играют задачи, решения которых позволят ученику не только получить новые знания, но и освоить основные методы исследования.

Такими задачами могут быть задачи, решаемые с использованием аналогии, индукции, в том числе математической, сравнения, конкретизации, обобщения и других исследовательских методов. Особое значение в решении таких задач имеет этап поиска способа решения.

Получение продуктивных результатов деятельности учащихся по поиску способа решения подобных задач требует от учащихся применения следующих действий (приемов) исследовательского характера: формирование и решение аналогичных задач; построение контрпримера; перевод задачи на язык алгебры;

введение вспомогательных неизвестных; применение индукции; формирование более общей задачи; рассмотрение предельного случая и др. [Маркова 2007:

41].

Овладение этими приемами, на наш взгляд, предполагает формирование исследовательских компетенций учащихся.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. – М.: ООО Издательский центр «Академия», 2003. – 432с.

Маркова В. Что такое исследовательская деятельность школьников / В. Маркова // Математика. – 2007. – №12. – С. 41-43.

Попова И.Г. Теоретический основы организации смыслопоискового обучения математике / И.Г. Попова // Электронный научный журнал «Вестник омского государственного педагогического университета». – 2008. – С.33-
ОБ ОЦЕНКЕ ДОСТИЖЕНИЙ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ

ПРИ ИЗУЧЕНИИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ
Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова Научный руководитель: Михалкина Е.А., к.п.н., доцент Современное российское образование переходит от действующих стандартов к стандартам нового поколения. Вследствие чего определились новые требования к качеству предметной подготовки школьников, в том числе при изучении математики. Так, результатом обучения учащихся, согласно Федеральному государственному образовательному стандарту общего образования, выступает набор компетенций. Особое место в данном документе отводится требованиям к системе оценки достижений учащимися планируемых результатов освоения основной образовательной программы среднего (полного) общего образования. Среди них:

закрепить основные направления и цели оценочной деятельности, ориентированной на управление качеством образования, описать объект и содержание оценки, критерии, процедуры и состав инструментария оценивания, формы представления результатов, условия и границы применения системы оценки;

обеспечить комплексный подход к оценке результатов освоения основной образовательной программы среднего (полного) общего образования, позволяющий вести оценку предметных, метапредметных и личностных результатов;

обеспечить оценку динамики индивидуальных достижений обучающихся в процессе освоения основной общеобразовательной программы среднего (полного) общего образования.

Таким образом, результат образования напрямую зависит от систематической диагностики уровня образовательных достижений обучающихся.

В настоящее время на страницах печати активно обсуждается вопрос о разработке методик диагностики и контроля формирования у обучаемых ряда компетенций. Очевидно, что традиционная система оценки не удовлетворяет требованиям ФГОС. Необходимо совершенствование измерений в оценке учебных достижений учащихся.

Ряд исследователей предлагает использовать тестовую технологию. Однако она включает высокую вероятность угадывания ответа.

Некоторые ученые предлагают ввести 10-бальную шкалу оценивания, разделенную на 4 блока: отсутствие знаний и умений; уровни знаний; уровни умений; уровни творческих способностей учащихся. Приведем примеры задач для данной шкалы при изучении темы «Случайные события и их вероятность» (Алгебра и начала анализа, 10 класс, профильный уровень).

Задачи на воспроизведение (уровень знаний):

1. Назовите алгоритм классической вероятностной схемы.

2. Что называют классическим определением вероятности?

3. Какие события называют невозможными? Какие события являются достоверными? Что такое противоположное событие?

Типовые задачи по одной теме (уровень умений):

1. Случайным образом выбирают двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что оно:

а) делится на 5;

б) делится на 13;

в) делится или на 15, или на 25;

г) не делится на 29.

2. Случайным образом выбирают нечетное двузначное натуральное число.

Найдите вероятность того, что:

а) его квадрат меньше 1000;

б) его квадрат больше 9000;

в) сумма квадратов его цифр больше 140;

г) сумма квадратов его цифр не больше 10.

