Министерство образования и науки РФ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Тобольская государственная социально-педагогическая академия им.

Д.И. Менделеева»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики, теории и методики обучения информатики

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО

ДИСЦИПЛИНЕ «МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ»

Направление «010200.62 – Математика. Прикладная математика»

Степень (квалификация) – бакалавр математики Составитель: к.п.н., доцент кафедры О.С. Зайцева Тобольск-2011 Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тобольская государственная социально-педагогическая академия им.

Д.И. Менделеева»

Физико-математический факультет Кафедра информатики, теории и методики обучения информатики Утверждена на заседании кафедры №2 от 22.09.2011 г.

Зав. кафедрой _ Зайцева О.С.

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Направление «010200.62 – Математика. Прикладная математика»

Степень (квалификация) – бакалавр математики Программу составила:

к.п.н. О.С. Зайцева Тобольск – Программа дисциплины «Методы вычислений» федерального компонента цикла СД составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению ««010200.62 – Математика. Прикладная математика».

I. Организационно-методический раздел 1. Цель курса.

Ознакомление, расширение и закрепление у студентов знаний и умений, направленных на формирование профессиональной компетентности будущего специалиста; овладение теоретическими основами и практическими навыками использования численных (приближенных) методов при решении научнопрактических задач.

2. Задачи курса.

Сформировать у студентов в систематизированной форме понятие о приближенных (численных) методах решения прикладных задач, методах математического моделирования, источниках ошибок и методах оценки точности результатов.

3. Место курса в профессиональной подготовке выпускника.

Дисциплина входит в цикл специальных дисциплин федерального компонента учебного плана подготовки бакалавра по направлению «010200.62 – Математика. Прикладная математика».

Дисциплина базируется на материале, излагаемом в курсах «Компьютерные науки», «Алгебра», «Компьютерная алгебра», «Математический анализ», «Технология программирования».

4. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

Обучаемый должен знать:

основы теории погрешностей и теории приближений;

методы численного решения дифференциальных уравнений;

методы решения нелинейных уравнений;

методы решения систем алгебраических уравнений;

методы интерполирования;

методы численного интегрирования;

методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Обучаемый должен уметь:

численно решать уравнения, применяя для этого следствия из теоремы о сжимающих отображениях;

использовать основные понятия теории среднеквадратичных приближений для построения элемента наилучшего приближения;

интерполировать и оценить возникающую погрешность;

применять формулы численного дифференцирования и интегрирования;

применять методы численного решения дифференциальных уравнений.

Обучаемый должен владеть: навыками использования аппарата численных методов и программные средства (математические пакеты, табличные процессоры, интегрированные среды Turbo Pascal, Delphi) при решении практических задач.

II. Объем дисциплины и виды учебной работы обучающих программ и конспектирование контрольных работ, письменных и устных опросов.

III. Содержание курса 1. Разделы курса.

Численные методы анализа.

Решение нелинейных уравнений, систем алгебраических уравнений.

II.

III. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Решение интегральных уравнений.

2. Темы и краткое содержание.

1. Основы теории погрешностей (9 ч.).

Источники погрешностей. Структура полной погрешности. Абсолютная и относительная погрешности. Верные значащие цифры в узком и широком смысле. Правило округления. Оценка погрешностей арифметических действий.

Оценка погрешностей вычислений, возникающих в ЭВМ.

2. Интерполирование функций (17 ч.).

Постановка задачи интерполяции. Задачи, приводящие к аппроксимации одной функции другой. Алгебраический интерполяционный многочлен:

единственность, форма Лагранжа, оценка погрешности интерполирования.

Разделенные разности. Первый и второй многочлены Ньютона. Связь разделенной разности и производной. Практическая оценка погрешности интерполирования. Обратное интерполирование. Практические схемы интерполирования на ЭВМ. Экстраполирование и субтабулирование.

Минимизация погрешности многочленной интерполяции путем специального выбора узлов интерполяции. Многочлен Чебышева.

3. Приближение функций (20 ч.).

Понятия невязки, суммы квадратов уклонений. Теорема о существовании элемента наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве.

Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Чебышевский альтернанс. Наилучшее равномерное приближение.

4. Численное интегрирование (22 ч.).

Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла.

Оценки погрешности квадратуры. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Ортогональные многочлены.

Процесс ортогонализации Шмидта. Запись многочлена в виде разложения по ортогональным многочленам. Квадратурные формулы Гаусса, их построение, положительность коэффициентов, сходимость. Многочлены Чебышева, Лежандра. Правило Рунге практической оценки погрешности. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Вычисления интегралов в нерегулярных случаях.

5. Численное дифференцирование (20 ч.) Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционных многочленов. Оценка погрешности численного дифференцирования в точке, не лежащей внутри отрезка интерполирования. Численное вычисление первой производной во внутреннем узле таблицы. Общий случай вычисления производной произвольного порядка.

