«ЧАСТЬ 4 Самара 2009 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Самарский государственный технический университет Инженерная академия России ...»

Практика показала эффективность синтеза различных подходов вывода в системах анализа. В основе построения баз знаний используют синтез индуктивных и абдуктивных методов логического вывода. Абдукция, как процесс формирования объясняющей гипотезы, служит методологической основой построения алгоритмов правдоподобного вывода. Функционально, абдуктивный вывод заключается в принятии решения по выбору оптимального объяснения наблюдения на основе заданной теории. Для данного исследования абдукция интересна как средство решения следующих классов задач: задача распознавания целей и стратегий деятельности субъекта, задача формирования моделей по наблюдениям за объектом, задача накопления и усвоения знаний.

Алгоритм функционирования систем с пересматриваемой аргументацией заключается в выполнении последовательности следующих процедур [2]: определение аргумента как дерева выводов, основанного на посылках; определение конфликта между аргументами, которые идентифицируются как опровержение аргумента; определение поражения аргумента формированием бинарного отношения на множестве аргументов; оценка аргументов по параметрам, определяемым спецификой предметной области. Проблемы построения абдуктивного вывода заключаются в выборе критерия оценки варианта объяснения, характеризующего степень его правдоподобия.

Индуктивный вывод, позволяющий в сложных системах строить обобщённые модели знаний, основан на построении некоторого общего правила и анализа конечного множества наблюдаемых фактов. Качество обобщённых моделей зависит от полноты набора фактов, которым он пользуется при формировании гипотез.

Процедурно, процесс индуктивного вывода сложноформализуем и заключается в машинном построении новых гипотез на основе наблюдаемых фактов.

В настоящее время существуют конструктивные методы автоматического формирования алгоритмов мониторинга и управления структурной динамикой сложных технических объектов (СТО) [1], которые базируются на оперативном формировании операторных цепочек, последовательного отображения измерительных и вычислительных параметров СТО для достижения цели анализа или управления. Данные технологии, в частности, базируются на обобщённых вычислительных моделях, являющихся развитием недоопределённых моделей.

На принципах индуктивного логического вывода, статистической обработки информации, а также информационных технологиях DM, OLAP, KDD основан целый класс аналитических систем, которые, по мнению аналитиков рынка программных продуктов, составляют существенную часть стоимости СТО в целом. Полученные современные результаты и алгоритмы, позволившие автоматизировать решение таких задач как: синтез схем программ как задача доказательства теоремы в формально-дедуктивной системе, методология проверки на модели (model checing), алгоритмы распараллеливания вывода; определения критерия качества моделей в индуктивном выводе на основе теоретикоинформационного подхода, в русле принципа минимальной длинны описания через понятие алгоритмической сложности [2, 3]; показывают перспективность использования в рамках одной системы комплексного подхода, включающего абдукции для получения гипотез, объясняющих наблюдения за параметрами системы состоянием среды, индукции для формирования и оценки правил вывода, и дедукции для прогнозирования перспективного состояния системы.

Приняв во внимание, что составляющие системы программные объекты и взяв за основу систему продукций, рассмотрим следующую формальную модель [4]:

где в качестве множества заданных литералов Mi продукционной системы и множества формируемых литералов Mi продукционной системы определены обобщённые вычислительные модели, Ri множество продукций i-того вида, Oi множество процедур присвоения i-того вида. M = A, FM, где A = {i, i = 1, 2,..., n} конечное множество параметров состояния объекта, FM конечное множество отношений на множестве параметров из A. F = = fi, i = 1, 2,..., k | A. Множество всех отображений для всех отношений f FM, входные in () = ZA параметры для ра. Взяв за основу категорный подход к формированию продукций [5], можно выстроить иерархию моделей заданной категории по степени детализации: MiB базис моделей i-той категории, Mi0, исходное состояние модели (вычислительного алгоритма), Hom Si, Si, (Miu, ) производное исходное состояB ние модели (вычислительного алгоритма), Hom Miu, MiB, условие сопоставимости. Соответственно, распознавая ситуацию, система активизирует некоторую продукцию, сопоставимую с заданной ситуацией. Сформированное множество иерархий моделей позволяет использовать их в алгоритмах вывода. В общем виде стратегия оперирования вычислительными моделями следующая:

модель является объектом дедуктивного вывода и формирует более детальный результат, либо является объектом индуктивного вывода для структур более высокой иерархии.

Таким образом, задание цели анализа вызывает активизацию нескольких конкурирующих вычислительных схем = (1, 2,..., n ), формирование которых осуществляется на основе I(, j ) множества игровых ситуаций.

1. Охтилев М. Ю., Соколов Б. В., Юсупов Б. В. Интеллектуальные технологии мониторинга и управления структурной динамикой сложных технических объектов. М.: Наука, 2006. 410 с.

2. Вагин В. Н., Головина Е. Ю., Загорянская А. А., Фомина М. В. Достоверный и правдоподобный вывод в интеллектуальных системах. М.: Физматлит, 2004. 704 с.

3. Потапов А. С. Распознавание образов и машинное восприятие: Общий подход на основе принципа минимальной длины описания. СПб.: Политехника, 2007. 548 с.

4. Батищев В. И., Губанов Н. Г. Категорное представление сложных технических объектов в индуктивных системах логического вывода / В сб.: Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Тр. IX Международ. конф.. Самара: СНЦ РАН, 2007. C. 185–191.

5. Стефанюк В. Л. Локальная организация интеллектуальных систем. М.:

Физматлит, 2004. 328 с.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 08-08-00288-а).

Кафедра информационных технологий, Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

[email protected] УДК (519.688+681.5):534.853.

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ КОРРЕКЦИИ ЦВЕТА

В ПРОСТРАНСТВE HSL

В работе [1] предложена модель цветовой коррекции с использованием пространства HSL. Начальный этап коррекции изображения заключается в устранении цветовых искажений, связанных с балансом белого. На следующем этапе осуществляется цветовая коррекция в подпространстве. Это подпространство образовано множеством точек в круге единичного радиуса. Цвет на этом круге задается полярными координатами, угловое значение определяет цветовой тон (Hue), а радиус насыщенность цвета (Saturation).

Модель основана на обеспечении близости цветов на всем изображении при условии, что заданны желаемые цвета на отдельных фрагментах изображения. Для каждой заданной пользователем пары фрагментов с исходным и желаемым цветом:

где pi полярные координаты i-того цвета на исходном изображении, p координаты соответствующего желаемого цвета, N количество заданных пар, i = 1, 2,..., N.

Множество цветов {P }, заданных пользователем на исходном изображении, используется в качестве вершин для разбиения HS при помощи триангуляции Делоне. Для обеспечения полного охвата цветового пространства множество {P } дополняется множеством точек {B = Conv I}, являющихся выпуклой оболочкой для всех цветов исходного изображения I. Множество {P } парных значений, соответствующее желаемым цветам, задает смещение каждой вершины {P } из точки (hi, si ) на круге HS в точку (h, s ), что приводит к геометрическому искажению формы треугольников разбиения. Соответствие каждого цвета исходного и результирующего изображений задается как аффинное преобразование треугольника, которому цвет принадлежит (рис. а).

В описанной модели цветовые тона, соответствующие точкам граничного множества {B}, не меняются, если это явно не задано смещением граничных точек. При этом наиболее насыщенные цвета на изображении не могут быть скорректированы. В настоящей работе предлагается изменение модели цветовой коррекции в пространстве HSL, учитывающее необходимость отражения изменений на границе рабочей области.

Множество граничных точек задается следующим образом:

где hConvP значение оттенка i-той точки множества {ConvP }.

Если между соседними по значению тона точками множества {B} разница h = hj+1 hj превышает /6, данное множество дополняется точками, задающими промежуточные значения. Количество дополнительных точек для каждого промежутка равно [h · 6/]. Это обеспечивает более равномерное изменение цветовых оттенков в промежуточных областях. При изменении значения оттенка hi h у вершин триангуляции, являющихся оболочi кой ConvP, будет происходить смещение точек множества {B} {B }. При этом будет изменяться значение оттенка граничных и промежуточных граничных точек (рис. б).

Оценка качества предложенной модели геометрических искажений проводилась с использованием тестовых фрагментов. Для этого множество пар тестовых фрагментов разбивалось на два подмножества: обучающее и контрольное. В качестве критерия качества цветовой коррекции, достигнутого на обучающем множестве, использовалась оценка СКО значений цветов на контрольном множестве фрагментов скорректированного и исходного изображений:

где a2 цветовая разность в пространстве HS между цветом конi трольного фрагмента и цветом этого фрагмента на скорректированном изображении, n количество контрольных фрагментов.

Сравнение результатов работы двух моделей цветовой коррекции по фиксированным наборам точек для двух изображений приведены в таблице.

Значения критерия Q для двух моделей цветовой коррекции 1. Бибиков С. А. Фурсов В. А. Модели цветовой коррекции цифровых изображений / В сб.: Математическое моделирование физических, технологических, экономических и социальных систем и процессов: Тр. двенадцатой международн. конф. Ульяновск: УлГУ, 2009. C. 44–46.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 09-07-00269-а).

Кафедра общей информатики, Самарский государственный аэрокосмический университет, 443086, г. Самара, ул. Московское шоссе, 34 а.

[email protected] УДК 519.61, 519.62, 535.

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА АНИЗОТРОПНЫХ

ПОКРЫТИЯХ

Дифракция света моделируется системой уравнений Максвелла и материальными уравнениями связи в отсутствии сторонних токов и зарядов. Пусть тензор электрической проницаемости, а магнитная проницаемость для немагнитных сред µ = 1.

Решение системы уравнений Максвелла будем искать для случая плоской световой волны, падающей под наклоном в плоскости OXZ на образец, находящийся в плоскости OXY, диэлектрические свойства которого зависят от координаты z. Волновой вектор не будет иметь компоненты ky, kx = будет константой, меняться будет только компонента kz.

С учетом сказанного в декартовой системе координат система уравнений Максвелла приводится к системе из четырёх линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

В случае, когда параметры покрытия не зависят от z, уравнение (1) можно проинтегрировать методом матричной экспоненты:

где P (h) так называемая матрица Берремана [1] для однородной среды. Если же оптические свойства среды изменяются в зависимости от z, то среду можно разбить на n слоев с тем, чтобы в пределах каждого слоя этой зависимостью можно было пренебречь.

Тогда интегрирование уравнения (1) сводится к перемножению соответствующих матриц для индивидуальных слоев.

2. Случай однородного покрытия. Анизотропное покрытие располагается между двумя изотропными средами с показателями преломления n1 и n2. Свет падает на образец из среды с показателем n1 под углом 1 к нормали к плоскости образца, а выходит во вторую среду с показателем преломления n2 под углом 2 к нормали к плоскости образца.

Поле на входе системы определяется суперпозицией падающих и отраженных волн. На выходе из системы имеется только прошедшая волна:

где T вектор прошедшей волны, R вектор отражённой волны, I вектор падающей волны, а P (h) матрица Берремана для данного однослойного покрытия либо произведение соответствующих матриц для многослойного покрытия, [start ; end ], Приравнивая тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей на границе раздела двух сред, из уравнения (3) мы получаем систему линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными Rx, Ry, Tx, Ty компонентами полей по разные стороны от образца. Её можно решать любым устойчивым численным методом.

3. Восстановление тензора диэлектрической проницаемости. Рассмотрим численный метод восстановления тензора диэлектрической проницаемости и толщины тонкой анизотропной пленки, нанесенной на подложку с известным тензором диэлектрической проницаемости, по измеренным интенсивностям отраженных и преломленных волн на спектрофотометре или измеренным элементам матрицы Мюллера на поляриметре в видимом диапазоне длин волн.

Если бы мы пытались проводить вычисления для каждой длины волны независимо, то результаты расчётов были бы чрезвычайно неустойчивы. Совместное решение задачи для диапазона длин волн (400–800 нм) гораздо сложнее, однако позволяет использовать априорную информацию о решении и применить регуляризованный вычислительный алгоритм. В качестве априорной информации используются дисперсионные соотношения Крамерса Кронига, которым, в силу аналитичности, удовлетворяет искомый тензор диэлектрической проницаемости. Прохождение электромагнитного излучения сквозь многослойное анизотропное покрытие моделируется матричным уравнением относительно характеристик отраженного R и прошедшего T сигналов при заданном падающем сигнале I. Задача восстановления толщины слоя h и параметров () матрицы Берремана P по измеренным интенсивностям R() и T () или экспериментальным коэффициентам матрицы Мюллера является чрезвычайно сложной, но весьма актуальной при проектировании оптических устройств.

Возмущенные входные данные интенсивностей R() и T () изЗадача вестны на части своей области определения [1, 2 ] R восстановления () в области [3, 4 ] R+ по этим неполным возмущенным данным является некорректной.

Предлагаемый алгоритм решения обратной задачи заключается в приближении мнимой части тензора диэлектрической проницаемости суммой гауссианов и использовании соотношения Крамерса Кронига для вычисления действительной части (). Мнимую часть ищем в виде Величины 0, Aj, j, j, j = 1, 2,..., N, а также толщина слоя h анизотропного материала являются искомыми параметрами. Вещественную часть Re вычисляем, используя соотношение Крамерса Кронига:

Таким образом, функция диэлектрической проницаемости () ищется в классе аналитических в верхней полуплоскости функций, то есть алгоритм является регуляризирующим. Восстановление искомых параметров осуществляется нелинейным методом наименьших квадратов.

1. Berreman D. W. Optics in stratied and anisotropic media: 4 4 matrix formulation // J. Opt. Soc., 1972. — No. 62. — P. 502–510.

Кафедра cистем телекоммуникаций, Российский Университет Дружбы Народов;

115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3.

[email protected] УДК 517.925+519.

ПОЛУЧЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ

ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Алгоритмы генетического программирования (ГП) позволяют решать задачи подобной сложности.

1. Алгоритм генетического программирования. Рассмотрим следующую задачу: пусть дано ОДУ и начальные условия Предполагаем, что решение существует и единственно; требуется найти аналитическую функцию, являющуюся точным или приближенным (с заданной точностью) решением. Для решения данной задачи удобнее воспользоваться методом генетического программирования [3, 4], работающим с бинарными деревьями.