Согласно мнению других педагогов, целесообразно использовать многокритериальную систему оценки, которая фиксирует не только усвоение учеником необходимых знаний, но и формирование общеучебных умений как основы познавательных компетенций.

Считаем, что введение технологии «портфолио» позволит учитывать результаты, которые достигли учащиеся в различных видах деятельности. Однако подобного рода разработки имеются для обучения иностранному языку, обществознанию и другим гуманитарным дисциплинам. Перевод этой технологии оценивания является существенной трудностью при изучении дисциплины математика. Здесь важно контролировать не только полученные знания и умения, но и формирующиеся компетенции на уроках, отслеживать рост учащихся в изучении дисциплины. Это помогает учителю увидеть у школьников возникающие трудности в освоении дисциплины, а также определить методы для дальнейшего их устранения.

В настоящее время мы разрабатываем методику использования технологию «портфолио» для оценки достижений учащихся при изучении стохастической линии. Так, например, при изучении темы «Правило умножения. Перестановки и факториалы» мы вовлекаем учащихся в творческий процесс – предлагаем им составить «собственные» задач, чтобы лучше усвоить тему. Для этого разбиваем все имеющиеся задания и упражнения на три блока по следующим уровням: воспроизведения, установления связей и рассуждений. Это важно для контроля роста достижений учащихся. Все задания ученик решает в удобное для него время. Наряду с этим в портфолио школьники могут вкладывать различного рода эссе, кроссворды, самостоятельно придуманные задачи и другие варианты творческих работ. Каждый учащийся по определенной «линейке роста» может отслеживать свои достижения. Самым высоким уровнем является третий – уровень рассуждений, который предполагает творческий подход обучаемого к решению задачи. Каждый блок заканчивается тестом и контрольной работой. Эту работу предваряет описание учителем критериев оценки, чтобы каждый учащийся смог самостоятельно увидеть свой результат.

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ВВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ НАТУРАЛЬНОГО ЛОГАРИФМА НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПОДХОДА
Красноярский государственный педагогический университет Научный руководитель: Журавлева Н.А., старший преподаватель При введении показательной функции в школьном курсе математики существуют логические пробелы, они связаны с нестрогим определением степени с иррациональным показателем, нестрогим доказательством свойств показательной и логарифмической функций. Эти пробелы можно ликвидировать с помощью интегрального исчисления.

Введение темы «Логарифмическая функция» можно построить с использованием интеграла с переменным верхним пределом сразу же после рассмотрения темы «Определенный интеграл и его приложения». Такой подход позволяет сохранить целостность всего курса алгебры и начал анализа и установить внутренние взаимосвязи между отдельными темами.

Приведем пример урока «Определение функции натурального логарифма, ее свойства и график» (2 часа), где используется данный подход.

Основная цель урока: формирование представлений о функции натурального логарифма, о ее графике и свойствах.

На первом этапе урока необходимо провести актуализацию тех сведений, которые необходимы для сознательного усвоения нового материала. К ним относятся свойства первообразной и определенного интеграла, свойство аддитивности площади, обращение к имеющемуся опыту решения задач по вычислению площадей криволинейных трапеций. Для актуализации вышеперечисленных знаний мы предлагаем следующие задачи:

1. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у х 2 1, осью абсцисс и прямыми х 1 и х 3.

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной одной волной синусоиды у sin х и осью абсцисс.

3. Найдите площадь криволинейных трапеций, ограниченных осью абсцисс, графиком гиперболы у, прямыми t 1 и t b, где b в каждом отдельt ном случае некоторое фиксированное число из интервала (0,).

На этапе мотивации совместно с учащимися формулируем учебную задачу о существовании площадей получившихся фигур в 3 задаче, их выражении через интеграл.

Далее в процессе диалога, в котором ведущая роль принадлежит учителю, выясняем, что площадь криволинейной трапеции можно вычислить с помощью определенного интеграла, но на данный момент учащиеся не знают первообразной для функции у. Поэтому для нахождения численного значения интеt грала мы пользуемся компьютерной программой Mathcad.

В ходе диалога устанавливаем, что каждому фиксированному х (0,) ставится в соответствие площадь криволинейной трапеции. Площадь, с другой стороны, равна значению интеграла. Затем делается вывод о том, что получено функциональное соответствие, т.е. можно считать функцией.

Подводя итог, учитель сообщает, что в математике эту функцию называют функцией натурального логарифма. В знаково-математическом представлении эта функция обозначается как ln x, т.е. " ln" – это сокращенное название функции натурального логарифма, переменная х, стоящая под знаком логарифма, является аргументом этой функции.

На этапе усвоения определения понятия учителем выделяются объекты, изучаемые в курсе алгебры: число и функция. На этом этапе учащиеся устанавливают связи введенного понятия с этими объектами; данные связи носят непроизвольный характер, поэтому мы проводим коррекционную работу с помощью следующих вопросов:

2. Почему можно считать функцией? Что является аргументом в данt ной функции? Каково геометрическое представление аргумента?

3. К объектам какого рода можно отнести значения натуральной логарифмической функции в некоторой точке х? Приведите примеры.

4. Какова геометрическая интерпретация натурального логарифма некоторого положительно числа х?

действительного переменного х. В процессе диалога, рассматривая случай, когда вторая прямая х = с проходит через точку с из (0;1), выясняется, что получившиеся фигуры имеют те же площади, что и фигуры, образованные осью абсцисс, графиком гиперболы у, прямыми х 1 и х т.д.) Используя свойство интеграла устанавливается, что С геометрической точки зрения, знак «минус» указывает на то, что фигуры лежат левее прямой х = 1. В случае х = 1 получается фигура нулевой площади.

Следующий этап – установление связей рассматриваемого понятия с раннее изученными понятиями. На этом этапе изучаются свойства функции натурального логарифма.

Совместно с учителем учащиеся доказывают теоремы о том, что функция у ln х непрерывна, возрастает, выпукла вверх, в ходе доказательства устанавливаются связи между непрерывностью и дифференцируемостью натуральной логарифмической функции, характером монотонности функции и знаком ее производной. Аналитически доказывается, что при a 0, x 0 ln ax ln a ln x, тем самым устанавливается взаимосвязь с понятием первообразной функции. В качестве домашнего задания учащимся предлагается доказать оставшиеся свойства, а именно:

2. Если x 0 и n – натуральное число, то ln x n n ln x;

Учитель сообщает, так как функция у ln х принимает по одному разу все действительные значения, то найдется такое число, что его натуральный логарифм равен 1. Это число было введено в математику Леонардом Эйлером и получило обозначение е. Далее учащиеся совместно с учителем знакомятся с этим числом, используя учебник.

После знакомства с числом е и свойствами функции натурального логарифма учащиеся совместно с учителем пытаются построить график этой функции.

На этапе закрепления нового материала учащимся предлагаются различные задания на нахождение производной, на построение графика функции.

На последнем этапе урока проводится рефлексия осуществленной на уроке деятельности. Рефлексивная деятельность учащихся организуется следующим образом: сначала учащимся необходимо ответить на вопросы:

1. Почему можно считать функцией? Что является аргументом в данt ной функции? Каково геометрическое представление аргумента?

2. К объектам какого рода можно отнести значения натуральной логарифмической функции в некоторой точке х? Приведите примеры.

3. Какова геометрическая интерпретация натурального логарифма некоторого положительно числа х?

4. Какими свойствами обладает натуральная логарифмическая функция.

Далее учащимся предлагается составить схему изучения темы «Функция натурального логарифма».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала анализа математического анализа. 11 класс: учебник для учащихся общеобразоват. учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2011. – 302 с.

2. Попова И.Г. Становление различных аспектов смысла понятия «Натуральная логарифмическая функция» // Вестник ТГПУ. – Выпуск 3 (54). –2006. – С. 32-36.

3. Элементарные трансцендентные функции: Методическая разработка / М.В. Елин. – Красноярск: КГПИ, 1993. – 28 с.

