«Л.А. Лаушкина, Г.Э. Солохина, М.В. Черкасова Практический курс физики МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Под редакцией проф. Г.Г. Спирина Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного ...»

3.27 У тепловой машины, работающей по циклу Карно, максимальное давление в рабочей камере в n = 3 раза больше минимального. Во сколько раз максимальный объем рабочей камеры больше минимального, если КПД машины = 30%? Рабочее тело идеальный газ.

3.28 Тепловая машина работает по циклу Карно. После того, как в рабочей камере машины удалось повысить максимальное давление на n1 = 20% и понизить минимальное давление на n2 = 10% от их первоначальных значений, КПД машины увеличился на n3 = 15%. При этом максимальный и минимальный объемы камеры не изменились, и их отношение Vmax/Vmin = 3. Найти отношение первоначальных максимального и минимального давлений в цикле. Рабочее тело - идеальный газ.

3.29 В результате кругового процесса газ совершил работу A = 1 Дж и передал холодильнику тепло Q2 = 4,2 Дж. Определить КПД цикла.

3.30 Идеальный трехатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причем максимальное давление газа в n = 2 раза больше минимального, а максимальный объем в k = 4 раза больше минимального. Найти КПД цикла.

двухатомного газа, состоит из двух изохор и двух изобар. Известно, что в пределах цикла максимальные значения давления и объема газа в n = 2 раза больше минимальных, равных Pmin = 105 Па и Vmin = 0,5 м3. Найти работу А, совершаемую газом за цикл, и КПД цикла.

3.32 Определить КПД цикла 1–2–3–4–1 P (рис.3.10), состоящего из двух изобар и Карно, проведенного между максимальной и минимальной температурами первого цикла.

2–3 t3 = 700оC. Рабочее тело – воздух.

3.33 Один моль идеального двухатомного газа, занимающий объем V1 = 12,3 л под давлением P1 = 2 10 5 Па, нагревается при постоянном объеме до давления P2 = 3 10 5 Па. Далее газ расширяется при постоянном давлении до объема V3 = 24,6 л, после чего охлаждается при постоянном объеме до начального давления и, наконец, сжимается объема. Определить: 1) температуры газа 2P для характерных точек цикла; 2) КПД цикла.

3.11. Найти КПД цикла, если в процессе 2– 3 давление газа уменьшается в два раза.

3.35 Идеальный газ с показателем адиабаты совершает цикл, показанный на рис.3.11.

газа уменьшается в два раза.

3.36 Идеальный газ с показателем адиабаты совершает цикл, изображенный на рис.3.12. Найти КПД этого цикла, если в процессе 2–3 объем газа увеличивается в n = 2 раза.

3.37 = 1 моль идеального двухатомного газа, находящийся при давлении P1 = 0,1 МПа и температуре T1 = 300 K, нагревают изохорически до давления P2 = 0,2 МПа. После этого газ изотермически расширился до начального давления и, затем, был изобарно сжат до начального объема. Построить график цикла и найти его КПД.

3.38 Тепловая машина совершает цикл, P состоящий из адиабаты 1–2, изобары 2–3 и изохоры 3–1 (рис.3.13). Рабочее тело – идеальный газ с показателем адиабаты.

Выразить КПД цикла через максимальную T 3.39 Идеальный газ с показателем адиабаты совершает прямой цикл, состоящий из адиабаты, изобары и изохоры. Построить график процесса. Найти КПД цикла, если в адиабатическом процессе объем идеального газа увеличился в n раз.

3.40 Идеальный газ с показателем адиабаты совершает прямой цикл, состоящий из адиабаты, изобары и изохоры. Построить график процесса и найти КПД цикла, если в адиабатическом процессе объем газа уменьшился в n раз.

3.41 Идеальный газ с показателем адиабаты совершает цикл, состоящий из изобары, адиабаты и изотермы, причем изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла. Построить график процесса и найти КПД цикла, если абсолютная температура в пределах цикла изменяется в n раз.

3.42 Идеальный газ с показателем адиабаты совершает цикл, состоящий из изобары, адиабаты и изотермы, причем изотермический процесс происходит при максимальной температуре цикла. Построить график процесса и найти КПД цикла, если абсолютная температура в пределах цикла изменяется в n раз.

3.43 Идеальный газ с показателем адиабаты совершает цикл, состоящий из изохоры, адиабаты и изотермы, причем изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла. Построить график процесса и найти КПД цикла, если абсолютная температура в пределах цикла изменяется в n раз.

3.44 Идеальный газ с показателем адиабаты совершает цикл, состоящий из изохоры, адиабаты и изотермы, причем изотермический процесс происходит при максимальной температуре цикла. Построить график процесса и найти КПД цикла, если абсолютная температура в пределах цикла изменяется в n раз.

3.45 Одноатомный идеальный газ в количестве = 0,1 кмоль, имевший при давлении P1 = 10 Па объем V1 = 5 м, сжимался изобарически до объема V2 = 1 м3, затем сжимался адиабатически, и наконец, расширялся при постоянной температуре до начального давления и объема. Построить график процесса. Найти:

1) температуру, давление и объем для характерных точек цикла;

2) теплоту Q1, полученную от нагревателя; 3) теплоту Q2, отданную холодильнику; 4) работу А, совершенную газом за цикл; 5) КПД цикла.

3.46 Обратимый цикл 1–2–3–1 для идеального газа в качестве рабочего тела состоит из изобары, изохоры и изотермы, причем изотермический процесс 3– молярные теплоемкости газа известными, Рис. 3. полученное или отданное газом в каждом процессе. Найти КПД цикла как функцию максимальной T1 и минимальной T2 температур цикла.

3.47 На рис.3.15 представлен цикл, выполняемый с = 1 молем идеального газа в некоторой тепловой машине. Процесс 3– изотермический. Считая молярные теплоемкости газа известными, найти в P совершаемую газом. Выразить КПД цикла через максимальную T2 и минимальную T 3.48 Обратимый цикл для тепловой машины с одним молем идеального газа в качестве рабочего тела состоит из изохоры, P адиабаты и изотермы (рис.3.16).

Показатель адиабаты газа. Определить цикла. Выразить КПД цикла через температуры цикла.

3.49 Идеальный газ с показателем адиабаты совершает обратимый циклический процесс, состоящий из изобары 1–2, адиабаты 2–3 и изотермы 3–1 (рис.3.17).

Выразить КПД цикла через максимальную Рис. 3. T1 и минимальную T2 температуры цикла.

3.50 Идеальный газ с показателем адиабаты совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Найти КПД цикла, если температура газа возрастает в n раз, как при изохорном нагреве, так и при изобарном расширении.

двух изохор 2–3 и 4–1 с идеальным газом в качестве рабочего тела (рис.3.18).

Известны: молярные теплоемкости газа, Т изотермическое расширение доходит до объема V2.

3.52 Идеальный газ с показателем адиабаты совершает циклический процесс, состоящий из двух изотерм и двух изобар.

Изотермические процессы протекают при температурах T 1 и T ( T1 > T2), а изобарные при давлениях P1 и P2 (P2 в е раз больше, чем P1). Построить график процесса и найти КПД цикла.

3.53 Идеальный газ с показателем адиабаты совершает цикл, состоящий из происходят изотермические процессы, T1, T2 и T3. Найти КПД цикла, если объем в каждом изотермическом сжатии уменьшается в n раз. Рис. 3. 3.54 Кусок меди массой m1 = 300 г при температуре t1 = 97 C поместили в калориметр, где находится вода массой m2 = 100 г при температуре t2 = 7 C. Найти приращение энтропии системы к моменту выравнивания температур. Теплоемкость калориметра пренебрежимо мала. Удельные теплоемкости: меди с1 = 385 Дж/(кг К), воды с 2 = 4200 Дж/(кг К).

3.55 Смешано m1 = 5 кг воды при температуре t1 = 10 С с m2 = 8 кг воды при температуре t2 = 80 C. Найти: 1) температуру смеси ;

2) изменение S энтропии системы, происходящее при смешивании.

Удельная теплоемкость воды суд = 4200 Дж/(кг К).

