«УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ специальности 05020102.65 Математика специализация Алгебра и геометрия Тобольск - 2010 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ...»

2. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб.

пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л.

Луканкин, В.Я. Саннинский. – М.: Просвещение, 1980. – С. 40-56.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб.

пособие для студентов педвузов /Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985, гл.4 –336 с.

4. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб.

пособие для студ. пединститутов. /Е.И. Лященко и др. - М.: Просвещение, 1988.– С.114-166.

В обучении математике необходимо учитывать закономерности мыслительной деятельности, сущность деятельностного подхода. В лекции рассмотрены операции мышления в качестве методов обучения, показаны достоинства и недостатки данных методов.

Организация учебного процесса с позиций деятельностного подхода к обучению, должна содержать ряд этапов: 1) диагностику, сформированности приемов учебной деятельности; 2) постановку целей учебной деятельности и принятие их учащимися; 3) введение приема (инструктаж); 4) практические упражнения по отработке введенного приема; 5) оперативный контроль и коррекция этой работы; 6) применение усвоенного приема; 7) обобщение усвоенных приемов и обучение переносу; 8) закрепление обобщенного приема; 9) обучение нахождению новых приемов на основе усвоенных.

Лекция 8. Методы логики в обучении математике 1. Математические понятия и методика их изучения 2. Математические суждения и методика их изучения 3. Математические умозаключения в обучении математике Литература:

1. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. – Тобольск: Изд. ТГПИ им.

Д.И. Менделеева, 1997. – С. 125-147.

2. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб.

пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л.

Луканкин, В.Я. Саннинский. – М.: Просвещение, 1980. – С. 57-103.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб.

пособие для студентов педвузов /Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985, гл.4. – 336 с.

4. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб.

пособие для студ. пединститутов. /Е.И. Лященко и др. - М.: Просвещение, 1988. – С.37-59, 121-131.

5. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: Наука, 1975.

Понятием называется такая форма мышления, которая отражает в мозгу человека общие, существенные, отличительные (специфические) свойства (признаки) объектов и явлений действительности. Математические понятия в отличие от понятий других наук, отличаются высокой ступенью абстракции и обобщения, с развитием науки они развиваются, изменяются и совершенствуются. Понятие существует в слове, научном термине, обозначается символами (оперирование символами означает оперирование понятиями), поэтому каждый символ или термин должен иметь строго определенный, однозначный смысл, который определяется данным понятием.

В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определенным образом связываются друг с другом. Формой связи понятий является суждение. Основные виды математических суждений: 1) Аксиома (от греч. «то, что приемлемо») – предложение, принимаемое без доказательства. 2) Аксиомы зародились в геометрии Евклида, который наряду с этим понятием использовал понятие постулата. Постулат (от лат. «требование») – предложение, выражающее некоторое требование, которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями. 3) Теорема (от греч.

«рассматриваю, обдумываю») – предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства. Каждая теорема содержит в себе условие (то, что известно о рассматриваемых в ней объектах) и заключение (то, что об этом объекте утверждается и требует доказательства).

В процессе мыслительной деятельности обычно происходит переход от одного или нескольких связанных между собой суждений к новому суждению, в котором содержится новое знание об объекте изучения. Этот переход называют умозаключением. Основные виды умозаключений: дедукция, индукция, аналогия и традукция. Индукция и аналогия играют положительную эвристическую роль как в самой математике, так и в ее преподавании: они наиболее доступны и понятны для начинающих изучать математику; наблюдение и опыт в жизни человека (и всего человечества) вначале являются единственным источником познания.

Лекция 9. Методы математики в обучении 1. Общематематические (специальные) методы обучения математике 2. Некоторые частные математические методы и их использование в обучении Литература:

1. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. – Тобольск: Изд. ТГПИ им.

Д.И. Менделеева, 1997. – С. 148-162.

2. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб.

пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л.

Луканкин, В.Я. Саннинский. – М.: Просвещение, 1980. – С. 145-170.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб.

