«Г. И. Басина М. А. Басин СИНЕРГЕТИКА. ВСЕЛЕННАЯ РЕЗОНАНСОВ. Санкт-Петербург УДК 167.0 ББК 32.8 Б-27 Работа выполнена при поддержке: РФФИ (гранты №95-01-1582а, №96-06-80418а, №00-06-80077а); РГНФ (гранты №00-03-36003а/Б, ...»

Серия «Синергетика»

Научно-исследовательский центр «Синергетика»

Санкт-Петербургского союза учёных.

Г. И. Басина

М. А. Басин

СИНЕРГЕТИКА.

ВСЕЛЕННАЯ РЕЗОНАНСОВ.

Санкт-Петербург

УДК 167.0

ББК 32.8

Б-27

Работа выполнена при поддержке:

РФФИ (гранты №95-01-1582а, №96-06-80418а, №00-06-80077а);

РГНФ (гранты №00-03-36003а/Б, №03-03-00247а/Б, № 07-03-90309а/Б).

Басина Г. И., Басин М. А.

Б-27 Синергетика. Вселенная резонансов. - СПб.: 140 с.

ISBN В монографии приводятся некоторые общепринятые определения понятия «резонанс». Рассмотрены различные типы математических моделей, описывающих резонансные взаимодействия. Приведены примеры резонансных процессов в различных природных явлениях и областях техники.

Разработана новая классификация волновых движений сплошной среды, вихревых, грибовидных (дипольных) и древовидных структур, а также транспортно информационных систем. Определены условия проявления волновых резонансов.

Изложены основные идеи теории и изучены экспериментальные проявления вновь открытого явления:- вихре - волнового и структурного резонанса. Определены необходимые условия возникновения и существования и осуществлена классификация резонансов нового типа.

Предсказана возможность проявления открытого явления в различных природных и социальных процессах.

Высказано предположение, что эволюция транспортноинформационных систем, в том числе, появление и развитие контроллера, может рассматриваться как цепочка бифуркационных событий, связанных с последовательно развивающимися структурными резонансами между структурой, полем и контроллером.

Предисловие.

Настоящее издание продолжает серию монографий под общим названием «Синергетика», издаваемых Научно-исследовательским центром «Синергетика» Санкт- Петербургского союза учёных и издательством «Норма» - Санкт-Петербург.

В книге представлен краткий обзор природных явлений и соответствующих им математических моделей, которые могут быть объединены одним словом: «резонанс». Выполнен предварительный лингвистический анализ этого слова, в том числе и путём его перевода с русского на другие европейские языки.

Анализ частоты встречаемости слова «резонанс» в поисковых системах сети Internet показал его чрезвычайную популярность не только среди учёных, стремящихся облечь содержание этого слова в чёткие математические формулы, но и среди людей различных профессий, в том числе и бизнесменов, включающих слово «резонанс» и его производные в названия своих фирм и проектов.

Показано также, что математическая модель, которая была предложена для описания классического резонанса, стала жить собственной жизнью.

Развиваясь и усложняясь, математические построения позволяют открыть «на кончике пера», а затем обнаружить в реальных условиях новые явления, которые также могут быть названы резонансными. Особенно бурное развитие этих процессов происходило в 70-90 годах прошлого века, когда всерьёз начались исследования нелинейных волновых процессов и возникла Cинергетика - наука о самоорганизации сложных структур и систем. Исследования всё новых типов резонансов, приводящих к хаотизации процессов и (или) самоорганизации новых структур стали существенной составляющей синергетических исследований. «Вселенная резонансов» стала частью Синергетики.

Этот синтез позволил обнаружить среди большого разнообразия сценариев формирования структур новый резонансный сценарий, названный «вихре - волновым или структурным резонансом». Удалось построить безразмерный критерий, равенство которого единице является необходимым условием возникновения волновых резонансов нового типа.

Стимулировать читателя к поиску и обнаружению в различных природных и социальных явлениях резонансных процессов нового типа и их детальному исследованию и использованию - цель настоящей монографии.

SYNERGETICS.

UNIVERSE OF RESONANCES.

Galina I. Basina Mikhail A. Basin Scientific Research Center “Synergetics” of Saint-Petersburg Association of Scientists and Scholars.

199034. St.-Petersburg. Russia. Universitetskaya nab. 5. Office 300.

Tel. № +7 (812)3284124. Fax №:+7(812)3284124:

E-mail:. [email protected] (Grants №№95-01-1582a, 96-06-80418a, 00-06-80077а).

(Grants №№00-03-36003а/Б, 03-03-00247а/Б, 07-03-90309 а/Б).

Abstract.

This book represents the information about different manifestations of one of unusual phenomena, which is meeting in natural and in social systems – resonance interaction. The linguistic analysis of the word: „resonance“ - was worked out. The field of words in European languages, which are related with this world, is found. Determinations of conception “resonance”, given by different authors, are presented.

The connection between the usual representation about resonance at the perception and intensification of the sound and at the analysis of many other physically phenomena, and mathematically model, allowed to the scientists to give the sufficiently strange determination to the conception of the oscillatory resonance.

However, the mathematically model of oscillatory resonance turned to be capable to live for his laws, complicating and developing. New forms of dynamically models generated new conceptions about resonance interactions. So appeared the ideas of inner resonances in dynamically systems, parametric resonances in systems of differential equations with variable coefficients.

A number of new forms of resonance phenomena was discovered at the analysis of the nonlinear equations. Essentially must be distinguished the problem of interaction between the resonance and self- oscillating regimes. At their interaction occur new phenomena, such as stochastic regimes, determined chaos, synchronization and competition of oscillations (modes). The change of variables and complexification of usually differentially equations also widens representations about possible forms of resonance phenomena.

Theoretically analysis of mathematically models of chains of oscillators and wave phenomena allowed turn to study of resonances, arising in the continuous medium. Their specific concludes in the fact that may come in resonance the parameters of the system, depending not from time, but from space coordinates. Resonance may be not only frequencies but also velocities and lengths of the waves. At the same time the factors, acting on the arising of the resonances in the oscillating systems (nonlinearity, dependence of the parameters of the equations from the time) continue to act on the system.

The phenomena, connected with arising of waves and vortex systems of different nature, are widely studying in the mechanics of continuous medium.

Their sources in many cases are the driving in the continuous medium hard or flexible bodies. In the inhomogeneous media may appear dispersing waves, which velocity of motion depends from their length. At the interaction of driving bodies with fluid or gas in these media may occur phase transitions and appear new vortex and mushroom (dipole) structures and boundary divisions (for example, cavitation, condensation of vapor, crystallization).

Classification of nonlinear waves, structures and systems and working out of new mathematically models allowed to discover new phenomenon:

The essence of this phenomenon consists in resonant non-linear interplay between dispersing waves and demarcations of environments (particularly, vapor and air cavities), arising in continuum, and vortex and mushroom patterns, forming in the medium near the boundaries of driving bodies.

Resonance interaction results in qualitative changes of characteristics of interacting objects, formation of new vortex - wave patterns and abnormal change of the forces, acting on the body.

Particularities of nonlinear resonance interaction appear most clear by the existence of angle points on the boundaries of the bodies, near which form new vortex and mushroom structures.

Characteristic example of vortex-wave and structural resonance is the regime of flow, arising near the hydrofoil, driving near the free surface of heavy liquid in the region of Froude numbers 0.4 < Frb < 0.565.( Frb =, where V0 gb velocity of relative motion of the body (hydrofoil) and liquid, g = 9.81 2 - gravity acceleration, b -hydrofoils chord) and relative depths of submersion There were discovered theoretically and experimentally anomalous changes of hydrodynamic forces, acting on the body, and forming of complex vortex-wave and mushroom structures.

Theoretically analysis of the particularities of the vortex-wave and structural resonance at the motion of the body in stratificated liquid or gas allowed predict the relations between gradients of density, Froude numbers and relative depths, corresponding to the appearance of this anomalous flow regime.

It was discovered, that by the decreasing of the degree of nonhomogeneity of liquid or gas the intensity of flow disturbances, corresponding to the vortex-wave and structural resonance, change small, but the region of resonance meanings of Froude numbers narrows, and their meanings tend to zero.

So, even by small degree of non-homogeneity of the medium and small relative velocities of bodies motion in consequence of the resonance interaction the driving lifting body may stimulate in liquid (gas) medium significant concentrated vortex-wave disturbances, bringing to appearance of new resonance structures in the flow.

The detail investigation of these resonance phenomena and comparison of theoretically and experimentally data leaded to the creation of principally new classification of wave and vortex motions and to the creation of general conception of vortex-wave and structural resonance.

We succeeded in explaining as specifically form of vortex- wave and structural resonance also and transitional regime of cavitating flow near the hydrofoil, when the length of the cavity is near to its chord.

Analogous nonlinear resonance phenomena were observed also by the investigation of interaction of cavitating hydrofoils, by the non-stationary flow of bluff bodies, by the interaction of two and more hydrofoils, by the motion of the wing near the solid boundary and so on. Common for all investigated phenomena is the wave character of deformations of non-homogeneous medium, existence of resonance interaction between circulation flows near the bodies and wave motions in the media and the forming of new nonlinear resonance vortexwave structures. This fact allowed us to consider these processes as different forms of manifestation of unknown earlier physically phenomena – vortex-wave and structural resonance. The main conditions of such resonance phenomena arising are determined.

Fulfilled theoretically and experimentally investigations opened wide perspectives in the investigation of new forms of vortex-wave and structural resonance by the motion of the bodies in the multivendor atmosphere and plasma, at the investigation of biologically, social and ecologically systems, and also by the investigation of interaction of discovered vortex-wave resonance structures with another types of oscillating, wave and vortex motions, particularly, with oscillations of solid bodies in the liquid and vibrations of elastic constructions.

В настоящей монографии представлена информация о различных проявлениях одного из необычных явлений, встречающихся в природных и социальных системах, - резонансного взаимодействия. Произведён краткий лингвистический анализ слова «резонанс». Найдено поле слов и терминов в европейских языках, родственных этому слову. Приводятся определения понятия «резонанс», данные различными авторами.

