«ОСНОВОПОЛОЖЕНИЯ АРИФМЕТИКИ ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ О ПОНЯТИИ ЧИСЛА Перевод В.А. Суровцева Томск: Издательство Водолей, 2000 2 ЛОГИЦИСТСКАЯ ПРОГРАММА Г.ФРЕГЕ К середине XIX века усилиями ряда мыслителей стал, ...»

Нелепо, чтобы то, что по своей природе чувственно, встречалось в нечувственном. Если мы видим синюю поверхность, то у нас есть своеобразное впечатление, соответствующее слову «синий»; мы узнаём его снова, если наблюдаем другую синюю поверхность. Если же мы хотим предположить, что таким же способом при взгляде на треугольник слову «три» соответствует нечто чувственное, то это же самое мы должны вновь обнаружить в трёх понятиях; нечто нечувственное несло бы в себе нечто чувственное. Пожалуй, можно согласиться, что слову «треугольность» соответствует разновидность чувственного впечатления, но при этом нужно принимать данное слово как целое. Три мы видим тут не непосредственно; но мы видим нечто такое, к чему можно привязать умственную деятельность, ведущую к суждению, в котором встречается число 3. Как же тогда мы знакомимся, скажем, с числом фигур силлогизма, установленного Аристотелем? Разве с помощью глаз? Самое большее мы видим определённые знаки для фигур силлогизма, а не их сами. Как же мы можем увидеть их число, если сами они остаются невидимыми? Но, пожалуй, имеют в виду, что достаточно видеть знаки; их число равно числу фигур силлогизма. Тогда откуда это известно? Для этого последнее всё-таки уже должно быть определено другим способом. Или же предложение «Число фигур силлогизма есть четыре»

является только другим выражением для «Число знаков фигур силлогизма есть четыре»? Нет! О знаках можно ничего не говорить; никто ничего не желает знать о знаках, если их свойство одновременно не выражает свойство обозначаемого. Здесь без логической ошибки одно и то же может иметь различные знаки; числу знаков даже не нужно совпадать с числом обозначаемого.

Там же, Кн. III, Гл. xxiv, §5.

Baumann, Op.cit., Bd.I, S.409. [Локк Дж. Сочинения в трёх томах, т.1.– М.: Мысль, 1985.– С.255.] Baumann, Op.cit., Bd.II, S.56.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.2. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.3 …, С.412.] §25. В то время как для Милля число есть нечто физическое, для Локка и Лейбница оно существует только в идее. В самом деле, как говорит Милль1, два яблока физически отличаются от трёх яблок, а две лошади физически отличаются от одной лошади из-за различия в видимом и осязаемом феномене2. Но должно ли из этого выводить, что двойка или тройка есть нечто физическое? Пара сапог может быть таким же видимым и осязаемым феноменом, как два сапога.

Здесь мы имеем числовое различие, которому не соответствует физическое, поскольку два и одна пара отнюдь не одно и то же, как по странному стечению обстоятельств, по-видимому, считает Милль. Наконец, каким образом возможно, чтобы два понятия физически отличались от трёх понятий?

Беркли говорит так3: «Следует принять во внимание, что число … не есть нечто определённое и установленное, существующее реально в самих вещах. Оно есть всецело создание духа, рассматривающего или простую идею саму по себе, или какую-либо комбинацию простых идей, которой даётся одно имя и которая таким образом сходит за единицу. Соответственно различным способам, коими дух комбинирует свои идеи, изменяется также и число, которое есть только совокупность единиц. Мы считаем окно за единицу и печь за единицу; однако и дом, в котором много окон и много печей, имеет такое же право называться единицей; множество же домов составляют один город».

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЧИСЛО ЧЕМ-ТО СУБЪЕКТИВНЫМ?

§26. Развивая мысль в этом направлении, легко прийти к тому, чтобы считать число чем-то субъективным. Кажется, что способ, которым число возникает в нас, может разъяснить его сущность. Следовательно, тогда всё зависело бы от психологического исследования. В этом смысле, пожалуй, высказывается Липшиц4:

«Тот, кто хочет составить обзор каких-то вещей, будет начинать с определённой вещи и постепенно добавлять новую вещь к предыдущим».

По-видимому, это больше подходит к тому, как мы получаем, скажем, созерцание созвездия, чем к числообразованию. Намерение составить обзор несущественно, поскольку едва ли можно сказать, что стадо стало обозримее, если установлено, из скольких голов оно состоит.

Такое описание внутренних процессов, предшествующих вынесению суждения о числе, никогда не может, даже если оно и является соответствующим, заменить подлинное определение понятия. Его никогда нельзя привлечь к доказательству арифметических предложений;

посредством него мы не узнаем никакого свойства числа. Потому что число является предметом психологии или результатом психических процессов столь же мало, как, скажем, Северное море.

Объективности Северного моря не наносится ущерба тем, что от нашего произвола зависит, какую часть водной поверхности Земли мы отграничиваем и хотим закрепить под именем «Северное море». Последнее не основание стремится исследовать это море психологическими способами.

Таким образом, и число тоже есть нечто объективное. Если говорят: «Северное море имеет величину 10.000 квадратных миль», то ни посредством «Северное море», ни посредством «10.000»

не указывают на состояние или процесс внутри себя, но утверждают нечто вполне объективное, независимое от наших представлений и т.п. Если же мы в другой раз обозначим границы Северного моря как-то иначе или захотим нечто другое понимать под «10.000», то то же самое содержание, которое прежде было правильным, не станет ложным; но, пожалуй, на место истинного содержания подставлено ложное, из-за чего истинность этого первого никоим образом не упраздняется.

Указывая число лепестков цветка, ботаник хочет сказать нечто столь же фактическое, как если он указывает его цвет. Одно столь же мало зависит от нашего произвола, как и другое. Здесь, следовательно, есть определённое сходство между числом и цветом; но оно состоит не в том, что и то, и другое чувственно воспринимаемо во внешних вещах, но в том, что и то, и другое являются объективными.

Там же, Кн. III, Гл. xxiv, §5.

Если быть точным, необходимо добавить: когда они вообще являются феноменом. Ведь если у кого-то в Германии есть одна лошадь, а в Америке - другая (и никаких других нет), то он, конечно, владеет двумя лошадьми. Однако они не образуют феномен, но так можно назвать только каждую лошадь саму по себе.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.428. [Беркли Дж. Сочинения.– М.: Мысль, 1978.– С.102.] Lehrbuch der Analysis, S.1. Я полагаю, что Липшиц имеет в виду внутренний процесс.

Я отличаю объективное от осязаемого, пространственного, действительного. Земная ось, центр массы Солнечной системы являются объективными, но я не могу назвать их действительными, как саму Землю. Экватор часто называют мысленной линией, но было бы ложным назвать его выдуманной линией; он не является результатом душевного процесса, возникшим посредством мысли, но лишь познаётся, схватывается посредством мысли. Если бы становление познанным означало возникновение, то мы не могли бы высказать о нём ничего позитивного при ссылке на время, которое предшествует этому якобы возникновению.

Пространство, согласно Канту, относится к явлениям. Возможно, что другим разумным существам оно представляется совершенно иначе, чем нам. Ведь нам даже не известно, видится ли оно одним человеком так, как оно видится другим, поскольку мы не можем соположить созерцание пространства одним с созерцанием пространства другим, для того чтобы их сравнить.

Но, тем не менее, здесь содержится нечто объективное; все познают одни и те же геометрические аксиомы, пусть даже только на деле, и должны поступать так, чтобы ориентироваться в мире.

Объективным здесь является то, что закономерно, понятийно, выразимо суждением, что может быть выражено в словах. Чистое созерцаемое не передаваемо. Для пояснения, предположим наличие двух разумных существ, для которых созерцаемыми являются только проективные свойства и отношения: расположение трёх точек на прямой, четырёх точек на плоскости и т.д.; и пусть одному из них плоскостью кажется то, что другой созерцает как точку, и наоборот. То, что для одного из них является линеарным соединением точек, для другого может быть сечением плоскостей и т.д. с постоянно соответствующей двойственностью. Тогда они весьма хорошо могли бы понимать друг друга и никогда бы не обнаружили различие своих созерцаний, поскольку в проективной геометрии каждой теореме противостоит другая, двойственная;

отклонения же в эстетическом предпочтении признак не надёжный. В отношении всех геометрических теорем они были бы полностью согласны; по-разному они лишь переводили бы слова в своё созерцание. Скажем, со словом «точка» один связывал бы одно, а другой – другое созерцание. Всё-таки можно сказать, что их слово означает нечто объективное; только не нужно под этим значением понимать особенное в их созерцании. И в этом смысле земная ось также является объективной.

Обычно под «белый» мыслят определённое ощущение, которое, разумеется, является вполне субъективным; но уже в обыкновенном словоупотреблении, мне кажется, часто выступает объективный смысл. Если снег называют белым, то хотят выразить объективное свойство, которое распознаётся определённым ощущением при обычном дневном свете. Если он расцвечен освещением, то это учитывают при вынесении суждения, возможно говоря: «Сейчас он кажется красным, но является белым». Также и дальтоник может говорить о красном и зелёном, хотя он не различает их в ощущении. Он узнаёт о различии из того, что его проводят другие, или, возможно, посредством физического опыта. Таким образом, слово для цвета часто обозначает не наше субъективное ощущение, о котором мы не можем знать, что оно совпадает с ощущением другого ибо никоим образом не ручаемся за одинаковое название - но объективное качество. Итак, под объективным я понимаю то, что независимо от нашего ощущения, созерцания и представления, от проектирования внутренних образов из воспоминания предшествующих ощущений, но не независимость от разума; ибо ответить на вопрос, что представляют собой вещи независимо от разума, значит вынести суждение, не вынося суждение, войти в воду, не замочив ног.

§27. Поэтому я не могу согласиться со Шлёмильхом1, который называет число представлением места объекта в ряду2. Если бы число было представлением, то арифметика была бы психологией.

Schloemilch, Handbuch der algebraischen Analysis, S.1.

Против этого можно также возразить, что когда появляется одно и то же число, тогда должно появляться одно и то же представление места, что, очевидно, ложно. Это следствие не соответствовало бы действительности и в том случае, если под представлением он хотел бы понимать объективную идею; ибо тогда не было бы никакого различия между представлением места и самим местом.

Представление в субъективном смысле есть то, что относится к психологическому закону ассоциации; оно имеет чувственный, образный характер. Представление в объективном смысле принадлежит логике и является сущностно нечувственным, хотя слово, обозначающее объективное представление, часто также сопровождается субъективным представлением, которое, однако, не является его значением. По достоверным сведениям, субъективное представление часто различается у разных людей, объективное же у всех одинаково. Объективные представления подразделяются на предметы и понятия. Чтобы избежать путаницы, я буду использовать «представление» только в субъективном смысле. Вследствие того, что Кант этим словом ссылался и на то, и на другое, он придал своему учению более субъективную, идеалистическую окраску и затруднил знакомство со своим настоящим мнением.