пособие для студентов педвузов /Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985, гл. 4 – 336 с.

4. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб.

пособие для студ. пединститутов. /Е.И. Лященко и др. - М.: Просвещение, 1988. – С. 114-121, 131-139.

Основные методы познания, применяемые в математике, делим условно на две группы:

1) специальные методы – методы, характерные для всех математических дисциплин: метод математического моделирования, аксиоматический метод, обучение через задачи, использование математического языка; 2) частные методы – методы, имеющие существенное значение в отдельных предметах или их разделах, основанные на определенной математической теории (векторный, координатный метод, метод геометрических построений, метод геометрических преобразований, метод уравнений и неравенств и др.) Лекция 10. Методы информатики в обучении математике 1. Логико-алгоритмический подход, программированное обучение, компьютеризация обучения математике 2. Технологический подход к построению обучения математике Литература:

1. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. – Тобольск: Изд. ТГПИ им.

Д.И. Менделеева, 1997. – С. 163-176.

2. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб.

пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л.

Луканкин, В.Я. Саннинский. – М.: Просвещение, 1980. – С. 189-204, 218-221, 233-249.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб.

пособие для студентов педвузов /Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985.

– 336 с.

СПЕЦИАЛЬНАЯ МЕТОДИКА

Раздел II. Методика обучения арифметике и алгебре в основной школе Лекция 1. Общие вопросы теории и методики обучения арифметике, алгебре в средней школе 1.1. Общие задачи курсов арифметики, алгебры и начал анализа в средней общеобразовательной школе.

1.2. Содержательно-методические линии и структура программы школьного курса арифметики, алгебры и начал анализа.

1.3. Основные учебники и учебные пособия для учащихся.

1.4. Общие психолого-педагогические закономерности изучения содержательнометодической линии школьного курса.

1.5. Общая схема логико-математического анализа содержательно-методической линии школьного курса математики.

Литература:

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед.

вузов. – Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2000.- 126 с.

Замечание. План лекций по специальной методике (раздел II–V) 1. Логико-математический анализ изучаемого материала содержательнометодической линии.

2. Место данного математического содержания в программе и учебниках.

3. Цели изучения содержательно-методической линии (темы).

4. Основные типы математических задачи и приоритетные обобщенные приемы их 5. Специальные методы и приемы изучения линии и технологические цепочки изучения содержательно-методической линии.

Лекция 2. Числовые системы в средней школе и методика их изучения Развитие понятия числа: «логическая» и «историческая» схема развития. Числовые множества, изучаемые в школьном курсе математики. Построение множества натуральных чисел. Действия над числами, свойства действий. Вычисления. Виды и средства вычислений.

Место чисел и вычислений в школьной программе. Цели изучения. Основные типы математических и учебных задач. Основные положения методики обучения.

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед.

вузов. – Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2000.- 126 с.

2. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб.

пособие для студентов педин-тов. /Сост. В.И. Мишин - М.: Просвещение, 1987.- 416с.

Лекция 2. Тождественные преобразования выражений и методика их изучения Основные понятия: «выражение», «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественное преобразование выражений». Классификация выражений. Место выражений и их преобразований в школьной программе. Цели изучения. Основные типы математических и учебных задач. Основные положения методики обучения.

Литература:

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед.

вузов. – Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2000.- 126 с.

2. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб.

пособие для студентов педин-тов. /Сост. В.И. Мишин - М.: Просвещение, 1987.- 416с.

Лекция 3. Уравнения и неравенства в основной школе и методика их изучения Основные понятия: уравнение, неравенство с переменной, система и совокупность уравнений и неравенств. Классификация уравнений и неравенств с переменной. Методы решения уравнений и неравенств – алгебраический и графический. Метод уравнений и неравенств как метод математического моделирования. Место уравнений и неравенств в школьной программе. Цели изучения. Основные типы математических и учебных задач.

Основные положения методики обучения.

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед.