Неустранимая погрешность формул численного дифференцирования.

6. Решение нелинейных уравнений с одной переменной (18 ч.).

Постановка задачи численного нахождения корней уравнения. Способы отделения корней: графический и аналитический. Методы уточнения корней:

половинного деления, хорд, касательных, комбинированный. Метод простой итерации. Теорема о сходимости итерационной последовательности, необходимое и достаточное условие сходимости.

7. Численные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений (22 ч.).

Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений.

Метод Гаусса. Понятие невязки. Полные метрические пространства. Теорема о сжимающих отображениях в полном метрическом пространстве и ее следствия.

Метод итераций для симметричных положительно определенных матриц.

Оптимизация параметра процесса. Метод Зейделя. Оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений. Метод наискорейшего градиентного спуска. Решение систем нелинейных уравнений методами итераций, Ньютона.

8. Методы решения дифференциальных уравнений (22 ч.).

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши. Метод Эйлера. Модифицированные методы Эйлера. Метод Рунге—Кутта.

Конечно-разностные методы. Метод неопределенных коэффициентов.

Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах.

9. Методы решения краевых задач (18 ч.).

Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Аппроксимация, устойчивость и сходимость для простейшей краевой задачи. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка (метод стрельбы). Решение краевой сеточной задачи (метод прогонки).

10. Методы решения уравнений в частных производных (18 ч.).

Метод конечных элементов. Классификация уравнений с частными производными. Простейшие разностные схемы для уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной. Явная и неявная схемы. Схемы с весами.

Схема со вторым порядком аппроксимации. Разностная схема для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Методы решения сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

11. Методы решения интегральных уравнений (16 ч.).

Численные методы решения интегральных уравнений второго порядка.

Метод регуляризации решения интегральных уравнений первого порядка.

3. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы.

1. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа, границы погрешностей.

2. Правила округления и погрешность округления.

3. Представление в ЭВМ чисел с плавающей точкой; погрешность машинного округления.

4. Оптимизация распределения узлов составной квадратурной формулы трапеций.

5. Интегрирование быстроосциллирующих функций и функций с особенностями.

6. Точные методы решения систем линейных уравнений: матричный метод, метод Крамера.

7. Вычисление коэффициентов интерполяционного алгебраического многочлена с помощью решения системы линейных уравнений.

8. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка с помощью одного из изученных способов численного решения.

9. Численное решение краевой задачи для дифференциального уравнения 2-ого порядка.

10. Численное решение линейного уравнения в частных производных с использованием разностных схем.

4. Примерная тематика рефератов, курсовых работ.

1. Интерполяционный многочлен Чебышева.

2. Многочлены Берштейна.

3. Квадратурная формула Эйлера.

4. Приближенное вычисление двумерных интегралов.

5. Пример расходящегося интерполяционного процесса.

6. Сходящийся интерполяционный процесс Фейера.

7. Ортогональная система Хаара.

8. Кубические сплайны.

9. Метод сеток.

5. Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу.

1. Погрешность. Виды погрешностей. Правила записи приближенных чисел.

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

3. Конечные разности. Интерполяционные многочлены Ньютона.

4. Минимизация погрешности многочленной интерполяции путем специального выбора узлов интерполяции.

5. Наилучшее приближение.

6. Тригонометрическая интерполяция.

7. Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла.

Формула Ньютона-Котеса. Формула трапеций.

8. Формула Симпсона.

9. Формулы прямоугольников. Учет погрешностей квадратурных формул методом двойного пересчета.

10. Вычисление интегралов по формуле Гаусса.

11. Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена Лагранжа.

12. Методы отделения корней. Методы уточнения корней.

13. Решения уравнения методом простой итераций. Оценка погрешности.

14. Полные метрические пространства. Теорема о сжимающих отображениях в полном метрическом пространстве (теорема Банаха).

15. Метод итераций решения систем линейных алгебраических уравнений.

16. Решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.

17. Решение систем нелинейных уравнений.

18. Метод Эйлера. Модифицированные методы Эйлера.

19. Метод Рунге-Кутта.

20..Конечно-разностные методы.

21. Аппроксимация, устойчивость и сходимость для простейшей краевой задачи.

22. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка.

23. Задача Дирихле. Уравнение Лапласа в конечных разностях.

III. Распределение часов курса по темам и видам работ Раздел 1.Численные методы анализа.

Раздел 2. Решение нелинейных уравнений, систем алгебраических Решение нелинейных уравнений с одной переменной.

Численные методы решение систем линейных и нелинейных уравнений.

Раздел 3. Численные методы решения дифференциальных уравнений.

Решение интегральных уравнений.

8 Методы решения дифференциальных уравнений.

10 Методы решения уравнений в частных производных.

