МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Кемеровский государственный университет»

в г. Анжеро-Судженске

«1» марта 2013 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

(ЕН.Ф.4) для направления 080800.62 «Прикладная информатика»

факультет информатики, экономики и математики курс: 3 семестр: 6 зачет: 6 семестр лекции: 40 часов практические занятия: 40 часов самостоятельная работа: 80 часов всего часов: Составитель: канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики Токарева Е.Г.

Анжеро-Судженск Рабочая программа составлена на основании:

«ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ» (2005г.) Рабочая программа обсуждена На заседании кафедры математики Протокол №6 «31» января 2013г.

Зав. кафедрой_ Якупов Р.Т.

(Ф.И.О., подпись) Одобрено методической комиссией Протокол №8 «26» февраля 2013г.

Председатель_ Якупов Р.Т.

(Ф.И.О., подпись)

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий общие устойчивые закономерности в массовых случайных явлениях и количественные оценки степени возможности появления или непоявления этих случайных явлений. Математическая статистика - раздел математики, который занимается разработкой методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах по данным наблюдений или экспериментов. Обе эти теории находят многочисленные приложения как в естественных, технических, так и в гуманитарных науках (физика, химия, биология, медицина, кибернетика, филология, экономика, военное дело, и т.д.).

Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» знакомит с основными понятиями теории вероятностей и математической статистики, а также методами исследования математических и прикладных задач. Теория вероятностей и математическая статистика повышает уровень фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной, экономической, правовой, лингвистической и другой направленности.

Основная цель, которая ставится при изучении данной дисциплины - изложение основных сведений, необходимых при построении и анализе математических моделей, учитывающих случайные факторы, а также развитие и формирование логического и алгоритмического мышления;

интеллекта и инженерной эрудиции; научного мышления; диалектико-материалистического мировоззрения студентов.

Объекты изучения - случайные события, случайные величины.

Задачи, которые необходимо решить при изучении дисциплины - усвоение студентами фундаментальных понятий, овладение ими основных методов постановки и решения задач теории вероятностей и математической статистики.

Формы организации учебного процесса Основой учебных занятий являются лекции, подкрепляющиеся практическими занятиями, на которых знания и представления, полученные на лекциях, доводятся до уровня умений и навыков, предусмотрена самостоятельная работа студентов с теоретическим материалом, решение задач.

Виды контроля знаний студентов Система контрольных мероприятий по дисциплине «Математические основы психологии»

включает в себя:

– опрос студентов;

– самостоятельные и контрольные работы;

– экзамен.

Студент должен знать:

- основы теории вероятностей и математической статистики, предусмотренные программой курса;

- основные законы распределения;

- основы математической теории выборочного метода;

- проверку статистических гипотез;

- дисперсионный анализ;

- корреляционный анализ;

- основные положения регрессионного анализа;

- нелинейные регрессионные модели.

Студент должен уметь:

- формулировать и решать основные задачи теории вероятностей и математической статистики;

- внедрять математико-статистические методы исследования при решении прикладных задач информатики, экономики;

- использовать статистические пакеты не только как специальный инструмент научных исследований, но и как общеупотребительный инструмент плановых, аналитических, маркетинговых отделов производственных и торговых корпораций, банков и страховых компаний, правительственных и медицинских учреждений, мелкого бизнеса;

- самостоятельно расширять и углублять знания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика».

Вероятностные и математико-статистические методы исследования позволяют, минуя сложное (а зачастую и невозможное) исследование отдельного случайного явления, изучить закономерности массовых случайных явлений, прогнозировать их характеристики, влиять на ход этих явлений, контролировать их ограничивать область действия случайности.

Дневная форма обучения ремы вероятностей симые испытания распределения чайные величины теоремы и их характеристика.

Статистические методы обработки экспериментальных Особенности статистического анализа количественных и зателей. Многомерные методы оценивания и статистического сравнения гипотез тистический анализ статистического

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Теория вероятностей. Правила действия со случайными событиями и вероятностями.