3.56 Лед массой m1 = 2 кг при температуре t1 = 0 C был превращен в воду той же температуры при помощи пара, имеющего температуру t2 = 100 C. Определить массу m2 израсходованного пара и изменение энтропии S системы лед–пар при таянии льда. Удельная теплота плавления льда = 3,3 105 Дж/кг, удельная теплота парообразования воды r = 2,26 106 Дж/кг, удельная теплоемкость воды суд = 4200 Дж/(кг К).

3.57 Найти изменение энтропии при нагревании m = 100 г воды от t1 = 0 C до t2 = 100 C с последующим превращением воды в пар той же температуры. Удельная теплота парообразования воды r = 2,26 106 Дж/кг, удельная теплоемкость воды суд = 4200 Дж/(кг К).

3.58 Кусок льда массой m = 200 г, взятый при температуре t1 = –10 C, был нагрет до температуры t2 = 0 C и расплавлен, после чего образовавшаяся вода была нагрета до температуры t3 = 10 C.

Определить изменение энтропии льда. Удельная теплота плавления = 3,3 105 Дж/кг, удельные теплоемкости: льда с1 = льда Дж/(кг К), воды с2 = 4200 Дж/(кг К).

3.59 Найти приращение энтропии алюминиевого бруска массой m = 3 кг при его нагревании от T1 = 300 K до T2 = 600 K, если в этом интервале температур удельная теплоемкость алюминия изменяется по закону c уд a bT, где а = 0,77 Дж (г К ), b = 0,46 мДж (г К ).

3.60 В результате изохорического нагревания водорода массой m = 1 г давление газа P увеличилось в n = 2 раза. Определить изменение энтропии газа. Молярная масса водорода = 2 10–3 кг/моль.

3.61 Кислород массой m = 2 кг увеличил свой объем в n = 5 раз: один раз – изотермически, другой раз – адиабатически. Каково будет изменение энтропии в обоих случаях? Молярная масса кислорода = 32 10–3 кг/моль.

3.62 Водород массой m = 100 г был изобарически нагрет так, что его объем увеличился в n раз, затем водород был изохорически охлажден так, что его давление уменьшилось в n раз. Найти изменение энтропии для n = 3. Молярная масса водорода = 2 10–3 кг/моль.

3.63 Объем V1 = 1 м3 воздуха, находившегося при температуре t1 = 00C и давлении P1 = 98 кПа, изотермически расширяется от объема V до объема V2 = 2V1. Найти изменение энтропии S в этом процессе.

3.64 Изменение энтропии на участке между двумя адиабатами в цикле Карно S = 4,19 кДж/K. Разность температур между двумя изотермами T = 100 K. Какое количество теплоты Q превращается в работу в этом цикле?

3.65 Найти изменение энтропии S при изотермическом расширении массы m = 6 г водорода от давления P1 = 100 кПа до давления P2 = 50 кПа. Молярная масса водорода = 2 10–3 кг/моль.

3.66 Во сколько раз следует изотермически увеличить объем идеального газа в количестве = 4 моля, чтобы его энтропия увеличилась на S = 23 Дж/K?

3.67 Гелий массой m = 1,7 г адиабатически расширился в n = раза, а затем был изобарически сжат до первоначального объема.

Найти приращение энтропии газа в этом процессе. Молярная масса гелия = 4 10–3 кг/моль.

3.68 Найти изменение S энтропии азота массой m = 4 г при изобарическом расширении от объема V1 = 5 л до объема V2 = 9 л.

Молярная масса азота = 28 10–3 кг/моль.

3.69 Два моля идеального газа сначала изохорически охладили, а затем изобарически расширили так, что конечная температура стала равна первоначальной. Найти приращение энтропии газа, если его давление в этом процессе изменилось в n = 3,3 раза.

3.70 Найти изменение энтропии S при переходе водорода массой m = 6 г от объема V1 = 20 л под давлением P1 = 150 кПа к объему V2 = 60 л под давлением P2 = 100 кПа. Молярная масса водорода = 2 10–3 кг/моль.

