МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ

ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И

ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ

АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ СЛУЖБЫ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

срок обучения 3 года очно Специальность 061000 « Государственное и муниципальное управление »

Москва 2008 г.

Высшая математика. Рабочая программа.

Академия Государственной противопожарной службы МЧС России, Факультет руководящих кадров - 2008 г.

Рабочая программа составлена Хаметов В.М., д.ф-м.н. профессор;

Кабанов С.П., к.т.н., с.н.с.

Рецензенты:

Каштанов В.П. д.ф.м.н., профессор. Заведующий кафедрой исследования операций московского института электроники и математики (МИЭМ) Зыков В.И. д.т.н., профессор. (Академия ГПС МЧС России) Пояснительная записка Рабочая программа дисциплины «Высшая математика» федеральной компоненты составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом профессионального высшего образования второго поколения по Специальности 061000 « Государственное и муниципальное управление », который определяет содержание и структуру дисциплины.

1. Цель дисциплины.

Преподавание дисциплины «Высшая математика» имеет целью у обучаемых выработать навыки:

а) по принятию оптимальных решений, основанных на обоснованных математических методах.

б) по анализу случайных явлений, эмпирических феноменов 2. Задачи дисциплины.

Ускоренное развитие современной науки и техники, следовательно, быстрое изменение окружающей среды, выдвигают новые требования к современному инженерному образованию и ставят на первый план следующие задачи:

1) повышение уровня фундаментальной математической подготовки;

2) обучение методам принятия оптимальных решений, основанных на современных строго обоснованных методах, при решении прикладных задач;

3) развитие у обучаемых навыков самостоятельного построения математических моделей, на основе которых возможна оптимизация принимаемых решений;

4) изучение количественных характеристик случайных явлений;

5) изучение математических методов обработки статистической информации;

3.Место дисциплины в профессиональной подготовке.

Курс высшей математики является базовым для изучения специальных дисциплин. Такие направления высшей математики как методы оптимизации, теория вероятностей и математическая статистика опираются на теории дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальные уравнения и позволяют обучаемым моделировать и анализировать реальные процессы, связанные с их профессиональной деятельностью, учитывая их возможную случайную природу.

4. Организационно-методические указания.

Курс высшей математики излагается в течение двух семестров. Изучение дисциплины включает в себя чтение лекции, проведение практических занятий и самостоятельную работу обучаемых.

Курс состоит из трех циклов:

1) Линейная алгебра, цикл, читаемый в 1-м семестре.

2) Методы оптимизации, цикл, читаемый во 2-м семестре;

3) Теория вероятностей и математическая статистика, цикл, читаемый в третьем семестре.

На лекциях этих циклов излагается содержание и проводится анализ методов и условия их применимости. Для усвоения излагаемого материала на лекциях рассматриваются примеры, соответствующие основным положениям. Лектор должен четко и доступно излагать их содержание, комментировать и приводить примеры, разъясняющие основные понятия и методы решения задач. Лектор должен следить за ведением конспекта лекций, который должен содержать название тем, параграфов и пунктов.

Изложение различных методов оптимизации должно начинаться с четкой постановки задачи и заканчиваться четкими выводами по их применимости. На практических занятиях обучаемые овладевают приемами и навыками решения задач, а также получают разъяснения по теоретическим положениям.

Практические занятия имеют важное значение в системе обучения, так они позволяют полностью освоить и понять его содержание.

Важным фактором усвоения и овладения методами является самостоятельная работа обучаемых, которая состоит в выполнение обучаемыми текущих заданий и домашних контрольных расчетных работ.

Контроль за эффективностью самостоятельной работы осуществляется путем опроса содержания лекции, проверки выполнения текущих домашних заданий, контрольных работ.

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

5. Требования к уровню усвоения дисциплины.