Случайные величины и законы распределения вероятностей. Основные числовые характеристики случайных величин. Модели законов распределения вероятностей, наиболее распространенные в практике статистических исследований. Закон больших чисел и центральная предельная теорема. Последовательности случайных величин в дискретном вероятностном пространстве, цепи Маркова. Математическая статистика.

Генеральная совокупность, выборка и основные способы ее организации. Основные выборочные характеристики и их свойства. Законы распределения выборочных характеристик в нормальной генеральной совокупности. Вариационный ряд и порядковые статистики. Статистическое оценивание параметров. Точечные оценки и их свойства. Метод максимального правдоподобия и метод моментов. Понятие об интервальных оценках и доверительных областях. Интервальные оценки математического ожидания, дисперсии и вероятности. Статистическая проверка гипотез. Основные типы гипотез и общая логическая схема статистического критерия. Характеристики качества статистического критерия. Критерии согласия, однородности и о числовых значениях параметра.

Современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа. Применение многомерных статистических методов в социально-экономических исследованиях.

Тема 1. Основные понятия, определения и теоремы вероятностей – 16 час.

Классификация событий. Вероятность. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Теоретико-множественная трактовка основных понятий и аксиоматическое построение теории вероятностей.

Комбинаторика. Действия над случайными событиями. Непосредственный подсчет вероятностей.

Теорема сложения вероятностей.

Условная вероятность случайного события. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула Бернулли Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.

Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Математические операции над случайными величинами. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины.

Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.

Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс.

Биномиальный закон распределения. Закон распределения Пуассона. Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение. Равномерный закон распределения. Показательный (экспоненциальный) закон распределения. Нормальный закон распределения. Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону. Правило трех сигм. Логарифмически-нормальное распределение.

Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин:

- распределение (хи-квадрат), распределение Стьюдента, распределение Фишера-Снедекора.

Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения. Плотность вероятности непрерывной двумерной случайной величины. Условные законы распределения. Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Регрессия.

Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции.

Свойства функции распределения n-мерной случайной величины. Свойства математического ожидания и дисперсии, использующие ковариацию. Композиция законов распределения.

Тема 6. Закон больших чисел и предельные теоремы - 14 час.

Неравенство Маркова (лемма Чебышева). Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.

Тема 7. Случайные процессы (случайные функции) - 14 час.

Определение случайного процесса и его числовые характеристики. Корреляционная функция случайного процесса. Нормированная корреляционная функция случайного процесса. Понятие Марковского случайного процесса. Потоки событий, граф состояний.

Накопленная частота. Кумулята. Средняя арифметическая вариационного ряда и ее свойства. Основные свойства дисперсии вариационного ряда. Упрощенный способ расчета средней арифметической и дисперсии.

Тема 8. Вариационные ряды и их характеристика. Статистические методы обработки экспериментальных данных - 17 час.

Понятие вариационного ряда. Особенности статистического анализа количественных и качественных показателей. Дискретные и непрерывные (интервальные) вариационные ряды и их графическое изображение. Статистические методы обработки экспериментальных данных: средние величины; показатели вариации: вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия и ее свойства, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и его размерность.

Упрощенный метод расчета средней арифметической и дисперсии. Начальные и центральные моменты вариационного ряда. Коэффициент асимметрии и эксцесс вариационного ряда.

Тема 9. Выборочный метод. Особенности статистического анализа количественных и качественных показателей. Многомерные методы оценивания и Общие сведения о выборочном методе. Статистическое оценивание параметров выборки и статистические методы обработки экспериментальных данных (нахождение оценок) по собственно-случайной выборке. Классификация экономических объектов. Кластер-анализ. Определение эффективных оценок с помощью неравенства Рао-Крамера-Фреше.

Многомерные методы оценивания и статистического сравнения. Методы шкалирования при обработке качественных признаков. Проблема размерности в многомерных методах исследования.

Понятие интервального статистического оценивания. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки. Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке.

Тема 10. Статистическое оценивание и проверка гипотез - 15 час.

Принцип практической уверенности. Статистическая гипотеза. Статистическое оценивание и проверка гипотез. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Построение закона распределения по опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения.

Многомерный статистический анализ. Множественный корреляционно-регрессионный анализ. Компонентный анализ. Факторный анализ. Кластер-анализ. Классификация без обучения. Дискретный анализ.

Классификация с обучением. Канонические корреляции. Множественный ковариационный анализ.

Тема 12. Современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа - 16 час.

Линейные многофакторные регрессионные модели финансового рынка. Рыночная модель. Модели зависимости от касательного портфеля. Риск портфеля. Неравновесные и равновесные модели финансового рынка. Чувствительность ценной бумаги к рыночному портфелю. Понятие мультиколлинеарности. Неравновесные и равновесные модели финансовых рынков. Переоцененные и недооцененные ценные бумаги Современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа. Применение многомерных статистических методов в социально-экономических исследованиях.

4. Учебно-методические обеспечение по дисциплине Основная литература 1. Горлач Б. А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. — СПб.:

Издательство «Лань», 2013. — 320 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id= 2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. 2-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 296 с. Режим доступа:

http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id= 3. Назаров А.А. Теория вероятностей и случайных процессов : учеб. пособие / А.А. Назаров, А.Ф. Терпугов. - 2-е изд., испр. - Томск: Изд-во НТЛ, 2010. - 201 с.

4. Фадеева Л.Н. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие / Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев; под ред. Л.Н. Фадеевой. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Рид Групп, 2011. - 496 с.

Дополнительная литература 1. Назаров А.А. Теория вероятностей и случайных процессов : учеб. пособие / А.А. Назаров, А.Ф. Терпугов. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 201 с.

2. Свешников А.А. Прикладные методы теории марковских процессов : учеб. пособие. - СПб.:

Лань, 2007. - 191 с.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб.. - 2-е изд., перераб.

и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. - 574 с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М: Высшая школа, 1972-368с 5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М: Высшая школа, 1979 –477 с..

6. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под ред. Свешникова А.А. - М: Наука, 1970,-656с.

7. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М: ЮНИТИ, 1998-1022с.

8. Боровиков В.П., Боровиков H.H.STATISTICA. Статистический анализ и обработка данных в среде Windows.- М:ФИЛИН,1997- 600с.

9. Трусов B.C. Теория эксперимента. - Томск: Изд-во ТГУ,- 1983, 183с.

10. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука, 1975.

11. Терпугов АФ. Математическая статистика. - Томск:Изд-во ТГУ, 1974.- 136с.

12. ЕмельяновГ.Р., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. - М: Наука, 1970.

13. Кендалл М.Дж, Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М: Наука,1973.- 899 с.

14. Кендалл М.Дж, Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - М:

Наука,1976.- 736с.

15. Клейнер Г.Б., Смоляк С.А, Экономические зависимости: принципы и методы построения, М: Наука, 2000 - 102с.

16. Мандель И.Д. Кластерный анализ. - М: Финансы и статистика, 1988.- 176с.

17. 7. Бережная Е.В. и др. Математические методы моделирования экономических систем.

М.: Финансы и статистика, 2001.

18. 8. Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. – М.: Высшая школа., 2000.

19. 9. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., 20. 10. Луценко В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для экономико-гуманитарного факультета. – Новочеркасск, 2002.

21. 11. Математика для экономистов в 6 т. – т.6. Теория массового обслуживания. – М.:

22. 12. Мантуров О.В. Курс высшей математики: Ряды. Уравнения математической физики.

Теория функций комплексной переменной. Численные методы. Теория вероятностей. – М.:

23. 13. Крамер Г. Математические методы статистики: пер. с англ. – М.: Мир, 1975.

5. Формы текущего, промежуточного и рубежного контроля Текущий контроль осуществляется в формах:

– опрос студентов;

– домашние работы;

– самостоятельная работа студентов.

Промежуточный контроль:

– коллоквиумы;

– контрольные работы.

Итоговый контроль:

ФОНД КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ

1. Понятие вероятности.

2. Классическое, геометрическое и статистическое определение вероятности.

3. Алгебра событий.

4. Теорема сложения вероятностей.

5. Генеральная совокупность.

6. Выборка и основные способы организации выборки.

7. Основные выборочные характеристики и их свойства.

8. Законы распределения выборочных характеристик в нормальной генеральной совокупности.

9. Вариационный ряд и порядковые статистики.

10. Статистическое оценивание параметров.

11. Точечные оценки и их свойства (несмещенность, состоятельность и эффективность).

12. Метод максимального правдоподобия.

13. Метод моментов.

14. Интервальные оценки и доверительные области.

15. Статистическая проверка гипотез.

16. Основные типы гипотез.

17. Общая логическая схема статистического критерия.

18. Уровень значимости, степень свободы.

19. Характеристики качества критерия.

20. Мощность критерия.

21. Критерии согласия и однородности.

22. Проверка гипотезы о числовых значениях параметров. Основы статистического исследования зависимостей.

23. Оценка коэффициента корреляции, доверительный интервал для него.

24. Критерий 2 Пирсона.

25. Ошибки первого и второго рода.

26. Статистические методы обработки экспериментальных данных.

27. Особенности статистического анализа количественных и качественных показателей.

28. Методы шкалирования при обработке качественных признаков.

29. Проблема размерности в многомерных методах исследования.

30. Многомерные методы оценивания и статистического сравнения.

31. Многомерный статистический анализ.

32. Множественный корреляционно-регрессионный анализ.

33. Компонентный анализ.

34. Факторный анализ.

35. Кластер-анализ.

36. Классификация без обучения.

37. Дискриминантный анализ.

38. Классификация с обучением.

39. Канонические корреляции.

40. Множественный ковариационный анализ.

41. Современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа.

42. Применение многомерных статистических методов в социально-экономических исследованиях..

43. Регрессия.

44. Зависимые и независимые случайные величины.

45. Ковариация и коэффициент корреляции.

ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНЫХ

РАБОТ, КОЛЛОКВИУМОВ

1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры, и помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

3. В партии из 8 деталей 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

4. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

5. Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса R. Какова вероятность того, что расстояние точки от центра окажется меньше R.

6. Электрический провод, соединяющий пункты А и В, порвался в неизвестном месте. Чему равна вероятность того, что разрыв произошел не далее 300 м от пункта А, если расстояние между пунктами 1,5 км?

7. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в квадрат пропорциональна площади квадрата и не зависит от его расположения относительно круга.

8. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в треугольник пропорциональна площади треугольника и не зависит от его расположения относительно круга.

9. В урне 40 шаров: 12 красных, 18 синих и 10 белых. Найти вероятность появления цветного 10. В ящике имеется n деталей, из которых m стандартных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.

11. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным двум, либо пяти, либо тому и другому одновременно.

12. У сборщика имеется 4 конусных и 8 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй эллиптический.

13. В урне 6 белых, 5 черных и 4 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В) и при третьем – синий (событие С).

14. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

15. В одной урне 1 белый и 4 черных шара, в другой – 2 белых и 3 черных шара, в третьей – белых и 2 черных шара. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров будет один белый и 2 черных шара.

16. В семье четверо детей. Считая, что рождение мальчика и рождение девочки одинаково вероятны, найти вероятность того, что среди детей: а) все мальчики; б) все одного пола; в) хотя бы один мальчик.

17. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

18. В урне 36 шаров: 10 красных, 15 синих и 11 белых. Найти вероятность появления цветного 19. В первой коробке содержится 16 радиоламп, из них 14 стандартных, во второй коробке – ламп, из них 7 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

20. Из двух колод по 36 карт и одной в 52 карты наудачу выбрана колода, а из колоды наудачу взята карта. Какова вероятность того, что это оказался туз?

21. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 5, из второй –7, из третьей – 6 студентов. Вероятность того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,8; 0, и 0,7. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент?

22. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна p=0,7. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 суток расход электроэнергии в течение 3 суток не превысит установленной нормы.

23. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из пяти (ничьи во внимание не принимаются)?

24. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в декабре в среднем бывает 10 ясных дней. Какова вероятность, что из случайно взятых в этом месяце 5 дней три окажутся ясными?

Индивидуальные задания по разделу «Математическая статистика»

1. Время выполнения расчетного задания различными производственными группами:

По заданным данным построить интервальный вариационный ряд, для полученного интервального ряда построить полигон частот, гистограмму и эмпирическую функцию распределения. Найти основные числовые характеристики: моду, медиану, выборочное среднее, эмпирическую дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса.

2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n 10 :

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

3. По выборке объемом n 30 найден средний вес x 130 г изделий, изготовленных на первом станке; по выборке объемом m 40 найден средний вес y 125 г изделий, изготовленных на втором станке. Генеральные дисперсии известны: D x 60 г 2, D y 80 г 2. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H 0 : M x M y при конкурирующей гипотезе H1 : M x M y. Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы.

4. По выборке: 23, 18, 21, 20, 18, 19, 20, 23, 18, 19 найти основные числовые характеристики:

моду, медиану, выборочное среднее, эмпирическую дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса.

5. Измерения дали следующие результаты:

1,9 3,1 1,3 0,7 3,2 1,1 2,9 2,7 2,7 4,0 1,7 3,2 0,9 0,8 3,1 1, 2,6 1,9 2,3 3,2 4,1 1,3 2,4 4,5 2,5 0,9 1,4 1,6 2,2 3,1 1,5 1, 2,3 4,3 2,1 0,7 1,2 1,5 1,8 2,9 0,8 0,9 1,7 4,1 4,3 2,6 0,9 0, 1,2 2,1 3,2 2,9 1,1 3,2 4,5 2,1 3,1 5,1 1,1 1,9 2,1 3,8 4,6 3, 4,3 1,1 2,3 3,9 2,4 4,1 4,2 0,9 0,9 3,1 4,6 3,1 3,3 2,8 2,5 4, По заданным данным построить интервальный вариационный ряд, для полученного интервального вариационного ряда построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию. Найти основные числовые характеристики: моду, медиану, выборочное среднее.

6. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

7. Случайная величина X (время безотказной работы элемента) имеет показательное распределение. Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы 1000 элементов (в первой строке указано среднее время xi безотказной работы одного элемента в часах; во второй указана частота mi - количество элементов, проработавших в среднем xi часов):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.

8. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение 4, выборочная средняя 10,2 и объем выборки 16.

9. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности 1,5.

10. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n 50 :

44 55 30 40 67 65 39 48 43 60 54 42 Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

11. Найти доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности с надежностью 0,96 по выборке 12. По двум независимым малым выборкам, объемы которых n 10 и m 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние x 142,3, y 145,3 и исправленные дисперсии sx 2,7; s y 3, 2. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H 0 : M x M y при конкурирующей H1 : M x M y.

13. При уровне значимости 0,05 требуется проверить нулевую гипотезу H 0 : M x M y при конкурирующей H1 : M x M y по малым независимым выборкам из одной генеральной совокупности X (1,2; 1,2; 1,0; 0,9; 0,8; 0,9; 0,8; 1,1) и Y (1,2; 1,0; 1,0; 0,9; 0,8; 0,9; 1,0; 1,0; 1,2; 1,1).

14. По двум независимым выборкам, объемы которых n1 9 и n2 6, извлеченным из генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные дисперсии S 2 x 14, 4 и S 2 y 20,5.

При уровне значимости 0,1 проверить нулевую гипотезу H 0 : D x D y о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H1 : D x D y.

15. Для сравнения точности двух станков – автоматов взяты пробы (выборки), объемы которых n1 10 и n2 8. В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты:

Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью ( H 0 : D x D y ), если принять уровень значимости 0,1 и в качестве конкурирующей гипотезы H1 : M x M y ?

16. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, значимо или случайно расхождение между эмпирическими частотами ni, которые вычислены исходя из гипотезы о нормальном законе распределения генеральной совокупности.

17. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением по выборке объемом n 50.

18. В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено эмпирическое распределение Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что время работы элементов распределено по показательному закону.

19. Вычислить выборочный коэффициент корреляции по следующим данным:

Проверить его значимость с надежностью 0,95 и найти доверительный интервал для выборочного коэффициента корреляции.

20. Найти эмпирическую и теоретическую линии регрессии и доверительный интервал для выборочного коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05 по данной корреляционной таблице:

21. Найти оценки параметров линейной регрессии по выборке Построить эмпирическую и теоретическую линии регрессии.

22. Считая, что зависимость между переменными X и Y имеет вид y 0 1 x 2 x 2, найти оценки параметров по следующей выборке:

23. Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить значимость полученного результата при 0,05. Для девяти студентов приведены ранги величин X (средний балл по математике) и Y (средний балл по программированию).

1. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна пяти. Ответ: 1/9.

2. События А и В независимы. Вероятность наступления хотя бы одного из них равна 0,76, а ровно одного – 0,52. Найти Р(А) и Р(В), если Р(А) > Р(В). Ответ: 0,6; 0,4.

3. Рабочий обслуживает три станка. Первый станок может требовать ремонта с вероятностью p1 0,2 ; второй – p2 0,3 ; а третий – p3 0,4. Найти вероятность того, что не более двух станков потребует ремонта. Ответ: 0,976.

4. Ключи K1, K 2, K 3 соединены по указанной схеме. Вероятности того, что они замкнуты, равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. При включении в сеть цепь МN оказалась замкнутой. Найти вероятность того, что при этом ключи K 1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одинакового размера, которые затем перемешали. Найти вероятность того, что случайно извлечённый кубик имеет две окрашенные грани. Ответ: 3/8.

2. На полке в случайном порядке стоит 10 книг, причём 4 из них по математике. Случайно взяли три книги. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна по математике. Ответ:

5/6.

3. В коробке 20 лампочек, причём 4 из них на 220 В, а 16 — на 127 В. Половина тех и других матовые. Случайно взято 2 лампы. Найти вероятность того, что они разного напряжения и обе матовые. Ответ: 8/95.

4. В спартакиаде участвуют 20 спортсменов: 12 лыжников и 8 конькобежцев. Вероятность выполнить норму лыжником равна p1 0,8, а конькобежцем — p2 0,4. Случайно вызвано два спортсмена. Найти вероятность того, что они оба выполнят норму. Ответ: 968/2375.

1. Монета подброшена три раза. Найти вероятность того, что герб появится два раза. Ответ: 3/8.

2. Из 10 радиоламп 4 неисправны. Случайно взято 4 лампы. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна неисправная. Ответ: 13/14.

3. Из урны, содержащей 4 белых, 6 красных и 5 черных шаров, случайно извлекают 3 шара.

Найти вероятность того, что два их них одного цвета. Ответ: 43/65.

4. В ящике 5 мячей, из которых 3 новые. Для игры взяли случайно два мяча, после игры вернув их в ящик. Для второй игры случайно взяли ещё два мяча. Найти вероятность того, что они оба новые. Ответ записать в виде десятичной дроби. Ответ: 0,09.

1. В коробке 4 одинаковых занумерованных кубика. По одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлечённых кубиков появятся в возрастающем порядке. Ответ:

1/24.

2. Выстрелив один раз, стрелок уступает очередь другому. У каждого стрелка по два патрона.