3.71 В закрытом сосуде объемом V = 2,5 л находится водород при температуре t1 = 17 С и давлении P1 = 133 10 4 Па. Водород охлаждают до температуры t2 = 0 C. Вычислить приращение энтропии S.

3.72 Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на две части так, что объем одной из них в n = 2 раза больше объема другой.

В меньшей части находится 1 = 0,3 моля азота, а в большей части 2 = 0,7 моля кислорода. Температура газов одинакова. В перегородке открыли отверстие и газы перемешались. Найти приращение энтропии системы, считая газы идеальными.

3.73 Найти приращение энтропии = 2 молей идеального газа с показателем адиабаты = 1,3, если в результате некоторого процесса объем газа увеличился в n = 2 раза, а давление уменьшилось в m = 3 раза.

3.74 В сосудах 1 и 2 находится по = 1,2 моля газообразного гелия. Отношение объемов сосудов V2 V1 2, а отношение разность энтропий (S2 S1) гелия в этих сосудах.

3.75 Процесс расширения = 2 молей аргона происходит так, что давление газа увеличивается прямо пропорционально его объему.

Найти приращение энтропии газа при увеличении его объема в n = 2 раза.

3.76 При очень низких температурах теплоемкость кристаллов кристалла как функцию температуры в этой области.

3.77 В одном сосуде, объем которого V1 = 1,6 л, находится m1 = 14 г окиси углерода (СО). В другом сосуде, объем которого V2 = 3,4 л, находится m2 = 16 г кислорода. Температуры газов одинаковы. Сосуды соединяют, и газы перемешиваются. Найти приращение энтропии S в этом процессе. Молярные массы: окиси углерода 1 = 28 10–3 кг/моль, кислорода 2 = 32 10–3 кг/моль.

3.78 Один моль идеального газа совершает процесс, при котором - постоянная. Температура газа изменилась от T1 до T2. Найти количество тепла, сообщенное газу.

3.79 Один моль идеального газа с известным значением теплоемкости Cмол совершает процесс, при котором его энтропия S зависит от температуры как S T, где - постоянная. Температура газа изменилась от T1 до T2. Найти работу, которую совершил газ.

3.80 Один моль идеального газа совершает процесс, при котором его энтропия S зависит от температуры как S T, где - постоянная.

Температура газа изменилась от T1 до T2. Найти молярную теплоемкость газа как функцию температуры.

3.81 На рис.3.20 показаны два процесса 1–2 и 1–3–2, переводящих идеальный газ из что приращение энтропии в этих процессах в пределах которого абсолютная температура изменяется в n раз. Цикл имеет вид, показанный на рис.3.21, где Т – температура, а S – энтропия. Найти КПД этого цикла.

3.83 Идеальный газ совершает циклические процессы, показанные на рис.3.22 а,б. Выразить КПД циклов через максимальную Т1 и минимальную Т2 температуры цикла.

рис. 3.23 в координатах S–T (Т – температура, S – энтропия). Рабочее тело – идеальный газ.

3.85 КПД цикла, изображенного на рис.3.24 в координатах S–T (S – энтропия, T – температура), = 50%. Найти отношение температур нагревателя и холодильника для данного цикла. Изобразить цикл в координатах P–V (P – давление, V – объем). Рабочее тело – идеальный газ.

4. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА

Статистическая физика изучает системы, состоящие из большого числа частиц. Основная задача статистической физики – установить связь между макроскопическими параметрами системы в целом и микроскопическими параметрами отдельных частиц, причем рассматриваются не конкретные движения и взаимодействия частиц, а только наиболее вероятное их поведение.

В состоянии равновесия все значения координат, скоростей, импульсов и других параметров молекул идеального газа в тепловом движении равновероятны (иначе тепловое движение не было бы вполне хаотичным), а в результате столкновений частиц параметры изменяются случайным образом и, следовательно, являются случайными величинами.

Вероятностью появления случайной величины называется предел где N – общее число опытов (число частиц), N – число опытов (частиц) в которых появляется эта случайная величина (т.е.

исследуемый параметр имеет нужное нам значение).

