Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

физико-технический институт

«Московский

(государственный университет)»

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе О. А. Горшков «»_2013 г.

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В МАГИСТРАТУРУ

ФАКУЛЬТЕТА УПРАВЛЕНИЯ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

по направлению 010900 «Прикладные математика и физика»

по магистерским программам 010952 «Математическая физика и математическое моделирование», 010953 «Прикладная математика», 010954 «Управление динамическими системами», 010955 «Синергетика и нелинейные процессы», 010956 «Математические и информационные технологии», 010991 «Прикладные вычислительные модели и программные комплексы»

кафедр математических и информационных технологий, математического моделирования, прикладной математики, нелинейных процессов и управления, вычислительная математики (cпециализация: прикладные вычислительные модели и программные комплексы), прикладных проблем теоретической математической физики Программа обсуждена и одобрена на заседании Ученого совета ФУПМ «19» апреля 2013 г.

Декан факультета _ Шананин А.А.

МАТЕМАТИКА

1. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций Ролля, Лагранжа и Коши.

2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

3. Исследование функции одного переменного с помощью производных:

монотонность, экстремумы, выпуклость, перегибы.

4. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия и достаточные условия дифференцируемости.

5. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые условия, достаточные условия.

6. Условный экстремум функций нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа (необходимые условия экстремума).

7. Определнный интеграл. Свойства интеграла с переменным верхним пределом:

непрерывность, дифференцируемость. Формула Ньютона--Лейбница.

8. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сравнения.

9. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

10. Степенные ряды. Радиус сходимости. Ряд Тейлора.

11. Криволинейные интегралы. Формула Грина.

12. Поверхностные интегралы. Формула Остроградского--Гаусса.

13. Тригонометрический ряд Фурье. Условия сходимости ряда Фурье в точке.

14. Различные способы задания прямой и плоскости. Углы между прямыми и плоскостями. Формулы расстояния от точки до прямой и плоскости.

15. Кривые второго порядка. Эллипс, парабола, гипербола и их свойства.

16. Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера. Теорема Кронекера--Капелли. Общее решение системы.

17. Линейное преобразование конечномерного пространства, его матрица.

Собственные векторы и собственные значения, их свойства.

18. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду.

19. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Методы их решения.

20. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Метод вариации постоянных. Определитель Вронского, формула Лиувилля--Остроградского.

21. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

22. Вероятностное пространство. Независимые события. Теорема сложения. Условная вероятность. Полная система событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

23. Случайная величина и е функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, их свойства.

24. Испытания Бернулли. Неравенство Чебышева и закон больших чисел.

25. Регулярные функции комплексного переменного. Интегральная формула Коши.

Функции, регулярные в кольце. Ряд Лорана.

26. Вычет в изолированной особой точке. Вычисление интегралов при помощи вычетов.

27. Задача Коши для уравнения колебаний струны и одномерного уравнения теплопроводности. Формулы Даламбера и Пуассона.

28. Задачи Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона (двумерный и трхмерный случаи).

Литература.

1. Л.Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа.

2. С.М. Никольский. Курс математического анализа.

3. А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа.

4. Г.Н. Яковлев. Лекции по математическому анализу.

5. Г.Е. Иванов. Лекции по математическому анализу.

6. А.Е. Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.

7. В.И. Чехлов. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре.

8. Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

9. Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

10. В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений.

11. М.В. Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

12. В.К. Захаров, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков, Теория вероятностей.

13. В.П. Чистяков. Курс теории вероятностей.

14. Е.С. Половинкин. Курс лекций по теории функций комплексного переменного.

15. М.И. Шабунин, Ю.В. Сидоров. Теория функций комплексного переменного.

16. В.С. Владимиров. Уравнения математической физики.

17. В.П. Михайлов. Лекции по уравнениям математической физики.

18. В.М. Уроев. Уравнения математической физики.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

И ФИЗИКА

1. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.

Канонические формы.

2. Задача Коши для гиперболических уравнений в частных производных второго порядка. Метод характеристик. Формулы Даламбера, Пуассона, Коши.

3. Начально-краевая задача для линейных уравнений параболического типа. Метод Фурье. Принцип максимума.

4. Краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. Принцип максимума.

5. Дискретизация, обусловленность задачи, устойчивость вычислительного метода, его экономичность, устранимые и неустранимые погрешности вычислений.

Элементарная теория погрешности.

6. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Каноническая и операторная форма записи. Содержательный пример – разностная схема для уравнения Лапласа. Согласованные нормы векторов и матриц в линейных нормированных пространствах. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы (метод Гаусса, метод Гаусса с выбором главного элемента, метод прогонки для систем специального вида). Итерационные методы (метод простой итерации, идея и формулы чебышевских итерационных методов, другие итерационные методы).

7. Переопределенные системы линейных алгебраических уравнений. Задачи, приводящие к переопределенным системам линейных алгебраических уравнений.

Обобщенное решение системы, метод наименьших квадратов.

8. Численное решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Сжимающее отображение, метод простой итерации, его геометрическая интерпретация, метод релаксации. Метод Ньютона. Порядок сходимости итерационного метода.

9. Интерполяция функций. Конечные и разделенные разности. Постановка задачи интерполяции. Обобщенный полином. Полиномиальная интерполяция;

существование и единственность интерполяционного полинома, остаточный член полинома, формы записи Лагранжа и Ньютона. Обусловленность интерполяционного процесса. Константы Лебега. Чебышевские узлы интерполяции. Тригонометрическая интерполяция. Кусочно-многочленная интерполяция. Сплайн-интерполяция.

10. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса (прямоугольников, средних, трапеций, Симпсона), их погрешность. Формулы 11. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Метод сеток. Простейшие разностные схемы: явная и неявная схемы Эйлера, схема с центральной разностью. Определения сходимости, аппроксимации, устойчивости. Теорема Рябенького–Филлипова о сходимомсти.

Методы Рунге–Кутты, их устойчивость.

12. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Линейная краевая задача. Метод численного построения общего решения. Метод прогонки. Метод стрельбы. Метод квазилинеаризации (метод Ньютона) для численного решения нелинейных краевых задач. Краевая задача на собственные значения.

13. Разностные методы решения задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Аппроксимация и устойчивость разностных схем. Теорема о сходимости решения разностной задачи к решению дифференциальной. Необходимое условие сходимости Куранта–Фридрихса–Леви.

Приемы исследования разностных задач на устойчивость. Принцип максимума, спектральный признак устойчивости, принцип замороженных коэффициентов.

Другие подходы к исследованию устойчивости.

14. Численные методы решения задач, описываемых уравнениями в частных производных гиперболического типа. Уравнение переноса, волновое уравнение, системы уравнений гиперболического типа..

15. Численные методы решения линейных и нелинейных уравнений в частных производных параболического типа. Явные и неявные разностные схемы для уравнения теплопроводности. Многомерные по пространству параболические уравнения. Метод расщепления. Метод переменных направлений.

16. Численные методы решения уравнений эллиптического типа. Разностная схема «крест». Аппроксимация и устойчивость разностных схем. Методы решения возникающих линейных систем уравнений большой размерности. Метод простой итерации. Чебышевские итерационные методы.

17. Метрические и топологические пространства. Примеры: l p, C p [a,b] ( ), Cn [a,b].

Неравенства Гельдера и Минковского.

18. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. Принцип сжимающих отображений.

19. Компактность и центрированные системы замкнутых множеств. Теорема АрцелаАсколи.

20. Норма оператора. Полнота нормированного пространства L(E 1,E 2). Теорема Банаха-Штейнгауза.

21. Теорема Хана-Банаха.

22. Слабая сходимость. Теорема Банаха-Алооглу.

23. Интеграл Лебега (определение и основные свойства). Теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, Фату, Беппо Леви.

20. Характеристическое свойство евклидовых пространств (4.2). Банаховы и гильбертовы пространства. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве..

Теорема Рисса о линейных функционалах в гильбертовом пространстве.

1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.

3. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. М.:МЦНМО, 2001, 4. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. — М.: Наука–Физматлит, 1994. — 335 с. 2-е изд. М.: Физматлит, 2000. — 296 с.

5. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. — М.: Изд-во МФТИ, 1994.

6. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.

7. Лобанов А.И., Петров И.Б. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. Часть 1. — М.: МФТИ, 2000. — 168 с.

8. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. 2-е изд. — М.: Изд-во МФТИ, 2000. — 224 с.

9. Сборник задач для упражнений по курсу Основы вычис- лительной математики / Под ред. Рябенького В.С. – М.: МФТИ, 1988.

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Г. Численные методы. 8-е изд. —М.:

Лаборатория Базовых Знаний, 2000. — 624 с.

11. Самарский А А., Гулин А В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.

12. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.

13. Иосида К. Функциональный анализ.