5.1. В результате усвоения материалов по циклу «методы оптимизации»

обучаемые должны знать:

I. Основные понятия линейной алгебры: матрица, определитель квадратной матрицы, вектор, линейные независимые вектора, базис, скалярное произведение векторов, норма вектора, линейный оператор, совместные и несовместные системы линейных уравнений, квадратичные и билинейные формы, собственные вектора.

II. Основные понятия классических методов оптимизации: экстремум функции, условия существования экстремума для функции многих независимых переменных.

Ш. Функции опроса, предложения, полезности, кривая безразличия.

IV. Линейное программирование, постановка задачи, множитель Лагранжа, функция Лагранжа, двойственная задача линейного программирования, целевая функция, функции ограничения, симплекс - метод.

V. Дискретное (целочисленное) программирование. Постановка задачи, метод отсечения, метод ветвей и границ.

VI. Нелинейное (выпуклое) программирование. Постановка задачи, выпуклая функция, допустимая область, седловая точка, теорема Куна-Таккера.

VII. Динамическое программирование. Постановка задачи, функция Беллмана, уравнение Беллмана.

уметь:

1.Линейная алгебра:

Решать системы линейных уравнений, вычислять детерминант квадратной матрицы, обратную матрицу, ранг матрицы, скалярное произведение векторов, норму вектора, находить собственные значения матрицы.

II. Классические методы оптимизации: проверять условия экстремума III. Строить функции спроса и предложения, полезности и исследовать их эластичность.

IV. Линейное программирование: решать задачи линейного программирования, применять симплекс - метод.

Дискретное программирование использовать для решения задач методы Гомори, ветвей и границ.

V. Выпуклое программирование: применять теорему Куна-Таккера VI. Динамическое программирование: применять его к решениям оптимизационных задач;

иметь представление:

о методах оптимизации как о способе принятия правильных и обоснованных управленческих решений;

иметь навыки:

использования методов оптимизации для решения прикладных проблем.

5.2. Требование к уровню усвоения цикла «Теория вероятностей и математическая статистика».

Знания:

основные понятия теории вероятностей и математической статистики;

Умения:

применять (на практике) основные теоремы теории вероятностей и математической статистики, строить вероятностные модели явлении, обрабатывать статистическую информацию;

Иметь представление:

о теории вероятностей как об особом способе познания и описания окружающего мира и его математического моделирования;

Иметь навыки:

Использования математического аппарата теории вероятностей и математической статистики.

6. Тематический план.

6.1 Укрупненный тематический план Линейная алгебра:

Системы линейных уравнений, матрицы, определители вектора, многомерное векторное вектора линейных операторов, квадратичные и билинейные формы, системы линейных неравенств.

Классические методы спроса и предложения.

Функция полезности.

Кривые безразличия.

Методы оптимизации:

Линейное программирование.

Дискретное программирование мирование теории вероятностей 8 Основные понятия статистики 9 Теория оценивания:

квадратов гипотез правдоподобия 6. Последовательность проведения занятий:

Тема 1 Л1, Пр1, Л2, Пр2, Л3, Пр3, Л4, Пр4, Л5, Пр5, Л6, Пр6, Л7, Пр7, Л8, Тема 2 Л9, Пр11, Л11, Пр12, Л11, Пр19.

Тема 3 Л14, Пр16, Л15, Пр17, Л16, Пр19, Л12, Пр14, Л13, Пр Тема 4. Л20, Пр23, Л21, Пр24.

Тема 5 Л22, Л23, Л24, Пр25, Пр26, Пр27, Л25, Л26, Л27, Пр28, Пр29, Пр30, Тема 6 Л8, Л9.

Тема 7 Л28, Л29, Пр32, Пр33.

Тема 8 Л30, Л31, Пр34, Пр35.

Тема 9 Л32 Л33, Пр36, Пр37.

Тема 10 Л34, Пр38.

Тема 11 Л38, Пр39.

Где Л- лекции, Пр - практические занятия.

7. Содержание рабочей программы.

Лекция 1. Матрица. Определитель квадратной матрицы. Определители второго и третьего порядка. Вычисление определителей высшего порядка.