вузов. – Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2000.- 126 с.

2. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб.

пособие для студентов педин-тов. /Сост. В.И. Мишин - М.: Просвещение, 1987.- 416с.

4. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб.

пособие для студ. пединститутов. /Е.И. Лященко и др. - М.: Просвещение, 1988.

Лекция 4. Функции и графики в основной школе и методика их изучения Основные функциональные понятия: функция, область определения, множество значений функции, возрастание, убывание, четность, нечетность и др. Способы задания функции. Методы исследования свойств функций. Классификация элементарных функций.

Место функций в программе. Цели изучения. Основные типы математических и учебных задач. Основные положения методики обучения.

Литература:

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед.

вузов. – Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2000.- 126 с.

2. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб.

пособие для студентов педин-тов. /Сост. В.И. Мишин - М.: Просвещение, 1987.- 416с.

4. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб.

пособие для студ. пединститутов. /Е.И. Лященко и др. - М.: Просвещение, 1988.

Раздел III. Методика обучения геометрии (планиметрии) Лекция 1. Общие вопросы теории и методики обучения геометрии в основной школе План 1.1. Общие задачи курса геометрии в средней общеобразовательной школе.

1.2. Содержательно-методические линии и структура программы школьного курса 1.3. Основные учебники и учебные пособия для учащихся.

1.4. Общие психолого-педагогические закономерности изучения содержательнометодической линии школьного курса геометрии.

1.5. Общая схема логико-методического анализа содержательно-методической линии школьного курса геометрии.

Литература:

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе: Курс лекций:

Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. – Тобольск: ТГПИ им. Д.И.

Менделеева, 2002.- 138 с.

Лекция 2. Пропедевтический курс геометрии и методика его изучения Основные понятия: структура пропедевтического курса, цели изучения, основные содержательно-методические линии, логическая организация материала, основе типы математических задач, методика работы над задачей, основные положения методики изучения пропедевтического курса.

Литература:

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. – Тобольск: ТГПИ им.

Д.И. Менделеева, 2002.- 138 с.

2. Мишин В. И. МПМ в средней школе - М, 1987 г.

3. Лященко Е.И. Методика обучения математике в 4-5 классах - Минск, 1976 г.

4. Гусев В.А. Методика преподавания курса " Геометрия 6-9" - М, 1995 г.

5. Шарыгин И. Ф. Наглядная геометрия.

Лекция 3, 4. Геометрические фигуры и их свойства и методика их изучения Основные понятия, отношения между ними и аксиомы школьного курса геометрии.

Сущность аксиоматического метода построения геометрии. Теоремы и доказательства.

Место в программе. Цели изучения. Основные типы математических и учебных задач.

Основные положения методики обучения. Первые уроки курса планиметрии и стереометрии.

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. – Тобольск: ТГПИ им.

Д.И. Менделеева, 2002.- 138 с.

2. Мишин В. И. МПМ в средней школе - М, 1987 г.

Лекция 5. Геометрические построения на плоскости и методика их изучения Основные понятия: геометрические построения, инструменты построений, элементарные построения циркулем и линейкой, сущность задач на построения (этапы).

Методы геометрических построений: метод геометрических мест точек, алгебраический, методы геометрических преобразований. Место геометрических построений в программе и учебниках. Цели изучения. Основные типы математических и учебных задач. Основные положения методики обучения.

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. – Тобольск: ТГПИ им.

Д.И. Менделеева, 2002.

2. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб.

пособие для студентов педин-тов. /Сост. В.И. Мишин - М.: Просвещение, 1987.- 416с.

3. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с.

Лекция 6. Геометрические величины в курсе планиметрии и методика их изучения Основные понятия: геометрические величины – длина отрезка, величина угла, площадь, объем. Аксиоматические определение геометрической величины (аксиомы меры множества).

Способы измерения величин. Методы косвенного измерения величин. Метод площадей при решении геометрических задач. Место геометрических величин в программе. Цели изучения.

Основные типы математических и учебных задач. Основные положения методики обучения.

Литература:

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. – Тобольск: ТГПИ им.

Д.И. Менделеева, 2002.

2. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб.

пособие для студентов педин-тов. /Сост. В.И. Мишин - М.: Просвещение, 1987.- 416с.

3. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с.

Лекция 7. Геометрические преобразования фигур на плоскости и методика изучения Основные понятия: преобразование фигуры, виды преобразований – движение и подобие, их свойства. Метод геометрических преобразований как метод математического моделирования при решении задач на доказательство и построение. Место геометрических преобразований в программе. Цели изучения; развитие абстрактно-логического мышления при решении задач методом геометрических преобразований. Основные типы математических и учебных задач. Основные положения методики обучения.

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. – Тобольск: ТГПИ им.

Д.И. Менделеева, 2002.

2. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб.

пособие для студентов педин-тов. /Сост. В.И. Мишин - М.: Просвещение, 1987.- 416с.

3. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с.

Лекция 8. Координаты и векторы на плоскости и методика их изучения Основные понятия: координаты (абсцисса, ордината, аппликата), система координат на плоскости и в пространстве, уравнение геометрической фигуры, вектор, координаты вектора, модуль вектора, виды векторов (равные, коллинеарные и др.), операции над векторами их свойства. Метод координат, его сущность. Метод координат как метод математического моделирования при решении задач на доказательство и вычисление. Векторный метод как метод математического моделирования при решении задач на доказательство и вычисление.

Место координат и векторов в программе и учебниках. Цели изучения; развитие абстрактнологического мышления при решении задач методом координат. Основные типы математических и учебных задач. Основные положения методики обучения.

Литература:

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. – Тобольск: ТГПИ им.

Д.И. Менделеева, 2002.

2. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб.

пособие для студентов педин-тов. /Сост. В.И. Мишин - М.: Просвещение, 1987.- 416с.

3. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с.

4. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб.

пособие для студ. пединститутов. /Е.И. Лященко и др. - М.: Просвещение, 1988.

Раздел IV. Методика обучения алгебре и началам анализа Основная литература 1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед.

вузов. – Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2000.- 126 с.

2. Епишева О.Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. – Тобольск: ТГПИ им.

Д.И. Менделеева, 2002.- 138 с.

3. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под науч.ред.Н.Л. Стефановой, Н.С.Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416с.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учебное пособие для студентов пединститутов. /Сост. В.И. Мишин - М.: Просвещение, 1987.- 416с.

5. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Учебное пособие для студентов пединститутов. /Ю.М. Колягин и др. - М.: Посвещение, 1977.

6. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб.

пособие для студ. пединститутов. /Е.И. Лященко и др. - М.: Просвещение, 1988.

Лекция 1. Методические особенности изучения алгебры и начал анализа в 10 – классах.

1. В старших классах средней школы продолжается изучение основных содержательнометодических линий курса математики:

числовая линия (алгоритмическая);

тождественные преобразования выражений;

функциональная;

уравнения и неравенства;

геометрические фигуры и их свойства;

геометрические величины;

преобразования, координаты, векторы.

В курсе алгебры и начал анализа основное место занимает изучение функций и их исследование средствами математического анализа. Наряду с этим завершается изучение всех основных содержательных линий арифметики и алгебры.

В геометрии основным содержанием является стереометрия, но при этом завершается изучение всех содержательных линий курса планиметрии.

Поэтому, первой особенностью обучения математики является соблюдение принципа преемственности содержания, форм, средств и методов обучения, опора на знания основной школы, продолжение, углубление и развитие всех содержательно-методических линий.

2. Наряду с этим, с одной стороны, с точки зрения психологии возраста учащихся, у старшеклассников наблюдается скачок в уровне У.Д – их взросление, большая самостоятельность,, целенаправленность интереса к предмету.

