«УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ Выпуск 21 СБОРНИК ТРУДОВ Июнь 2008 ISSN 1819-2467 Регистрационный номер Эл №ФС77-27285 от 22.02.2007 Москва – 2008 ИНТЕРНЕТ-сайт теории управления организационными системами ...»

Институт проблем управления

им. В.А. Трапезникова РАН

УПРАВЛЕНИЕ

БОЛЬШИМИ

СИСТЕМАМИ

Выпуск 21 СБОРНИК

ТРУДОВ

Июнь 2008

ISSN 1819-2467

Регистрационный номер Эл №ФС77-27285 от 22.02.2007

Москва – 2008 www.mtas.ru ИНТЕРНЕТ-сайт теории управления организационными системами Целью сайта является предоставление специалистам по теории и практике управления организационными системами (ученым, преподавателям, аспирантам, студентам, а также реальным управленцам) доступа к ресурсам, отражающим современное состояние теории и возможности обмена идеями и результатами.

На сайте имеются разделы:

Теория – с обзором теории управления организационными системами, глоссарием, информацией для аспирантов;

Практика – с обзором результатов внедрения механизмов управления в реальных организациях;

Библиография – около публикаций по теории управления, снабжена классификатором и аннотациями;

Электронная библиотека – более 600 полнотекстовых монографий, статей и учебных пособий;

а также многое другое.

На сайте работает форум, на котором можно обсудить вопросы, относящиеся к математике, экономике, управлению организациями, узнать новости теории управления и ознакомиться с планируемыми конференциями и семинарами.

НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ЦЕНТРЫ (НОЦ) –

НОВАЯ ФОРМА СЕТЕВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

НОЦ создаются на базе ВУЗов в целях объединения усилий и ресурсов ИПУ РАН и ВУЗов для:

• подготовки, переподготовки и повышения квалификации специалистов по теории и практике управления;

• проведения фундаментальных и прикладных научных исследований на основе грантов и договоров с заказчиками, федеральных и региональных научных программ и проектов;

• организации стажировок и обучения молодых ученых;

• проведения конкурсов по теории управления и приложениям;

• организации конференций и других научных мероприятий;

• осуществления издательской деятельности и т.д.

На сегодняшний день успешно функционируют:

• Волгоградский научно-образовательный центр проблем управления (на базе ВолГУ) • Воронежский научно-образовательный центр проблем управления (на базе ВГАСУ) • Казанский научно-образовательный центр проблем управления (на базе КГТУ) • Инновационный научно-образовательный центр (на базе МАИ) • Инновационный научно-образовательный центр (на базе МВТУ) • Липецкий научно-образовательный центр проблем управления (на базе ЛГТУ) • Самарский научно-образовательный центр проблем управления (на базе СГАУ) • Старооскольский научно-образовательный центр проблем управления (на базе СТИ).

• Тверской научно-образовательный центр проблем управления (на базе ТГТУ) • Удмуртский научно-образовательный центр проблем управления (на базе УдГУ) Сборник трудов «Управление большими системами» выпускается ИПУ РАН совместно с этими НОЦ.

Приглашаем к сотрудничеству!

glossary-ipu.ru Глоссарий - это комплексное введение в какую-либо тему. Он состоит из статей, в которых дается определение терминов и ссылки, по которым можно найти углубленное раскрытие темы.

Своими статьями в совокупности глоссарий описывает ту или иную область знаний, в данном случае - это проблемы теории управления и ее приложений.

Задача сайта glossary-ipu.ru и, в частности, глоссария - дать возможность специалистам в области проблем управления лучше и правильно понимать друг друга. Это не означает единообразия в понимании той или иной проблемы, но сама она и ее решение должно быть описано в терминах, одинаково понятых всеми заинтересованными специалистами.

Каждый автор или группа по интересам может претендовать на свое понимание того или иного термина. Поэтому соответствующий раздел статьи глоссария может иметь несколько определений, которые заносятся туда после определенной процедуры согласования, выполняемой модератором рубрики.

Просмотр статей глоссария доступен любому пользователю.

При желании Вы можете стать автором, предварительно пройдя регистрацию и получив разрешение модератора рубрики.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова

УПРАВЛЕНИЕ

БОЛЬШИМИ

СИСТЕМАМИ

СБОРНИК ТРУДОВ

ББК 32. Управление большими системами / Сборник трудов. Выпуск 21. М.:

ИПУ РАН, 2008. – 185 с.

Дата опубликования: 30.06.2008.

КООРДИНАЦИОННЫЙ СОВЕТ

Академики РАН: Васильев С.Н., Емельянов С.В., Коровин С.К., Федосов Е.А., Черноусько Ф.Л. Члены-корреспонденты РАН: Желтов С.Ю., Каляев И.А., Пархоменко П.П., Попков Ю.С. Д-ра. техн. наук

: Бутковский А.Г., Дорофеюк А.А., Кузнецов О.П., Кульба В.В., Кротов В.Ф., Лотоцкий В.А., Павлов Б.В., Поляк Б.Т., Рутковский В.Ю.

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

Главный редактор: Новиков Д.А. Ответственный секретарь: Губко М.В.

Алескеров Ф.Т. (ГУ ВШЭ), Артамонов Е.И. (ИПУ РАН), Афанасьев В.Н.

(МИЭМ), Бахтадзе Н.Н. (ИПУ РАН), Бурков В.Н. (ИПУ РАН), Вишневский В.М. (ИППИ РАН), Добровидов А.В. (ИПУ РАН), Заложнев А.Ю.

(ИПУ РАН), Земляков С.Д. (ИПУ РАН), Ириков В.А. (МФТИ), Калянов Г.Н.

(ИПУ РАН), Касаткин С.И. (ИПУ РАН), Каравай М.Ф. (ИПУ РАН), Кононенко А.Ф. (ВЦ РАН), Курдюков А.П. (ИПУ РАН), Лебедев В.Г. (ИПУ РАН), Лебедев В.Н. (ИПУ РАН), Мандель А.С. (ИПУ РАН), Нижегородцев Р.М.

(ИПУ РАН), Новосельцев В.Н. (ИПУ РАН), Орлов А.И. (МВТУ), Петрикевич Я.И. (ИПУ РАН), Рапопорт Л.Б. (ИПУ РАН), Рыков А.С. (МИСИС), Сидельников Ю.В. (МАИ), Совлуков А.С. (ИПУ РАН), Уткин В.А.

(ИПУ РАН), Хоботов Е.Н. (МВТУ), Чеботарев П.Ю. (ИПУ РАН), Чхартишвили А.Г. (ИПУ РАН), Щербаков П.С. (ИПУ РАН).

РЕГИОНАЛЬНЫЕ РЕДАКЦИОННЫЕ СОВЕТЫ

Волгоград – Воронин А.А. (ВолГУ), Лосев А.Г. (ВолГУ); Воронеж – Баркалов С.А. (ВГАСУ), Головинский П.А. (ВГАСУ), Подвальный С.Л. (ВГТУ);

Ижевск – Непейвода Н.Н. (УдмГУ), Родионов В.И. (УдмГУ); Иркутск – Бычков И.В., Лакеев А.В. (ИДСТУ СО РАН); Казань – Маликов А.И., Сиразетдинов Р.Т. (КГТУ-КАИ); Липецк – Кузнецов Л.А. (ЛГТУ), Погодаев А.К.

(ЛГТУ); Самара – Богатырев В.Д. (СГАУ), Засканов В.Г. (СГАУ); СанктПетербург – Петросян Л.А. (СПбГУ), Фрадков А.Л. (ИПМ РАН); Старый Оскол – Еременко Ю.И. (СТИ); Тверь – Кузнецов В.Н. (ТГТУ), Палюх Б.В.

(ТГТУ).

Адрес редакции: 117997, г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 65. Адрес в Интернет – ubs.mtas.ru.

C 2006 года сборник зарегистрирован как электронное научное издание (ЭНИ) за номером № 0420600023. Публикация в ЭНИ учитывается при защите диссертации при указании номера ЭНИ и идентификационного номера публикации, присваиваемых НТЦ «Информрегистр» (www.inforeg.ru).

СОДЕРЖАНИЕ

Тихонов С. В.

Методика перехода от IDEF0 к модели в терминах теории систем массового обслуживания при исследовании бизнес-процессов организации

Математическая теория управления Андриенко А. Я., Тропова Е. И.

Целочисленная оптимизация в задачах управления безопасностью объектов РКТ

Карташов В. Я., Новосельцева М. А.

Структурно-парметрическая идентификация линейных стохастических объектов с использованием непрерывных дробей

Губанов Д. А., Чхартишвили А. Г.

Информационные технологии в управлении Багдасарян А. Г.

Общая структура информационной экспертной системы моделирования и анализа сложных иерархических систем в контуре управления

Управление в социально-экономических системах Наливкин Д. В.

Использование последовательных методов МонтеКарло для оценивания рисков на финансовых рынках Кузнецов Л. А., Перевозчиков А. В.

Оценка кредитной истории физических лиц на основе нечетких моделей

Федеряков А. С.

Влияние фундаментальных трейдеров на процесс ценообразования на искусственном рынке ценных бумаг

Управление в медико-биологических Губко Г. В.

Золотова Т. В.

Игровая постановка задачи стимулирования производственных предприятий на разработку мер по Технические и программные средства управления Спесивцев А. В., Кимяев И. Т.

Информационная модель нечеткого логического регулятора с интеллектуализированной базой знаний

Программы и системы моделирования объектов, Баранов А. А., Денисов А. Р., Левин М. Г.

Подсистема имитационного моделирования работы производственных линий

МЕТОДИКА ПЕРЕХОДА ОТ IDEF0 К МОДЕЛИ

В ТЕРМИНАХ ТЕОРИИ СИСТЕМ МАССОВОГО

ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ

БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ ОРГАНИЗАЦИИ

(Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону) В работе предлагается методика построения модели бизнеспроцессов произвольной организации, сформулированной в терминах теории систем массового обслуживания (СМО) на основе их описания средствами функционального моделирования IDEF0. Методика основана на сужении интерпретаций исходных примитивов IDEF0 и однозначном сопоставлении им основных элементов СМО, что позволяет использовать ее безотносительно содержания рассматриваемых бизнеспроцессов.

Ключевые слова: бизнес-процессы, IDEF0, дискретнособытийное моделирование, СМО.

Введение С помощью моделирования различных областей деятельности можно достаточно эффективно анализировать «узкие места»

в управлении и оптимизировать общую схему бизнеса. Понятие «моделирование бизнес-процессов» пришло в быт большинства аналитиков одновременно с появлением на рынке сложных программных продуктов, предназначенных для комплексной автоматизации управления предприятием. Для решения подобных задач моделирования сложных систем существуют хорошо обкатанные методологии и стандарты, к которым относятся, в первую очередь, методологии семейства IDEF. С их помощью можно эффективно отображать и анализировать модели деяУправление большими системами. Выпуск тельности широкого спектра сложных систем в различных разрезах. Наибольшее распространение получила методология функционального моделирования IDEF0. Однако сам по себе IDEF0 недостаточен для построения модели, адекватной для предсказания поведения системы в ответ на управляющие воздействия и выработки предупреждающих и корректирующих мер, прежде всего, вследствие наличия логико-лингвистических противоречий в определении исходных примитивов (см., напр., [2]).

Для построения имитационной модели системы на основе ее описания с использованием методологии IDEF0 требуется, во-первых, адекватная целям моделирования интерпретация стандарта, во-вторых, набор правил, согласно которым исходным примитивам IDEF0 ставятся в соответствие основные понятия выбранного аппарата моделирования.

В данной работе предлагается методика перехода от описания системы в IDEF0 к дискретно-событийной модели с использованием аппарата систем массового обслуживания (СМО) для построения адекватной имитационной модели бизнеспроцессов.

Как уже было сказано, для формального описания бизнеспроцессов используется аппарат специального раздела теории вероятностей – теории систем массового обслуживания. Это класс математических моделей, используемых при анализе функционирования таких сложных систем, как автоматические телефонные станции, автоматизированные информационные системы, системы связи, диспетчерские службы, системы снабжения, поточные линии и т. д. Во всех этих случаях мы имеем дело с массовой обработкой некоторых объектов при учете влияния случайных факторов. Для повышения эффективности работы таких систем определяют их статистические характеристики, учитывающие наличие очередей, ожидание начала обслуживания, простои, среднее время нахождения в системе и др.

Все эти величины описываются случайными величинами и случайными процессами.

Рассматриваемые бизнес-процессы допускают весьма удобную и наглядную интерпретацию с точки зрения теории систем массового обслуживания и тесно связанной с ней теории входящего потока.

Основные понятия стандарта IDEF0 рассмотрены в [1, 3].

Рассмотрим основные этапы перехода от описания бизнеспроцессов, выполненного средствами IDEF0, к модели рассматриваемой системы, позволяющей трактовать ее в терминах теории СМО.

1. Сопоставление основных элементов модели в терминах СМО исходным примитивам IDEF Итак, необходимо выработать методику перехода от функционального описания системы, обеспечиваемого IDEF0, к событийному, лежащему в основе аппарата СМО, а также описать правила перехода от абстракций стандарта IDEF0 к основным понятиям, используемым при описании системы как СМО.

Изначально событийной интерпретации стандарт IDEF0 не предусматривает, поскольку на это ориентирован стандарт IDEF3 (см. [4]).

Однако, как показано в [2], путем упомянутого выше сужения интерпретаций его исходных примитивов можно получить достаточно простые правила, позволяющие определять моменты начала (а иногда и окончания) работ, пользуясь только аппаратом IDEF0. Впрочем, эти правила плохо подходят для перехода к модели в терминах СМО, делая ее слишком абстрактной и неудобной для последующей формализации. В данной работе используется другая методика, позволяющая однозначно поставить в соответствие исходным примитивам IDEF0 основные элементы модели СМО и тем самым легко переходить к ним от IDEF0-диаграмм безотносительно содержания последних.

Входы процессов рассматриваются в качестве поступающих заявок. Очевидно, что IDEF0-диаграммы отображают входы как классы объектов, в то время как входами для СМО являУправление большими системами. Выпуск ются конкретные экземпляры этих классов (это утверждение справедливо и для остальных элементов модели).

Выходы процессов рассматриваются в качестве исходящих потоков заявок.

В соответствии с понятием декомпозиции рассматривается иерархия заявок, соответствующая различным уровням детализации процессов на диаграммах IDEF0. В частности, контекстной диаграмме (определение см. в [3]) ставятся в соответствие заявки 0-го уровня, дочерним блокам контекстной диаграммы – заявки 1-го уровня и т. д. Тогда бизнес-процесс s-го уровня логично понимать как процесс обслуживания заявки s-го уровня.

Обслуженная заявка данного класса покидает систему, вместо нее в систему поступают (в качестве входного потока), вообще говоря, несколько заявок других классов (очевидно, возможна и обратная ситуация), поскольку число входов и выходов процесса может не совпадать.

Более сложным для интерпретации в рамках аппарата СМО является понятие «управление». В данной работе управления процесса рассматриваются также в качестве входящего потока событий, т. е. входящий поток событий «управления» является потоком поступления представителей классов управляющих воздействий, поскольку каждое такое событие изменяет состояние системы. Это позволяет учесть два важных момента: вопервых, требование обязательного наличия управления при осуществлении какого-либо процесса, во-вторых, возможность корректировки процесса в процессе моделирования.

Проиллюстрируем сказанное на примере схемы абстрактного бизнес-процесса. Рассмотрим модель процесса с N входами, K выходами и L управлениями:

Обозначим:

(1) {z in, i 1}n = – входящие потоки заявок, где zin – интервал времени между поступлением (i – 1)-ой и i-ой заявки входящего потока с номером n;

управление 1 управление 2 управление L

ПРОЦЕСС

Рис. 1. Пример схемы абстрактного процесса (2) {u ik, i 1}k = – исходящие потоки заявок, где uik – интервал времени между моментами ухода (i – 1)-ой и i-ой заявки исходящего потока с номером k;

(3) {wil, i 1}l = – потоки поступления управляющих воздействий, где wil – интервал времени между моментами поступления (i – 1)-го и iго управляющего воздействия типа l.

Для сопоставления входящих/исходящих потоков и соответствующих им управлений требуется дополнительная информация о структуре системы, нежели диаграмма процесса расУправление большими системами. Выпуск сматриваемого уровня. Ее источником, очевидно, являются диаграммы дочерних процессов (для удобства на рис. 2 диаграммы дочерних процессов наложены на диаграмму родительского процесса):

Рис. 2. Процесс с наложенными диаграммами В данном примере входящий поток, соответствующий входу 1, сопоставляется с исходящими потоками 1, 2 и K; входящий поток, соответствующий входу 2, сопоставляется с исходящими потоками 2 и K. Следует заметить, что сопоставление это может быть не прямым, т. е. через один дочерний процесс, а опосредованным, т. е. через несколько дочерних процессов, для которых выход одного из них будет входом или даже управляющим воздействием для другого.

Таким образом, каждому входящему потоку может соответствовать не один, а несколько исходящих потоков, как, впрочем, и наоборот.

Аналогичные рассуждения применимы и к потокам управляющих воздействий.

Указанное сопоставление удобно представить в виде матрицы M размера N + L K, элементы которой 1, входу / управлению i соответствует выход j (4) Рассмотрим теперь важнейший элемент СМО: время обслуживания заявок. Пусть входящая заявка в процессе обслуживания проходит ряд этапов (т. е. связана с исходящей заявкой опосредованно, через ряд дочерних процессов), и на вход каждого из них подается несколько внешних потоков заявок (от родительского процесса) и несколько – от других дочерних процессов (рис. 3).

Эти этапы образуют цепочку переходов входящей заявки типа i родительского процесса в заявки его дочерних процессов до ее выхода в качестве исходящей заявки типа j родительского процесса. Если цепочка раздваивается на каком-либо из этапов (что соответствует, например, нескольким альтернативным процедурам принятия решения), то будем рассматривать две цепочки, каждая из которых соответствует разным путям перехода заявок.

Управление большими системами. Выпуск вход N Введем обозначения:

t p – момент генерации исходящей заявки p-го дочернего процесса, входящего в цепочку, связывающую i-й вход родительского процесса и его j-й выход;

p – время генерации выхода вышеуказанного дочернего процесса в ответ на поступившие входы;

ts – момент поступления входящей заявки s-го потока;

s – время ожидания заявки s-го потока в очереди по причине занятости устройства Тогда очевидным будет соотношение где Rp – множество входящих потоков p-го дочернего процесса, являющихся исходящими потоками других дочерних процессов;

Sp – множество входящих потоков p-го дочернего процесса, являющихся внешними по отношению к родительскому процессу.

Тогда момент t j генерации выхода j родительского процесса в ответ на его вход i будет определяться соотношением или для каждой из цепочек дочерних процессов, соответствующих переходу i j.

Далее, поскольку для каждого из процессов, стоящих в цепочке ранее, также выполняется соотношение (9) = max{max{... max {t r + r, t s + S } + r + Здесь было сделано одно важное допущение, касающееся определения уровня детализации модели и учета моментов поступления входящих/исходящих заявок. А именно, генерация Управление большими системами. Выпуск выхода дочернего процесса начинается только после поступления всех входов, связанных с ним. Иначе говоря, ситуация ожидания на каком-либо из этапов внешней входящей заявки невозможна. Это позволяет не детализировать при рассмотрении процесса уровня s модель ниже уровня s – 1, рассматривая вместо этого величины ri дочерних процессов уровня s – 1.

Таким образом, детализация модели определяется тем уровнем, на котором указанным фактом можно пренебречь.

Следует сделать замечание по поводу управлений процесса:

несмотря на то, что управляющие воздействия, как и заявки, представлены входящими потоками событий, они имеют существенные отличия. Во-первых, время нахождения управляющего воздействия в системе равно нулю, поскольку оно оказывает влияние на переменные состояния системы и не требует никакой «обработки», поэтому, во-вторых, оно не участвуют в вычислении операционных характеристик системы как СМО.

Механизм осуществления процесса логично представить в виде устройства обслуживания, на которое поступают входящие заявки и управления.

Поскольку зачастую в организационных системах бизнеспроцессы одновременно обрабатывают несколько экземпляров входов (генерируют несколько экземпляров выходов), к примеру, отдел работает над несколькими проектами сразу, устройства обслуживания являются, вообще говоря, многоканальными.

Таким образом, получаем сеть СМО с неординарными (поскольку заявки могут поступать и группами), вообще говоря, произвольными входящими потоками. Обслуживание поступивших в блок требований осуществляется различными устройствами, допускающими очередь неограниченной длины. Поток обслуживаний в общем случае также является произвольным, поскольку величины ts и p случайны.

Полученная таким образом модель бизнес-процессов как СМО уже пригодна для проведения экспериментов и вычисления некоторых функциональных характеристик, связанных с наличием очередей, вынужденным ожиданием начала обслужиСистемный анализ вания, простоем приборов и т. п. C практической точки зрения она может быть полезна на этапе проектирования, позволяя оптимальным образом увязать во времени выполнение работ и процессов. В области управления бизнес-процессами чистая модель СМО полезна для оценки управленческих решений, изменяющих структуру системы.

Заключение Предложенная методика построения дискретно-событийной модели бизнес-процессов с использованием аппарата СМО на основе IDEF0 является достаточно универсальной и может применяться для моделирования бизнес-процессов любой организации. В рамках работы в данной области описанная методика применяется для имитационного моделирования основных бизнес-процессов инвестиционно-строительной организации, целью которого является разработка инструмента, служащего основой для выработки и оценки управленческих решений.

1. ВЕРНИКОВ Г. Обзор стандарта IDEF0. Интернет-ресурс:

www.idefinfo.ru.

2. РУБЦОВ С. Опыт использования стандарта IDEF0 // Открытые системы. 2003. №11.

3. Integration Definition for Function Modeling (IDEF0). Draft Federal Information. Processing Standards Publication 183.

1993, December 21.

4. Information Integration for Concurrent Engineering (IICE) IDEF3 Process Description Capture. Method Report. Knowledge Based Systems, Incorporated. 1995, September.

членом редакционной коллегии В.М. Вишневским Управление большими системами. Выпуск 21.

ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ЗАДАЧАХ

УПРАВЛЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТЬЮ ОБЪЕКТОВ РКТ

(Учреждение Российской академии наук им. В.А. Трапезникова РАН, Москва) Применительно к проблеме управления безопасностью объектов ракетно-космической техники (РКТ) в их жизненном цикле излагается метод целочисленной оптимизации управления обобщённым риском.

Ключевые слова: управление безопасностью, целочисленная оптимизация.

Введение Проблема управления безопасностью в жизненном цикле объектов РКТ [1] порождает ряд задач теории управления, явно отличающихся от известных своих аналогов в общей теории оптимальных систем. Эти отличия вытекают, во-первых, из высокой сложности объекта оптимизации, составляемого из многих (десятков, сотен и даже тысяч) разнородных управляемых компонентов, и, во-вторых, из специфики используемого здесь обобщенного критерия, учитывающего важнейшие характеристики объекта РКТ с приоритетом требований по безопасности.

В данной статье рассматривается одна из таких задач операционная задача [2] целочисленного управления по критерию, в котором непосредственно учитываются только требования по безопасности и экономичности исполнения этапа жизненного цикла объекта РКТ. Пояснения физического смысла отдельных формализмов проводятся на примере принятия проектнопроизводственных решений при разработке космической ракеты-носителя (КРН).

1. Постановка задачи Рассматривается технический объект РКТ (например, КРН), состоящий из J компонент (двигатели, баки, командные приборы и прочее), и подлежащий совершенствованию в результате выполнения планируемой операции А по повышению общей надёжности действия и экологичности системы (её безопасности Fбез) с возможно меньшими затратами Fзат.

Имеется банк данных о возможных мероприятиях по повышению безопасности Fбез – набор из S типов управляющих факторов usj (резервирование, испытания на аналого-цифровых комплексах (АЦК), огневые испытания и др.) j-го компонента объекта РКТ, s = 1, 2,…, S, принимающих целочисленные значения usj = 0, 1, …, k, … (без резервирования, одно-, …, kкратное резервирование; без испытаний, одно, …, k испытаний и т.д.). Считаются известными нормирующе-весовые коэффициенты cj (cj 0), j = 1, 2, …, J, с помощью которых показатели безопасности Fj, j = 1, 2,…, J, отдельных компонент объекта РКТ свёртывается в общий показатель а также зависимости безопасности Fj компонент от управляющих факторов usj:

(1) F j = W j msj lsj usj, j = 1,2,..., J, где msj, s = 1, 2,…, S положительные коэффициенты матрицы M = msj, характеризующие относительную эффективность проведения мероприятия s-го типа применительно к j-му компоненту объекта РКТ по сравнению с реализацией некоторого эталонного мероприятия; lsj, s = 1, 2,…, S элементы матрицы применимости L = lsj, принимающие два значения:

lsj = 0, если управление usj либо не может быть физически реализовано (например, испытание реального двигателя на АЦК), либо при реализации наносит существенный ущерб характеристикам объекта РКТ (например, резервирование основных Управление большими системами. Выпуск 21.

двигателей приводит к недопустимому снижению грузоподъёмности КРН);

lsj = 1 в противном случае.

Из физического содержания показателей безопасности Wj(xj), j = 1, 2, …, J, следует, что они должны быть возрастаюS но, неубывающими функциями от usj, s = 1, 2,…, S, j = 1, 2,…, J Полагаются известными стоимости psj > 0, s = 1, 2, …, S, j = 1, 2, …, J, реализации единицы каждого управления usj, на основе которых определяются затраты на реализацию операции А:

Общую эффективность операции А будем оценивать скалярным критерием R в виде отношения Fбез / Fзат показателей «позитивной» (безопасность) и «негативной» (затраты) составляющих жизненного риска объекта РКТ при линейных ограничениях (3) определяемыми теми ресурсами Us > 0, s = 1, 2, …, S (производственными мощностями и т.д.), которые выделяются на проведение операции.

Замечание 1. В отличие от обычных задач целочисленной оптимизации, когда условие типа (3) представляется неравенством, здесь в обеспечение приоритета требования по безопасности ограничение (3) задаётся строгим равенством, предусматривающим обязательную мобилизацию всех ресурсов для предельно возможного увеличения Fбез неубывающей, как уже отмечалось, функции от управления usj.

Задача состоит в том, чтобы определить матрицу управления U = usj с целочисленными неотрицательными элементами usj, максимизирующую критерий при выполнении ограничений (3) и при заданных матрицах M = msj, P = psj, с положительными элементами msj, psj и матрице применимости L = lsj, lsj = 0 или lsj = 1, не содержащей нулевых строк и столбцов.

Замечание 2. Очевидно, что не следует учитывать нулевых строк и столбцов матрицы L, так как такие строки и столбцы не оказывают влияния на риск R. Поэтому в постановку задачи и вводится соответствующее условие, предусматривающее отказ от рассмотрения «неуправляемых» компонент объекта РКТ и тех видов управления, которые неприменимы ни к одному компоненту.

2. Решение задачи Наиболее сильный результат при решении задачи (3), (4) излагается в данной статье применительно к важному для практических применений случаю psj = pj, msj = mj, s = 1, 2, …, S.

Решение задачи (3), (4) проводилось в два этапа. На первом этапе решается вспомогательная задача целочисленной оптимизации по критерию Fбез, представляющему собой сумму выпуклых нелинейных неотрицательных функций rj(xj) = cj Wj(xj), x j = msj lsj usj см. (1).

В частном случае s = 1, когда матрица управления U вырождается в строку (u1, u2, …, uJ ), известно решение вспомогательной задачи в виде критерия оптимальности Гросса [2]: необходимое и достаточное условие того, что вектор с неотрицательными компонентами u = (u1,u2,…,uJ ) максимизиJ Управление большими системами. Выпуск 21.

что Это условие можно переформулировать следующим образом:

Найдём условия оптимальности для более общего случая s > 1 и заданной матрицы применимости L, составленной из нулей и единиц.

Для этого определим следующие множества.

J * = {1,2,..., J } множество всех индексов столбцов матриц применимости и управления;

J ( j ) = J * / s : lsj = lsi = 1 множество индексов столбцов матрицы применимости, связанных со столбцом j через ненулевые элементы строк этой матрицы, т.е. если i J(j), то существует строка s, на пересечениях которой со столбцами i и j соответствующие элементы lsj и lsi матрицы L равны единице;

J * ( j ) = {i J ( j ) / s : usi > 0, lsj = lsi = 1} сужение множества J(j) на множество индексов столбцов J *(j) J(j), связанных со столбцом j через ненулевые элементы строк матрицы применимости и имеющие ненулевой элемент матрицы управления, т.е. если i J *(j), то существует строка s, такая, что lsi и lsj равны единице, и, кроме того, usi > 0, в силу чего возможно перераспределение одной единицы со столбца i на столбец j (новые значения usi, usj будут равны соответственно usi – 1, usj + 1) без измеJ I(j) множество таких индексов столбцов, что возможно перераспределение одной единицы с этих столбцов на столбец j, т.е.

для любого i I(j) существует такое множество N индексов {i1, i2, …, iN ), что in–1 J *(in); n = 2, 3, …, N; i1 = j; iN = i ; перераспределение единиц производится по «цепочке»: N – 1 раз передаётся одна единица с in на in–1 (n = N, N – 1, …, 2), в силу того, что in–1 J *(in );

I * ( j ) = {i J * / j I (i )} множество таких индексов столбцов, что возможно перераспределение одной единицы с j-го столбца на эти столбцы; данное множество является «обратным» множеству I(j).

Лемма. Необходимое и достаточное условие того, что матрица управлений U = usj размера S J с неотрицательными j-ом столбце с весами lsj (lsj = 0 или lsj = 1 элементы матрицы применимости L = lsj, не содержащей нулевых строк и столбJ где us > 0 целые числа, состоит в выполнении неравенства где множества J * и I(j) определены выше.

Доказательство. Достаточность. Пусть U = usj допустимое решение, т.е. решение, для которого выполняются заданные в условиях леммы ограничения и, кроме того, U удовлетворяет неравенству (5). Пусть = sj любое другое допустимое решение.

Покажем, что Управление большими системами. Выпуск 21.

Из выпуклости rj следует, что [rj (n+1) – rj (n)] невозрастающая функция на множестве целых чисел. Поэтому если n xj, то, по определению j а если 0 < n xj, т.е. usj > 0, множество I *(j) непусто, определено max, и из условия (6) следует (7) rj (n 1) rj (n) max.

Просуммируем неравенства (6) по всем n от xj до xj –1 при xj > xj и неравенства (7) по всем n от xj +1 до xj при xj > xj. Получаем Суммируя по всем j, получим на рассматриваемом множестве индексов J * индексов, для которых xj соответственно больше или меньше, чем xj. Ясно, что те индексы, для которых xj = xj, вообще можно не рассматривать.

Так как U допустимое решение, то его можно получить посредством перераспределения единиц в строках матрицы usj, при этом соответствующим образом изменится сумма передача единицы со столбцов множества I на столбцы множества I *.

Перераспределение единиц, осуществляемое при заданных матрицах L = lsj и U = usj размера S J, возможно только в направлении от j-го столбца из множества I(i) к i-му столбцу из множества I *(j), что следует из определения этих множеств. Поэтому любому j-му столбцу из множества I * можно поставить в соответствие некоторый i-ый столбец из I, причём iI *(j), jI(i), и наоборот, можно установить соответствие I I *.

Рассмотрим две последние суммы в неравенстве (8). Для каждой единицы из вим, с учётом вышеизложенного, взаимно-однозначное соответj x j ). Так как ствие с некоторой единицей из x в силу заданных ограничений, преобразуем рассматриваемые суммы к следующему виду:

суммы положительны. Следовательно что и требовалось доказать.

Необходимость. Пусть U – оптимальное решение задачи, – другое допустимое решение, такое, что для фиксированных, имеем x = x –1, x = x + 1, I( ), а xj = xj для остальных j. Пусть, кроме того, для, не выполняется равенство (5):

Так как rj выпуклые функции, то.

Кроме того, Управление большими системами. Выпуск 21.

Это выражение больше нуля на основании неравенства (9), что противоречит оптимальности решения U. Итак, лемму можно считать доказанной.

Переходя на втором этапе решения от рассмотрения вспоJ критерием R = Fбез / Fзат и условием msj = mj (s = 1,2,…,S), отметим следующее обстоятельство.

Если формально заменить в критерии R целочисленный аргумент usj на его непрерывный аналог vsj, то на основе соотношения может быть построена итерационная процедура определения оптимальной по критерию R матрицы V = vsj:

(10) j = 1, 2, …, J), то последовательность критериев R(1), R(2),… эквивалентна исходному критерию R в том смысле, что если существует V * = lim V (k) при k, то Опуская в (10) постоянный множитель 1/Fзат (V(k–1)) (не влияющий на результаты оптимизации), заменяя Fбез (V(k–1)) на Fбез (V) и возвращаясь к целочисленному аргументу U, получим итерационную последовательность решения исходной целочисленной задачи (s = 1, 2, …, S; j = 1, 2, …, J) определяется из решения вспомогательной задачи, а K – из условия u (k – 1) u (k).

Критерий R (k)(u) представляет собой сумму произведений линейно убывающих функций аргумента xj (j = 1, 2, …, J) на выпуклые функции того же аргумента. Поэтому на каждом шаге k итерации может быть использован унифицированный (по обоим этапам) алгоритм решения задачи (3), (4), построенный на основе представленной здесь леммы.

Заключение Отдельные фрагменты представленного в статье итерационного алгоритма целочисленной оптимизации вполне успешно использовались в прикладных работах ИПУ по автоматизированному целераспределению поражающих средств. Но поскольку концепция управления безопасностью объектов РКТ в их жизненном цикле носит преимущественно прогностический характер, то эффективность этой оптимизации в РКТ ещё предстоит оценивать – по мере практической реализации данной концепции.

1. АНДРИЕНКО А.Я., ИВАНОВ В.П., ПОРТНОВ-СОКОЛОВ Ю.П. Концепция управления безопасностью объектов РКТ в их жизненном цикле. / Труды Института проблем управления РАН. 1999, т. III. С. 14 – 38.

GROSS D. Fundamentals of Queueing Theory. Wiley, New Управление большими системами. Выпуск 21.

York, 1974. 253p.

членом редакционной коллегии В.Г. Заскановым

СТРУКТУРНО-ПАРМЕТРИЧЕСКАЯ

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ОБЪЕКТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ

Карташов В. Я., Новосельцева М. А.

(Кемеровский государственный университет, Кемерово) [email protected], [email protected] Предлагается метод структурно-параметрической идентификации линейного динамического объекта по измерениям случайных вход-выходных сигналов, основанный на теории непрерывных дробей. Метод включает в себя проверку стационарности вход-выходных процессов объекта, в случае необходимости их стационаризацию и получение дискретной модели стохастического объекта.

Ключевые слова: стохастический объект, стационарный и нестационарный случайный процесс, структурная функция, непрерывная дробь, стационаризация, структурнопараметрическая идентификация.

Введение Современный уровень развития производственных процессов и объектов предъявляет повышенные требования к точности и качеству цифровых систем управления. Для получения необходимых характеристик цифровых систем управления часто используют методы идентификации производственных объектов. Зачастую отсутствуют априорные сведения о таких объектах, а измеряемые входные и выходные переменные являются стохастическими нестационарными процессами. Поэтому в рамках современной теории управления продолжается разработка методов идентификации сложных динамических объектов.

Такая задача практически всегда возникает при проведении Управление большими системами. Выпуск прикладных исследований в науке и промышленности и ее отличительной особенностью является наличие случайных процессов на входе и выходе некоторой динамической системы.

В данной работе будет рассмотрен подход к структурнопараметрической идентификации линейных стохастических объектов в условиях отсутствия априорной информации об исследуемом объекте и его вход-выходных процессах.

1. Анализ вход-выходных случайных процессов В процессе идентификации динамических объектов источниками информации о них являются входные и выходные сигналы объекта. Поэтому корректность методов идентификации, а также интерпретация результатов анализа в значительной степени зависят от основных свойств анализируемых процессов. Эта проблема существенно усложняется при наличии стохастических стационарных и нестационарных процессов на входе и выходе объекта. Поэтому на начальном этапе идентификации необходимо оценить основные свойства анализируемых процессов. К их числу относится стационарность случайного процесса, которая на практике обычно понимается в широком смысле, что означает постоянство математического ожидания и зависимость корреляционной функции только от интервала между любыми двумя сечениями, но не от положения этих сечений на оси времени [1, 4].

Ретроспективные методы анализа стационарности данных измерений разрабатывали многие ученые [1-3, 6, 12, 13]. Значительная часть из них основана на корреляционной теории случайных процессов и не применима в нестационарных условиях, так как одним из основных требований корреляционной теории является постоянство среднего уровня случайного процесса.

Кроме того, визуальное изучение кривой корреляционной функции с целью анализа стационарности затрудняет процесс обработки данных измерений и не позволяет произвести его автоматизацию [2, 3].

Стоит отметить, что рассматриваемая задача должна решаться на этапе предварительной статистической обработки данных. В связи с этим трудно рассчитывать на наличие достаточно подробной априорной статистической информации на начальном этапе процесса идентификации. Представляется, что в таких условиях наиболее эффективными окажутся непараметрические методы, не требующие знания априорных сведений о процессе.

В качестве критерия стационарности случайного процесса будем использовать структурную функцию [14], предложенную А.Н. Колмогоровым:

где x(t) – некоторый случайный процесс. Очевидно, что функция всегда неотрицательна, четна и удовлетворяет условию C x ( 0 ) = 0. В отличие от корреляционной функции, всегда являющейся ограниченной, структурная функция может неограниченно возрастать при t. Рассмотрим частный случай, когда x(t) представляет собой стационарный случайный процесс с нулевым средним. Тогда структурная функция будет иметь вид Как видно из (2), структурная функция стационарного случайного процесса не зависит от текущего момента времени. На основании (2) можно утверждать, что структурная функция стационарного случайного процесса с течением времени стремится к установившемуся значению:

Практическое построение структурной функции более надежно по сравнению с корреляционной, поскольку на нее не влияют ошибки определения среднего значения процесса x(t).

Оно осуществляется по формуле Управление большими системами. Выпуск где N – число измерений процесса x(t).

Раздел теории случайных процессов, связанный с изучением случайных процессов на базе исследования структурных функций, носит название структурного анализа [14]. Структурный анализ случайных процессов в ряде случаев приводит к более устойчивым характеристикам по сравнению с корреляционными. Эффективность структурного анализа заключается в том, что параметры структурной функции обладают свойствами инвариантности относительно некоторых форм нестационарности, проявляющихся, например, при смещенности по математическому ожиданию, а также в случае квазистационарного характера случайного процесса.

Независимость оценки структурной функции от оценки среднего значения случайного процесса позволяет использовать ее для описания как стационарных, так и нестационарных процессов. Важными свойствами структурной функции, используемыми для анализа стационарности случайного процесса, являются следующие [8, 10]:

- структурная функция стационарного процесса ограничена и с течением времени выходит на установившееся значение;

- структурная функция нестационарного процесса с течением времени неограниченно возрастает.

Для обеспечения эффективной алгоритмической и программной реализации метода анализа стационарности и исключения визуального анализа кривых структурной функции возможно получение модели структурной функции сигнала в форме непрерывной дроби [8, 10]. Свойство стационарности случайного процесса отождествляется с устойчивостью полученной модели структурной функции в форме непрерывной дроби.

Для этого на основании значений структурной функции сигнала, полученных по формуле (4), расчетным путем определяется идентифицирующая матрица:

в которой (-1)-строка содержит значения единичной функции 1(t ), а (0)-строка – значения структурной функции входного сигнала C x ( k t ) в моменты времени {n t}0, t – шаг дискреN тизации, а элементы m ( n t ) последовательно определяются с помощью соотношения:

n = 0, 1, 2, … Вычисление элементов m ( n t ) продолжается до появления нулевой строки.

Элементы первого столбца матрицы (5) позволяют получить модель структурной функции сигнала:

Далее производится проверка устойчивости полученной модели (7) с помощью любого из известных критериев устойчивости. В случае устойчивости модели следует утверждать, что данный сигнал стационарен. В противном случае сигнал является нестационарным.

Поскольку потенциальной возможностью для определения причинно-следственных взаимосвязей стохастических процессов является понятие стационарности, на практике часто применяют Управление большими системами. Выпуск процедуру стационаризации нестационарных случайных процессов [2, 3]. Если данные измерений процесса x(t) нестационарны, их можно привести к стационарным с помощью взятия правых или левых разностей где – правая разность, – левая разность, d – порядок разности. Формулы (8) и (9) определяют процедуры стационаризации сигнала. Процедуры (8), (9) справедливы для часто встречающихся в системах автоматического управления нестационарных процессов, называемых процессами со стационарными приращениями d-ого порядка [2, 3].

Порядок взятия разностей d будем определять по поведению структурной функции процесса, то есть по устойчивости модели структурной функции. Если модель устойчива, следует прекратить процесс взятия разностей, так как стационаризация сигнала произведена.

2. Идентификация стохастического объекта Условия априорной неопределенности являются характерной чертой научных исследований и значительно затрудняют применение большого количества существующих методов идентификации [2, 3, 5, 11], в которых восстановление структуры модели является неочевидным процессом и приводит к процедуре перебора пробных моделей из множества общего класса. Это становится причиной актуальности задач структурнопараметрической (SP-) идентификации.

Линейный (линеаризованный) динамический объект описывается математической моделью в форме интеграла-свертки (интеграла Дюамеля) [5]:

где h(t) – весовая функция, x(t ) – входной стационарный случайный процесс, y (t ) – выходной стационарный случайный процесс. Известно соотношение, устанавливающее связь между взаимной корреляционной функцией входного и выходного сигналов и корреляционной функцией входного сигнала (уравнение Винера-Хопфа) [5]:

Применив преобразование Лапласа к соотношению (11), получим где – преобразование Лапласа взаимной корреляционной функции входного и выходного сигналов;

– преобразование Лапласа корреляционной функции входного сигнала.

Формула (12) приводит к математической модели стохастического объекта в форме непрерывной передаточной функции (НПФ), являющейся дробно-рациональной функцией от переменной s преобразования Лапласа:

где m, n – целые положительные числа, причем m n.

Найдя оценки несобственных интегралов (13) и (14) в виде интегральных сумм, можно оценить дискретную передаточную функцию (ДПФ) стохастического объекта:

Управление большими системами. Выпуск где z – переменная z-преобразования z = e s t, z 1 - оператор обратного сдвига.

Модель ДПФ стохастического объекта в форме дробнорационального выражения имеет вид [5]:

где Pm ( z ), Qn ( z ) – полиномы от комплексной переменной z-преобразования, m, n – целые положительные числа – порядки этих полиномов.

Известно также другое определение ДПФ в виде где X (z), Y (z) – z-преобразование числовых последовательностей значений случайного входного {x ( n t} =0 и случайного сдвига.

Благодаря операторным свойствам z-преобразования z y ( nt ) = y (( n k ) t ) дискретную модель линейного объекта можно представить как в форме стохастического разностного уравнения относящегося к классу процессов авторегрессии со скользящим средним, так и в форме детерминированного разностного уравнения Для решения задачи SP-идентификации стохастического объекта используем теорию непрерывных дробей [7] и модифицированный алгоритм В. Висковатова [7, 10].

Будем считать, что Rxy ( 0 ) 0 и Rxx ( 0 ) 0. Будем определять идентифицирующую матрицу:

в которой (–1)-строка и (0)-строка содержат значения корреляционной функции входного сигнала Rxx ( k t ) и взаимной корреляционной функции входного и выходного сигналов Rxy ( k t ) в моменты времени {n t}0 и они являются начальными услоN виями при построении матрицы, а элементы m ( m t ) последовательно определяются с помощью соотношения:

n = 0, 1, 2,... Тогда элементы первого столбца матрицы (21) порождают частные числители правильной C-дроби [7], что и позволяет получить ДПФ объекта:

Управление большими системами. Выпуск В модифицированном алгоритме В. Висковатова при аппроксимации дробно-рациональной функции конечного порядка в матрице (21) наблюдается появление нулевой строки, номер которой позволяет идентифицировать порядок функции.

Если в некоторой i-ой строке (i = 0, 1, 2,...) матрицы (21) конечное число ki первых элементов равны 0, а последующие элементы отличны от нуля, то необходимо осуществить сдвиг влево на k i элементов до появления в нулевом столбце ненулевого элемента и далее продолжить определение других элементов матрицы (21) по правилу (22). Для i-ой строки при восстановлении правильной C-дроби (23) элемент i (0) умножается на Объект идентификации имеет НПФ (24) G ( s ) =.

На вход объекта подается случайный сигнал, дискретная модель которого имеет вид:

(25) x(k ) = 2 a(k ) + 0.36788 x(k 1), где a(k ) - белый шум с математическим ожиданием M a = 0 и дисперсией Da = 1. На выходе имеется случайный сигнал На основании дискретных моделей (25), (26) моделировались реализации x ( k t ) и y ( k t ) с шагом дискретизации t = 1 объемом N =100.

Построим структурные функции процессов x(t ) и y (t ) по формуле (4) и применим модифицированный алгоритм В. Висковатова для аппроксимации непрерывными дробями их моделей. Определим матрицу (5) для C х ( k t ) в которой 2-ую строку можно считать нулевой. На основании элементов первого столбца матрицы аппроксимируем непрерывной дробью модель структурной функции входного сигнала Модель имеет один полюс z п = 0.32913, на основании значения которого можно сделать вывод об ее устойчивости и, следовательно, о стационарности входного сигнала.

Аналогичным образом определим матрицу вида (5) для 0.33992 0.28307 0.24972...

в которой 2-ую строку можно считать близкой к нулевой (при расчете элементов следующей строки их значения резко возрастают). Тогда модель структурной функции выходного сигнала имеет вид Так как полюс модели лежит вне единичной окружности, можно сделать вывод о ее неустойчивости. Следовательно, выходной сигнал нестационарен. Применим процедуру стационаризации Управление большими системами. Выпуск после чего вновь вычислим структурную функцию выходного сигнала. Матрица (5) будет иметь вид 2.52426 3.46965 3.87024 3.88968 3.90000...

Модель имеет вид z п = 0.37453, следовательно, сигнал стационарен.

Далее вычисляем статистические характеристики: корреляционную функцию входного сигнала Rxx ( k ) и взаимную корреляционную функцию вход-выходного сигналов Rxy ( k ) [5].

Применяем модифицированный алгоритм В. Висковатова для получения модели стохастического объекта. Идентифицирующая матрица имеет вид:

4.62763 1.39002 0.25001 0.20262 0.17472...

2.92955 0.87866 0.15804 0.12808 0.11044...

Тогда ДПФ преобразователя разностей позволяет записать разностное уравнение:

(28) y м ( k ) = 0.63306 x ( k ).

Для получения ДПФ объекта применим процедуру взятия обратных разностей. Получим модель выходного процесса Тогда ДПФ объекта примет вид:

ДПФ имеет полюс z п = 1, который, согласно соотношению s = ln z + i arg z [9], соответствует полюсу НПФ s п = 0, совпадающему с полюсом истинной НПФ (24).

Модель стохастического объекта (24) восстановлена достоверно. Произведя сравнение модели (29) с истинной моделью выходного процесса (26), можно сделать вывод о том, что структура модели восстановлена верно, а ее параметры определены с относительной погрешностью 0.15%.

При решении практических задач часто встречаются объекты, обладающие свойством неминимально-фазовости [5]. Например, объект идентификации – аппарат каталитической конверсии метана. Процесс расхода кислорода описывается функцией где, T1, T2 – постоянные времени, k – коэффициент передачи.

На вход объекта поступает стационарный случайный сигнал с корреляционной функцией Rxx (t ) = e t. Первоначальная подача кислорода понижает температуру в зоне катализа, так как подаваемый кислород имеет сравнительно низкую температуру, и происходит отбор тепла, поэтому объект на начальном этапе приобретает свойства неминимально-фазовости. Передаточная функция объектов с неминимально-фазовой характеристикой имеет вид:

Наличие данного свойства значительно затрудняет решение задачи SP-идентификации. Проверим работоспособность модифицированного метода В. Висковатова на объектах, обладающих свойством неминимально-фазовости.

Управление большими системами. Выпуск Пусть k = 1, = 2, T1 = 3, T2 = 1. Тогда взаимная корреляционная функция входного и выходного сигналов будет иметь вид где C1 = C2 = Для шага дискретизации t = 0.5 матрица (21) имеет вид:

С учетом того, что в нулевой строке осуществлен сдвиг влево на один элемент, обусловленный начальным значением Rx y (0) = 0, получаем конечную правильную С-дробь:

Тогда ДПФ G(z) идентифицируемого объекта равна Дискретная математическая модель взаимной корреляционной функции входного и выходного сигналов имеет вид:

а дискретная математическая модель объекта восстанавливается конечно-разностным уравнением:

(36) Сравнение значений экспериментальной взаимной корреляционной функции вход-выходного сигналов Rx y ( k t ) (33) и модельных значений Rx y ( k t ), рассчитанных с помощью (35), позволяет сделать вывод о достоверном восстановлении дискретной модели объекта (максимальная относительная погрешМ ность восстановления Rx y ( k t ) составляет 0,007%).

Объект идентификации имеет передаточную функцию Входной сигнал объекта задается разностным уравнением:

где a(k ) – белый шум с математическим ожиданием M a = 0 и дисперсией Da = 1, а на выходе имеется случайный сигнал, дискретная математическая модель которого имеет вид:

(39) y ( k ) = 0.22119 x ( k 1) + 0,7788 y ( k 1).

На основании дискретных моделей вход-выходных сигналов моделировались реализации x ( k t ) и y ( k t ) объемом N = 100 с шагом дискретизации t = 1.

1.1044 2.34975 3.63344 5.13773 6.8239 8.44232..., 1.12763 2.28997 3.65207 5.17885.64428 в которой 2-ая строка близка к нулевой. Запишем модель структурной функции C x ( k t ) Управление большими системами. Выпуск Так как z п = 1.12763 лежит вне единичной окружности, модель неустойчива и, следовательно, входной сигнал нестационарен.

Применим процедуру стационаризации после которой вновь вычислим структурную функцию входного сигнала и запишем матрицу (5) 0.0048 0.00976 0.01463 0.02439 0.02439 Модель структурной функции имеет вид (41) Gx ( z ) = 2.05 z и является устойчивой, а входной сигнал является стационарным.

Матрица (5) для C y ( k t ) будет иметь вид -1.69231 -4.44872 -1.69231 -10.5674 -13.6148 -16.9487.

Тогда модель структурной функции выходного сигнала имеет вид Нули и полюса объекта принимают значения:

z1,2 = 1.76836 ± i1.17272, z1 = 20.62816, z2,3 = 9.39188 ± i17.42898.

Модель (42) неустойчива, поэтому применим процедуру стационаризации сигнала после чего вновь вычислим структурную функцию выходного сигнала. Матрица (5) имеет следующий вид:

а модель структурной функции выходного сигнала:

Модель устойчива, поэтому выходной сигнал стационарен.

Применяем модифицированный алгоритм В. Висковатова для получения дискретной модели объекта. Расчетным путем определяется идентифицирующая матрица (21). Так как Rxy ( 0 ) = 0.02851 0, т.е. близко к нулю, в нулевой строке необходимо сделать сдвиг влево на один элемент. Тогда идентифицирующая матрица примет вид ДПФ преобразователя разностей имеет вид Запишем дискретную модель в разностях (44) y м ( k ) = 0.24211 x ( k 1) + 0.77436y м ( k 1).

получим дискретную модель на выходе апериодического звена Управление большими системами. Выпуск и ДПФ ДПФ имеет полюс zп = 0.77436, который, согласно соотношению s = ln z + i arg z [9], соответствует полюсу НПФ sп = 0.25572. Относительная погрешность определения полюса составила 2%. Кроме того, дискретная модель в разностях (44) совпадает с истинной моделью (39) по структуре и по параметрам с точностью до погрешности вычислений.

Объект идентификации имеет НПФ с полюсами s1, 2 = –0,25 ± i 0.43301. На вход объекта подается сигнал, заданный разностным уравнением где a(k ) – белый шум с математическим ожиданием M a = 0 и дисперсией Da = 1, а на выходе имеется процесс, дискретная модель которого имеет вид (47) На основании (46) и (47) моделировались реализации x ( k t ) и y ( k t ) объемом N = 500 с шагом дискретизации Проверим стационарность вход-выходных процессов с помощью структурных функций. Вычислим значения структурных функций C x ( k t ) и C y ( k t ) по формуле (4). Идентифицирующая матрица для C x ( k t ) принимает вид:

4-ую строку матрицы можно считать нулевой. На основании элементов первого столбца матрицы можно записать модель структурной функции входного сигнала z1 = 0.3619 и z2 = 0.31962, на основании значений которых можно сделать вывод о стационарности входного сигнала.

Определим матрицу для C y ( k t ) 1.91538 1.47502 0.75888 0.47860 0. 1.62738 2.14525 2.07881 1.50900 1.06914 1.09023 0.50729 0.53105 0.40709 0. а затем модель структурной функции выходного сигнала Управление большими системами. Выпуск ДПФ имеет 2 нуля – z1 = 1.49187 и z2 = 0.18444 ; 3 полюса – z1 = 0.64805 и z2,3 = 0.44355 ± i 0.74806, на основании которых можно сделать вывод о стационарности выходного сигнала.

Применяем модифицированный алгоритм В.Висковатова для получения дискретной модели объекта. Расчетным путем определяется идентифицирующая матрица (21). Так как Rxy ( 0 ) = 0.00116, т.е. близко к нулю, в нулевой строке необходимо сделать сдвиг влево на один элемент. Тогда идентифицирующая матрица примет вид 2.11794 3.34389 4.06606 4.33445 4. На основании элементов первого столбца матрицы запишем ДПФ идентифицируемого объекта ДПФ имеет нуль z н Var (, t ) = N корр / N, где N – общее количество интервалов, для которых был вычислен Value-at-Risk; Nкорр – количество интервалов расчета Valueat-Risk, в которых максимальное падение цены было больше рассчитанного значения; и t –заданный уровень доверия и временной горизонт соответственно. Чем меньше набл отклоняется от заданного уровня доверия, тем адекватнее оценка рисков. В экспериментах были использованы следующие параметры: количество частиц P = 2000, количество промежуточных шагов R = 4, размер выборки для идентификации параметров Управление в социально-экономических системах N = 7, размер выборки для линейного интерполирования параметров C = 7.

Таблица 1. Результаты исторического тестирования для котировок акций РАО ЕЭС за 2006-2007 гг.

Таблица 2. Результаты исторического тестирования для котировок акций АО ГАЗПРОМ за 2006-2007 гг.

Следует сказать несколько слов о погрешностях вышеприведенных цифр. Объем выборки значений цен для вышеизложенного исторического тестирования составил во всех случаях 497 значений. В случае последовательных методов Монте-Карло моделирование производится последовательно во времени с количеством шагов, по времени равным размеру выборки (в данном случае 497), причем на каждом шаге P раз производится выборка из приближаемого распределения, где P – это количество "частиц" в алгоритме, в данном случае 2000. Соответственно, общее количество испытаний метода Монте-Карло можно Управление большими системами. Выпуск оценить в 497 2000 ~ 106, что дает погрешность вышеприведенных цифр порядка 0,001. С другой стороны, погрешность можно оценить по приближенным формулам специально для метода "частичного фильтра" [4]. Эти формулы для данного случая дают величину порядка 2/2000=0,001, что сходится с первой оценкой. Эти значения меньше, чем погрешность, связанная с размером выборки для тестирования и составляющая ±1/497 ~ ±0,002, соответственно, именно это число (0,002) можно считать погрешностью вышеприведенных оценок набл.

Как видно по данным, приведенным в таблице 1 и таблице 2, разработанный подход дает весьма точную оценку значений Value-at-Risk для различных акций, причем для уровня доверия 0,95 значения критерия набл гораздо меньше расходится от точного, чем в работах по оценке рисков широко известными ковариационными методами и методами исторического моделирования [2]. При этом точность оценки сохраняется не только в однодневных, но и в более длительных временных горизонтах, что является доказательством высокой адекватности разработанной модели и возможности применения ее для оценивания рисков на финансовых рынках.

1. БУХБИНДЕР Г. Л., ЧИСТИЛИН К. М. Эмпирическая модель стохастической волатильности финансовых флуктуаций / VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию: Сборник тезисов. Кемерово, 2005. С. 64-65.

2. ЛОБАНОВ А., ПОРОХ А. Анализ применимости различных моделей расчета Value-at-Risk на российском рынке акций // Рынок ценных бумаг. – 2001. – №2. – С. 65-70.

3. ШИРЯЕВ А. Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 2-е изд., 2004 – C. 291-292.

4. CRISAN D., DEL MORAL P., LYONS T. Non-linear filtering using branching and interacting particle systems // Markov Processes Related Fields, Vol. 5, No. 3, 1999. P. 293-319.

Управление в социально-экономических системах 5. GORDON N. D., SALMOND SMITH A. F. M. Novel approach to nonlinear/non-Gaussian Bayesian state estimation. // IEEE Proceedings, F-140, 1993. P. 107-113.

6. KARATZAS I., SHREVE S. Brownian motion and stochastic calculus, Springer Verlag, New York, 1991, Second Edition.

P. 358-359.

7. PITT M., SHEPHARD N. Filtering via simulation: auxiliary particle filter // Journal of the American Statistical Association, 1999. P. 590-599.

8. STEIN E. M., STEIN J. C. Stock Price Distributions with Stochastic Volatility: An Analytic Approach // Rev. Financial Studies, 1991, 4. P. 727-752.

Управление большими системами. Выпуск

ОЦЕНКА КРЕДИТНОЙ ИСТОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ

ЛИЦ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ

Кузнецов Л. А., Перевозчиков А. В.

(Липецкий государственный технический университет, [email protected], [email protected] Предложена методика формализации задачи оценки кредитной истории физических лиц на основе использования нечетких моделей. Рассматриваются принципы построения баз знаний с помощью основных показателей, применяемых в ряде российских банков для определения качества выполнения заемщиком обязательств по выплате основного долга и процентов. Показаны возможные методы анализа кредитной истории, на основе которых могут быть построены алгоритмы теории нечетких множеств.

Ключевые слова: нечеткая логика, функция принадлежности, лингвистическая переменная, кредитная история, база знаний.

Введение Проблема своевременного возвращения кредитов актуальна для банков. Ее решение в значительной мере зависит от «качества» оценки потенциальных заемщиков, которая осуществляется экспертами на основании ретроспективной информации о кредитных историях физических лиц, хранящейся в базе данных банка.

Бухгалтерская отчетность дает достаточно полную информацию о финансовом состоянии юридических лиц и позволяет выработать объективные критерии принятия решения о выдачи кредита. Оценка кредитоспособности физических лиц часто осуществляется по различного рода косвенным характеристиУправление в социально-экономических системах кам, содержащимся в кредитной истории и допускающим достаточно широкий спектр толкования.

В системе кредитования большого количества банков, оценка кредитной истории производится экспертом, который, в основном, опирается на свой опыт и интуицию, что может приводить к внесению в решение не имеющих достаточных оснований субъективных соображений. В реальной ситуации мнения разных аналитиков часто различаются, особенно если рассматриваются спорные ситуации, имеющие множество альтернативных решений.

Вследствие этого в оценке чрезмерный вес может приобретать субъективное мнение эксперта и следующая из него некомпетентная или преднамеренная интерпретация информации, приводящая к принятию решений, ущербных для банка.

Особенно сложным является описание характеристик, определяющих кредитную историю заемщика. Задание жестких (четких) ограничений на значения ее составляющих (количество дней на просрочке за определенный период, общее количество просрочек и т. п.), если их диапазоны узки, может привести к исключению из рассмотрения целого ряда потенциальных клиентов, и снижению прибыли финансово-кредитной организации, и наоборот, излишнее «расширение» границ сопровождается ухудшением качества кредитного портфеля и повышением рисков банка.

Снижение возможности влияния эксперта на решение и повышение в нем доли объективных факторов может быть обеспечено формализацией прогноза поведения заемщика и процедуры принятия решения о выдаче кредита.

В отношении физических лиц основой для обучения подобной системы являются ретроспективные кредитные истории, которые представляют собой в значительной степени документы вербальные и вследствие этого нечеткие. Одним из способов формализации вербальных величин и преобразования их в количественные, допускающие применение математических операций и упорядочивания, представляется теория нечетких отношений и множеств Л. А. Заде [4].

Управление большими системами. Выпуск В будущем оценка кредитной истории будет осуществляться посредством запроса в Бюро кредитных историй, в котором уже содержатся определенные данные о договорах, по которым рассматриваемое физическое лицо имеет обязательства перед банком.

Предоставленная информация в основном касается параметров кредитной сделки, таких как срок, сумма, вид кредита, а данные, относящиеся к срокам погашения задолженности и фактам наличия просроченных платежей, не будут содержать рекомендаций об оценке уровня платежной дисциплины. В результате перед экспертом ставится задача по обобщению и систематизации ряда факторов, отражающих качество выполнения обязательств физического лица, по кредитному договору.

В работе приведен метод анализа кредитного портфеля банка на предмет оценки качества исполнения обязательств заемщиков по погашению задолженности, основанный на построении функций принадлежности (алгоритм Мамдани), применение которого с определенной степенью позволит разделить кредитные истории клиентов, расплатившихся по своим обязательствам, на «положительные» и «отрицательные».

В дальнейшем, имея в наличии информацию о «хороших» и «плохих» кредитах и сведения о соответствующих им клиентах (анкетные данные, справки о доходах, наличии в собственности имущества и т. п.) возможно построение функционального соответствия, представляющего зависимость качества кредитной истории от характеристик заемщика. Таким образом, на этапе рассмотрения кредитной заявки рассчитанная математическая модель позволит сделать вывод о наиболее вероятном уровне платежной дисциплины потенциального клиента.

1. Описание характеристик кредитной истории с использованием лингвистических переменных Разработка математической модели для анализа качества выполнения обязательств заемщика требует наличия адекватноУправление в социально-экономических системах го формального представления, которое учитывало бы особенности кредитования физических лиц.

Для изучения систем, на поведение которых сильное влияние оказывают суждения, восприятия или эмоции человека (гуманистические системы), Л. А. Заде предложил использовать так называемые лингвистические переменные [4], т. е. переменные, значениями которых являются слова или предложения естественного языка.

Процесс оценки кредитной истории может быть описан в терминах теории нечетких множеств с использованием лингвистических переменных.

Лингвистическая переменная может быть задана в виде набора [1].

Применительно к задаче анализа кредитной истории переменным может быть приписан следующий содержательный смысл:

Х – лингвистическая переменная с именем «кредитная история»;

T – терм-множество переменной X, т. е. множество значений лингвистической переменной X, областью определения каждого из которых является множество U.

В банковской практике кредитную историю наиболее часто классифицируют по следующим категориям:

«положительная» – за период действия договора отсутствуют факты задержки оплаты, или нормативные документы кредитной организации позволяют отнести кредитную историю с некоторым количеством просроченных платежей к данной категории;

«приемлемая» – наиболее часто встречающаяся ситуация, когда имеет место несколько фактов задержки платежей;

«отрицательная» – выдача кредита нецелесообразна вследствие систематического нарушения условий договора по погашению задолженности.

Поэтому множество значений кредитной истории может быть, например следующим:

T = {«положительная», «приемлемая», «отрицательная»}.

Управление большими системами. Выпуск Множество U представляет собой набор количественных характеристик, на основании которых возможно определить принадлежность кредитной истории к значениям, входящим в T.

Например, оно может иметь вид: U = {«количество просроченных платежей», «количество дней в течении которых погашение не производилось» и т. п.}.

G – синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающие название термов.

Элементы множества G предназначены для формирования новых значений Х, детализирующих кредитные истории. На основе комбинаций элементов t T и g G, могут быть введены дополнительные значения множества T.

Например, при G = {«не», «очень», «более-менее»}, кредитной истории могут быть приданы следующие лингвистические значения: «не отрицательная», «более-менее приемлемая», «не положительная».

M – семантические правила, задающие функции принадлежности нечетких термов, порожденных синтаксическими правилами G.

Нечеткие множества, полученные с помощью семантических правил М, характеризуются простотой определения функций принадлежности, для расчета которых не требуется применения специализированных методов, а достаточно использовать стандартные математические операции.

Семантические правила M представлены в таблице 1.

Таблица 1. Правила расчета функций принадлежности Квантификатор Функция принадлежности более-менее t Функция принадлежности t(u) [0; 1] ставит в соответствие значению u U число из интервала [0; 1], характеризующее Управление в социально-экономических системах степень принадлежности u к терм-множеству t T. Фактически это позволяет формализовать процедуру выбора наиболее подходящей кредитной истории по вербальным характеристикам заемщика.

2. Построение функций принадлежности на основе метода парных сравнений Следующим этапом после определения структуры лингвистической переменной является переход к представлению зависимости статуса кредитной истории от выбранной характеристики, т. е. требуется найти степень принадлежности рассматриваемой кредитной истории к значениям, определенным в множестве Т.

Исходной информацией для построения подобной функциональной зависимости являются экспертные парные сравнения. Для каждой пары элементов множества U эксперт оценивает преимущество одного элемента над другим по отношению к значениям нечеткой переменной.

Парные сравнения удобно представлять следующей матрицей:

(1) где aij – уровень преимущества элемента ui над uj ( i, j = 1, n ), определяемый по девятибалльной шкале (см. таблицу 2), разработанной математиком Т. Саати [8] для решение задач, ориентированных на анализ множества альтернатив, как правило, соответствующих естественному ходу человеческого мышления.

Эффективность использования данной шкалы подтверждена многолетней практикой, она применяется в ряде систем поддержки принятия решений.

Управление большими системами. Выпуск Таблица 2. Шкала преимуществ Саати Степень важности Отсутствует преиму- Два значения вносят щество элемента ui над одинаковый вклад в имеется существенное сильное предпочтение 5 преимущество ui над uj одному значению над имеется явное преимузначения над другим Промежуточные значе- Ситуации, когда необния между соседними ходимы компромиссные Исследуются все показатели ui, включаемые в U, например:

количество дней на просрочке за определенный период; общее количество просрочек; отношение количества просроченных платежей к «удачным» и т. п. Конкретное наполнение элементов U должно отображать политику финансовой организации по отношению к кредитным рискам.

Построение матрицы А должно быть произведено для каждого значения нечеткой переменной t T.

Для снижения размерности матрицы А на основании априорных сведений о t целесообразно исключить все элементы u, Управление в социально-экономических системах степень принадлежности которых, к рассматриваемому значению равна единице.

Матрица парных сравнений является обратно симметричной: ( aij =, i, j = 1, n ).

Степени принадлежности принимаются равными соответствующим координатам собственного вектора W = (w1, w2, …, wn) матрицы парных сравнений:

Собственный вектор матрицы А находится из следующей системы уравнений [10]:

(3) где max – максимальное собственное значение матрицы A.

Для примера рассмотрим определение значений функции принадлежности для нечеткого терма «несколько просроченных платежей» = {3, 5, 7, 8}, в качестве элементов которого было принято количество пропущенных периодов оплаты по кредиту, взятых для четырех кредитных историй.

Матрица парных сравнений для этого случая имеет вид:

Первым этапом является определение максимального собственного числа max матрицы парных сравнений А. Для этого составляется и решается характеристическое уравнение матрицы А. Максимальное собственное значение оказывается равным max = 4, Далее находится собственный вектор W, соответствующий max, элементы которого удовлетворяют второму равенству системы уравнений (3):

Управление большими системами. Выпуск W = {0,562; 0,256; 0,122; 0,06} Нечеткое множество с функцией принадлежности, определяемой вектором W, получилось субнормальным [1]. Для нормализации все степени принадлежности делятся на максимальное значение 0,562. Результаты представлены в таблице 3.

Таблица 3. Нормализация нечеткого множества µнесколько просроченных платежей (ui) (субнормальное нечеткое множество) µнесколько просроченных платежей (ui) множество) Данная функция принадлежности позволяет определить для каждой кредитной истории степень, с которой ее допустимо считать относящейся к нечеткому терму «несколько просроченных платежей».

Для того чтобы полученные результаты были адекватны ситуации, в которой принимается решение, необходимо, чтобы в матрице парных сравнений достигались требуемые уровни согласованности данных.

Под согласованностью матрицы парных сравнений понимается численная (кардинальная) согласованность и транзитивная (порядковая) согласованность.

Пример кардинальной несогласованности. Пусть параметр A (четыре просроченных платежа) лучше параметра B (пять просроченных платежей) в 3 раза, а параметр B лучше параметра C (шесть просроченных платежей) в 4 раза, таким образом, A лучше C в 3 * 4 = 12 раз. Нарушение этого равенства в рамках выбранной шкалы (шкала Саати имеет градацию от 1 до 9) считается кардинальной несогласованностью.

Управление в социально-экономических системах Пример транзитивной несогласованности. Пусть параметр A предпочтительнее параметра B (обозначим как A > B), а параметр B предпочтительнее параметра C (B > C), следовательно, A предпочтительнее C (A > C). Нарушение последнего неравенства называется транзитивной несогласованностью.

Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения max от порядка матрицы N.

Однородность суждений оценивается индексом однородности (ИО) или отношением однородности (ОО) в соответствии со следующими выражениями:

ИО = (max – N)/(N – 1); OO = ИО/М(ИО).

где М(ИО) – среднее значение (математическое ожидание) индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений, основанное на экспериментальных данных.

В качестве допустимого используется значение ОО 0,10.

Если для матрицы парных сравнений отношение однородности ОО > 0,10 то это свидетельствует о нарушении логичности суждений, допущенных при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

При согласованных парных сравнениях процедура построения функций принадлежности значительно упрощается. В этом случае матрица A обладает следующими свойствами:

• она обратно симметрична‚ т. е. элементы‚ симметричные относительно главной диагонали‚ связаны зависимостью • она транзитивна‚ т. е. aik akj = aij, i, j, k = 1, n.

Наличие этих свойств позволяет определить все элементы матрицы парных сравнений, если известно (n – 1) недиагональных элементов. Например, если известна k-тая строка, то произвольный элемент aij определяется так:

(4) aij = akj/aki, i, j, k = 1, n.

Управление большими системами. Выпуск После определения всех элементов матрицы парных сравнений, степени принадлежности нечеткого множества вычисляются по формуле:

Таким образом, возможно рассчитать значения функции принадлежности не применяя трудоемких вычислительных процедур поиска собственных чисел и векторов.

3. Аналитическое построение функций принадлежности на основе априорной информации о нечетком множестве Другой способ построения функций принадлежности основывается на обобщении знаний и опыта эксперта по отношению к характеристикам, определяющим кредитную историю заемщика.

Анализ терм-множества t T можно начать на основании субъективных причин и неформальных сведений о выбранном показателе просроченной задолженности и возможных ограничениях, накладываемых на область определения функции t(u), которые задаются экспертом и согласуются с внутренними документами кредитной организации (при наличии таковых).

Естественным является также и требование непрерывности функции t(u), которое формализует представление о том, что если два элемента из множества U отличаются друг от друга лишь незначительно, то значения соответствующих функций принадлежности также близки.

Конкретный вид функции принадлежности определяется на основе различных дополнительных предположений о свойствах этой функции (симметричность, монотонность и т. д.) с учетом специфики имеющейся неопределенности [1].

Подобные предположения позволяют упростить процедуру построения функции принадлежности, в частности, выделить значения, при которых степень принадлежности элементов Управление в социально-экономических системах u U к рассматриваемому терм-множеству t T равна нулю и единице, т. е. найти область определения функции t(u).

Например, кредитную историю можно считать отрицательной, при отсутствии платежей за период в три месяца, т. е.

t(u) = 1 при u [3 месяца; срок кредита], t = «отрицательная».

Результаты позволяют сделать следующий вывод: когда заемщик задерживает с выплатой по кредиту более чем на три месяца, его кредитная история относится к «отрицательной» категории.

Аналитическое представление дает возможность не применять трудоемкие вычислительные процедуры расчета степеней принадлежности. В качестве недостатков такого подхода можно отметить более низкую точность по сравнению с математическими методами и высокие требования, предъявляемые к квалификации эксперта.

Следует отметить, что важной составляющей предлагаемых подходов является непосредственное участие эксперта как при построении матрицы парных сравнений (см. таблицу 2), так и при выборе аналитической формы функции принадлежности.

Необходимость разработки унифицированной методологии особенно актуальна в случае отсутствия в финансово-кредитной организации нормативных документов, регламентирующих процесс определения качества кредитной истории физических лиц и порядок разрешения спорных ситуаций.

Рассмотренные методы позволяют получить математическую интерпретацию опыта эксперта, отражающего общую стратегию принятия решений по оценке кредитной истории.

Применение единой методологии на основе синтеза знаний высококвалифицированной группы экспертов необходимо для устранения субъективного влияния кредитных аналитиков, не обладающих достаточным опытом работы в сфере кредитования физических лиц, а также минимизации рисков от возможного злоупотребления служебным положением со стороны инсайдеров банковской организации.

Управление большими системами. Выпуск 4. Построение базы знаний На практике процесс анализа кредитной истории представляет собой рассмотрение ряда показателей, применяемых для оценки исполнения обязательств заемщика по погашению задолженности. В зависимости от подхода, применяемого в кредитной организации, наиболее распространенными являются следующие характеристики: количество платежей, количество просроченных платежей, отношение общего просроченных платежей к сроку кредита и т. п.

При анализе кредитной истории рассуждения эксперта состоят в выборе нескольких параметров, оказывающих, по его мнению, наиболее сильное влияние на качество кредитной истории заемщика, на основании которых он составляет соответствующие заключения.

Для приведения задачи классификации кредитной истории к форме, позволяющей учитывать совокупное влияние показателей на принимаемое решение, целесообразно использовать понятие составной лингвистической переменной [1]. В этом случае процесс классификации разбивается на анализ взаимодействия ряда частей, которые будут включены в состав лингвистической переменной «кредитная история», что позволит сформировать зависимость результата от комбинаций элементов данной переменной.

Для задания подобных многомерных зависимостей строится набор условных правил нечеткого логического вывода вида ”Если «Набор условий», то «Вывод»” [9].

Нечеткая база знаний может быть представлена в следующем виде:

ЕСЛИ (x1 = a1,1,1) И (x2 = a2,1,1) И … И (xn = an,k,1) ИЛИ (x1 = a1,1,2) И (x2 = a2,1,2) И … И (xn = an,k,2) (6) … ИЛИ (x1 = a1,k,p) И (x2 = a2,k,p) И … И (xn = an,k,p), где ai,k, p – нечеткий терм (немного, несколько, много и т. п.), которым оценивается лингвистическая переменная xi X = Управление в социально-экономических системах = (x1, x2, …, xn) (количество просроченных платежей, временной интервал задержки платежа и т. п.) в правиле под номером p, i = 1, n, k = 1, q, p = 1, l ; y = (d1, d2, …, dm) – значения нечеткого логического вывода yj («положительная», «приемлемая», «отрицательная» и т. п.), j = 1, m ; m – количество значений нечеткого логического вывода; n – количество лингвистических переменных; l – количество правил в базе знаний; q – количество нечетких термов, которыми оценивается лингвистическая переменная xi X = = (x1, x2, …, xn).

Система условных обозначений используется для отражения смысла применяемых математических преобразований.

Приведем простейший пример базы знаний, показывающей зависимость между количеством просроченных платежей (x) и возможностью оценки качества кредитной истории (y), как «отрицательная»:

(7) ЕСЛИ x = несколько, ТО y = низкая;

ЕСЛИ x = много, ТО y = высокая.

5. Классификация кредитной истории с использованием нечетких моделей типа Мамдани Применительно к процессу оценки кредитной истории при кредитовании физических лиц задача классификации состоит в определении качества выполнения заемщиком обязательств по выплате основного долга и процентов по ряду критериев, сформулированных кредитным экспертом.

Рассмотрим алгоритм Мамдани [10] как один из возможных вариантов решения поставленной задачи. В качестве основных этапов данного метода можно выделить следующую последовательность операций:

1. Построение нечеткой базы знаний.

2. Фаззификация входных параметров [10].

3. Определение результирующего нечеткого множества.

4. Дефаззификация.

Построение нечеткой базы знаний Управление большими системами. Выпуск Построение нечеткой базы знаний заключается в представлении опыта эксперта в виде определенного набора правил (6), отражающих процесс принятия решения в рассматриваемой области.

С помощью операций (ИЛИ) и (И) перепишем (6) в более компактном виде:

Фаззификация входных параметров Фаззификацией, или введением нечеткости, называется процесс построения функций принадлежности для входных переменных системы нечеткого вывода xi X = (x1, x2, …, xn) на основе соответствующих им терм-множеств ai,k,p.

Определение результирующего нечеткого множества На данном этапе происходит определение подмножеств, построение которых производится по всем нечетким логическим выводам для соответствующих правил из базы знаний.

Для дальнейшего рассмотрения алгоритма Мамдани введем следующие обозначения: k,p(xi)– функция принадлежности лингвистической переменной xi нечеткому терму ai,k,p; d j ( y ) – функция принадлежности значения нечеткого логического вывода терму dj.

Степень принадлежности лингвистической переменной xi нечетким термам dj из базы знаний определяется следующей системой нечетких логических уравнений:

где () – операция из s-нормы (t-нормы), т. е. из множества реализаций логической операций ИЛИ (И). Наиболее часто используются следующие реализации: для операции ИЛИ – нахождение максимума и для операции И – нахождение минимума.

Далее нечеткие подмножества, назначенные для каждой выходной переменной, объединяются вместе, чтобы сформировать одно результирующее нечеткое множество.

Нечеткое множество ~, соответствующее вектору X, опреy деляется следующим образом:

где imp – импликация, обычно реализуемая как операция нахождения минимума; agg – агрегирование нечетких множеств, которое наиболее часто реализуется операцией нахождения максимума.

Дефаззификация Четкое значение y, соответствующее вектору X определяется в результате дефаззификации нечеткого множества ~.

Наиболее часто применяется дефаззификация по методу центра тяжести:

Физическим аналогом этой формулы является нахождение центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции принадлежности нечеткого множества ~.

Таким образом, после выполнения нечеткого логического вывода статус кредитной истории определяется по максимальной степени принадлежности результата дефаззификации к оценкам качества выполнения обязательств по погашению задолженности, сформулированных экспертом в базе знаний.

Для иллюстрации работы метода рассмотрим пример нечеткого логического вывода по базе знаний (7) при значении входной переменной x = 4. В качестве зависимости, представляющей функцию принадлежности для нечеткого терма «несколько просроченных платежей» (рис. 1а), взяты рассчитанные Управление большими системами. Выпуск параметры нормализованного нечеткого множества из таблицы 3. Используя метод парных сравнений, аналогично была определена функция принадлежности для нечеткого терма «много просроченных платежей» (рис. 1в).

Треугольные функции принадлежности d(y) значений нечеткого логического вывода (возможность оценки качества кредитной истории как «отрицательная») термам «низкая» и «высокая» были выбраны на основе аналитического представления. Следует отметить, что подобная зависимость является простейшей и служит для демонстрации работы метода.

Исследование логики суждений, применяемых при формировании выводов, для каждого правила из базы знаний заключалось в определении характера поведения функции d(y) на интервале [0; 1]. В связи с этим численное увеличение принадлежности кредитной истории к «отрицательной» категории предполагает, что возможность оценить ее как «низкая»

должна уменьшаться и, соответственно, возрастать при «высокой».

Данные функции и нечеткие логические выводы по правилам из базы знаний представлены на рис. 1б и рис. 1г.

Графическая интерпретация результатов заключается в выделении множества, полученного при отсечении d(y) на уровне значения функции принадлежности для входной переменной x = 4.

Следующим этапом решения задачи является агрегирование нечетких множеств по (10). Графически данный алгоритм заключается в выделении множества, ограниченного линиями функций, представляющих результаты нечетких логических выводов и имеющих наибольшее значение на всей области определения. Операция агрегирования методом нахождения максимума представлена на рис. 2.

Управление в социально-экономических системах Рис.1. Нечеткие логические выводы по базе знаний Координаты вершин полученной фигуры, определяют результирующее нечеткое множество в следующем виде:

~ ={0/0; 0,73/0; 0,73/0,267; 0,286/0,712; 0,286/1; 0/1} Далее, применяя к нечеткому множеству ~ дефаззифика-y цию методом центра тяжести (11), находится четкое значение y:

0 * 0 + 0 * 0.73 + 0.267* 0.73 + 0.712* 0.286+ 1* 0.286+ 1* Управление большими системами. Выпуск Рис. 2. Агрегирование нечетких множеств Результаты позволяют сделать вывод о том, что полученная оценка характеризует кредитную историю заемщика, пропустившего четыре платежных периода, как имеющую «низкую»

степень принадлежности к отрицательной категории.

Необходимо отметить, что в примере отражены общие подходы, используемые для решения поставленной задачи. Наиболее эффективное применение метода на этапе формирования базы знаний предполагает рассмотрение всех возможных комбинаций причинно-следственных связей между предпосылками модели и соответствующими им выводами.

Проведение подобного анализа для всего кредитного портфеля позволит разделить кредитные истории на категории с «положительной» и «отрицательной» оценкой качества выполнения заемщиками условий договора по погашению задолженности.

Для проверки достоверности результатов, полученных при использовании предлагаемого подхода, рассмотрим метод нечеткой классификации по сравнению с одним из распространенных способов многомерного статистического анализа (дискриминантный анализ [5]) на примере кредитного портфеля одного из коммерческих банков.

Управление в социально-экономических системах Оценка кредитных историй физических лиц была проведена по двум группам: «положительная» и «отрицательная».

В качестве элементов, входящих в первую категорию, были выбраны кредитные истории без просроченных платежей и с одной просрочкой, которая была погашена в десятидневный срок, количество – 3 289.

Вторая категория была сформирована по выборке из кредитных договоров, по которым для взыскания задолженности требовалось обращение в судебные органы, а также договора со сроком нахождения на просрочке свыше 180 дней, т. е. задолженность по которым классифицирована как «безнадежная» [7], количество – 637.

На основании традиционной практики, применяемой кредитными работниками в рассматриваемом банковском учреждении для оценки качества исполнения заемщиком обязательств по погашению задолженности, были сформулированы основные критерии, по которым осуществлялся анализ кредитной истории.

В качестве независимых переменных были выбраны следующие показатели:

• количество просрочек за весь срок пользования кредитом (x1);

• максимальный срок недоплаты в днях (x2).

Зависимая переменная – оценка кредитной истории (y).

В связи с особенностями алгоритма Мамдани, требующего для своей работы наличие нечеткой базы знаний, был сформулирован свод правил, представляющих собой синтез знаний и опыта эксперта в сфере оценки кредитоспособности физических лиц.

Для построения базы знаний были использованы нечеткие термы, которыми в повседневной жизни для принятия оптимальных решений оперирует каждый человек.

Применяемая база знаний 1. ЕСЛИ x1 = «много», ТО y = «отрицательная».

2. ЕСЛИ x1 = «небольшое количество» И x2 = «небольшой», ТО y = «более-менее положительная».

Управление большими системами. Выпуск 3. ЕСЛИ x1 = «небольшое количество» И x2 = «совсем небольшой» ТО y = «положительная».

4. ЕСЛИ x1 = «небольшое количество» И x2 = «большой», ТО y = «отрицательная».

5. ЕСЛИ x2 = «большой» ТО y = «отрицательная».

Результаты классификации представлены в таблице 4.

Таблица 4. Сравнительные оценки работы методов Оценка Качество Коли- Минималь- Максималькредитной предска- чество ное значение ное значение истории зания ошибок оценки при- оценки принадлежности надлежности Дискриминантный анализ (выполнен в среде Statistica 6.0) Положительная Отрицательная Метод нечеткой классификации (выполнен в среде Mathlab 7.0.1) тельная тельная Результаты позволяют сделать вывод о недостаточной точности классификации кредитных историй, входящих в «отрицательную» категорию, методом дискриминантного анализа по сравнению с алгоритмом Мамдани.

Полученный диапазон оценки принадлежности значений к «отрицательной» группе (0,52-1) характеризует традиционный метод как позволяющий принимать заявки с высоким уровнем риска и, соответственно, оказывающий более сильное влияние на возможное снижение качества кредитного портфеля, чем предлагаемый.

Управление в социально-экономических системах Дальнейшее исследование предполагает выделение характеристик физических лиц, кредитная история которых попадает в «отрицательную» категорию, с целью создания «образа» потенциального должника и построение модели, позволяющей установить платежную дисциплину клиента, обратившегося за получением денежных средств.

Выводы Показана возможность формального подхода к представлению задачи анализа кредитной истории физических лиц с использованием математического аппарата теории нечетких множеств. Рассмотрены методы построения функций принадлежности и баз знаний с помощью составных лингвистических переменных, а также последующее применение нечетких логических выводов на их основе. Задачи, представленные в работе, интерпретированы в терминах известных методов нечетко-математического моделирования, что открывает широкое поле для их практического использования.

1. АЛТУНИН А. Е., СЕМУХИН М. В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. – 352 с.

2. ГАНТМАХЕР Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. – 3. ЕДРОНОВА В. Н., ХАСЯНОВА С. Ю. Модели анализа кредитоспособности заемщиков. М.: Финансы и кредит, 4. ЗАДЕ Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 5. КИМ ДЖ. О, МЬЮЛЛЕР Ч. У., КЛЕККА У. Р. И ДР. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ. М.: Финансы и статистика, 1989. – 215 с.

Управление большими системами. Выпуск 6. КУЗНЕЦОВ Л. А. Применение нечетких моделей для решения задач управления качеством проката. Известия ВУЗОВ Черная металлургия, 2001, № 5. С. 61-65.