Лекция 2. Линейные операции с матрицами. Обратная матрица и способы ее вычисления.

Лекция 3. Вектор. Линейные операции над векторами. Линейно независимые системы векторов. Базис. Разложение векторов по базису. Проекции вектора и его координаты.

Лекция 4. Скалярное произведение векторов. Норма вектора. Евклидово пространство.

Лекция 5. Линейные операторы в многомерном евклидовом пространстве и матрицы, норма линейного оператора. Собственные вектора линейных операторов действующих из п-лимерного евклидова пространства в себя.

Вековое уравнение.

Лекция 6. Системы линейных уравнений. Определение системы линейных уравнений. Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система совместных решений.

Лекция 7. Алгоритм Гаусса и операторный метод построения совместных систем линейных уравнений. Построение решения «вырожденных» систем линейных уравнений. Псевдообратная матрица, и решение наименьшей длины» систем линейных уравнений.

Лекция 8. Квадратичные и билинейные определенные формы.

Положительно определенные матрицы. Системы линейных пространств.

Занятие 1. Определение матрицы. Определитель квадратной матрицы.

Вычисление значения определителя матрицы размера 2x2 и 3x3.

Занятие 2. Действия над матрицами: транспонирование, сложение матриц, умножение матрицы на число. Обратная матрица. Условия существования обратных матриц. Примеры нахождения обратных матриц. Ранг матрицы.

Занятие 3. Методы вычисления ранга.

Занятие 4. Определение вектора. Операции над векторами. Линейнонезависимые вектора. Базис. Разложение векторов по базису. Проекция вектора на его координаты.

Занятие 5. Скалярное произведение и его свойства. Геометрический смысл скалярного произведения и нормы вектора. евклидово пространство и свойства его элементов.

Занятие 6. Линейные операторы в многомерном Евклидовом пространстве и их свойства. Норма линейного оператора.

Занятие 7. Собственные вектора линейного оператора и их свойства. Вековое уравнение.

Занятие 8. Решение систем линейных уравнений. Совместные, несовместные системы уравнений. Применение метода Гаусса к решению систем алгебраических линейных уравнений.

Занятие 9. Псевдообратная матрица и ее свойства. Методы построения псевдообратных матриц. Применение псевдообратных матриц к решению алгебраических систем линейных уравнений.

Занятие 10. Квадратичная и билинейная формы их свойства и применение.

Тема 2: Классические методы оптимизации - 10 часов Лекция 9,10. Элементы математического анализа: предел последовательности, функции, непрерывные функции, производная функции, частная производная.

Лекция 11,12. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких независимых переменных. Численные методы нахождения экстремумов.

Лекция 13. Функции спроса и предложения. Эластичность функции спроса и предложения. Функция полезности и ее свойства. Кривые безразличия.

Лекция 14. Постановка задачи линейного программирования. Примеры.

Задача линейного программирования и двойственная ей задача.

Лекция 15.Множители Лагранжа. Функция Лагранжа. Теорема существования решения задачи линейного программирования.

Лекция 16. Теорема двойственности. Связь между теорией игр (матричные игры) и теорией линейного программирования. Симплекс-метод (суть, примеры).

Лекция 17. Дискретное программирование. Метод отсечения. Алгоритм Гомори. Метод ветвей и границ.

Лекция 18. Нелинейное (выпуклое) программирование: постановка задачи.

Терминология. Выпуклые функции и их свойства. Функция Лагранжа, задачи выпуклого программирования. Условие Слейтера (регулярность).

Лекция 19. Седловая точка. Критерии существования седловой точки.

Теорема Куна-Таккера. Примеры.

Тема 4: «Динамическое программирование» - 4 часа.

Лекция 20. Метод динамического программирования. Идеи метода динамического программирования. Применение метода динамического программирования к задаче минимизации при наличии ограничений.