Таковой она является столь же мало, как, скажем, астрономия. Как последняя имеет дело не с представлениями планет, но с ними самими, так же и предметом арифметики не являются представления. Если бы двойка была представлением, то она, прежде всего, было бы только моей.

Представление другого человека уже как таковое является другим. Тогда, пожалуй, мы имели бы много миллионов двоек. Нужно было бы сказать: моя двойка, твоя двойка, какая-то двойка, все двойки. Если предполагать скрытые или неосознанные представления, то тогда были бы также и неосознанные двойки, которые осознавались бы позже. С подрастающими поколениями всегда возникали бы новые двойки, и кто знает, не изменились ли бы они в течение тысячелетий так, чтобы 2 2 = 5. Несмотря на это всё ещё сомнительно, имеется ли бесконечно много чисел, как обычно думают. Ведь могло бы быть и так, чтобы 1010 являлось лишь пустым знаком, и не имелось бы вовсе никакого представления (в каком-нибудь существе), которое могло бы быть так названо.

Мы видим, к каким диковинам приводит развёртывание мысли, что число является представлением. И мы приходим к выводу, что число не является ни пространственным и физическим, как груда булыжников и орехов у Милля, ни также субъективным, как представления, но является нечувственным и объективным. Ведь основание объективного не может лежать в чувственном впечатлении, которое в качестве аффектации нашей души является совершенно субъективным, но, насколько я вижу, лежит в разуме.

Было бы удивительно, если бы самая точная наука вынуждена была бы опираться на ещё неточную, продвигающуюся ощупью психологию.

ЧИСЛО КАК МНОЖЕСТВО.

§28. Отдельные авторы объясняют число как множество, многое или множественность.

Недостаток здесь в том, что числа 0 и 1 исключаются из данного понятия. Эти выражения довольно неопределённы: то они более близки по значению к «куче», «группе», «агломерату»

(причём мыслятся в пространственной связи), то используются почти равнозначно с «числом», только неопределённым. Поэтому, в таком объяснении нельзя найти расклад понятия числа. Для образования числа Тома1 требует, чтобы различным множествам объектов придавались различные имена. Под этим, очевидно, для каждого множества объектов подразумевается чёткое определение, для которого придание имени есть лишь внешний знак. Ну и каким же способом осуществляется это определение? Вот в чём вопрос. Очевидно, что идея числа не возникла бы, если для «3 звезды», «3 пальца», «7 звёзд» хотели бы ввести имена, у которых не были бы видны общие элементы. Дело здесь не в придании имени вообще, но в том, чтобы само собой указывалось, что число в этом есть. А для этого необходимо, чтобы число познавалось в своей особенности.

Должно принять во внимание ещё и следующее различие. Некоторые называют число множеством вещей или предметов; другие, как уже Евклид2, объясняют его как множество единиц.

Последнее выражение требует отдельного обсуждения.

Проводимое здесь различие столь же оправдано, как и различие между психологией и логикой. Следовало бы и последние всегда разделять очень строго!

Thomae, Elementare Theorie der analytischen Functionen, S.1.

µ µ ». [«Единица есть, через что каждое из существующих считается единым.

Число же – множество составленное из единиц.» – Начала Евклида, Кн.VII–X.– М.: ГИТТЛ, 1949.– С.9.]

III. МНЕНИЯ О ЕДИНИЦЕ И ОДИН.

ВЫРАЖАЕТ ЛИ ЧИСЛИТЕЛЬНОЕ «ОДИН» СВОЙСТВО ПРЕДМЕТОВ?

§29. В определении, которое Евклид даёт вначале 7 книги Элементов, кажется, что словом «» он указывает то на подлежащий счёту предмет, то на свойство такого предмета, то на число один. Всегда обходятся переводом «единица», но лишь постольку, поскольку данное слово само переливается в этих различных значениях.

Шрёдер говорит1: «Каждая из подлежащих счёту вещей называется единицей». Спрашивается, почему вещь прежде подводят под понятие единица, а не объясняют просто: «Число есть множество вещей», что вновь вернуло бы нас к предыдущему. В том, что вещь называют единицей, быть может, прежде всего хотят найти более точное определение, в то время как следуя языковой форме «один» принимают за прилагательное и понимают «один город» так же, как «мудрый человек». Тогда единица была бы предметом, которому присуще свойство «один», и относилась бы к «один» подобно тому, как «мудрец» относится к прилагательному «мудрый». К основаниям, по которым выше предъявлялись претензии к тому, что число является свойством вещей, добавим здесь ещё несколько особых. Прежде всего бросалось бы в глаза то, что это свойство имела бы каждая вещь. Было бы непонятно, почему это свойство вообще отчётливо прилагается вещи. Утверждение «Солон был мудр» приобретает смысл только из-за возможности того, что нечто не является мудрым. При увеличении объёма содержание понятия уменьшается;

если понятие становится всеобъёмлющим, то содержание должно исчезнуть вовсе. Не легко помыслить, каким образом язык может сотворить прилагательное, которое совершенно не способно служить тому, чтобы ближе определить предмет.

Если бы «один человек» понимался наподобие «мудрый человек», то следовало бы думать, что «один» может использоваться как предикат, поэтому также как «Солон был мудрый» можно было бы сказать «Солон был один» или «Солон был одним». Но, если последнее выражение и можно встретить, то всё же само по себе оно непонятно. Оно, например, может означать: «Солон был мудрецом», если «мудрец» добавлено по контексту. Но само по себе «один» не может быть предикатом2. Ещё яснее это проявляется при множественном числе. Тогда как «Солон был мудрый» и «Фалес был мудрый» можно скомбинировать в «Солон и Фалес были мудрые», нельзя сказать «Солон и Фалес были один». Этого невозможно было бы видеть, если «один» как и «мудрый» было бы свойством, как Солона, так и Фалеса.

§30. С этим связано то, что свойству «один» нельзя дать определение. Когда Лейбниц говорит3: «Одно есть то, что мы охватываем одним актом понимания», он объясняет «один» через само себя. И разве мы не можем охватить многое в одном акте понимания? Последнее признаётся Лейбницем в том же самом месте. Подобное говорит и Бауман4: «Одно есть то, что мы понимаем как одно», и далее: «То, что мы полагаем, как точку или не хотим полагать как делимое далее, мы принимаем за одно; но каждое одно внешнего созерцания - как чистого, так и эмпирического - мы также можем рассматривать как многое. Каждое представление есть одно, если оно отграничено от другого представления; но в себе оно вновь может быть различено как многое». Так стирается всякое реальное ограничение понятия, и всё зависит от нашего понимания. Мы вновь задаём вопрос: Какой смысл в том, чтобы какому-нибудь предмету прилагать свойство «один», если сообразно пониманию каждый предмет может, как быть, так и не быть одним? Каким образом на столь расплывчатом понятии может основываться наука, которая снискала себе славу как раз самой большей определённостью и точностью?

§31. Итак, хотя Бауман основывает понятие одного на внутреннем созерцании5, в качестве признаков он в только что процитированном отрывке всё-таки называет неделимость и отграниченность. Если последнее соответствует действительности, то следовало бы ожидать, что также и животные могут иметь определённое представление единицы. Возможно ли, чтобы собака Op.cit., S.5.

Встречаются обороты, которые этому по видимости противоречат, но при более тщательном рассмотрении обнаруживается, что добавлено понятийное слово или что «один» используется не как числительное, что хотят утверждать не единичность, но единственность.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.2; Erdm. S.8.

Op.cit., Bd.II, S.669.

Op.cit., Bd.II, S.669.

при взгляде на Луну имело о ней представление (пусть даже не столь определённое), которое мы обозначаем словом «одна»? Вряд ли! И всё же она различает некоторые отдельные предметы.

Другая собака, собственный хозяин, камень, с которым она играет, несомненно кажутся ей отграниченными, самодостаточными и нераздельными так же, как и нам. Правда, она будет замечать различие в том, обороняется ли она против нескольких собак или только против одной, но это то различие, которое Милль называет физическим. Дело собственно в следующем: осознаёт ли собака, пусть даже и смутно, общность, выражаемую нами словом «один», в случае, где она укушена одной большей собакой, и в случае, где она преследует одну кошку. Мне кажется это неправдоподобным. Отсюда я делаю вывод, что идея единицы не даётся разуму каждым объектом извне и каждой идеей изнутри, как считает Локк1, но познаётся нами посредством более высоких духовных сил, которые отличают нас от животных. Тогда такие свойства вещей, как неделимость и отграниченность, которые животные замечают столь же хорошо, как и мы, не могут быть существенными для нашего понятия.

§32. И всё же определённую связь можно предполагать. Язык указывает на это тем, что «объединённый» производно от «один». Чем больше различия в предмете отступают по сравнению с отличием от окружающего, чем больше внутренние связи преобладают над связями с окружающим, тем более удобно понимать нечто как отдельный предмет. Итак, «объединённый»

означает свойство, которое даёт повод к тому, чтобы нечто обособить в понимании от окружения и рассматривать само по себе. Так можно объяснить и то, когда французское «uni» означает «как раз» или «ровно». Сходным образом используется и слово «единство», когда говорят о политическом единстве страны, единстве произведения искусства2. Но в этом смысле «единица»

соотносится не столько с «один», сколько с «объединённый» или «единый». Ибо, когда говорят, что Земля имеет одну Луну, этим хотят объяснить не отграниченность, самодостаточность и нераздельность Луны, но это говорят в противоположность тому, что имеет место у Венеры, Марса или Юпитера. В отношении отграниченности и нераздельности луны Юпитера, пожалуй, могут помериться с нашей и, в этом смысле, являются такими же едиными.

§33. Некоторыми авторами неделимость усиливается до нераздельности. Г.Кёпп3 называет каждую неразложимую и самодостаточную вещь (независимо от того, воспринимается она чувственно или же нет) единичным, а подлежащее счёту единичное - одним, где «один» очевидно используется в смысле «единица». Между тем, и Бауман - обосновывая своё мнение, что внешние вещи не представляют строгих единиц, тем, что мы свободны трактовать их как многое, - тоже выдаёт неразложимость за признак строгой единицы. Усиливая внутреннюю связность до безусловной, очевидно хотят получить признак единицы, который независим от произвольного понимания. Эта попытка не удаётся, потому что тогда почти не остаётся ничего такого, что можно было бы называть единицей и считать. По этой причине тотчас же начинается отступление, и как признак устанавливается не сама неразложимость, но становление мыслимым в качестве неразложимого. В результате же вновь приходят к неустойчивому пониманию. И разве есть какойто выигрыш в том, чтобы мыслить вещи иными, нежели они есть? Наоборот, из ложного допущения можно вывести ложные заключения! Но если из неразложимости не хотят делать выводов, тогда какая от неё польза? Если без ущерба для понятия от строгости можно, и даже нужно, как-то отказаться, к чему тогда эта строгость? Но, возможно, разложимость лишь не нужно мыслить. Как будто отсутствием мысли можно было бы чего-то достигнуть! Но бывают случаи, где совершенно невозможно избежать того, чтобы мыслить разложимость, где даже вывод основывается на составленности единицы (например, в задаче: Один день включает 24 часа.