Вероятность попадания каждым из них при одном выстреле равна 0,2. Приз получает стрелок, первым попавший в цель. Найти вероятность того, что приз получит стрелок, начавший стрелять первым. Ответ: 0,328.

3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,05 и не меняется от выстрела к выстрелу. Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы с вероятностью 0,75 иметь хотя бы одно попадание? Ответ: 28.

4. Имеется две партии изделий, состоящих из 10 изделий каждая, по 6 – первого сорта и 4 – второго. Из первой партии извлекли изделие и переложили во вторую, после чего из второй партии берут одно изделие. Найти вероятность того, что оно второго сорта. Ответ: 0,4.

1. Найти вероятность того, что при подбрасывании трёх игральных костей ровно на одной из них выпадет шестёрка. Ответ: 25/72.

2. Вероятность успешно выполнить упражнение для каждого из двух спортсменов равна 0,6.

Спортсмены выполняют упражнение по очереди, делая по две попытки. Выполнивший первым упражнение успешно получает приз. Найти вероятность того, что приз будет вручён. Ответ:

0,9744.

3. Для перевозки 20 изделий, среди которых 5 — типа А, остальные — типа В, использован грузовик. В пути повреждено два изделия. Найти вероятность того, что они одного типа. Ответ: 23/38.

4. Имеется 10 урн с шарами. В двух из них — 8 белых и 2 чёрных, в трёх — 6 белых и 4 чёрных, в пяти — 5 белых и 5 чёрных. Из случайно взятой урны извлекли два шара. Они оказались белыми. Найти вероятность того, что они извлечены из первой группы урн. Ответ: 56/151.

1. В ящике 10 шаров с номерами 1, 2,..., 10. Случайно извлекают два шара. Найти вероятность того, что среди них окажется шар с номером 1. Ответ: 1/5.

2. События А и В независимы. Вероятность наступления ровно одного из них равна 0,56. Найти Р(В), если известно, что Р(А) = 0,8. Ответ: 0,4.

3. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь — высшего сорта, равна 0,8.

Для второго станка эта вероятность равна 0,5. На первом станке изготовлено две детали, на втором — три. Найти вероятность того, что среди этих пяти деталей хотя бы одна — не высшего сорта.

Ответ: 0,92.

4. Имеется две партии изделий. В первой партии 10 изделий, из них 8 — первого сорта, во второй партии 8 изделий, из них 6 — первого сорта. Из первой партии во вторую переложили два изделия, затем из второй партии взяли одно изделие. Найти вероятность того, что оно первого сорта.

Ответ: 0,76.

1. В конверте 10 фотографий, среди которых две нужные. Извлечено 5 фотографий. Какова вероятность, что нужные две среди них? Ответ: 2/9.

2. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности их отказа соответственно равны 0,2 и 0,3. Найти вероятность отказа устройства, если для достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. Ответ: 0,44.

3. Нужная студенту книга с вероятностью 0,8 имеется в каждой из трёх библиотек А, В, С. Если в А книга не обнаружена, он идёт в В. Если в В книги нет, он идёт в С. Найти вероятность того, что студент получит книгу. Ответ: 0,992.

4. Ключи K1, K 2, K 3, K 4 соединены по указанной схеме. Вероятности того, что они замкнуты, 1. В ящике 10 деталей, среди которых 3 бракованных. Случайно извлекли 4 детали. Найти вероятность того, что среди них окажутся две бракованных. Ответ: 21/70.

2. ОТК проверяет изделие на стандартность. Вероятность стандартности изделия равна 0,85.

Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно. Ответ: 0,255.

3. Три стрелка А, В, С стреляют по некоторой цели, делая не более одного выстрела. Вероятности попадания их при одном выстреле соответственно равны 0,7, 0,8, 0,9. Стрельбу начинает А.

Если он промахнётся, то стреляет В. Если и В промахнётся, то стреляет С. Найти вероятность того, что цель будет поражена. Ответ: 0,994.

4. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить туберкулёз равна 0,9. Вероятность принять здорового человека за больного равна 0,01. Доля больных туберкулёзом ко всему населению равна 0,001. Найти вероятность того, что человек здоров, хотя он признан больным при обследовании. Ответ:

0, 1. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, помня лишь, что они отличны от нуля, набрал их случайно. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. Ответ: 1/81.

2. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие – высшего сорта, равна 0,9. Найти вероятность того, что из трёх проверенных изделий только два окажутся высшего сорта. Ответ: 0,243.

3. Стрелки А, В, С стреляют по некоторой цели, делая не более одного выстрела каждый. Вероятности их попадания равны соответственно 0,4; 0,6; 0,8. Первым стреляет А. В случае его промаха стреляет В. Если и В промахнётся, то стреляет С. Найти вероятность того, что не все стрелки выстрелят. Ответ: 0,76.

4. Два из четырёх независимо работающих элементов отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и третий элементы, если вероятности отказа элементов соответственно равны 0,2;

0,4; 0,3; 0,1. Ответ: 0,2144.

1. Из группы, состоящей из трёх мужчин и четырёх женщин, отобрано 4 человека. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется две женщины. Ответ: 18/35.

2. События А и В независимы. Вероятность наступления хотя бы одного из них равна 0,94. Найти Р(А), если Р(В) = 0,7. Ответ: 0,8.

3. Стрелки А, В, С стреляют по цели, делая не более одного выстрела каждый. Вероятности их попадания соответственно равны 0,3; 0,4; 0,6. Первым стреляет А, в случае его промаха стреляет В.

Если и В промахнётся, то стреляет С. Найти вероятность того, что цель будет поражена стрелком В или С. Ответ: 0,532.

4. Имеется две урны. В первой — 4 белых и 7 чёрных шаров, а во второй — 5 белых и 5 чёрных. Из первой урны во вторую переложили 2 шара. После этого из второй урны извлекли шар.

Какова вероятность того, что он белый? Ответ: 21/44.

Задания к срезу по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

В урне имеется 10 шаров:3 белых и 7 черных. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар: а) белый; б) черный?

На отрезок OA длины L числовой оси OX наудачу поставлена точка B(x).Найти вероятL ность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет длину, большую ?

В ящике 10 красных и 6 зеленых пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?

Сколькими способами можно выбрать 4 детали из ящика, содержащего 8 деталей?

Из слова «НАУГАД» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква А? Какова вероятность того, что это гласная?

На отрезок OA длины L числовой оси OX наудачу поставлена точка B(x).Найти вероятL ность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет длину, меньшую ?

Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что студент знает каждый из двух вопросов, заданных ему экзаменатором?

Сколько можно составить трехцветных флагов из материй 7 цветов?

Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпадут два «герба»?

Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса 8 см. Какова вероятность того, что расстояние точки от центра больше 2см?

В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором – 30 деталей, из которых 24 стандартных; в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика стандартная.

Сколько четырехзначных чисел можно составить из чисел {1,2,3,4}?

1. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения номера 4 на верхней грани упавшей на стол кости? Какова вероятность выпадения номера, большего 4?

2. Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса 15 см. Какова вероятность того, что расстояние точки от центра меньше 5см?

3. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95;

для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

4. Сколькими способами можно выбрать 3 шарика из урны, содержащей 9 шариков?

Изменения и дополнения, вносимые в рабочую программу по итогам ее ежегодного рассмотрения на кафедре и переутверждения в установленном порядке, указываются в специальном Приложении 2, составленном согласно форме:

Дополнения и изменения к рабочей программе учебной дисциплины Сведения о переутверждении РП на текущий учебный год и регис трация изменений № Учебный Содержание Преподаватель- Рабочая программа пе- Внесенные изменеизме год изменений разработчик про- ресмотрена и одобрена ния утверждаю:

ния