РАЗВИТИЕ СУБЪЕКТНОСТИ УЧАЩИХСЯ ЧЕРЕЗ ОБУЧЕНИЕ

МАТЕМАТИКЕ
Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова Научный руководитель: Тумашева О.В., к.п.н., доцент Современное общество ставит людей в новые социальные рамки. Жизнестойкость, сопротивляемость стрессовым воздействиям окружающей среды, активность во взаимодействии с реальностью – такими качествами должен обладать человек. Все это обеспечивается интегративной структурой личности, называемой субъектностью.

Субъектность должна иметь свое развитие в процессе изучения всех школьных дисциплин, в том числе и математических.

Анализ психологической литературы позволяет нам установить, что субъектность – это способность становления и развития личности, формирующаяся через усложнение видов, форм и качества человеческой активности. Личность – наивысшая инстанция человека, потому что она в конечном итоге, благодаря субъективной системе мировоззрения, ставит под контроль в определенной мере и такую способность человека, как субъектность.

Поэтому становление личности невозможно без развития субъектности человека.

По мнению И.А. Зимней, ученик как субъект педагогического процесса уникален и характеризуется такими качествами, как:

- стремлением к утверждению своей индивидуальности;

- самостоятельностью выбора;

- рефлексией;

- умением принимать решения и анализировать существующие;

- устойчивостью мотивов достижения.

Чтобы эти характеристики проявлялись в полной мере, необходимо создать на уроках математики следующие педагогические условия:

- диалог и полилог участников педагогического процесса;

- организация мыследеятельности учащихся через организацию смыслотворчества;

- свобода выбора;

- создание ситуации успеха;

- организация рефлексивной деятельности.

Технологией, которая могла бы реализовать данные условия в педагогическом процессе, является технология личностно ориентированного обучения.

Она нацелена в первую очередь на развитие личности. Но поскольку развитие личности невозможно без развития субъектности, то личностно ориентированное обучение создает все предпосылки для развития субъектности ученика.

Кроме того, личностно ориентированный урок в полной мере реализует педагогические условия, необходимые для развития ученика как полноправного субъекта педагогического процесса.

Личностно ориентированный подход можно применить во многих современных методах и технологиях, главное, чтобы центрирование процесса обучения должно быть на ученика.

Мы считаем, что наиболее прогрессивными образовательными системами в этом плане выступают технология дифференцированного обучения и метод проектов применительно к математике.

Отметим следующие моменты технологии дифференцированного обучения:

1. Деятельность учащихся на уроке организуется с учётом их индивидуальных способностей (актуализация субъектного опыта).

2. Увеличение времени на самостоятельную работу.

3. Каждый ребенок движется по своей траектории (свобода выбора пути).

4. Задания разного уровня сложности (многоуровневые задания).

5. Обучение самоконтролю, взаимоконтролю, работе в парах, умению добывать знания (осуществление полилога и диалога).

Остановимся подробнее на этапе актуализации субъектного опыта.

Данный этап обычно сопровождается устной работой. Для этого используются различные задания.

Пример 1: На доске прикреплены карточки с примерами и результаты этих примеров. Но результаты почему-то оказались перепутанными.

Пример 2: «Найди ошибку». На доске записаны равенства, примерно 5-6.

Предлагается отыскать ошибку в решении (ответе) этих заданий.

Можно класс разделить на две группы, и каждая из них будет работать со своими заданиями.

Такую важную задачу, как развитие субъектности, не может решать одна педагогическая технология. Желаемый эффект может быть достигнут при их чередовании. Так, например, дифференцированное обучение можно сочетать с проектной деятельностью учащихся.

Совместная деятельность учителя и учащихся при организации проектов включает в себя три основных этапа: мотивационный (мотивация исследовательской деятельности, постановка проблем), операционно-познавательный (сбор, систематизация и анализ фактического материала, выдвижение гипотез, проверка гипотез, доказательство или опровержение гипотез, подготовка к презентации полученных результатов), рефлексивно-оценочный (презентация, рефлексия).