Сколько часов включают 3 дня?).

РАВНЫ ЛИ ЕДИНИЦЫ ДРУГ ДРУГУ?

§34. Таким образом, любая попытка объяснить свойство «один» терпит неудачу, и мы, пожалуй, должны отказаться от того, чтобы в обозначении вещи как единицы видеть более точное определение. Мы снова возвращаемся к нашему вопросу: Почему вещи называют единицами, если «единица» есть лишь другое имя вещи, если все вещи являются единицами или могут пониматься Baumann, Op.cit., Bd.1, S.409. [Локк Дж. Сочинения в трёх томах, т.1 …, С.180.] Об истории слова «единица» ср. Eucken, Geschichte der philosophischen Terminologie, S.122-3, S.136, S.220.

G.Kpp, Schularithmetik, Eisenach 1867, S.5,6.

как таковые? В качестве основания Э.Шрёдер задаёт равенство, приписываемое объектам счёта.

Прежде всего, не видно, почему столь же успешно на это не могут указывать слова «вещь» и «предмет». Затем спрашивается: Зачем предметам счёта приписывается равенство? Оно им только приписывается, или они действительно являются равными? Два предмета, во всяком случае, никогда не являются совершенно равными. С другой стороны, можно, пожалуй, почти всегда разыскать отношение, в котором два предмета совпадают. Если, вопреки истине, мы не захотим приписывать вещам равенство, идущее далее, чем им соответствует, мы вновь приходим к произвольному пониманию. В самом деле, многие авторы называют единицы равными без ограничения. Гоббс говорит2: «В абсолютном смысле, число в математике подразумевает под собой равные единицы, из которых оно построено». Юм3 считает, что составные части количества и числа вполне однородны. Тома4 называет индивидуум множества единицей и говорит:

«Единицы равны друг другу». С таким же успехом или даже более оправданно можно сказать, что индивиды множества отличаются друг от друга. Ну и что же означает это мнимое равенство для числа? Свойства, которыми отличаются вещи, для их числа суть нечто безразличное и чуждое.

Поэтому, от них хотят избавиться. Но таким способом ничего не достигнуть. Если, как требует Тома, «абстрагироваться от своеобразия индивидов множества объектов» или «при рассмотрении отдельных вещей отказаться от признаков, посредством которых различаются вещи», то, как считает Липшиц, остаётся не «понятие числа рассматриваемых вещей», но получается общее понятие, под которое подпадает каждая вещь. Сами вещи вследствие этого не теряют своих особенностей. Если, например, при рассмотрении белого и чёрного кота я откажусь от отличающих их друг от друга свойств, то, положим, получу понятие «кот». Если теперь я подвожу их обоих под это понятие их обоих и, положим, называю единицами, то белый всё равно всегда остаётся белым, а чёрный - чёрным. Следовательно, благодаря тому, что я не мыслю цвет или не собираюсь делать выводы из их различия, коты не становятся бесцветными и остаются столь же различными, какими и были. Правда, понятие «кот», получившееся в результате абстракции, больше не содержит особенностей, но как раз поэтому оно и является лишь понятием.

§35. Голыми способами оперирования с понятием не удаётся сделать различные вещи равными; но если и удаётся, то получают уже не вещи, но только одну вещь; ибо, как говорит Декарт5, число (лучше: множественное число) возникает из различия вещей. Шрёдер правильно утверждает6: «Требование пересчитать вещи можно установить разумным способом только там, где имеются такие предметы, которые чётко отличимы друг от друга (например, разъединены пространственно и временно) и кажутся отграниченными в сравнении друг с другом». В самом деле, сильное сходство иногда затрудняет, к примеру, пересчёт прутьев решётки. С особой резкостью в этом смысле выражается У.Стенли Джевонс7 «Число есть только другое название для различия. Точное тождество есть единство, а от различия возникает множественность». И далее (стр.154): «Часто говорилось, что единицы суть единицы в том отношении, что они совершенно подобны одна другой; но хотя они могут быть подобны в некоторых отношениях, однако они должны быть и различны по крайней мере в одном пункте, иначе они не были бы способны к множественности. Если бы три монеты были подобны до такой степени, что занимали бы одно и то же пространство в одно и то же время, то они были бы не тремя монетами, но одной монетою».

§36. Но вскоре обнаруживается, что взгляд на различие единиц открывает новые затруднения.

Джевонс объясняет: «Единица есть какой-нибудь предмет, который может быть отличаем от всякого другого предмета, рассматриваемого как единица в той же задаче». Здесь единица объясняется посредством самой себя, и дополнение «который может быть отличаем от любого другого объекта» не содержит более точного определения, поскольку оно разумеется само собой.

Мы называем предмет другим только лишь постольку, поскольку можем отличить его от первого предмета. Далее Джевонс говорит8: «Когда я пишу символ 5, я собственно разумею Op.cit., S.5.

Baumann, Op.cit, Bd.I, S.242.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.568. [Юм Д. Сочинения в двух томах, т.2.– М.: Мысль, 1996.– С.141.] Op.cit., S.I.

Baumann, Op.cit., Bd.I, S.103. [Декарт Р. Сочинения в двух томах, т.1.– М.: Мысль, 1989.– С.338.] Op.cit., S.3.

Там же, С. 153.

Там же, С. 154.

и всегда ясно подразумевается, что каждая из этих единиц отлична от всех других. Собственно я должен был бы обозначить их так Конечно, обозначать их различно, если они различны, необходимо, ведь иначе возникнет величайшая путаница. Если уже различное место, на котором появляется однёрка, должно означать различие, то необходимо представить правило, не допускающее исключений, поскольку в противном случае никогда не было бы известно, должно 1 + 1 обозначать 2 или же 1. Тогда нужно было бы отвергнуть равенство 1 = 1, и мы пребывали бы в затруднении, никогда не будучи в состоянии обозначить одну и ту же вещь два раза. Очевидно, этого не происходит. Однако если различным вещам хотят придать различные знаки, то не понятно, почему всё-таки придерживаться одних и тех же составных частей, и не лучше ли вместо написать Теперь равенство сразу же утрачивается, и указание не использует известного сходства. Таким образом, однёрка ускользает из рук; мы остаёмся с предметами со всеми их особенностями. Знаки, типа суть красноречивое выражение затруднения: нам нужно равенство, отсюда 1; нам нужно различие, отсюда индексы, которые, к сожалению, лишь снова устраняют равенство.

§37. У других авторов мы сталкиваемся с теми же самыми трудностями. Локк говорит1:

«Повторением идеи единицы и соединением её с другой единицей мы образуем из них одну совокупную идею, обозначенную именем «два». И кто может так действовать и идти таким образом вперёд, всё время прибавляя по одной единице к последней полученной им совокупной идее числа, и даёт ей имя, тот может считать». Лейбниц2 определяет число как 1 и 1 и 1 или как единицы. Хессе говорит3: «Если можно составить представление о единице, которая в алгебре выражается числом 1,... то можно мыслить и вторую равноправную единицу и далее тем же способом. Объединение второй с первой в некоторое целое даёт число 2».

Здесь нужно обратить внимание на отношение, в котором находятся друг к другу значения слов «единица» и «однёрка». Лейбниц под единицей понимает понятие, под которое подпадает один и один и один; как он также говорит: «Абстракция от один есть единица». Локк и Хессе, повидимому, употребляют единицу и один равнозначно. В сущности, и Лейбниц, пожалуй, поступает также; поскольку, называя каждый отдельный предмет, который подпадает под понятие единицы, одним, он между тем, обозначает этим словом не отдельный предмет, но понятие, под которое он подпадает.

§38. Чтобы не возникала путаница, было бы всё-таки хорошо строго сохранять различие между единицей и однёркой. Говорится «(die) число один» и определённым артиклем указывается на определённый, отдельный предмет научного исследования. Не существует различных чисел один, но только одно. В 1 мы обладаем собственным именем, которое, как таковое, столь же не способно к множественному числу, как «Фридрих Великий» или «химический элемент золото».

То, что 1 пишут без различающих штрихов, - не случайность и не неточность способа обозначения. Равенство Ст.Джевонс передал бы приблизительно так:

Но что было бы результатом Во всяком случае, не 1/. Из этого вытекает, что, согласно его пониманию, существуют не только различные однёрки, но также различные двойки и т.д.; ибо 1// + 1/// нельзя заменить на 1//// + 1/////.

Отсюда совершенно ясно видно, что число не является совокупностью вещей. Арифметика была бы упразднена, если бы вместо однёрки, которая всегда одна и та же, хотели бы ввести различные Baumann, Op.cit., Bd.I, S.409-411. [Локк Дж. Сочинения в трёх томах, т.1 …, С.257.] Baumann, Op.cit., Bd.II, S.3.

Hesse, Vier Species, S.2.

вещи, пусть даже и в столь сходных знаках. Ведь без ошибки последние не могли бы быть равными. Нельзя же предполагать, что самой глубокой потребностью арифметики является ошибочная запись. Поэтому, невозможно 1 считать знаком различных вещей, типа Исландии, Альдебарана, Солона и т.п. Бессмыслица становится наиболее очевидной, если задуматься над случаем, когда уравнение имеет три корня, а именно 2, 5 и 4. Если вместо 3 записать теперь, как поступает Джевонс, и если под 1/, 1//, 1/// понимать единицы, а, стало быть, согласно Джевонсу, имеющиеся в наличие предметы мысли, причём 1/ означало бы здесь 2, 1// – 5, а 1/// – 4, то разве не понятнее было бы вместо 1/ + 1// + 1/// записать Множественное число возможно только у понятийных слов. Поэтому, если говорят о «единицах», то это слово нужно использовать не равнозначно с «один», но как понятийное слово.

Если «единица» означает «подлежащий счёту предмет», то число нельзя определять как единицы.

Если под «единицей» понимается понятие, охватывающее собой однёрку и только её, то множественное число не имеет смысла, и снова невозможно определять с Лейбницем число как единицы или как 1 и 1 и 1. Если «и» употребляется так, как в «Бунзен и Кирхгоф», то 1 и 1 и 1 есть не 3, но 1; так же золото и золото и золото никогда не являются чем-то иным, нежели золотом.

Знак плюса в таким образом, должен пониматься иначе, чем «и», которое помогает обозначать совокупность или «коллективную идею».

§39. Сообразно этому мы стоим перед следующим затруднением: Если мы хотим, чтобы число возникало посредством охватывания различных предметов, то получаем совокупность, в которой содержатся предметы как раз с теми свойствами, которыми они различаются, а это - не число. С другой стороны, если мы хотим образовать число посредством охватывания равного, то оно постоянно сливается в одно, и мы никогда не придём к множественности.

Если, используя 1, мы обозначаем каждый подлежащий счёту предмет, то это ошибка, поскольку сохраняем один и тот же знак для различного. Если же мы снабжаем 1 разными штрихами, то оно не пригодно для арифметики.

Слово «единица» отлично подходит для того, чтобы запутаться в этом затруднении; и это основание (пусть даже и неосознанное) того, почему предпочтительнее слова «предмет» и «вещь».

Прежде всего, единицами называют подлежащие счёту вещи и, причём, сохраняют их право на различие; тогда охватывание, собирание, объединение, соединение (или, если угодно, воспользуйтесь другим названием) переходит в понятие арифметического сложения, а понятийное слово «единица» незаметно превращается в собственное имя «один». Вследствие этого тогда и получается равенство. Если к букве т я присоединяю букву р, а затем букву и, то каждый легко видит, что это не является числом 3. Но если я подвожу т, р и и под понятие «единица» и теперь для «т и р и и» говорю «единица и единица и единица» или «1 и 1 и 1», то благодаря этому легко поверить, что имеется 3. Затруднение столь хорошо скрывается за словом «единица», что лишь у немногих вызывает подозрение.

Здесь можно предоставить слово Миллю, по праву порицающему искусные манипуляции языком; ибо в данном случае имеет место внешнее проявление мыслительного процесса, но лишь иллюзия такового. В самом деле, здесь возникает впечатление, как если бы словам, опустошённым от мысли, придавалась некоторая таинственная сила, поскольку различное должно становится равным просто благодаря тому, что называется единицей.

ПОПЫТКИ ПРЕОДОЛЕТЬ ЗАТРУДНЕНИЕ

§40. Теперь мы рассмотрим отдельные пояснения, которые представляются попытками преодолеть данное затруднение, даже если они и не всегда делаются с ясным осознанием этого намерения.

Прежде всего, можно призвать на помощь свойство пространства и времени. А именно, пространственная точка, прямая или плоскость, конгруэнтные тела, сегменты поверхностей или линий, рассмотренные сами по себе, не различаются совершенно; они различаются лишь в совместном бытии, как составные части одного общего созерцания. Таким образом, равенство здесь объединено с различимостью. То же самое имеет силу и для времени. Пожалуй, поэтому Гоббс полагает1, что равенство единиц едва ли может мыслиться иначе, чем устанавливаемое посредством деления континуума. Тома говорит2: «Множества индивидов или единиц представляют в пространстве и считают их последовательно, для чего требуется время; при любой абстракции в качестве отличительного признака единиц всё-таки остаётся их различное положение в пространстве и их различное следование друг за другом во времени».

Против такого способа понимания, прежде всего, возникает сомнение, что тогда исчисляемое ограничивалось бы пространственным и временным. Уже Лейбниц3 отклонял мнение схоластов, что число образуется голым делением континуума и не может применяться к бестелесным вещам.

Бауман4 подчёркивает независимость числа от времени. Понятие единицы также мыслимо вне времени. Ст.Джевонс говорит5: «Три монеты суть три монеты, будем ли мы считать их последовательно или смотреть на все три одновременно. Во многих случаях не может быть основанием различия ни пространство, ни время, и тогда нам может служить для этого только чистое качество. Мы можем различать вес, плотность и твёрдость золота, как три качества, хотя ни одно из них не существует прежде или после другого и не находится ни в пространстве, ни во времени. Каждое средство различения может быть источником множественности». Я добавляю:

Если подлежащие счёту предметы не следуют друг за другом в действительности, но лишь пересчитываются друг за другом, то время не может быть основание различия. Ибо, чтобы их можно было пересчитывать друг за другом, мы уже должны иметь различные характеристики. Для счёта время есть лишь психологическое требование, но оно не имеет дела с понятием числа. Если непространственные и невременные предметы представлять посредством пространственных или временных точек, то это, вероятно, может быть удобным для выполнения вычислений; но при этом принципиально предполагается применимость понятия числа к непространственному и невременному.

§41. Но, если мы отказываемся от всех различимых характеристик кроме пространственных и временных, разве цель объединения различимого и равенство действительно достигаются? Нет!

Мы ни на шаг не приблизились к решению. Большее или меньшее сходство предметов не относится к делу, если они, в конце концов, всё-таки должны удерживаться отдельно друг от друга.

Отдельные точки, линии и т.п. я могу обозначить здесь как 1 в столь же малой степени, как при геометрическом рассмотрении именовать их одной и той же А; ибо здесь, как и там, необходимо, чтобы они различались. Только в себе, если не обращать внимания на их пространственные отношения, точки равны друг другу. Но если я должен их охватить, то обязан рассматривать их в их совместном пространственном бытии, в противном случае они неминуемо сольются в одно. Точки в своей общности представляются, пожалуй, какой-нибудь фигурой, типа созвездия, или как-то расположенными на прямой; равные сегменты, соприкасаясь конечными точками, могут образовывать единый сегмент или располагаться отдельно друг от друга.

Возникающее таким способом образование может быть совершенно различным для одного и того же числа. Таким образом, здесь мы также имели бы различные пятёрки, шестёрки и т.д.

Временные точки разделяются посредством коротких или длинных, равных или неравных промежутков времени. Всё это суть обстоятельства, которые совершенно не имеют дела с числом самим по себе. Всюду вмешивается нечто особенное, далеко превосходимое числом в его общности. Даже отдельный момент имеет нечто своеобразное, то, чем он, скажем, отличается от пространственной точки и что не входит в понятие числа.

§42. Выход, заменить пространственное и временное расположение более общим понятием ряда, также не ведёт к цели; ибо место в ряду не может быть основанием различения предметов, поскольку последние, чтобы их можно было упорядочить в ряд, уже должны быть как-то различены. Такое расположение всегда предполагает отношения между предметами, будут ли они пространственными, временными, логическими, связанными с интервалами тонов или какими-то Baumann, Op.cit., Bd.II, S. Elementare Theorie der analyt. Functionen, S.1.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.2.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.668.

Там же, С.154.

ещё, посредством которых можно переходить от одного предмета к другому, и которые необходимо объединены с этими различиями.

Когда Ханкель1 мыслит или полагает предмет 1 раз, 2 раза, 3 раза, то это выглядит как попытка соединить различимость с равенством того, что подлежит счёту. Но также сразу видно, что это не более удачный ход; ибо представления или созерцания одного и того же предмета, чтобы не сливаться в одно, должны как-то различаться. Я также полагаю, что оправдано говорить о миллионах немцев без того, чтобы прежде мыслить или полагать одного обыкновенного немца миллионов раз; последнее было бы несколько затруднительно.

§43. Вероятно, для того, чтобы избежать затруднений, возникающих, если, следуя Джевонсу, каждым знаком 1 обозначать подлежащий счёту предмет, Э.Шрёдер хочет, чтобы посредством предмет только замещался. Как следствие, он объясняет только числовой знак, а не число. А именно, он говорит2: «Теперь, чтобы получить знак, способный выражать, сколько имеется в наличие таких единиц3, внимание вдруг направляется на каждый из них поочерёдно и замещает их штрихом 1 (один, однёрка); эти однёрки располагаются в строчку рядом друг с другом, но соединяются они знаком + (плюс), ведь в противном случае 111, например, согласно обычному обозначению чисел, прочитывалось бы как сто одиннадцать. Таким способом получается такой знак, как эту структуру можно описать говоря:

«НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО ЕСТЬ СУММА ОДНЁРОК».

Отсюда видно, что для Шрёдера число есть знак. То, что выражается посредством этих знаков, то, что я до сих пор называл числом, он, как известно, предполагает словами «сколько имеется в наличие таких единиц». Также и под словом «один» он понимает знак 1, а не его значение. Знак + нужен ему, прежде всего, только как внешнее средство связи, не имеющее собственного содержания; сложение объясняется лишь позднее. Более кратко он, пожалуй, мог бы выразиться так: Знаков 1 записывается друг подле друга столько же, сколько имеется подлежащих счёту предметов, и связываются они посредством знака +. Ноль выражался бы тем, что не записывается ничего.

§44. Чтобы не относить к числам различные обозначения вещей, Ст.Джевонс говорит4: «Не трудно составить себе понятие о природе численного отвлечения. Оно состоит в отвлечении характера различия, дающего происхождение множественности и удержании его как простого факта. Когда я говорю три человека, то мне нет надобности сейчас же характеризовать знаки, по которым каждый может быть отличён от другого. Эти знаки должны существовать, если это действительно три человека, а не один и тот же человек, и говоря о них, как о нескольких, я предполагаю существование требуемых различий. Таким образом отвлечённое число есть пустая форма различия».

Как это понимать? Можно или абстрагироваться от различающихся свойств вещей прежде, чем объединять их в единое целое, или прежде образовать целое, а затем абстрагироваться от вида различия. При первом способе мы вовсе не пришли бы к различению вещей, а, стало быть, не могли бы также удержать наличие различного; Джевонс, видимо, имеет в виду второй способ. Но я не думаю, что таким образом мы получили бы число 10000, поскольку мы не в состоянии постигать столь много различного одновременно и удерживать его в наличие; ибо для числа рассмотрение перехода от одного к другому всегда недостаточно. Мы, правда, считаем во времени, но вследствие этого мы получаем не число, но лишь определяем число того, что сосчитали. Впрочем, указание на способ абстрагирования определением не является.

Что же следует мыслить под «пустой формой различия»? Скажем, под предложением, типа где а и b остаются неопределёнными? Было ли бы это предложение, скажем, числом 2?

Равнозначно ли предложение Theorie der complexen Zahlensysteme, S.1.

Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, S.5 ff.

Подлежащих счёту предметов.

Там же, С.155.

предложению Очевидно, нет. Второе предложение может существовать без первого, а первое без второго. Тогда для числа 1000 в мы имели бы предложения, выражающие различие.

То, что говорит Джевонс, совершенно не проходит с 0 и 1. От чего собственно нужно абстрагироваться, чтобы, например, от Луны перейти к числу 1? Абстрагированием, пожалуй, получают понятия: спутник Земли, спутник планеты, не испускающее собственного света небесное тело, тело, предмет; но 1 в этом ряду не встречается, ибо 1 не является понятием, под которое может подпадать Луна. У 0 даже вовсе не имеется предмета, от которого отталкиваются при абстракции. На это не возразишь, что 0 и 1 не являются числами в том же самом смысле, как и 3! Число отвечает на вопрос «сколько?», и когда, например, спрашивают: «Сколько лун имеет эта планета?», то ответ 0 или 1 можно понять столь же хорошо, как 2 или 3, без того чтобы смысл вопроса стал иным. Правда, число 0 имеет нечто особенное, так же как и 1, но, в сущности, это имеет силу для любого целого числа; только чем больше число, тем всё меньше это бросается в глаза. Проводить здесь видовые различия дело совершенно произвольное. То, что не проходит с или 1, для понятия числа существенным быть не может.

Наконец, при предположении данного способа возникновения числа затруднение, на которое мы наталкиваемся при рассмотрении обозначения для 5, вовсе не уничтожается. Эта запись вполне согласуется с тем, что Джевонс говорит об образовании чисел посредством абстракции; штрихи вверху обозначают как раз то, что различие есть, но не указывают его вид. Однако простое существование различия, как мы видели, уже достаточно для того, чтобы, согласно пониманию Джевонса, породить различные однёрки, двойки, тройки, что совершенно несовместимо со структурой арифметики.