Лекция 21. Задачи оптимизации дискретных процессов (метод динамического программирования). Классификация задач оптимального уравнения.

Тема 2: Классические методы оптимизации - 10 часов.

Занятие 11,12,13. Элементы математического анализа:

1) предел последовательности (определение, примеры);

2) функции (определение, примеры);

3) непрерывные функции (определение, примеры);

4) производные (определение, примеры, свойства).

Занятие 14. Условия существования экстремума:

1) случай функций одного переменного - необходимые и достаточные условия (примеры);

2) случай функций многих независимых переменных - необходимые и достаточные условия (примеры).

Занятие 15. Функции спроса и предложения и их экономический смысл (примеры). Эластичность функций спроса и предложения (экономический смысл, примеры). Функция полезности и ее свойства (примеры). Кривые безразличия.

Занятие 16,17. Постановка задачи линейного программирования (Л.П.).

Геометрический смысл задачи Л.П. Экономическая интрепретация задачи Л.П. Транспортная задача и задача распределения ресурсов - задача Л.П.

Занятие 18. Функция Лагранжа для задачи Л.П. и ее свойства. Двойственная задача Л.П. Задача о рациональном использовании склада.

Занятие 19,20. Примеры применения симплекс-метода.

Занятие 21.Выпуклые множества, выпуклые функции и их свойства.

Дифференцированность выпуклых функций. Седловая точка. Критерии существования седловой точки.

Занятие 22. Задача выпуклого программирования (З.В.П.) (постановка задачи). Применение З.В.П. Теорема Куна - Таккера. Примеры решения задач выпуклого программирования.

Тема 4: Динамические программирования - 4 часа.

Занятие 23. Описание метода динамического программирование. Примеры решения оптим изационн ы х з адач методом динамического программирования.

Занятие 24. применение метода динамического программирования к решению задач оптимального уравнения (линейная детерминированная управляемая динамическая система с квадратичным критерием) с дискретным временем.

Теория вероятностей и математическая статистика.

Тема 5: Основания теории вероятностей -12 часов.

Лекция 22. Теория вероятностей. Предмет и задачи курса и математической статистики. История и источники возникновения теории вероятностей и математической статистики. Математическая модель теории вероятностей:

пространство элементарных исходов, поле событии вероятностная мера.

Примеры.

Лекция 23. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность и ее свойства. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.

Лекция 24. Случайные величины (определение, классификация). Примеры.

Функция распределения случайной величины (дискретной и абсолютно непрерывной). Теорема Лебега об общем виде функции распределения.

Лекция 25. Характеристики случайных дискретных величин: математическое ожидание и его свойства, моменты, центральные моменты (дисперсия и ее свойства). Общее определение математического ожидания случайной величины (общее определение). Свойства математического ожидания (и его свойства), моменты, центральные моменты (дисциплина и ее свойства).

Общее определение математического ожидания случайной величины. Свойства математического ожидания.

Лекция 26. Случайный вектор. Функция распределения случайного вектора и ее свойства. Характеристическая функция случайного вектора. Ковариация и ее свойства. Коэффициент корреляции. Независимые в совокупности случайные величины.

Лекция 27. Функция распределения линейных и нелинейных преобразований случайных величин. Свойства ковариации при линейных преобразованиях случайных величин. Нормальное распределение и его свойства.

Некоторые специальные распределения, связанные с нормальным распределением: Хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.

Тема 6: Предельные теоремы теории вероятности - 8 часов.

Лекция 28. Сходимость по вероятности и с вероятностью один последовательности случайных величин. Неравенства: Чебышева, КошиБуняковского, Иенсена. Закон больших чисел. Усиленный закон больших чисел. Применение закона больших чисел.

Лекция 29. Центральная предельная теорема Лиуавра-Ланласа. Интегральная центральная предельная проблема: теоремы Линдеберга, Ляпунова.

Применения центральной предельной теоремы неравенство, Бэрри-Эссена (оценка скорости сходимости к нормальному распределению). Предельная теорема Пуассона. Двумерные распределения.

