«Кафедра математической экономики, кафедра теории вероятностей, математической статистики и управления стохастическими процессами Эконометрика Составители курса: 1. Теоретический материал: Балаш В.А., Харламов А.В. 2. ...»

Саратовский государственный университет им. Н.Г Чернышевского

Кафедра математической экономики,

кафедра теории вероятностей,

математической статистики и

управления стохастическими

процессами

Эконометрика Составители курса:

1. Теоретический материал: Балаш В.А., Харламов А.В.

2. Методические рекомендации: Балаш В.А., Харламов А.В.

3. Вопросы для самоконтроля: Балаш В.А., Харламов А.В.

4. Тестовые задания: Балаш В.А., Харламов А.В.

Саратов 2008 г.

Оглавление  Методические рекомендации

Введение

Глава 1. Предварительный анализ данных

1.1. Описательные статистики

1.2. Анализ зависимости между переменными

Глава 2. Эконометрический анализ данных

2.1. Парная линейная регрессия

2.2. Множественное линейное уравнение регрессии

Глава 3.Некоторые аспекты эконометрического анализа

3.1. Нелинейные модели регрессии

3.2. Эконометрические модели с переменной структурой. Фиктивные переменные

3.3. Тест Чоу

3.4. Сравнение «длинной» и «короткой» регрессии

3.5. Гетероскедастичность

Глава 4. Временные ряды

Глава 5. Система экономических уравнений

Приложения

Вопросы для самоконтроля.

Задачи для самостоятельного решения

Тесты для самоконтроля

Рекомендуемая литература

  Методические рекомендации  1. Цель курса «Эконометрика» вместе с микро и макроэкономикой является дисциплиной, образующей фундамент современного университетского образования. Это связано прежде всего с признанием того, что овладение методами эмпирических исследований является не просто желательной, но весьма существенной частью базовой подготовки специалиста (бакалавра, магистра).

Целью преподавания дисциплины является углубленное изучение специалистами (бакалаврами, магистрами) основных теоретических положений экономико-статистического моделирования и формирования у них навыков применения методики микроимитационного обоснования теоретических положений и практического использования аппарата эконометрического моделирования в экономическом анализе, прогнозировании и задачах обоснования управленческих решений.

2. Задачи курса Задачи изучения курса определяются требованиями к подготовке кадров, установленными в квалификационной характеристике подготовки специалистов (бакалавров, магистров)в по направлению «Прикладная информатика по областям» и состоят в следующем:

в углублении знаний по теории количественных экономических измерений; в освоении методики проверки согласованности дедуктивных моделей с результатами эмпирических исследований;

в изучении аппарата и техники эконометрического моделирования социально-экономических процессов;

в формировании навыков проведения сложных компьютерных расчетов с использованием эконометрических моделей; в подготовке специалистов, обладающих исследовательским потенциалом.

3. Место курса в профессиональной подготовке выпускника Изучение эконометрики как сложной научной дисциплины, родившейся в области интерференции математики, статистики и экономики начинается после изучения математического анализа, теории вероятностей с элементами математической статистики, микроэкономики и макроэкономики. Данным курсом предусматривается такая подача материала, которая наряду с теорией построения эконометрических моделей рассматривает вопросы их практического использования. Знания по основным разделам курса закрепляются в процессе выполнения практических заданий с использованием пакета Excel. Это ориентирует учащихся на применение полученных знаний в практической деятельности, что способствует повышению профессиональной подготовке будущих специалистов.

В результате изучения эконометрики студент должен знать:

• основополагающую концепцию эконометрического анализа сложных экономических явлений;

• основные методологические подходы и принципы применения аппарата эконометрического моделирования в прикладных исследованиях;

базовые типы эконометрических моделей;

эконометрической моделей; технологию статистической проверки различных гипотез приемы интерпретации результатов эконометрического моделирования;

уметь:

• корректно осуществлять спецификацию эконометрических моделей;

• грамотно пользоваться компьютерным программным обеспечением для расчета оценок параметров эконометрических моделей;

• проверять адекватность построенных моделей и значимость их параметров;

• интерпретировать содержательный смысл параметров регрессионных моделей;

• применять эконометрические модели в практике экономического анализа;

• осуществлять прогнозные расчеты с помощью построенных эконометрических моделей.

Помимо теоретического материала курс лекций содержит множество примеров решения прикладных задач с использованием программы Excel, что способствуют приобретению навыков практического анализа. Также курс содержит вопросы для самоконтроля студентов и тесты для самопроверки.

Некоторые тестовые вопросы требуют творческого исследовательского подхода. Для более глубокого практического усвоения в курс включены задачи для самостоятельного решения.

Предполагается, что перед изучением курса «Эконометрика»

студентами были изучены курс математического анализа, курс высшей алгебры, курс теории вероятностей и математической статистики..

При изучении данного курса необходимо обращать особое внимание на содержательные результаты расчетов, качественную интерпретацию количественных результатов и не ограничиваться механическим применением методов. Необходимо видеть логическую взаимосвязь между вероятностно-статистическими методами и экономическим содержанием.

При изучении эконометрики необходимо видеть, что при построении и анализе моделей мы не всегда получаем однозначный ответ на тот или иной вопрос, и достоверность ответа зависит от комплексного подхода к решению поставленной задачи.

Эконометрика – это наука, связанная с эмпирическим выводом экономических законов, то есть используются данные для того, чтобы получить количественные зависимости для теоретических экономических соотношений.

Эконометрист моделирует экономические модели, основанные на экономической теории и эмпирических данных, оценивает неизвестные величины в этих моделях, делает прогнозы и оценивает их точность, дает рекомендации по экономической политике.

Отношение к эконометрике в нашей стране имеет характерный диапазон от полного неприятия, при отсутствии информации о предмете до неоправданного энтузиазма. Приведем две типичные цитаты. Первая датируется 1978 годом и взята из учебника А.Г. Гранберга «Математические модели социалистической экономики»: «Эконометрика расширила арсенал приемов апологетики капиталистического строя. На основе математических моделей оптимизации, равновесия, теории игр модернизируются старые и создаются новые экономические теории. Буржуазные экономисты используют авторитет математики, наивную веру многих людей в абсолютную истинность математических формул для того, чтобы внушить доверие к своим теоретическим выводам, а возможности гармоничного и эффективного развития капиталистической экономии при взаимной заинтересованности всех социальных слоев общества».

Вторая цитата открывает учебник по эконометрике 2003 под реакцией И.И. Елисеевой: «Эконометрика является одновременно нашим телескопом и нашим микроскопом для изучения окружающего экономического мира».

В настоящее время уровень развития информационных технологий позволяет существенно упростить процесс эконометрического моделирования с использованием специализированных программных продуктов, таких как EViews, STATA, SPSS и других. Эти программы сочетают в себе удобство графического интерфейса и гибкости в выборе задач, основанных на использовании командного языка. Однако для их эксплуатации необходим достаточно высокий уровень общей компьютерной грамотности. Поэтому для большинства «средних пользователей»

оптимальным является использование табличного процессора MS Excel, интегрированного в пакете MS Office, начиная с Excel 7.0 for Windows 95.

Табличный процессор MS Excel включает в себя программную надстройку «пакет анализа» и библиотеку из 78 статистических функций.

Такой набор инструментов, как правила, вполне достаточен для проведения всестороннего статистического анализа информации.

Данное учебное пособие призвано помочь студенту, аспиранту или офисному служащему в освоении основ эконометрики с использованием MS Excel. Сегодня эконометрика относится к числу базовых экономических дисциплин. Авторы будут считать свою цель достигнутой, если это учебное пособие поможет в ее освоении и использовании.

Глава 1. Предварительный анализ данных   Если исследователь хочет обобщить и описать распределение одной переменной, а также выяснить, существует ли зависимость между двумя или более переменными, то он применяет методы описательной статистики.

Основными показателями описательной статистики являются:

- медиана (Ме) – значение признака, приходящегося на середину ряда распределения;

- мода (Мо) – это значение признака, которое чаще всего - выборочная дисперсия:

- среднее квадратическое отклонение:

- эксцесс – характеристика островершинности статистического распределения: для нормального распределения Ek =0, если Ek0, то более плосковершинным:

где 4 – выборочный центральный момент 4-го порядка;

- коэффициент асимметрии (skewness), для нормального распределения этот коэффициент равен нулю:

- максимальное значение выборки xmax ;

- минимальное значение выборки xmin ;

- наибольшее значение признака, имеющее разность с порядком - наименьшее значение признака, имеющее разность с порядком - уровень надежности (предельную ошибку выборки:

где t - значение распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы k=n-1.

Решим задачу в программе Excel с помощью пакета «Анализ данных».

Для проведения процедуры описательной статистики на панели инструментов выберите «Сервис», затем «Надстройки» и при появлении окна поставить флажок на «Пакет анализа», нажать ОК. Для решения задачи введем данные задачи в столбце А (рис.1.3).

Выберите еще раз «Сервис» и «Анализ данных». При появлении окна «Анализ данных» - нажмите курсором на инструмент анализа:

«Описательная статистика» (см. рис. 1.1).

Появится окно «Описательная статистика» (рис. 1.2).

Необходимо отметить Входной интервал курсором, поставить флажок в Группирование – по столбцам и отметить флажком Итоговая статистика.

В результате появится рис. 1.3.

Рис. 1.2 - Окно «Описательная статистика»

Рис. 1.3 - Результаты решения задачи 1.2. Анализ зависимости между переменными  Установление и анализ взаимосвязей между переменными является основной частью эконометрического анализа данных.

Для оценки силы линейной зависимости между двумя переменными X и Y исчисляют ковариацию:

где выборочные средние (1.1) Ковариация имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин. Если ковариация положительна, то связь между переменными прямая, то есть с увеличением одного признака, второй также увеличивается, если ковариация отрицательная, то связь между X и Y обратная. Если ковариация равна нулю, то данные не связаны.

Если рассматриваем многомерную выборку, то возможно получить ковариационную матрицу:

Ковариационная матрица симметрична относительно главной диагонали. На главной диагонали матрицы стоят дисперсии (1.2).

Являясь мерой линейной зависимости между переменными, ковариация не позволяет оценить ее относительную силу.

Относительная сила связи между переменными, образующими двумерную выборку, измеряется выборочным коэффициентом корреляции:

где Sx и Sy – среднее квадратическое отклонение (1.3).

Коэффициент корреляции изменяется от –1 до +1. Аналогично ковариации, если коэффициент положителен, то связь между признаками прямая, если отрицателен, то обратная. Если rxy по абсолютной величине близок к нулю, то говорят об отсутствии связи, если близок к единице – то тесной.

Для многомерной выборки рассчитывается корреляционная матрица:

которая симметрична главной диагонали, на которой стоят единицы.

Иногда, для анализа связи между переменными достаточно построить поле корреляции или точечную диаграмму.

Задача На основании данных об издержках обращения и изменения товарооборота, приведенных в таблице:

Издержки обращения, тыс. 1,1 1,3 1,4 1,1 1,9 1,7 1,4 1,2 1,9 1, руб. (у) Вычислите выборочные коэффициенты ковариации и корреляции.

Решение Введите данные таблицы по столбцам, затем выберите СервисАнализ данныхКовариация (рис. 1.4).

При появлении окна «Ковариация» отметьте курсором Входной интервал – два столбца X и Y, Группирование – по столбцам, Параметры выхода – любую ячейку. В этой ячейке выведется результат (рис. 1.5).

Из анализа таблицы ковариационного анализа (рис.1.6) видно, что связь между товарооборотом Х и издержками обращения Y прямая (коэффициент ковариации равен 0,54). На главной диагонали стоят дисперсии признаков:

дисперсия s2х=4; s2у=0,0989.

Рис. 1.6 – Расчет задачи с помощью инструмента «Ковариация»

Аналогично проведем корреляционный анализ. Для этого:

1. СервисАнализ данныхКорреляцияОК;

2. Входной интервал определяется курсором (буквы х и у не обводить);

3. Выходной интервал: любая ячейка, в которой появится результат.

Результаты представлены на рис. 1.7.

Рис. 1.7 – Расчет задачи с помощью инструмента «Корреляция»

Как видно из рис. 1.7 коэффициент корреляции между переменными Х и Y равен 0,8585. Это означает, что между товарооборотом Х и издержками обращения Y наблюдается тесная положительная связь.

Построение точечной диаграммы проводится в продолжение этого примера в регрессионном анализе (парная регрессия).

Глава 2. Эконометрический анализ данных  Уравнением регрессии называется функция, описывающая зависимость условного среднего значения результативного признака у от заданных значений аргументов.

Предположим, что из двумерной генеральной совокупности (х, у) взята выборка объемом n, где (xi, yi) результат i-го наблюдения i=1,…n. В этом случае модель парной линейной регрессии имеет вид:

где yi – зависимая переменная; xi – независимая переменная; i – ошибка.

Допустим, что i – это независимые, нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием M(i) = 0, дисперсией ошибки, независящей от номера наблюдения Di=2.

Значения параметров 0 и 1 неизвестны. Их оценки, рассчитанные по выборочным данным, обозначают b0 и b1. Подставляя оценки в уравнение, получим выборочное уравнение регрессии:

Чаще всего для расчета оценок коэффициентов регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). В качестве оценок неизвестных параметров 0 и 1 берут такие значения выборочных характеристик b0 и b1, которые минимизируют сумму квадратов отклонений yi от yi :

Для отыскания минимума найдем частные производные Q и приравняем их к нулю:

Получим систему уравнений:

Данная система называется системой нормальных уравнений.

Решая эту систему относительно b0 и b1, получим оценки коэффициентов регрессии:

где средние значения x и у находятся по формулам:

По полученному уравнению регрессии получают расчетные (прогнозные) значения переменной у для каждого i наблюдения, то есть уi ( хi ). Для этого в уравнение (2.5) подставляют известные значения независимой переменной хi (i = 1, 2, …, n).

Определяют характеристики качества построенной регрессионной модели (2.5). Для этого проводят анализ остатков модели еi = уi yi (для всех i = 1, 2, …, n).

Находят несмещенную оценку остаточной дисперсии:

Величину S = S 2 называют стандартной ошибкой остатков.

Наряду с получением точечных оценок коэффициентов регрессии важно знать, насколько точны эти оценки. Для этого вычисляют стандартные ошибки коэффициентов и строят доверительные интервалы для коэффициентов.

Стандартные ошибки коэффициентов b0 и b1 вычисляют по формулам:

Доверительным интервалом относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значения прогнозируемого показателя.

Интервальная оценка для параметра 0:

где t определяется из таблицы распределения Стьюдента для уровня значимости =1- и числа степеней свободы =n-2. Обычно уровень значимости берут равным 0,05 или 0,01. называют доверительной вероятностью или надежностью, коэффициента b0.

Аналогично определяется интервальная оценка для коэффициента 1:

Если переменная х не оказывает влияния на у, то прогноз будет одинаковым для всех значений независимых переменных х. В этом случае использовать уравнение регрессии для прогноза не имеет смысла.

Значимость уравнения проверяют с помощью F критерия Фишера.

Рассчитывают следующие суммы квадратов:

1. Общая сумма квадратов:

2. Сумма квадратов остатков:

3. Сумма квадратов, обусловленная регрессией:

Выполняется условие:

Для оценки значимости уравнения регрессии, то есть проверки гипотезы H0: 1=0 рассчитывают статистику Fнабл:

По таблице F-распределения находят критическое значение Fкр(; 1, 2), где - уровень значимости; 1, 2 - число степеней свободы, причем для модели парной регрессии 1=1, 2=n-2. Если выполняется Fнабл > Fкр, то гипотеза отвергается и уравнение считается значимым.

Коэффициентом детерминации или долей объясненной дисперсии называется коэффициент:

Если R2 = 1, то линия регрессии точно соответствует всем наблюдениям, если R2 = 0, то регрессия не объясняет вариацию признаков, то есть отсутствует связь между х и у.

Коэффициент детерминации R2 также может применяться для проверки гипотезы о значимости уравнения регрессии, то есть гипотезы H0: 1=0.

Для этого рассчитывают статистику:

имеющую распределение Фишера с числом степеней свободы 1=1, 2=n Если подставить в (2.17) значение коэффициента детерминации (2.16), то получим статистику, рассчитываемую по формуле (2.15), то есть статистики (2.15) и (2.17) одинаковы. Аналогично проводится проверка гипотезы Н0. Если выполняется Fнабл > Fкрит, то гипотеза отвергается и уравнение считается значимым.

Если в целом уравнение регрессии значимо, проверяют значимость каждого коэффициента.

Установление значимости коэффициента регрессии j сводится к проверке гипотезы H0: j=0.

Для проверки гипотезы рассчитывают:

Из таблиц распределения Стьюдента (t-распределения) находят критическое значение tкр(; =n-2), где - уровень значимости, - число степеней свободы.

Если |tнабл|>tкр, то гипотеза H0 отвергается и коэффициент считается значимым. Если |tнабл| tкр, то гипотеза H0 не отвергается.

Интервальная оценка для прогноза yпрогноз при x=x0 находится следующим образом:

где t определяется по таблицам распределения Стьюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы =n-2.

Доверительный интервал имеет наименьшую величину, когда x 0 = x, а по мере удаления x0 от x ширина доверительного интервала увеличивается, и точность оценки y снижается.

На основании данных об издержках обращения и изменения товарооборота, приведенных в таблице:

Издержки обращения, тыс. 1,1 1,3 1,4 1,1 1,9 1,7 1,4 1,2 1,9 1, руб. (у) и предположения, что генеральное уравнение регрессии имеет вид у = 0 + 1 х +, требуется:

а) Найти оценку и проверить на 5% уровне значимость уравнения регрессии, то есть гипотезу Н0:1 = 0;

б) Построить таблицу дисперсионного анализа для расчета F-критерия Фишера;

в) Найти коэффициент детерминации R2;

г) Найти интервальную оценку для прогноза издержек обращения у при товарообороте x = 10,0 тыс. руб.

Решение Расчеты проведем в программе Excel на листе 1 рабочей книги.

В столбец А занесем данные задачи по переменной х (товарооборот). В столбец В – данные переменной у (издержки обращения) (см. рис.2.1).

Исходные данные будут записываться по столбцам. В частности, значения х будут располагаться в ячейках А2:А11, значения у – в ячейках В2:В11.

Чтобы исходные данные отображались с одним знаком после запятой, выделяем диапазон ячеек А2:В2 (щелкаем А2, затем зажимаем кнопку Shift и В11). Далее Формат Ячейки закладка Число Числовой формат:

Числовой Число десятичных знаков: 1 ОК. Также можно это сделать, увеличивая или уменьшая разрядность на панели инструментов Форматирование.

Для того, чтобы проверить, существует ли зависимость между признаками, построим диаграмму рассеивания. Для этого выделите столбцы х и у (ячейки А1:В11). На панели инструментов нажмите значок «Диаграммы» и при появлении окна (Мастер диаграмм) выберите точечную диаграмму (см. рис.2.2).

Нажимая клавишу «Далее» несколько раз, постройте точечную диаграмму (поле корреляции) на отдельном листе.

На рис. 2.3 видно, что между признаками х и у действительно наблюдает линейная связь.

Для нахождения коэффициентов регрессии необходимо решить систему (2.1) и вычислить столбцы х2 и ху. Для этого в ячейку С2 вводится формула (=A2^2) (см. на рис.2.4 строку формул), чтобы формула ввелась, нажмите ОК. Затем курсор поместите в нижний правый угол ячейки и при появлении знака +, растяните ячейку вниз. Во всех ячейках столбца значения х возведутся в квадрат.

Аналогично рассчитывается столбец произведений ху: в ячейке D введена формула: (=A2*B2).

В ячейках A12, B12, C12, D12 стоят суммы по столбцам х, у, х2, ху. Для их нахождения необходимо в ячейке А12 выбрать на панели инструментов знак, на экране выделится столбец, который необходимо суммировать.

Затем следует нажать клавишу Enter – и в ячейке А12 появится сумма столбца х (60,00).

Аналогично рассчитываются суммы по остальным столбцам (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Вычисление сумм по столбцам таблицы После того, как найдены суммы по столбцам, найдем оценки коэффициентов регрессии. Для решения системы уравнений методом наименьших квадратов (МНК) воспользуемся формулами (2.2) и (2.3).

Предварительно рассчитаем средние значения х и у по формулам (2.4).

Для этого в ячейку В14 введем формулу (=А12/10), где 10 – это объем выборки. Аналогично находим в ячейке В15 среднее значение у.

Расчет коэффициентов регрессии по формулам (2.2) и (2.3) приведен на рис. 2.6. Причем, сначала рассчитывается коэффициент b1 в ячейке В17 (см.

строку формул на рис.2.6), а затем коэффициент b0.

Для расчета b0 в ячейку В16 введена формула: (=В15-В17*В14).

Таким образом, получили оценку уравнения регрессии:

Коэффициент b1= 0,135 показывает, что при изменении товарооборота на 1 тыс. руб., издержки обращения увеличивается на 0,135 тыс. руб.

Найдем прогнозные значения упр. Для этого подставляем в уравнение регрессии (2.20) все значения х. Для этого в ячейку Е2 вводим формулу (см.

на рис. 2.7 строку формул). Следует учесть, что для всех данных х значения коэффициентов b0=0,68 и b1=0,135 не меняются, поэтому для ячеек, в которых находятся значения коэффициентов регрессии при наборе формулы, то есть для ячеек В16 и В17, следует нажать клавишу F4 на клавиатуре – в результате в строке формул появится знак $.

Сумма упр должна быть равна сумме у (14,9).

Проведем анализ полученного уравнения.

Найдем остатки yi yi, оценку остаточной дисперсии S 2, стандартных ошибок коэффициентов.

Для оценки значимости уравнения регрессии и для нахождения значения F критерия, рассчитаем по формулам (2.11), (2.12) и (2.13) Qобщ,Qост и Qрегр, то есть рассчитаем таблицу дисперсионного анализа (рис. 2.8).

Обратите внимание на расчет Qобщ и Qрегр с использованием среднего значения у (см. строку формул на рис.2.8).

Рис. 2.8. Расчет таблицы однофакторного дисперсионного анализа Как видно из рис. 2.8 выполняется соотношение (2.14):

Для оценки значимости уравнения регрессии проверим гипотезу H0: 1=0.

Рассчитаем F-статистику по формуле (2.15) в ячейке Е14 (рис. 2.9):

По таблице F-распределения находят Fкр с числом степеней свободы 1=1, 2=n-2=10-2=8. Найдем его с помощью математических функций:

Fкрит=FРАСПОБР(0,05;1;8) = 5,3176 (ячейка G14 на рис. 2.9). Для нахождения этого числа необходимо на панели инструментов выбрать клавишу fx - появится окно «Мастер функций», нажать курсором на строку «Статистические функции» и в правом окне найти FРАСПОБР (см. строку формул на рис. 2.9). Вероятность – это уровень значимости =0,05.

Так как Fнабл = 22,43 > Fкр=5,3176, то гипотеза отвергается и уравнение считается значимым.

Проверим значимость каждого коэффициента регрессии.

Рассчитаем несмещенную оценку остаточной дисперсии по формуле (2.6) (ячейка Е15):

и стандартную ошибку коэффициентов по формулам (2.7) и (2.8).

Для расчета стандартной ошибки коэффициента b1 нашли сумму в ячейке J12:

В ячейках Е15, Е16 и Е17 найдены оценки соответствующие остаточной дисперсии и дисперсии коэффициентов регрессии, то есть Sb20 = 0,0325 и Sb21 = 0,00081 В ячейках – G15, G16, G17 - стандартные ошибки или квадратные корни из дисперсий коэффициентов:

КОРЕНЬ (число), используя «Мастер функции».

Для проверки гипотезы H0: 0=0 рассчитали статистику в ячейке I16:

Находим критическое значение распределения Стьюдента с помощью статистической функции СТЮДРАСПОБР(0,05;8) = 2,3 (ячейка К16), где вероятность (уровень значимости) равна 0,05 и число степеней свободы n-2=10-2=8.

Так как tнабл=3,77>tкр=2,3 то гипотеза H0 отвергается и коэффициент b считается значимым.

Проверим гипотезу H0: 1=0. Рассчитаем в ячейке I17:

Так как tнабл=4,736>tкр=2,3 то гипотеза H0 отвергается и коэффициент b значим, то есть товарооборот значимо влияет на издержки обращения.

Найдем коэффициент детерминации:

Таким образом, полученная модель регрессии адекватно описывает данные.

При выполнении всех расчетов получили рис.2.9.

Найдем 95% доверительные интервалы для каждого коэффициента регрессии, а затем для прогнозного значения х=2.

Интервальная оценка для параметра 0:

или 0,68-0,4141b00,68+0,4146.

В ячейке D22 найдена верхняя граница доверительного интервала для коэффициента b0, то есть 0,68+0,4146=1,096, в ячейке D22 (0,68нижняя граница. Следовательно, коэффициент b0 изменяется в интервале от 0,264 до 1,096 (рис. 2.10).

Аналогично интервальная оценка для коэффициента 1:

1 [b1 ± t Sb1 ] = [0,135 ± 2,3 0, 0285] = [0,135 ± 0, 0657] В ячейках D24, D25 рис. 2.10 приведены расчеты для нижней и верхней границ коэффициента b1.

Интервальная оценка для уравнения регрессии y при x0=10:

Для расчета этой величины необходимо подсчитать при х0= Расчет прогнозного значения для границ приведен в ячейках D24 и D25, формула для расчета верхней границы приведена в строке формул на рис.2.11. Для расчета нижней границы следует поставить знак «минус» после первой скобки.

В ячейке Н26 приведено расчетное значение издержек обращения при х=10 тыс. руб. Для его нахождения в уравнение регрессии (2.20) подставлено значение х=10 и получено значение в ячейке Н26 (2,03).

Рис. 2.11. Расчет доверительного интервала для х= Получено, что доверительный интервал для прогноза издержек обращения при товарообороте х =10 тыс. руб. находится в пределах от 2, тыс. руб. до 1,736 тыс. руб. с 95 % уровнем надежности.

Таким образом, по полученному уравнению регрессии можно сформулировать следующие выводы:

- при изменении товарооборота на 1 тыс. руб., издержки обращения увеличивается на 0,135 тыс. руб.;

- коэффициент детерминации (R2=0,737) показывает, что полученная модель регрессии адекватна данным;

- уравнение регрессии значимо и может применяться при прогнозе;

- товарооборот значимо влияет на издержки обращения;

- при товарообороте 10 тыс. руб. издержки обращения составят 2,03 тыс.

- доверительный интервал для прогноза издержек обращения при товарообороте х =10 тыс. руб. находится в пределах от 2,354 тыс. руб.

до 1,736 тыс. руб. с 95 % уровнем надежности.

В поле корреляции возможно построить уравнение линейной регрессии.

Для этого на рис. 2.3 для построения прямой выделите курсором точки, соответствующие данным. Нажмите правую кнопку мыши и выберите «Добавить линию тренда», ОК и из предложенных линий тренда отберите линейную. В результате получится прямая регрессии (рис. 2.12).

1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 2.2. Множественное линейное уравнение регрессии  Пусть требуется построить линейную модель зависимости признака Y от набора независимых переменных X 1,..., X k. Модель множественной линейной регрессии записывается в виде:

где 0, 1, 2,..., k – коэффициенты модели, - случайная величина, удовлетворяющая условиям: математическое ожидание ошибки равно нулю;

дисперсия ошибки не зависит от номера наблюдения; ошибки разных наблюдений не зависят друг от друга.

Пусть для оценки неизвестных параметров j (j = 1,…k) уравнения регрессии (2.21) взята случайная выборка объемом n и yi, xi1,…xik – результат i наблюдения, где i=1,…n.

То есть имеется n наблюдений объясняемой переменной уi, i = 1,..., n, и n наблюдений k объясняющих переменных х1i, х2i,..., хki, i = 1,..., n.

В матричной форме линейная модель имеет вид:

y = M - вектор-столбец наблюдений размерности n;

где размерности n(k+1);

оцениванию, размерности (k+1);

= M - вектор-столбец случайных ошибок размерности n.

Применяя метод наименьших квадратов, получим вектор оценок коэффициентов модели:

Тогда выборочное уравнение регрессии имеет вид:

Несмещенную оценку остаточной дисперсии найдем по формуле:

Для проведения регрессионного анализа рассчитывают следующие показатели:

- коэффициент детерминации имеет тот же самый смысл, что и R2 для парной регрессии:

- множественный коэффициент корреляции, являющийся мерой линейной зависимости между переменной у и факторами х1, х2,…, xk:

- скорректированный коэффициент детерминации корректирует значение коэффициента R2 с учетом числа независимых переменных и размером выборки, чтобы снизить влияние количества переменных:

- стандартная ошибка представляет собой стандартное отклонение для остатков. Измеряет рассеивание значений у относительно регрессии:

Для проверки значимости уравнения регрессии находят:

- общую сумму квадратов, которая объясняет общую изменчивость:

- сумму квадратов остатков – это часть дисперсии, не объясненная линейной зависимостью:

- сумму квадратов, обусловленных регрессией, которая измеряет часть дисперсии, объясняемую регрессионной зависимостью:

Выполняется условие:

Для оценки значимости уравнения регрессии, то есть проверки гипотезы H0: 1= 2=…= k=0 рассчитывают статистику:

имеющую распределение Фишера-Снедекора (F-распределение).

По таблице F-распределения находят критическое значение Fкр(; 1,2), где - уровень значимости; 1, 2 - число степеней свободы, 1=k, 2=n-k-1. Если выполняется Fнабл > Fкр, то гипотеза отвергается и уравнение считается значимым.

Значимость коэффициентов регрессии j проверяется с помощью tкритерия. Рассчитывают статистику:

где Sb2 = S 2 [( X T X ) 1 ] jj - дисперсия коэффициента регрессии bj;

S2 - несмещенная оценка остаточной дисперсии (2.25);

[( X X ) ] jj - элементы обратной матрицы, стоящие на главной диагонали;

Sb j - стандартная ошибка коэффициента bj. Измеряет отклонение имеющихся данных уi от их оценок уi. Из таблиц распределения Стьюдента (t-распределения) находят критическое значение tкр(; =n-k-1), где - число степеней свободы.

Если |tнабл|>tкр, то гипотеза H0: j=0 отвергается и коэффициент считается значимым. Если |tнабл| tкр, то гипотеза H0 не отвергается.

Доверительные интервалы для значимых коэффициентов регрессии строятся по формуле:

где t определяется из таблицы распределения Стьюдента для уровня значимости =1- и числа степеней свободы =n-k-1.

Задача Имеются данные о зависимости прибыли у (тыс. руб) от расходов на рекламу (тыс. руб) х1 и стоимости основных фондов х2 (тыс. руб) Данные приведены в таблице 2.1.

На основании данных таблицы:

а) построить уравнение регрессии у = 0+ 1х1 +2х2 + ;

б) найти оценку и проверить на 5% уровне значимость уравнения регрессии, то есть гипотезу Н0: 1= 2=0;

в) проверить значимость каждого коэффициента регрессии;

г) Найти коэффициент детерминации R2.

x1 12 14 15 16 20 21 24 25 26 23 25 26 19 27 25 29 28 30 x2 6,2 5,2 6,5 6,9 10,2 15,5 17,2 16,2 20,5 16,9 18,2 19,5 26,2 35,2 26,5 26,9 30,2 35,5 40,0 35, y 10 12 15 16 17 20 22 35 41 25 27 23 26 45 39 38 41 42 Решение Решим задачу в программе Excel с помощью пакета «Анализ данных».

Для проведения регрессионного анализа на панели инструментов выберите «Сервис», затем «Надстройки» и при появлении окна поставить флажок на «Пакет анализа», нажать ОК.

Для решения задачи введем данные задачи в столбцы А, В и С (рис.2.13).

Рис. 2.13. Входные данные  Выберите еще раз «Сервис» и «Анализ данных». При появлении окна «Анализ данных» - нажмите курсором на инструмент анализа: «Регрессия»

(см. рис. 2.14).

После выбора «Регрессии» появляется окно «Регрессия» (см. рис. 2.15).

В категории Входные данные окна «Регрессия» необходимо указать:

- Входной интервал Y – диапазон зависимых переменных, состоящих из одного столбца;

Входной интервал Х - диапазон независимых переменных, подлежащих анализу. Может состоять из одного или более столбцов.

Максимальное количество столбцов равно 16;

Константа-ноль – для построения регрессии без свободного члена (b0), то поставьте флажок в этом окне;

- Уровень надежности – для включения дополнительного уровня надежности, установите флажок в соответствующем окне. По умолчанию уровень надежности равен 95%;

- Остатки (остатки, стандартизированные остатки, график остатков и график подбора) – используются как дополнительный анализ параметров вывода.

Укажем курсором столбцы входных данных (см. рис. 2.16). Выбор столбцов проводится курсором.

Входной интервал Y – это столбец С2 – С21.

Входной интервал Х – это два столбца от А2 до В21.

Необходимо заполнить Параметры вывода: можно установить Выходной интервал, то есть указать ячейку, в которой появится результат.

Если выходной интервал не устанавливать, то решение появится на новом листе Excel.

Нажав ОК, получим результаты решения задачи (см. рис. 2.17).

Рис. 2.17. Вывод итогов построения регрессии В столбце «Коэффициенты» получены коэффициенты уравнения регрессии.

Коэффициент b0= - 4,09 в Таблице анализа – это Y-пересечение.

Таким образом, получили уравнение регрессии:

Коэффициент b1=0,92 показывает, что при увеличении расходов на рекламу на 1 тыс. руб. прибыль увеличивается в среднем на 0,92 тыс. руб., а увеличение стоимости основных фондов на 1 тыс. руб. приводит к увеличению прибыли в среднем на 0,56 тыс. руб.

Стандартные ошибки коэффициентов:

где S 2 - стандартная ошибка (2.9);

[( X X ) 1 ] jj - элементы обратной матрицы, стоящие на главной диагонали.

Они составляют: S b = 5,46; Sb1 = 0,37; Sb = 0,1995.

Для проверки значимости коэффициентов регрессии рассчитываются t –статистики по формуле (2.35).

Получены следующие t-статистики (рис. 2.17):

Находим критическое значение распределения Стьюдента для вероятности (уровня значимости) 0,05 и число степеней свободы Критическое значение находим из таблиц распределения Стьюдента или с помощью статистической функции СТЮДРАСПОБР(0,05;17) = 2,11.

Для проверки гипотезы H0: j=0 сравниваем полученные значения для всех коэффициентов tнабл с tкр=2,11. Получим, что все коэффициенты значимы, кроме b0. То есть на прибыль значимо оказывают влияние расходы на рекламу и стоимость основных фондов.

Для проверки значимости коэффициентов можно использовать Рзначения (ячейки Е40-Е42).

По величине Р-значения возможно определять значимость коэффициентов, не находя критическое значение t-статистики. Если значение t-статистики велико, то соответствующее значение вероятности значимости мало – меньше 0,05, и можно считать, что коэффициент регрессии значим. И наоборот, если значение t-статистики мало, соответственно вероятность значимости больше 0,05 – коэффициент считается незначимым.

Для коэффициентов b1 значения вероятности близко к нулю (0,02), следовательно, коэффициент b1 можно считать значимым. Аналогично определяется значимость коэффициента b2.

Далее представлены доверительные интервалы (нижняя и верхняя границы), рассчитываемые по формуле (2.35).

В разделе Регрессионная статистика получили:

- коэффициент детерминации R2=0,98, рассчитывается по формуле (2.6), и показывает, что модель достаточно хорошо описывает данные, так - скорректированный коэффициент детерминации имеет тот же смысл, что и R2, но считается, что он точнее отражает степень адекватности - стандартная ошибка, рассчитываемая по формуле (2.19).

В Дисперсионном анализе вычисляются:

- df – число степеней свободы;

- SS – суммы квадратов разностей;

- МS - оценки дисперсий;

- F – вычисленное значение критерия Фишера;

- Значимость F.

Сумма квадратов регрессии вычисляется по формуле (2.22):

- сумма квадратов остатков:

- общая сумма квадратов:

Выполняется условие (2.13):

То есть 2353,32+355,62=2706,95.

Число степеней свободы df для SS1 равно df1=2 (k - число независимых переменных или факторов), для SS2: df2 = n – k – 1= 20 – 2 –1 =17, для SS: df = n – 1= 20 – 1 =19.

Получены оценки средних квадратов:

наблюдаемое значение F-критерия (2.14):

Сравним полученное значение Fнабл с критическим. Так как Fкрит=3,59Fкрит=6.4, то гипотеза о равенстве коэффициентов регрессии отвергается.

3.4. Сравнение «длинной» и «короткой» регрессии  Иногда из большого числа независимых переменных требуется отобрать наиболее существенные объясняющие переменные, влияющие на зависимую переменную. Для этого используют тест проверки «длинной» и «короткой»

регрессий.

Рассмотрим два уравнения регрессии:

(короткое) (длинное) Какое из двух уравнений выбрать?

Проверим гипотезу H0: k+1 = k+2 = k+q =0.

Найдем сумму квадратов остатков для «длинной» (unrestricted) модели Q ост.

Найдем сумму квадратов остатков для «короткой» (restricted) модели Q ост.

Если Fнабл > Fкр(v1=q,v2=n-k-q-1), гипотеза отвергается (выбираем длинную регрессию), в противном случае – выбираем короткую регрессию.

Задача По данным таблицы 3.2 изучается зависимость индекса человеческого развития Y от переменных:

Х1 – ВВП 1997г., % к 1990г.;

Х2 – суточная калорийность питания населения, ккал на душу населения;

Х3 – ожидаемая продолжительность жизни при рождении 1997г., число лет;

Х4 – расходы на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП;

Х5 – расходы домашних хозяйств, % к ВВП;

Х6 – валовое накопление, % к ВВП.

Построить регрессию зависимости Y от всех независимых переменных.

Исключая незначимые переменные, определить, какую регрессию возможно применить для анализа и прогноза.

Решение Построим длинную регрессию зависимости У от всех переменных Х.

Результаты приведены на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Результаты «длинной» регрессии Получили следующее уравнение регрессии:

у = 0,6423 0,0005x1 + 0,000043x2 + 0,01858х3 + + 0,00133х4 0,0014 х5 + 0,00022х6.

По значениям t-статистики или Р-значениям видно, что значимое влияние на зависимую переменную Y оказывают переменные Х1, Х2, Х3 и незначимое – переменные Х4, Х5, Х6.

Исключим незначимую переменную, для которой значение вероятности значимости наибольшая, то есть переменную Х6.

Результат представлен на рис. 3.10.

Как видно из рисунка 3.10 по сравнению с рисунком 3.9 значения коэффициентов детерминации практически не изменились. Значения коэффициентов регрессии изменилось незначительно, также незначимыми переменными остались Х4, Х5. Последовательно исключим эти незначимые переменные (проделайте это самостоятельно).

Получили «короткую» регрессию, включающую только переменные Х1, Х2, Х3 (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Результаты «короткой» регрессии Полученная регрессия имеет вид:

у = 0,6211 0,0005x1 + 0,000043x2 + 0,0187х3.

Как видно по Р-значениям, все коэффициенты значимы.

Определим, какая из регрессий предпочтительнее для анализа.

Рассчитаем F-статистику по формуле (3.4):

Так как Fнабл =0,47 < Fкрит=3,16, то гипотеза H 0 : 4 = 5 = 6 = 0 о не влиянии на индекс человеческого развития Y переменных Х4 (расходы на конечное потребление в текущих ценах), Х5 (расходы домашних хозяйств) и Х6(валовое накопление) принимается и для дальнейшего анализа можно использовать «короткую» регрессию.

В пакете Excel исключать столбцы, если они не расположены рядом, достаточно трудоемко, так как столбцы независимых переменных при проведении регрессии необходимо объединять курсором одновременно. Если исключать незначимую переменную, стоящую в середине столбцов, то ее необходимо удалить полностью из массива данных, что не всегда удобно для исследователя. Для этого желательно перекопировать все данные в отдельный лист, там удалить столбцы, относящиеся к незначимым переменным, и заново построить регрессию.

В рассмотренной ранее регрессионной модели, которую часто называют классической, предполагается, что случайные составляющие ei имеют постоянную дисперсию и не коррелируют друг с другом, то есть ковариационная матрица случайного вектора имеет вид v(e)= s2In.Это условие известно как гомоскедастичность, что означает «одинаковый разброс» (рис. 3.12).

Модель с гомоскедастичным случайным членом Рис. 3.12. Модель с гомоскедастичным случайным членом Если ошибки не являются гомоскедастичными, то имеет место гетероскедастичность, что означает «неодинаковый разброс».

Гетероскедастичность может принимать разные формы, например, непостоянство дисперсии или автокорреляция.

На рисунке 3.13 представлен пример, когда ошибки не коррелированны, но имеют неодинаковую дисперсию.

Рис. 3.13. Модель с гетероскедастичным случайным членом При гомоскедастичности коэффициенты регрессии, полученные методом наименьших квадратов (МНК), имеют наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок, являющихся линейными функциями от наблюдений y. Если имеет место гетероскедастичность, то:

1. оценки МНК, которые мы использовали до сих пор, неэффективны.

Можно найти другие оценки, которые имеют меньшую дисперсию и являются несмещенными;

2. стандартные ошибки, рассчитанные по обычной формуле (МНК), будут не верны. Они вычисляются на основе предположения, что распределение случайного члена гомоскедастично. Вполне вероятно, что стандартные ошибки будут занижены, а, следовательно, t статистики – завышены и будет получено неправильное представление о точности уравнения регрессии.

Тесты на гетероскедастичность предназначены для ситуации, когда ошибки не коррелированны, но дисперсия ошибок не постоянна.

Проверяется основная гипотеза Н0: 12 = 22 =... = n2 (модель гомоскедастична) против альтернативной гипотезы Н1: 12 22... n (модель гетероскедастична).

Наиболее часто используют:

1. Тест Голдфелда-Квандта (Goldfeld-Quandt).

2. Тест Бреуша-Пагана (Breus-Pagan).

3. Тест Вайта (White).

Тест Голдфелда-Квандта (Goldfeld-Quandt) пропорционально значениям одной из независимых переменных.

Этапы тестирования:

Упорядочивают наблюдения по величине x.

2. Выборку разбивают на три части.

3. Рассчитывают регрессию для первой трети выборки, находят Q ост.

4. Рассчитывают регрессию для последней трети выборки, находят Q ост.

гетероскедастичность.

Необходимо учитывать, что если в модели более одной объясняющей переменной, то число наблюдений - число объясняющих переменных.

Задача По данным таблицы 3.2 проверить гипотезу о гомоскедастичности, используя тест Гольфрельда-Квандта.

Решение Упорядочим выборку по той переменной, по которой есть подозрение на гетероскедастичность, например, по х1. Для этого необходимо выделить весь массив переменной, в командной строке курсором выбрать «Данные», затем «Сортировка». Появится окно «Сортировка диапазона» (рис.3.14).

Необходимо отметить «Сортировать по возрастанию», нажать ОК. В результате ваши данные отсортируются по возрастанию данных переменной х1.

Разобьем 25 наблюдений приблизительно на 3 части.

Построим регрессию для первых 9 наблюдений (рис. 3.15) и для последних 9 переменных (рис. 3.16). Для каждой регрессии найдем Qост.

Рис. 3.15. Регрессия по первым 9 наблюдениям Рис. 3.16. Регрессия по последним 9 наблюдениям Найдем статистику (3.5):

то гипотеза о гомоскедастичности не отвергается.

Следует заметить, что переменная Х1 гомоскедастична, но это не значит, что по всем остальным переменным модель может быть гетероскедастичной. Поэтому необходима дальнейшая проверка по остальным переменным.

Предполагается, что дисперсия случайной ошибки зависит от нескольких независимых переменных.

Этапы тестирования:

1. Рассчитывают МНК-оценки коэффициентов регрессии.

2. Находят остатки ei.

3. Находят квадраты остатков ei2.

4. Рассчитывают коэффициент детерминации R для регрессии 6. Если X набл превосходит критическое значение статистики Хи-квадрат для m степеней свободы, гетероскедастичность присутствует.

Задача По данным таблицы 3.2 проверить гипотезу о гетероскедастичности, используя тест Бреуша-Пагана.

Решение Рассчитаем регрессию по всем шести переменным, в результате получим регрессию (рис. 3.10). При построении регрессии необходимо вывести остатки ei, для этого следует поставить флажок «Остатки» в параметрах Регрессии (рис. 2.15).

В результате получим таблицу остатков. Найдем квадраты остатков (рис. 3.17).

Затем строим регрессию, в которой за зависимую переменную берется столбец квадратов остатков еi2, а за зависимые переменные –переменные Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6.

Результат представлен на рис. 3.18.

Найдена статистика (3.6): 2 = nR 2 = 25 0,68 = 17,15.

Так как Х набл=17,15> Х крит =12,59, то гипотеза о гомоскедастичности отвергается и модель считается гетероскедастичной.

Критическое значение распределения Хи-квадрат найдено с помощью действий: fxСтатистическиеХИ2ОБР(m), где m – число переменных, входящих в уравнение регрессии (в данном случае 6).

Этот тест аналогичен тесту Бреуша-Пагана. В качестве независимых переменных используются все регрессоры, их квадраты и попарные произведения.

si =0+1xi1+2xi2+…+kxik+ k+1xi1 xi2+ k+2xi1 xi3 +…+ mxik.

Этапы тестирования:

Рассчитывают МНК-оценки коэффициентов регрессии.

Находят остатки ei.

3. Находят квадраты остатков ei.

4. Находят оценку остаточной дисперсии S 2.

5. Рассчитывают R для регрессии ei =0+1xi1+2xi2+…+kxik+ k+1xi1 xi2+ k+2xi1 xi3 +…+ mxik.

7. Если X набл превосходит критическое значение статистики Хи-квадрат для m степеней свободы, то гетероскедастичность присутствует.

Задача По данным таблицы 3.2 проверить гипотезу о гетероскедастичности, используя тест Вайта.

Решение Так как число переменных, входящих в уравнение не может быть больше 16, оставим только первые четыре переменных. В таблице построим данные, соответствующие квадратам переменных и их перекрестным произведениям (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Данные для построения регрессии Построим уравнение регрессии для этих переменных. Получим коэффициент детерминации, равный 0,98 (рис. 3.20).

Рассчитаем статистику по формуле (3.7).

Так как X набл = nR =24,64 > Х2крит =22,36 для числа степеней свободы, равного 13, то гипотеза о гомоскедастичности отвергается и модель можно считать гетероскедастичной.

3.5.2. Коррекция на гетероскедастичность Рассмотрим модель:

Пусть ошибки ui не коррелированны, но характеризуются разной дисперсией:

то есть модель гетероскедастична.

Матрица ковариаций W вектора ошибок u имеет вид:

Формула обобщенного метода наименьших квадратов сводится к взвешенному методу наименьших квадратов, так как матрица Если s i – известны, то получить модель с гомоскедастичными остатками можно, использовав в качестве весов наблюдений величины 1/i.

Разделим каждую строку матрицы данных на i:

В результате получим преобразованную модель:

Найдем дисперсию D(i):

В итоге получим пересмотренную модель:

Заметим, что модель (3.10) не включает свободный член, bi – коэффициент регрессии при новой переменной h.

На практике дисперсии ошибок почти никогда не известны.

Однако, иногда можно предположить, что i пропорциональны некоторой переменной Zi.

Тогда в качестве весов наблюдений следует использовать величину 1/zi:

В итоге получим пересмотренную модель:

где преобразование для того, чтобы добиться гомоскедастичности удается не всегда.Часто гетероскедастичность является сигналом о неправильной функциональной форме модели.

В общем случае для коррекции гетероскедастичности используют следующую процедуру:

1. Рассчитывают МНК-оценки коэффициентов регрессии.

2. Находят остатки ei.

3. Находят квадраты остатков ei2.

4. Находят логарифмы квадратов остатков ln(ei ).

5. Рассчитывают регрессиюln(ei ) = 0+0zi1+0zi2+…+0zik+ui.

wi = exp(ln(ei прогноз )).

9. Полученные веса wi используют во взвешенном методе наименьших квадратов.

Задача Для регрессии, рассчитанной по таблице 3.2 сделать коррекцию на гетероскедастичность.

Решение Регрессия, рассчитанная в задаче 5 имеет вид:

у = 0,6423 0,0005x1 + 0,000043x2 + 0,01858х3 + + 0,00133х4 0,0014 х5 + 0,00022х6.

Модель гетероскедастична согласно тесту Бреуша-Пагана (задача 7).

Возможно, что модель имеет неправильную форму.

Построим модель и модель Проверим для каждой гипотезу о гетероскедастичности тестом БреушаПагана. Проделайте это самостоятельно, для нахождения логарифмов воспользуйтесь функцией: fxМатематическиеLOG.

Сделаем коррекцию на гетероскедастичность, используя взвешенный метод наименьших квадратов.

Рассчитываем МНК-оценки коэффициентов регрессии, найдем остатки ei (не забудьте при нахождении регрессии поставить флажок «Остатки» в параметрах Регрессии).

Найдем квадраты остатков ei, логарифмы квадратов остатков ln(ei ) (рис.3.21).

Рис. 3.21. Нахождение логарифмов квадратов остатков Построим регрессию от логарифмов остатков, независимые переменные – значения Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6.

Найдем прогноз ln(ei )пр и веса наблюдений wi = exp(ln(ei2 прогноз )) (рис.

3.22).

Рассчитанные веса wi используют во взвешенном методе наименьших квадратов.

Преобразуем имеющиеся по условию данные. Поделим каждое значение таблицы на соответствующие веса, при этом по строке деление на вес не меняется, а по столбцу – меняется. Не забудьте клавишу F4 - при необходимости нажмите на нее два или три раза.

Получим преобразованные данные рис. 3.23 (обратите внимание на строку формул). Дополнительно необходимо построить столбец 1/Вес.

Построим регрессию без свободного члена. Для этого в окне «Константа-ноль» поставьте флажок.

Получим результаты регрессии (рис. 3.24). Это модель гомоскедастична, ее коэффициенты имеют ту же самую интерпретацию, а стандартные ошибки более точные:

у = 0,618 0,00036x1 + 0,0 x2 + 0,018х3 + + 0,0014х4 0,0014х5 0,00026х6.

Как видно из модели значения коэффициентов поменялось незначительно, однако переменная х5 стала значимой, а х6 – поменяла знак.

Рис. 3.24. Регрессия, построенная взвешенным МНК На значение коэффициента детерминации при взвешенном МНК обращать внимание не следует.

Временным рядом называют данные, собранные об одном и том же объекте за несколько последовательных периодов времени.

Примерами временных рядов являются объем промышленного производства Российской Федерации (например, квартальные данные за лет, или 60 наблюдений), валютный курс руб./$ (ежедневные данные за 1 год - 365 наблюдений), потребление сахара на душу населения Саратовской области (ежемесячные данные за 10 лет или 120 наблюдений).

Модели временных рядов активно применяются в исследовании динамики значительного числа реальных процессов различной природы. Они часто используются в исследовании динамики пассажиропотоков, складских запасов, спроса на различные виды продукции, миграционных процессов в человеческом или биологическом сообществах, моделировании природных событий: стока рек, динамики солнечных пятен и т.д.

Также модели временных рядов широко используются в исследовании финансовых рынков, курсов акций, соотношений курсов валют и т.д. (рис.

4.1, 4.2).

Как видно из рис. 4.1 объем денег в обращении в РФ (агрегат M2) вырос с января 1999 по январь 2006 г. более чем в 16 раз: с 374,1 до 6045, млрд. руб.

Из визуального анализа временного ряда возможен анализ сезонности экономических явлений (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Темпы прироста денежной массы в РФ, % к предыдущему Наибольший выпуск денег в обращении наблюдался декабре, в январе – изъятие денег из обращения (рис. 4.2).

Обозначим yt - значение переменной Y момент времени t.

Имеются данные: y1,…, yT - T наблюдений временной последовательности случайной переменной Y. Заметим, что рассматриваем только последовательные, равноотстоящие наблюдения (например, ежемесячные данные с 1990 по 2000 год, нет пропущенных месяцев).

Общим для всех моделей временных рядов является предположение о том, что текущее значение ряда yt в значительной степени определено его предысторией.

Математически это допущение может быть выражено следующим общим уравнением:

где t – номер периода, t - представляет собой случайную ошибку.

При удачном выборе функции f(t,yt-1, yt-2 …) ее значения будут в некотором смысле «близки» к наблюдаемым значениям yt. Критерии близости могут быть различными, например, минимизация дисперсии, соответствие белому шуму и др.

Обычно выделяют следующие компоненты временного ряда:

- долгосрочную тенденцию изменения временного ряда, или тренд - сезонную или циклическую составляющую (S). Например, колебания уровня ряда по дням недели, месяцам или кварталам;

- иррегулярную составляющую t.

Нелинейный тренд, сезонная и иррегулярная компонента представлены на рис. 4.3, 4.4, 4.5.

Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент называется аддитивной моделью временного ряда:

Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент называется мультипликативной моделью временного ряда:

Иногда применяют аддитивно-мультипликативную модель:

На практике построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значения T, S, E для каждого уровня ряда. Построение модели включает следующие шаги:

1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонной компоненты S ;

3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и мультипликативной (T E ) модели.

4) аналитическое выравнивание уровней (T + E) или (T E ) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда;

5) расчет полученных по модели значений (T + E ) или (T E ) ;

6) расчет абсолютных или относительных ошибок.

В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Имеются данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (табл. 4.1).

Данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, так как количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Необходимо рассчитать компоненты аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проводится выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней (табл. 4.2). Для этого:

Количество Итого за Скользящая Центрированная Оценка квартала, правонарушений четыре средняя скользящая сезонной со сдвигом на один момент времени.

2.Разделив полученные суммы на 4, находим скользящие средние.

Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

3.Необходимо привести эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего находим средние значения из двух последовательных скользящих средних — центрированные скользящие средние.

Шаг 2. Находятся оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними.

Эти оценки используются для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого находятся средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Sr В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю (табл. 4.3).

Средняя оценка сезонной компоненты для j-ro Скорректированная сезонная компонента, Si Для данной модели имеем:

скорректированных значений сезонной компоненты ( Si = Si k ).

Проверка равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

Шаг 3. Исключается влияние сезонной компоненты, путем вычитания ее значения из каждого уровня исходного временного ряда. Получаются величины T + E = Y S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту (табл. 3.4).

Шаг 4. Определение компоненты T данной модели. Для этого проводится аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за четыре года.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I-й и II-й кварталы 2006 года.

Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда T = 671, 777 + 0, 9233 t.

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:

S1 = 292, 448 и S2 = 266, 781. Таким образом, То есть, в первые два квартала 2006 года следует ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние три года была построена аддитивная модель временного ряда.

Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приведены в табл. 4.5.

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

При расчете параметров тренда использовались фактические моменты времени ( t от 1 до 36 месяцев).

Требуется:

- определить значение сезонной компоненты за декабрь;

- на основе постоянной модели дать прогноз браков, заключенных в течение 1-го квартала следующего года.

Сумма значений сезонной компоненты внутри одного цикла должна быть равна 0 (в соответствии с методикой построения аддитивной модели временного ряда). Следовательно, значение сезонной компоненты за декабрь составит:

Прогнозное значение уровня временного ряда Ft в аддитивной модели есть сумма трендового значения Tt и соответствующего значения сезонной компоненты St.

Число браков, заключенных в 1-м квартале следующего года, есть сумма числа браков, заключенных в январе F37, феврале F38 и марте F Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, указанным в условии задачи yt = 2,5 + 0, 03 t :

Соответствующие значения сезонных компонент составят:

S1 = 1 (январь), S2 = 2 (февраль), S3 = 0,5 (март) Таким образом, Количество браков, заключенных в 1-м квартале следующего года, составит:

Динамика выпуска продукции Швеции характеризуется данными (млн дол.), приведенными в табл. 4.6.

1. Для определения параметров линейного тренда по методу наименьших квадратов используется статистическая функция ЛИНЕЙН, для определения экспоненциального тренда - ЛГРФПРИБЛ. В качестве зависимой переменной в данном примере выступает время (t=1,2,…,n). Приведем результаты вычисления функции ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ (рис. 3.1 и 3.2).

Запишем уравнение линейного и экспоненциального тренда, используя данные рис. 4.6 и 4.7:

Рис. 4.6. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН Рис. 4.7. Результат вычисления функции ЛГРФПРИБЛ 2. Построение графиков осуществляется с помощью Мастера диаграмм.

Порядок построения следующий:

1)введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2)активизируйте Мастер диаграмм любым из следующих способов:

а) в главном меню выберите Вставка/Диаграмма;

б) на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Мастер диаграмм;

3) в окне Тип выберите Точечная (рис. 4.8); вид графика выберите в поле рядом со списком типов. Щелкните по кнопке Далее;

Рис. 4.8. Диалоговое окно Мастера диаграмм: тип диаграммы Рис. 4.9. Диалоговое окно Мастера диаграмм: источник данных 4) заполните диапазон данных, как показано на рис. 4.9. Установите флажок размещения данных в столбцах (строках). Щелкните по кнопке Далее;

5) заполните параметры диаграммы на разных закладках (рис.4.10):

название диаграммы и осей, значение осей, линии сетки, параметры легенды, таблица и подписи данных. Щелкните по кнопке Далее;

6) укажите место размещения диаграммы на отдельном или имеющемся листе (рис. 4.11). Щелкните по кнопке Далее. Готовая диаграмма, отражающая динамику уровня изучаемого ряда, приведена на рис. 4.12.

Рис. 4.10. Диалоговое окно Мастера диаграмм: параметры Рис. 4.11. Диалоговое окно Мастера диаграмм: размещение В Excel линия тренда может быть добавлена в диаграмму с областями гистограммы или в график. Для этого:

1) выделите область построения диаграммы; в главном меню выберите Диаграмма/Добавить линию тренда;

2) в появившемся диалоговом окне (рис. 4.13) выберите вид линии тренда и задайте соответствующие параметры. Для полиномиального тренда необходимо задать степень аппроксимирующего полинома, для скользящего среднего — количество точек усреднения.

Рис. 4.13. Диалоговое окно типов линий тренда В качестве дополнительной информации на диаграмме молено отобразить уравнение регрессии и значение среднеквадратического отклонения, установив соответствующие флажки на закладке Параметры (рис. 4.14). Щелкните по кнопке ОК.

Рис. 4.14. Диалоговое окно параметров линии тренда - - На рис. 4.15 и 4.16 приведены линейный и экспоненциальный тренды, описывающие исходные данные задачи. Помимо этих можно использовать и другие способы выравнивания. Выбор линии тренда во многом обуславливается постановкой задачи и спецификацией модели. Надо заметить, что большое значение коэффициента R 2 не является основным критерием выбора лучшей модели. Это скорее следствие правильно специфицированной модели.

Во многих практически важных случаях текущее значение временного ряда можно представить в виде линейной функции от предыдущих значений.

Например, yt = a0 + a1 yt-1+ a2 yt-2 +… + ak yt-k + t. В этом случае говорят о линейных моделях временных рядов.

Анализ временных рядов проводят для:

1. прогнозирования. Например, для определения темпа инфляции на будущий квартал, при условии, что имеются данные за предыдущие периоды.оценки динамики последствий. Например, если центральный банк снизит в январе ставку рефинансирования, как это скажется на темпе инфляции в следующем месяце, через три месяца, через год? Или как будет меняться во времени спрос на табачные изделия, если в марте 2006 года увеличится акциз на сигареты?

Однако, эти задачи являются разными.

Для прогнозирования модель, построенная по историческим данным, используется лишь для краткосрочного прогнозирования и неверная спецификация модели, а именно, не включение существенных переменных, не представляет серьезной проблемы. Также не важно, что бы коэффициенты модели имели экономическую интерпретацию, при этом коэффициент детерминации R должен быть существенным.

К специализированным моделям прогнозирования, коэффициенты которых не имеют экономической интерпретации, относят: модели авторегрессии (AR), скользящего среднего (МА), модели распределенных лагов (ADL), условной гетероскедастичности (ARCH) и методы адаптивного прогнозирования.

Данные временных рядов часто подвергают предварительному преобразованию. Наиболее часто используют операции лага, разностей, логарифмирования.

Предыдущее значение ряда yt называют первым лагом: L(yt) = yt-1, m-ый лаг – это L (yt)= yt-m.

Первые разности Dyt=yt - yt-1 – это изменение значения временного ряда за период [t-1, t]. Иногда их сочетают с другими преобразованиями, например, вычисляют первые разности логарифмов Dln(yt)= ln(yt)- ln(yt-1).

Поясним экономический смысл такого преобразования.Рассмотрим следующий пример: денежная масса на 1 января 2000 года равнялась 4363, млрд.руб., на 1 апреля 2000 года 4474,6 млр.руб.

Рассчитаем темп прироста за первый квартал:

то есть за I квартал темп прироста составил 2,55%.

Логарифмическая аппроксимация дает 2,52%:

Таким образом, темп прироста временного ряда yt с момента t-1 по t приблизительно равен 100Dln(yt). Равенство тем точнее, чем меньше изменение временного ряда.

Корреляцию временного ряда с его собственными лаговыми значениями называют автокорреляцией или сериальной корреляцией.

Автокорреляция первого порядка определяется как:

где cov(Yt,Yt–1) – выборочная автоковариация первого порядка:

выборочная дисперсия:

Автокорреляция j-го порядка:

где выборочная автоковариация j-го порядка:

Выборочные автокорреляция и автоковариация вычисляются по значениям временного ряда.

Важный класс временных рядов представляют стационарные временные ряды.

Временной ряд называется строго стационарным, если совместное распределение (yt, yt+1, yt+2,…, yt+s) не зависит от t, иначе ряд называется нестационарным.

Иногда требования ослабляют: временной ряд называется стационарным (слабо стационарным), если он обладает постоянной средней и дисперсией, а ковариация зависит только от временного интервала между отдельными наблюдениями:

На интуитивном уровне стационарность означает, что поведения ряда в настоящем и будущем совпадает с его поведением в прошлом.

Глава 5. Система экономических уравнений  Сложные экономические процессы описываются с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений Система независимых уравнений - когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов x :

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов.

Система рекурсивных уравнений — когда зависимая переменная y одного уравнения выступает в виде факторах в другом уравнении:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов.

Система взаимосвязанных (совместных) уравнений — когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других - в правую.

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные (у) — взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы).

Экзогенные переменные (х) — независимые переменные, которые определяются вне системы.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других — как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия, социальное положение, пол, возрастная категория) входят в систему только как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Коэффициенты а и b при переменных — структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы — приведенная форма модели:

где — коэффициенты приведенной формы модели.

При переходе от приведенной формы модели к структурной возникает проблема идентификации.

Идентификация — это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

—идентифицируемые;

—неидентифицируемые;

—сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все ее структурные коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели, и модель идентифицируема.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Необходимое условие идентификации — выполнение счетного правила:

D + 1 = H — уравнение идентифицируемо;

D + 1 < H — уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > H — уравнение сверхидентифицируемо, где H — число эндогенных переменных в уравнении; D — число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен 0 и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный сверхидентифицированных — двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Косвенный метод наименьших квадратов применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. При этом предполагается выполнение следующих этапов работы:

1)составляют приведенную форму модели и определяют численный значения параметров каждого его уравнения обычным МНК;

2)путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, так как он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является ДМНК:

— составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого его уравнения обычным МНК;

— выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют косвенным МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

— обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Изучается модель вида где y — валовой национальный доход; y1 - валовой национальный доход предшествующего года; C — личное потребление; D — конечный спрос (помимо личного потребления).

Информация за девять лет о приростах всех показателей дана в табл.

5.1.

Для данной модели была получена система приведенных уравнений:

Требуется:

— провести идентификацию модели;

— рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.

В данной модели две эндогенные переменные y и C две экзогенные переменные D и y1. Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2 = 1 + 1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как на параметры при C и D наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у. Переменная C в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2 : D + 1 > H. Это больше, чем число эндогенных переменных в уравнении. Следовательно, система сверхидентифицирована.

Для определения параметров сверидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной C. Для этого в приведенное уравнение C = 8, 636 + 0,3384 D + 0, 2020 y1 подставим значения D и y1. Получим:

C1 = 15,8; C2 = 16,8; C3 = 7, 4; C4 = 14,3; C5 = 15, 0; C6 = 27, 4; C7 = 24, 0; C8 = 33, 2; C9 = 29, Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения C на теоретические C и рассчитываем новую переменную C + D (табл. 5.2).

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяем метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную C + D через Z. Решаем следующее уравнение: y = a1 + b1Z Система нормальных уравнений:

Первое уравнение структурной модели будет иметь следующий вид:

Закон распределения Стьюдента (t- распределение) Число степеней Уровень значимости свободы Распределение Пирсона (X2-распределение) Значения X2табл для вероятностей P(X2> X2табл) 4 7,779 9,488 11,143 11,668 13,277 14,860 18, 5 9,236 11,070 12,832 13,388 15,086 16,750 20, 6 10,645 12,592 14,449 15,033 16,812 18,548 22, 7 12,017 14,067 16,013 16,622 18,475 20,278 24, 8 13,362 15,507 17,535 18,168 20,090 21,955 26, 9 14,684 16,919 19,023 19,679 21,666 23,589 27, 10 15,987 18,307 20,483 21,161 23,209 25,188 29, 11 17,275 19,675 21,920 22,618 24,725 26,757 31, 12 18,549 21,026 23,337 24,054 26,217 28,300 32, 13 19,812 22,362 24,736 25,471 27,688 29,819 34, 14 21,064 23,685 26,119 26,873 29,141 31,319 36, 15 22,307 24,996 27,488 28,259 30,578 32,801 37, 16 23,542 26,296 28,845 29,633 32,000 34,267 39, 17 24,769 27,587 30,191 30,995 33,409 35,718 40, 18 25,989 28,869 31,526 32,346 34,805 37,156 42, 19 27,204 30,144 32,852 33,687 36,191 38,582 43, 20 28,412 31,410 34,170 35,020 37,566 39,997 45, 21 29,615 32,671 35,479 36,343 38,932 41,401 46, 22 30,813 33,924 36,781 37,659 40,289 42,796 48, 23 32,007 35,172 38,076 38,968 41,638 44,181 49, 24 33,196 36,415 39,364 40,270 42,980 45,558 51, 25 34,382 37,652 40,646 41,566 44,314 46,928 52, 26 35,563 38,885 41,923 42,856 45,642 48,290 54, 27 36,741 40,113 43,195 44,140 46,963 49,645 55, 28 37,916 41,337 44,461 45,419 48,278 50,994 56, 29 39,087 42,557 45,722 46,693 49,588 52,335 58, 30 40,256 43,773 46,979 47,962 50,892 53,672 59, 1. Какие бывают основные показатели описательной статистики?

2. Как можно оценить линейные взаимосвязи?

3. Что называется регрессией?

4. В чем заключается метод наименьших квадратов?

5. Как определяют качество построенной модели?

6. Что характеризует коэффициент детерминации?

7. Какие гипотезы проверяют при оценивании множественной регрессионной модели?

8. Когда применяют линеаризацию модели?

9. Как вычисляется и что характеризует коэффициент эластичности?

10. Когда строят модели с переменной структурой?

11. Какие переменные называют фиктивными, перекрестными фиктивными?

мультиколлинеарность?

13. Для чего применяют тест Чоу?

14. Когда используют тест проверки «длинной» и «короткой» регрессии?

гетероскедастичностью?

16. Как можно выявить гетероскедастичность?

17. В чем заключаются тесты Голдфелда-Квандта, Бреуша-Пагана и Вайта?

18. Как можно провести коррекцию на гетероскедастичность?

19. Что называют временным рядом?

20. Какие бывают компоненты временного ряда?

21. Что такое скорректированная сезонная компонента и для чего она применяется?

22. Что называют лагом?

23. Для чего вычисляют первые разности?

24. Что такое автокорреляция временного ряда?

25. Какой ряд называют стационарным?

26. Как описывают сложные экономические процессы?

27. Какая система уравнений называется рекурсивной?

28. Какая система уравнений называется независимой?

29. Какая система уравнений называется совместной?

30. Какие переменные называют эндогенными? Экзогенными?

31. Какие модели считаются идентифицируемыми, неидентифицируемыми, сверхидентифицируемыми?

32. В чем заключаются необходимое и достаточное условие идентифицируемости модели?

33. Какой метод применяют для решения идентифицируемого уравнения?

34. Что такое двухшаговый метод наименьших квадратов? В каком Задачи для самостоятельного решения  1-10. На основании данных о приросте курса акций за 10 месяцев и изменении валютного курса (%), приведенных в таблице в зависимости от варианта:

Изменение Курс акций у в зависимости от варианта курса х и предположения, что генеральное уравнение регрессии имеет вид у = 0+ 1х +, требуется:

а) Найти оценку и проверить на 5% уровне значимость уравнения регрессии, то есть гипотезу Н0:1=0;

б) Построить таблицу дисперсионного анализа для расчета F-критерия Фишера;

в) Найти коэффициент детерминации R2;

г) Найти интервальную оценку для прогноза при x=11;

д) построить прямую линейной регрессии на диаграмме рассеивания.

11. По 30 наблюдениям проведено исследование зависимости результативного признака У производительности труда от объясняющих факторов: Х1 – фондовооруженности и Х2 – объема заработной платы.

Построено уравнение регрессии: у=23,55+7,14х1-0,58х2 и найдены значения Sb0=2,58, Sb1=7,85, Sb2=0,74. Можно ли утверждать на уровне значимости 0,05, что х1 и х2 оказывают влияние на У?

12. Построить регрессионную модель зависимости данных об объеме продаж У в зависимости от:

Х1 – результат теста способностей к продаже;

Х2 – возраст;

Х3 – результат теста тревожности;

Х4 – опыт работы;

Х5 – средний балл школьного аттестата.

А) Постройте уравнение регрессии для составления способности кандидата стать хорошим продавцом.

Б) Сформулируйте выводы по полученному уравнению.

В) Оцените значимость уравнения регрессии и каждого коэффициента.

Д) спрогнозируйте результат объема продаж продавца без опыта работы, возрастом 22 года, имеющего средний балл аттестата 3,5 и с результатом теста тревожности 50.

Г) определите наилучшее уравнение для прогноза.

13. Постойте модель для прогноза годового объема продаж автомобилей в регионе по данным таблицы.

Сформулируйте выводы по полученной модели. Проверьте значимость модели и полученных оценок коэффициентов регрессии.

Спрогнозируйте годовой объем продаж для 12 региона с 2500 пунктами обслуживания и 20,2 млн зарегистрированных автомобилей.

14. По результатам двух предварительных экзаменов Х1 и Х2, среднего значения текущих оценок Х3 и результата окончательного экзамена У для студентов, получена следующая таблица.

Определите:

А) уравнение регрессии для прогноза окончательного экзамена на основе оценок двух предварительных экзаменов и текущего среднего балла.

Является ли регрессия значимой. Поясните ответ.

Б) спрогнозируйте результат окончательного экзамена для студента с предварительными оценками 86 и 77 и средним баллом 3,4.

В) найдите наилучшую модель методом пошаговой регрессии. Сравните полученную регрессию. На основании F-критерия обоснуйте выбор модели 15. Приведена информация о 25 уже существующих горнолыжных лагерях в штате Вашингтон. Анализировались следующие переменные.

У — стоимость одного дня пребывания в лагере;

Х1 — общая площадь лагеря в акрах;

Х2 — количество жилых помещений;

Х3 — наличие смывных туалетов;

X4 — наличие плавательного бассейна;

X5 — наличие канатных подъемников;

X6 — количество дополнительных мест развлечения.

Построить уравнение регрессии зависимости стоимости проведенного дня.

Построить уравнение регрессии, проверить его значимость и значимость каждого коэффициента. Сделать выводы по полученным коэффициентам.

16. На основе помесячных данных о потреблении электроэнергии за последние три года была построена аддитивная модель временного ряда Месяц Скорректированные Месяц Скорректированные Уравнение тренда выглядит следующим образом: yt = 300 + 1,5t. При расчете параметров тренда использовались фактические моменты времени (t от 1 до 36 месяцев).

а) определить значение сезонной компоненты за декабрь;

б) дать точечный прогноз ожидаемого потребления электроэнергии в течение первого квартала следующего года.

17. Имеются помесячные данные о темпах роста заработной платы за месяцев 2000 г. в процентах к уровню декабря 1999 г.

Месяц Темпы роста номинальной месячной заработной платы Требуется подобрать линию тренда и определить его параметры.

макроэкономическое равновесие, зависимость объема производства и уровня занятости от размеров совокупного спроса, при условии, что отсутствует изменение заработной платы и цен, представлена следующими уравнениями:

Ct = a1 + b11 yt + b12 yt 1 - функция потребления;

I t = a2 + b21 yt - функция инвестиций;

Yt = Ct + I t + Gt тождество доходов, где С — потребление; Y — ВВП; I — валовые инвестиции; G — государственные расходы; t — текущий период; t—1 — предыдущий период.

Требуется:

а) применив необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое из уравнений;

б) определить метод оценки параметров модели;

в) записать приведенную форму модели.

19. Модель спроса и предложения на деньги имеет вид:

где R — процентные ставки в период t; Y — ВВП в период t; M — денежная масса в период t.

Требуется:

а) применив необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое из уравнений;

б) определить метод оценки параметров модели;

в) записать приведенную форму модели.

20. Макроэкономическая модель (упрощенная модель Клейна):

где С — потребление; I — инвестиции; Y — доход; T — налоги; K — запас капитала; t - текущий период; t-1- предыдущий период.

Требуется:

а) применив необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое из уравнений;

б) определить метод оценки параметров модели;

в) записать приведенную форму модели.

21. Укажите интерпретацию коэффициентов регрессии для следующих моделей:

Логарифмическая Полулогарифмическая 22. По 20 наблюдениям получены следующие коэффициенты регрессии.

Заполните пропущенные ячейки таблицы. Проверьте значимость коэффициентов регрессии на 5% уровне значимости. Укажите границы 95% доверительного интервала для коэффициентов регрессии.

23. Заполните пропущенные ячейки таблицы. Проверьте значимость уравнения регрессии на 5% уровне значимости. Найдите значения коэффициента детерминации R2.

24. По 10 парам наблюдений получены следующие результаты xi=50 yi =100 xi2=550 xiyi = Определите коэффициенты уравнения парной регрессии b0 ,b1.

Проверьте гипотезу о значимости коэффициентов регрессии По 20 наблюдениям построено уравнение регрессии 25. По 15 наблюдениям оценена функция Кобба-Дугласа в логарифмической форме Дайте интерпретацию коэффициентов регрессии. Проверьте гипотезу о значимости коэффициентов.

26. Установите соответствие между понятиями и определениями переменная, используемая в Фиктивная переменная регрессии вместо трудноизмеримой, но важной переменной необходимая по экономическим Лаговая переменная причинам, но отсутствующая в модели переменная, принимающая в Отсутствующая переменная каждом наблюдении только два значения: 1 – «да», 0- «нет»

значение переменной в Замещающая переменная предшествующий момент времени, используемое как объясняющая переменная 27. Установите соответствие между понятиями и определениями явление, когда существует строгая Мультиколлинеарность линейная зависимость между объясняющими переменными существует нестрогая линейная Гетероскедастичность зависимость между объясняющими переменными непостоянство дисперсии Автокорреляция случайного члена зависимость между случайными Полная коллинеарность членами для различных наблюдений 1. Какие из указанных уравнений соответствуют модели линейной регрессии:

2. Какие из указанных уравнений поддаются непосредственной линеаризации:

а) y=AKaLb;

б) y=AKaLb+;

3. Каково среднее значение остатков модели?

а) равно значению оценки дисперсии регрессии;

б) равно нулю.

4. Значение t-статистики коэффициента, не превышающее критическое значение свидетельствует об:

а) неправильном вычислении коэффициента;

б) незначимости коэффициента в модели;

в) гетероскедастичности в модели.

5. Мультиколлинеарность - это:

а) явление, когда существует строгая линейная зависимость между объясняющими переменными;

б) нестрогая линейная зависимость между объясняющими переменными;

в) непостоянство дисперсии случайного члена;

г) зависимость между случайными членами для различных наблюдений.

6. Гетероскедастичность - это:

а) явление, когда существует строгая линейная зависимость между объясняющими переменными;

б) нестрогая линейная зависимость между объясняющими переменными;

в) непостоянство дисперсии случайного члена;

г) зависимость между случайными членами для различных наблюдений.

7. Автокорреляция - это:

а) явление, когда существует строгая линейная зависимость между объясняющими переменными;

б) нестрогая линейная зависимость между объясняющими переменными;

в) непостоянство дисперсии случайного члена;

г) зависимость между случайными членами для различных наблюдений.

8. Полная коллинеарность - это:

а) явление, когда существует строгая линейная зависимость между объясняющими переменными;

б) нестрогая линейная зависимость между объясняющими переменными;

в) непостоянство дисперсии случайного члена;

г) зависимость между случайными членами для различных наблюдений.

9. Фиктивная переменная - это:

а) переменная, используемая в регрессии вместо трудноизмеримой, но важной переменной;

б) необходимая по экономическим причинам, но отсутствующая в модели;

в) переменная, принимающая в каждом наблюдении только два значения: 1 – «да», 0- «нет»;

г) значение переменной в предшествующий момент времени, используемое как объясняющая переменная.

10. Замещающая переменная - это:

а) переменная, используемая в регрессии вместо трудноизмеримой, но важной переменной;

б) необходимая по экономическим причинам, но отсутствующая в модели;

в) переменная, принимающая в каждом наблюдении только два значения: 1 – «да», 0- «нет»;

г) значение переменной в предшествующий момент времени, используемое как объясняющая переменная.

11. Лаговая переменная - это:

а) переменная, используемая в регрессии вместо трудноизмеримой, но важной переменной;

б) необходимая по экономическим причинам, но отсутствующая в модели;

в) переменная, принимающая в каждом наблюдении только два значения: 1 – «да», 0- «нет»;

г) значение переменной в предшествующий момент времени, используемое как объясняющая переменная.

12. Отсутствующая переменная - это:

а) переменная, используемая в регрессии вместо трудноизмеримой, но важной переменной;

б) необходимая по экономическим причинам, но отсутствующая в модели;

в) переменная, принимающая в каждом наблюдении только два значения: 1 – «да», 0- «нет»;

г) значение переменной в предшествующий момент времени, используемое как объясняющая переменная.

13. Известны ли исследователю заранее величины дисперсий случайной величины в каждом наблюдении?

14. Гетероскедастичность - это:

а) неверная формулировка модели;

б) модель без свободного члена;

в) нарушение условия нормальности случайного члена;

г) нарушение одинаковой распределенности случайного члена.

15. Важно ли знать вид зависимости i от для исправления гетероскедастичности?

16. Коррелированы ли случайные члены при гомоскедастичности?

17. Если удвоить значения случайного члена, то функция распределения коэффициента при объясняющей переменной а) будет более пологой;

б) будет менее пологой.

18. Каким из способов можно обнаружить гетероскедастичность:

а) построение диаграммы рассеяния;

б) МНК-оценка параметров;

в) тест Голдфелда-Квандта;

г) тест Бреуша-Пагана.

19. Какая гипотеза в тестах Уайта, Голдфелда-Квандта и Бреуша-Погана принимается за нулевую?

а) гипотеза об автокорреляции случайного члена;

б) гипотеза о значимости коэффициентов регрессии;

в) гипотеза о нормальном законе распределения случайного члена;

г) гипотеза о гомоскедастичности;

д) гипотеза о гетероскедастичности.

20. Если при проведении серии экспериментов вы получаете близкие оценки параметров модели, то будете ли вы доверять такой оценке:

21. Допустим, исследователь посчитал незначимой переменную, которая на самом деле оказывает влияние на зависимую переменную. Как это повлияет на коэффициент детерминации R2:

а) R2 уменьшится;

б) R2 увеличится;

в) не повлияет.

22. Гетероскедастичность означает:

а) "одинаковый разброс";

б) "неодинаковый разброс";

в) "разное среднее значение".

23. Оценка гетероскедастичной модели МНК-методом является:

а) эффективной;

б) неэффективной.

24. Известно, что в модели yi = + xi + i дисперсия ошибки линейно зависят от некоторой величины zi. Какая из записей будет верной: