«А.А. Васильев ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КРАТКИЙ КУРС И ПРАКТИКУМ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ФЕДЕРАЛЬНОМУ ИНТЕРНЕТ-ЭКЗАМЕНУ В СФЕРЕ ...»

Согласно этой модели, подготовка отдельного студента оценивается по каждой ДЕ путём сравнения количества правильно выполненных заданий с критерием освоения. Подготовка студента считается соответствующей требования стандарта, если он освоил все контролируемые ДЕ ГОС.

Показателем освоения дисциплины студентами основной образовательной программы (учебной группы или курса специальности (направления)) установлен процент студентов, освоивших все ДЕ контролируемой дисциплины. В качестве критериальной оценки показателя освоения дисциплины установлено значение в 50%.

Структура формирования критерия освоения ГОС по дисциплине представлена в табл. 1.

Структура формирования критерия освоения ГОС по дисциплине Объект оценки Показатель освоения ГОС Модель критерия освоения ГОС Основная Доля студентов, освоивших все 50% студентов, освоивших все образовательная

ДЕ ГОС ДЕ ГОС

программа 9. ФЭПО проводится таким образом, что студенты одной специальности разных вузов по всей стране оцениваются с использованием компьютерных технологий по одним и тем же АПИМ примерно в одно и то же время.

10. ФЭПО проводится Росаккредагентством в режимах on-line и off-line.

В режиме on-line студенты выполняют задания АПИМ в специально разработанной программной оболочке ТестЭкзаменатор в среде Интернета в одно и то же время. Результаты выполнения экзаменационного АПИМ каждым студентом оцениваются двумя показателями: процентом правильно выполненных заданий и процентом освоенных ДЕ. Данные показатели формируются в режиме on-line по окончанию экзамена группы в виде рейтинг-листа.

В режиме off-line в вуз по электронной почте высылается банк заданий и программная оболочка ТестЭкзаменатор. В этом случае студенты также выполняют задания за компьютером, но результаты получают на следующий день после отсылки результатов для проверки в Росаккредагентство.

ТвГУ принимает участие в ФЭПО в режиме off-line.

11. ФЭПО как вид проверки остаточных знаний студентов по циклу общих гуманитарных и социально-экономических дисциплин и по циклу общих математических и естественнонаучных дисциплин рекомендован вузам Федеральной службой по надзору в сфере образования и науки при проведении самообследования.

12. Результаты ФЭПО могут быть использованы вузом в отчете по самообследованию, а также при проведении мониторинга качества подготовки студентов во внутривузовских системах менеджмента качества.

13. При регулярном участии вуза в ФЭПО (не менее чем по трем дисциплинам каждого цикла) результаты тестирования могут быть зачтены в качестве официальных при комплексной оценке вуза.

Проверка остаточных знаний у студентов экономических специальностей (в частности у студентов специальности 080103 “Национальная экономика”) по дисциплине “Математика” в рамках ФЭПО имеет ряд особенностей и проблем. К ним относятся:

1) АПИМ Интернет-экзамена по математике предназначены для проверки остаточных знаний студентов по всем ДЕ дисциплины (включающим для студентов специальности “Национальная экономика” линейную алгебру, математический анализ, теорию вероятностей, математическую статистику, экономико-математические методы и экономико-математические модели);

2) изучение дисциплины происходит, как правило, в течение первых четырех семестров, поэтому участие в Интернет-экзамене возможно только в конце 4-о семестра перед экзаменом или в 5-м или 6-м семестрах;

3) невозможность использовать Интернет-экзамен (при участии в нем в конце семестра) в качестве экзамена за последний 4-й семестр изучения, так как, во-первых, Росаккредагентство по каждому студенту предоставляет только информацию о проценте освоенных ДЕ по всей дисциплине и об освоении (или не освоении) каждой ДЕ (без указания количества правильно выполненных заданий по ней), во-вторых, в соответствии с моделью оценки выполнения требований ГОС освоение всех ДЕ Интернетэкзамена соответствует освоению дисциплины на оценку “удовлетворительно”;

4) слабые остаточные знания у ряда студентов по линейной алгебре и математическому анализу, так как с момента окончания изучения этих разделов в 1-м и 2-м семестрах прошли полтора года и год соответственно;

5) необходимость самостоятельной подготовки к Интернет-экзамену для восстановления утраченных знаний и навыков;

6) отсутствие запланированного времени на самостоятельную подготовку к Интернет-экзамену и на консультации у преподавателей в рабочих учебных планах специальностей;

7) сложности в организации консультаций преподавателей разных разделов математики (разные разделы, как правило, ведут в разных семестрах разные преподаватели) в конце 4-о семестра.

Решение перечисленных проблем, в той или иной мере, возможно путем организации интенсивной самостоятельной работы студентов непосредственно перед ФЭПО по математике на основе предоставления им кратких руководств по решению типовых задач АПИМ по данной дисциплине и организации выполнения репетиционного тестирования.

В настоящее время студенты экономического факультета для самостоятельной подготовки к Интернет-экзамену по математике по разделам “Линейная алгебра” и “Математический анализ” могут использовать учебное пособие [5].

Настоящее учебное пособие предназначено для самостоятельной подготовки студентов специальности “Национальная экономика” к Интернет-экзамену по математике (по дидактическим единицам “Теория вероятностей”, ‘Математическая статистика”, “Экономико-математические методы” и “Экономико-математические модели”).

Оно содержит тематическую структуру и типовые задачи АПИМ по математике в части дидактических единиц перечисленных разделов, решение всех типовых задач с приведением необходимых теоретических сведений, тесты для самостоятельного решения и ответы на них, а также необходимые сведения для выполнения репетиционного тестирования.

Краткие теоретические сведения приведены перед выполнением каждого типового задания. При этом их объем значительно превышает объем сведений, необходимых для выполнения конкретного типового задания. Это связано с постоянным совершенствованием АПИМ и появлением в них заданий нового типа. Для удобства использования теоретического материала при подготовке к Интернет-экзамену теоретические сведения, непосредственно относящиеся к выполнению конкретного задания, помещены в прямоугольные рамки.

Данное пособие не следует рассматривать как полноценное учебное пособие по теории вероятностей, математической статистике, экономико-математическим методам и экономико-математическим моделям. Оно предназначено исключительно для подготовки к Федеральному Интернет-экзамену по математике и содержит только минимальный объем сведений, позволяющий получить, в лучшем случае, зачет или оценку “удовлетворительно” на экзамене. Ссылки на литературу, позволяющую изучить соответствующие разделы математики в полном объеме, приведены перед типовыми заданиями по каждой дидактической единице.

Типовые задания по математической статистике рассмотрены не в порядке возрастания их номеров в демонстрационном варианте АПИМ, а в логическом порядке их изучения в математической статистике.

Для быстрого поиска необходимых теоретических сведений пособие снабжено тематическим указателем.

Пособие может быть также полезно студентам других экономических специальностей и направлений, а также преподавателям математики у них.

ТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АТТЕСТАЦИОННЫХ

ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПО

ДИСЦИПЛИНЕ “МАТЕМАТИКА” (ПО ДИДАКТИЧЕСКИМ

ЕДИНИЦАМ “ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ”, “МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА”, “ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ” И

“ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ”)

Тематическая структура АПИМ по математике (по дидактическим единицам “Теория вероятностей”, “Математическая статистика”, “Экономико-математические методы” и “Экономико-математические модели”) ФЭПО в 2008 г. для студентов специальности 080103 “Национальная экономика” [6] приведена в табл. 2.

Тематическая структура АПИМ по математике

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Типовые задания демонстрационного варианта АПИМ по математике Интернетэкзамена в 2008 г. для студентов специальности 080103 “Национальная экономика” приведены в [6]. Демонстрационный вариант содержит 32 задания, из них 8 заданий по линейной алгебре, 8 – по математическому анализу, 4 – по теории вероятностей, 4 по математической статистике, 4 – по экономико-математическим методам, 4 – по экономико-математическим моделям.

Теория вероятностей – математическая наука, предназначенная для разработки и исследования свойств математических моделей, имитирующих механизмы функционирования реальных явлений или систем, условия существования которых включают в себя неизбежность влияния большого числа случайных (то есть не поддающихся строгому учету и контролю) факторов.

Для самостоятельного изучения теории вероятностей студентами экономических специальностей можно рекомендовать любой учебник (учебное пособие) из [7-12].

2.1.1. Задание № 17 по теме “Теория вероятностей: основные понятия” Вероятность достоверного события равна … Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме Опыт (эксперимент, испытание) – некоторая воспроизводимая совокупность условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

Стохастический опыт (опыт со случайным исходом) – опыт, результат которого нельзя предугадать заранее и он изменяется при повторении опыта.

Событие – исход или результат стохастического опыта.

Наблюдаемые в опытах события делятся на достоверные, невозможные и случайные. Достоверным событием называется событие, которое должно обязательно произойти в результате данного опыта. Невозможным событием называется событие, которое в данном опыте вообще не может произойти. Случайным событием называется событие, которое в результате данного опыта может произойти, а может и не произойти.

Вероятность события – число, являющееся мерой объективной возможности появления (наступления) события.

Исторически сложились три способа вычисления вероятностей случайных событий:

1) непосредственный подсчет вероятностей событий на основе классического определения вероятности события;

2) с использованием понятия геометрической вероятности события;

3) с использованием понятия статистической вероятности события.

К основным вспомогательным понятиям при непосредственном подсчете вероятностей событий относятся следующие понятия:

1) полная группа событий – группа событий в одном стохастическом опыте, хотя бы одно из которых неизбежно должно появиться в результате этого опыта;

2) несовместные события – события, появление одного из которых исключает появление других событий в данном стохастическом опыте;

3) совместные события – события, появление одного из которых не исключает появления в данном стохастическом опыте других событий;

4) равновозможные события – события в данном стохастическом опыте, ни одно из которых не является объективно более возможным, чем другое;

5) противоположные (взаимно дополнительные) события – два события A и A (читается “не A ”), непоявление одного из которых в результате данного стохастического опыта влечет появление другого.

Классическое определение вероятности события формулируется следующим образом. Вероятностью P ( A ) события A называется отношение числа благоприятных этому событию исходов m ( A ) к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов опыта n, образующих полную группу, то есть Элементарным исходом называется каждый из возможных результатов опыта.

Те элементарные исходы, в которых интересующее событие наступает, называются благоприятными этому событию.

Из классического определения вероятности события вытекают три ее свойства:

1) вероятность достоверного события равна единице;

2) вероятность невозможного события равна нулю;

3) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей, то Следовательно, вероятность любого события удовлетворят неравенству 0 P ( A ) 1.

Геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей появлению этого события, к мере всей области, то есть где mes - обозначение меры (длины, площади, объема) области;

mes g - мера области, благоприятствующей появлению события A ;

Статистической вероятностью P ( A ) события A называется относительная частота (частость) появления этого события w ( A ) в проведенных испытаниях, то есть где n - общее число проведенных испытаний;

m - число испытаний, в которых событие A появилось.

Свойства геометрической вероятности и статистической вероятности аналогичны свойствам вероятности, вытекающим из ее классического определения.

В соответствии с 1-м свойством вероятности события вероятность достоверного события равна единице.

Номер варианта ответа: 4.

2.1.2. Задание № 18 по теме “Теоремы сложения и умножения В урне лежит 3 белых и 2 черных шара. Последовательно, без возвращения и наудачу извлекают 3 шара. Тогда вероятность того, что первый и второй шары белые, а третий шар черный, равна … Требуется выбрать один вариант ответа.

Суммой A + B двух событий называется событие, состоящее в появлении или события A, или события B, или обоих этих событий. Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теоремы сложения вероятностей:

1) вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий, то есть P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) ;

2) вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных собыn n тий равна сумме вероятностей этих событий, то есть P A i = P ( A i ) ;

3) сумма вероятностей событий A1, A 2, …, A n, образующих полную группу, равна единице, то есть 4) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, то есть 5) вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, то есть P( A + B) = P( A )+ P(B) P( AB).

Произведением двух событий A и B называется событие A B, состоящее в совместном появлении этих событий. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Условной вероятностью P A ( B ) называется вероятность события B, вычисленная в предположении, что событие A уже наступило. Она вычисляется по формуле Общая формулировка теоремы умножения вероятностей. Вероятность совместного появления нескольких событий A1, A 2, …, A n равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились, то есть где P A1 A 2... A n 1 ( A n ) - вероятность события A n, вычисленная в предположении, что события A1, A 2, …, A n 1 уже появились.

В частности, вероятность совместного появления трех событий A1, A 2 и A равна Событие B называется независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности появления события B, то есть если условная вероятность события B равна его безусловной вероятности: P A ( B ) = P ( B ).

Теорема умножения вероятностей для двух независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, то есть P ( A B ) = P ( A ) P ( B ).

Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое из этих событий и все возможные произведения остальных.

Теорема умножения вероятностей для нескольких событий, независимых в совокупности. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий, то есть Теорема о вычислении вероятности появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности. Вероятность P ( A ) появления хотя бы одного из событий A1, A 2, …, A n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных им событий, то есть где P ( A 1 ) = 1 P ( A1 ), P ( A 2 ) = 1 P ( A 2 ), …, P ( A n ) = 1 P ( A n ) - вероятности событий, противоположных событиям A1, A 2, …, A n, соответственно.

Событие A, состоящее в последовательном извлечении первого белого шара, второго белого шара и третьего черного шара можно представить как последовательность следующих трех зависимых событий:

A1 – извлечение первого белого шара;

A 2 – извлечение второго белого шара;

A 3 – извлечение третьего черного шара.

Тогда событие A равносильно совместному появлению событий A1, A 2 и A 3, то есть событию A1 A 2 A 3.

В соответствии с классическим определением вероятности события (общее число всех возможных исходов опыта по извлечению одного шара из урны n равно 5 (3 белых + 2 черных шара), а число исходов, благоприятных появлению белого шара m ( A1 ) равно 3);

вии, что первый извлеченный шар был белым (общее число всех возможных исходов опыта по извлечению одного шара из урны n 2 уменьшилось на 1 и стало равно 4 (2 белых + 2 черных шара), а число исходов, благоприятных появлению белого шара m ( A 2 ) также уменьшилось на 1 и стало равно 2);

условии, что первый извлеченный шар был белым и второй извлеченный шар был белым (общее число всех возможных исходов опыта по извлечению одного шара из урны n 3 уменьшилось еще на 1 и стало равно 3 (1 белый + 2 черных шара), а число исходов, благоприятных появлению черного шара m ( A 3 ) равно 2).

Тогда в соответствии с общей формулировкой теоремы умножения вероятностей, получим Номер варианта ответа: 1.

Вероятность появления события A в 10 независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, равна 0,8. Тогда дисперсия числа появлений этого события равна … Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме На практике встречаются задачи, в которых один и тот же опыт многократно повторяется в сходных условиях. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие A. Требуется найти вероятность числа k наступлений данного события в n опытах (испытаниях).

Данная задача решается просто в случае, когда испытания являются независимыми. Независимыми испытаниями относительно события A называется последовательность испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события A не зависит от исходов других испытаний.

Схемой Бернулли называется простейший тип последовательности независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с одной и той же вероятностью p и эта вероятность остается одной и той же, независимо от результатов предшествующих или последующих испытаний.

Вероятность P n ( k ) того, что событие A наступит k раз в n испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, вычисляется по формуле Бернулли вида где q = 1 p - вероятность непоявления события A в каждом отдельном испытании.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принять только одно возможное значение, неизвестное до опыта и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретная случайная величина – случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга, значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным, но счетным.

Закон распределения вероятностей случайной величины – любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения вероятностей случайной величины может быть задан: 1) в виде формулы (аналитически); 2) в виде таблицы; 3) в виде графика.

На практике часто используется биномиальный закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, …, k, …, n с вероятностями, вычисляемыми по формуле Бернулли и равными Данное определение использует аналитический способ описания закона распределения вероятностей случайной величины.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по биномиальному закону (математическое ожидание числа появлений события в испытаниях, проводимых по схеме Бернулли), равно а ее дисперсия (дисперсия числа появлений события в испытаниях, проводимых по схеме Бернулли) равна В данном задании n = 10; p = 0,8; q = 1 p = 1 – 0,8 = 0,2. Следовательно, дисперсия числа появлений события в испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, равна Номер варианта ответа: 2.

2.1.4. Задание № 20 по теме “Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин: равномерное распределение” Случайная величина распределена равномерно на интервале (10; 12). Тогда ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны … Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

К аналитическим способам описания непрерывной случайной величины относятся:

1) функция распределения вероятностей – вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем заранее заданное фиксированное действительное число x : F ( x ) = P ( X < x ) (функция распределения является универсальным способом описания любой случайной величины - непрерывной или дискретной);

2) плотность распределения вероятностей – первая производная функции распределения вероятностей, то есть f ( x ) = F ' ( x ) (плотность распределения пригодна для описания только непрерывных случайных величин).

Свойства функции распределения вероятностей.

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1], то есть 2. Функция распределения – неубывающая функция, то есть если x 2 > x 1, то Следствие 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу ( a, b ), равна приращению функции распределения на этом интервале: P ( a < X < b ) = F ( b ) F ( a ).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси x, то справедливы следующие предельные соотношения:

Свойства плотности распределения вероятностей.

1. Плотность распределения – неотрицательная функция, то есть f ( x ) 0.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения вероятностей равен единице, то есть К графическим способам описания непрерывной случайной величины относятся:

1) график функции распределения вероятностей;

2) график плотности распределения вероятностей, называемый кривой распределения.

Геометрическое истолкование свойств плотности распределения вероятностей.

1. Вся кривая распределения расположена не ниже оси абсцисс.

2. Полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс равна единице.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу ( a, b ), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b, то есть Геометрическое истолкование данной теоремы заключается в следующем: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу ( a, b ), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс O x, кривой распределения f ( x ) и прямыми x = a и x = b.

Выражение для нахождения функции распределения по известной плотности:

Законы распределения вероятностей исчерпывающим образом описывают распределение вероятностей случайной величины и позволяют вычислять вероятности любых связанных с ней событий. Однако во многих практических задачах нет надобности в таком описании или оно отсутствует. В таких случаях применяются числовые характеристики случайной величины.

Числовые характеристики случайной величины – набор показателей, позволяющих в сжатой форме охарактеризовать наиболее существенные черты распределения вероятностей.

Классификация числовых характеристик случайной величины:

1) характеристики положения – характеристики, определяющие положение случайной величины на числовой оси, то есть некоторое среднее ориентировочное значение случайной величины, около которого группируются ее возможные значения (математическое ожидание, мода, медиана);

2) характеристики рассеивания – характеристики, оценивающие меру рассеивания возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания (дисперсия, среднее квадратическое отклонение);

3) характеристики формы – характеристики, описывающие асимметрию (скошенность) и островершинность распределения вероятностей (коэффициент асимметрии, эксцесс).

Математическим ожиданием (средним значением) M ( X ) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений x 1, x 2, …, x n на вероятности p 1, p 2, …, p n этих значений, то есть где n - количество возможных значений случайной величины X.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью распределения вероятностей f ( x ) называется определенный интеграл вида Математическое ожидание случайной величины имеет ту же размерность, что и случайная величина.

Свойства математического ожидания случайной величины.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, 2. Постоянный множитель случайной величины может быть вынесен за знак математического ожидания: M ( C X ) = C M ( X ).

3. Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин (как зависимых, так и независимых) равно такой же сумме их математических ожиданий, то есть M ( X ± Y ) = M ( X ) ± M ( Y ).

Следствие. Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий.

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то есть Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

5. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную C, то на эту же постоянную C увеличится (уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины: M ( X ± C ) = M ( X ) ± C.

6. Математическое ожидание отклонения X M ( X ) случайной величины X от ее математического ожидания M ( X ) равно нулю, то есть M [ X M ( X ) ] = 0.

Модой M 0 ( X ) случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение (то, для которого вероятность p i для дискретной случайной величины или плотность распределения вероятностей f ( x ) для непрерывной случайной величины достигает максимума).

Медианой M e ( X ) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, для которого то есть одинаково вероятно, окажется ли значение случайной величины больше или меньше медианы. Геометрически медиана случайной величины представляет собой абсциссу точки, которая делит площадь под кривой распределения случайной величины пополам.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания, то есть Выражение для вычисления дисперсии дискретной случайной величины имеет вид Выражение для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины имеет вид Свойства дисперсии случайной величины.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D ( C ) = 0.

2. Постоянный множитель случайной величины можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D ( C X ) = C 2 D ( X ) .

3. Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ).

Следствие 1. Дисперсия суммы (разности) нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины: D ( C + X ) = D ( X ).

4. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания, то есть Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеивания имела размерность случайной величины, вычисляют ее среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии, то есть На практике наиболее часто используются равномерный, показательный и нормальный законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения вероятностей на отрезке [ a, b ], если ее плотность распределения вероятностей f ( x ) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, то есть Функция распределения вероятностей случайной величины, распределенной по равномерному закону, имеет вид Кривая распределения и график функции распределения случайной величины, распределенной по равномерному закону, представлены на рис. 1 а, б.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по равномерному закону, равны:

Рис. 1. Кривая и график функции распределения случайной величины, Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения вероятностей с параметром, если ее плотность распределения имеет вид Функция распределения вероятностей случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону, имеет вид Кривая распределения и график функции распределения случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону, представлены на рис.

2 а, б.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону, равны:

Рис. 2. Кривая и график функции распределения случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения вероятностей (закон Гаусса) с параметрами a и, если ее плотность распределения имеет вид В соответствии с выражением для нахождения функции распределения вероятностей по известной плотности, функция распределения вероятностей случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет вид Данный интеграл является “неберущимся” в элементарных функциях. Поэтому его выражают через функцию (интеграл вероятностей) Лапласа вида для которой составлены таблицы.

Кривая распределения и график функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, представлены на рис. 3 а, б.

Рис. 3. Кривая и график функции распределения случайной величины, Выражение для непосредственного вычисления функции распределения вероятностей случайной величины, распределенной по нормальному закону, с использованием функции Лапласа имеет вид Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по нормальному закону, равны:

Подставляя в выражения для математического ожидания и дисперсия случайной величины, распределенной по равномерному закону, вида значения параметров a =10 и b =12, получим Номер варианта ответа: 2.

2.2. Типовые задания по математической статистике Математическая статистика – система основанных на теоретиковероятностных моделях понятий, приемов и математических методов, предназначенных для сбора, систематизации, истолкования и обработки статистических данных с целью получения научных и практических выводов.

Для самостоятельного изучения математической статистики студентами экономических специальностей можно рекомендовать любой учебник (учебное пособие) из [7-12].

2.2.1. Задание № 21 по теме “Непрерывное распределение признака” По выборке объема n=100 построена гистограмма частот:

Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме Установление закономерностей, присущих массовым случайным явлениям основано на изучении статистических данных – сведений о том, какие значения принял в результате наблюдения интересующий исследователя признак (случайная величина Сбор статистических данных производится путем проведения статистического наблюдения - научно организованного сбора сведений об изучаемых процессах или явлениях путем регистрации заранее определенных существенных признаков.

Статистическое наблюдение по охвату единиц совокупности делится на сплошное и несплошное. Сплошное наблюдение – статистическое наблюдение, при котором обследованию подвергаются все без исключения объекты изучаемой совокупности.

Несплошное наблюдение – статистическое наблюдение, при котором обследованию подвергается лишь часть объектов изучаемой совокупности.

В практике статистического наблюдения чаще применяется несплошное наблюдение, одним из основных видов которого является выборочное наблюдение.

Выборочное наблюдение – вид несплошного наблюдения, при котором признаки регистрируются у отдельных объектов изучаемой совокупности, отобранных с использованием специальных методов, а полученные в процессе обследования результаты с определенным уровнем вероятности распространяются на всю изучаемую совокупность объектов.

Выборочное наблюдение основано на понятиях генеральной совокупности, выборочной совокупности, объема совокупности.

В математической статистике генеральной совокупностью называется совокупность всех мыслимых наблюдений (или всех мысленно возможных объектов интересующего исследователя типа), которые могли быть произведены при данном реальном комплексе условий. Данное понятие является условно-математическим, абстрактным и его не следует относить к реальным с совокупностям, подлежащим статистическому исследованию. Поэтому при статистическом исследовании, как правило, используется более простое понятие генеральной совокупности из теории статистики. В теории статистики генеральной совокупностью называется вся исходная изучаемая статистическая совокупность объектов.

Выборочной совокупностью (выборкой) называется подмножество объектов, отобранных с использованием вероятностных методов из генеральной совокупности.

Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называется число объектов в ней.

Полученные в результате выборочного наблюдения статистические данные представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел. Как правило, анализ этого множества чисел не позволяет выявить какую-либо закономерность их изменения. Поэтому статистические данные подвергаются предварительной обработке.

Предварительная обработка статистических данных базируется на использовании следующих основных понятий: вариационный ряд, вариант, частота варианта, относительная частота варианта, статистический ряд, эмпирическая функция распределения, полигон, гистограмма.

Вариационный ряд – последовательность (ряд) значений выборки, расположенных в неубывающем порядке.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объемом в n элементов, в которой значение x 1 наблюдалось n 1 раз, значение x 2 - n 2 раз, значение x k - n k раз, Вариантами называются различные значения x 1, x 2, …, x k признака, появившиеся в процессе наблюдения в выборке.

Частотой n i варианта x i называется число, показывающее, сколько раз значение x i повторяется в выборке.

Относительной частотой (частостью) w i варианта x i называется отношение частоты n i данного варианта к объему выборки, то есть Относительная частота (статистическая вероятность) варианта является выборочным аналогом (вычисленным по выборке) вероятности p i появления значения x i случайной величины X.

Статистическим рядом (в теории статистики вариационным рядом) называется упорядоченный (ранжированный) в порядке возрастания (как правило) или убывания ряд вариантов (или интервалов их значений) с соответствующими им весами (частотами или относительными частотами).

Статистические ряды делятся на дискретные и интервальные.

Дискретный статистический ряд распределения – ряд распределения, построенный на основе отдельных значений количественного дискретного или непрерывного признака.

Дискретный признак – такой количественный признак, числовые значения которого могут отличаться только на некоторую конечную величину (обычно целое число). Между значениями дискретного признака не может быть никаких промежуточных значений, то есть они выражаются определенными целыми или дробными числами.

Непрерывный признак – такой количественный признак, числовые значения которого могут отличаться на сколь угодно малую величину и в определенных границах принимать любые значения.

Дискретный статистический ряд частот – таблица, в первой строке которой в порядке возрастания перечислены варианты, а во второй соответствующие им частоты.

В общем случае такая таблица имеет следующий вид.

Сумма всех частот статистического ряда частот, записанных во второй строке таблицы, равна объему выборки, то есть i Дискретный статистический ряд относительных частот – таблица, в первой строке которой в порядке возрастания перечислены варианты, а во второй соответствующие им относительные частоты. В общем случае такая таблица имеет следующий вид.

Сумма всех относительных частот статистического ряда относительных частот, записанных во второй строке таблицы, равна единице, то есть i Дискретный статистический ряд относительных частот выборки является выборочным аналогом ряда распределения вероятностей случайной величины в теории вероятностей.

Интервальный статистический ряд распределения – ряд распределения, построенный путем объединения отдельных значений количественного дискретного или непрерывного признака в определенные интервалы.

Интервальный статистический ряд частот – таблица, в первой строке которой в порядке возрастания перечислены интервалы изменения вариантов выборки, а во второй соответствующие им частоты. Интервальный статистический ряд относительных частот – таблица, в первой строке которой в порядке возрастания перечислены интервалы изменения вариантов выборки, а во второй соответствующие им относительные частоты.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) F n ( x ) называется относительная частота того, что признак (случайная величина X ) примет значение, меньшее заранее заданного действительного числа x, то есть Теоретическая функция распределения вероятностей F ( x ) генеральной совокупности (случайной величины) и ее эмпирический аналог – эмпирическая функция распределения F n ( x ) обладают одинаковыми свойствами. Различие между ними заключается в том, что теоретическая функция F ( x ) определяет вероятность события X < x, а эмпирическая функция F n ( x ) определяет относительную частоту этого же события.

Аналитическое выражение для эмпирической функции распределения имеет вид График эмпирической функции имеет ступенчатый вид.

Для графического изображения дискретных статистических рядов применяется полигон.

Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами ( x 1, n 1 ), ( x 2, n 2 ), …, ( x k, n k ).

Полигоном относительных частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами ( x 1, w 1 ), ( x 2, w 2 ), …, ( x k, w k ). Полигон относительных частот является выборочным аналогом ряда распределения вероятностей.

Для графического изображения интервальных статистических рядов применяется гистограмма.

Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы (интервалы изменения вариантов выборки) длиною h, а высоты равны отношению n i h (плотность частоты). Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки.

Если середины верхних сторон прямоугольников гистограммы частот соединить отрезками прямой, то получится полигон частот того же распределения.

Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению w i h (плотность относительной частоты). Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице. Гистограмма относительных частот является выборочным аналогом плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Площадь гистограммы частот S равна сумме всех частот, то есть объему выk Площадь гистограммы частот в общем случае определяется выражением где h - длина частичного интервала (основания прямоугольника); - высота i -о пряh моугольника.

Так как S = n = 100, то выражение для нахождения значения a имеет вид Номер варианта ответа: 2.

2.2.2. Задание № 24 по теме “Точечные оценки параметров В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 11, 13, 15. Тогда несмещенная оценка дисперсии измерений равна … Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме Точечной (статистической) оценкой n неизвестного параметра теоретического распределения вероятностей случайной величины X называется любая функция результатов наблюдений X 1, X 2, …, X n над этой случайной величиной (статистика), принимаемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра, то есть Термин “точечная” означает, что оценка представляет собой число или точку на числовой оси. Нижний индекс n означает, что оценка вычисляется по результатам n наблюдений.

Так как точечная оценка является функцией результатов наблюдений над случайной величиной, то она также является случайной величиной.

Чтобы статистические оценки, являющиеся случайными величинами, давали “хорошие” приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять ряду требований. Эти требования заключаются в том, что оценка должна быть состоятельной, несмещенной и желательно эффективной.

Оценка n параметра называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки n она сходится по вероятности к оцениваемому параметру, то есть если для любого сколь угодно малого положительного числа выполняется равенство Сокращенная запись этого равенства (обозначение сходимости по вероятности) имеет вид В случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объема выборки, так как при этом становятся маловероятными значительные ошибки при оценивании. Поэтому практический смысл имеют только состоятельные оценки. Однако свойство состоятельности является асимптотическим свойством, то есть оно может проявляться при столь больших объемах выборки, которых на практике не встречается.

Оценка n параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание при любом объеме выборки n равно оцениваемому параметру, то есть Смещенной называется оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Выполнение требования несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании. Несмещенность оценки характеризует ее “доасимптотические” свойства, то есть является показателем ее “хороших” свойств при любом конечном объеме выборки.

Несмещенная оценка n параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра, вычисленных по выборкам одного и того же объема n.

Пусть результаты наблюдений X 1, X 2, …, X n независимы и произведены в одинаковых условиях наблюдений случайной величины.

С вероятностной точки зрения независимость наблюдений X 1, X 2, …, X n случайной величины X означает, что результаты наблюдений X 1, X 2, …, X n являются независимыми случайными величинами. Одинаковость условий наблюдений означает, что каждая из величин X 1, X 2, …, X n имеет такой же закон распределения вероятностей, как и наблюдаемая случайная величина X, то есть В условиях независимых и проводимых в одинаковых условиях наблюдений имеют место следующие теоремы.

1. Выборочное среднее (среднее арифметическое), вычисляемое по формуле является состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания M ( X ) случайной величины X (генеральной совокупности).

Эффективность или не эффективность оценки зависит от вида закона распределения вероятностей случайной величины.

2. Если случайная величина X распределена в соответствии с нормальным заn коном, то выборочное среднее X = X i является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой математического ожидания M ( X ).

3. Выборочная дисперсия, определяемая по формуле является состоятельной, смещенной оценкой дисперсии D ( X ) случайной величины X. Поэтому она называется смещенной оценкой дисперсии.

4. Исправленная выборочная дисперсия, определяемая по формуле является состоятельной и несмещенной оценкой дисперсии D ( X ) случайной величины X. Поэтому она называется несмещенной оценкой дисперсии.

5. Состоятельная, несмещенная и эффективная оценка дисперсии D ( X ) нормально распределенной случайной величины с известным параметром a имеет вид В данную формулу входит математическое ожидание a, которое, как правило, заранее не известно, поэтому эта оценка практически не используется.

Выражение для несмещенной оценки дисперсии имеет вид где X = X i - выборочное среднее.

В данном задании n = 3, X 1 = 11 мм, X 2 = 13 мм, X 3 = 15 мм. Поэтому выборочное среднее равно Тогда несмещенная оценка дисперсии равна Номер варианта ответа: 1.

Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 10. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … Требуется выбрать один вариант ответа.

При определении точечной оценки по результатам малого количества наблюдений ( n < 30 … 50) свойства состоятельности, несмещенности и эффективности могут не выполняться, то есть точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объеме выборки вычисляют интервальную оценку, которая определяется двумя числами – границами интервала, внутри которого с определенной вероятностью находится неизвестное значение оцениваемого параметра. Интервальная оценка позволяет установить точность и надежность точечной оценки.

Интервальной оценкой (доверительным интервалом) называется числовой интервал ( 1, 2 ), который с заданной вероятностью заключает в себе (накрывает) неизвестное значение оцениваемого параметра.

Числа 1, 2 называются доверительными границами.

Точностью оценки (доверительного интервала) называется такое наименьшее число > 0, что для любой точки доверительного интервала ( 1, 2 ) выполняется Доверительной вероятностью или надежностью оценки называется вероятность, с которой осуществляется неравенство <.

Как правило, доверительный интервал выбирается симметричным относительно точечной оценки n неизвестного параметра. В этом случае интервальная оценка представляет интервал вида (, + ), доверительными границами явn n ляются числа n, n +, а доверительный вероятность равна Доверительные границы n, n + являются случайными величинами, так как точечная оценка n является случайной величиной. Поэтому эти границы могут измениться при расчете точечной оценки по данным другой выборки из этой же генеральной совокупности. Кроме того, величина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки n (уменьшается с ростом n ) и от значения доверительной вероятности (увеличивается с приближением к единице), так как точность оценки выбирается в зависимости от величины доверительной вероятности.

Интервальные оценки математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии нормально распределенной случайной величины при разных сведениях о ее параметрах имеют вид:

a при известной дисперсии (коэффициент доверия u выборочной средней X определяется из равенства ( u ) = 2 следующим образом: по таблице значений функции Лапласа находят аргумент u, которому соответствует значение функции Лапласа, равное 2 ; точность выборочной средней X равна = u );

a при неизвестной дисперсии (коэффициент доверия t выборочной средней определяется либо по таблице критических точек распределения Стьюдента для двусторонней критической области с числом степеней свободы, равным k = n 1, на уровне значимости = 1, либо по таблице зависимости t = t (, n ), приведенной в приложении 3 к [7, 8]; s - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение; точs ность выборочной средней X равна = t );

3) ( m a x {0, [ s s q ]}, [ s + s q ]) для неизвестного среднего квадратического отклонения при неизвестном математическом ожидании a (коэффициент доверия q исправленного выборочного среднего квадратического отклонения определяется по таблице зависимости q = q (, n ), приведенной в приложении 4 к [7, 8]);

неизвестном математическом ожидании a.

В общем случае любая интервальная оценка, симметричная относительно точечной оценки n неизвестного параметра, имеет вид ( n, n + ). Следовательно, интервальная оценка математического нормально распределенной случайной величины, симметричная относительно выборочной средней X, имеет вид В данном задании X = 10. Поэтому интервальная оценка математического ожидания имеет вид (10, 10 + ).

Приравнивая правую и левую границы интервальной оценки общего вида (10, 10 + ) к аналогическим границам интервальной оценки в каждом варианте ответа, получим.

1-й вариант. Приравнивая левые границы, получим 10 = 8,4. Отсюда = 1,6. Приравнивая правые границы, получим 10 + = 10. Отсюда = 0.

Вывод: данная интервальная оценка не может быть интервальной оценкой данной случайной величины, так как: 1) интервал не симметричен относительно X (получились разные точности оценок); 2) точность оценки, полученная путем приравнивания правых границ, оказалась равной нулю, чего не может быть по определению точности оценки ( > 0 ).

2-й вариант. Приравнивая левые границы, получим 10 = 8,5. Отсюда = 1,5. Приравнивая правые границы, получим 10 + = 11,5. Отсюда = 1,5.

Вывод: данная интервальная оценка может быть интервальной оценкой данной случайной величины, так как интервал симметричен относительно X (получились одинаковые точности оценок).

3-й вариант. Приравнивая левые границы, получим 10 = 8,6. Отсюда = 1,4. Приравнивая правые границы, получим 10 + = 9,6. Отсюда = -0,4.

Вывод: данная интервальная оценка не может быть интервальной оценкой данной случайной величины, так как: 1) интервал не симметричен относительно X (получились разные точности оценок); 2) точность оценки, полученная путем приравнивания правых границ, оказалась отрицательной, чего не может быть по определению точности оценки ( > 0 ).

Примечание: данный вариант можно было не анализировать вообще, так как выборочное среднее ( X = 10) не принадлежит интервалу, чего не может быть по определению интервальной оценки.

4-й вариант. Приравнивая левые границы, получим 10 = 10. Отсюда = 0.

Приравнивая правые границы, получим 10 + = 10,9. Отсюда = 0,9.

Вывод: данная интервальная оценка не может быть интервальной оценкой данной случайной величины, так как: 1) интервал не симметричен относительно X (получились разные точности оценок); 2) точность оценки, полученная путем приравнивания левых границ, оказалась равной нулю, чего не может быть по определению точности оценки ( > 0 ).

Номер варианта ответа: 2.

2.2.4. Задание № 22 по теме “Проверка статистических гипотез” Если основная гипотеза имеет вид H 0 : a = 20, то конкурирующей может быть гипотеза … Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме Статистической гипотезой называется любое предположение о генеральной совокупности (случайной величине), проверяемое по выборке (результатам наблюдений).

Проверкой статистической гипотезы называется процедура сопоставления сформулированной гипотезы с выборочными данными.

По прикладному содержанию можно выделить следующие основные виды гипотез, высказываемых в ходе статистической обработки данных:

1) о типе закона распределения вероятностей случайной величины;

2) о числовых значениях параметров распределения вероятностей случайной величины;

3) об однородности (равенстве распределений вероятностей) двух или нескольких генеральных совокупностей;

4) о равенстве числовых значений параметров распределения вероятностей двух или нескольких генеральных совокупностей;

5) о независимости элементов выборки и другие.

Нулевой (основной) гипотезой (обозначается H 0 ) называется проверяемая гипотеза.

Альтернативной (конкурирующей) гипотезой (обозначается H 1 ) называется статистическая гипотеза, противоречащая нулевой гипотезе и принимаемая, если отвергается нулевая гипотеза. Альтернативная гипотеза является логическим отрицанием нулевой гипотезы.

Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.

Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание a нормально распределенной случайной величины равно 0, то альтернативная гипотеза может состоять в предположении, что a 0. Сокращенная запись гипотез в этом случае имеет вид: H 0 : a = 0, H 1 : a 0.

Различают также гипотезы, которые содержат одно или несколько предположений.

Простая гипотеза – гипотеза, содержащая только одно предположение. Например, гипотеза H 0 : a = 0 (математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно 0 при известной дисперсии) является простой.

Сложная гипотеза – гипотеза, состоящая из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, гипотеза H 0 : a > 0 (математическое ожидание нормально распределенной случайной величины больше 0 при известной дисперсии) является сложной. Она состоит из бесконечного числа простых гипотез вида H i : a = b i, где b i любое число, большее 0. Гипотеза H 0 : a = 0 (математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно 0 при неизвестной дисперсии) также является сложной.

Так как решение о справедливости нулевой гипотезы для генеральной совокупности принимается по выборочным данным, то оно может быть ошибочным. При этом могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода – ошибка, заключающаяся в том, что нулевая гипотеза отвергается, тогда как в действительности она верна.

Ошибка второго рода – ошибка, состоящая в том, что нулевая гипотеза не отвергается, тогда как в действительности она неверна.

Вероятность ошибки первого рода, называемая уровнем значимости или размером критерия, обозначается буквой, то есть = P H 0 ( H 1 ).

Вероятность ошибки второго рода обозначается буквой, то есть Правильное решение при проверке нулевой гипотезы также может быть двух видов:

1) принятие нулевой гипотезы H 0, когда и в действительности она имеет место в генеральной совокупности, с вероятностью P H 0 ( H 0 ) = 1 P H 0 ( H 1 ) = 1 ;

2) отклонение нулевой гипотезы H 0 (то есть принятие альтернативной гипотезы H 1 ), когда и в действительности гипотеза H 0 неверна, с вероятностью P H 1 ( H 1 ) = 1 P H 1 ( H 0 ) = 1, называемой мощностью критерия Перечисленные возможные варианты решений при проверке нулевой гипотезы и их вероятности объединены в табл. 3.

Варианты решений при проверке нулевой гипотезы и их вероятности нулевой гипотезы Справедливость Проверка статистической гипотезы производится с использованием статистического критерия.

Статистическим критерием (статистикой критерия) называется случайная величина, которая служит для проверки нулевой гипотезы по выборочным данным X 1, X 2, …, X n и удовлетворяет следующим требованиям:

1) ее значения зависят от выборочных данных, то есть = ( X 1, X 2,..., X n ) ;

2) ее значения позволяют судить о расхождении выборочных данных с гипотезой H 0 ;

3) она при справедливости H 0 распределена в соответствии с известным законом распределения.

Значение статистического критерия, вычисленное по конкретным выборочным данным x 1, x 2, …, x n называется наблюдаемым (или расчетным).

Для проверки статистической гипотезы с использованием статистического критерия множество его возможных значений разделяется на два непересекающихся подмножества:

1) критическую область, то есть подмножество значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается;

2) область принятия гипотезы (область допустимых значений), то есть подмножество значений критерия, при которых нулевая гипотеза принимается.

Критическая область выбирается исходя из двух условий:

1) вероятность совершить ошибку первого рода не должна превосходить заранее заданного уровня значимости, то есть вероятность того, что критерий примет значение из критической области должна удовлетворять условию P ( ) ;

2) вероятность ошибки второго рода при заданном уровне значимости должна быть минимальной.

Так как критерий представляет собой одномерную случайную величину, то все его возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами, отделенными друг от друга граничными точками.

Критическими точками называются граничные точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Возможны три вида расположения критической области в зависимости от вида нулевой и альтернативной гипотез:

1) правосторонняя критическая область (рис. 4, а), состоящая из интервала зывается правосторонней критической точкой, соответствующей уровню значимости 2) левосторонняя критическая область (рис. 4, б), состоящая из интервала (, x к ерв, ), в котором точка x к рв, определяется из условия P ( < x к ерв, ) = и называется левосторонней критической точкой, соответствующей уровню значимости ;

3) двусторонняя критическая область (рис. 4, в), состоящая из двух интервалов (, x к р ) и ( x к р, + ), в которых точки x к р и x к р определяются из ческими точками.

Например, при проверке нулевой гипотезы H 0 : = a (параметр распределения вероятностей равен числу a ) против альтернативной гипотезы:

а) H 1 : > a используется правосторонняя критическая область;

б) H 1 : < a используется левосторонняя критическая область;

в) H 1 : a используется двусторонняя критическая область.

Логическая схема проверки статистической гипотезы включает 5 следующих этапов:

1) формулировка нулевой ( H 0 ) и альтернативной ( H 1 ) гипотез на основе выборочных данных X 1, X 2, …, X n и конкретных условий рассматриваемой задачи;

2) задание уровня значимости критерия ;

3) выбор статистического критерия ( X 1, X 2,..., X n ) ;

4) нахождение критической точки (точек) для выбранного критерия по соответствующей этому критерию таблице критических точек по заданному уровню значимости;

5) вычисление наблюдаемого значения критерия ( x 1, x 2,..., x n ) и проверка принадлежности этого значения критической области: если наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область, то нулевая гипотеза H 0 отвергается с уровнем значимости и принимается альтернативная гипотеза H 1 ; в противном случае нулевая гипотеза принимается (не отвергается).

Рис. 4. Виды расположения критической области Некоторые статистические критерии для проверки гипотез о параметрах нормально распределенных случайных величин и выражения для их критических областей при разных вариантах альтернативной гипотезы приведены в табл. 4.

Статистические критерии и их критические области H 0 : a = a 0 (математическое ожидание M ( X ) = a величины X равно числу a 0 ) вестна ложения H 0 : M ( X ) = M ( Y ) (математические ожидания величин X и Y равны) неизвестM ( X ) < M (Y ) ложения тические ожидания вестны Значения критических точек U -критерия (иногда он обозначается буквой Z )) находят по таблице значений функции Лапласа (например, приложение 2 к [7, 8]).

Критерии, обозначенные буквой T, называются критериями Стьюдента. Значения их критических точек t находят по таблице критических точек распределения Стьюдента (например, приложение 6 к [7, 8]).

Критерий, обозначенный буквой F, называется критерием ФишераСнедекора. Значения его критических точек F к р находят по таблице критических точек Фишера-Снедекора (например, приложение 7 к [7, 8]).

Критерий, обозначенный буквой 2, называется критерием хи-квадрат. Значения его критических точек находят по таблице критических точек распределения (например, приложение 5 к [7, 8]).

В таблицах критических точек критериев приводятся значения правосторонних критических точек. Поэтому выражения для критических областей в табл. 4 приведены с использованием этих критических точек.

Альтернативной (конкурирующей) гипотезой называется статистическая гипотеза, противоречащая нулевой гипотезе. Альтернативная гипотеза является логическим отрицанием нулевой гипотезы.

Поэтому в рассматриваемых в данном задании гипотезах о числовом значении параметра a числовые множества, задаваемые гипотезами, не должны пересекаться.

Найдем пересечение числовых множеств, задаваемых гипотезами, для каждого варианта ответа.

Анализ пересечений числовых множеств, задаваемых гипотезами, показывает, что эти множества не пересекаются только во 2-м варианте ответа.

Номер варианта ответа: 2.

2.3. Типовые задания по экономико-математическим методам Экономико-математические методы – комплекс научных дисциплин на стыке экономики с математикой и кибернетикой (наукой, изучающей процессы управления в технических, биологических и социальных системах).

Экономико-математические методы включают в себя аналитические, численные и экспериментальные методы принятия решений. Их классификация и суть рассмотрены в [13].

Студенты специальности “Национальная экономика ” в соответствии с ГОС в рамках дисциплины “Математика” изучают только отдельные разделы математического программирования (совокупность численных методов принятия оптимальных решений).

Математическое программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, то есть задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. Основными разделами математического программирования являются: линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирование, дискретное программирование, параметрическое программирование, сепарабельное программирование, стохастическое программирование, геометрическое программирование, дробно-линейное программирование.

Студенты специальности “Национальная экономика ” в рамках дисциплины “Математика” изучают следующие разделы математического программирования:

1) линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, то есть линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные;

2) дискретное программирование – часть математического программирования, в которой исследуются и решаются экстремальные задачи на целочисленных решетках и конечных множествах;

3) динамическое программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многошаговых задач оптимального управления, в которых используется последовательное принятие решений;

4) нелинейное программирование – раздел математического программирования, изучающий задачи отыскания глобального экстремума фиксированной (целевой) функции при наличии ограничений в ситуации, когда целевая функция и ограничения имеют общий характер (не предполагаются линейными).

Для самостоятельного изучения данных разделов математического программирования студентами экономических специальностей можно рекомендовать учебники (учебные пособия) [14-16].

2.3.1. Задание № 25 по теме “Линейное программирование:

графическое задание области допустимых решений” Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:

Тогда максимальное значение функции z = x 1 + 2 x 2 равно … Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме Задача линейного программирования представляет собой задачу на нахождение условного экстремума функции и в общем случае имеет вид где - n - число переменных;

m - число ограничений;

[, <, =,, > ] - обозначение того факта, что в каждом ограничении может быть любой из перечисленных в квадратных скобках знаков неравенств или знак равенства (разные ограничения могут иметь разные знаки).

Функция z называется целевой функцией. В задачах производственноэкономического характера целевая функция чаще всего представляет собой подлежащие максимизации прибыль или минимизации затраты.

Система ограничений сужает область допустимых значений управляемых переменных x 1, x 2,..., x j,..., x n, значения которых подлежат определению. В качестве таких ограничений, например, в задаче оптимального распределения ресурсов выступают соотношения между количествами выпускаемой продукции x 1, x 2,..., x j,..., x n различных видов и запасами ресурсов b i, i = 1,..., m, которыми располагает предприятие в планируемом периоде.

Тогда рассматриваемая задача может быть сформулирована как задача определения такого плана выпуска продукции x 1, x,..., x j,..., x, при котором прибыль предприятия z будет максимальной и выполняется система ограничений.

В общем случае словесная формулировка задачи линейного программирования заключается в следующем: необходимо найти такие неотрицательные значения x 1, x,..., x j,..., x неизвестных переменных x 1, x 2,..., x j,..., x n, которые удовлеn творяют системе ограничений и придают целевой функции экстремальное значение.

В простейшем случае, когда задача линейного программирования содержит всего две переменные (или когда число переменных n на два больше, чем число ограничений m ( n m = 2 )), она может быть решена графическим (геометрическим) методом.

Геометрический смысл задачи линейного программирования состоит в нахождении такой точки области допустимых решений, в которой целевая функция принимает экстремальное значение.

Область допустимых решений задачи линейного программирования – это множество точек плоскости, координаты которых удовлетворят всем m ограничениям, то есть точки, которые одновременно принадлежат всем m полуплоскостям, задаваемым ограничениями, и геометрически изображаются пересечением этих полуплоскостей.

Существует две разновидности графического метода решения задачи линейного программирования:

1) графический метод, использующий понятия нормального вектора (градиента) целевой функции и линии уровня целевой функции;

2) графический метод, основанный на вычислении значений целевой функции во всех вершинах области допустимых решений и выборе той из них, в которой целевая функция принимает экстремальное значение.

Так как первый метод в ряде случаев требует точных геометрических построений, рассмотрим второй метод.

Алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом на основе вычисления значений целевой функции во всех вершинах области допустимых решений включает следующие этапы.

1. Построение в декартовой системе координат на плоскости граничных прямых, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.

2. Нахождение полуплоскостей, определяемых каждым из ограничений.

3. Определение области допустимых решений.

4. Вычисление координат всех вершин области допустимых решений.

5. Вычисление значений целевой функции во всех вершинах области допустимых решений.

6. Выбор в качестве решения задачи линейного программирования той вершины области допустимых решений, в которой целевая функция принимает экстремальное значение.

В данной задаче первые четыре этапа решения задачи линейного программирования рассмотренным графическим методом уже выполнены, то есть область допустимых решений определена и известны координаты ее вершин: A (0,2), B (6,2), C (3,5), D(0,5). В задании обозначений вершин буквами нет. Они введены для удобства решения.

5-й этап. Вычисление значений целевой функции во всех вершинах области допустимых решений:

6-й этап. Выбор в качестве решения задачи линейного программирования той вершины области допустимых решений, в которой целевая функция принимает экстремальное значение:

Следовательно, максимальное значение целевой функции в данной задаче линейного программирования равно 13. Оно достигается в точке C (3,5).

Номер варианта ответа: 1.

2.3.2. Задание № 26 по теме “Линейное программирование:

аналитическое задание области допустимых решений” Максимальное значение целевой функции z = x 1 + 2 x 2 при ограничениях Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме 1-й этап. Построение в декартовой системе координат на плоскости граничных прямых, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.

Данные уравнения имеют вид Координаты двух точек для построения прямой x 2 = x 1 + 6 представлены в таблице.

Графики граничных прямых показаны на рис 5.

2-й этап. Нахождение полуплоскостей, определяемых каждым из ограничений.

1) полуплоскость, определяемая неравенством x 1 0, расположена справа от оси ординат;

2) полуплоскость, определяемая неравенством x 1 4, расположена слева от прямой x 1 = 4 ;

3) полуплоскость, определяемая неравенством x 2 0, расположена выше оси абсцисс.

В общем случае, чтобы определить, какую именно из полуплоскостей определяет неравенство, достаточно подставить в него координаты любой точки, не лежащей на граничной прямой. Если неравенство выполняется, то искомая полуплоскость та, в которой лежит взятая точка, а если не выполняется, то противоположная ей.

Для определения полуплоскости, определяемой неравенством x 1 + x 2 6 возьмем точку О (0,0), которая не располагается на граничной прямой x 1 + x 2 = ( x 2 = x 1 + 6 ). Подставив ее координаты в неравенство x 1 + x 2 6 получим истинное неравенство 0 6. Следовательно, искомая полуплоскость та, в которой расположена точка О (0,0). Данная полуплоскость расположена ниже граничной прямой x 1 + x 2 = 6.

На рис. 6 полуплоскости, определяемые неравенствами системы ограничений, показаны штриховкой. Для удобства точки пересечения граничных прямых обозначены буквами.

3-й этап. Определение области допустимых решений. Анализ рис. 6 показывает, что область допустимых решений представляет собой четырехугольник OABC, показанный на рис. 7.

Рис. 7. Область допустимых решений в задании № 4-й этап. Вычисление координат всех вершин области допустимых решений.

Координаты точек O (0,0), A (4,0) и C (0,6) известны в результате построения граничных прямых.

Для нахождения координат точки B необходимо решить систему из двух уравнений граничных прямых, на пересечении которых находится эта точка, вида Подставляя значение x 1 из второго уравнения системы в первое, получим Тогда решение системы уравнений будет иметь вид Следовательно, точка B имеет координаты (4,2).

5-й этап. Вычисление значений целевой функции во всех вершинах области допустимых решений:

6-й этап. Выбор в качестве решения задачи линейного программирования той вершины области допустимых решений, в которой целевая функция принимает экстремальное значение:

Следовательно, максимальное значение целевой функции в данной задаче линейного программирования равно 12. Оно достигается в точке С (0,6).

Номер варианта ответа: 3.

2.3.3. Задание № 27 по теме “Нелинейное программирование” Требуется выбрать один вариант ответа.

Нелинейное программирование – раздел математического программирования, изучающий задачи отыскания глобального экстремума фиксированной (целевой) функции при наличии ограничений в ситуации, когда целевая функция и ограничения имеют общий характер (не предполагаются линейными).

Локальным максимумом (минимумом) функции нескольких переменных f ( x 1, x 2,..., x n ), определенной на множестве M n -мерного пространства, называется ( x 1, x 2,..., x n ) из M, близких к ( x 1, x,..., x ) из M, справедливо неравенство Глобальным максимумом (минимумом) функции f ( x 1, x 2,..., x n ) на множеn -мерного пространства называется такое значение f ( x 1, x,..., x ) этой функции, что для любых значений ( x 1, x 2,..., x n ) из M справедливо неравенство В общем виде задача нелинейного программирования формулируется следующим образом: найти такие значения x 1, x,..., x неизвестных переменных x 1, x 2,..., x n, доставляющие экстремум целевой функции вида и удовлетворяющие системе ограничений где f, g i ( i = 1,..., m ) – заданные функции n переменных;

Система ограничений может включать также условия неотрицательности переменных, если такие условия имеются.

В математическом анализе задача такого типа называется задачей на условный экстремум функции.

Условный экстремум функции – экстремум функции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным условиям, называемым ограничениями или уравнениями связи.

Задачи нелинейного программирования возникают на практике, например, 1) когда затраты изменяются не пропорционально количеству закупленных или произведенных товаров, 2) когда расход определенных видов сырья и ресурсов происходит не линейно, а скачкообразно (в зависимости от объема производства).

В отличие от задач линейного программирования, в которых оптимальное решение может находиться только в вершинах области допустимых решений, в задачах нелинейного программирования оптимальное решение может находиться внутри области допустимых решений, на ее ребре или в вершине. Вследствие этого задачи нелинейного программирования сложнее задач линейного программирования и для них не существует общего универсального метода решения (аналогичного симплексному методу).

Для решения разных задач нелинейного программирования, отличающихся видом целевой функции и системы ограничений, разработаны специальные методы решения. К основным из них относятся:

1) метод множителей Лагранжа, применяемый в случаях, когда а) условие неотрицательности переменных отсутствует;

б) система ограничений состоит только из равенств;

в) целевая функция и ограничения представляют собой функции, непрерывные вместе со своими частными производными;

2) выпуклое программирование – раздел нелинейного программирования, изучающий задачи минимизации выпуклых функций (максимизации вогнутых функций) на выпуклых замкнутых множествах (выпуклым множеством точек называется множество точек, которое вместе с любыми своими двумя точками содержит и соединяющий их отрезок; замкнутым множеством – называется множество точек, содержащее все свои граничные точки);

3) квадратичное программирование – раздел нелинейного программирования, изучающий задачи, в которых требуется найти глобальный экстремум квадратичной функции на многогранном множестве (выпуклым многогранником называется выпуклое замкнутое ограниченное множество точек, имеющее конечное число угловых вершин; множество точек называется ограниченным, если существует шар с радиусом конечной длины с центром в любой точке множества, который полностью содержит данное множество);

4) сепарабельное программирование – раздел математического программирования, изучающий задачи нелинейного программирования, в которых целевая функция и ограничения задаются сепарабельными функциями, то есть функциями, представимыми в виде сумм функций, каждая из которых зависит только от одной действительной переменной.

Кроме того, любая задача нелинейного программирования может быть решена с использованием градиентных методов оптимизации – методов максимизации или минимизации гладких функций многих переменных, связанных с использованием градиента (под гладкой функцией понимается функция, дифференцируемая в области определения, то есть имеющая непрерывную производную).

Задача нелинейного программирования с двумя переменными может быть решена также графическим методом.

Простейшим видом задач нелинейного программирования являются задачи с двумя переменными и одним ограничением в виде равенства. Они имеют вид Точкой условного максимума (минимума) функции z = f ( x, y ) называется точка ( x 0, y 0 ), если существует такая ее окрестность, что для всех точек ( x, y ) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g ( x, y ) = b, выполняется неравенство Задачи нелинейного программирования с двумя переменными и одним ограничением в виде равенства могут быть решены методом подстановки, методом множителей Лагранжа и графическим методом.

Метод подстановки используется, если из ограничения g ( x, y ) = b можно в явном виде выразить функцию y = h ( x ). Тогда, подстановка функции y = h ( x ) в целевую функцию z = f ( x, y ) вместо переменой y приводит к получению целевой функции вида z = f [ x, h ( x ) ], которая зависит только от одной переменной x. В этом случае задача на условный экстремум функции двух переменных сводится к задаче на безусловный экстремум функции одной переменной.

К основным понятиям, используемым при решении задачи на безусловный экстремум функции одной переменной относятся: точка максимума, точка минимума, точки экстремума, максимум функции, минимум функции, экстремум функции, необходимое условие экстремума функции, критическая точка, достаточное условие экстремума функции.

Точка x 0 называется точкой максимума функции f ( x ), если в некоторой окрестности точки x 0 выполняется неравенство f ( x ) f ( x 0 ).

Точка x 0 называется точкой минимума функции f ( x ), если в некоторой окрестности точки x 0 выполняется неравенство f ( x ) f ( x 0 ).

Точки экстремума – общее название точек максимума и минимума функции.

Максимум функции – значение функции в точке ее максимума.

Минимум функции – значение функции в точке ее минимума.

Экстремум функции – общее название максимума и минимума функции.

Необходимое условие экстремума функции одной переменной – равенство нулю ее первой производной ( f ' ( x ) = 0 ).

Критическая точка – точка, в которой выполнено необходимое условие экстремума функции.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной: если первая производная f ' ( x ) дважды дифференцируемой функции y = f ( x ) равна нулю в некоторой точке x 0, а вторая производная в этой точке f '' ( x 0 ) положительна, то точка x является точкой минимума функции y = f ( x ) ; если f '' ( x 0 ) отрицательна, то точка x 0 является точкой максимума функции y = f ( x ) ; если f '' ( x 0 ) = 0, то вопрос о наличии экстремума в точке x 0 остается открытым.

Алгоритм решения задачи на безусловный экстремум функции одной переменной включает следующие этапы.

1. Нахождение производной f ' ( x ) функции y = f ( x ).

2. Нахождение критических точек функции y = f ( x ) путем приравнивания ее производной к нулю ( f ' ( x ) = 0 ) в соответствии с необходимым условием экстремума функции.

3. Нахождение второй производной f '' ( x ) функции y = f ( x ) и проверка достаточного условия экстремума функции в каждой критической точке.

4. Вычисление локальных экстремумов функции.

5. Нахождение глобальных максимума и минимума функции (при наличии нескольких максимумов или минимумов). Глобальный максимум функции определяется как наибольший локальный максимум. Глобальный минимум функции определяется как наименьший локальный минимум.

Алгоритм решения задачи на безусловный экстремум функции двух переменных z = f ( x, y ) включает следующие этапы.

1. Нахождение частных производных функции z = f ( x, y ) и приравнивание их к нулю в соответствии с необходимым условием безусловного экстремума функции. В результате получится система из двух уравнений вида Частной производной первого порядка (первой частной производной или просто частной производной) функции двух переменных z = f ( x, y ) по переменной x называется производная данной функции, вычисленная при фиксированном значении переменной y как обыкновенная производная функции одной переменной x. Она Частной производной первого порядка функции двух переменных z = f ( x, y ) по переменной y называется производная данной функции, вычисленная при фиксированном значении переменной x как обыкновенная производная функции Функция, имеющая частные производные первого порядка, называется дифференцируемой.

Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных): если в точке максимума или минимума все частные производные существуют и непрерывны, то они равны нулю в этой точке.

2. Нахождение критических точек, в которых целевая функция задачи z = f ( x, y ) может иметь экстремум путем решения полученной системы уравнений.

Критическими (или стационарными) точками называются точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума функции (равенство нулю всех частных производных).

3. Нахождение частных производных второго порядка функции z = f ( x, y ), вычисление их значений в каждой критической точке и проверка достаточного условия безусловного экстремума функции двух переменных в каждой критической точке.

Частной производной второго порядка (второй частной производной) функции z = f ( x, y ) называется частная производная первого порядка от частной производной первого порядка данной функции. Функция двух переменных вида z = f ( x, y ) имеет четыре частных производных второго порядка:

Частные производные второго порядка, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными производными.

Частные производные более высоких порядков определяются аналогичным образом.

Теорема. Если функция z = f ( x, y ) дважды дифференцируема в точке M ( x 0, y 0 ), то ее смешанные производные в этой точке равны, то есть Поэтому величина смешанной производной функции двух переменных не зависит от порядка переменных, по которым берутся производные.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Если функция z = f ( x, y ) : а) определена в некоторой окрестности критической точки ( x 0, y 0 ), в которой обе частные производные равны нулю ( f 'x ( x 0, y 0 ) = 0, f 'y ( x 0, y 0 ) = 0 ); б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка, равные то характер этой точки определяется значением величины = AC B 2.

Если > 0, то в точке ( x 0, y 0 ) функция z = f ( x, y ) имеет экстремум (максимум при A < 0 и минимум при A > 0 ).

Если = 0, то вопрос о наличии экстремума в точке ( x 0, y 0 ) функции z = f ( x, y ) остается открытым.

Данная теорема применима для проверки достаточного условия экстремума функции только двух переменных.

В общем случае для проверки достаточного условия экстремума функции нескольких переменных используется следующая теорема.

Теорема (достаточное условие экстремума функции n переменных). Если точка ( x 1, x 2,..., x n ) является критической точкой функции n переменных z = f ( x 1, x 2,..., x n ), и в окрестности этой точки существуют и непрерывны частные производные второго порядка, тогда 1) если матрица Гессе положительно определена в точке ( x 1, x 2,..., x n ), то данная точка является точкой минимума функции z ;

2) если матрица Гессе отрицательно определена в точке ( x 1, x 2,..., x n ), то данная точка является точкой максимума функции z ;

3) если матрица Гессе не является знакоопределенной в точке ( x 1, x 2,..., x n ), то функция z в данной точке не имеет экстремума.

Матрицей Гессе называется матрица, элементами которой являются частные производные второго порядка функции z = f ( x 1, x 2,..., x n ) по всем переменным Определитель матрицы Гессе называется гессианом.

Для проверки знакоопределенности матрицы Гессе необходимо знакомство с рядом понятий линейной алгебры.

Квадратичной формой L ( x 1, x 2,..., x n ) от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

где a i j ( i, j = 1,..., n ) – коэффициенты квадратичной формы, являющиеся действительными числами, причем a i j = a j i.

Матрицей квадратичной формы называется симметрическая матрица, составленная из коэффициентов квадратичной формы, то есть Симметрическая (симметричная) матрица – квадратная матрица, в которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали равны, то есть a i j = a j i, i = 1,..., n, j = 1,..., n. Матрица Гессе является симметрической матрицей, так как z '' i x j = z '' j x i ( i, j = 1,..., n ).

Квадратичная форма L ( x 1, x 2,..., x n ) называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, она принимает строго положительные (соответственно строго отрицательные) значения, то есть Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной.

Квадратичная форма называется знакопеременной, если среди ее значений имеются как строго положительные, так и строго отрицательные числа.

Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, то есть 1 > 0, 2 > 0, …, n > 0, где Главными минорами матрицы квадратичной формы называются определители этой матрицы вида Для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака “минус” для главного минора первого порядка, то есть главные миноры нечетного порядка отрицательны, а четного порядка положительны.

Если квадратичная форма является знакоопределенной, то все главные миноры ее матрицы отличны от нуля.

4. Вычисление локальных экстремумов функции и выбор того из них, в котором целевая функция задачи принимает максимальное (минимальное) значение.

Метод множителей Лагранжа используется, если из ограничения g ( x, y ) = b невозможно в явном виде выразить функцию y = h ( x ) (то есть невозможно использовать метод подстановки). Метод множителей Лагранжа, также как и метод подстановки, позволяет перейти от задачи на нахождение условного экстремума функции к задаче на нахождение безусловного экстремума функции.

Алгоритм решения задачи на условный экстремум целевой функции двух переменных с одним ограничением методом множителей Лагранжа включает следующие этапы.

1. Введение вспомогательной переменной, называемой множителем Лагранжа, и составление функции Лагранжа, которая представляет собой сумму целевой функции и ограничения, умноженного на множитель Лагранжа, вида Метод множителей Лагранжа основан на том, что точка условного экстремума ( x 0, y 0 ) функции z = f ( x, y ) при условии g ( x, y ) = b совпадает с точкой безусловного экстремума ( x 0, y 0, 0 ) функции Лагранжа.

2. Нахождение частных производных функции Лагранжа по переменным x, y и и приравнивание их к нулю в соответствии с необходимым условием безусловного экстремума функции. В результате получится система из трех уравнений вида 3. Нахождение критических (стационарных) точек, в которых функция Лагранжа (и соответственно целевая функция исходной задачи z = f ( x, y ) ) может иметь экстремум путем решения полученной системы уравнений.

4. Проверка достаточного условия экстремума функции Лагранжа с использованием достаточного условия экстремума функции двух переменных (так как функция Лагранжа L ( x, y, ) при конкретном значении множителя Лагранжа становится функцией двух переменных) или достаточного условия экстремума функции n переменных при n = 2 (путем установления знакоопределенности матрицы Гессе, составленной из частных производных второго порядка функции Лагранжа по переменным x и y, на основе критерия Сильвестра).

5. Вычисление локальных экстремумов функции z = f ( x, y ) и выбор того из них, в котором целевая функция задачи принимает максимальное (минимальное) значение.

В общем случае при решении задач нелинейного программирования вида функция Лагранжа определяется выражением Система из ( n + m ) уравнений для нахождения критических точек имеет вид Для проверки достаточного условия экстремума функции Лагранжа составляется матрица Гессе порядка n из частных производных второго порядка по переменным Множители Лагранжа, соответствующие экстремальному значению целевой функции, характеризуют чувствительность экстремального значения целевой функции z = f ( x 1, x,..., x ) к изменениям констант ограничений b i ( i = 1,..., m ). Они равны и показывают, как изменится экстремальное значение целевой функции z = f ( x 1, x,..., x ) при изменении значения константы b i в i -м ограничении на единицу.

Например, если какой-то множитель Лагранжа равен нулю, то малые изменения соответствующей константы ограничений не окажут никакого влияния на экстремальное значение целевой функции.

В экономических задачах распределения ресурсов целевая функция имеет размерность стоимости, то есть цены, умноженной на объем продукции (например, прибыль, выручка, издержки), а с помощью ограничений устанавливается определенное значение некоторого количества (например, затрат). В таких задачах с помощью множителя Лагранжа определяется чувствительность целевой функции, имеющей размерность стоимости, к изменениям некоторого количества. Поэтому множитель Лагранжа имеет размерность цены и характеризует ценность какого-либо i -о ресурса. Поэтому множитель Лагранжа также называется теневой ценой (данного вида затрат).

Подробнее с рассмотренными понятиями и методами математического анализа и линейной алгебры можно ознакомиться, например, в [17, 18].

1-й способ (методом подстановки).

Это ограничение позволяет в явном виде найти функцию y = h ( x ), то есть выразить y через x :

Подставляя функцию y = h ( x ) в целевую функцию z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 вместо переменой y, получим Полученная целевая функция зависит только от одной переменной x. Следовательно, нужно найти безусловный экстремум функции одной переменной.

В соответствии с алгоритмом решения задачи на безусловный экстремум функции одной переменной имеем.

Для контроля правильности вычислений подставим ее координаты в ограничение задачи:

Выполнение ограничения свидетельствует о правильности вычислений.

функция z = x + y имеет минимум).

Пятый этап алгоритма не выполняется, так как критическая точка одна.

2-й способ (методом множителей Лагранжа).

В соответствии с алгоритмом решения задачи на условный экстремум целевой функции двух переменных с одним ограничением методом множителей Лагранжа имеем.