Условные математические ожидания. Условная дисперсия.

Лекция 30. Марковские цепи: классификация состояний по Колмогорову.

Эргодичность. Применение марковских цепей к задаче моделирования социально-экономических процессов.

Тема 8: Основания математической статистики - 4 часа.

Лекция 31. Математическая статистика - терминология: выборка, вариационный ряд, эмпирическая функция распределения, гистограмма, выборочные моменты. Вероятностная интерпретация математической статистики.

Лекция 32. Выборочная ковариация, дисперсия, корреляция и их свойства.

Лекция 33. Основные определения теории точечного оценивания: оценка, дисперсия оценки, несмещенная оценка, состоятельная оценка, эффективная оценка. Выборочный метод оценивания неизвестных параметров функции распределения.

Лекция 34. Неравенство Крамера - Рао. Метод наименьших квадратов для множественной линейной регрессии. Теорема Гаусса – Маркова. Свойства оценок построенных по методу наименьших квадратов. Коэффициент детерминации Тема 10: Проверка статических гипотез - 2 часа.

Лекция 35. Основные определения теории проверки статических гипотез (простых): основная гипотеза, альтернатива, ошибки первого и второго рода, уровень значимости. Лемма Неймана - Пирсона. Проверка статических гипотез с помощью метода наименьших квадратов. Метод доверительных интервалов. Применение метода наименьших квадратов к построениям доверительных интервалов.

Тема 11: Метод максимального правдоподобия - 2 часа.

Лекция 36. Функция правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия и их свойства. Примеры.

Занятие 1. Элементы комбинаторики: факториал, размещение, сочетания Бином Ньютона. Классическое определение вероятностных пространств.

Определение события. Поле (алгебра) событий, вероятность события.

Примеры.

Теорема сложения вероятностей. Полная группа событий. Условная вероятность и ее свойства. Независимые события.

Занятие 2. Вычисление вероятности появления хотя бы одного события (случай конечного пространства элементарных исходов). Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Занятие 3. Случайные дискретные величины. Функция распределения случайной дискретной величины. Бернуллиевские случайные величины.

Независимые испытания бернуллиевских случайных величин (схема Бернулли). Биномиальное распределение. Математическое ожидание случайных дискретных величин. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства.

Занятие 4. Абсолютно случайные непрерывные величины. Свойства плотности распределения, математическое ожидание и дисперсия абсолютно случайных непрерывных величин. Характеристики плотности распределения мода, медиана, асимметрия, эксцесс.

Занятие 5. Гауссовская кривая и ее свойства. Случайная гауссовская величина. Вычисление вероятности попадания случайной гауссовской величины в некоторый интервал. Примеры применения случайных гауссовских величин.

Занятие 6. Показательное распределение. Числовые характеристики показательного распределения. Применения показательного распределения.

Занятие 7. Двумерное распределение случайных величин. Условные распределения случайных величины. Случайные вектора независимые случайные величины. Среднее значение и дисперсия суммы независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности.

Занятие 8. Неравенство Чебышева. Применение неравенства Чебышева и оценка вероятностей событий. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема и ее применения.

Занятие 9. Цепи Маркова и их применение.

Занятие 10. Выборочные моменты и их свойства. Выборочная дисперсия, выборочная ковариация и их свойства. Выборочная корреляция. Оценка параметров с помощью выборочных моментов.

Занятие 11. Метод наименьших квадратов для множественной линейной регрессии. Оценки, построенные по методу наименьших квадратов и их свойства. Коэффициент детерминации. Несмещенная оценка дисперсии ошибок.

Занятие 12. Проверка простых статических гипотез. Применение метода наименьших квадратов в задаче проверки простых гипотез. Построение оценок с помощью метода доверительных интервалов.

Занятие 13. Оценки максимального правдобия и их свойства.

8. Лаборатный практикум - отсутствует.

