УДК 378

Хрусталев Александр Михайлович

кандидат педагогических наук.

Московский городской педагогический университет

[email protected]

Alexander М. Khrustalev

Candidate of Pedagogical Sciences.

Moscow City Teachers’ Training University

[email protected]

ПОДХОДЫ К ОБУЧЕНИЮ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

ФРАКТАЛЬНЫМ МНОЖЕСТВАМ

APPROACHES TO TEACHING FRACTAL SETS

TO SCHOOL CHILDREN AND STUDENTS

Аннотация. Статья посвящена анализу работ, посвящнных обучению фрактальным множествам. Где используются и внедряются фрактальные множества в обучении. Какая литература и методика выпущена на русском языке. Какое программное обеспечение используется для обучения фрактальным множествам.

Ключевые слова: анализ, методика, фрактал, геометрия (геометрические), множества, факультатив, обучение.

Abstract. The article is aimed to analysis of works, dedicated to teaching fractal sets. Where in teaching process fractal sets are used and implemented.

Which literature and methods are issued in Russian language. Which software is used for teaching fractal sets.

Key words: analysis, methods, fractal, geometry (geometrical), sets, elective course, studying.

Эффективность и результативность педагогической деятельности в учебных заведениях, в том числе и в высших, как известно, во многом зависит от сформулированных целей и принципов обучения, отбора и формирования содержания обучения, методов обучения, форм организации учебных занятий, от намеченных путей их реализации.

Современные методы обучения довольно разнообразны. И с применением компьютерных технологий у преподавателя появляется все больше возможностей.

Одним из методов обучения является интеграция одной дисциплины в другую для более глубокого понимания и изучения вопроса. Рассмотрим включение в отдельную дисциплину элементов фрактальной геометрии, развивающих эстетическую сторону личности, позволяющих связать теорию дисциплины с уже имеющимися примерами, предлагаемыми природой, и использовать их в решении необходимых задач.

К таким интегрированным дисциплинам относятся и специальные учебные курсы по фрактальным множествам, содержание которых формируется на основе современной теории фракталов, в создание и развитие которой большой вклад внесли Р. Броун, Н. Винер, Д. Дойч, Г.

Жулиа, Г. Кантор, Х. Кох, Г. Минковский, Б. Мандельброт, Ф. Ниньо, Х.О.

Пайтген, Ж.А. Пуанкаре, П.Х. Рихтер, В.Ф. Серпинский, П.Ж.Л. Фату, Д.

Хатчинсон, Ф. Хаусдорф, А. Эйнштейн и другие.

Изучение фрактальных множеств на сегодняшний день становится все более актуальным и все более широко применяется в различных областях науки и образования.

Знакомство студентов с новыми дисциплинами в процессе его обучения в вузе осуществляется через систему кружков, факультативов и дисциплин по выбору. Вследствие этого ВУЗЫ начинают интегрировать учебные курсы «физико-математических» специальностей, которые способствуют формированию математической культуры. Один из таких курсов называется «Физика фракталов» [9]. Знакомство с фракталами повышает интерес студентов к информатике, математике, программированию и компьютерной графике, потому что они являются одним из самых красивых математических объектов и фракталы невозможно построить без использования ИКТ. В настоящее время фракталы прочно вошли во все специальности человека.

Ниже приведен список источников, которые были проанализированы, а именно – известные учебные пособия российских специалистов в области фрактальной геометрии, адресованные студентам, аспирантам и начинающим исследователям в данной области, а также – специальные курсы по фрактальной геометрии, размещенные в Интернете. Для методологического анализа их структуры и содержания обучения фрактальной геометрии использовался конструктивный технологический подход для выделения знаний по фрактальной геометрии, необходимых для формирования научного мировоззрения будущего специалиста в области прикладной математики и его профессиональных качеств.

Выделение таких знаний осуществлялось на основе методологических принципов обучения фрактальным множествам: соответствия содержания материала учебного курса современным достижениям теории фрактальной геометрии, основных положений в обучении, единства теории и эксперимента, наглядности, гуманитарного потенциала обучения фрактальной геометрии, толерантности, дифференциации и конкретизации обучения фрактальной геометрии как основы личностноориентированного образования.

Были проанализированы следующие источники:

Диссертации:

1. Диссертация Бабкина Алексея Александровича на тему «Изучение элементов фрактальной геометрии как средство интеграции знаний по математике и информатике в учебном процессе педколледжа» [1]. В работе сформулированы следующие аспекты:

- С учетом анализа научно-методических и психолого-педагогических источников определен методический подход к изучению фракталов на основе использования в обучении информационным и коммуникационным технологиям, позволяющим включить знания об элементах фрактальной геометрии в систему уже известных студентам математических знаний.