Связь между обыденным представлением о резонансе при восприятии и усилении звука и анализе многих других физических явлений, и математической моделью, позволила учёным дать достаточно строгое определение понятию колебательного резонанса.

Однако, математическая модель колебательного резонанса оказалась способной жить по своим законам, усложняясь и развиваясь. Новые формы динамических моделей породили новые представления о резонансных взаимодействиях. Так появились понятия внутренних резонансов в динамических системах, параметрических резонансов в системах дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Ряд новых форм резонансных явлений обнаружен при анализе нелинейных дифференциальных уравнений. Особо следует выделить проблему взаимодействия резонансных и автоколебательных процессов.

При этом возникают новые явления, такие, как стохастизация, детерминированный хаос, синхронизация и конкуренция колебаний (мод).

Замена переменных и комплексификация обыкновенных дифференциальных уравнений также расширяет представления о возможных формах резонансных явлений.

Теоретический анализ математических моделей цепочек осцилляторов и волновых явлений позволил перейти к изучению резонансов, возникающих в сплошной среде. Их специфика заключается в том, что резонируют параметры системы, зависящие не только от времени, но и от пространственных координат. Резонансными могут стать не только частоты, но и скорости и длины волн. При этом факторы, влияющие на возникновение резонансов в колебательных системах (нелинейность, зависимость параметров уравнений от времени), продолжают действовать.

Явления, связанные с возникновением волн и вихревых структур различной природы, широко изучаются в механике сплошных сред. Их источниками во многих случаях являются движущиеся в сплошной среде жесткие или деформируемые тела. В неоднородных средах могут возникать диспергирующие волны, скорость перемещения которых зависит от их длины. При взаимодействии движущихся тел с жидкостью или газом в этих средах могут происходить фазовые переходы и возникать новые вихревые и грибовидные (дипольные) структуры и границы раздела сред (например, кавитация, конденсация паров, кристаллизация).

Классификация нелинейных волн, структур и систем и разработка новых математических моделей позволили открыть новое явление - Вихре - волновой и структурный резонанс.

Сущность этого явления состоит в нелинейном взаимодействии волн и границ раздела сред (в частности, паровых и воздушных каверн), возникающих в сплошной среде, и вихревых и грибовидных структур, формирующихся вблизи границ движущихся объектов. Резонансное взаимодействие приводит к качественному изменению характеристик взаимодействующих объектов, формированию новых вихре - волновых структур и аномальному изменению сил, действующих на движущееся тело. Специфика нелинейного резонансного взаимодействия наиболее ярко проявляется при наличии у границ тел угловых точек, вблизи которых формируются новые вихревые структуры.

Характерным примером вихре – волнового и структурного резонанса является режим течения, возникающий около крыла, движущегося вблизи свободной поверхности весомой жидкости в определённом диапазоне чисел Фруда Frb = (где V0 - скорость относительного движения тела (крыла) и жидкости, g = 9.81 - ускорение силы тяжести, b -хорда крыла) и относительных глубин погружения. В этом режиме теоретически и экспериментально исследованы аномальные изменения гидродинамических сил, действующих на тело, а также обнаружено формирование новых вихре – волновых и грибовидных структур.

Теоретический анализ особенностей вихре - волнового и структурного резонанса при движении тела в стратифицированной жидкости или газе позволил предсказать соотношения между градиентами плотности, числами Фруда и относительными погружениями, при которых возможно наступление вихре - волнового и структурного резонанса. Было обнаружено, что при уменьшении степени неоднородности жидкости интенсивность возмущений потока, сопровождающих вихре – волновой и структурный резонанс, ослабевает незначительно, однако зона резонансных величин чисел Фруда сужается, а их значения стремятся к нулю.

Таким образом, даже при малой степени неоднородности среды и небольших относительных скоростях движения тела вследствие обнаруженного резонансного взаимодействия движущееся несущее тело может вызывать в жидкой (газообразной) среде значительные концентрированные возмущения.

Удалось объяснить как специфическую форму вихре – волнового и структурного резонанса также и переходный режим кавитационного обтекания крыла, когда длина паровой или газовой каверны близка к его хорде.

Аналогичные по характеру нелинейные явления были обнаружены также при взаимодействии кавитирующих крыльев, при нестационарном обтекании плохообтекаемых тел, при аэродинамическом взаимодействии двух или нескольких крыльев, при движении крыла вблизи экрана, при движении тел в сжимаемой среде и на мелководье.

Общим для всех вновь обнаруженных и исследованных течений является волновой характер деформаций неоднородной среды, существование резонансного взаимодействия между вихревыми течениями около тел и волновыми движениями в неоднородной среде, а также формирование новых нелинейных резонансных вихре - волновых структур.

Введён в рассмотрение новый безразмерный параметр, равенство которого единице определяет необходимое условие существования вихреволнового и структурного резонанса.

Выполненные теоретические и экспериментальные исследования открыли широкие перспективы в изучении новых форм вихре - волнового и структурного резонанса при движении тел в неоднородной атмосфере и плазме, в изучении биологических, социальных и экологических систем, а также в исследовании взаимодействия уже открытых вихре - волновых резонансных структур с другими видами колебательных, волновых и вихревых движений, в частности, с колебаниями твердых тел в жидкости, вибрациями упругих конструкций.

Ищутся специфические формы структурного резонанса при изучении проблем экономики.

1.Введение.

Глава I. Резонансы в конечномерных динамических системах.

1.Классические определения резонанса.

2. Первичный лингвистический анализ слова «резонанс».

3. Исследование частоты встречи слова резонанс в Internet.

4. Смысл, вкладываемый в это слово различными авторами.

5. Простейшее математическое уравнение, решение которого даёт представление о классическом резонансе..

6. Внутренние резонансы в системах линейных дифференциальных уравнений с конечным числом степеней свободы.

7. Параметрический резонанс.

8. Нелинейные резонансы в динамических системах. Влияние нелинейности на тип резонансной кривой. Основные соотношения между возмущающей частотой и резонансными частотами.

9. Нелинейные резонансы и автоколебания.

10.Резонансы в системах, описываемых комплексными уравнениями.

11. Резонансные явления при произвольных внешних воздействиях.

12. О возможности степенных резонансов.

II. Волны и волновые резонансы.

1. Анализ одномерного линейного волнового уравнения.

2. Классификация нелинейных волн, структур и систем.

3. Умеренно нелинейные волны.

III. Вихревые и грибовидные структуры. Транспортно-информационные системы.

1. Вихревые ударные волны первого рода. Формирование вихревых пузырей. Ревербераторы.

2. Вихревые ударные волны второго рода. Вихревые пелены.

3. Грибовидные структуры.

4. Возможные формы качественной трансформации грибовидных структур. Древовидные структуры.

5. Транспортно-информационные системы.

IV Вихре- волновой и структурный резонанс. История открытия 1. Результаты теоретических и экспериментальных исследований сил действующих на тела, движущиеся в ограниченном водоёме.

Обнаружение критических значений чисел Фруда по длине тела и глубине жидкости.

2. Теоретические и экспериментальные исследования движения крыла вблизи экрана. Аномальное увеличение гидро-аэродинамического качества крыла при приближении к экрану. Математическое моделирование. Метод сращиваемых разложений. Квадрупольная теория. Аналогия с формированием грибовидных структур.

3. Кавитационное обтекание крыла. Аномалии переходного режима.

Результаты теоретических и экспериментальных исследований.

4. Нелинейные резонансы поверхностных и внутренних волн.

5. Движение крыла вблизи границы раздела сред. Аномальный режим обтекания. Результаты теоретических и экспериментальных исследований.

6. Рождение концепции вихре -волнового и структурного резонанса.

V. Вихре-волновой и структурный резонанс. Концепция работает.

1. Основные волновые параметры движущегося тела как уединённой 2. Классификация вихре - волновых и структурных резонансов..

3а. Пространственные резонансы - аналогия с симметриями.

3. Резонанс по скорости.

4. Дисперсионные свойства сплошной среды.

5. Движение тела на мелководье.

6. Околозвуковое и сверхзвуковое движение тел.

7. Структурно вихревой резонанс по скорости и продольному размеру.

8. Основной безразмерный параметр вихре - волнового и структурного резонанса.

9. Горб волнового сопротивления тел в ограниченном фарватере как результат резонансного взаимодействия второго класса.

10. Вихре - волновой резонанс при движении крыла вблизи границы раздела сред. Численный и качественный анализ. Сопоставление теории с экспериментальными данными.

11. Вихре – волновой резонанс в стратифицированной сплошной среде.

Теоретические предсказания. Необходима экспериментальная проверка полученного результата.

12. Резонансы в неоднородной среде. Предсказание условий возниковения резонансных явлений.

13. Вихре волновой и структурный резонанс в магнитной гидродинамике. Качественные предсказания.

14. Движение крыла вблизи экрана как проявление четвёртой формы вихре – волнового резонанса. Биологические и технические приложения.

15. Переходный режим кавитации как проявление одной из форм четвёртого класса – структурно-вихревого резонанса.

16. О возможности обнаружения новых форм вихре-волнового и структурного резонанса в биологических и социальных явлениях.

Заключение В настоящей монографии представлена краткая информация о различных проявлениях одного из необычных явлений, встречающегося в природных и социальных системах, - резонансного взаимодействия.

Произведён краткий лингвистический анализ слова «резонанс». Найдено поле слов и терминов в европейских языках, родственных этому слову.

Приводятся определения понятия «резонанс», данные различными авторами.

Связь между обыденным представлением о резонансе при восприятии и усилении звука и анализе многих других физических явлений, и математической моделью, позволила учёным дать достаточно строгое определение понятию колебательного резонанса. Однако, математическая модель колебательного резонанса оказалась способной жить по своим законам, усложняясь и развиваясь. Новые формы динамических моделей породили новые представления о резонансных взаимодействиях. Так появились понятия внутренних резонансов в динамических системах, параметрических резонансов в системах дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Ряд новых форм резонансных явлений обнаружен при анализе нелинейных дифференциальных уравнений. Особо следует выделить проблему взаимодействия резонансных и автоколебательных процессов.

При этом возникают новые явления, такие, как стохастизация, детерминированный хаос, синхронизация и конкуренция колебаний (мод).

Замена переменных и комплексификация обыкновенных дифференциальных уравнений также расширяют представления о возможных моделях резонансных явлений Теоретический анализ математических моделей цепочек осцилляторов и волновых явлений позволил перейти к изучению резонансов, возникающих в сплошной среде. Их специфика заключается в том, что резонируют параметры системы, зависящие не только от времени, но и от пространственных координат. Резонансными могут стать не только частоты, но и скорости и длины волн. При этом факторы, влияющие на возникновение резонансов в колебательных системах (нелинейность, зависимость параметров уравнений от времени), продолжают действовать.

Явления, связанные с возникновением волн и вихревых структур различной природы, широко изучаются в механике сплошных сред. Их источниками во многих случаях являются движущиеся в сплошной среде жесткие или деформируемые тела. В неоднородных средах могут возникать диспергирующие волны, скорость перемещения которых зависит от их длины. При взаимодействии движущихся тел с жидкостью или газом в этих средах могут происходить фазовые переходы и возникать новые вихревые и грибовидные (дипольные) структуры и границы раздела сред (например, кавитация, конденсация паров, кристаллизация).

Классификация нелинейных волн, структур и систем и разработка новых математических моделей позволили открыть новое явление - Вихре - волновой и структурный резонанс.

Сущность этого явления состоит в нелинейном взаимодействии волн и границ раздела сред (в частности, паровых и воздушных каверн), возникающих в сплошной среде, и вихревых и грибовидных структур, формирующихся вблизи границ движущихся объектов. Резонансное взаимодействие приводит к качественному изменению характеристик взаимодействующих объектов, формированию новых вихре - волновых структур и аномальному изменению сил, действующих на движущееся тело. Специфика нелинейного резонансного взаимодействия наиболее ярко проявляется при наличии у границ тел угловых точек, вблизи которых формируются новые вихревые структуры.

Характерным примером вихре – волнового и структурного резонанса является режим течения, возникающий около крыла, движущегося вблизи свободной поверхности весомой жидкости в определённом диапазоне чисел Фруда Frb = (где V0 - скорость относительного движения тела (крыла) и жидкости, g = 9.81 - ускорение силы тяжести, b -хорда крыла) и относительных глубин погружения. В этом режиме теоретически и экспериментально исследованы аномальные изменения гидродинамических сил, действующих на тело, а также обнаружено формирование новых вихре – волновых и грибовидных структур.

Теоретический анализ особенностей вихре - волнового и структурного резонанса при движении тела в стратифицированной жидкости или газе позволил предсказать соотношения между градиентами плотности, числами Фруда и относительными погружениями, при которых возможно наступление вихре - волнового и структурного резонанса. Было обнаружено, что при уменьшении степени неоднородности жидкости интенсивность возмущений потока, сопровождающих вихре – волновой и структурный резонанс, ослабевает незначительно, однако зона резонансных величин чисел Фруда сужается, а их значения стремятся к нулю.

Таким образом, даже при малой степени неоднородности среды и небольших относительных скоростях движения тела вследствие обнаруженного резонансного взаимодействия движущееся несущее тело может вызывать в жидкой (газообразной) среде значительные концентрированные возмущения.

Удалось объяснить как специфическую форму вихре – волнового и структурного резонанса также и переходный режим кавитационного обтекания крыла, когда длина паровой или газовой каверны близка к его хорде.

Аналогичные по характеру нелинейные явления были обнаружены также при взаимодействии кавитирующих крыльев, при нестационарном обтекании плохообтекаемых тел, при аэродинамическом взаимодействии двух или нескольких крыльев, при движении крыла вблизи экрана, при движении тел в сжимаемой среде и на мелководье.

Общим для всех вновь обнаруженных и исследованных течений является волновой характер деформаций неоднородной среды, существование резонансного взаимодействия между вихревыми течениями около тел и волновыми движениями в неоднородной среде, а также формирование новых нелинейных резонансных вихре - волновых структур.

Введён в рассмотрение новый безразмерный параметр, равенство которого единице определяет необходимое условие существования вихреволнового и структурного резонанса.

Выполненные теоретические и экспериментальные исследования открыли широкие перспективы в изучении новых форм вихре - волнового и структурного резонанса в изучении биологических, социальных и экологических систем, а также в исследовании взаимодействия уже открытых вихре - волновых резонансных структур с другими видами колебательных, волновых и вихревых движений, в частности, с колебаниями твердых тел в жидкости, вибрациями упругих конструкций.

Резонансы в конечномерных динамических системах.

1. Классические определения резонанса.

Важным элементом синергетической методологии изучения того или иного объекта является лингвистический анализ слова, которым он обозначен, и поиск определений, даваемых этому объекту различными авторами [4].

Ниже приведены некоторые определения понятия «резонанс», почерпнутые из Internet:

«Яndex.

1.Словарь по естественным наукам.

«РЕЗОНАНС - резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего воздействия к некоторой фиксированной частоте (резонансной частоте). При наличии трения резонансная частота меньше частоты собственных колебаний системы»

«Колебания»

Материалы представлены проектом Глоссарий –ru http://slovari.yandex.ru/art.xml?art=gl_natural/2574/257_4912HTM&encpag...

2. Малый энциклопедический словарь Брокгауза и Эфрона.

«РЕЗОНАНС - физ., усиление звука вследствие передачи звуковых колебаний другим телам, способным издавать звуки той же высоты и потому становящимся звуковыми источниками.»

Материалы предоставлены компанией Новый Диск. Издание 1890-1907г.г.

http://slovari.yandex.ru/art.xml?art=brokminor/34/34074HTM&encpage=brok...

3. Толковый словарь живого великорусского языка Владимира Даля.

«РЕЗОНАНС м. франц. зык, гул, рай, отзвук, отгул, гул, отдача, наголосок;

звучность голоса, по местности, по размерам комнаты; звучность, звонкость музыкального орудия, по устройству его. || В рояле, фортепьяно, гуслях: дек, палуба, стар. палочка, доска, по которой натянуты струны.

Материалы предоставлены проектом Рубрикон Даль В.И. издание 1863- ©2001 Russ Portal Company Ltd.

http://slovari.yandex.ru/art.xml?art=dal/dal/03151/40800.htm&encpage=dal&...

2. Первичный лингвистический анализ слова «резонанс».

Первые попытки перевести это слово на другие европейские языки привели к следующему результату:

Резонанс – английский – resonance, echo, response.

Резонанс – немецкий – Resonanz, Wiederhall, Echo, Nachklang;

иметь резонанс –Resonanz finden.

Резонанс – испанский- resonancia, repercusion;

иметь большой резонанс – tener gran resonancia.

Резонанс – итальянский - risonanza, ripercussione;

иметь большой резонанс – avere una vasta risonanza.

Обратные переводы на русский язык.

Английский – resonant – русский а) звучащий, раздающийся, звучный;

Англ. echo – русский-I-существ. 1.эхо, отголосок, подражание.

Эта работа может быть продолжена практически неограниченно. И её результатом должно стать поле слов, связанных по смыслу и звучанию с изучаемым нами словом «Резонанс» и явлением, ему соответствующим.

Предоставляем читателю возможность выполнить её самостоятельно.

3. Исследование частоты встречи слова резонанс в Internet.

Одним из элементов методологии синергетического исследования всё чаще становится оценка частоты встречи того или иного слова в Internet Internet ворвалась в нашу жизнь как захватчик (внешнее резонансное воздействие). Предоставляя, казалось бы, неограниченные возможности для получения необходимой человеку информации, Сеть одновременно поглощает поверившего ей и часто, наоборот, не позволяет получать необходимые знания, порождая леность мышления. Однако, процесс взаимодействия Человека и Сети, который, без сомнения, носит резонансный характер, необратим, и главная задача - оптимизировать его, повысить его коэффициент полезного действия, чтобы это резонансное взаимодействие гармонизировало, а не разрушило взаимодействующие системы – привело к формированию Synergonet [5]-[6].

Статистика использования того или иного слова в Internet даёт определённую информацию об его привлекательности и связях c другими словами и объектами, которые они обозначают. Мы обратились к нескольким наиболее известным поисковым системам и посмотрели количество ссылок, имеющихся в этих системах на слово «резонанс» на русском и английском языках. Результаты представлены в следующей таблице, составленной по материалам Internet от 16.03.2007.

Yandex. Сайтов 2655. Страниц 1531371. Сайтов 1502. Страниц Rambler Сайтов 92842. Докум.1686455. Сайтов 15489. Докум. Google Анализ приведённых данных позволяет не только сравнить эффективность различных поисковых систем при изучении того или иного объекта, но и определить частоту встречи слова, в данном случае, слова «резонанс». Числа, характеризующие частоту встречи этого слова в Internet, поражают. Просмотреть все источники, в которых оно встречается, невозможно. Да это и не требуется. Ведь большинство из них содержит названия фирм и организаций, взявших на вооружение это звучное слово.

4. Смысл, вкладываемый в слово «резонанс» различными авторами.

«Когда исчезнут вещи и дела, И даже след цивилизаций, Вдруг прорастут из Времени Слова, Осмыслив жадное пространство.

Всё, что копили миллионы лет, Слова вдруг явят, И форму, без которой слова- нет».

З. Е. Журавлёва[7] Слово «резонанс» в обыденном понимании означает взаимное усиление функционирования взаимодействующих структур и систем.

Именно поэтому оно часто употребляется в переносном смысле.

Выступление по радио или по телевидению может остаться незамеченным, а может вызвать «сильный резонанс», то есть значительную ответную реакцию. Согласованные действия многих людей тоже могут быть названы резонансными. Представление о резонансе возникает при определенном типе взаимодействия, когда эффективность совокупной деятельности взаимодействующих объектов или субъектов оказывается выше, чем эффективность действия каждого из них. В таком понимании резонанс становится синонимом синергии – кооперативного действия нескольких систем с взаимным усилением эффекта. Поэтому в последние годы изучение резонансных явлений неразрывно связано с Синергетикой – наукой о самоорганизации сложных систем [8].

. 5. Простейшее математическое уравнение, решение которого даёт представление о классическом резонансе.

При научном изучении этого явления бытовое слово «резонанс»

требовалось дополнить формулой, являющейся решением математической задачи, которая могла бы рассматриваться как модель одного или нескольких физических явлений. Так оно и произошло в действительности.

Сначала слово «резонанс» описывало процесс усиления звука в помещениях. Затем это слово стало символом математической формулы, являющейся особым частным решением обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с зависящей от времени правой частью. Но одна и та же математическая формула может описывать различные реальные процессы. И это её свойство стало играть всё большую роль. Оказалось, что математическое уравнение, моделирующее явление резонанса, может описывать и усиление колебаний упругих конструкций, и колебания атомов и молекул, и колебания тока в контуре радиоприёмника, и качку корабля, и колебания маятника и многие-многие другие явления. [9-15].

Математические формулы позволили достаточно строго определить понятие «резонанс», отождествив его с особым решением обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при наличии внешних колебательных воздействий и при условии близости собственной частоты колебаний с частотой внешнего воздействия.

Это специфическое математическое уравнение имело столь широкую сферу практического применения, что слово «резонанс» в своём уже математически строгом определении стало общепринятым в различных физических, химических и биологических приложениях. При этом под резонансом понималось усиление колебаний системы под влиянием внешних воздействий при совпадении частот воздействия и собственных частот системы.

6. Внутренние резонансы в системах линейных дифференциальных уравнений с конечным числом степеней свободы Увеличение числа переменных в математическом описании линейных колебательных систем привело к необходимости изучения нового явления, возникающего при сближении внутренних собственных чисел системы или в случае, если совокупность собственных частот удовлетворяет определённому резонансному соотношению.

Математические выражения, описывающие это явление, оказались во многом аналогичными формулам, описывающим явление классического резонанса. Так, напимер, в многомерных линейных системах было теоретически обнаружено явление вырождения собственных чисел, которое может считаться одним из проявлений внутреннего резонанса.

Кроме того, при анализе нелинейных разложений решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений близи стационарных точек появляется ещё одно понятие внутреннего резонанса, который возникает при определённом соотношении между собственными числами матрицы линейного члена разложения [9].

Математические формулы живут своей, независимой от приложений жизнью. Они усложняются и модифицируются, и эти модификации отражают всё более глубокие уровни взаимодействия объектов природы.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка, на примере которого впервые исследовался колебательный резонанс, является частным случаем динамической системы, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений. В настоящее время колебательные явления, соответствующие этим уравнениям, согласно [10] могут быть классифицированы следующим образом.

1) собственные колебания, 2) вынужденные колебания, 3) автоколебания.

При этом, однако, нужно помнить, что решениями соответствующих уравнений могут быть не только колебательные, но и экспоненциально растущие и затухающие движения. Их, следуя [8], будем называть модами.

Собственными или свободными колебаниями или модами называют такие, которые происходят в системах, не содержащих источников энергии или эти источники не влияют на протекание процесса.

«Каждую динамическую систему можно характеризовать набором собственных форм колебаний (мод), называемых нормальными колебаниями (модами) Число нормальных колебаний зависит от числа степеней свободы системы. »[10] Вынужденные процессы реализуются при наличии непосредственно зависящего от времени внешнего воздействия на динамическую систему Именно при изучении вынужденных процессов (в частности колебаний) и появилась классическая модель резонанса. В классическом случае зависящее от времени воздействие входит в уравнение в виде отдельного аддитивного члена, чаще всего описывающего колебательный процесс. Резонанс возникает тогда, когда собственные (нормальные) моды системы близки или кратны частоте возмущающего воздействия.

В случае, если внешнее, зависящее от времени, воздействие изменяет параметры системы, то обусловленные им возмущения системы называют параметрическими. Усложнение математических моделей колебательных явлений в сторону учёта дополнительной зависимости коэффициентов уравнений от времени приводило и приводит к модификации представлений о резонансе. Явление, названное параметрическим резонансом, было определено теоретически как особое свойство решения системы дифференциальных уравнений с зависящими от времени коэффициентами. Подробное математическое изложение теории параметрического резонанса можно найти в ряде монографий, среди которых следует отметить [10-15].

Параметрический резонанс появляется как математическая модель реальных процессов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, близкими к постоянным.

При малом параметрическом возбуждении ранее устойчивая система может стать неустойчивой (и наоборот). Это имеет место обычно лишь для некоторых «критических» частот возбуждения, зависящих от нормальных мод невозмущённой системы уравнений. Теория параметрического резонанса позволяет определить спектры критических частот и разработать методы построения границ областей неустойчивости. К необходимости исследования явления параметрического резонанса приводят многие задачи современной техники и физики (динамическая устойчивость конструкций в строительной механике, задачи электротехники и радиотехники, ряд задач космической техники и небесной механики и др.) В работе [15] В. Н. Челомей привёл несколько парадоксальных экспериментальных фактов, связанных с параметрическим резонансом.

Вот что он пишет: «Известно, что в статике центр тяжести механической системы стремится занять устойчивое положение, при котором потенциальная энергия её приобретает минимальное значение.

Однако в динамике этот общеизвестный принцип иногда нарушается:

центр тяжести системы может занимать динамически устойчивое положение, при котором потенциальная энергия приобретает значение, близкое к максимальному. Примерами тому могут служить устойчивое положение «перевёрнутого» маятника с пульсирующей точкой подвеса или система маятников или вращающийся гироскоп и др.». Во всех этих случаях в системах возникает параметрический резонанс.

В технических приложениях часто используются «параметрические усилители» [10. C.76], то есть осцилляторы с одновременным использованием параметрического и классического резонанса.

8. Нелинейные резонансы в динамических системах. Влияние нелинейности на тип резонансной кривой. Основные соотношения между возмущающей частотой и резонансными частотами.

Особой, бурно развивающейся областью динамики систем с конечным числом степеней свободы является теория нелинейных колебаний. Существование нелинейных членов в соответствующих уравнениях приводит даже в случае малых нелинейностей к новым эффектам. Резонансные явления сохраняются, но они приобретают существенные особенности, связанные с изменением типов резонансных кривых. Возникают субгармонические и супергармонические резонансы.

Резонансное взаимодействие проявляется на частотах, в целое число раз больших или меньших частоты возмущающего воздействия. Эти типы резонансов часто возникают совместно с параметрическим резонансом, если в нелинейных дифференциальных уравнениях некоторые коэффициенты периодически зависят от времени.

В системах связанных нелинейных осцилляторов возникают комбинационные резонансы, то есть возбуждённые колебания с основными частотами, связанными с частотой возмущения линейными соотношениями с целыми коэффициентами. Нелинейность способствует перекачке энергии колебаний из одних частот спектра в другие, что является очень важным для самоорганизации сложных транспортноинформационных систем.

9. Нелинейные резонансы и автоколебания.

Одним из интенсивно развивающихся направлений нелинейной динамики является изучение нелинейных автоколебательных процессов, связанных с исследованием динамики активных сред.

Впервые понятие автоколебаний дано А. А. Андроновым [16-17].

«Автоколебаниями Андронов назвал такие незатухающие колебания в автономной системе, которые устанавливаются и поддерживаются за счёт внутренних сил, зависящих от состояния движения самой системы, и амплитуда которых определяется свойствами системы, а не начальными условиями».[10] В работах [10, 18-20] приводится несколько иное определение автоколебаний. «Автоколебательным следует называть диссипативные динамические системы, в которых могут возбуждаться и существовать колебания, удовлетворяющие двум требованиям:

1. независимости амплитуды установившихся колебаний от начального состояния системы в широком диапазоне, то есть существование в фазовом пространстве системы хотя бы одного аттрактора;

2. независимости или слабой зависимости спектра возбуждаемых колебаний от спектра источника».

При этом авторы предлагают не ограничиваться только автономными системами, но рассматривать и системы с периодическими источниками энергии.

Возникновение и развитие автоколебаний происходит в условиях, когда потерявшая устойчивость динамическая система обладает определённым соотношением между собственными числами. (Этот процесс может считаться также специфическим проявлением внутреннего резонанса, так как мнимые части одинаково изменяющих свою действительную часть собственных чисел имеют разные знаки, но одинаковую величину). Вместо экспоненциального или степенного удаления от стационарного состояния система переходит к новому – колебательному состоянию, которое в фазовом пространстве системы описывается в виде цикла.

Цикл является простейшим аттрактором, отличным от стационарной точки - стабильного состояния. Аттрактором называется множество точек в фазовом пространстве, к которому стремятся со временем все соседние фазовые траектории из некоторой области, называемой областью притяжения.

Дальнейшее развитие иерархии неустойчивостей, если они возникают, происходит, хотя и по различным, но вполне определённым бифуркационным сценариям, проходя бифуркации удвоения циклов (cценарий Фейгенбаума), рождения торов различной размерности и, наконец, перехода к хаотическим или стохастическим странным аттракторам [10, 21-28].

На всех этапах функционирования автоколебательных систем возможны появления вынужденных и параметрических резонансов, которые приобретают новые, специфические свойства. Резонансы могут вызывать бифуркации динамических систем и приводить к хаотизации динамики системы. Так, например, в работе [29] показано, что в нелинейном параметрическом усилителе возможна хаотизация колебаний.

И наоборот, стохастические воздействия на систему могут вызвать регулярные резонансные колебания.

Во многих случаях автоколебательные системы синхронизируются с частотой вынуждающего воздействия или друг с другом [10].

Таким образом, изучение нелинейных динамических систем привело к широкому обобщению математического понятия «резонанс», открытию его новых форм и неограниченному росту числа приложений, связанных с явлениями, которые с полным основанием можно было относить к резонансным, хотя ранее они резонансными не считались. Одновременно расширилось и количество обиходных явлений, в которых стало использоваться слово «резонанс».

10.Резонансы в системах, описываемых комплексными уравнениями.

Следует указать на один математический аспект изучения резонансов в динамических системах. Если дифференциальные уравнения динамики исследуемого объекта рассматривать в терминах действительных переменных, то колебательные явления наблюдаются лишь как минимум в уравнениях второго порядка (или двух уравнений первого порядка). При этом корни характеристического уравнения, соответствующие колебаниям, являются комплексными. Тем самым, даже оставаясь в рамках действительных функций, мы вынужденно получаем комплексные выражения. Однако тот же результат может быть получен в рамках уравнения первого порядка только не для функции действительного, а для функций комплексного переменного. Поэтому общий анализ резонансов целесообразно проводить в рамках комплексных дифференциальных уравнений [13] при комплексных внешних воздействиях. При таком анализе выясняется, что вековые члены, соответствующие резонансам, появляются не только при мнимых, но и при произвольных комплексных собственных значениях дифференциального оператора. Эти моды формально также могут считаться резонансными, однако реальное их проявление наблюдать достаточно сложно на фоне экспоненциального затухания или экспоненциального роста функций, описывающих решение.

И всё же поиск такого рода «резонансов» представляет интерес. Ведь размножение и рост популяции живых объектов, а также фазовые переходы из одного стабильного состояния в другое описываются экспоненциально растущими функциями. Резонансные же возбуждения могут существенно изменить скорости развития этих процессов и тем самым явиться орудием управления динамикой системы в период её перехода из одного состояния в другое.

11. Резонансные явления при произвольных внешних воздействиях.

Резонансные явления проявляются и при произвольных внешних воздействиях на динамическую систему. В этом случае внешнее воздействие может быть представлено в виде интеграла или ряда Фурье, и в случае линейной системы каждая компонента Фурье воздействует на систему независимо. При этом резонансная компонента вызывает максимальный отклик. Наиболее отчётливо проявляется этот тип резонанса том случае, когда наибольшим коэффициентом в разложении Фурье внешнего воздействия обладает резонансная компонента. Таким образом, реакция, системы, описываемой математически обыкновенными дифференциальными уравнениями, на произвольное внешнее воздействие всегда устроена таким образом, что резонансные компоненты усиливаются и в отклике системы играют большую роль, чем в воздействующем на систему сигнале.

Математическое описание резонансных явлений обычно связывают только с дифференциальными уравнениями. Однако, очень часто динамические системы описываются дискретно, в виде некоторого итерационного процесса, который лишь в пределе переходит в непрерывный. Простейшим способом обнаружения резонансных явлений в итерационных системах может быть дискретизация дифференциальных уравнений, описывающих резонанс, и их решений. Возможно, на этом пути могут быть сделаны открытия, подобные открытию фрактальных структур в голоморфной геометрии [30].

12. О возможности степенных резонансов.

Можно быть предложено ещё одно важное направление в исследовании временных резонансов. В качестве примера рассмотрим простейшее комплексное дифференциальное уравнение первого порядка с экспоненциальным внешним воздействием. Предположим, что в этом уравнении произведена замена внутреннего линейного времени на экспоненциальное время [31,32]. Тогда резонансное решение, записанное в форме колебаний, может быть переписано в виде степенных функций от экспоненциального (внешнего) времени. Тем самым формально возникает принципиально новый тип резонансов – степенные резонансы.

Особенностью резонансных решений в этом случае является появление квазистепенных многочленов содержащих логарифмы от экспоненциального времени.

Специфическая форма резонансных явлений, приводящая к хаотизации, возникает также при исследовании возмущений гамильтоновых систем (теория Колмогорова, Арнольда, Мозера) [10].

Указанные формы резонансов являются временными резонансами, характеризуемыми взаимодействием частот и амплитуд линейных и нелинейных колебаний.

Глава II. Волны и волновые резонансы.

1. Анализ одномерного линейного волнового уравнения.

Специфические резонансные явления наблюдаются также при взаимодействии волновых движений, так как любая синусоидальная волна может рассматриваться как бесконечная цепочка гармонических осцилляторов, каждый из которых может вступать в резонансное взаимодействие с другими осцилляторами и с внешними возмущениями.

Особое, интенсивно развивающееся направление исследований представляет анализ взаимодействия цепочек, состоящих из большого числа связанных между собой осцилляторов, подверженных внешнему воздействию. Здесь проявляются специфические особенности, которые затем более чётко становятся видны при анализе волновых движений, а кроме того, возникают резонансные явления, которые отсутствуют как у систем с малым числом степеней свободы, так и у волновых систем [10].

Эти особенности могут оказаться важными для транспортноинформационных систем, имеющих масштабную иерархию осцилляторов или обобщённых волн. Их использование позволит решить вопрос о масштабных временных и пространственных резонансах в таких системах и о распределении информации, массы и энергии на различных уровнях иерархии.

На примере линейного волнового уравнения с одной пространственной переменной, которое является математической моделью большого числа природных и социальных явлений, покажем возможность существования тех типов волновых резонансов, которые являются аналогами временных резонансов в конечномерных системах.

В случае, если динамика системы описывается большим числом переменных, благодаря введению дополнительных гипотез, например, гипотезы эргодичности, удается упростить рассмотрение поведения динамических систем путем введения небольшого количества новых осредненных переменных типа плотности, осредненной скорости, тензора напряжений, температуры, энтропии и новых уравнений связи между этими величинами, базирующихся на основных законах механики, термодинамики и дополнительных предположениях о связях между кинематикой движения и тензором напряжений. Задача исследования динамической системы сводится к исследованию гипотетической сплошной среды с бесконечным числом скрытых переменных и с конечным числом функций от пространственных и временной координат, удовлетворяющих системе уравнений в частных производных. Одним из фундаментальных решений системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных в случае одной пространственной переменной является решение в виде линейной синусоидальной волны, описываемой в одномерном случае уравнением:

Здесь u-скаляр, характеризующий состояние среды, удовлетворяющий линейному дифференциальному уравнению в частных производных где L - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Анализ дифференциального уравнения (2.2) позволяет определить основные параметры волны, являющиеся общими для всех линейных волн, независимо от их физической природы (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Геометрические параметры волны.

Такими параметрами являются:

амплитуда волны a;

волновое число k ;

длина волны = 2 / k ;

угловая частота волны ;

период волны T = 2 / ;

cкорость распространения волны c = / k ;

Сумма двух решений (2.2) характеризует так называемую стоячую волну, имеющую точки, в которых u достигает максимального значения, которые называются пучностями виде:

Подстановка уравнения (2.4) в (2.2) приводит к дисперсионному соотношению:

Уравнение (2.5) может иметь конечное или бесконечное число решений, определяющих зависимость между частотой волны и волновым числом.

Каждое решение может быть записано в виде:

Если задаться величиной k, то определяется из (2.6) и формула (2.4) может быть записана в виде:

При рассмотрении двух гармонических бегущих волн в результате их суммирования получаем так называемые биения Если построить график функции u, то получим картину, изображённую на рис. 2.

Волны с частотой + d / 2 и волновым числом k + dk / 2 распространяются группами. При этом скорость распространения амплитуды группы отличается от скорости распространения каждой отдельной волны. Наряду с фазовой скоростью распространения волны возникает групповая скорость c g = d / dk = (k ). Если ''( k ) = 0, то фазовая и групповая скорости волны совпадают. В противном случае скорость волны зависит от ее частоты - такие волны называются диспергирующими. Общее решение волнового уравнения (2.2) получено и исследовано в ряде работ и монографий, в частности, в монографии [33].

Подробный анализ линейных трехмерных диспергирующих волн дан в монографии [34]. Там же изложена теория источников пространственных волн в сплошной среде. Аналогичные исследования линейных волн в сплошных средах в электродинамике и оптике изложены в ряде учебников, (см. например [35], [36]. Линейные волны представляют собой широкий глубоко изученный класс волновых движений.

Можно ввести для незатухающей линейной волны аналог фазовой плоскости, а для системы волн аналог 2n-мерного фазового пространства.

Введем такое пространство сначала на примере простейшей линейной синусоидальной волны, описываемой уравнением (2.1). Здесь возможны два подхода. Первый подход соответсвует введению новой системы координат - волновой в которой волна остаётся стационарной или меняется слабо. В этом случае Если мы рассмотрим, как и ранее, незатухающую волну, то в волновой системе координат она представляет собой стационарную структуру Однако пространственная бесконечномерность волны проявляется в том, что стационарная структура имеет протяженность в пространстве, задаваемую уравнением (2.12).

Другим возможным способом является введение для каждой волны трехмерного фазового пространства. Кроме функции u( x, t ) вводятся в рассмотрение две ее частные производные - u / t и u / x. Одномерное коэффициентами решением которого является синусоидальная волна, распространяющаяся со скоростью c, записывается в виде системы из трёх уравнений где Если теперь построить фазовую траекторию системы (2.15) - (2.18) в трехмерном фазовом пространстве для синусоидальной волны, то получим эллипс, лежащий в плоскости, проходящей через ось u и пересекающий плоскость q2, q3 под углом, тангенс наклона которого к оси q3 равен c.

Такой подход позволяет описать бесконечномерную систему одной линией в трехмерном пространстве и провести дополнительную аналогию между колебаниями и волнами (смотри рис.3).

Фазовое трехмерное пространство одномерной волны.

Одна из полуосей эллипса равна максимальному значению u, а другая полуось определяется как корень квадратный из суммы квадратов максимальных значений q2, q3.

Выполним замену переменных:

где В плоскости фазовой тректории волны = 0. Введем новую фазовую координату u', определяемую соотношением Таким образом, введение новых переменых, позволяет перейти к новой плоскости u, u', в которой фазовое описание синусоидальной волны становится эквивалентным фазовому описанию колебательного движения(смотри рис.2.4).

Фазовая плоскость одномерной волны в плоскости u, u.

Это описание легко может быть обобщено на случай установившихся волновых движений с постоянной скоростью и на любое конечное число волн. Построенная картина полностью аналогична фазовой картине свободных колебаний. Эта аналогия позволяет в некоторых случаях обобщать на волновые движения качественную теорию обыкновенных дифференциальных уравнений Таким образом, линейное дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами, нулевой правой частью и безграничной областью определения может быть решено в общем виде.

Для него может быть получена определённая совокупность дисперсионных соотношений, характеризующих параметры линейных волн, которые являются решениями этих уравнений. Задаваясь начальными условиями, можно получить решение в виде интеграла Фурье от волновых гармоник, частота и волновое число каждой из которых удовлетворяют исследуемому волновому уравнению. При этом существенную роль начинает играть волновая дисперсия, то есть зависимость частоты волны от волнового числа [33].

Выше были рассмотрены только свободные волны. Однако, так же, как и в случае одномерных и многомерных колебаний, могут существовать и вынужденные волны. Следуя сценарию, отработанному в теории конечномерных систем, можно ввести на уровне анализа линейных и нелинейных волновых уравнений все типы резонансов, которые наблюдались у систем с конечным числом измерений.

Дисперсионные соотношения, полученные в результате анализа дифференциального уравнения в частных производных для различных корней дисперсионного уравнения (2.5) могут оказаться близкими, так что одному волновому числу будут соответствовать близкие частоты, что может привести к появлению в функции, описывающей решение, вековых членов как по временной, так и по пространственной координатам.

Возникают биения, а в предельном резонансном случае амплитуда волн линейно по временной и пространственной координатам стремится к бесконечности. Это явление также может считаться резонансным и по аналогии с резонансом в конечномерных динамических системах названо нами внутренним волновым резонансом..

Другим типом волнового резонанса может служить вынужденный резонанс, когда в правой части волнового уравнения стоит выражение, представляющее произведение константы на комплексную экспоненту от суммы частоты, умноженной на время и волнового числа - на координату.

В этом случае волновое движение может быть так же, как и в случае конечномерных систем, представлено в виде суммы собственных и вынужденных волн, при этом, если частотные и (или) геометрические параметры возмущающей волны окажутся совпадающими с параметрами одной из спектра возможных собственных волн системы, то амплитуда именно этой волны начнёт интенсивно расти, и возникает вынужденный волновой резонанс. Так как произвольное внешнее возмущение, распределённое в пространстве и зависящее от времени может быть представлено в виде интеграла Фурье, то вынужденный волновой резонанс можно искать при произвольном внешнем волновом воздействии.

Так же изучается волновой параметрический резонанс, когда коэффициенты волнового уравнения периодически зависят от временной и пространственной координат.

Переход к волновым явлениям порождает идею о возможности не только колебательных временных, но и пространственных резонансов. В простейших линейных волновых уравнениях пространственная и временная координаты входят в уравнение симметрично. Следовательно, если правомочно провести сечение волнового решения по пространству и в некоторой точке рассматривать колебательное движение во времени со своими резонансными значениями искомых параметров, то с таким же успехом возможно выполнить сечение по времени и рассматривать мгновенную картину волнового движения в пространстве - построить в этом пространстве колебательную картину и, написав соответствующее дифференциальное уравнение, также искать резонансные волновые числа.

Это утверждение играет конструктивную роль при анализе квазистационарных решений волновых уравнений в системе координат, связанной с движущейся волной.

Так же, как и при исследовании конечномерных динамических систем, существенное влияние на поведение сплошных сред, описываемых волновыми уравнениями, оказывает нелинейность, которая кроме проявлений, аналогичных проявлениям, известным для конечномерных динамических систем, имеет свой, специфический характер.

Поэтому, прежде, чем рассматривать нелинейные волновые резонансы, рассмотрим типы нелинейности присущие волновым структурам, принципиально отличающие их от стандартных конечномерных динамических систем.

2. Классификация нелинейных волн, структур и систем.

Существует большое число учебников и монографий, посвящённых результатам теоретических и экспериментальных исследований волновых движений различной природы. Однако, в большинстве из них отсутствует понятие «волна». Чаще всего это понятие отождествляют с уже рассмотренными нами ранее линейными волнами. Однако, исследования последних десятилетий показали, что учёт нелинейности позволяет практически неограниченно расширить представление о волне. Наиболее общее из известных нам определений дано в монографии [33] « … в самом общем случае мы определим волну как пространственно - временную эволюцию некоторого состояния». Это определение характеризует основное свойство волны, которое остаётся неизменным независимо от типов волн, которые рассматриваются. А именно то, что при описании волновых движений мы следим не за частицами среды, в которой распространяется волна, а за параметрами или совокупностью параметров, которые описывают состояние среды. Эти параметры остаются постоянными или меняются по заданному закону в точках, которые считаются принадлежащими к волне.

Это общее определение явилось следствием интенсивного развития за последнее время исследований нелинейных процессов в различных областях знаний и обнаружения волновых свойств у таких нелинейных процессов и структур, которые ранее не считались волновыми. В статье Ю.

А. Данилова и Б. Б. Кадомцева «Что такое Синергетика», открывающей сборник [36. С. 9], говорится: «Отечественная школа нелинейных колебаний и волн, основоположником которой по праву считается Л. И.

Мандельштам, рассматривает общую теорию структур в неравновесных средах как естественное развитие и обобщение на распределённые системы идей и подхода классической теории нелинейных колебаний. Ещё в тридцатых годах (прошлого века) Л.И. Мандельштам сформулировал программу создания нелинейной культуры, включающей надёжный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, нелинейную интуицию, выработанную на нелинейных задачах».

Близкое мнение высказано в обширной монографии по нелинейной теории колебаний и волн, написанной одной из выдающихся представителей Российской школы нелинейных колебаний П. С. Ланда [10. С.11]: «Теория колебаний и волн – это наука, изучающая колебательные и волновые движения независимо от их физической природы. Под колебательными движениями мы, согласно Л. И.

Мандельштаму, будем понимать всякие происходящие длительное время ограниченные изменения состояния тела. В силу ограниченности эти изменения обязательно должны происходить туда и обратно [10]. Под волновыми движениями мы будем понимать колебательные движения, распространяющиеся в пространстве. Из этих определений видно, что изучение колебательных и волновых движений должно быть взаимосвязано, то есть разделение теории колебаний и теории волн, как это часто делается, не является оправданным. Данное определение теории колебаний и волн является очень широким»

Ю. А. Данилов и Б. Б. Кадомцев [37] указывают, что Л. И.

Мандельштам предупреждал о ненужности на определённом этапе исследований строгих определений всех понятий в нелинейной науке. Мы полностью присоединяемся к его мнению и считаем, что в настоящее время ещё нет необходимости в абсолютно точном определении понятия «волна» (так же, как и понятий структура, система, процесс, явление, событие).

В последние годы исследования нелинейных процессов привели к развитию новой науки - синергетики – науки о самоорганизации материи.

Как показали многочисленные исследования, при изучении вопросов, связанных с формированием новых структур и систем, на первый план выступают их характерные волновые черты: слабая зависимость их пространственных и временных параметров от начальных условий и геометрических размеров системы.

Такой подход позволил значительно расширить представление о волновых процессах и ввести классификацию волновых движений, структур и систем, опирающуюся на их общие волновые свойства, в рамках которой удалось проследить за характером влияния нелинейности на переход классических линейных волновых движений в динамические структуры и сложные самоорганизующиеся транспортно-информационные системы [31], [38 - 46].

Классификация проводится по трём параметрам.

1. Классификация по типу:

а. Обобщённые волны, представляющие собой классы идентичных объектов (квантов).

б. Вероятностные волны, характеризующие изменение плотности вероятности отыскания системы или структуры в одном из возможных для неё состояний из континуума возможных состояний системы.

в. Классические волны в сплошной среде, характеризующие изменение во времени и пространстве плотности какого-либо параметра или связанной между собой совокупности параметров сплошной среды.

2. Классификация по характеру взаимодействия с другими системами, аналогичная рассмотренной нами ранее классификации конечномерных динамических систем:

а. Свободные (собственные) волны.

б. Вынужденные волны.

в. Автоволны.

3. Классификация по степени нелинейности [31, 39, 41, 45, 46].

а. В качестве первого класса рассматриваются все волны относительно малой амплитуды, математическое описание которых в одномерном случае кратко представлено выше в виде совокупности решений линейных волновых уравнений в частных производных.

б. Ко второму классу, названному нами умеренно - нелинейными волнами, отнесены различные формы ударных волн в сплошных средах, солитоны, а также скачки тех или иных параметров в однородной среде и границы раздела сред. В качестве подкласса данного класса могут быть рассмотрены автоволны в активных средах [47], диссипативные континуальные структуры и структуры, формируемые в результате возникновения режимов с обострением [48]. Умеренно-нелинейные волны часто являются границами некоторых объёмов, которые они отделяют от окружающей среды – поля. Такие объёмы мы будем называть телами-волнами.

в. К третьему классу, названному нами вихревыми ударными волнами, отнесены вихревые и (или) спиральные структуры, формируемые вследствие пространственной потери устойчивости фронта и формы умеренно нелинейных волн. В частности, сюда относятся специфические автоволновые образования, называемые ревербераторами [47].

г. К четвёртому классу, названному грибовидными структурами, отнесены структуры мультипольной природы, формирующиеся из вихревых и спиральных структур. Различные модификации и комбинации структур такого типа составляют основу практически всех объектов живой и неживой природы.

д. К пятому классу отнесены структуры, названные нами древовидными, геометрия и бифуркационная динамика которых может быть описана методами математической теории графов, в частности, теории математических деревьев [49].

е. К шестому классу мы отнесли сложные, в том числе самоорганизующиеся системы, названные транспортно информационными, и являющиеся, в основном, результатом трансформации и взаимодействия грибовидных и древовидных структур, а также волновых движений и структур более низких классов.

Несмотря на то, что четвёртый, пятый и шестой классы структур и систем встречаются и в неживой природе, наиболее широко они распространены в технических, биологических и социальных системах.

Поэтому общие закономерности их динамики оказываются важными не только для физики и химии, но и, главным образом, для технических приложений, наук о Земле, биологии и наук о человеке и обществе.

Рассмотрим объекты предложенной классификации несколько более подробно.

Некоторым линейным волновым уравнениям можно сопоставить соответствующие нелинейные уравнения. В качестве примера вновь, следуя [33], рассмотрим одномерные уравнения первого порядка.

Простейшие линейные уравнения. I класс:

Соответствующие им нелинейные уравнения. II класс:

Если уравнение (2.22 a) описывает произвольную стационарную волну, то уравнение (2.23 а) [33], например, при начальных условиях:

имеет решение :

где пространственная координата, движущаяся со скоростью u (которая в свою очередь сама является функцией от x и t ). Eсли функция f ( ) к деформации волнового профиля, возрастающей с ростом t. Если t > T, то решение уравнения (2.23а) становится многозначным. Физически это приводит к появлению в сплошной среде движущихся разрывов. Такие типы движений в механике сплошной среды называются простыми волнами. Подробное исследование разрывов в трёхмерной сплошной среде было выполнено в работах Ж.Адамара, Н.Е.Кочина, К.Трусделла [50-52] и других авторов, в которых рассмотрена классификация и изложены общие свойства сингулярных поверхностей - поверхностей разрыва.

В общем виде уравнение движения сплошной среды имеет вид:

где r = xi + yj + zk - радиус-вектор материальной точки в абсолютной системе координат; R = {X,Y, Z }-вектор лагранжевых координат точек сплошной среды. Тогда поверхность в отсчётной конфигурации или её образ в текущей конфигурации движущегося тела называется сингулярной поверхностью (или волной) n-го порядка, если она сингулярна по отношению к некоторой n-ой производной скалярного, векторного или тензорного поля U (то есть на этой поверхности функция или её производная, описывающие поле, терпят скачок), определяемого в пространстве, занятом сплошной средой. Cингулярные поверхности порядков 0 и 1 называются сильными: к ним относятся математические абстракции типа классических ударных волн нулевой толщины, бесконечно тонких вихревых пелен, о формировании которых мы будем говорить позднее, разрывы и поверхности контакта двух тел, фазовые границы. Сингулярные поверхности порядка 2 и выше называются слабыми. Фактически к сингулярным поверхностям относятся любые скачки параметров в сплошной среде, любые процессы, связанные с фазовыми переходами в сплошных средах. При этом локально в направлении, нормальном к сингулярной поверхности, параметр, терпящий скачок, удовлетворяет нелинейному уравнению типа:

где - проекция градиента величины u на нормаль к сингулярной поверхности. В обшем случае f ( u, ) может быть произвольной функцией, в том числе, равной нулю или константе. Уравнение (2.28) может быть заменено локально любым из уравнений (2.23b)-(2.23c) или их обобщений [33, 47, 48]. Тем самым, объединяя путём сращивания различные типы внутренних одномерных нелинейных волн с внешним анализом сингулярных поверхностей в сплошной среде и предлагая конструктивный способ изучения зон резких изменений в сплошной среде, мы тем самым можем ввести в рассмотрение наряду с классом линейных волновых движений, новый широкий класс нелинейных волновых структур, которые могут быть названы нелинейными обобщенными ударными волнами или умеренно-нелинейными волнами.

Поясним возможный алгоритм асимптотического анализа нелинейных обобщённых ударных волн. Если в сплошной среде формируется или имеется не скачок, а зона резкого перехода от одного значения параметра к другому, ширина которой значительно меньше радиуса кривизны этой зоны, то перемещение свойств среды вблизи этой зоны можно назвать трехмерной ударной волной. Все соотношения, полученные для сингулярных поверхностей, в первом приближении оказываются справедливыми и для этого случая. При этом для анализа поля вблизи зоны резкого скачка параметров в ряде случаев локально оказывается справедливым нелинейное уравнение, являющееся обобщением уравнения Бюргерса, которое может быть переписано в форме Особенность уравнения (2.29) заключается в том, что оно может иметь несингулярное стационарное решение, которое, например, в случае f ( u) = u имеет вид.

Здесь u', u" определяются из решения внешней задачи в приближении сингулярных поверхностей На языке аэродинамики полученное решение описывает структуру ударной волны. Главный вывод, сделанный для одномерного движения и являющийся, как следует из предыдущего анализа, общим, состоит в следующем [33]: "Нелинейность уравнения Бюргерса позволяет гладко соединить два асимптотически однородных состояния (разрыв) c помощью непрерывно изменяющихся состояний. Член второго порядка стремится нейтрализовать влияние нелинейности в области, где возможно появление сингулярности, и сгладить разрывы."

Если m 0, мы вновь возвращаемся к сингулярным поверхностям.

Замена переменных позволяет линеаризовать уравнение Бюргерса и свести его к линейному уравнению теплопроводности, что позволяет изучать взаимодействие нелинейных ударных волн [10].

Сочетание в волновых уравнениях членов, определяющих дисперсию, с нелинейными членами порождает наряду с обычными волнами удивительные объекты - уединённые волны или солитоны, открытие которых имеет почти двухвековую драматическую историю, и не все свойства которых изучены полностью.

« … в реальных системах спустя некоторое время устанавливаются и довольно долго существуют волны, по форме близкие к солитонам. В дальнейшем эти волны медленно затухают. Красочное описание образования такой волны в воде перед остановившейся внезапно баржой и последующего её поведения дал Джон Скотт Рассел [53-54], который наблюдал это явление ещё в 1834 г.: «Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперёд с огромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, т. е. округлого, гладкого и чётко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала.»[10] Солитоны обладают многими свойствами, которые до их открытия приписывались частицам. Одновременно их можно считать специфическими размытыми ударными волнами. Солитоны появляются как устойчивые решения различных дифференциальных уравнений, описывающих, казалось бы, не связанные между собой явления природы.

В их формировании и их свойствах есть нечто загадочное, что привлекло к их исследованию крупнейших учёных [10], [33].

Можно считать, что при формировании солитонов проявляется специфическая форма нелинейного резонанса между членами дифференциального уравнения, которое их описывает: дисперсионные члены вызывают расхождение в пространстве диспергирующих волн с различными волновыми числами, тогда как нелинейность приводит при определённых условиях к концентрации в одной точке максимумов волн различной частоты. Эти два эффекта уравновешиваются в солитоне и формируют устойчивую структуру, переносимую в пространстве с постоянной скоростью практически без изменения её формы Динамика солитона, в частности, описывается уравнением Кортевега-де-Фриза рядом его аналогов [33, 55-65]. Вслед за [33] выпишем одно из стационарных решений уравнения (4.39с) а sn, cn-эллиптические функции Якоби (arcsn-функция,обратная к sn).

( a, b, g) -вещественные корни уравнения A и B-постоянные интегрирования, определяемые условиями на бесконечности.

Функция u( ), описываемая уравнением (2.33), является периодической нелинейной волной с периодом где K ( r) -полный эллиптический интеграл первого рода:

Из-за наличия функции cn в выражении (2.33) нелинейная волна, описываемая этой формулой, называется кноидальной. Если g = b a, то формула (2.33) принимает следующий вид Период волны, описываeмой равенствами (2.38) и (2.39), оказывается равным бесконечности.

Устремляя к,получаем:

и окончательно:

(2.41) Обнаруженные экспериментально Скоттом Расселлом (1844) [53-54]. и исследованные математически Кордевегом и Де Фризом [55], солитоны долгое время не привлекали внимания исследователей, пока в 50-х, 60-х годах аналогичное уравнение не было обнаружено при исследовании плазмы [56]. Затем поток исследований солитонных решений различных нелинейных уравнений возрастает вплоть до настоящего времени экспоненциально [57-65]. Подробный список работ, посвящённых исследованию солитонных решений различных уравнений имеется в [10],[63],[64].

Если рассмотреть солитонное решение уравнения Кортевега-ДеФриза как первый член внутреннего разложения какого-либо трёхмерного разрывного движения, как это мы сделали ранее для ударных волн, то при асимптотическом анализе внешнего решения можно рассматривать такую структуру как частный случай сингулярной поверхности минус первого порядка, то есть как особую форму слияния двух близко расположенных скачков. Качественно аналогичный результат можно получить, если при анализе ударных волн рассматривать не саму функцию, а её производную по нормали к фронту волны. Таким образом, солитонное решение может быть естественным образом включено во введённый нами класс обобщённых ударных волн как нелинейная ударная волна минус первого порядка (так же как и режимы с обострением, хотя характер локального поведения основной меры в районе обострения существенно отличается).

Между поведением решений уравнений типа Кортевега-де-Фриза и типа Бюргерса имеется принципиальное различие, определяемое порядком высшей производной и связанное с диссипацией энергии волн. Однако, это отличие не столь велико, чтобы воспрепятствовать включить все рассмотренные выше и аналогичные им нелинейные волны в один класс.

Существуют волновые движения, являющиеся переходными от линейных синусоидальных волн к волновым структурам второго класса (например, кноидальные волны).

Сингулярные границы, обобщение которых в виде умеренно нелинейных волн дано выше, обычно представляют собой замкнутые поверхности, отделяющие внутреннюю часть пространства от остального мира. Эта замкнутая часть пространства может быть названа теломволной. Большинство предметов окружающего мира может быть отнесено именно к этому классу..

Таким образом, специфическими особенностями, существенно отличающими их от соответствующих решений систем обыкновенных уравнений, могут обладать решения некоторых нелинейных уравнений в частных производных, порождающих совершенно новые явления, связанные с зависимостью искомых параметров движения от пространственной координаты. Нелинейные члены типа произведения некоторой функции искомой величины (или совокупности искомых величин) на её производную по пространственной координате порождают во взаимодействии с линейными и нелинейными членами уравнений, описывающими дисперсию и диффузию, такие новые структуры и явления как ударные волны, солитоны, автоволны, диссипативные структуры, режимы с обострением. Появление ударных волн физически означает формирование в сплошной среде движущихся разрывов, что является проявлением одного из важнейших нелинейных механизмов рождения границ в сплошной среде. Наличие процессов такого типа позволяет рассматривать резкие и размытые скачки параметров в сплошных средах как обобщённые ударные волны и относить их также ко второму классу – умеренно - нелинейным волновым системам.

Уравнения теплопроводности и Бюргерса представляют простейший пример класса параболических нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих широкий круг процессов: и образование турбулентности, и химическую кинетику в условиях конвекции, и распространение волн в активных средах… В одномерном случае общий вид этих уравнений запишется следующим образом:

В некоторых случаях нелинейности, определяемые неоднородностью среды, в которой формируются нелинейные волны, или её активностью, порождают в среде процессы, приводящие к неограниченному росту параметров возмущения. Иногда этот рост значительно более интенсивен, чем рост возмущений при исследовании экспоненциальной неустойчивости динамических систем. Такие явления С.П. Курдюмов назвал режимами с обострением [48]. Хотя эти режимы и существенно отличаются от ударных волн и солитонов, однако, по нашему мнению, их также можно отнести к умеренно- нелинейным волнам.

Скорость перемещения умеренно - нелинейных волн так же, как и линейных, может меняться в широких пределах. Так, например, если умеренно-нелинейная волна является границей неподвижного твёрдого тела, то её скорость равна нулю. В этом случае граница является замкнутой. Она отделяет внутренность тела от внешней среды – поля.

Совокупность умеренно-нелинейной волны и объёма, отделённого ею от окружающего пространства, будем называть телом-волной.

III. Вихревые и грибовидные структуры.

Транспортно-информационные системы.

1. Вихревые ударные волны первого рода. Формирование вихревых Условия формирования следующего класса нелинейных волновых структур определяется, главным образом, особенностями взаимодействия умеренно - нелинейных волн со средой, их окружающей. Частным примером такого взаимодействия являются поверхностные волны на границе раздела сред. Классические линейные волны на поверхности воды являются результатом взаимодействия границы раздела (умереннонелинейной волны) с жидкостью, подверженной действию сил тяжести.

Как известно, на границе раздела сред возникают волновые деформации, в первом приближении представляющие собой двумерные диспергирующие линейные волны. Изучению этих волн в настоящее время посвящена обширная литература, например [34], [65-67]. Увеличение энергии гравитационных волн на поверхности воды приводит к появлению существенных нелинейных эффектов, связанных с взаимодействием границы со средой.

Это нелинейное взаимодействие подробно изучено математически.

Выполненные исследования [65 - 67] показывают, что на свободной поверхности могут реализовываться, в зависимости от относительной глубины погружения, вычисленной по длине волны, два типа симметричных нелинейных волн: при малых глубинах водоёма кноидальные и уединённые волны солитонного типа, а при значительных глубинах - волны Стокса. Несмотря на отличие этих двух типов волн, между ними имеется много общего, связанного с нелинейностью:

а) происходит выполаживание подошвы и заострение вершины волны, при этом профиль волны в случае больших глубин водоёма с увеличением амплитуды стремится к форме предельной волны Стокса с угловой критической точкой в вершине [65], что приводит к качественно новым бифуркационным явлениям;

б) на свободной поверхности увеличивается модуль абсолютной скорости частиц жидкости (у предельной волны Стокса в критической точке скорость жидкости становится равной скорости перемещения волны).

Тем самым, на границе между жидкостью и газом наряду со скачком плотности возникает и становится всё более интенсивным скачок завихрённости.

Cвязь между нормальной и касательной составляющими вектора, параметры которого определяют свойства сингулярной поверхности, описывается соответствующими интегральными уравнениями, ядрами которых являются фундаментальные решения уравнений математической физики для среды, формирующей тело-волну. Нелинейность волн деформации границ раздела сред наряду с умеренно-нелинейными волнами приводит к появлению нового типа волновой картины: Стоксовой волны с угловой точкой, - появляется возможность принципиально новой геометрической трансформации границы - потеря аналитичности её формы, появление угла - излома фронта волны.

Аналогичные особенности (каустики) [34], [68] появляются и при пространственном анализе фронтов классических линейных волн, однако там они обычно не сопровождаются скачками завихрённости и формированием спиральных структур, составляющими основные особенности процессов, которые будут изучаться нами ниже. Теория каустик волновых фронтов в настоящее время интенсивно изучается физиками и математиками. Она оказывается тесно связанной с теорией особенностей лагранжевых многообразий и теорией катастроф [68].

Итак, основным следствием нелинейных взаимодействий, приводящих к формированию следующего класса волновых структур, является порождение на волновых фронтах интенсивной завихрённости, распределение которой в пространстве или на плоскости приводит к существенным нелинейным эффектам и порождает новые структуры, которые начинают жить по собственным законам, взаимодействуя с породившей их средой. К этому же классу могут быть отнесены и структуры, которые представляют зоны концентрации ротора любого вектора, не обязательно вектора скорости сплошной среды.

Порождение и диффузия завихрённости, наиболее интенсивно проявляющиеся на контактных поверхностях, отнесённых нами к умеренно нелинейным волнам, значительно усложняет их структуру, формирует новые типы обобщённых ударных волн: пограничные слои резких градиентов касательных составляющих вектора, Существенно нелинейный характер вихревых волн, скорость перемещения которых может совпадать со скоростью перемещения среды, в которой они возникают (то есть собственная скорость может стать равной нулю), приводит к возникновению нового класса нелинейных вихревых структур, которые, сохраняя свойства породивших их классических линейных и умеренно - нелинейных волн, оказываются значительно ближе к телуволне, то есть формируют устойчивые слабодеформируемые структуры, переносящие не только свою форму, но и большую часть массы среды, в которой они формируются.

Проанализируем возможные пути формирования и основные топологические свойства вихревых (или в более общем случае - роторных) структур. Если в качестве модели рассмотреть линейные поверхностные волны на границе раздела двух сред и рассчитать в рамках допущений невязкой жидкости скачок касательных скоростей, то этот скачок, хотя и существует, но очень мал. С увеличением нелинейности интенсивность сдвигового слоя растёт. Предельная Стоксова волна уже в значительной степени вихревая. Вблизи критической точки (вершины) интенсивность завихрённости максимальна. Дальнейшее развитие влияния нелинейности на характеристики поверхностных волн происходит по другим законам законам вихревых ударных волновых структур.

В работе [38] одним из авторов совместно с Н. Ю. Завадовским рассмотрена простейшая модельная задача, решение которой вскрывает механизм развития на границе раздела сред новых вихре - волновых структур и объясняет качественно один из элементов сложного нелинейного явления - спирализации нелинейных волн на границе раздела сред. Если проанализировать, при допущении о пренебрежении нормальными к границе скоростями по отношению к касательным, поведение свободной первоначально гладким образом искривленной границы раздела сред без учета действия сил тяжести, то математическая постановка такой задачи для невязкой жидкости постоянной плотности сводится к уравнению Лапласа внутри жидкости и к уравнению ПуассонаРимана (2.23 а) для скачка касательных скоростей на деформируемой границе раздела.

Совместное рассмотрение этих связанных между собой уравнений приводит к аналитическому решению, форма которого показывает, что на свободной границе через конечный промежуток времени формируется продольная поверхностная ударная волна - появляется отсутствовавший ранее скачок продольных касательных скоростей - что приводит к скручиванию самой границы в двойной спиральный вихрь с бесконечным числом витков [69 - 72] (рис.3.1) Формирование двойного спирального вихря.

Удалось построить стационарные двумерные течения идеальной жидкости, которые можно классифицировать как обобщения двойного спирального вихря. Если ввести при рассмотрении двумерных потенциальных потоков с границей следующие комплексные функции:

и рассмотреть стационарное течение, а затем определить уравнение связи то получим спектр течений, представляющих потоки вблизи угловых точек, либо внутри двойных спиральных вихрей. Примеры таких структур представлены на рис. 3.2.

Различные типы вихревых ударных волн первого рода В действительности, однако, так же как и в случае ударных волн, происходит диффузионное и хаотическое размывание как в касательном, так и в нормальном направлении указанных идеальных структур, наиболее интенсивноe внутри центральных областей спиралей.

Совокупность формирующихся, стационарных и диссипирующих структур этого типа названа нами вихревыми ударными волнами первого рода. Они обычно являются элементами таких сложных физических явлений, как разгонные вихри за крылом, отрывные пузыри на телах, концевые вихри на крыльях, дорожки Кармановских вихрей за плохообтекаемыми телами и паровыми и газовыми кавернами и т. д.

Если рассматривать подобные структуры с топологической точки зрения и учесть диффузию завихрённости при их формировании, то их скорее можно считать телами - волнами, чем умеренно-нелинейными волнами, хотя формируются они в районе фронтов умеренно-нелинейных волн. Именно формирование из умеренно-нелинейных волн вихревых ударных волновых структур первого рода и является тем качественным скачком, который позволяет выделить третий класс - нелинейные вихре волновые и спиральные структуры - вихревые ударные волны первого рода.

Если размеры введенных ранее в рассмотрение тел - волн определяются параметрами их границ, то вихревые ударные волны первого рода фактически являются одновременно и частью границы какого-либо другого тела - волны, и сами по себе вновь сформировавшимися из этой границы телами - волнами. Главной их особенностью как вихревых структур является наличие на какой - либо из стадий их формирования спиральных волн.

К этому же классу могут быть отнесены ревербераторы [47. C. 129, которые могут быть названы спиральными авто - волнами.