9. Учебно - методическое обеспечение дисциплины.

1. Карманов В.Г. Математическое программирование М. Физматлит.

2. Ашматов С.А. Линейное программирование М. Наука, 1981.

3. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М. ИЛ. 1963.

4. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М. Наука, 1986.

5. Мюис Р., Райра X. Игры и решения. М. ИЛ. 1960.

6. Ху Т. Целочисленное программирование и потоем в сетях. М. ИЛ.

7. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М. Наука, 8. Зубов В.И., Петросян Л.А. Математические методы в планировании Л.

9. Моисеев Н.Н. Математические методы системного анализа. М. Наука, 10. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М. Мир, 1964.

11.Ермольев Ю.М., Ляшко И.И., Михалевич B.C., Тюнтя В.И.

Математические методы исследования операций. Киев. Вища школа 1979.

12.Аоки М. Введение в методы оптимизации М. Наука, 13.Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М. Наука 1974.

14.Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.

Наука 1973.

15.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М. Высшая школа 1999.

16.Крамер Н. Математические методы статистики. 2004.

17.Чистяков В.П. Курс теории вероятности М. 2003.

18.Чистяков В.П. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. М. Дрофа. 2003.

19.Ширяев А.Н. Вероятность Т 1, 2. М. Мунмо, 2004.

20.Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М. МГУ. 1983.

21.Климко Т.П. Теория вероятностей и математическая статистика. М.

22.Боровков А.А. Теория вероятностей М. Наука. 1988.

23.Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика М. Высшая школа 1982.

24.Роталь В.И. Теория вероятностей. М. Высшая школа. 1992.

25.Ивченко И.И.,Медведев Ю.И. Математическая статистика М. Высшая 26.Магнус Я.Р., Котышев П.К., Пересемукин А.А. Эконометрика. М.

27.Боровков А.А. Математическая статистика. М. Наука. 1984.

28.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.

Высшая школа, 2004.

29.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М. Высшая математика, 1998.

10. Методические рекомендации по организации В связи со сложностью изучаемой дисциплины и необходимостью высокой концентрации внимания слушателей на занятиях целесообразно проводить лекции и практические занятия в первой части расписания учебных занятий.

Лекции должны предшествовать проведению практических занятий.

11. Примерная тематика контрольных работ.

I) Линейная алгебра: матрицы, действия над ними, детерминант квадратной матрицы, обратная матрица, ранг матрицы.

II) Решение систем линейных уравнений, нахождение собственных чисел матриц, скалярное произведение, евклидово пространство.

III) Функция полезности и ее свойства.

IV) Классические методы оптимизации:

необходимые и достаточные условия экстремума функции многих VI) Решение задач линейного программирования: симплекс-метод, двойственный симплекс-метод.

V) Целочисленное программирование метод Гомори, метод ветвей и VI) Выпуклое программирование.

11.2 Теория вероятностей и математическая статистика.

I) Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байсаса.

II) Случайные дискретные величины и функции распределения.

Бернуллиевские случайные величины. Схема Бернулли.

Биноминальное распределение.

III) Математическое ожидание, дисперсия случайных дискретных величин и их свойства.

IV) Абсолютно случайные непрерывные величины: плотность распределения, математическое ожидание, дисперсия. Гауссовская кривая и ее свойства.

V) Показательное распределение и его свойства.

VI) Сходимость по вероятности. Предельные теоремы теории вероятностей. Закон больших чисел, центральная предельная VII) Двумерное распределение случайных величин. Условные распределения.

VIII) Цепи Маркова.

IX) Выборочные моменты. Оценка параметров с помощью выборочных X) Метод наименьших квадратов. Теорема Гаусса-Маркова.

Коэффициент детерминации. Оценка дисперсии ошибок.

XI) Проверка статических гипотез. Метод доверительных интервалов.

XII) Оценки максимального правдоподобия и их свойства.

12. Примерный перечень вопросов к экзамену.