Замечание. Здесь рассмотривается случай с начальными условиями в пространстве R1, хотя алгоритм позволяет увеличивать размерность пространства и использовать краевые условия.

Алгоритм состоит из четырех основных этапов:

1) инициализация начальной популяции;

2) оценка пригодности индивидов (оценка погрешности);

3) адаптация каждого индивида (оптимизация решений);

4) применение генетических операторов; переход ко второму На первом этапе случайным образом генерируется n (заданный параметр) индивидов. Каждый индивид бинарное дерево, состоящее из элементов функционального (+,,, /, sin, cos, exp, loge ) и терминального (вещественные коэфициенты, компоненты вектора) множеств.

На втором этапе вычисляется пригодность каждого индивида.

Учитывается соответствие решения уравнению, начальным (краевым) условиям, желаемой сложности дерева. При нахождении значений производных возможно как точное (аналитическое) построение (производной функции), так и разностная аппроксимация.

На третьем этапе варьируются вещественные коэффициенты (входящие в дерево) как отдельно, так и совместно с вариацией функционального набора решения (стандартным методом оптимизации [5]). Реализована альтернативная возможность оптимизации решения: с помощью вероятностного генетического алгоритма.

На четвёртом этапе применяются генетические операторы: селекция, рекомбинация, мутация. Селекция проводит отбор наиболее пригодных решений в новое поколение. Рекомбинация (скрещивание обмен двух деревьев поддеревьями) на основе хороших решений получает ещё более пригодное решение. Мутация рассматривается как оператор восстановления генетического разнообразия, состоит в случайном изменении части решения (гена).

Многократно повторяя эти шаги, алгоритм со временем подбирается к решению ОДУ. Условие остановки достижение заданной точности или лимит поколений (ограничение по времени).

Для систем ОДУ программная система была модернизирована для параллельной работы нескольких (сколько уравнений в системе) алгоритмов ГП. Работа алгоритма для систем требует дополнительных временных затрат, связанных с синхронизацией алгоритмов, так как только при условии хороших решений для каждого уравнения общее решение будет приемлемо.

2. Полученные результаты. Алгоритм был аппробирован на некоторых типах уравнений. Например, при решение простейшего уравнения но с неполным функциональным множеством (+,,, /) получается разложение функции в конечный ряд по степеням:

y(x) = 1,999611801x 0,3330926297x3 + 0,0162624753x С полным функциональным множеством получаем точное решение:

Были решены уравнения, решениями которых являются неберущиеся интегралы. В задаче найдено решение в следующем виде:

y(x) = 13,2 (6,9 2x) sin(x 0,8) 2x Были решены и другие задачи для уравнений первого порядка (в том числе, когда решением является интегральный синус), а также более высоких порядков.

Заключение. Итак, разработанный алгоритм был протестирован на некоторых типах уравнений (в том числе, когда решением являются неберущиеся интегралы). По полученным результатам можно сделать вывод: алгоритм способен в условиях поставленной задачи находить приемлемое решение, точное или приближенное аналитическое решение (если решение нельзя представить в квадратурах).

Областью применения программной системы, реализующей алгоритм генетического программирования, может быть любая область, связанная с решением ОДУ. Такой подход к решению ОДУ следует рассматривать как дополнительный инструмент: тогда, когда традиционные методы не дают желаемого результата.

1. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных 2. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 c.

3. Holland J. H. Adaptation in natural and articial systems. — Ann Arbor:

University of Michigan Press, 1975. — 228 pp.

4. Koza J. R. Genetic Programming: On Programming Computer by Means of Natural Selection and Genetics. — Cambridge, MA: The MIT Press, 1992. — 5. Семенкин Е. С., Семенкина Е. С., Коробейников С. П. Оптимизация технических систем: Учебн. пособ. Красноярск: СИБУП, 1996. 284 c.

Кафедра математического моделирования и процессов управления, Институт математики, Сибирский Федеральный Университет;

660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

[email protected] УДК 517.442:621.3.018.782.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ

СИГНАЛА СПЛАЙН-ФУНКЦИЯМИ

Определим, при каких условиях выходная координата (выходной сигнал) y(t) линейного динамического звена будет являться сплайн-функцией.

Пусть на вход динамического звена с передаточной функцией W (p) поступает ступенчатый сигнал x(t).

При передаточной функции динамического звена при выполнении условия m < n начальное значение выходной координаты на интервале действия входного импульсного сигнала определяется его конечным значением на предыдущем интервале дискретизации, а при выполнении условия m = n 2 воспроизводимая функция y(t) описывается кусками переходных процессов, сшитых на границах дискретных интервалов по 0-й и 1-й производным, то есть представляет собой сплайн-функцию (аналогичную параболическому сплайну) [1, 2].

Одним из наиболее распространенных исполнительных механизмов является одна из функций 2-го порядка:

где K статический коэффициент передачи, T постоянная времени, коэффициент затухания (демпфирования).

Независимо от вида корней характеристического уравнения передаточной функции, выходная координата такого динамического звена представляет собой сплайн-функцию.

В частном случае, если динамическое звено представляет собой двойное интегрирующее звено с передаточной функциk ей W (p) = p2, то переходный процесс такого звена представляет собой параболическую функцию, и выходная координата y(t) исполнительного органа при подаче на него ступенчатого сигнала x(t) будет представлять собой параболическую сплайн-аппроксимацию.

В этом случае для формирования ступенчатого входного (управляющего) воздействия может быть использован один из алгоритмов определения коэффициентов параболической сплайн-аппроксимации [3], представляющих собой фактически алгоритм цифровой фильтрации, достаточно просто реализуемый с помощью современных микропроцессорных устройств.

Рассмотрим задачу разработки такого алгоритма формирования управляющего воздействия на инерционное звено, чтобы его выходная координата описывалась сплайн-функцией.

При решении этой задачи будем использовать метод, использованный в [3] при разработке алгоритмов параболической и кубической сплайн-аппроксимации измерительного сигнала с применением частотного подхода. При этом предполагается, что выходная координата инерционного звена, представляющая собой сплайн–аппроксимацию заданного гармонического сигнала, изменяется по закону, по форме достаточно близкому к гармоническому, и характеризуется амплитудной и фазовой погрешностями.

Рассмотрим наиболее широко распространенный на практике случай, когда инерционное звено имеет передаточную функцию 2-го порядка.

При использовании линейного динамического звена с передаточной функцией его выходная координата и ее производная определяются следующими функциями [1]:

Здесь функции f (t), f (t) определяются обратным преобразованием (L1 ) Лапласа что приводит к соотношениям f2 (t) = A В этом случае выражения, аналогичные выражениям, полученным при использовании параболических сплайнов [3], с учётом (2) и (3) имеют вид где a2 [n] = x[n] ступенчатый сигнал, действующий на входе динамического звена.

При использовании пятиточечного сплайн-фильтра [3], описываемого функцией y [n] = b2 y0 [n 2]+b1 y0 [n 1]+b0 y0 [n]+b1 y0 [n + 1]+b2 y0 [n + 2], коэффициенты bi определяются соотношениями:

Аналогичным образом определяются коэффициенты ci, li весовых функций, определяющих выражения для производной y [n] выходной координаты, а также ступенчатого сигнала x[n], поступающего на вход динамического звена.

В частности, погрешность аппроксимации y0 (t) траектории, соответствующей гармонический функции y(t) при использовании шести участков дискретизации на период этой функции, при параметрах A = 1, td = 1, = 1 не превышает значения 6 %, что для такой сравнительно редкой дискретизации является неплохим показателем.

1. Воронов А. А. Основы автоматического управления // Линейные системы регулирования одной величины, 1965. № 1. C. 396.

2. Васильчук А. В. Использование линейных инерционных объектов для сплайн-аппроксимации воспроизводимой функции. Самара: Сам. гос.

ун-т, 1998. 7 c. Деп. В ВИНИТИ 14.04.99 № 1127-В99.

3. Ланге П. К. Сплайн-аппроксимация дискретных значений сигналов с применением методов цифровой фильтрации // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2003. № 19. C. 134–138.

Кафедра информационно-измерительной техники, Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

[email protected] УДК 519.233.5:338.24.

КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

В ИССЛЕДОВАНИИ ВЗАИМОСВЯЗИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

КАЧЕСТВА РАБОЧЕЙ СИЛЫ И УРОВНЯ

ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ТРУДА ПРЕДПРИЯТИЙ ТЭК

Основные проблемы, с которыми приходится сталкиваться предприятиям, ведущим борьбу за выживание в сложившихся сложных условиях рынка, во многом схожи. Для решения их на современном этапе применяются математические методы и модели в совокупности с пакетом программ Microsoft Excel. Математические методы это наиболее качественный и рациональный способ решения проблем, связанных с вопросами управления предприятием [1, 2].

В качестве примера рассмотрим задачу исследования влияния определенных факторных переменных, характеризующих качество рабочей силы, на производительность труда некоторого предприятия ТЭК и установим рациональный выбор факторов роста с оптимальными параметрами (см. таблицу). Применим корреляционно-регрессионный анализ, который проведем на основе математической модели линейной множественной регрессии:

Решение задачи. Рассчитаем вектор оценок коэффициентов регрессии по формуле:

где X матрица показателей качества рабочей силы, X T транспонированная матрица.

С использованием данных таблицы получаем следующие результаты расчёта: b0 = 1,260, b1 = 0,516, b2 = 0,012, b3 = 0,205, b4 = 0,0005.

Выборочное предсказанное уравнение регрессии имеет вид:

yi = 1,260 + 0,516xi1 0,012xi2 0,205xi3 0,0005xi4.

Найдм векторы стандартных отклонений коэффициентов рее грессии по следующей формуле:

где s0 = 0,884, s1 = 0,130, s2 = 0,025, s3 = 0,125, s4 = 0,011.

Очевидно, что для всех коэффициентов, кроме b0 и b1, стандартные отклонения превышают полученные значения оценок коэффициентов регрессии. Следовательно, можно предположить, что все коэффициенты регрессии, кроме b0 и b1, будут незначимы.

Сформируем вектор t-статистик (критерия значимости коэффициентов регрессии) по формуле Получаем, что при заданной доверительной вероятности = 0, и уровне значимости = 0,05 (|tb1 | > tкр ), следовательно, значим только коэффициент b1, остальные незначимы.

Проверим значимость коэффициентов, вычислив вектор P значений Pbj с помощью статистической функции СТЬЮДРАСП из пакета Microsoft Exel от набора параметров (|tbj |; n p 1; 2):

Pb0 = 0,249, Pb1 = 0,028, Pb2 = 0,666, Pb3 = 0,199, Pb4 = 0,963.

Так как Pb1 <, т е. действительно значим только коэффициент b1.

Рассчитаем величину выборочного множественного коэффициента детерминации и его скорректированного значения по следующим формулам:

Из расчётов по (6), (7) следует, что около 98 % вариации зависимой переменной обусловлены влиянием включенных факторов, остальные 2 % влиянием других, неучтённых в модели факторов.

Определим, значимо ли уравнение регрессии. Для этого рассчитаем значение F -статистики:

Так как F > Fкр, с доверительным уровнем 0,95, то уравнение регрессии значимо.

Также при вычислении величины P -значения с помощью статистической функции FРАСП из пакета Microsoft Exel от набора параметров (F ; p; n p 1) получаем, что P <, то есть уравнение регрессии значимо.

Наглядно решение задачи можно увидеть на рисунке, где отчетливо видно, что фактические и прогнозируемые величины отличаются незначительно. Следовательно, модель линейной множественной регрессии построена верно.

Зависимость фактической производительности труда от прогнозируемой:

1 производительность труда (факт); 2 производительность труда (план) Таким образом, проведенный анализ исходных данных позволяет сделать вывод о том, что производительность труда зависит, главным образом, от уровня квалификации рабочих (среднего разряда рабочих, входящих в группу). Эти факторы объясняют 98 % вариации по признаку процента выполнения норм. Случайные факторы определяют лишь 2 % вариации процента выполнения норм. Средний стаж работы по специальности, средний уровень образования и средний возраст рабочих оказывают менее существенное влияние на повышение производительности труда.

Следует также отметить, что использование математических методов в экономике представленным методом не ограничивается.

Существует большое количество вопросов, на которые необходимо обратить внимание для совершенствования управления организацией в целом. Например, с помощью анализа множественной регрессии авторами исследована зависимость производительности труда от величины заработной платы сотрудников, общей численности персонала и объема выручки предприятия; с помощью принципа оптимальности Р. Беллмана оценена эффективность инвестиционных вложений; с помощью кластерного анализа функционирование нескольких предприятий по заданным параметрам и т.д. Современным руководителям ТЭК необходимо использовать все имеющиеся возможности для поддержания своего предприятия и обеспечения высокого уровня эффективности его функционирования.

1. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособ. 2-е изд. перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2006. 432 с.

2. Федосеев В. В. Экономико-математические методы и прикладные модели:

Учеб. пособ. для вузов. М.: ЮНИТИ, 2002. 391 с.

Кафедра управления персоналом, Самарский муниципальный институт управления;

443084, г. Самара, ул. Ст.-Загора, 96.

[email protected] УДК 004.

АЛГОРИТМ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ

ИЗОБРАЖЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ ТЕХНИЧЕСКОГО

ЗРЕНИЯ

Разрабатывемый алгоритм предварительной обработки основан на методе пространственной области [1].

Процедура предварительной обработки изображений включает в себя повышение контраста и фильтрацию (сглаживание) изображения.

Повышение контраста. Повышение контраста предусматривает работу с гистограммой изображения [2]. В разрабатываемом алгоритме предварительной обработки повышение контраста осуществляется за счет использования метода линейной растяжки гистограммы. Суть данного метода заключается в том, чтобы уровням яркости пикселов исходного изображения, лежащим в интервале [fmin, fmax ], присвоить новые значения с тем, чтобы охватить весь возможный интервал изменения яркости (для 8битного изображения [0, 255]). Преобразование уровней яркости осуществляется по формуле:

где fi старое значение яркости i-того пиксела, gi новое значение, a, b коэффициенты, которые выбираются таким образом, чтобы gmin = 0, gmax = 255, и могут быть определены по формулам:

Фильтрация. Для фильтрации изображения используются двумерные фильтры, фильтрация в которых осуществляется за счт использования масок [3].

При фильтрации маска перемещается по изображению, формируя отклик фильтра. Значение отклика присваивается пикселу нового (профильтрованного) изображения, координаты которого соответствуют положению центра апертуры [3].

Фильтрация в процедуре предварительной обработки осуществляется за счет использования медианного фильтра. Медианная фильтрация осуществляется посредствам движения апертуры по изображению и замены значения элемента изображения в центре апертуры медианой исходных значений яркости пикселов внутри апертуры [3]. Принцип действия медианного фильтра можно легко пояснить на примере. Пусть во время обработки изображения в пределы маски фильтра попали пикселы со следующими значениями яркости: Из полученных значений строится ряд, в котором значения яркости упорядочиваются в порядке возрастания: 43, 46, 55, 56, 56, 57, 65, 67, 94. Медианой в данном ряду является значение пиксела равное 56. Это значение является откликом фильтра и присваивается пикселу, координаты которого соответствуют положению центра апертуры.

Медианный фильтр используется для сглаживания резких перепадов яркости и фильтрации высокочастотных помех. При применении данной фильтрации получается более гладкое (по сравнению с исходным) результирующее изображение, при этом происходит устранение разрывов в линиях или деталях.

Исходя из вышеизложенного, составлен алгоритм предварительной обработки изображений, содержащий в себе следующую последовательность действий:

1) определить минимальную и максимальную яркость пикселов (fmin, fmax ) исходного изображения;

2) вычислить коэффициенты a и b по формулам (2), (3);

3) для каждого пиксела изображения вычислить новое значение яркости согласно формуле (1);

4) извлечь из изображения значения яркости пиксела с координатами (1,1) и пикселов, составляющих его окрестность 5) составить ряд из значений яркости пикселов и упорядочить его в порядке возрастания;

6) присвоить значение яркости, соответствующие значению центрального элемента упорядоченного ряда, пикселу с координатами (1,1);

7) повторить действия 4–6 для каждого пиксела изображения, исключаю пикселы, составляющие границу изображения.

Моделирование представленного алгоритма процедуры предварительной обработки было осуществлено программным путем с использованием языка программирования Delphi. В качестве исходного изображения выбран 8-битный полутоновый аэрофотоснимок. Результаты моделирования представлены на рисунке.

Результаты предварительной обработки: а исходное изображение, б изображение после повышения резкости, в изображение после медианной фильтрации Результаты моделирования подтверждают правильность выбранного алгоритма для предварительной обработки изображения.

1. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М.: Мир, 1989. 624 c.

2. Прэт У. Цифровая обработка изображений. Кн. 2. М.: Мир, 1982.

3. Ким Н. В. Обработка и анализ изображений в системах технического Кафедра радиотехнических устройств, Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

[email protected]; [email protected].

УДК 681.518.

КОМПЛЕКСНЫЙ ПОДХОД К ФОРМИРОВАНИЮ

АЛГОРИТМОВ ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА В СИСТЕМАХ

АНАЛИЗА СОСТОЯНИЯ СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ

точечных замеров и значений параметров; допустимых интервалов их изменения; статистических законов распределения для отдельных величин; нечетких критериев и ограничений, полученных от специалистов-экспертов.

В качестве некоторого обобщения основных источников, формирующих информационное пространство, можно назвать: данные на выходе ИИС; известные закономерности заложенные в технической документации, где данными являются объективные законы реального мира, накопленные в фактографических и документальных системах; выявленные закономерности, в частности, имитационные модели. Каждый из источников в настоящее время является информационной основой для соответствующих направлений системного анализа, моделирования и управления сложными системами. Однако каждый вид ресурса обладает рядом принципиальных ограничений, существенно сужающих область его применения, в тоже время есть существенные предпосылки для системной интеграции перечисленных ресурсов. Применение комбинации подходов правдоподобного и достоверного выводов, позволит получать новые нелинейные эффекты при синтезе информационно-аналитических систем.

Возникает необходимость в конструктивном формальном аппарате инвариантном к представлению и обработке разнородной информации из вышеперечисленных источников.

Основу систем анализа состояния СТО составляют полимодельные комплексы. Проблема создания алгоритмов формирования и представления полимодельных структур является одной из ключевых в современном системном моделировании. Структура и функционирование аналитических систем (S) зависит от следующих информационных сущностей: объекта анализа (СТО) Q; цели функционирования аналитической системы G, определяемой конкретной задачей принятия решения; полимодельного комплекса, задающего структуру системы M ; среды, определяющей параметры системы C, а также отношений между данными структурами Соответственно, информация по всем, имеющимся в распоряжении субъекта информационным ресурсам Z определится как тогда формирование новой структуры информационно-аналитической системы представим в следующем виде:

где MG целевая структура системы, = (Mb, p) алгебра формирования структур, где Mb множество базовых классов элементов структур M, а p = (N, K) операции формирования структуры системы (N операция наследования, K операция композиции). Комбинация данных операций формирования структуры системы, в отличие от конкатенации, позволяет сохранять целостность представления системы на различных уровнях иерархии.

Алгоритмы формирования базовых классов объектов являются (по сути) проблемно-ориентированной декомпозицией Z, стратегия построения данных алгоритмов лежит в русле принципа семиотической интроспекции, заключающегося в идентификации различий и обобщении подобий множества объектов.

Модель объекта M i описывает его некоторые свойства в соответствующих категориях. Соответственно можно рассматривать M i как объект категории Ob M i, а взаимосвязь между объектами как морфизмы Mor M i. Применительно к задаче таксономии категории формируются на основании [3] признакового пространства множества классов Kl(M ) и самих объектов таксономии M. Объекты, принадлежащие одному классу, являются изоморфными, другими словами, неразличимыми в признаковом пространстве I n, а классы объектов Kl(M ) в данном признаковом пространстве являются гомоморфными, образуя (при соответствующих свойствах признакового пространства) категорию Cat(M ).

Полимодельное описание объекта определяется совокупностью моделей различных категорий Формирование правил отображения модели одного вида в другой требует построения функтора F (M v, M u ), вид которого определяет вид отношений между моделями видов v, u. Соответственно возможно формирование знаний категории Cat(Mu ) при недостаточных условиях формирования категории при помощи процедуры таксономии A, при этом возможна следующая процедура:

которая позволяет строить и обрабатывать гипотезы относительно знаний одной категории, применяя их к знаниям другой категории, что позволяет расширить практические возможности добывания знаний.

Алгоритмы реструктуризации данных полимодельных комплексов, заключающиеся в коррекции отношений между объектами категории, формирования новых категорий и редакции имеющихся, основаны на подходе наследования новой структуры из существующей, формировании иерархической или сетевой структуры компонент полимодельных комплексов.

Пусть Sb базис категории, (S0, ) исходный объект, Hom(S0, Sb ) (Si, ) производный объект, где Hom(Si, Sb ).

Условие сопоставимости, заключается в выполнении следующих условий:

тогда где N операция наследования объекта (Si, ) в (Sj, ).

Данная методология показала свою эффективность в процессах автоматизации формирования модели городской транспортной системы. Анализ существующих транспортных систем явился основой формирования алгоритмов адаптации заданной системы, что позволило существенно снизить объём ручной доработки данного программного проекта, по сравнению с аналогичными проектами.

1. Охтилев М. Ю., Соколов Б. В., Юсупов P. M. Интеллектуальные технологии мониторинга и управления структурной динамикой сложных технических объектов. М.: Наука, 2006. 410 с.

2. Батищев В. И., Мелентьев В. С. Аппроксимационные методы и системы промышленных измерений, контроля, испытаний, диагностики. М.:

Машиностроение-1, 2007. 393 с.

3. Загоруйко Н. Г. Прикладные методы анализа данных и знаний. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 270 с.

Самарский государственный технический университет, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

[email protected] УДК 681.3.

ЭХО-ИМПУЛЬСНЫЙ МЕТОД КАК ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

АКУСТИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ

Современный эхо-метод УЗД основан на излучении в контролируемое изделие коротких импульсов упругих колебаний и регистрации интенсивности (амплитуды) и времени прихода эхосигналов, отраженных от дефектов отражателей.

Каждой группе отражателей (дефектов) соответствует своя зависимость амплитуды эхо-сигнала от приведенного расстояния между преобразователем и отражателем r (рис. 1).

Рассмотрим случай с дефектом в виде бокового цилиндрического отверстия диаметром d, относящимся к группе компактных.

Преобразователь A, двигаясь над дефектом B, получает ряд эхосигналов. Расстояние от преобразователя до отражателя и время пробега импульса будут изменятся, соответственно меняется сигнал на линии развертки (рис. 2).

Временная огибающая эхо-сигнала показана на рис. 2 сплошной линией. Пространственная огибающая, показывающая зависимость амплитуды эхо-сигнала от перемещения преобразователя пунктирной.

Рис. 1. Положение преобразователя Рис. 2. Огибающие эхо-сигнала.

Для расчётов сигнала от дефектов, при определённом положении излучателя, используют следующую формулу:

Здесь P0 и P амплитуды соответственно излученного сигнала и принятого, S площадь пьезопластины, r расстояние между преобразователем и отражателем, длина волны излучения, () диаграмма направленности преобразователя, () коэффициент трансформации продольных волн в поперечные при излучении.

Рассмотрим значения амплитуды отраженного эхо-сигнала как функцию, зависящую от положения излучателя относительно дефекта f (). При приближении к дефекту угол будет уменьшаться до 0, при этом f () будет увеличиваться до своего максимума.

Различные виды дефектов будут давать различные, но характерные для данного дефекта f (). Таким образом, можно сформулировать обратную задачу, позволяющую по значениям f () определять параметры дефекта. Такое соотношение можно представить в виде интегрального уравнения Ядро уравнения K(, s) имеет следующий вид:

где () коэффициент трансформации продольных волн в поперечные при излучении; () диаграмма направленности преобразователя; e2(h/ cos ) коэффициент затухания волн в среде; угол между осью преобразователя и направлением на дефект; s площадь дефекта; (s) функция, характеризующая параметры дефекта.

Уравнение (2) является интегральным уравнением Фредгльма 1-го рода, процедура решения которого представляет собой некорректную задачу. Реальные дефекты характеризуются неправильностью формы, шероховатостью поверхности, они могут быть заполнены оксидами и другими веществам. Кроме того в процессе диагностики возникают различного рода шумы: реверберационные шумы преобразователя, внешние электромагнитные и акустические шумы, отражения ультразвука от структурных неоднородностей изделия. Вместе с тем на практике наиболее важной является информация не о конкретном виде поверхности дефекта и его локальной геометрии, а о его типе и характерных размерах, поскольку именно эта информация является определяющей с точки зрения механики разрушения. При расчётах для дефектов существенно больших длины волны целесообразно использовать лучевое (энергетическое) приближение и метод Киргофа [2]. В этом случае каждую точку дефекта рассматривают как вторичный излучатель звука, а поле отраженной волны вне дефекта считают равным нулю. Такой подход позволяет использовать в качестве моделей неизвестной функции (s) формулы акустического тракта [2], характеризующие зависимость эхо-сигнала от параметров дефекта. Использование формул акустического тракта позволяют применять аппроксимационные методы решения уравнения (2)[3].

1. Клюев В. В., Соснин Ф. Р., Ковалев А.В. и др. Неразрушающий контроль и диагностика: Справочник. М.: Машиностроение, 2005. 656 c.

2. Ермолов И. Н. Теория и практика ультразвукового контроля. М.: Машиностроение, 1981. 238 c.

3. Батищев В. И., Мелентьев В. С. Аппроксимационные методы и системы промышленных измерений, контроля, испытаний, диагностики. М.:

Машиностроение-1, 2007. 393 c.

Кафедра информационных технологий, Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

[email protected] УДК 519.

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ

ПРОЦЕДУРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ

РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

Задача вычисления коэффициентов j разностного уравнения формулируется в виде обобщенной регрессионной модели В основе алгоритма численного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели лежат рекуррентные формулы:

Процесс уточнений повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие останова, например, (k) (k1) < 0,01 (k). Найденные на последней итерации оценки (k) принимаются за истинные значения коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели.

Одной из основных проблем при разработке итерационной процедуры является исследование её сходимости. Рассмотрим систему нелинейных уравнений которая в матричной форме имеет вид где вектор-функция q() описывается выражением В n-мерном пространстве введм норму вектора и матрицы W следующим образом:

Для теоретического обоснования сходимости итерационной процедуры сформулирована и доказана следующая теорема [1, 3].

Теорема 1 (достаточное условие). Пусть функции qi () и qi () (i, j = 1, 2,..., n), определены и непрерывны в известной заj мкнутой области G действительного n-мерного пространства E n, причём в области G выполняется неравенство где ik элементы матрицы 1 () размера N N ; e = b F вектор остатков. Тогда, если последовательные приближения не выходят из области G : (k) G, то 1) независимо от выбора начального приближения (0) G процесс итерации (4) сходится, то есть существует = 2) предельный вектор является единственным решением уравнения = q() в области G;

3) имеет место оценка Рассмотрим некоторые следствия из этой теоремы.

Следствие 1. Формула (5) позволяет дать апостериорную оценку погрешности k-того приближения. Из неё следует, что при заданной погрешности для выполнения неравенства достаточно выполнения условия где определяется формулой (1).

Следствие 2. Вектор остатков e в формуле (3) можно представить в виде Здесь матрицы M = F (F T 1 ()F )1 F T 1 () и идемпотентны, то есть M = M M = M 2 и H = HH = H 2.

Действительно, имеем:

Аналогично:

Тогда справедливо неравенство Отсюда, используя (3), можно сформулировать ограничение на величину случайной помехи в результатах наблюдений, позволяющее обеспечить достаточное условие сходимости итерационной процедуры (4):

где матрица H описывается выражением (6).

Известно, что с вероятностью 0,997 все значения нормально распределенной центрированной случайной величины k попадают в интервал (3, ). Поэтому с учётом равенства M [k ] = имеем: = max |k | 3. Тогда, используя (7), получаем оценку В условиях теоремы 1 требуется, чтобы все последовательные приближения (k) принадлежали области G. Однако на практике, как правило, это проверить достаточно сложно. Введём дополнительное условие, обеспечивающее принадлежность всех приближений (k) замкнутой области G: (k) G, k N0.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и мноr (замкнутый шар радиуса r с центром в точке ) замкнутая ограниченная область, целиком лежащая в G, причме где вектор истинных значений коэффициентов разностного уравнения; < 1 коэффициент сжатия, который определяется соотношением (3). Пусть (0) S, где (0) первоначальная оценка, найденная методом наименьших квадратов. Тогда процесс итерации (4) сходится и предельный вектор является единственным решением уравнения (1) в области G.

Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что все последовательные приближения (k) (k N0 ) содержатся в области S и, следовательно, в области G.

Начальное приближение (0) S и, следовательно, выполняется неравенство r. Методом математической индукции покажем, что справедливо неравенство (k) r, k N. Для Теперь предположим, что (k1) S, то есть справедливо неравенство Таким образом, получаем, что (k) S при любых k N0 и, ремы 1 процесс итерации (4) сходится к единственному на множестве S решению уравнения (1) и имеет место оценка (5). Теорема доказана.

Следствие 3. При выполнении условий теоремы 2, справедливо неравенство где определяется соотношением (3).

Действительно, так как предельная точка S и начальное приближение Следовательно Формула (9) позволяет получить априорную оценку погрешности k–того приближения и найти число итераций, необходимое для достижения заданной точности :

Отсюда следует При выполнении условий теоремы 2 можно установить ограничения на величину случайной помехи в результатах наблюдений, обеспечивающие выполнение неравенства (8) и, следовательно, сходимость итерационной процедуры.

В соответствии с (2) имеем Тогда условие (8) принимает вид Отсюда можно получить оценку:

С учтом формулы = max |k | 3 имеем неравенство, выполнение которого обеспечивает сходимость итерационной процедуры (4):

Таким образом, сформулированы достаточные условия сходимости итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения; получена формула апостериорной оценки погрешности, использующая два последовательных приближения; сформулированы ограничения на величину случайной помехи, обеспечивающие достаточное условие сходимости итерационной процедуры; построена формула априорной оценки погрешности, позволяющая оценить число итераций, необходимое для достижения заданной точности.

1. Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация дисспиативных механических систем на основе разностных уравнений / ред. В. П. Радченко.

М.: Машиностроение-1, 2009. 344 с.

2. Зотеев В. Е. Помехозащищённый метод определения параметров линейной динамической системы на основе импульсной характеристики // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2007. № 1(14).

C. 138–142.

3. Зотеев В. Е. О сходимости итерационной процедуры средневкадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009.

№ 1(18). C. 133–141.

Работа выполнена при поддержке Федерального агентства по образованию (проект РНП.2.1.1.745).

Кафедра прикладной математики и информатики, Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

[email protected] УДК 519.

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СИСТЕМ,

ОПИСЫВАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЕМ ЭЙЛЕРА

где a, pi, cj R, f (x) входное воздействие, y(x) выходная характеристика.

Используя линейное преобразование аргумента, уравнение (1) всегда можно привести к виду:

Одним из основных типов тестового воздействия на систему является импульсное воздействие, которое описывается -функцией Дирака. В этом случае реакция системы (импульсная характеристика) при наличии кратных корней соответствующего характеристического уравнения может быть представлена в виде функции [1]:

где i = Rei + iImi и aij = Reaij + iImaij в общем случае комплексные числа, mi кратность i-того корня (i = 1, 2,..., n), i= Временная последовательность мгновенных значений отклика системы описывается дискретной функцией вида:

С помощью подстановки xk = e k, где некоторая константа (период дискретизации), функция (3) сводится к виду:

Очевидно, что мгновенные значения отклика системы yk = = y(xk ) = y(e k ) соответствуют не равномерной, а экспоненциальной дискретизации аргумента xk.

Применяя к дискретной функции (4) z-преобразование, имеем Отсюда в пространстве изображений можно получить:

где многочлены степени p и p1 относительно переменной z 1. При этом коэффициенты многочлена Ap (z 1 ) описываются формулами = 1. Если же r > d, то min = min{1, 2 }. Оптимальное положение ПС (как и в предыдущем разделе) либо на оси Oy (при min = 1 ), либо на продолжении большей стороны (при min = 2 ).

3. Сканирование из двух пунктов. Опять начнём с определения минимального значения rmin радиуса сканирования.

Утверждение 4. Решение задачи сканирования прямоугольника из двух пунктов сканирования существует тогда и только тогда, когда выполнено неравенство r 0,5(a2 + b2 )/a.

Далее в этом разделе считается, что r rmin = 0,5(a2 + b2 )/a.

Из эвристических соображений ясно, что оба ПС надо максимально раздвинуть и не отдавать предпочтения ни одному из них. Это означает, что оба они расположены симметрично относительно центра прямоугольника, и общая часть секторов сканирования пересекается с границей прямоугольника только в двух точках, симметричных относительно центра прямоугольника. Так же вводится понятие области допустимых положений ПС.

Численное исследование четверти границы этой области показало, что наилучшее положение каждого ПС на продолжении большей стороны прямоугольника. При этом минимальное значение суммарного угла сканирования определяется соотношением 4. Заключение. Рассмотрена задача оптимального размещения одного или двух пунктов сканирования относительно сканируемого прямоугольника. Решение задачи представлено в явном виде. Обобщение задачи на объекты другой формы является предметом специальных исследований.

1. Dosaev M. Z., Dubinin B. N., Lokshin B. Ya., Nesmeyanov P. A., Seliutski Yu. D. Virtual Test Range for Selection of Antihail Rocket External Ballistic Characteristics / In: Ninth WMO scientic conference on weather modication. — Antalya, Turkey, 2007.

2. O’Rourke J. Art gallery theorems and algorithms. — Oxford: Oxford University Press, 1987.

3. Czyzowich J., Rivera-Campo E., Urrutia J., Zaks J. On illuminating line segments in the plane // Discrete Math, 1995. — No. 137. — P. 147–153.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 08–08–00390).

Институт механики, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова;

119192, г. Москва, Мичуринский просп., 1.

[email protected] УДК 004.

МОДЕЛИРОВАНИЕ АЛГОРИТМА СЕГМЕНТАЦИИ

ПОЛУТОНОВОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ С РЕКУРСИВНОЙ

МАРКИРОВКОЙ

Сегментация изображения это процесс разделения изображения на составные части, имеющие содержательный смысл: объекты, их границы или другие информативные фрагменты, характерные геометрические особенности и др., объединение которых даст целое изображение [1].

Её следует рассматривать как начальный этап построения формального описания сцены, качество выполнения которого во многом определяет успех решения задачи распознавания изображений, интерпретации и идентификации визуально наблюдаемых объектов [2]. В общем случае сегментация представляет собой операцию разбиения конечного множества плоскости, на которой определена функция исходного изображения f (x, y), на k непустых связанных подмножеств si (i = [1, k]) в соответствии с некоторым условием.

Входными данными для рассматриваемого алгоритма сегментации является полутоновое изображение (каждый пиксел которого может иметь одно из 256 значений яркости). Результат работы алгоритма набор бинарных матриц, соответствующих изображениям отдельных объектов сцены.

Весь алгоритм сегментации можно условно разделить на два этапа: бинаризация полутонового изображения и маркировка каждого интересующего объекта.

Бинаризация заключается в следующем: дана матрица изображения размерами xy (x количество строк, пронумерованных от 0 до x 1, y количество столбцов, пронумерованных от 0 до y 1), в каждой ячейке которой содержится значение уровня яркости. Требуется привести эту матрицу в такую форму, что бы значение ячейки было либо 0 (фон), либо 1 (интересующий объект)[3]:

где A(x, y) матрица исходного полутонового изображения;

B(x, y) результирующая бинаризованная матрица; T порог бинаризации.

Если значение яркости в точке изображения с координатами (x, y) выше заданного T, то ячейке присваивается 1, в противном случае 0.

На этапе маркировки вся работа проводится уже с бинарным изображением B(x, y), образы в которой выглядят примерно как на рис. 1.

После бинаризации изображение имеет вид, представленный на рис. 2.

Необходимо найти связные компоненты, состоящие из единичных пикселов, и сформировать выходное маркированное изобраРис. 1. Бинарное изображение B(x, y) Рис. 2. Исходное изображение (а); изображение после бинаризации (б ) жение, в котором каждому пикселу присвоена метка его связной компоненты. Процесс поиска связных компонентов сводится к следующим операциям. Сначала на изображении выполняется поиск пиксела со значением 1, этому пикселу присваивается новая метка и вызывается процедура для поиска всех соседей со значениями 1. Для каждого из найденных соседей производится рекурсивный вызов процедуры. На рис. 3 демонстрируется применение рекурсивного алгоритма маркировки связных компонент. На рис. видно, что объектам присвоены разные метки (оттенки). Сформированную структуру данных можно использовать для записи значений меток в соответствующие пикселы выходного изображения [3].

Рис. 3. Шаги рекурсивного алгоритма маркировки связных компонент Рис. 4. Изображение после бинаризации (а); изображение после рекурсивной Моделирование алгоритмов бинаризации и рекурсивной маркировки было осуществлено посредством создания программы в среде программирования Delphi.

1. Йесперс П., Ван де Вил Ф., Уайт М. Полупроводниковые формирователи сигналов изображения. М.: Мир, 1979. 575 c.

2. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. 1072 c.

3. Шапиро Л., Стокман Дж. Компьютерное знание. М.: Техносфера, Кафедра радиотехнических устройств, Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

[email protected];

[email protected] УДК 004.

МОДЕЛИРОВАНИЕ АЛГОРИТМА РАСПОЗНАВАНИЯ,

ИНВАРИАНТНОГО К ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ

ИЗОБРАЖЕНИЯМ

Основной задачей процесса распознавания изображения является получение ответа на вопрос: относится ли входное изображение к классу изображений, который представляет данный эталон?

Входными данными для распознавания являются бинарные изображения объектов, выделенные в результате сегментации. Они могут отличаться от эталонного геометрическими и яркостными искажениями и сохранившимися шумами.

Рассматриваемый алгоритм распознавания состоит из двух основных этапов:

1) описание формирование вектора инвариантных признаков области изображения;

2) верификация объекта, то есть сравнение полученного вектора признаков с вектором признаков эталона и принятие решения об эквивалентности.

В [1, 2] предложен набор из семи моментов двумерной функции, инвариантных к параллельному переносу, повороту и изменению масштаба. Момент порядка (p + q) двумерной дискретной функции f (x, y) определяется как где p, q = 0, 1, 2,...; центральный момент где x = m10 и y = m01 ; выражения для центральных моментов до третьего порядка включительно Нормированные центральные моменты определяются как С использованием моментов второго и третьего порядков может быть выведен следующий набор из семи инвариантных моментов:

6 = (20 02 ) (30 + 12 )2 (21 + 03 )2 +411 (30 +12 )(21 +03 ), Близость d-мерных векторов признаков двух объектов x1 и x2 может быть описана с помощью евклидова расстояния между векторами [3]:

либо с помощью абсолютного расстояния между векторами Моделирование алгоритма было проведено эвристическим методом математического синтеза. Программа для сравнения эталонного и искаженных изображений была написана в среде программирования Delphi.

Эталонное изображение (а); изображение под углом (б ) перенос Увеличение 0,0034 0, В качестве исходного изображения для моделирования было выбрано бинарное изображение, представленное на рисунке, результаты моделирования приведены в таблицах.

Из таблиц видно, что наибольшие отличия описаний соответствуют искажениям сжатия/растяжения. Это связано с изменением соотношения между сторонами объекта. Также следует отметить, что максимальное отклонение от эталона наблюдается при угле поворота 45–50 град. Это можно объяснить дискретностью обрабатываемого изображения.

Моделирование показало, что использование в качестве нормы сравнения изображений евклидова расстояния и абсолютного расстояния идентично, но применение абсолютного расстояния позволяет увеличить скорость распознавания.

1. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. 1072 c.

2. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М.: Мир, 1989. 624 c.

3. Шапиро Л., Стокман Дж. Компьютерное зрение. М.: БИНОМ, 2006.

Кафедра радиотехнических устройств, Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

[email protected]; [email protected] УДК 621. В. С. Мелентьев, В. И. Батищев, Г. И. Леонович

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ АМПЛИТУДНОГО ЗНАЧЕНИЯ

ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ

СОСТАВЛЯЮЩИМ

Временные диаграммы, поясняющие метод, представлены на рис. 1.

Рис. 1. Временные диаграммы, поясняющие метод Рис. 2. Схема устройства, реализующего метод Мгновенные значения сигналов в момент времени t1 имеют вид где Um амплитудное значение сигнала; 1 начальная фаза сигнала.

Выражение для определения амплитудного значения напряжения (АЗН) задаётся соотношением Время измерения в данном методе минимально и не зависит от периода и начальной фазы сигнала.

Схема устройства, реализующего метод, приведена на рис. 2.

Устройство содержит фазосдвигающий блок ФСБ, осуществляющий сдвиг сигнала на 90, два аналого-цифровых преобразователя АЦП1 и АЦП2, контроллер КНТ, шину управления ШУ и шину данных ШД.

Оценим погрешность вычисления АЗН согласно (1) с учетом погрешности АЦП. Если пренебречь погрешностью от нелинейности, то можно считать, что основной погрешностью АЦП является абсолютная погрешность квантования U = n, где Uпр максимально допустимое входное напряжение АЦП; n число разрядов.

Погрешность при вычислении какой-либо функции, аргументы которой заданы приближенно, может быть оценена с помощью дифференциала этой функции [1]. Если известны только предельные абсолютные погрешности аргументов, то при вычислении дифференциалов необходимо для всех производных брать их абсолютные значения.

Предположим, что при определении АЗН мгновенные значения напряжений U1 и U2 измеряются с погрешностью преобразования АЦП и предельные абсолютные погрешности измерений равны U1 и U2. В этом случае для предельной абсолютной погрешности имеем Вычислив производные и считая, что U1 = U2 = U, где U можно представить как отношение амплитудного значения напряжения на входе АЦП к числу уровней квантования этого напряжения, для относительной погрешности вычисления АЗН получим На рис. 3 приведён график зависимости от начальной фазы сигнала 1 при 12-разрядных аналого-цифровых преобразователях в соответствии с выражением (2).

Рис. 3. Зависимость погрешности от 1 при n = Одним из существенных недостатков устройства, реализующего данный метод, является частотная погрешность фазосдвигающего блока. В результате этого при изменении частоты входного сигнала ФСБ производит сдвиг сигнала на угол, отличный от.