Комплекс этих этапов и каждый по отдельности способны развивать в учащихся субъектную позицию, потому что на всех этапах организуется мыследеятельность, диалог и полилог учащихся. Конкретно на первом этапе учащимся предоставляется свобода выбора в определении проблемы, над которой они впоследствии будут работать. На третьем этапе происходит рефлексивная деятельность. Второй этап развивает такие качества, как целеустремленность, терпение, стремление к самоутверждению, что влияет на развитие личностных качеств ученика.

Таким образом, рассматриваемые нами педагогические технологии в комплексе отвечают условиям развития субъектности и в рамках личностно ориентированного обучения создают все предпосылки для ее развития на уроках математики.

ЗАДАЧИ В ПРОЦЕССЕ ФОРМИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ – БУДУЩИХ ИНЖЕНЕРОВ ПРИ

ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ
Сибирский государственный технологический университет Научный руководитель: Шкерина Л.В., д.п.н., профессор Эффективность профессиональной деятельности инженера зависит не только от приобретенных в вузе знаний и умений, но и от способности человека к самостоятельному поиску информации, ее анализу, применению усвоенных знаний в различных непредвиденных ситуациях.

Неотъемлемой частью деятельности человека является решение различных задач. В рамках деятельностного подхода решение задач является основным приемом усвоения математических знаний, а способы их решения – средством осуществления умственной деятельности.

Подробный анализ разных точек зрения на понятие задачи был проведен Ю.М. Колягиным. Ученый рассматривает «сложную систему – S – P – человек – задачная система, где под последней понимается некоторый объект, также представляющий систему» [Колягин 1977: 49], в которой при определенных условиях возникает задача. Исследователь отмечает, что наличие особого взаимодействия субъекта и объекта, ведущее к образованию некоторой системы, является наиболее характерным признаком понятия задачи, и выделяет ее основные компоненты: начальное состояние, конечное состояние, решение задачи, базис решения задачи. Мы разделяем точку зрения Ю.М. Колягина и будем понимать задачу как систему.

Ориентация на формирование исследовательской деятельности позволит подготовить не только грамотного, но и творческого специалиста, способного решать нестандартные задачи.

Исследовательская деятельность студента в образовательном процессе есть продуктивная деятельность, предполагающая наличие основных этапов, характерных для научного исследования, продуктом которой являются новые знания об исследуемом объекте и знания о методе исследования.

Большинство авторов придерживаются точки зрения, что исследовательская деятельность студентов может формироваться при использовании специального комплекса задач и заданий. Л.В. Шкерина отмечает: «… в процессе математической подготовки студент должен быть вовлечен в исследовательскую и творческую деятельность, то есть в предмет его учебно-познавательной деятельности необходимо включать учебные задачи исследовательского и творческого типа и вооружать студентов методами их решения» [Шкерина 1999: 45].

Исследовательская задача является основной единицей исследовательской деятельности, в которой мы выделяем семь этапов: организационномотивационный, постановки проблемы, сбора фактического материала, его систематизация и анализ, выдвижения гипотезы, проверочный, формулирования выводов, итоговый. Исследовательская задача – это задача, при решении которой реализуются этапы исследовательской деятельности.

Остановимся на каждом из этапов подробнее.

1. На организационно-мотивационном этапе определяются формы организации учебной деятельности, обозначается актуальность решения задачи, студент понимает необходимость решения задачи, происходит первичный анализ условия задачи.

2. На этапе постановки проблемы условие задачи анализируется, выявляются противоречия, формулируется проблема.

3. Этап сбора фактического материала, его систематизации и анализа сопровождается сбором информации, помогающей вникнуть в проблему, анализом собранной информации, ее сопоставлением и структурированием. По возможности происходит разбиение задачи на частные подзадачи, решение их известными способами.

4. На этапе выдвижения гипотезы анализируется вся имеющаяся информация и формулируется гипотеза.

5. Проверочный этап включает проверку гипотезы, решение задачи разными способами, выбор оптимального способа решения, уточнение гипотезы, при необходимости внесение корректив в решение.

6. На этапе формулирования выводов описывается алгоритм исследования, обобщаются полученные знания и способы их получения.

7. Итоговый этап – рефлексивный. Здесь происходит анализ своей деятельности, выявление важных для себя моментов в осуществленной деятельности, коллективное обсуждение результатов деятельности, фиксирование приобретенных умений, новых способов действий, определение перспектив использования результатов исследования и новых способов действия, оформление полученных результатов.

Pages: |
1
| 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 8 |

Главная >> Программы

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:
«Программа мероприятий 2-ой Уральской индустриальной биеннале современного искусства Дата Время Мероприятие Адрес Проект биеннале Условия входа Вход Параллельная Открытие выставки Подвиг по Екатеринбургский музей изобразительных 31.08 свободный программа плану, кураторы - Ирина Ризнычок искусств. 17. и Юлия Иванова. Адрес: г. Екатеринбург, ул. Вайнера, д. Лекция о современном искусстве и Уральский филиал ГЦСИ 15.00 Образовательная Вход – презентация структуры биеннале Адрес: г. Екатеринбург, ул....»

«Утвержден решением Совета директоров ОАО Татнефть от 27 мая 2005 г. Корпоративный социальный отчет ОАО Татнефть за 2004 год Альметьевск 2005 Содержание Введение 3 Раздел 1. Экономико-производственные показатели 5 Раздел 2. Структура и численность персонала 18 Раздел 3. Социально-демографическая структура персонала 25 Раздел 4. Оплата труда 30 Раздел 5. Социальная защита работников 35 Раздел 6. Создание безопасных условий труда, укрепление здоровья работников Раздел 7. Поддержка образования,...»

«ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА специальности 033200.00 Иностранный язык с дополнительной специальностью Квалификация выпускника: специалист (учитель английского и немецкого языков; учитель английского и французского языков; учитель французского и английского языков; учитель немецкого и английского языков) Введена в действие в 2000 г., приказ Минобразования РФ № 686. Нормативный срок освоения программы – 5 лет. Программа включает дисциплины федерального компонента, регионального компонента,...»

«УТВЕРЖДАЮ Ректор ФГБОУ ВПО ВятГУ В.Н.Пугач __20_г. М.П. Программа стратегического развития ВУЗа Наименование программы: Программа стратегического развития федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Вятский государственный университет на период 2012-2016 годы 1 Содержание Раздел 1. Миссия, стратегические цели и задачи вуза. Раздел 2. Общая характеристика структуры деятельности вуза, результаты анализа внешней и внутренней среды....»

«1 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по технологии разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования, Концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России, планируемых результатов начального общего образования на основе примерной программы по технологии и программы по технологии Роговцева Н.И., Анащенкова С.В. Технология: Рабочие программы: 1-4 классы (из сборника рабочих программ Школа России М.:...»

«Белорусский государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан химического факультета Белорусского государственного университета Д.В. Свиридов (дата утверждения) Регистрационный № УД-/уч. СОВРЕМЕННАЯ ПРИКЛАДНАЯ ЭЛЕКТРОХИМИЯ Учебная программа для специальности 1-31 05 01 Химия (по направлениям) Направления специальности: 1-31 05 01-01 научно-производственная деятельность Минск, 2011 г СОСТАВИТЕЛИ: Е.А. Стрельцов, заведующий кафедрой электрохимии Белорусского государственного университета, доктор...»

«Медицинская диагностика Организаторы: • Первый МГМУ • ФГУ Российский научный им. И.М. Сеченова центр радиологии и хирургических технологий • Московский государственный медико-стоматологический • ФГБУ медицинский университет радиологический научный центр Минздравсоцразвития • Министерство здравоохранения Московской области • Российское научное общество интервенционных радиологов • Общество специалистов и эндоваскулярных хирургов по лучевой диагностике • Российское научное общество • Московское...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уфимский государственный нефтяной технический университет УТВЕРЖДАЮ Ректор ГОУ ВПО УГНТУ Д.т.н., профессор А.М. Шаммазов 20_г. ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Направление подготовки 020700 Геология (указывается код и наименование направления подготовки) Профиль подготовки Геология и разведка полезных ископаемых...»

«ювосибирфсая государственная архитектурно-художественная академия \ глМузейшстории архитектуры Сибири им. С. Н. Баландина ут а в ^ ш ю г и и и этнографии Сибирского отделения Российской академии наук 'содедовдтельский институт теории и истории архитектуры и градостроительства ^ V Российской академии архитектуры и строительных наук ) ИНФОРМАЦИОННОЕ ПИСЬМО Всероссийская конференция IX научные чтения памяти С. Н. Баландина Историко-культурное наследие Сибири: сохранение и ревалоризация*....»

«2 Уважаемые господа! 2010 год стал рекордным как для ОАО Группа Илим в целом, так и для каждого из наших предприятий. Общие объемы производства компании превысили 2,5 млн тонн в год, а филиал ОАО Группа Илим в г. Коряжме выпустил более 1 млн тонн готовой продукции, установив тем самым абсолютный рекорд в истории целлюлозно-бумажной промышленности России и Европы. Филиалы в Братске и Усть-Илимске также произвели исторический максимум годовой продукции. 2010 год был выдающимся не только с точки...»

«Экономическая социология электронный журнал www.ecsoc.msses.ru Том 5. № 3. Май 2004 Главный редактор журнала – Радаев Вадим Валерьевич, д. э. н., зав. кафедрой экономической социологии ГУ–ВШЭ, первый проректор ГУ–ВШЭ; профессор Московской Высшей школы социальных и экономических наук. E-mail: [email protected] Ответственный редактор – Добрякова Мария Сергеевна, к. социол. н., директор публикационной программы Независимого института социальной политики, зам. директора Федерального образовательного...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОЛОГОДСКОЙ ОБЛАСТИ ВОЛОГОДСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ Утверждаю: Директор БОУ СПО ВО Вологодский политехнический техникум _/ М.В. Кирбитов / Приказ № от 20 г. ОСНОВНАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ – ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ КВАЛИФИЦИРОВАННЫХ РАБОЧИХ ПО ПРОФЕССИИ 110800. ТРАКТОРИСТ-МАШИНИСТ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ФАКУЛЬТЕТ ВЕТЕРИНАРНОЙ МЕДИЦИНЫ Кафедра микробиологии, вирусологии, эпизоотологии и ветеринарно-санитарной экспертизы УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе, доцент Декан факультета, профессор М.В. Постнова С.Н. Золотухин 15 сентября 2009 г. 15 сентября 2009 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ САНИТАРНАЯ МИКРОБИОЛОГИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ВЕТЕРИНАРНОЙ МЕДИЦИНЫ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ...»

«Безопасность в салоне красоты: обзор литературы и оценка существующей практики Открытый Институт Здоровья ФГУН НИИ дезинфектологии Роспотребнадзора Кафедра дезинфектологии МПФ ППО ММА им. И. М. Сеченова Безопасность в салоне красоты: обзор литературы и оценка существующей практики Авторы: Бобрик А. В., к.м.н., Открытый Институт Здоровья Федорова Л. С., д.м.н., ФГУН НИИ дезинфектологии Роспотребнадзора, кафедра дезинфектологии МПФ ППО ММА им. И. М. Сеченова Бобрик А. В., Федорова Л. С....»

«Аннотация рабочей программы дисциплины Отечественная история Направление 031900 Международные отношения Целью освоения учебной дисциплины Отечественная история - является формирование научного мировоззрения, способности понимать движущие силы и закономерности исторического процесса, место и роль своей страны в истории человечества и современного мира. В ходе изучения дисциплины студенты усваивают знания об основных исторических событиях, этапах эволюции российской государственности и ее...»

«АВТОБИОГРАФИЯ Мамаева Леонида Алексеевича Я, Мамаев Леонид Алексеевич родился 24 июля 1953 года в с. Тангуй Братского района Иркутской области. После окончания в 1970 г. средней школы № 1 села Илир Братского района поступил в Иркутский политехнический институт (ИПИ) на специальность Строительнодорожные машины, в 1973 году как лучший студент был направлен для завершения учебы в Ленинградский инженерно-строительный институт (ЛИСИ), который закончил в 1975 году. После годичной стажировки поступил...»

«Записи выполняются и используются в СО 1.004 СО 6.018 Предоставляется в СО 1.023. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова Факультет Природообустройство и лесное хозяйство СОГЛАСОВАНО: УТВЕРЖДАЮ: Декан факультета Проректор по учебной работе Ларионов С.В. Соловьев Д.А. 2013 г. 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА (МОДУЛЬНАЯ) дисциплины: Оценка реконструкции зданий и...»

«ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ХИМИИ Теория строения вещества Атом. Состав атомных ядер. Химический элемент. Постоянство состава вещества. Относительная атомная и относительная молекулярная масса. Закон сохранения массы, его значение в химии. Моль. Молярная масса. Число Авогадро. Изотопы. Учение о периодичности. Периодический закон и периодическая система элементов Д.И. Менделеева Периодический закон химических элементов Д.И. Менделеева. Распределение электронов в атомах элементов первых...»

«МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОГРАММА КУРСА ОТЕЧЕСТВЕННАЯ ИСТОРИЯ для студентов всех специальностей Учебная программа Тематический план Планы семинарских занятий Тематика курсовых работ Вопросы для подготовки к экзамену Москва 2007 Виноградов А. В. Программа курса Отечественная история. – М. : МГЭИ, 2007. – 64 с. Одобрено кафедрой философии и социальногуманитарных дисциплин. Протокол заседания кафедры от 15.05.2007 г. № 11. Для студентов Московского гуманитарно-экономического...»

«Дорогие друзья! Лето - это то время, когда чуть больше хочется путешествовать. Не отказывайте себе в этом приятном занятии! А для того чтобы любая поездка была идеальной мы подготовили свежий выпуск новостей от IBC Corporate Travel, которые непременно пригодятся в дороге. Short-новости IBC Corporate Travel В Москве появятся такси-велорикши Ранее на этом виде транспорта можно было прокатиться только по Тверскому бульвару и Тверской улице в качестве аттракциона. Теперь велорикши будут перевозить...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

МОЛОДЕЖЬ И НАУКА

XXI ВЕКА

К ВОПРОСУ ОПИСАНИЯ ПОДРЕШЕТОК РЕШЕТКИ ПОДПРОСТРАНСТВ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ОСНОВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

НАД ЧИСЛАМИ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ СУММ НЕКОТОРЫХ

ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

НЕРАЗРЕШИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СЦЕНАРИЙ ИГРЫ «ЛОТО» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 7-8 КЛАССОВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

class='zagtext'> ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ С УЧЕТОМ

ПСИХОФИЗИОЛОГИЧЕСКОГО ТИПА РЕБЕНКА

АКТИВИЗАЦИЯ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

СТУДЕНТОВ КОЛЛЕДЖА В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

О ФОРМАХ РАБОТЫ С УЧАЩИМИСЯ НА ЗАНЯТИЯХ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ТВОРЧЕСКОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ СТАРШЕКЛАССНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ

ОА ОВ ОС

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

К ВОПРОСУ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ОБУЧЕНИИ ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКЕ

К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ КОМПЕТЕНЦИИ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

НА ПРОФИЛЬНОМ УРОВНЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ОБ ОЦЕНКЕ ДОСТИЖЕНИЙ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ

ПРИ ИЗУЧЕНИИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ВВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ НАТУРАЛЬНОГО ЛОГАРИФМА НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПОДХОДА

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

РАЗВИТИЕ СУБЪЕКТНОСТИ УЧАЩИХСЯ ЧЕРЕЗ ОБУЧЕНИЕ

МАТЕМАТИКЕ

ЗАДАЧИ В ПРОЦЕССЕ ФОРМИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ – БУДУЩИХ ИНЖЕНЕРОВ ПРИ

ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)