1) Матрицы, действия над матрицами.

2) Определитель матрицы. Алгебраическое дополнение, минор 3) Обратная матрица. Решение систем линейных алгебраических уравнений (метод Крамера) 4) Ранг матрицы. Метод Гаусса.

5) Вектор. Линейные операции над векторами. Линейно независимые вектора.

6) Скалярное произведение и его свойства. Евклидово пространство.

7) Базис. Норма вектора.

8) Линейный оператор в евклидовом пространстве и его свойства, норма линейного оператора.

9) Собственные значения матрицы. Вековое уравнение.

10) Необходимые и достаточные условия экстремума функций многих переменных.

11) Кривые спроса и предотложения и их эластичность.

12) Функция полезности и ее свойства.

13) Кривые безразличия.

14) Постановка задачи линейного программирования. Основные определения.

15) Множители Лагранжа. Функция Лагранжа соответствующая задачи линейного программирования и ее свойства.

16) Выпуклое множество и его свойства.

17) Выпуклая функция и ее свойства.

18) Теорема существования решения задачи линейного программирования.

19) Двойственные задачи линейного программирования.

20) Симплекс-метод.

21) Постановка задачи дискретного (целочисленного) программирования.

Основные определения.

22) Метод отсечения.

23) Алгоритм Гомори.

24) Метод ветвей и границ.

25) Постановка задачи нелинейного (выпуклого) программирования.

Основные определения.

26) Функция Лагранжа для задачи выпуклого программирования. Условия Слейтера.

27) Седловая точка критерии существования седловой точки.

28)Теорема Куна - Таккера.

29) Идея метода динамического программирования.

30) Задача оптимизации дискретных процессов.

12.2 Теория вероятности и математическая статистика.

1) Определения события. Алгебра событий (поле событий).

2) Классическое определение вероятностей.

3) Основные понятия комбинаторики (факториал, размещение, сочетание).

4) Геометрическая вероятность.

5) Теорема сложения.

6) Полная группа событий.

7) Условная вероятность.

8) Теорема умножения вероятностей.

9) Независимые события ( теорема умножения).

10) Геометрическое распределение.

11) Формула полной вероятности.

12) Формула Бейеса.

13) Независимые испытания. Формула Бернулли.

14) Теорема Муавра-Лапласа, (локальная предельная теорема для Бернуллевских испытаний).

15) Предельная теорема Пуассона.

16) Интегральная центральная предельная теорема для Бернуллевских случайных величин.

17) Определение случайной величины. Классификация случайных величин 18) Распределение случайных дискретных величин, (таблица).

19) Биноминальное распределение.

20) Распределение Пуассона.

21) Геометрическое распределение.

22) Математическое ожидание для случайных дискретных величин, (определение).

23) Математическое ожидание случайных величин, имеющих биноминальное распределение.

24) Математическое ожидание случайных величин, имеющих геометрическое распределение.

25) Дисперсия случайной дискретной величины.

26) Дисперсия суммы независимых случайных дискретных величин.

27) Дисперсия случайных величин, имеющих биноминальное распределение.

28) Дисперсия случайных величин, имеющих Пуассоновское распределение.

29) Дисперсия случайных величин, имеющих геометрическое распределение.

30) Свойства дисперсии.

31) Функции распределения случайных дискретных величин.

32) Неравенство Чебышева для случайных дискретных величин.

33) Неравенство Маркова для случайных дискретных величин.

34) Плотность распределения вероятности (определение) и ее свойства.

35) Равномерная плотность распределения.

36) Нормальная плотность распределения.

37) Правило трех сигм.

38) Асимметрия и эксцесс.

39) Показательное распределение и его свойства.

40) Выборка. Вариационный ряд.

41) Выборка. Эмпирическая функция распределения.

42) Выборочные моменты (средняя дисперсия). Выборочная ковариация.

43) Метод наименьших квадратов.

44) Оценка максимального правдоподобия.