Для описания непрерывных случайных величин используется функция распределения вероятности f(А) (плотности вероятности), выражающая относительное число N/N (долю) частиц, имеющих значение некоторого параметра (А) в интервале от А до А + dA.

Другими словами, функция f(A) выражает вероятность того, что значение параметра будет заключено в интервале от А до А + dA Из выражения (4.1) следует, что число частиц, для которых значение параметра А лежит в интервале от А1 до А2, запишется Поскольку вероятность w получения какого–либо значения исследуемого параметра А равна единице, то для функции распределения можно записать условие нормировки Любая средняя величина ( A ) ; A ; A 2 ; 1 A и т.д. в интервале от значения А1 до значения А2 может быть определена по формуле При интегрировании во всем возможном диапазоне значений параметра А, учитывая условия нормировки (4.3), получаем Закон распределения по скоростям теплового движения молекул газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, был выведен Д. К. Максвеллом (1859) и носит название распределения Максвелла.

Согласно (4.1) элементарная вероятность того, что составляющая скорости молекул по оси ОХ лежит в малом интервале от vx до vx + dvx где f(vX) функция распределения Максвелла для одной компоненты скорости m0 масса молекулы, k = 1,38 10–23 Дж/К – постоянная Больцмана, Т температура.

Поскольку, элементарная вероятность равна относительному числу частиц dN(v X ) N, имеющих скорости в интервале dvx, то можно записать Аналогично записываются формулы для относительного числа частиц, имеющих скорости в интервалах dvY и dvZ.

Перейдем от распределения молекул по компонентам скорости к распределению по модулю скорости v v 2 v 2 v 2. Согласно (4.1) элементарная вероятность того, что модуль скорости лежит в малом интервале значений от v до v + dv Тогда относительное число частиц dN(v ) N, имеющих скорости в интервале dv, запишется где f(v) – функция распределения молекул по модулю скорости (распределение Максвелла) Вид функции распределения f(v) показан на рис. 4.1.

Основные свойства функции распределения :

а) Функция f(v) непрерывна, модуль скорости частиц может принимать значения в диапазоне от 0 до ;

б) Площадь S, ограниченная графиком функции f(v) и осью абсцисс (ось скорости v), определяет относительное число частиц, имеющих скорости в интервале от v до v + v и представляет собой вероятность того, что модуль скорости молекулы заключен между v и v + v, т.е.

в) При увеличении температуры газа общая площадь под кривой f(v) не изменяется (рис.4.2), но увеличивается число частиц, скоростями, и, соответственно, уменьшается число частиц с происходит перераспределение числа частиц по скоростям.

Кроме функции распределения частиц по скоростям используются функции распределения частиц по энергиям и импульсам. Получим распределение молекул по энергиям, выражая скорость через кинетическую энергию молекулы:

Подставляя выражения, полученные для v и dv, в формулу (4.10), получим Откуда, функция распределения молекул по энергиям Аналогично можно получить распределение молекул по модулю импульса. Для этого нужно выразить скорость через импульс C учетом полученных выражений, (4.10) примет вид:

откуда функция распределения молекул по импульсам Расчет характерных величин в распределении Максвелла 1) Для нахождения наиболее вероятных значений скорости vв, энергии Eв и импульса pв необходимо исследовать на экстремум соответствующую функцию распределения f(v), f(E), f(p), т.е. решить уравнение и определить наиболее вероятное значение искомой величины.

Найдем наиболее вероятную скорость молекул через функцию распределения молекул по модулю скорости (4.10) скорость движения молекул 2) Средние значения величин v, p, E находятся согласно выражениям (4.4) и (4.5). Рассчитаем среднюю арифметическую скорость v молекул с помощью функции распределения Максвелла по модулю скорости (4.10). Пределы изменения модуля скорости молекулы от 0 до.