11 Методы решения интегральных уравнений.

IV. Форма итогового контроля Зачет (6 семестр) Экзамен (7 семестр) V. Учебно-методическое обеспечение курса Рекомендуемая литература Основная:

1. Волков Е.А. Численные методы: Учеб. пособие. – Спб: Лань, 2008. – 256 с.

2. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах: Учеб пособие. – М.:

Высш. шк., 2006. – 480 с.

3. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика. – 2-е изд., стер. – М.:

Издательский центр “Академия”, 2007. – 384 с.

4. Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие / И.Б.Петров, А.И.Лобанов. – М.: Интернет-Университет Информационных технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 523с.

5. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 400 с.

Дополнительная:

1. Абрамкин Г.П. Численные методы: Учеб. пособие. – Барнаул: БГПУ, 2005. – 2. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 632с.

3. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2002.-256 с.

4. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

5. Джон Г. Матьюз, Куртис Д. Финк. Численные методы. – Вильямс, 2001. – 6. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. – М.: Номедж, 2001.– 1296 с.

7. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. – М.:“СК Пресс”, 8. Зайцева О.С. Численные методы. Учебное пособие. Часть I. – Тобольск, ТГПИ им. Д.И.Менделеева, 2005 г. – 75 с.

9. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш.

пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2003. – 192 с.

10. Каганов В.И. Компьютерные вычисления в средах Excel и Mathcad. – М.:

Горячая линия – Телеком, 2003. – 328 с.

11. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численные решения задач метода наименьших квадратов / Перевод с англ. Х.Д. Икрамова. – М.: Наука, 1986. – 230 с.

12. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. – М.: КомпьютерПресс, 13. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособ. для студ. втузов.- М.: Дрофа, 14. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

15. Шуп Терри Е. Прикладные численные методы в физике и технике.– М.:

Высшая Школа, 1990. – 254 с.

3. Средства обеспечения освоения дисциплины.

Программные средства.

Среды программирования Turbo Pascal, Delphi; табличный процессор Microsoft Excel; математический пакет MathCAD; программа для построения графиков функций Advanced Grapher.

Материально-техническое обеспечение дисциплины 1. Сетевой компьютерный класс с выходом в Интернет.

2. Мультимедийная лекционная аудитория с выходом в Интернет.

3. Учебный файловый сервер кафедры.

4. Почтовый сервер.

5. Внутренняя учебная сеть Вуза.

ТЕЗИСЫ ЛЕКЦИЙ

Этапы решения задачи: постановка проблемы; построение математической модели;

выбор метода решения задачи; программирование и алгоритмизация; исполнение программы;

анализ полученных результатов. Структура полной погрешности. Источники погрешности.

Погрешность, абсолютная и относительная погрешности. Значащая цифра. Верная значащая цифра в узком и широком смысле. Правила записи погрешности. Правила записи приближенных чисел.

Правило округления и погрешность округления. Оценка погрешностей арифметических действий.

Литература.

1. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П.

Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 632с.

2. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.

заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2003. – 192 с.

3. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика. – М.: Издательский центр “Академия”, Задачи, приводящие к аппроксимации одной функции другой. Постановка задачи аппроксимации функций. Параболитическое интерполирование. Геометрическая интерпретация. Определитель Вандермонда. Существование и единственность интерполяционного многочлена.

Многочлен Лагранжа, вывод формулы. Вывод формулы Лагранжа для равноотстоящих узлов. Организация ручных вычислений по формуле Лагранжа. Конечные разности. Вывод первой интерполяционной формулы Ньютона. Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Оценка погрешности. Решение задач методами интерполирования на ЭВМ.

Уплотнение таблиц функций (субтабулирование) на основе формулы Ньютона.

Экстраполирование на основе формулы Ньютона. Постановка и решение задачи обратного интерполирования. Решение задач на ЭВМ. Определение интерполяционного сплайна порядка m для функции f(x).

Минимизация погрешности многочленной интерполяции путем специального выбора узлов интерполяции. Многочлены Чебышева. Определения: корни многочлена Чебышева.

Литература.

1. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

2. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.

заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2003. – 192 с.

3. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр “Академия”, 2005.

4. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд.

перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

Постановка задачи. Понятие о приближении функции. Эмпирическая функция, формула.

Узлы интерполирования. Приемы нахождения эмпирической функции.

В качестве меры близости берут метрику и наилучшей функцией считается та, для которой метрика будет наименьшей.

Определения: уклонение измеряемых значений от вычисленных; среднеквадратичное уклонение.

В качестве эмпирической функции рассматривают многочлен Gk(x)=akxk+…+a1x+a0.

Возьмем функцию (a0,..., a k ) Нужно найти точек минимума, для этого найдем все частные производные функции Ф и приравняем их к нулю. Получим систему (1) из k-уравнений с k-неизвестными. Решая данную систему найдем значения a0,…, ak и тем самым вид эмпирической формулы.

Нахождение приближающей функции в виде линейной: g(x)=a1x+a0. Значения a1 и a находят решая систему (1) из 2-х уравнений с двумя неизвестными.

Нахождение приближающей функции в виде квадратичной: g(x)=a2x2+a1x+a0. Значения a2, a1 и a0 находят решая систему (1) из 3-х уравнений с тремя неизвестными.

Нахождение приближающей функции в виде функции: показательной, степенной, дробно-линейной, логарифмической, гиперболической. В данных случаях функции преобразуют к линейному виду.

Литература.

1. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

2. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр “Академия”, 2005.

3. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд.

перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

Постановка задачи численного интегрирования. Случаи, когда формулу Ньютона – Лейбница использовать невозможно: первообразная функция F(x) не выражается через элементарные функции; аналитическое выражение функции f(x) настолько сложно, что применение формулы Ньютона– Лейбница затруднительно; аналитическое выражение функции f(x) не известно, а её значения заданы таблицей или графиком. Квадратурные формулы.

Заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа для равноотстоящих узлов получим формулу Ньютона – Котеса:

Вывод формула трапеций при n=1. На отрезке [x0, x1] интеграл равен:

( y 0 y1 ). Подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени, т.е. линейной функцией. Геометрический смысл формулы трапеции заключается в том, что площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции. Вывод общей формулы трапеций:

Оценка погрешности формулы трапеций.

Вывод формула парабол (Симпсона) при n=2 на отрезках [x0, x2], [x0, x2m].

Оценка остаточного члена формулы парабол. Геометрический смысл метода парабол заключается в том, что исходную функцию f(x) заменяют интерполяционным многочленом 2-й степени, т.е. параболой, проходящей через точки M0(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2).

Вывод формул левых, правых, средних прямоугольников. Геометрическая интерпретация. Оценка погрешности. Метод неопределенных коэффициентов.

Суть метода двойного пересчета (метода Рунге-Кутта). Общая формула двойного пересчета. Частные случаи – оценка остаточного члена для формул трапеций, парабол, прямоугольников. Алгоритм Ромберга.

Общий вид линейной квадратурной формулы. Вывод формулы Гаусса. Многочлен Лежандра. Вывод формулы Гаусса для n=3. Формула Чебышева. Узлы и весы квадратурной формулы Гаусса, Чебышева.

Литература.

1. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П.

Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 632с.

2. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

3. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.

заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2003. – 192 с.

4. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр “Академия”, 2005.

Постановка задачи численного дифференцирования. Некорректность задачи численного дифференцирования. Вывод формулы нахождение первой производной на основе многочлена Лагранжа.

Вывод формул нахождения первой и второй производных на основе многочлена Ньютона. Общий случай вычисления производной произвольного порядка. Оценка погрешности численного дифференцирования. Неустранимая погрешность формул численного дифференцирования. Левосторонняя и правостороння аппроксимация.

Литература.

1. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

2. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах: Учеб пособие. – М.: Высш. шк., 2006.

3. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр “Академия”, 2005.

СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Лекция 6. Решение нелинейных уравнений с одной переменной.

Постановка задачи. Определение корня уравнения. Что значит решить уравнение. Этапы приближенного решения уравнения: отделение корней, уточнение корней. Понятие отрезка изоляции. Условия окончания процесса решения задачи.

Суть аналитического метода, геометрическая интерпретация.

Теорема о существование и единственности корня на отрезке. 1) Если непрерывная на отрезке [a,b] функция F(x) принимает на его концах значения разных знаков, т.е. F(a)*F(b)0).

Суть метода половинного деления, геометрическая интерпретация.

Суть метода хорд, геометрическая интерпретация. Вывод формулы хорд для случая x0=b.

Формула хорд для случая x0=a.

Суть метода касательных (Ньютона), геометрическая интерпретация, формула. Вывод формулы хорд для случая x0=a.

xn 1 xn последовательности. Геометрический смысл для случаев: сходящаяся последовательность, расходящая последовательность.

Утверждение. Если итерационная последовательность сходится, а функция (x) непрерывна, то предел итерационной последовательности является корнем уравнения x= (x).

Основная теорема метода итераций.

Пусть уравнение x = (x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия: 1) (x) – определена и дифференцируемая на [a,b];2) (x) [a, b] для всех x [a,b];3) q R, что q < 1 для всех x [a,b], –тогда итерационная последовательность xn= (xn-1) сходится при любом начальном приближении x0.

Доказательство теоремы. Особенность метода итераций – самоисправляющийся метод.

Скорость сходимости итерационного процесса. Зависимость сходимости итерационной последовательности от значения q. Порядок сходимости. Условие окончание итерационного процесса.