С другой стороны, в старшие классы часто приходят учащиеся из разных классов и школ, у них разный уровень знаний, наблюдаются пробелы в знаниях. Это накладывает особенности на методику обучения, на выбор методов повторения, обобщения и систематизации ранее изученного материала, на выбор форм учебной деятельности.

3. В обучении математике в старших классах меняется соотношение между интуитивными, наглядными, индуктивными методами изучения (1 группа) и дедуктивными (доказательными) методами (2 группа). Если в основной школе преобладают методы группы, то в старших классах целесообразно сочетать те и другие и рассматривать математическое содержание с двух сторон, подчеркивать роль теории для проверки интуиции, догадки, индукции.

4. Материал в старших классах подается большими порциями, систематически и последовательно, т.е. больше используется лекционный метод, и наряду с этим возрастает доля самостоятельного изучения материала, причем должна решаться задача обучения самообразованию.

5. Формы повторения и проверки ЗУН – семинары, зачеты, взаимоконтроль, взаимопроверка, самоконтроль, самопроверка (примеры из опыта работы В.Ф.Шаталова, Р.Г.

Хазанкина).

6. Большое внимание в старших классах должно быть уделено развитию мышления (дедуктивного) и речи.

7. В старших классах приобретает актуальность развитие мировоззрения на более высоком уровне в связи с изучением обществоведения, информатики. Все это позволяет говорить о роли математических абстракций, математических методов, их приложений, осмысливать роль математики в человеческой деятельности.

8. Профильная дифференциация обучения - самая большая особенность преподавания математики в старших классах.

Профильная Д – Д по содержанию, обучение по разным программам, которые отличаются объемом изучаемого материала, глубиной его изложения и номенклатурой включенных вопросов. Разновидностью профильного обучения является углубленное Профильной дифференциации обучения предшествовали факультативы;

факультативные занятия по математике – форма учебной работы, введенная с 1966 года.

Назначение факультативных занятий состояло в развитии способностей и интересов учащихся в сочетании с общеобразовательной подготовкой по избранному предмету и на ее Математика входит в число обязательных учебных предметов разных профилей (гуманитарный профиль, экономический профиль, химико – биологический профиль), но имеет разный удельный вес в образовательной подготовке. Для старших классов выделено основных математических курса:

1. Курс А: общекультурной ориентации – рассчитан на учащихся, которые склонны рассматривать математику только как элемент общего образования и не будут использовать ее в будущей профессии.

Гуманитарный (курс А) – профили: языки, искусство, художественная деятельность, творчество, спорт, предметная практическая деятельность.

2. Курс В: базовый курс предназначен для учащихся, которые в будущей профессиональной деятельности будут использовать математику как аппарат для изучения явлений, закономерностей этой деятельности (базовое образование).

Технический (курс В) – профили: химический, биологический, географический, исторический, экономический, социологический.

3. Курс С: физико-математический курс для учащихся, для которых сама математика является целью будущей профессиональной деятельности.

Физико–математический (курс С) – математический профиль, физический, компьютерный Эти курсы математики предоставляют каждому ученику возможность изучать математику на соответствующем его способностям уровне.

Концепция профильного обучения 2003 г. (Смотрите документ – концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования).

Содержание курса математики в условиях профильной школы имеет свои особенности (Колягин Ю.М.):

1. Курсы математики разного профиля имеют общее ядро, в который входят сведения о числе, функциях, геометрических образах, статистика, вероятность. Эти вопросы в разных профилях должны быть представлены с разной степенью полноты и доказательности.

Дорофеев Г.В. (один из авторов учебников по математике) дополняет следующий материал:

логика, алгоритмы, математический язык, математический инструментарий, история математики, математика и внешний мир.

2. Курс математики того или иного профиля содержит дополнительные главы, содержание которых отвечает задачам обеспечения будущей профессиональной подготовки (например, “комплексные числа”, “элементы теории игр”, ”линейное программирование”).

3. Как правило, курс математики должен быть интегрированным, т.е. включать в себя главы из курсов алгебры, геометрии, математического анализа и информатики.

4. В курс должны быть включены вопросы, связанные с применением математики в бытовых расчетах – налогообложение, страхование, проценты по вкладам, аренда, а также сведения из истории математики.

5. Таким образом, в построении курса математики старших классов целесообразен пакетный или блочный принцип, т.е. обязательны основные главы, затем дополнительные к профилю главы и главы по выбору (интересу), т.к. каждый профиль включает в себя широкий диапазон профессий.

6. Распространенная ошибка в реализации профильного обучения – это организация углубленной или облегченной подготовки учащихся. На самом деле профильное обучение это развитие способностей учащихся в определенной сфере деятельности средствами математики, демонстрация возможностей применения математики в той или иной профессии, воспитание средствами математики.

7. Для курса А (гуманитарный курс) должна быть гуманитарная направленность, т.е. направленность на умственное развитие ученика, на воспитание общей культуры, на знакомство с математикой как областью человеческой деятельности. Учащиеся гуманитарного профиля должны получать конкретные знания о функциональных зависимостях, о геометрических фигурах, телах и поверхностях, элементы статистики и теории вероятностей.

Курс В – общеобразовательный, общетехнический, этот курс строится исходя из того, что математика для учащихся этой категории является не основным, но необходимым предметом, основной акцент в этом курсе должен быть на развитие средствами математики и прикладную сторону математических методов.

Курс С – физико-математический имеет целью: заложить фундамент необходимого объема математических знаний и математической культуры, развитие математического мышления, которое необходимо для занятия математикой в будущем. Здесь нужно достигнуть не только высокого уровня вычислительной культуры и др. математических навыков, глубокого понимания содержания и построения математических курсов, математических идей и методов их применения, но очень важно развивать творчество в области математики, интереса к нему, подготовку к дальнейшей исследовательской деятельности в области математики.

В настоящее время в России возрождаются учебные заведения разных типов – гимназии, лицеи, колледжи и т.д., реализующие соответствующие программы образования.

Распространенная ошибка в реализации профильного обучения – это организация углубленной или облегченной подготовки учащихся. На самом деле профильное обучение это развитие способностей учащихся в определенной сфере деятельности средствами математики, демонстрация возможностей применения математики в той или иной профессии, воспитание средствами математики.

Замечание наряду с профильной Д в старших классах реализуется и уровневая Д обучения (обычно выделяется три уровня усвоения знаний, умений и навыков).

Уровневая дифференциация основывается на планировании результатов обучения (стандарты математического образования) МШ №4,1993г, № 3,4,5 1998г., 2004 г.

Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Письмо МО России от 12.08.2002 г. № 13-51-98/14. Проект.// Учительская газета. 2002. № 34. – с. 29, с. -32, с. 41-43; Учительская газета. 2002. № 36. – с. 22, с. 31-33.

Лекция 2. Методические особенности изучения функций в старших классах.

Тригонометрические функции, уравнения, неравенства и методика их изучения Литература:

1. Епишева О.Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед.

вузов. – Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2000.- 126 с. (Лекция 5, с. 110-112.) 1) Пропедевтический материал для изучения этой темы складывается из 2-х частей:

ч. Материал о функциях, способах задания, о способах построения графиков функций и исследования функций с помощью графиков (наглядно).

ч. Тригонометрические функции угла в. Рассматриваются основные соотношения между ними, выводятся формулы. В 9кл. изучаются тождественные преобразования тригонометрических выражений, которые основываются, с одной стороны, на формулах тригонометрии (основные тригонометрические тождества, формулы приведения, теоремы сложения и следствия из них). С другой стороны, на формулах алгебры.

2) В 10 классе нужно осуществить переход от тригонометрических функций угла к тригонометрическим функциям числового аргумента.

a- радиан Считаем sin числа x, это sin угла в х радиан. 360 = 2п радиан.

Определение. Числовые функции, заданные формулами y = sinx и y = cosx называются синусом и косинусом.

Вводятся область определения и область значений функций, а также графики.

3) Нецелесообразно отказываться от такого преимущества тригонометрических функций перед остальными как наглядная геометрическая интерпретация свойств тригонометрических функций с помощью единичной окружности (помимо графика).

4) В этой теме можно использовать интересный исторический материал (смотрите Глейзер Г.Д. «История математики в школе» 9-10).

5) Все свойства тригонометрических функций можно доказать также как и других функций: с помощью графика (с помощью окружности), на основе определения (алгебраическим способом), затем с помощью производной исчисления. Тригонометрические функции более богато чем другие представляют свойства функций, так кроме известных свойств добавляются: четность, нечетность, периодичность. В учебнике «Алгебра и начала анализа 9-10» под ред. А.Н. Колмогорова в 1 полугодии свойства функций изучаются на алгебраическом уровне (с помощью определений, уравнений и неравенств); во 2 полугодии – свойства функций изучаются с помощью производной (методами математического анализа).

Цель изучения 1 главы: ученики должны понимать, что средствами алгебры можно ответить на вопрос, какими свойствами обладают функции, нужно уметь без доказательства перечислять свойства функции, уметь «читать» график, уметь строить графики функций с помощью преобразований. Преобразование графиков это рабочий аппарат для перечисления свойств функций. Метод преобразований: вправо, влево, вверх, вниз, растяжение, сжатие вдоль оси Ох (! трудность).

Основное свойство, отличное от других функций - свойство периодичности:

тригонометрические функции являются периодическими: в отличие от всех, для них часто становится задача: определить периодичность функции.

Для решения этой задачи:

Определить, что каждая из основных тригонометрических функций периодическая. (Перечислить периоды основных тригонометрических функций).

Показать, что Т – период, т.е. f(x+Т)=f(x-Т)=f(x), Т Чтобы решить такую задачу на основании свойства периодичности основных тригонометрических функций нужно:

1. Записать для данной функции свойство периодичности, считая переменную кх=z.

2. Вынести коэффициент k за скобки, чтобы получить x T1, т.е. k (x T1).

Второе слагаемое T1 и есть периодичность данной функции.

Замечание: для учащегося высокого уровня можно дать самостоятельно доказать теорему:

если функция y f (x) – периодическая с периодом T, то функция y A f (k+b) также Если эта теорема будет доказана, то учащиеся могут использовать ее при решении задач.

Важна также теорема: период функции, представляющей собой сумму непрерывных и периодических функций, если он существует, равен наименьшему кратному периодов слагаемых.

Пример. Y= sin2x + tg x/2.

6. Уровневый подход к изучению остальных свойств также полезно сохранить. Если на уровне свойство функции нужно увидеть по графику, на уровне показать с помощью единичной окружности на уровне - доказать с помощью теорем (аналитически).

7. Общая схема изучения тригонометрических функций очень сильно растянута.

Производные тригонометрических функций появляются и используются при исследовании позднее. Поэтому обязательно нужно в удобное время выполнить обобщение и систематизацию свойств, каждого отдельно, поэтому очень полезен прием – математические сочинения.

8. У тригонометрических функций много приложений, изучаемых в школе: изучение свойств гармонических колебаний; они являются основой для решения тригонометрических уравнений; поэтому в 10 классе при изучении функций полезно использовать материал прикладного характера.

В чем причина затруднений при решении тригонометрических уравнений?

Для решения линейных, квадратных, дробных уравнений и неравенств, уравнений, приводимых к квадратным, в большинстве случаев, надо установить к какому типу относится задача, вспомнить последовательность действий, ведущих к цели, и выполнить эти действия. Успех или неуспех ученика в овладении приемами решения уравнений и неравенств зависит главным образом от того, насколько он сумеет правильно определить тип уравнения или неравенства и вспомнить последовательность всех этапов его решения.

Разумеется, при этом предполагается, что ученик владеет навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.

При решении тригонометрических уравнений получается совершенно иная ситуация:

установить факт, что уравнение является тригонометрическим, нетрудно. Сложности возникают при нахождении порядка действий, которые бы привели к положительному результату. И здесь встают две проблемы. По внешнему виду определить тип уравнения (это трудно), затем выбрать нужную формулу из нескольких десятков, имеющихся в распоряжении.

Чтобы помочь ученикам найти верную дорогу в сложном лабиринте тригонометрических уравнений, их надо 1) познакомить с уравнениями, которые после введения новой переменной приводятся к квадратным; 2) затем с однородными уравнениями и приводимыми к ним; 3) уравнениями, для решения которых надо разложить на множители левую часть, приравняв затем каждый множитель к нулю.

Можно дать еще несколько рекомендаций, чтобы пустить учеников в самостоятельное плавание по «морю» тригонометрических уравнений.

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:

- сделать у функций, входящих в уравнение, «одинаковые углы»;

- привести уравнение к «одинаковым функциям»

Но, несмотря на знание основных типов тригонометрических уравнений, и нескольких принципов поиска их решения, многие ученики по-прежнему оказываются в тупике перед каждым уравнением, незначительно отличающимся от тех, что решали раньше.

Для решения этой проблемы можно применять алгоритм решения тригонометрических уравнений, оформленный в виде блок-схемы. Обучение учеников навыкам решения уравнений с применением алгоритма надо начинать с разъяснения терминов, входящих в него.

Определение 1. Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком тригонометрических функций.

Определение 2. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все тригонометрические функции, входящие в него.

Блок-схема решения тригонометрических уравнений Лекция 3. Показательная и логарифмическая функции, и методика их изучения 1. Логико-математический анализ Показательная функция В основе определения показательной функции также лежит понятие степени.

Как понимать выражение аt, где t – произвольное число?

Степень с произвольным показателем определяется следующим образом: для числа t выбирается последовательность рациональных чисел t1, t2, t3 … tn, задающая приближение числа t с любой степенью точности, строится последовательность степеней а t, аt аt аt аt.

Оказывается эта последовательность задает приближение некоторого числа с с любой степенью точности. Это число и называется степенью числа а: аt = с, а>0, t R.

Определение: y = ax, а>0, а = 1, х R.

Понятие показательной функции связано с процессами естественного органического роста и убывания величин. Существенное свойство таких процессов состоит в том, что за равные промежутки времени значение величины изменяется в одном и том же отношении:

радиоактивный распад вещества, размножение бактерий и т.п.

Свойства и график показательной функции.

Логико-математический анализ темы: «Показательная функция, показательные уравнения и неравенства. Методика их изучения»

Показательной функцией называется функция у = ах, где а – заданное число, а > 0, а Показательные уравнения и неравенства – уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения а х = ас, где а > 0, а 1, х – неизвестное Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств ах > ас или ах < Ранее изученный Теоретический материал темы Применение изученного - степень числа; Степень числа и иррациональным - решение уравнений и иррациональным Свойства показательной функции Основные идеи и методы изучения: определения понятий явные, через ближайший род и видовые отличия – конструктивные. Методы доказательств свойств – дедуктивные с использованием математических методов.

Определение: показательная функция Видовые отличия: 1) задана формулой у = ах; 2) а > 0, а 1.

Эта тема включает в себя определение логарифмической функции, график логарифмической функции, свойства логарифмической функции и производную логарифмической функции.

Определение: Функцию, заданную формулой y=logax, называют ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ

ФУНКЦИЕЙ С ОСНОВАНИЕМ a.

График функции у = logа x симметричен Графику функции у = ах относительно прямой у = х.

График логарифмической функции иногда называют логарифмической кривой.

Существует два графика логарифмической функции, в зависимости от величины основания а. Если a>1, то график выглядит так:

если 0 1, и в случае, когда 0 0, то значение функции на левом конце отрезка считается наименьшим, а значение функции на правом конце отрезка – наибольшим.