- Фрактальная геометрия обладает большим эстетическим потенциалом и играет значительную роль в формировании естественнонаучной картины мира студентов.

- Разработанная методика изучения элементов фрактальной геометрии с применением информационных и коммуникационных технологий, программа курса, комплекс практических занятий способствуют формированию у студентов педколледжа новых математических понятий, систематизации ранее изученных, развитию устойчивого интереса к изучению математики и информатики, а также повышению уровня математической подготовки и уровня мыслительной деятельности.

2. Диссертация Секованова В.С. "Обучение фрактальной геометрии как средство формирования креативности студентов физикоматематических специальностей университетов" [2], представлена разработка методических основ и технологий обучения фрактальной геометрии, направленных на формирование креативности студентов физикоматематических специальностей университетов. Вот основные результаты и выводы исследования:

- Построена концепция обучения фрактальной геометрии как средство формирования креативности студентов физико-математических специальностей университетов, направленная на подготовку специалистов нового типа, способных решать не только широкий круг профессиональных задач, которые ставит информационное общество, но и обладать нравственными и духовными качествами.

- Создан механизм осуществления внутреннего и внешнего мониторинга функционирования дидактической системы обучения фрактальной геометрии с целью придания ей свойства саморегуляции.

- Описана методика формирования мыслительных операций (анализ, синтез, обобщение и абстракция), качеств мышления (критичность, гибкость, оригинальность), прогнозирования результатов математической деятельности (выдвижение гипотез и их проверка, акцептор математического действия) в процессе обучения фрактальной геометрии.

- Доказано, что обучение фрактальной геометрии как средство формирования креативности студентов физико-математических специальностей университетов будет более успешным, если обеспечить последовательное включение их в решение математических и информационных задач на основе применения комплекса дидактических эвристических приемов.

1. Книга Морозова А.Д. «Введение в теорию фракталов» [3] посвящена основам теории фракталов и состоит из двух частей и приложения. В первой части рассматриваются конструктивные фракталы, во второй - динамические, а в приложении приводится вспомогательный материал.

Книга может быть использована как учебное пособие по фракталам, и ориентирована, прежде всего, на студентов физико-математических факультетов университетов. Первая часть доступна школьникам старших классов.

Еще одна книга «Современные проблемы хаоса и нелинейности» Симо К. и др. [4] представляет собой первый шаг в направлении обобщения и классификации самых современных результатов по проблемам компьютерных исследований нелинейных систем.

В книге Газале М. «От фараонов до фракталов» [5] вы найдете описание самого термина гномон, познакомитесь с историей его возникновения и употребления.

2. Книга Б. Мальдеброда «Фрактальная геометрия природы» [6] повествует о том, что многие формы природы настолько неправильны и фрагментированы, что в сравнении с евклидовыми фигурами, природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности.

1. Учебное пособие Ю.Ю. Земского и др. «Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях» [7], допущенное УМО вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 230201 – «Информационные системы и технологии».

Учебное пособие рассматривает один из важных аспектов развития методов анализа и синтеза информационно-управляющих систем – исследование процессов в компьютерных сетях, их идентификацию и формирование на базе полученного математического описания этих процессов моделей управления сетевым трафиком.

2. Пособие Божокина С.В. и Паршина Д.А. «Фракталы и мультифракталы» [8] посвящено изложению основных идей фрактальной и мультифрактальной геометрии. Примеры различных фрактальных структур можно встретить во многих явлениях природы.

Пособие будет полезно аспирантам и студентам физических специальностей, интересующимся современными проблемами физики.

3. Сборник А.П.Кузнецова и др. (Саратовский филиал ИРЭ РАН) и вузовской науки (ФНП СГУ). «Нелинейность: От колебаний к хаосу.

Задачи и учебные программы» [9]- представлено около 450 задач по нелинейным колебаниям, катастрофам, динамическим системам, бифуркациям, хаосу, нелинейным волнам, фракталам и комплексной аналитической динамике. Представлен комплекс взаимосвязанных учебных программ по перечисленным дисциплинам.

Сборник будет полезен преподавателям и студентам, интересующимся нелинейной теорией колебаний и волн и нелинейной динамикой. Может быть использован для построения системы образования, основанной на идеях и подходах нелинейной теории.

1. СПГУ, Физический факультет, Преподаватель: доц. Е. Ф.

Михайлов. представлен учебный курс под названием «Физика фракталов» [10].

фрактального анализа и методами ее использования при решении практических задач. Особое внимание уделяется применению метода в оптике и аэродинамике атмосферных аэрозолей.

2. В МГУ на кафедре «динамической геологии» в.н.с.

В.Н.Вадковский, доц. В.С.Захаров преподают учебный курс «Динамические системы и фракталы в геологии» [11].

Целью курса является введение в круг понятий и методов, используемых при анализе динамических систем, к классу которых относятся самые разные геологические процессы.

3. «Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики» Факультет бизнес - информатики, д.ф.-м.н., проф. В.А. Гордин, учебный курс «Дифференциальные уравнения [12].

Одной из основных целей курса является знакомство студентов с основными идеями и конструкциями теории обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений и систем, их геометрическими интерпретациями и приложениями к экономическим и другим прикладным задачам, методами их составления, анализа и численного определения решений.

4. МПГУ, Кафедра физики для естественных факультетов, Старцева Е.В. Методическое обеспечение естественнонаучного кружка «Фракталы и их приложения» для учащихся старших физикоматематических классов [13].

5. РГПУ - Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, факультет физики, доктор педагогических наук, профессор Ходанович Александр Иванович «Геометрические фракталы в компьютерной графике» [14].

Изучив и проанализировав данные учебные программы, можно заключить, что для всестороннего изучения понятия фракталов требуются знания, начиная со школы, где в старших физико-математических классах ученики изучили понятие «фрактал» и возможность их приложения в разных науках. А уже в университете на первом курсе необходимо изучить математический анализ, алгебру, геометрию и программирование в объеме, предусмотренном программой. После такой подготовки на следующих курсах можно более детально коснуться темы фрактальных множеств.

Вводятся более точные с математической точки зрения понятия фрактала (самоподобного множества), рассматриваются подходы фрактальной геометрии. В курсе предусмотрены лабораторные работы, при выполнении которых студенты смогут построить модели динамических систем и исследовать особенности их динамики на компьютере.

Таким образом, проанализировав все эти и другие книжные и Интернет-ресурсы, можно сделать вывод, что на настоящий день есть немало литературы относительно фрактальных множеств. Даже если в конкретных учебных заведениях преподаватели уделяют достаточно внимания изучению фрактальных множеств и интеграции понятия в различные дисциплины, в открытом доступе недостаточно литературы по данной тематике (поурочного, лекционного планирования). Хотя, если сделать акцент на том, что та или иная тема пересекается с фрактальными множествами - ее можно раскрыть намного шире, что, в свою очередь, может привести к более качественному усвоению данного материала. Такой материал мог бы помочь преподавателям больше узнать о возможностях применения фрактальных множеств при использовании компьютерных средств и, в свою очередь, познакомить студентов с такими возможностями, открыть для них новые методы исследования различных вопросов и задач.

Литература Бабкин, А. А., диссертация «Изучение элементов фрактальной геометрии как средство интеграции знаний по математике и информатике в учебном процессе педколледжа», кандидат педагогических наук, 13.00. Специальность: Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования) 2007г. - 201с Секованов, Валерий Сергеевич, «Обучение фрактальной геометрии как средство формирования креативности студентов физикоматематических специальностей университетов», доктор педагогических наук. Кострома. ВАК: 13.00.02 Специальность: Физико-математические науки 2007г. - 393с.

Морозов, А.Д., «Введение в теорию фракталов» МоскваИжевск: Институт компьютерных исследований, 2002, - 160 стр.

Симо, К., Сменл, С,, Шенсике, А. и др, «Современные проблемы хаоса и нелинейности». — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, - 304 стр.

Газале, М. ГНОМОН. «От фараонов до фракталов». – МоскваИжевск: Институт компьютерных исследований, 2002, - 272 стр.

Б. Мальдеброд., «Фрактальная геометрия природы». – Москва:

Институт компьютерных исследований, 2002,- 656 стр.

Ю.Ю. Земской, Н.А., Иванова, О.Г., Лагутин, А.В., Тютюнник, В.М., «Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях». Тамбов:

Издательство Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. - 108 с.

Божокин,С.В., Паршин,Д.А., «Фракталы и мультифракталы». – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001,- 128 с.

А.П.Кузнецов, С.П.Кузнецов, Н.М.Рыскин, О.Б.Исаева, Нелинейность: «От колебаний к хаосу». Задачи и учебные программы. Изд.во "Регулярная и хаотическая динамика", Москва - Ижевск, 2006, - 172 с.

10. Е.Ф.Михайлов доц. учебный курс «Физика фракталов». СанктПетербургский государственный университет, Физический Факультет.

http://www.phys.spbu.ru/studying/studyplan/studyplan_programm/Atmosphere/Ph ysFract 11. В.Н.Вадковский, доц. В.С.Захаров «Динамические системы и фракталы в геологии». МГУ на кафедре «динамической геологии»

http://dynamo.geol.msu.ru/courses/dynamic-systems-and-fractals.html 12. В.А. Гордин д.ф.-м.н., проф., «Дифференциальные уравнения».

«Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики»

13. Старцева, Е.В. «Фракталы и их приложения» для учащихся старших физико-математических классов. МПГУ, Кафедра физики для естественных факультетов http://old.mpgu.edu/kafedry/fiz_est.htm 14. Ходанович, Александр Иванович доктор педагогических наук, профессор «Геометрические фракталы в компьютерной графике.» РГПУ http://physherzen.ucoz.ru/index/temy_kursovykh_rabot/0- 15. Григорьев,С.Г., Гриншкун, В.В., "Информатизация образования".

Москва 2005, - 231с.

References:

Babkin, Alexey Alexandrovich, dissertation «Studying the Elements of Fractal Geometry as an Instrument of Integration of Knowledge in Mathematics and Informatics in Pedagogical College Teaching Process», Candidate of Pedagogical Sciences, 13.00.02 Specialty: Theory and Methods of Teaching and Education (under areas and levels of education), 2007, - 201 pages.

Sekovanov, Valery Sergeevich, «Teaching Fractal Geometry as an Instrument of Creativity Development for Students of Physical and Mathematical Departments of Universities», Ed.D. Kosctroma. VAK: 13.00.02 Specialty:

Physical and Mathematical Sciences, 2007,- 393 pages.

Morozov, A.D., «Introduction to the Theory of Fractals» MoscowIzhevsk: Computer Research Institute, 2002, - 160 pages.

Simo, K, Smenl, S., Shensike, A. and others, «Modern Chaos and Nonlinearity Problems». — Izhevsk: Computer Research Institute, 2002, - 304 pages.

Ghazale, M. Gnomon. «From Pharaohs to Fractals». – MoscowIzhevsk: Computer Research Institute, 2002, - 272 pages.

B. Maldebrod, «Fractal Geometry of Nature». – Moscow: Computer Research Institute, 2002, - 656 pages.

7. Yu.Yu. Zemskoy, N.A. Ivanova, O.G. Lagutin, A.V. Tyutyunnik, «Fractal Analysis and Processes in Computer Networks». Tambov: Publishing House: Tambov State Technical University, 2004, - 108 pages.

Bozhokin, S.V., Parshin, D.A., «Fractals and Multi-Fractals». – Izhevsk: Research Center «Regular and Chaotic Dynamics», 2001, - 128 pages.

9. A.P. Kuznetsov, S.P. Kuznetsov, N.M. Ryskin, O.B. Isaeva, Nonlinearity: «From Oscillations to Chaos». Purposes and Teaching Programs.

Publishing House «Regular and Chaotic Dynamics», Moscow-Izhevsk, 2006, pages.

E.F. Mikhaylov, Assistant Professor, Teaching Course «Physics of Fractals». Saint-Petersburg State University, Department of Physics.

http://www.phys.spbu.ru/studying/studyplan/studyplan_programm/Atmosphere/Ph ysFract V.N. Vadkovsky, Assistant Professor, V.S. Zakharov «Dynamic Systems and Fractals in Geology». Moscow State University, Department of Dynamic Geology. http://dynamo.geol.msu.ru/courses/dynamic-systems-andfractals.html 12. V.A. Gordin, Assistant Professor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, «Differential Equations». «National Research University High School of Economics» Department of Business Informatics http://www.hse.ru/edu/courses/23104907.html 13. Startseva, E.V. «Fractals and its Application» for pupils of high school, studying at physical and mathematical grades. Moscow Pedagogical State http://old.mpgu.edu/kafedry/fiz_est.htm Khodanovich,Alexandr Ivanovich, Ed.D., Profesor «Geometrical Fractals in Computer Graphics» A.I. Gertsen Russian State Pedagogical http://physherzen.ucoz.ru/index/temy_kursovykh_rabot/0- Grigoriev,S.G., Grinshkun, V.V., "Computerization of Education ", Moscow, 2005, - 231 pages.