Данный интеграл является табличным (см. Приложения), с помощью Таблицы 1, находим при m 0 kT 3) Средняя квадратичная скорость молекул vср.кв величина, равная квадратному корню из среднего значения квадрата модуля скорости молекул. Находим на основании (4.5) и (4.10) Откуда получаем формулу для средней квадратичной скорости молекул кинетической энергии молекулы Расчет числа молекул в заданном интервале скоростей и Если интервал изменения параметров: скорости v = v2 – v (компоненты скорости vх = v2х – v1х) или энергии Е = Е2 – Е1 мал по сравнению со средним значением этого параметра, то приближенный расчет числа молекул N можно проводить непосредственно по распределениям (4.10), (4.8), (4.13) или (4.15) где v, v X, E – средние значения параметров Если интервал изменения параметров ( v, E) не является малым, то расчет числа молекул в этом диапазоне производится по формуле (4.2) или где f(v) и f(E) определяются по формулам (4.11) и (4.14).

Для нахождения числа частиц N(v) удобно в формуле (4.23) перейти к безразмерной переменной u v vв (безразмерная скорость), где vв 2kT m0 - наиболее вероятная скорость движения молекул (4.18). В новых переменных где новые пределы интегрирования u1 = v1/vB, u2 = v2/vB. Способы вычисления определенного интеграла (4.25) зависят от диапазона значений величины u = v/vB.

4.26 vB 4.28 С 4.30 v B 4.42 Е = k T 4.43 = 3m0kT 4. 4. 4. 4. 4.89 h 4. 4. 5. 5.19 z 5. 5.23 z 5. 5. 5. 5. 5.40 a) D ~ T3 2 ; б) D ~ T 5.41 a) D ~ ; б) D ~ Р 5. 5. 5.50 P 5. 5.55 u 5.56 F 5. 5.59 a) F 5. 5. 5. 5.64 = const; D ~ 5.65 2 m 5; 5. 5. 5. 5.71 5.82 Pп р 5.84 Q 5.85 a) 5. 5. 5. 6. 6.13 P 6.14 1) P 6.17 P 6. 6.35 Q 6. 6. 6.47 h 6.48 A 6.51 q 6. 6. 6. 6.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Варианты расчетной работы № 2 (начало) Идеальный газ 3 1.31; 1.56; 1.78 2.12; 2.54; 2. 5 1.22; 1.55; 1.77 2.13; 2.53; 2. 15 1.37; 1.40; 1.89 2.18; 2.48; 2.85 3.18; 3.32; 3. 16 1.12; 1.50; 1.73 2.33; 2.62; 2.86 3.25; 3.46; 3. 17 1.29; 1.59; 1.94 2.19; 2.47; 2.87 3.19; 3.35; 3. 18 1.36; 1.66; 1.74 2.34; 2.65; 2.88 3.26; 3.47; 3. 19 1.13; 1.54; 1.93 2.20; 2.46; 2.89 3;20; 3.37; 3. 20 1.26; 1.62; 1.79 2.35; 2.64; 2.90 3.27; 3.48; 3. Варианты расчетной работы № 2 (продолжение) Вар

ЛИТЕРАТУРА

1. Курс физики т. 1. Савельев И.В. - М., Наука, 1989 г.

2. Курс физики. Детлаф А.А., Яворский Б.М. - М., Высшая школа, 1989 г.

3. Молекулярная физика. Кикоин А.К., Кикоин И.К. - М., Наука, 1976 г.

4. Лекции по физике. Часть 1. Механика и молекулярная физика.

Бреус С.Н. - М., МАИ, 2001 г.

5. Физические величины. Чертов А.Г. - М., Высшая школа, 1990 г.

6. Практический курс физики. Молекулярная физика и термодинамика/ Под. ред. Мартыненко Т.П. - М., МАИ, 2000 г.

7. Решение задач по механике, молекулярной физике и термодинамике. Анисимов В.М., Лаушкина Л.А., Солохина Г.Э., Третьякова О.Н. - М., МАИ, 1996 г.

8. Задачник по общей физике. Иродов И.Е. - М., Наука, 1985 г.

9. Задачник по физике. Чертов А.Г., Воробьев А.А. - М., Высшая школа, 1988 г.

10. Сборник задач по общему курсу физики. Волькенштейн В.С. М., Наука, 1985 г.

Учебное издание Людмила Андреевна Лаушкина Галина Энгелевна Солохина Мария Владимировна Черкасова

ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС ФИЗИКИ

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И

ТЕРМОДИНАМИКА