РЕШЕНИЕ ЗАТРУДНЕНИЯ

§45. Теперь нам следует составить обзор прежних констатаций и вопросов, всё ещё остающихся без ответа!

Число не абстрагируется от вещей по типу цвета, веса, твёрдости и не является свойством вещей в том смысле, как эти последние. Всё ещё остаётся вопрос, к чему относится то, что высказывается посредством указания на число.

Число - не физично, но также и не субъективно, оно не является представлением.

Число не возникает прибавлением вещи к вещи. Также ничего в этом отношении не меняет и придание имени соответственно каждому прибавлению.

Выражения «многое», «множество», «множественность» из-за их неопределённости не годятся для объяснения числа.

При ссылке на один и единицу остаётся вопрос, каким образом ограничить произвол понимания, который, по-видимому, стирает всякое различие между одним и многим.

Отграниченность, нераздельность, неразложимость – бесполезные признаки для того, что мы выражаем словом «один».

Если единицами называют подлежащие счёту вещи, то утверждение о равенстве единиц безусловно ложно. То, что они в определённом отношении, являются равными, хотя и верно, но не имеет никакой ценности. Если должны быть числа больше 1, то различие подлежащих счёту вещей даже необходимо.

Таким образом, кажется, что мы должны придать единицам два противоречащих свойства:

равенство и различимость.

Между один и единицей нужно проводить различие. Слово «однёрка» как собственное имя предмета математического исследования неспособно к множественному числу. Стало быть, образовывать число объединением единиц бессмысленно. Знак плюса в 1 + 1 = 2 не может обозначать такого объединения.

§46. Чтобы пролить свет на предмет, было бы хорошо рассмотреть число в контексте суждения, где проявляется его изначальный способ применения. Если при рассмотрении одного и того же внешнего явления я с одинаковой истинностью могу сказать: «Это - группа деревьев» и «Это - пять деревьев» или «Здесь находится четыре группы людей» и «Здесь находится человек», то при этом изменяется не отдельное и не целое, не агломерат, а моё название. Но последнее есть лишь знак замены одного понятия другим. Вследствие этого как ответ на первый вопрос предыдущего параграфа нам больше подходит то, что указание на число содержит высказывание о понятии. Более всего это, пожалуй, ясно относительно числа 0. Если я говорю:

«Венера имеет 0 лун», то здесь вовсе нет луны или агломерата лун, о которых можно было бы нечто высказать; однако благодаря этому понятию «луна Венеры» прилагается свойство, а именно, под него ничего не подпадает. Если я говорю: «Карету кайзера везут четыре лошади», то понятию «лошадь, везущая карету кайзера» я прилагаю число четыре.

Можно возразить, что понятие, как, например, «граждане германского государства», хотя его признаки и остаются неизменными, если бы указание на число высказывало о нём такое свойство, имело бы год от года изменяющееся свойство. На это можно ответить, что и предметы изменяют свои свойства, но последнее не препятствует тому, чтобы опознавать их как одни и те же. Однако здесь можно указать более точное основание. А именно, понятие «граждане германского государства» содержит время как изменяющуюся составную часть или, выражаясь математически, является функцией времени. Вместо «а есть гражданин германского государства» можно сказать:

«а принадлежит германскому государству», а это как раз и указывает на текущий момент времени.

Таким образом, нечто текучее содержится уже в самом понятии. С другой стороны, понятию «гражданин германского государства на начало 1883 года по берлинскому времени» навеки соответствует одно и то же число.

§47. То, что указание на число выражает нечто фактически независимое от нашего понимания, может вызвать удивление лишь у того, кто считает понятие чем-то субъективным, равным представлению. Но этот взгляд ложен. Если, к примеру, мы подчиняем понятие тела понятию тяжести или понятие кита понятию млекопитающего, то этим мы утверждаем нечто объективное.

Если бы понятие было субъективным, то подчинение одного понятия другому, как отношение между ними, так же было бы чем-то субъективным, наподобие отношения между представлениями. Конечно, на первый взгляд кажется, что в предложении речь идёт о животных, а не о понятиях; однако, если спросить, о каком животным тогда идёт речь, то какого-то отдельного предъявить нельзя. Если предположить, что кит имеется в наличие, то наше предложение о нём все-таки не утверждает ничего. Из него нельзя вывести, что имеющееся в наличие животное является млекопитающим, без добавочного предложения, что это животное – кит, которого наше предложение не содержит. Говорить о предмете без того, чтобы его как-то обозначить или назвать, вообще невозможно. Однако слово «кит» не обозначает отдельного существа. Если ответить, что оно говорит, конечно, не об одном отдельном, определённом предмете, но, пожалуй, о неопределённом предмете, то я считаю «неопределённый предмет» лишь другим выражением для «понятие», хотя и худшим, более исполненным противоречий. Даже если наше предложение и можно оправдать наблюдением за отдельным животным, это ничего не доказывает относительно его содержания. Для вопроса, о чём оно, безразлично, истинно оно или нет, или на каком основании мы принимаем его за истинное. Итак, если понятие есть нечто объективное, то и высказывание о нём может содержать нечто фактическое.

§48. Возникающая прежде при некоторых примерах видимость того, что одному и тому же соответствуют различные числа, объясняется тем, что носителем числа при этом считаются предметы. Как только мы восстановим в своих правах истинного носителя, понятие, обнаруживается, что числа столь же взаимоисключающи, как и цвета в своей области.

Теперь мы также видим, каким образом приходят к тому, что число хотят получить, абстрагируясь от вещей. То, что получается вследствие этого, является понятием, в котором тогда обнаруживается число. Таким образом, абстракция действительно часто предшествует образованию суждения о числе. Смешение здесь точно такое же, как если бы хотели сказать, что понятие пожароопасности образуется тогда, когда из блоков с дощатыми фронтонами строится жилой дом с соломенной крышей и дырявой печной трубой.

Собирательная сила понятия далеко превосходит объединяющую силу синтетической апперцепции. Посредством последней невозможно связать в единое целое граждан германского государства; но зато их можно подвести под понятие «гражданин германского государства» и сосчитать.

Теперь объяснима также и обширная применимость числа. Действительно загадано, как одно и то же может одновременно высказываться о внешнем и о внутреннем явлении, о пространственном и временном и о непространственном и невременном. Но в указании на число это совершенно не имеет места. Число приложимо только к понятию, под которое подводится внешнее и внутреннее, пространственное и временное, непространственное и невременное.

§49. Подтверждение нашей точки зрения мы находим у Спинозы, который говорит1: «Я отвечаю, что вещь может называться единой или единственной лишь по отношению к своему существованию, а не по отношению к своей сущности, ибо мы мыслим вещи под [категорией] числа только после того, как они подведены под некоторый общий род. Так, например, человек, держащий в руке сестерцию и империал, не подумает о числе «два», если он не имеет возможности назвать их одним и тем же именем, а именно: «монетами» или «деньгами», ибо в этом случае он может утверждать, что имеет две монеты, так как этим именем он обозначает как сестерцию, так и империал». Когда же он продолжает: «Отсюда явствует, что вещь может называться единой или единственной лишь тогда, когда мы можем представить себе другую вещь, которая (как сказано) сходна с нею», и когда он полагает, что Бога нельзя в собственном смысле назвать одним или единственным, поскольку о его сущности мы не можем образовать абстрактное понятие, то он ошибается в мнении, что понятие можно получить лишь непосредственно через абстракцию от большего числа предметов. Напротив, чтобы перейти к понятию, может быть достаточно и признака; а тогда возможно, чтобы под него не подпадала вещь. Если бы этого не случалось, никогда нельзя было бы отрицать существование, а с этим и утверждение существования утрачивало бы своё содержание.

§50. Э.Шрёдер2 подчёркивает, что, если можно было бы говорить только о частотности вещей, именем этих вещей всегда должно было бы быть родовое имя, общее понятийное слово (notio communis): «А именно, как только предмет учтён полностью - во всех его свойствах и отношениях - то в мире он, таковой, имеется в единственном числе, и более нет ничего ему равного. Имя предмета тогда носит характер собственного имени (notio proprium) и предмет не может мыслиться как встречающийся повторно. Однако это имеет силу не только для конкретных предметов. Это имеет силу вообще для каждой вещи; её представление посредством абстракций также может прийтись к месту, если только это представление заключает в себе такой элемент, который достаточен для того, чтобы соответствующую вещь сделать полностью определённой...». Стать объектом счёта «для вещи возможно только постольку, поскольку при этом отказываются или абстрагируются от некоторых её собственных признаков и отношений, посредством которых она отличается от всех других вещей; тогда благодаря этому, то что прежде было именем вещи, становится понятием применимым к большему числу вещей».

§51. То, что в этом пояснении истинно, облечено в такие корявые и вводящие в заблуждение выражения, что их требуется просматривать и распутывать. Прежде всего, неуместно общее понятийное слово называть именем вещи. Вследствие этого возникает видимость, как если бы число было свойством вещи. Общее понятийное слово обозначает как раз понятие. Оно действует как собственное имя только с определённым артиклем или указательным местоимением. Предмет не встречается повторно, но скорее большее число предметов подпадает под понятие. То, что понятие получается не только абстракцией от подпадающих под него вещей, указано уже Спинозой. Здесь я добавлю, что понятие не перестаёт быть понятием вследствие того, что под него подпадает единственная вещь, которая сообразно этому полностью им определена. Такому понятию (например, спутник Земли) как раз и соответствует число 1, являющееся числом в том же самом смысле, как 2 и 3. Относительно понятия всегда спрашивается, подпадает ли под него нечто, и что именно подпадает. Относительно собственного имени такой вопрос бессмысленен.

Нельзя обманываться тем, что язык применяет собственное имя (например, Луна) как понятийное слово, и наоборот; несмотря на это различие сохраняется. Как только слово употребляется с неопределённым артиклем или во множественном числе, оно является понятийным словом.

§52. Дальнейшее подтверждение точки зрения, что число прилагается понятиям, можно найти в немецком словоупотреблении. Так говорят zehn Mann, vier Mark, drei Fass. Здесь единственное число может указывать на то, что подразумевается понятие, а не вещь. Преимущество этого способа выражения особо проявляется при числе 0. Кроме того, язык, конечно, прилагает число Baumann, Op.cit., Bd..I, S.169. [Спиноза Б. Избранные произведения в двух томах, т.2.– М.: ГИПЛ, 1957.– С.567.] Op.cit., S.6.

предметам, а не понятиям: «число бочек» говорится так же, как «вес бочек». Таким образом, речь на первый взгляд идёт о предметах, тогда как на самом деле нечто хотят высказать о понятии.

Такое словоупотребление запутано. Выражение «четыре породистых коня» вызывает видимость, как если бы «четыре» ближе определяло понятие «породистый конь» подобно тому, как «породистый» ближе определяет понятие «конь». Однако «породистый» есть только некоторый признак; словом же «четыре» мы нечто высказываем о понятии.

§53. Под свойствами, которые высказываются о понятии, я понимаю не признаки, составляющие понятие. Последние суть свойства вещей, подпадающих под понятие, а не понятия.

Так, «прямоугольность» не является свойством понятия «прямоугольный треугольник»; однако предложение, что не существует прямоугольного, прямолинейного, равностороннего треугольника, высказывает свойство понятия «прямоугольный, прямолинейный, равносторонний треугольник»; последнему прилагается число 0.

В этом отношении существование имеет сходство с числом. Ведь утверждение существования есть ничто иное, как отрицание числа ноль. Поскольку существование есть свойство понятия, онтологическое доказательство существования Бога не достигает своей цели. Однако единственность является признаком понятия «Бог» в столь же малой степени, как и существование. Единственность не может использоваться в определении данного понятия, так же как прочность, вместительность, удобства дома не могут применяться при его строительстве наряду с камнями, строительным раствором и брёвнами. Однако отсюда не следует делать общий вывод, что из понятия, т.е. из его признаков нельзя вывести, что нечто является свойством понятия. При определённых обстоятельствах это возможно, как по виду строительного камня иногда можно сделать вывод о долговечности постройки. Стало быть, утверждение, что от признаков понятия никогда нельзя заключить к единственности или существованию, было бы слишком сильным; только это никогда не может происходить так же непосредственно, как приписывание в качестве свойства предмету, подпадающему под понятия, признака этого понятия.

Ложным было бы также отрицать, что существование и единственность когда-либо могут быть признаками понятий. Они лишь не являются признаками тех понятий, которым их можно приписать, следуя языку. Если, например, все понятия, под которые подпадает только один предмет, собрать под одним понятием, то единственность была бы признаком этого понятия. Под него, например, подпадало бы понятие «луна Земли», но не называемое так небесное тело. Таким образом, понятие можно подвести под более высокое, так сказать, понятие второго порядка.

Однако это отношение нельзя смешивать с отношением подчинения.

§54. Теперь становится возможным удовлетворительное объяснение единицы. Э.Шрёдер на стр.7 своего уже упоминавшегося учебника говорит: «Такое родовое имя или понятие будет называться наименованием числа, образованного заданным способом, и составлять сущность его единицы».

Действительно, разве не самым подходящим было бы при ссылке на число, соответствующее понятию, называть последнее единицей? Тогда мы сможем придать смысл высказыванию о единице, что она обособлена от окружения и является нераздельной. Тогда понятие, которому прилагается число, определённым способом в общем отграничивает то, что под него подпадает.

Понятие «буква слова Zahl» отграничивает Z от a, а от h и т.д. Понятие «слог слова Zahl»

понимает это слово как целое и нераздельное в том смысле, что более нет никаких частей, подпадающих под понятие «слог слова Zahl». Не со всеми понятиями дело обстоит так. Например, мы можем то, что подпадает под понятие красного, разделить разнообразными способами, без того чтобы получившееся части перестали под него подпадать. Такому понятию не соответствует конечное число. Предложение об отграниченности и нераздельности единицы можно, следовательно, выразить так:

Единица при ссылке на конечное число может быть лишь таким понятием, которое определённо отграничивает то, что под него подпадает, и не допускает никакого разделения.

Видно, однако, что нераздельность имеет здесь особое значение.

Теперь мы легко ответим на вопрос, каким образом равенство единиц примеримо с их различимостью. Слово «единица» используется здесь в двояком смысле. Равными единицы являются в объяснённом выше значении данного слова. В предложении: «Юпитер имеет четыре луны» единицей является «луна Юпитера». Под это понятие подпадает как I, так и II, так и III, так и IV. Стало быть, можно сказать, что единица, относящаяся к I, равно единице, относящейся к II и т.д. Здесь у нас есть равенство. Если, однако, утверждается различимость единиц, то под этим понимается различимость пересчитываемых вещей.

VI. ПОНЯТИЕ ЧИСЛА

КАЖДОЕ ОТДЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ЯВЛЯЕТСЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ ПРЕДМЕТОМ.

§55. После того, как мы узнали, что указание на число содержит высказывание о понятии, мы можем попытаться дополнить лейбницевские определения отдельных чисел определением 0 и 1.

В первую очередь попытаемся объяснить следующее: Понятию соответствует число 0, когда под него не подпадает ни один предмет. Но здесь, как кажется, на место 0 можно подставить равнозначное «не»; поэтому предпочтительнее выглядит следующая формулировка: понятию соответствует число 0, если при любом a, предложение, что а не подпадает под это понятие, имеет всеобщее значение.

Сходным образом можно сказать: Понятию F соответствует число 1, если при любом а, предложение, что а не подпадает под F, не имеет всеобщего значения, и если из предложений всегда следует, что а и b суть одно и то же.

Остаётся ещё дать общее объяснение переходу от некоторого числа к последующему.

Испробуем следующую формулировку: Понятию F соответствует число (n + 1), если существует предмет а, подпадающий под F, причём понятию «подпадающий под F, но не а» соответствует число n.

§56. После наших предшествующих результатов эти объяснения представляются столь естественными, что потребуется изложить, почему их нам может недоставать.

Прежде всего сомнение вызывает последнее определение; ибо взятый в точном значении смысл выражения «понятию G соответствует число n» нам также не известен, как и смысл выражения «понятию F соответствует число (n + 1)». Конечно, мы можем при помощи данного и предпоследнего объяснения сказать, что означает и затем, используя это, задать смысл выражения и т.д.; но мы никогда не сможем, – если взять грубый пример – посредством наших определений решить, соответствует ли понятию число Юлий Цезарь или является числом этот знаменитый покоритель галлов или же нет. Кроме того, мы не можем с помощью наших предварительных объяснений доказать, что если понятию F соответствует число а, и этому же понятию соответствует число b, то должно быть а = b. Стало быть, выражение «число, соответствующее понятию F» оправдать нельзя и, как следствие, равенство чисел доказать невозможно, поскольку мы вовсе не смогли схватить какого-то определённого числа. Только кажется, что мы объяснили и 1; на самом же деле мы лишь зафиксировали смысл речевых оборотов но это не позволяет различить в них 0 и 1 как самостоятельные, отождествляемые предметы.

§57. Здесь как раз уместно уделить более тщательное внимание нашему выражению, что указание на число содержит высказывание о понятии. В предложении «Понятию F соответствует число 0», если мы рассматриваем понятие F как реальный субъект, 0 является только частью предиката. Поэтому я избегаю называть числа, типа 0,1,2, свойствами понятия. Отдельное число выглядит именно как самостоятельный предмет благодаря тому, что оно образует только часть высказывания. Выше я уже уделял внимание тому, что говорят «(die) 1» и благодаря определённому артиклю 1 изображает собой предмет. Эта самостоятельность повсеместно обнаруживается в арифметике, например, в равенстве 1 + 1 = 2. Поскольку здесь мы стремимся схватить понятие числа так, чтобы оно было пригодно в науке, нас не должно беспокоить, что в обычном языке жизни число также проявляется атрибутивно. Последнего всегда можно избежать.

Например, предложение «Юпитер имеет четыре луны» может быть преобразовано в «Число лун Юпитера есть четыре». Здесь «есть» не должно рассматриваться в качестве простой связки, как в предположении «Небо есть голубое». Последнее обнаруживается в том, что можно сказать:

«Число лун Юпитера есть четыре» или «есть число 4». Здесь «есть» имеет смысл «есть равное», «есть то же самое, как и». Стало быть, у нас есть равенство, утверждающее, что выражение «число лун Юпитера» обозначает тот же самый предмет, как и слово «четыре». В арифметике форма равенства является господствующей. Это соображение не оспоришь тем, что в слове «четыре» не содержится ничего о Юпитере или о луне. И в имени «Колумб» нет ничего об открытии или об Америке, и всё же и Колумбом, и открывателем Америки называют одного и того же человека.

§58. Могут возразить, что о предмете, который мы называем четыре или числом лун Юпитера, как о чём-то самостоятельном, мы вовсе не можем составить представления1. Но в этом неповинна самостоятельность, приданная нами числу. Правда легко поверить, что в представление о четырёх глазках на игральной кости входит нечто соответствующее слову «четыре»; но это заблуждение.

Помыслите (eine) зелёный луг и попробуйте, изменится ли представление, если неопределённый артикль заменить числительным «один». Ничего сверх того не происходит, в то время как слову «зелёный» в представлении всё-таки нечто соответствует. Если представляют напечатанное слово «медь», при этом никакого числа непосредственно не мыслят. Если же задаются вопросом, из скольких букв оно состоит, то получается число 4; но представление благодаря этому не становится чем-то более определённым, а может оставаться совершенно неизменным. Понятие «буквы слова медь», добавленное сверх того, и есть как раз то, где мы обнаружили число. У глазков на игральной кости дело несколько скрыто, так как понятие удостоверяет себя нам сходством глазков столь непосредственно, что мы едва замечаем его вмешательство. Число нельзя представить ни как самостоятельный предмет, ни как свойство внешней вещи, так как оно не является ни чем-то чувственным, ни свойством внешней вещи. С числом 0 дело наиболее ясно.

Тщетно пытаться представить себе 0 видимых звёзд. Можно, правда, представить небо совершенно затянутым облаками; но здесь нет ничего, что соответствовало бы слову «звезда» или 0. Представляют только ситуацию, которой может способствовать суждение: сейчас не видно ни одной звезды.

§59. Каждое слово может быть и вызывает в нас какое-нибудь представление, даже такое как «только»; но оно не обязательно соответствует содержанию слова; у разных людей представление может быть совершенно различным. И потом, представляется, пожалуй, вся ситуация, вызванная предложением, в которое входит это слово; или случается, что произнесённое слово вызывает в памяти написанное.

Последнее относится не только к отдельным частям речи. Пожалуй, не подлежит никакому сомнению, что у нас нет никакого представления о нашем расстоянии до Солнца. Так как, даже если нам известно правило, как часто мы должны умножать масштаб, то нам всё равно не удаётся никакой попытки согласно этому правилу сконструировать образ, который тоже лишь до некоторой степени приближался бы к желаемому. Однако это не основание сомневаться в правильности расчётов, посредством которых устанавливается расстояние, и ни коим образом не препятствует нам на существовании этого расстояния основывать дальнейшие выводы.

§60. Даже такую конкретную вещь, как Земля, мы не в состоянии представить такой, какой, как мы знаем, она является; вместо этого, мы довольствуемся шаром среднего размера, который считается нами знаком Земли; однако нам известно, что одно весьма отлично от другого. Итак, хотя наше представление часто совершенно не отвечает желаемому, мы всё-таки судим с большой уверенностью о таком предмете, как Земля, даже когда рассматривается её размер.

Очень часто мышление выводит нас за рамки представимого, и при этом не утрачивается основание наших выводов. Даже если, как кажется, человеческое мышление невозможно без представлений, то его связь с тем, что имеется в виду, всё-таки может быть совершенно внешней, произвольной, конвенциальной.

Стало быть, непредставимость содержания слова не является основанием лишить его всякого значения или исключить из обихода. Противоположный взгляд, вероятно, возникает вследствие того, что мы рассматриваем слова изолированно, а потом, спрашиваем об их значении, за которое затем принимаем представление. Таким образом, кажется, что слово, которому недостаёт соответствующего внутреннего образа, не имеет содержания. Необходимо, однако, всегда учитывать полное предложение. Только в нём слова обладают подлинным значением. Внутренний образ, который при этом как бы витает, не обязательно соответствует логически составной части суждения. Достаточно, если предложение имеет смысл как целое; благодаря этому своё содержание получают также и его части.

Мне кажется, это замечание пригодится для того, чтобы пролить свет и на иные трудные понятия, типа понятия бесконечно малых2, и его радиус действия, пожалуй, не ограничивается «Представления» в смысле чего-то такого, что понимается как образ.

Дело в том, чтобы определить смысл равенства, типа математикой.

Самостоятельность, которой я воспользовался для числа, не должна означать, что числительное что-то обозначает вне контекста предложения, но этим я хотел только исключить его употребление в качестве предиката или атрибута, благодаря чему, несколько изменяется его значение.

§61. Однако быть может, на это возразят, что даже если Земля и на самом деле непредставима, она всё-таки является внешней вещью, занимающей определённое место; но где находится число 4? Его нет ни вне нас, ни в нас. В пространственном смысле последнее понимается правильно.

Определение местонахождения числа 4 не имеет смысла; но отсюда вытекает только то, что оно не является пространственным предметом, а не то, что его вообще нет. Не каждый предмет находится где-то. Так же и наши представления1 в этом смысле находятся не в нас (под кожей). Там находятся нервные узлы, кровяные тельца и тому подобное, но не представления. К ним не применимы пространственные предикаты: одно представление не находится ни справа, ни слева от другого; в миллиметрах нельзя указать расстояния, отделяющие представления друг от друга.

Если мы все-таки говорим, что они в нас, то этим хотим обозначить их как субъективные.

Но хотя субъективное и не обладает местом, как возможно, чтобы объективное число 4 нигде не находилось? Итак, я утверждаю, что в этом вовсе нет противоречия. Оно действительно в точности одно и то же для каждого, кто имеет с ним дело; но это не связано с пространственностью. Не каждый объективный предмет обладает местом.

ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА, НЕОБХОДИМО УСТАНОВИТЬ

СМЫСЛ РАВЕНСТВА ЧИСЕЛ.

§62. Каким образом нам может быть дано число, если мы не в состоянии обладать его представлением или созерцанием? Слова обозначают нечто только в контексте предложения.

Стало быть, всё идёт к тому, чтобы объяснить смысл предложения, в которое входит числительное. Прежде всего, в этом всё ещё остаётся много произвольного. Но мы уже установили, что под числительными следует понимать самостоятельные предметы. С этим нам дана разновидность предложений, которые должны обладать смыслом, предложений, которые выражают отождествление. Если знак должен обозначать для нас предмет, то мы должны обладать критерием, который всюду решал бы, является ли b тем же самым, что и а, даже если не всегда в наших силах установить, применим ли этот критерий. В нашем случае мы должны объяснить смысл предложения:

«Число, соответствующее понятию F, является тем же самым, как и то, что соответствует т.е. мы должны воспроизвести содержание этого предложения другим способом, не используя выражения Этим мы зададим общий критерий равенства чисел. После того, как таким образом мы приобретём средство схватывать определённое число и отождествлять его, как одно и то же, мы можем придать ему числительное в качестве собственного имени.

§63.Такое средство называл уже Юм: «Когда два числа составлены таким образом, что каждая единица в одном из них всегда отвечает каждой единице в другом, мы признаём их равными»2. В новейшее время среди математиков3, кажется, многократный отклик встретило мнение, что равенство чисел должно определяться с помощью однозначного соотнесения. Но сразу же возникают логические сомнения и затруднения, мимо которых мы не имеем права пройти без проверки.

Отношение равенства встречается не только среди чисел. Отсюда, по-видимому, следует, что оно должно быть определено не только для данного случая. Можно было бы подумать, что понятие равенства установлено уже заранее, и что затем из него и понятия числа должно а не в том, чтобы указать расстояние, ограниченное двумя различными точками, длина которого dx.

Это слово понимается сугубо психологически, а не психофизически.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.565. [Юм Д. Сочинения в 2-х томах, т.1.– М.: Мысль, 1996.– С.128.] Ср. E.Schroeder, Op.cit., S.7-8; E.Kossak, Die Elemente der Arithmetik, Program des Friedrichs-Werder'schen Gymnasiums.

Berlin, 1872, S.16; G.Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, Leipzig, 1883.

получаться то, когда одно число равно другому, без того, чтобы сверх этого иметь надобность ещё в особом определении.

В противовес этому нужно заметить, что для нас понятие числа ещё не установлено, но прежде должно быть определено при помощи нашего объяснения. Наше намерение - образовать содержание суждения, которое могло бы пониматься как равенство, так, чтобы каждая сторона этого равенства являлась числом. Мы, стало быть, хотим объяснить равенство не для данного случая, но при помощи уже известного понятия равенства, получить то, что рассматривается как равное. Конечно, это кажется весьма необычным видом определения, которому логики ещё не уделяли достаточного внимания; но то, что он не так уж и не слыхан, можно показать на нескольких примерах.

§64. Суждение: «Прямая а параллельна прямой b», в знаках:

также может пониматься как равенство. Если мы так поступаем, то получаем понятие направления и говорим: «Направление прямой а равно направлению прямой b». Таким образом, мы заменили знак // на более общий =, тем, что распределили особое содержание первого между а и b. Мы расчленили содержание иначе, нежели изначальный способ и, благодаря этому, получили новое понятие. Конечно, часто дело воспринимается наоборот, и многие руководства определяют:

Параллельные прямые суть те, что имеют равное направление. Предложение: «Когда две прямые параллельны третей, то они параллельны друг другу» можно тогда очень удобно доказать ссылкой на предложение о равенстве, гласящем нечто подобное. Жаль только, что при этом истинное положение дел ставиться на голову! Так, всё геометрическое, пожалуй, всё же должно первоначально созерцаться. Теперь я спрашиваю, каждый ли обладает созерцанием направления прямой. Что касается прямой, пожалуй! Но различают ли в созерцании этой прямой ещё и её направление? Вряд ли! Это понятие прежде открывается посредством умственной деятельности, привязанной к созерцанию. Зато представлением параллельных прямых обладают. Упомянутое доказательство проходит только благодаря предвосхищению основания, тем что, употребляя слово «направление» предполагают доказываемое; ибо, если предположение: «Когда две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу» было бы неверным, то а // b нельзя было бы превратить в равенство.

Подобным образом из параллелизма плоскостей можно получить понятие, соответствующее понятию направления у прямых. Для этого я подобрал имя «положение». Из геометрического сходства образуется понятие контуров, так что, например, вместо «Оба треугольника сходны»

говорят: «Оба треугольника имеют равные контуры», или «Контуры одного треугольника равны контурам другого». Также и из коллинеарного сродства можно таким же образом получить понятие, для которого, пожалуй, всё ещё не достаёт названия.

§65. Теперь, чтобы, например, от параллелизма1 перейти к понятию направления, мы испробуем следующее определение:

Это объяснение откланяется от привычного, поскольку оно, как кажется, устанавливает уже известное отношение равенства, тогда как на самом деле оно должно вводить выражение «направление прямой а», которое выглядит второстепенным. Отсюда вытекает второе сомнение, не впутают ли нас такие установления в противоречие с известными законами равенства. Каковы же эти законы? Как аналитические истины они могут развиваться из самого понятия. Так Лейбниц определяет:

«Eadem sunt, quorum unum potest substiti alteri salva veritate»2.

Данное объяснение для равенства я принимаю. Говорят ли «равные» или, как Лейбниц, «одни и те же» значения не имеет. «Одни и те же» на самом деле кажется совершенно совпадающим с «равные», только выражающим то или иное отношение; но можно принять такую манеру речи, где это различие пропадёт (например, если вместо «Расстояния равны по длине» говорить: «Длина Я говорю здесь о параллелизме, чтобы мне удобнее было выражаться и легче быть понятым. Существенное этого обсуждения может быть легко перенесено на случай равенства чисел.

Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis, Erdm., S.94. [«Тождественные суть те, один из которых может быть поставлен вместо другого с сохранением истинности». Лейбниц Г.В. Сочинения в 4-х томах, т.3…, С.632.] расстояний является равной» или «одной и той же», а вместо «Поверхности равны по цвету»

говорить: «Цвет поверхностей является равным»). Таким образом, мы и употребляли это слово в вышеприведённых примерах. На самом же деле в общей заменимости содержаться вообще все законы равенства.

Для оправдания нашей попытки определить направление прямой, мы должны, стало быть, указать, что всюду можно заменить на если прямая а и прямая b параллельны. Последнее упрощается, прежде всего, благодаря тому, что о направлении прямой не известно никакого другого высказывания, кроме совпадения с направлением некой другой прямой. Стало быть, нам нужно в таком равенстве или содержании, включающем такие равенства в качестве составных частей1, лишь указать на заменимость. Все другие высказывания о направлениях должны быть прежде объяснены и для этих определений мы можем установить правило, что заменимость направления одной прямой на направление прямой, ей параллельной, должна сохраняться.

§66. Но относительно нашей попытки определения возникает ещё и третье сомнение. В предложении направление а выглядит как предмет2, и наши определения дают нам средство отождествления этого предмета, если бы он выступал в другом одеянии, скажем, как направление b. Но этого средства не достаточно для всех случаев. Сообразно с ним нельзя, к примеру, решить, являются ли Англия и направление оси Земли одним и тем же. Да простят нам этот кажущийся бессмысленным пример! Естественно, никто не смешивает Англию с направлением оси Земли; но это - не заслуга нашего объяснения. Последнее ничего не говорит о том, подтверждается предложение или же отрицается, если само q не дано в форме «направление b». Нам недостаёт понятия направления; если бы оно у нас имелось, мы могли бы это установить; если q – не направление, то наше предложение должно отрицаться; если q – направление, то решает прежнее объяснение.

Итак, в первую очередь следует объяснить:

q является направлением, если существует прямая b, направлением которой является q.

Однако теперь ясно, что мы вращаемся по кругу. Чтобы это объяснение можно было применить в каждом случае, мы уже должны знать, подтверждается или отрицается предложение §67. Если хотят сказать, что q является направлением, когда оно вводится посредством определения, о котором говорилось выше, то способ, которым вводится предмет q, должен трактоваться как его свойство, чем он не является. Определение предмета как таковое собственно ничего о нём не утверждает, но устанавливает значение знака. После того, как это случилось, оно преобразуется в суждение, в котором речь идёт о предмете, но теперь оно уже более его не вводит и находится на одном уровне с другими высказываниями о нём. Если избирается этот ход, необходимо предполагать, что предмет можно задать лишь единственным способом; ибо, в противном случае, из того, что q не вводится посредством нашего определения, не следовало бы, что оно не может быть таким образом введено. Все равенства получались бы тогда из того, что то, что задано одним и тем же способом, должно признаваться за одно и то же. Но это так очевидно и так неплодотворно, что об этом не стоит и говорить. Отсюда в самом деле нельзя извлечь никакого следствия, которое отличалось бы от каждой посылки. Разносторонние и важные применения равенств, напротив, основываются на том, что нечто можно отождествить, несмотря на то, что это нечто задаётся различными способами.

§68. Поскольку таким образом мы не можем получить точно ограниченного понятия В гипотетическом суждении равенство направлений может, например, встречаться как условие или следствие.

На это указывает определённый артикль. Для меня понятие является возможным предикатом сингулярного, выразимого суждением содержания, а предмет - его возможным субъектом. Если в предложении мы рассматриваем направление оси телескопа как субъект, то предикатом является «равно направлению оси Земли».

Последнее является понятием. Но направление оси Земли является только частью предиката; оно также является предметом, так как может быть преобразована в субъект.

направления и на том же самом основании точно ограниченного понятия числа, мы испробуем другой путь. Если прямая а параллельна прямой b, то объём понятия «прямая, параллельная прямой a» равен объёму понятия «прямая, параллельная прямой b»; и наоборот, если объём названных понятий равен, то а параллельна b. Стало быть, мы попробуем объяснить следующее:

Направление прямой а есть объём понятия «параллельна прямой а»;

Контуры треугольника d есть объём понятия «подобен треугольнику d».

Если мы хотим применить это к нашему случаю, то должны на место прямой или треугольника подставить понятие, а на место параллелизма или подобия – возможность взаимнооднозначного соотнесения предметов, подпадающих под одно и под другое понятие.

Краткости ради, если имеется эта возможность, я буду называть понятие F и понятие G равночисленными, но должен просить, чтобы данное слово рассматривалось как произвольно выбранный способ обозначения, чьё значение заимствовано не языковым подбором, но данным установлением.

Итак, я определяю:

Число, соответствующее понятию F, есть объём1 понятия «равночисленно понятию F».

§69. То, что это объяснение подходит, поначалу, пожалуй, едва ли очевидно. Разве под объёмом понятий не мыслится нечто иное? То, что под этим понимается, становится ясным из изначальных высказываний, которые можно сделать об объёмах понятий. Они следующие:

1. равенство;

2. что один шире, чем другой.

Итак, предложение:

Объём понятия «равночисленно понятию F» равен объёму понятия «равночисленно всегда истинно тогда и только тогда, когда и предложение «Понятию F соответствует то же самое число, как и понятию G»

является истинным. Стало быть, здесь имеется полное согласие. Правда, не говорят, что одно число шире другого, в том смысле, в котором объём одного понятия шире, чем объём другого;

однако не случается также и то, чтобы объём понятия «равночисленно понятию F»

был шире, чем объём понятия «равночисленно понятию G»;

но все понятия, равночисленные G, также равночисленны и F, таким же образом и наоборот, все понятия, равночисленные F, равночисленны G. Данное «шире» естественно не совпадает с «больше», которое встречается у чисел.

Разумеется, все ещё допустим случай, когда объём понятия «равночисленно понятию F» более или менее широк, чем объём другого понятия, который тогда, согласно нашему объяснению, не может быть числом; и не принято называть число более или менее широким, чем объём понятия;

но и тому, чтобы принять такую манеру речи - если бы подобное когда-нибудь произошло - также ничего не препятствует.

ДОПОЛНЕНИЕ И ПРОВЕРКА НАШЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

§70. Определения оказываются пригодными благодаря их плодотворности. Те из них, которые с таким же успехом могут отсутствовать без того, чтобы в процедуре доказательства открывались пробелы, должны отбрасываться как совершенно ничего не стоящие.

Мы, стало быть, следует попробовать, допустимо ли произвести из нашего объяснения числа, соответствующего понятию F, известное свойство чисел! Здесь мы довольствуемся самым Я полагаю, что вместо «объём понятия» можно было бы сказать просто «понятие». Однако возможно двоякое возражение:

1. Это находится в противоречии с моим прежним утверждением, что отдельное число является предметом, на что указывает определённый артикль в выражениях, типа «(die) два» и невозможность говорить об однёрках, двойках и т.п. во множественном числе, а также благодаря тому, что число составляет только часть предиката указания на 2. Могут быть понятия равного объёма, без того, чтобы совпадать.

Правда, теперь я держусь мнения, что оба эти возражения возможно было бы устранить; но здесь это может далеко увести. Я полагаю известным, что представляет собой объём понятия.

простым.

Для этого необходимо всё ещё как-то точнее схватить равночисленность. Мы объяснили её с помощью взаимнооднозначного соотнесения, и сейчас нужно изложить то, как я хочу понимать данное выражение, так как в этом легко можно предположить нечто созерцаемое.

Рассмотрим следующий пример! Если официант хочет быть уверен, что он положил на стол ножей столько же, сколько тарелок, ему нет надобности считать каждый из них; если только он справа от каждой тарелки рядом положил нож, тогда каждый нож на столе находится рядом справа от тарелки. Тарелки и ножи взаимнооднозначно соотнесены друг с другом, и притом, в равном соотношении местоположений. Если мы в предложении для а и А мыслим подставленными всё новые и новые предметы, остающаяся при этом неизменной часть содержания составляет сущность отношения. Это следует обобщить!

Обособив а и b в выразимом суждением содержании, в котором речь идёт о предмете а и предмете b, мы, таким образом, сохранили оставшееся понятие отношения, которое согласно этому двояким способом нуждается в дополнении. Если в предложении мы обособим «Земля», то сохраним понятие «по массе больше, чем Луна». Если мы, напротив, обособим предмет «Луна», то получим понятие «по массе меньше, чем Земля». Но если мы одновременно обособим и то, и другое, то обратно останемся с понятием отношения, которое само по себе одно имеет столь же мало смысла, как и обыкновенное понятие: оно всегда требует дополнения для выразимого суждением содержания. Но это может произойти различными способами; вместо Земля и Луна я могу, например, поставить Солнце и Земля и способствовать обособлению как раз благодаря этому.

Отдельная пара соотнесённых предметов относится – можно сказать как субъекты – к понятию отношения, подобно тому, как отдельный предмет относится к понятию, под которое он подпадает. Субъект здесь является составным. Иногда, когда отношение обратимо, это к тому же выражается в языке, как в предложении «Пелей и Фетис были родителями Ахилла»1. В сравнении с последним содержание предложения «Земля больше, чем Луна» так преобразовать возможно не вполне, потому что «и» всегда указывает на определённую уравненность. Но это к делу не относится.

Понятие отношения как простое, стало быть, принадлежит чистой логике. Здесь учитывается не особое содержание отношения, но только логическая форма. И чтобы о ней не утверждалось, истинность этого является аналитической и известной a priori. Для понятий отношения это имеет силу, как и для других.

Подобно тому, как является общей формой выражаемого суждением содержания, имеющего дело с предметом а, так можно считать общей формой выражаемого суждением содержания, имеющего дело с предметом а и предметом b.

§71. Теперь, если каждый предмет, подпадающий под понятие F, находится в отношении к предмету, подпадающему под понятие G, и если к каждому предмету, подпадающему под G, в отношении находится предмет, подпадающий под F, то предметы, подпадающие под F и G, соотнесены друг с другом посредством отношения.

Всё ещё можно спросить, что означает выражение «Каждый предмет, подпадающий под F, находится в отношении к предмету, если предмет вовсе не подпадает под F. Под этим я понимаю:

«а не находится в отношении к предмету, подпадающему под G», не могут сосуществовать друг с другом, при любом значении а; тогда или первое, или второе, или Данный случай нельзя путать с тем, где «и» только кажется субъектом, а на самом деле связывает два предложения.

оба являются ложными. Отсюда получается, что «каждый предмет, подпадающий под F, находится в отношении к предмету, подпадающему под G», потому как, если нет предмета подпадающего под F, тогда первое предложение должно всегда отрицаться, при любом а.

«К каждому предмету, подпадающему под G, в отношении находится предмет, означает, что оба предложения «Предмет, подпадающий под F, не находится в отношении к а»

не могут сосуществовать друг с другом, при любом а.

§72. Итак, мы видели, когда предметы, подпадающие под понятия F и G, соотнесены друг с другом посредством отношения. Здесь это соотнесение должно быть взаимнооднозначным. Под этим я понимаю, что имеют силу оба следующих предложения:

1. Если d находится в отношении к а, и если d находится в отношении к е, тогда а всегда 2. Если d находится в отношении к а, и если b находится в отношении к а, тогда d всегда Этим мы свели взаимнооднозначное соотнесение к чисто логическим обстоятельствам и теперь можем дать следующее определение:

равнозначно выражению «Существует отношение, которое взаимнооднозначно соотносит предметы, подпадающие под понятие F, с предметами, подпадающими под понятие G».

Я повторю:

Число, соответствующее понятию F, есть объём понятия «равночисленно понятию F», и добавлю:

равнозначно выражению «Существует понятие такое, что n есть соответствующее ему число».

Понятие числа, таким образом, объяснено; но, по-видимому, само через себя, однако всё-таки без изъяна, поскольку уже объяснено «число, соответствующее понятию F».

§73. Теперь мы хотим сразу же показать, что число, соответствующее понятию F, равно числу, соответствующему понятию G, если понятие F и понятие G равночисленны. Конечно, последнее звучит тавтологично, но это не так, ведь значение слова «равночисленно» получено не подбором, но из объяснения, данного выше.

Согласно нашему определению необходимо показать, что если понятие F равночисленно понятию G, то объём понятия «равночисленно понятию F» такой же, как объём понятия «равночисленно понятию G». Другими словами, нужно доказать, что согласно этому предположению значение всеобщности имеют предложения:

Если понятие H равночисленно понятию F, то оно также равночисленно понятию G;

Если понятие Н равночисленно понятию G, то оно также равночисленно понятию F.

Из первого предложения вытекает, что существует отношение, которое взаимнооднозначно соотносит предмет, подпадающий под понятие Н, с предметом, подпадающим под понятие G, если существует отношение, которое взаимнооднозначно соотносит предмет, подпадающий под понятие F, с предметом, подпадающим под понятие G, и если существует отношение, которое взаимнооднозначно соотносит предмет, подпадающий под понятие Н, с предметом, подпадающим под понятие F. Следующее расположение букв сделало бы это наглядным:

Фактически, такое отношение может быть задано; оно присутствует в содержании «Существует предмет, к которому в отношении находится с и который находится в если мы обособим в нём с и b (рассматривая их как пункты отношения). Можно показать, что это отношение является взаимнооднозначным, и что оно соотносит предметы, подпадающие под понятие Н, с предметами, подпадающими под понятие G.

Сходным образом может быть доказано и другое предложение1. Это указание, надеюсь, в достаточной степени позволило объяснить, что здесь мы не нуждались в том, чтобы заимствовать основание доказательства у созерцания, и что с нашими определениями можно что-то делать.

§74. Теперь мы можем перейти к объяснению отдельных чисел.

Поскольку под понятие «неравное себе» ничего не подпадает, я объясняю: