«Н. И. Чернова Теория вероятностей Учебное пособие Новосибирск 2007 УДК 519.21 ББК В17я73-2 Ч493 Чернова Н. И. Теория вероятностей: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007. 160 с. ISBN 978-5-94356-506-9 ...»

85. Дать определение математического ожидания для дискретного распределения. Когда существует математическое ожидание случайной величины с дискретным распределением?

86. Дать определение математического ожидания для абсолютно непрерывного распределения. Когда существует математическое ожидание случайной величины с абсолютно непрерывным распределением?

87. Одинаковы ли математические ожидания у двух разных случайных величин с одним и тем же распределением?

88. Какой физический смысл имеет математическое ожидание?

89. Всегда ли математическое ожидание существует?

90. Привести пример распределения, математическое ожидание которого не существует.

91. Привести пример распределения случайной величины с математическим ожиданием 3.

92. Перечислить математические ожидания и дисперсии всех основных распределений.

93. Пользуясь свойствами математического ожидания, вычислить 94. Всегда ли математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий?

95. Всегда ли математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий?

96. Как вычислять второй момент для показательного распределения, четвёртый?

97. Записать формулу для вычисления E(2 e ), если Bn,p.

98. Записать формулу для вычисления E(2 cos ), если.

99. Записать формулу для вычисления E e для E.= 100. Записать формулу для вычисления E для E. = 101. Известно, что P( (5, 5)) = 1. Что можно сказать про E ?

102. Когда возможно равенство E || = 0 ? Почему?

103. Сформулировать неравенство Йенсена.

104. Сравнить E (e ) и eE, E ln и ln(E ).

105. Дать определение и привести основные свойства дисперсии.

106. Как изменится дисперсия при изменении случайной величины вдвое?

107. Можно ли привести пример распределения с дисперсией 1?

108. Что можно сказать про случайную величину, если D = 0?

109. Всегда ли дисперсия суммы равна сумме дисперсий?

110. Пусть. Чему равна дисперсия D(2 3) ?

111. Найти DSn, где Sn = 1 +... + n — сумма независимых и одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией 2.

112. Пусть 1, 2 E независимы. Вычислить D(1 2 ).

113. Сравнить E2 и (E)2. Когда эти величины сопадают?

114. Чему равна D(4 3) для произвольных случайных величин и с конечными вторыми моментами?

115. Пусть 1, 2, 3 N0,1 независимы. Сравнить D(1 + 2 + 3 ) и D(31 ).

116. Записать определение и свойства коэффициента корреляции.

117. Если = 2, чему равен их коэффициент корреляции?

118. Что можно сказать про случайные величины, если их коэффициент корреляции равен 1?

119. Если обе случайные величины увеличить вдвое, как изменится их коэффициент корреляции?

120. Если обе случайные величины увеличить на два, как изменится

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

их коэффициент корреляции?

121. Чему равен коэффициент корреляции независимых случайных величин? Может ли коэффициент корреляции двух зависимых случайных величин равняться нулю?

122. Для того чтобы D( + ) = D + D, необходимо и достаточно, чтобы и были независимы или некоррелированы? Обосновать.

1. Сформулировать определение сходимости «почти наверное».

2. Сформулировать определение сходимости по вероятности.

3. Дать определение предела числовой последовательности.

4. Привести пример сходящейся по вероятности последовательности.

5. Сходится ли по вероятности сходящаяся числовая последовательность? Сходится ли она почти наверное?

6. Известно, что P(|n | 0, 001) 0 при n. Верно ли, что тогда n ?

7. Куда сходится по вероятности последовательность n B1 1 ?

8. Какими свойствами обладает сходимость по вероятности?

9. Какая из сходимостей сильнее: почти наверное или по вероятности?

10. Пусть E || = 1. Оценить с помощью неравенства Маркова вероятность P(|| > 3).

11. Сформулировать неравенства Маркова и Чебышёва.

12. Какие вероятности позволяет оценивать неравенство Чебышёва?

13. Как по неравенству Чебышёва оценить вероятность P(| E | < x), если x > 0 и D существует? Будет ли это оценка сверху или снизу?

14. Чем можно оценить вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии, более чем на четыре, на пять?

15. Что означают слова «последовательность удовлетворяет ЗБЧ»?

16. Каков смысл закона больших чисел?

17. Куда сходятся средние арифметические независимых и одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией?

18. Как себя ведёт отношение числа успехов в схеме Бернулли к числу испытаний с ростом последнего?

19. Можно ли при каком-нибудь большом числе бросаний правильной монеты гарантировать, что частота выпадения орла отклонится от 0, не более чем на 0,05?

20. Сформулировать ЗБЧ в формах Чебышёва, Маркова, Хинчина.

21. Пусть 1, 2,... — независимые и одинаково распределённые случайные величины. При каком условии существует и чему равен предел 22. Сформулировать усиленный ЗБЧ Колмогорова.

23. Может ли последовательность зависимых случайных величин удовлетворять ЗБЧ? Привести пример.

24. Может ли последовательность разнораспределённых случайных величин удовлетворять ЗБЧ? Привести пример.

25. Определение слабой сходимости.

26. Расшифровать по определению запись n 0.

27. Доказать по определению, что последовательность n = слабо сходится к нулю.

28. Доказать по определению, что последовательность n = слабо сходится к нулю.

29. Как связаны слабая сходимость и сходимость по вероятности?

30. Сформулировать теорему о двойном пределе.

31. Перечислить свойства слабой сходимости.

32. Сформулировать ЦПТ.

33. К какому распределению в условиях ЦПТ приближается распреS E Sn деление случайной величины n при n ?

34. Чему равно математическое ожидание и дисперсия случайной 35. В условиях ЦПТ как себя ведут при n p (0, 1) 0 n, K N Основные абсолютно непрерывные распределения Название, параметры Показательное Na, 2, Гамма,,

ПРИЛОЖЕНИЕ

Функция распределения стандартного нормального закона При x > 0 значения 0, 1 (x) находят по такому правилу:

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

распределение, совместное распределение, 77 Гамма-распределение, Бернулли закон больших чисел, распределение, схема, формула, Берри — Эссеена неравенство, Биномиальное распределение, 44, 57 Дискретное пространство элементарных математическое ожидание, 96 Дискретное распределение, характеристическая функция, 129 Дисперсия, функция, Вероятностная мера, Вероятностное пространство, Вероятность апостериорная, априорная, геометрическая, классическая, условная, Вложенные шары, Выбор без возвращения, 10, без учёта порядка, 10– с возвращением, 10– с учётом порядка, 10, Вырожденное распределение, о рассеянной секретарше, 36 нормированная, Закон больших чисел, усиленный, Хинчина, 119, Чебышёва, Измеримая функция, Индикатор события, Интеграл Пуассона, Квантиль распределения, 100 факториальный, Квантильное преобразование, 74 Монотонность вероятности, Классическая вероятность, 21 Муавра — Лапласа теорема, Ковариация, Коши распределение, Коэффициент асимметрии, эксцесса, Коэффициент корреляции, свойства, абсолютно непрерывного распределе- попарная, дискретного распределения, 89 Непрерывность меры, гипергеометрического, 108 Несовместные события, стандартного нормального, суммы, Медиана распределения,

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

совместного распределения, 77 свойства, Показательное распределение, 60 характеристическая функция, Полиномиальное распределение, 46 Пуассона, 47, Попарно несовместные события, 18 характеристическая функция, Правило трёх сигм, 70 показательное (экспоненциальное), Пространство элементарных исходов, 14 полиномиальное, Равномерное распределение, дисперсия, математическое ожидание, Размещение, Распределение, Бернулли, моменты, характеристическая функция, биномиальное, 44, моменты, характеристическая функция, абсолютно непрерывное, 77 отсутствия последействия моменты, характеристическая функция, 130 Симпсона распределение, геометрическое, 44, 58 Сингулярное распределение, гипергеометрическое, 22, 58 Случайные величины маргинальное, или частное, 76 некоррелированные, многомерное нормальное, 79 отрицательно коррелированные, положительно коррелированные, 106 умножения вероятностей, Смешанное распределение, Событие, 14, 27, достоверное, попарно несовместные, Сочетание, Среднее значение, Среднеквадратическое отклонение, Стандартное нормальное распределение, дисперсия, математическое ожидание, характеристическая функция, Схема Бернулли, Сходимость моментов, по вероятности, свойства, по распределению, почти наверное, слабая, свойства, Счётная аддитивность вероятности, совместного распределения, 76 размещений, Лебега, Леви, Муавра — Лапласа, о вложенных шарах, о двойном пределе, о непрерывном соответствии, о перемножении шансов, Пуассона,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 406 с.

Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986. 432 с.

Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Инфра-М, 1997. 302 c.

Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. М.: Гардарика, 1998. 328 с.

Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика.

М.: Физматлит, 2002. 496 с.

Коршунов Д. А., Фосс С. Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей. Новосибирск: НГУ, 2003. 119 с.

Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.: Высш. шк., 2000. 366 с.

Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высш. образование, 2006. 404 с.

Чернова Наталья Исааковна

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подписано в печать 10.05.2007 г.

Формат 60 84 1 /16. Офсетная печать.

Уч.-изд. л. 10. Усл. печ. л. 9,3. Тираж 200 экз.

Редакционно-издательский центр НГУ.

630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.