«А.А. Васильев ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КРАТКИЙ КУРС И ПРАКТИКУМ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ФЕДЕРАЛЬНОМУ ИНТЕРНЕТ-ЭКЗАМЕНУ В СФЕРЕ ...»

Частные производные второго порядка, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными производными.

Частные производные более высоких порядков определяются аналогичным образом.

Теорема. Если функция z = f ( x, y ) дважды дифференцируема в точке M ( x 0, y 0 ), то ее смешанные производные в этой точке равны, то есть Поэтому величина смешанной производной функции двух переменных не зависит от порядка переменных, по которым берутся производные.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Если функция z = f ( x, y ) : а) определена в некоторой окрестности критической точки ( x 0, y 0 ), в которой обе частные производные равны нулю ( f 'x ( x 0, y 0 ) = 0, f 'y ( x 0, y 0 ) = 0 ); б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка, равные то характер этой точки определяется значением величины = AC B 2.

Если > 0, то в точке ( x 0, y 0 ) функция z = f ( x, y ) имеет экстремум (максимум при A < 0 и минимум при A > 0 ).

Если = 0, то вопрос о наличии экстремума в точке ( x 0, y 0 ) функции z = f ( x, y ) остается открытым.

Данная теорема применима для проверки достаточного условия экстремума функции только двух переменных.

В общем случае для проверки достаточного условия экстремума функции нескольких переменных используется следующая теорема.

Теорема (достаточное условие экстремума функции n переменных). Если точка ( x 1, x 2,..., x n ) является критической точкой функции n переменных z = f ( x 1, x 2,..., x n ), и в окрестности этой точки существуют и непрерывны частные производные второго порядка, тогда 1) если матрица Гессе положительно определена в точке ( x 1, x 2,..., x n ), то данная точка является точкой минимума функции z ;

2) если матрица Гессе отрицательно определена в точке ( x 1, x 2,..., x n ), то данная точка является точкой максимума функции z ;

3) если матрица Гессе не является знакоопределенной в точке ( x 1, x 2,..., x n ), то функция z в данной точке не имеет экстремума.

Матрицей Гессе называется матрица, элементами которой являются частные производные второго порядка функции z = f ( x 1, x 2,..., x n ) по всем переменным Определитель матрицы Гессе называется гессианом.

Для проверки знакоопределенности матрицы Гессе необходимо знакомство с рядом понятий линейной алгебры.

Квадратичной формой L ( x 1, x 2,..., x n ) от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

где a i j ( i, j = 1,..., n ) – коэффициенты квадратичной формы, являющиеся действительными числами, причем a i j = a j i.

Матрицей квадратичной формы называется симметрическая матрица, составленная из коэффициентов квадратичной формы, то есть Симметрическая (симметричная) матрица – квадратная матрица, в которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали равны, то есть a i j = a j i, i = 1,..., n, j = 1,..., n. Матрица Гессе является симметрической матрицей, так как z '' i x j = z '' j x i ( i, j = 1,..., n ).

Квадратичная форма L ( x 1, x 2,..., x n ) называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, она принимает строго положительные (соответственно строго отрицательные) значения, то есть Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной.

Квадратичная форма называется знакопеременной, если среди ее значений имеются как строго положительные, так и строго отрицательные числа.

Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, то есть 1 > 0, 2 > 0, …, n > 0, где Главными минорами матрицы квадратичной формы называются определители этой матрицы вида Для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака “минус” для главного минора первого порядка, то есть главные миноры нечетного порядка отрицательны, а четного порядка положительны.

Если квадратичная форма является знакоопределенной, то все главные миноры ее матрицы отличны от нуля.

4. Вычисление локальных экстремумов функции и выбор того из них, в котором целевая функция задачи принимает максимальное (минимальное) значение.

Метод множителей Лагранжа используется, если из ограничения g ( x, y ) = b невозможно в явном виде выразить функцию y = h ( x ) (то есть невозможно использовать метод подстановки). Метод множителей Лагранжа, также как и метод подстановки, позволяет перейти от задачи на нахождение условного экстремума функции к задаче на нахождение безусловного экстремума функции.

Алгоритм решения задачи на условный экстремум целевой функции двух переменных с одним ограничением методом множителей Лагранжа включает следующие этапы.

1. Введение вспомогательной переменной, называемой множителем Лагранжа, и составление функции Лагранжа, которая представляет собой сумму целевой функции и ограничения, умноженного на множитель Лагранжа, вида Метод множителей Лагранжа основан на том, что точка условного экстремума ( x 0, y 0 ) функции z = f ( x, y ) при условии g ( x, y ) = b совпадает с точкой безусловного экстремума ( x 0, y 0, 0 ) функции Лагранжа.

2. Нахождение частных производных функции Лагранжа по переменным x, y и и приравнивание их к нулю в соответствии с необходимым условием безусловного экстремума функции. В результате получится система из трех уравнений вида 3. Нахождение критических (стационарных) точек, в которых функция Лагранжа (и соответственно целевая функция исходной задачи z = f ( x, y ) ) может иметь экстремум путем решения полученной системы уравнений.

4. Проверка достаточного условия экстремума функции Лагранжа с использованием достаточного условия экстремума функции двух переменных (так как функция Лагранжа L ( x, y, ) при конкретном значении множителя Лагранжа становится функцией двух переменных) или достаточного условия экстремума функции n переменных при n = 2 (путем установления знакоопределенности матрицы Гессе, составленной из частных производных второго порядка функции Лагранжа по переменным x и y, на основе критерия Сильвестра).

5. Вычисление локальных экстремумов функции z = f ( x, y ) и выбор того из них, в котором целевая функция задачи принимает максимальное (минимальное) значение.

В общем случае при решении задач нелинейного программирования вида функция Лагранжа определяется выражением Система из ( n + m ) уравнений для нахождения критических точек имеет вид Для проверки достаточного условия экстремума функции Лагранжа составляется матрица Гессе порядка n из частных производных второго порядка по переменным Множители Лагранжа, соответствующие экстремальному значению целевой функции, характеризуют чувствительность экстремального значения целевой функции z = f ( x 1, x,..., x ) к изменениям констант ограничений b i ( i = 1,..., m ). Они равны и показывают, как изменится экстремальное значение целевой функции z = f ( x 1, x,..., x ) при изменении значения константы b i в i -м ограничении на единицу.

Например, если какой-то множитель Лагранжа равен нулю, то малые изменения соответствующей константы ограничений не окажут никакого влияния на экстремальное значение целевой функции.

В экономических задачах распределения ресурсов целевая функция имеет размерность стоимости, то есть цены, умноженной на объем продукции (например, прибыль, выручка, издержки), а с помощью ограничений устанавливается определенное значение некоторого количества (например, затрат). В таких задачах с помощью множителя Лагранжа определяется чувствительность целевой функции, имеющей размерность стоимости, к изменениям некоторого количества. Поэтому множитель Лагранжа имеет размерность цены и характеризует ценность какого-либо i -о ресурса. Поэтому множитель Лагранжа также называется теневой ценой (данного вида затрат).

Подробнее с рассмотренными понятиями и методами математического анализа и линейной алгебры можно ознакомиться, например, в [17, 18].

1-й способ (методом подстановки).

Это ограничение позволяет в явном виде найти функцию y = h ( x ), то есть выразить y через x :

Подставляя функцию y = h ( x ) в целевую функцию z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 вместо переменой y, получим Полученная целевая функция зависит только от одной переменной x. Следовательно, нужно найти безусловный экстремум функции одной переменной.

В соответствии с алгоритмом решения задачи на безусловный экстремум функции одной переменной имеем.

Для контроля правильности вычислений подставим ее координаты в ограничение задачи:

Выполнение ограничения свидетельствует о правильности вычислений.

функция z = x + y имеет минимум).

Пятый этап алгоритма не выполняется, так как критическая точка одна.

2-й способ (методом множителей Лагранжа).

В соответствии с алгоритмом решения задачи на условный экстремум целевой функции двух переменных с одним ограничением методом множителей Лагранжа имеем.

1. Функция Лагранжа имеет вид 2. Частные производные функции Лагранжа по переменным x, y и равны:

Приравнивание частных производных к нулю в соответствии с необходимым условием безусловного экстремума функции приводит к получению системы из трех уравнений вида 3. Решение полученной системы линейных уравнений методом подстановки имеет вид:

4. Проверка достаточного условия экстремума функции Лагранжа.

В данной задаче функция Лагранжа в критической точке при 0 = является функцией двух переменных x и y вида А. Проверка достаточного условия экстремума функции Лагранжа с использованием достаточного условия экстремума функции двух переменных.

Частные производные второго порядка функции L ( x, y, 0 ) в критической точке равны:

При вычислении этих частных производных второго порядка числовое значение 0 не использовалось, так как оно входит в свободный член частных производных первого порядка и поэтому не влияет на выражения для частных производных второго порядка по переменным x и y.

Значение величины равно минимум.

Б. Проверка достаточного условия экстремума функции Лагранжа с использованием достаточного условия экстремума функции n переменных при n = 2 (путем установления знакоопределенности матрицы Гессе, составленной из частных производных функции Лагранжа по переменным x и y, на основе критерия Сильвестра).

В общем случае матрица Гессе, составленная для частных производных второго порядка функции Лагранжа L ( x, y, 0 ) в критической точке по переменным x и y, имеет вид Подставляя в эту матрицу значения частных производных второго порядка, вычисленные при проверке достаточного условия экстремума функции Лагранжа с использованием достаточного условия экстремума функции двух переменных, получим матрицу Гессе для данной задачи:

Главные миноры этой матрицы равны Так как 1 > 0 и 2 > 0, то в соответствии с критерием Сильвестра матрица Гессе данной задачи в критической точке является положительно определенной.

В соответствии с достаточным условием экстремума функции n переменных при положительно определенной матрице Гессе целевая функция имеет в критической точке локальный минимум.

5. Вычисление локальных экстремумов функции z = f ( x, y ) и выбор того из них, в котором целевая функция задачи принимает максимальное (минимальное) значение.

Так как критическая точка одна, то она является точкой глобального минимума функции. Минимум функции равен Номер варианта ответа: 1.

2.3.4. Задание № 28 по теме “Транспортная задача” Транспортная задача будет закрытой, если … Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме Словесная формулировка транспортной задачи заключается в следующем.

Некоторый однородный продукт производится в m пунктах производства A1, A 2,..., A m. Задан объем производства a i каждого пункта A i ( i = 1, 2,..., m ).

Произведенный продукт должен быть перевезен в n пунктов потребления B 1, B 2,..., B n. Известен спрос b j пункта B j ( j = 1, 2,..., n ). Заданы также транспортные издержки c i j, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта A i в пункт B j.

Требуется составить план перевозок, обеспечивающий при минимальных транспортных расходах (издержках) удовлетворение спроса всех пунктов потребления за счет продукта, произведенного во всех пунктах производства.

Обозначим через x i j количество единиц груза, запланированных к перевозке от i -о поставщика к j -у потребителю. Тогда условие задачи можно представить в виде табл. 5.

Табличное задание условий транспортной задачи Постав- (мощности) по- Транспортная задача называется закрытой, если суммарная мощность поставщиков равна суммарной мощности потребителей (другими словами, если существует баланс между запасами и потребностями). В противном случае транспортная задача называется открытой.

В рассматриваемом задании транспортная задача будет закрытой, если будет выполняться равенство 100 + a + 2 00 = 50 + 6 0 + b + 20 0. Отсюда a b = 10.

Значение a b в вариантах ответов равно: 1) 20; 2) 10; 3) 30; 4) 0.

Номер варианта ответа: 2.

2.4. Типовые задания по экономико-математическим моделям Экономико-математические модели – математические описания экономических процессов, явлений или объектов, включающие:

1) теоретические микроэкономические модели – модели, описывающие взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики или их поведение в отдельности в рыночной среде (модели поведения потребителей и производителей в условиях совершенной и несовершенной конкуренции);

2) теоретические макроэкономические модели – модели, которые описывают экономику как единое целое со связями между агрегированными материальными и финансовыми показателями (валовой внутренний продукт, потребление, инвестиции, занятость, денежная масса, государственный долг, инфляция) (модели общего экономического равновесия и модели развития экономики).

Студенты специальности “Национальная экономика” в рамках дисциплины “Математика” знакомятся с простейшими микроэкономическими моделями.

Для самостоятельного изучения экономико-математических моделей студентами экономических специальностей можно рекомендовать учебники (учебные пособия) [15, 19, 20] и экономико-математический энциклопедический словарь [21].

2.4.1. Задание № 29 по теме “Функции полезности” Функция полезности потребителя имеет вид u = x y. Цена на благо x равна 5, на благо y равна 10, доход потребителя равен 200. Тогда оптимальный набор благ потребителя имеет вид … Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме Одним из основных элементов экономической теории является домашнее хозяйство (потребитель), определяемое как группа индивидуумов, распределяющая свой доход на покупку и потребление товаров и услуг. Основная проблема при изучении поведения потребителя заключается в том, чтобы установить, в каких объемах он приобретает наличные товары и услуги при заданных ценах и доходе. К основным понятиям, используемым при построении математических моделей поведения потребителей, относятся: пространство товаров, бюджетное множество, предпочтения потребителя, функция полезности потребителя.

Поведение потребителя, рассматриваемое с точки зрения рационального ведения хозяйства, математически выражается в выборе некоторой точки из “пространства товаров”. Под товаром понимается некоторое благо или услуга, поступившее в продажу в определенное время в определенном месте.

Пусть n - конечное число рассматриваемых товаров;

тенных потребителем за определенный период (например, за год) при заданных ценах на товары P = ( p 1, p 2,..., p i,..., p n ) и его доходе Q за этот же период.

Пространством товаров называется множество всех возможных наборов товаров, то есть C = { X : X 0} ( C = { X = ( x 1, x 2,..., x n ) T : x i 0, i = 1, 2,..., n } ).

Возможные наборы товаров в таком истолковании представляют собой векторы пространства товаров. Пространство товаров является неотрицательной частью n мерного евклидова пространства.

Скалярное произведение набора товаров X и вектора их цен P представляет собой число, называемое стоимостью набора товаров X и обозначаемое как C ( X ) :

Бюджетным множеством B ( P, Q ) называется множество наборов товаров стоимости не более дохода Q потребителя при данных ценах P на товары.

Границей бюджетного множества G ( P, Q ) называется множество наборов товаров стоимости ровно Q.

Бюджетное множество и его граница задаются с помощью обычных равенств и неравенств в виде а с помощью векторных равенств и неравенств в виде Бюджетное множество и его граница представляют собой выпуклые, ограниченные и замкнутые множества точек.

Выбор потребителем некоторого набора товаров во многом зависит от его вкусов и желаний. При этом потребитель различает наборы товаров, предпочитая один набор товаров другому. Эти предпочтения математически формализуются в виде отношений предпочтения.

Для каждой пары наборов товаров X и Y может иметь место одно из следующих отношений предпочтения:

1) отношение слабого предпочтения, обозначаемое как X Y и означающее, что потребитель предпочитает набор товаров X набору товаров Y или не делает между ними различий;

2) отношение равноценности (безразличия), обозначаемое как X ~Y, имеющее место, если X Y иY X, и означающее, что для потребителя оба набора обладают одинаковой степенью предпочтения;

3) отношение строгого предпочтения, обозначаемое как X f Y, имеющее место, если верно, что X Y, и если неверно, что X ~Y, и означающее, что для потребителя набор X предпочтительнее набора Y.

Отношение предпочтения называется:

1) рефлексивным, если X X для любого X (рефлексивность означает, что любой набор товаров равноценен сам себе);

(транзитивность означает, что если потребитель предпочитает набор Z набору Y, а набор Y набору X, то он должен предпочитать набор Z набору X ; транзитивность также подразумевает, что если покупатель не делает различий между наборами Z и Y и между наборами Y и X, то он не должен делать различий между наборами Z и X ;

она также означает и то, что два набора всегда можно косвенно сопоставить с любым третьим набором товаров);

4) совершенным (полным), если для любых двух наборов X и Y либо X Y, либо Y X (совершенность означает, что потребитель в состоянии сравнить по привлекательности любые два набора товаров).

Система предпочтений потребителя показывает, какой из двух наборов товаров предпочтительнее для него. Однако во многих случаях удобнее оценивать привлекательность набора товаров количественно, то есть приписывать каждому набору X из пространства товаров C какое-либо число u ( X ). В этом случае получается функция u : C R, отображающая пространство товаров в множество действительных чисел.

Главное требование к такой функции состоит в том, что она должна отражать предпочтения на пространстве товаров C.

Функцией полезности потребителя называется функция u ( X ), отображающая пространство товаров в множество действительных чисел и удовлетворяющая следующим условиям:

Введение функции полезности позволяет заменить отношения предпочтения привычными отношениями между числами: больше, меньше, равно.

Вообще под полезностью понимается показатель степени удовлетворения, вызванного потреблением какого-либо набора товаров и услуг или каким-либо отдельным товаром.

Условия существования функции полезности определяются следующей теоремой Дебрё: если система предпочтений непрерывна, то непрерывная функция полезности существует.

Функция полезности, если она существует, не определяется единственным образом. Например, если u ( X ) - функция полезности, то функция v ( X ) = k u ( X ) + b (где k > 0, а b - константа) также будет функцией полезности. В общем случае, если f ( u ) - произвольная строго возрастающая функция на множестве действительных чисел R, то функция f ( u [ X ]) также будет функцией полезности.

Каждый потребитель имеет в общем случае свою функцию полезности.

Кривой (линией) безразличия называется линия уровня функции полезности, соединяющая потребительские наборы ( x 1, x 2 ) T с одинаковой полезностью, то есть Кривые безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются.

Картой кривых безразличия называется множество кривых безразличия. Карта кривых безразличия отражает процесс возрастания полезности наборов благ. При переходе от одной кривой безразличия к другой, более удаленной от начала координат полезность наборов возрастает.

Если число товаров n = 3, то говорят о поверхностях безразличия, а при n > 3 о гиперповерхностях безразличия.

Гиперповерхностью безразличия называется гиперповерхность размера ( n 1), на которой полезность постоянна, то есть u ( X ) = C = c o n s t.

В теории поведения потребителей предполагается, что функция полезности обладает следующими свойствами:

1) полезность набора товаров X возрастает с ростом потребления i -о блага (при неизменных объемах потребления других благ), то есть (первые частные производные функции полезности в точке X называются предельными полезностями i -о товара в точке X ; предельная полезность показывает, на сколько возрастает полезность при возрастании потребления товара на одну единицу; предельная полезность каждого товара положительна: с точки зрения экономики это означает, что если потребитель уже имеет набор товаров X, то он все равно еще желает приобрести i -й товар);

2) небольшой прирост блага при его первоначальном отсутствии резко увеличивает полезность, то есть 3) с ростом потребления блага скорость роста полезности (предельная полезность продукта) уменьшается, то есть Примерами функций полезности, удовлетворяющих перечисленным требованиям, являются:

2) квадратическая функция полезности где матрица ( b i j ) отрицательно определена и a j + b i j x i > 0 для j = 1,..., n ;

a i > 0, x i > b i 0 для i = 1,..., n (основание логарифма должно быть больше 1);

4) функция полезности Стоуна (неоклассическая) u ( X ) = ( x i a i ) i, где a i - минимально необходимое количество i -о блага, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора (набор благ ( a 1, a 2,..., a n ) T можно рассматривать как минимальную потребительскую корзину; для того чтобы набор благ ( a 1, a 2,..., a n ) T мог быть полностью приобретен, необходимо, чтобы доход Q был больше количества денег, необходимых для покупки этого набора, то есть p i a i Q ); i > 0 - коэффициент, характеризующий относительную ценность i -о блага для потребителя.

В теории потребления предполагается, что потребитель всегда стремится максимизировать полезность приобретаемого набора товаров u ( X ) и единственное, что его ограничивает, - это ограниченность дохода.

Поэтому задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора X = ( x, x,..., x ) T, который максимизирует его функцию полезности u ( X ) при заданном бюджетном ограничении B ( P, Q ), то есть Задача потребительского выбора является задачей нелинейного программирования. Решение задачи потребительского выбора двух товаров графическим методом представлено на рис. 8.

Как видно из рис. 8, максимум функции полезности достигается в точке касания верхней кривой безразличия границы бюджетного множества. Такой точкой является точка A ( x 1, x ). Точка A является точкой равновесия, в которой у потребителя нет каких-либо мотивов для пересмотра данного плана покупок.

Рис. 8. Решение задачи потребительского выбора двух товаров Всякая другая точка, лежащая на границе бюджетного множества, например B, или ниже границы бюджетного множества, например C, будет находиться на более низкой кривой безразличия, с более низким уровнем полезности и не устроит покупателя.

Таким образом, максимум функции полезности потребителя при наличии бюджетного ограничения находится на границе бюджетного множества. Поэтому ограниn n ной точке A ( x 1, x ) условия x i 0, i = 1,..., n, выполняются автоматически на основании свойств функции полезности (кривые безразличия располагаются в первом квадранте и неограниченно приближаются к осям координат, но не пересекают их).

С учетом сделанных замечаний задачу потребительского выбора можно представить в виде Данная задача представляет собой задачу на условный максимум функции нескольких переменных при одном ограничении-равенстве и решается методом множителей Лагранжа.

Система уравнений для нахождения решения задачи потребительского выбора X = ( x, x,..., x ) T в общем виде представляет собой следующую систему из ( n + 1) -о уравнения:

где - множитель Лагранжа.

В задаче потребительского выбора вид бюджетного множества и вид функции полезности определяют единственное решение. Поэтому необходимость в проверке достаточного условия экстремума функции отпадает.

Решение задачи потребительского выбора X = ( x, x,..., x ) T называется опn тимальным для потребителя или точкой спроса (локальным рыночным равновесием) потребителя. Точка спроса зависит от конкретных значений цен товаров P и дохода потребителя Q и характеризует спрос потребителя на рассматриваемые товары (блага).

Зависимость точки спроса от цен товаров и дохода потребителя вида X = D ( P, Q ) называется функцией спроса Маршалла. Функция спроса Маршалла представляет собой вектор-функцию ( n + 1) -о аргумента ( n цен p 1, p 2,..., p n и дохода Q ), состоящую из n компонентов, то есть функция спроса Маршалла – это набор n функций вида Каждая из этих функций называется функцией спроса соответствующего товара.

Важное свойство функций спроса Маршалла заключается в том, что пропорциональное изменение цен и дохода не изменяет спроса, то есть для любого положительного числа k имеет место равенство Анализ системы уравнений для нахождения решения задачи потребительского выбора позволяет сформулировать три основных вывода теории предельной полезности:

1) в точке оптимального выбора потребителя цены пропорциональны предельным полезностям благ, то есть (или отношение предельных полезностей благ равно отношению цен, то есть 2) предельная полезность, приходящаяся на одну денежную единицу должна быть одинаковой для всех покупаемых товаров, то есть 3) равные предельные полезности, приходящиеся на одну расходуемую денежную единицу, равны множителю Лагранжа, который поэтому называется предельной полезностью денег (предельная полезность денежной единицы для потребителей с разным уровнем дохода различна: уменьшается с ростом Q и возрастает с его уменьшением; это следует из выражения полученного из разрешения системы уравнений для нахождения решения задачи потребительского выбора относительно ).

Модель поведения потребителя Стоуна, представляющая собой задачу потребительского выбора с функцией полезности Стоуна, имеет вид Функция спроса Стоуна имеет вид Она истолковывается следующим образом по последовательности действий.

2. Затем рассчитывается оставшаяся после этого сумма денег, равная 3. Эта сумма денег распределяется для приобретения дополнительного количества благ пропорционально ценности каждого блага для потребителя 4. Потом выделенная для приобретения каждого дополнительного количества ния этого дополнительного количества:

5. Наконец, вычисляется оптимальное количество каждого приобретаемого i -о блага путем сложения минимально необходимого количества блага a i с дополнительным количеством этого блага.

В общем случае задача потребительского выбора набора из двух товаров X = ( x, y ) T имеет вид конкретная задача потребительского выбора имеет вид Ее решение возможно двумя способами:

1) путем непосредственного решения задачи методом множителей Лагранжа;

2) путем решения системы уравнений для нахождения решения задачи потребительского выбора для заданных функции полезности, цен благ и дохода потребителя.

1-й способ (непосредственное решение задачи методом множителей Лагранжа).

В соответствии с алгоритмом решения задачи на условный экстремум целевой функции двух переменных с одним ограничением методом множителей Лагранжа имеем.

6. Функция Лагранжа имеет вид 7. Частные производные функции Лагранжа по переменным x, y и равны:

Приравнивание частных производных к нулю в соответствии с необходимым условием безусловного экстремума функции приводит к получению системы из трех уравнений вида 8. Решение полученной системы линейных уравнений методом подстановки имеет вид.

Получена одна критическая точка M ( 2 0,10 ) функции полезности. Нахождение численного значения множителя Лагранжа в данной задаче не обязательно.

9. Проверка достаточного условия экстремума функции Лагранжа не производится, так как в задаче потребительского выбора вид бюджетного множества и вид функции полезности определяют единственное решение.

10. Вычисление максимума функции полезности:

2-й способ (решение системы уравнений для нахождения решения задачи потребительского выбора для заданных функции полезности, цен благ и дохода потребителя).

В общем случае система уравнений для нахождения решения задачи потребительского выбора набора из двух товаров X = ( x, y ) T представляет собой следующую систему из 3 уравнений:

Подставляя в эту систему функцию полезности, цены благ и доход потребителя для данной задачи, получим Данная система уравнений аналогична системе, полученной в п. 2 решения 1-м способом. Поэтому дальнейшее решение аналогично решению 1-м способом.

Номер варианта ответа: 3.

2.4.2. Задание № 30 по теме “Кривые безразличия” уравнением … Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме Рассмотрены в п. 2.4.1.

В общем случае кривой безразличия называется линия уровня функции полезности, соединяющая потребительские наборы ( x 1, x 2 ) T с одинаковой полезностью, то есть Следовательно, кривая безразличия задается уравнением x + 4 y =C.

Номер варианта ответа: 4.

2.4.3. Задание № 31 по теме “Функции выпуска продукции” Зависимость между издержками производства С и объемом продукции Q выdC ражается функцией C = 3 0 Q 0, 0 9 Q 3. Тогда предельные издержки при объеме производства Q = 1 0 равны … Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме Производственными функциями (в широком смысле) называются соотношения между используемыми в производстве материальными благами и трудовыми ресурсами (называемыми в совокупности производственными ресурсами) и выпускаемой продукцией. В общем случае производственная функция имеет вид где F - обозначение производственной функции;

X = ( x 1, x 2,..., x n ) - вектор объемов производственных ресурсов, используемых в течение некоторой единицы времени;

Y = ( y 1, y 2,..., y m ) - вектор объемов выпуска продукции;

A = ( a 1, a 2,..., a p ) - вектор параметров производственной функции.

Данное выражение также называется уравнением производственной поверхности. Описание связи между использованием ресурсов и выпуском продукции в таком виде подразумевает, что не учитываются эффекты, связанные с продолжительностью производственного цикла, то есть с периодом между затратами ресурсов и выпуском продукции.

Вместо общего представления производственной функции в виде F ( X, Y, A ) = 0 часто применяются следующие ее разновидности:

1) функции выпуска продукции, в которых в качестве независимых переменных рассматриваются затраты ресурсов, а зависимыми переменными являются объемы выпуска продукции, то есть 2) функции производственных затрат, в которых в качестве независимых переменных рассматриваются объемы выпуска продукции, а зависимыми переменными являются затраты ресурсов, то есть В общем случае в функции выпуска возможны различные сочетания количеств производственных ресурсов, что приводит к тому, что один и тот же объем продукции может быть произведен при разных сочетаниях количеств ресурсов. В функции затрат задание выпуска продукции однозначно определяет затраты ресурсов. Поэтому функции затрат используются в случае, когда в исследуемой экономической системе отсутствует возможность замены одного ресурса другим. Функции выпуска используются тогда, когда такая замена допустима.

В экономической литературе часто под термином “производственная функция” (в узком смысле) подразумевают функцию выпуска.

В теории поведения производителей предполагается, что производственные функции удовлетворяют ряду свойств.

Свойства функции выпуска продукции заключаются в следующем (на примере двухфакторной функции выпуска одного продукта вида y = f ( x 1, x 2 ) ).

1. Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного ресурса, то есть 2. Сростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет (не уменьшается), то есть Данное предположение, кажущееся на первый взгляд очевидным, выполняется не всегда. Например, при увеличении количества удобрений, приходящихся на единицу площади, производство зерна сначала растет, а затем начинает убывать. Для функций выпуска, не удовлетворяющих рассматриваемому свойству, вводится понятие экономической области.

Экономической областью называется подмножество сочетаний объемов ресурсов, в котором увеличение любого ресурса не приводит к уменьшению выпуска продукции. Использование ресурсов в сочетаниях, не попадающих в экономическую область, бессмысленно с экономической точки зрения.

Для дифференцируемых функций выпуска рассматриваемое свойство записывается в виде Для дифференцируемых функций выпуска, имеющих непрерывные производy ваются разделяющими поверхностями.

продуктом (производительностью, эффективностью) i -о ресурса. Величина предельного продукта характеризует отношение прироста выпуска продукции к малому приросту количества производственного ресурса. Например, дополнительное внесение в почву единицы удобрения при неизменных количествах других факторов ведет к некоторому приросту урожая, который и выступает в качестве предельного продукта дополнительной единицы удобрения. Величина предельного продукта зависит от координат точки ( x 1, x 2 ), в которой вычисляется производная.

3. С ростом затрат одного i -о ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i -о ресурса не растет, то есть Это свойство называется законом убывающей эффективности (или законом убывающей производительности факторов производства).

4. С ростом затрат одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, то есть Если выполнены свойства 3 и 4, то график двухфакторной функции выпуска представляет собой кривую, расположенную в неотрицательном квадранте и выпуклую вверх.

5. Функция выпуска является однородной функцией степени p > 0, то есть Показатель однородности p характеризует отдачу от расширения масштабов производства, то есть изменение выпуска продукции при пропорциональном изменении затрат ресурсов, которое математически выражается в умножении всех координат вектора затрат X = ( x 1, x 2,..., x n ) на положительный скаляр t.

При p > 1 производственная функция характеризуется возрастающей отдачей от расширения масштабов производства. В этом случае с ростом масштаба производства в t раз ( t > 1 ), то есть с переходом от вектора затрат X к вектору t X, объем выпуска возрастает в t p ( > t ) раз. При p = 1 производственная функция характеризуется постоянной отдачей от расширения масштабов производства. При p < 1 производственная функция характеризуется убывающей отдачей от расширения масштабов производства.

В экономической области значение показателя однородности функции должно быть больше или равно нуля ( p 0 ).

При рассмотрении свойств функции выпуска вектор ее параметров A в записи функции не использовался, так как считалось, что эти параметры известны.

Неоклассической производственной функцией называется однородная функция выпуска произвольной степени, имеющая положительные первые частные производные, отрицательные вторые частные производные и положительные вторые смешанные производные по всем ресурсам производства.

К основным характеристикам производственной функции выпуска продукции, описывающим разные стороны исследуемой экономической системы, относятся.

1. Предельная производительность i -о ресурса (рассмотрена во втором свойстве функции выпуска), определяемая по формуле 2. Средняя производительность i -о ресурса (средний выпуск по i -у ресурсу), представляющая собой отношение производственной функции к i -у ресурсу, то есть 3. (Частная) эластичность выпуска по i -у ресурсу, представляющая собой отношение предельной производительности i -о ресурса к его средней производительности, то есть Эластичность выпуска по i -у ресурсу показывает, на сколько процентов увеличится выпуск при увеличении затрат i -о ресурса на один процент при неизменном количестве остальных ресурсов.

4. Эластичность производства, представляющая собой сумму эластичностей всех ресурсов производства, то есть Эластичность производства показывает, на сколько процентов увеличится выпуск при увеличении на один процент затрат каждого ресурса.

5. Предельная норма замены (замещения) i -о ресурса j -м, определяемая по формуле Предельная норма замены одного ресурса другим равна отношению их предельных производительностей.

Предельная норма замены i -о ресурса j -м показывает количество j -о ресурса, которое требуется для замены одной единицы i -о ресурса при сохранении на неизменном уровне объема выпуска и количества остальных ресурсов.

6. Эластичность замены (замещения) i -о ресурса j -м, определяемая по формуле Эластичность замены i -о ресурса j -м показывает на сколько процентов должно измениться отношение ресурсов x j и x i, чтобы предельная норма замены изменилась на один процент при сохранении на неизменном уровне объема выпуска и количества остальных ресурсов.

В литературе описано множество конкретных производственных функций выпуска продукции. Чаще всего среди них используются следующие:

1) линейная производственная функция вида y = a 0 + a 1 x 1 +... + a n x n ;

2) производственная функция Леонтьева (затраты-выпуск) вида 3) производственная функция Кобба-Дугласа вида (в приложениях и теоретических исследованиях x 1 = K - объем используемого основного производственного капитала, x 2 = L - затраты труда; с использованием символов K и L рассматриваемая функция примет вид: y = a 0 K a 1 L a 2 );

4) производственная функция с постоянной эластичностью замещения вида где p > 0 - показатель однородности функции, 1 - коэффициент замещения, a 0 > 0, a 1,..., a n 0 (данная функция часто называется ПЭЗ-функцией или CESфункцией (от англ. constant elasticity of substitution)).

CES-функция является обобщением производственных функций первых трех типов: при 1 она приближается к линейной производственной функции; при 0 она приближается к производственной функции Кобба-Дугласа; при она приближается к производственной функции Леонтьева.

Функция затрат нескольких ресурсов для выпуска одного продукта имеет вид К основным свойствам функций затрат относятся.

1. Функция затрат является дважды непрерывно дифференцируемой.

2. При отсутствии производства ресурсы не нужны, то есть 3. Рост производства требует увеличения количества используемых ресурсов, то есть Первые производные функции затрат ресурсов, то есть называются предельными затратами (издержками) i -о ресурса.

В отличие от функций выпуска, которые, как правило, используются для описания сложных экономических систем типа национального или регионального хозяйства в целом, функции затрат применяются для описания производства в относительно простых экономических системах типа фирмы.

Основными видами функций затрат являются:

1) линейная однородная функция затрат вида x i = a i y, i = 1,..., n, a i 0 ;

2) линейная неоднородная функция затрат с ненулевыми затратами при нулевом выпуске вида x i = d i + a i y, i = 1,..., n, a i 0, d i 0 (если все d i равны нулю, то эта функция совпадает с линейной однородной функцией затрат; в противном случае затраты не равны нулю даже тогда, когда продукция не выпускается; эта функция может быть использована в тех случаях, когда приходится заранее делать капиталовложения, объем которых не зависит от масштабов производства);

3) линейная неоднородная функция затрат с нулевыми затратами при нулевом выпуске вида (эта функция обладает одним существенным недостатком – она имеет разрыв в точке нуль, что затрудняет исследование моделей, в которых она используется);

i < 1 - это функция с убывающими предельными затратами, при i > 1 - это функция с возрастающими предельными затратами).

Более подробные сведения о производственных функциях можно получить в [22].

В микроэкономике производственные функции используются при построении математических моделей поведения производителей (фирм). Под фирмой понимается организация, производящая затраты экономических ресурсов (факторов), таких как земля, труд и капитал, для изготовления продукции и услуг, которые она продает потребителям или другим фирмам.

Математические модели поведения фирмы различаются в зависимости от типа рыночной структуры: совершенной конкуренции, монополии, несовершенной конкуренции.

Математические модели поведения фирмы в условиях совершенной конкуренции строятся на основе следующих предпосылок:

1) технологические условия производства описываются производственной функцией, которая отражает чисто технологические условия производства, то есть процесс производства как взаимодействие конкретных видов труда и средств производства без учета процесса создания стоимости;

2) никаких внешних ограничений на объем производства и реализации продукции не существует, то же относится и к покупаемым факторам производства;

3) удельный вес фирмы невелик, в силу чего она не может влиять ни на уровень цен реализуемой продукции, ни на цены закупаемых ею факторов;

4) возможен свободный выход фирмы на рынок и уход с рынка;

5) целью деятельности фирмы является получение максимальной прибыли.

При данных предпосылках построение моделей поведения фирмы сводится к формулировке разных задач максимизации прибыли с целью выяснения наиболее общих сторон деятельности фирмы.

Словесная формулировка неоклассической модели поведения фирмы, производящей один продукт, заключается в максимизации прибыли фирмы путем выбора объемов затрат при заданной производственной функции и при заданных цене продукта и ценах затрат.

Пусть y = f ( x 1, x 2,..., x n ) - производственная функция выпуска продукции фирмы, x 1, x 2,..., x n - объемы затрачиваемых фирмой ресурсов (факторов производства), p 0 - цена единицы выпускаемого фирмой продукта, p 1, p 2, …, p n - рыночные цены затрачиваемых фирмой ресурсов.

В этих обозначениях доход (выручка) фирмы в определенном временном периоде (например, в году), представляющий собой произведение общего объема выпускаемого фирмой продукта y на рыночную цену p 0 этого продукта, составит Издержки производства фирмы, представляющие общие выплаты фирмы в определенном временном периоде за все виды затрат, равны Тогда прибыль фирмы в определенном временном периоде, вычисляемая как разность между полученным фирмой доходом и ее издержками производства, определяется выражением а целевая функция модели поведения фирмы имеет вид Ограничения модели поведения фирмы зависят от того, какой конкретно временной период (долговременный или краткосрочный) предшествует периоду, в котором фирма максимизирует свою прибыль.

В случае долговременного периода времени фирма может свободно выбирать Поэтому модель поведения фирмы в долговременном периоде времени имеет вид Данная задача представляет собой задачу на безусловный экстремум целевой функции n переменных. Ее решение в соответствии с необходимым условием экстремума функции находится в результате решения системы из n уравнений вида Окончательное выражение для нахождения решения модели поведения фирмы в долговременном периоде времени имеет вид Вектор затрат ресурсов X = ( x, x,..., x ), удовлетворяющий данной системе равенств называется оптимальным решением фирмы или локальным рыночным равновесием фирмы (в долговременном периоде времени).

Данные выражения, представляющие собой зависимости оптимального выбора ресурсов x, x,..., x от цены выпускаемого продукта и от цен на ресурсы, называютn ся функциями спроса на ресурсы (затраты) со стороны фирмы на рынках ресурсов.

Подставив функции спроса на ресурсы в производственную функцию, получим выражение вида Данное выражение, представляющее собой зависимость оптимального выпуска продукта от цены выпускаемого продукта и от цен на ресурсы, называется функцией предложения выпуска фирмы на рынке.

В случае краткосрочного периода времени фирма должна учитывать неизбежные лимиты на объемы затрачиваемых ею ресурсов. Поэтому модель поведения фирмы в краткосрочном периоде времени имеет вид где m неравенств вида g j ( x 1, x 2,..., x n ) b j выражают ограничения на затраты для определенного краткосрочного периода.

Данная задача представляет собой задачу нелинейного программирования.

Математические модели поведения фирмы в условиях монополии и несовершенной конкуренции подробно рассмотрены в [19].

Предельными затратами (издержками) i -о ресурса называются первые производные функции затрат ресурсов, то есть В случае функции затрат одного ресурса для выпуска одного продукта предельx ные затраты данного ресурса определяются по формуле h ' ( y ) =.

Подставляя в данное выражение Q = 1 0, получим Номер варианта ответа: 3.

2.4.4. Задание № 32 по теме “Функции спроса и предложения:

ра.

Тогда равновесный объем “спроса-предложения” ( q = s ) … Требуется выбрать один вариант ответа.

Потребители, желающие купить товары или услуги, и производители этих товаров и услуг встречаются на рынке. На рынке потребители реализуют свою функцию спроса на товары и услуги, а производители – свою функцию предложения товаров и услуг.

Основные понятия взаимодействия потребителей и производителей на рынке одного товара и предположения об условиях формирования цены на товар заключаются в следующем.

1. Рынок – система экономических отношений между производителями и потребителями, которые складываются в связи с формированием свободных цен, колеблющихся в зависимости от динамики спроса и предложения.

2. Конкурентный рынок – рынок, участники которого (производители и потребители) не могут влиять на цены товаров и вынуждены только приспосабливаться к существующей системе цен.

3. Совершенная конкуренция – абстрактная модель рыночного механизма как системы обмена, способной эффективно выполнять функцию экономического регулятора. Представляет собой набор условий, которые в совокупности должны обеспечить указанное свойство рынка. К основным условиям, определяющим совершенную конкуренцию на рынке одного товара, относятся:

а) на рынке действует множество продавцов, и ни один из них не может повлиять на цену продукта, изменяя объем предложения, то есть не обладает достаточно большой долей в общем объеме предлагаемого продукта;

б) аналогично, имеется множество покупателей, и ни один из них не может повлиять на цену продукта, изменяя объем своего спроса;

в) нет никаких ограничений (кроме ценовых) для совершения сделок между любым покупателем и любым продавцом;

г) нет никаких факторов, кроме предложения продукта и спроса на него, которые влияли бы на установление рыночной цены;

д) нет ограничений для появления на рынке новых продавцов и покупателей, а также ухода с него уже действующих;

е) участники рынка – продавцы и покупатели – располагают полной информацией, необходимой для выбора партнеров по сделкам и принятия иных решений;

ж) поведение продавцов и покупателей на рынке является рациональным, то есть объяснимым с позиций преследования экономических интересов (каждый продавец стремится максимизировать прибыль от продаж, каждый покупатель – минимизировать издержки на удовлетворение своих потребностей в рамках бюджетных ограничений);

з) затраты на совершение сделок пренебрежимо малы.

4. Спрос – это количество товара, которое потребители готовы купить по определенной цене.

Функция спроса – зависимость количества товара D ( p ), покупаемого на данном рынке за единицу времени при цене p за единицу товара, от цены за единицу товара (по-английски “demand” – спрос). Функция спроса на товар является убывающей функцией цены: при увеличении цены величина спроса на товар стремится к нулю, при уменьшении цены величина спроса увеличивается, то есть 5. Предложение – это количество товара, которое производители готовы продать по определенной цене.

Функция предложения – зависимость количества товара S ( p ), поставляемого на данный рынок за единицу времени при цене p за единицу товара, от цены за единицу данного товара (по-английски “supply” – предложение). Функция предложения товара является возрастающей: при увеличении цены величина предложения товара неограниченно увеличивается, при уменьшении цены величина предложения уменьшается, приближаясь к нулю, то есть 6. Состояние рынка, при котором спрос равен предложению, то есть называется равновесным, а цена, при которой достигается равенство спроса и предложения, называется равновесной ценой.

7. Рынок товара всегда находится в состоянии локального равновесия.

8. В предположении, что функции спроса и предложения определены и непрерывны для всех p > 0, решение уравнения условия равновесия рынка одного товара будет единственным.

Пусть функции спроса и предложения являются линейными функциями цены вида Кроме того, естественно считать, что a > c, так как при нулевой цене спрос превышает предложение.

Подставляя выражения для данных функций спроса и предложения в условие равновесия, получим Отсюда простейшая детерминистская статическая модель определения равновесной цены на рынке одного товара при линейных функциях спроса и предложения имеет вид:

где p, D, S - равновесные цена, спрос и предложение соответственно.

Графическое решение задачи определения равновесной цены в этом случае показано на рис. 9.

Динамические модели установления равновесной цены основаны на предположении, что изменение цены зависит от разности спроса и предложения: если спрос выше предложения, то цена возрастает, в противном случае убывает.

Различают два подхода к построению динамических моделей установления равновесной цены:

1) непрерывный, в котором динамика цен описывается дифференциальным уравнением вида 2) дискретный, в котором переменные на промежутке времени считаются неизменными.

Рис. 9. Графическое решение задачи определения равновесной цены В последнем случае последовательным интервалам времени соответствуют значения цены p ( t ), спроса D ( t ) и предложения S ( t ).

Дискретные динамические модели установления равновесной цены в зависимости от принятых при их разработке предположений делятся на:

1) модели с запаздыванием предложения, в которых условие равновесия имеет вид 2) модели с запаздыванием спроса, в которых условие равновесия имеет вид В обоих случаях в системе координат D(S)Op итерационный процесс установления равновесной цены изображается ломаной в виде паутины, которая как бы “намотана” на кривые спроса и предложения. Это обстоятельство привело к общему названию дискретных динамических моделей установления равновесной цены паутинообразными моделями установления равновесной цены.

В основе детерминистской паутинообразной модели установления равновесной цены на рынке одного товара с запаздыванием спроса лежат следующие предположения:

1) товаропроизводитель, принимая решение об объеме предложения, ориентируется на цену предыдущего периода;

2) рынок всегда находится в состоянии локального равновесия.

Формально эти две гипотезы означают следующее:

1) объем предложения на рынке S t + 1 в каждый период времени t + 1 определяется значением цены предыдущего периода при помощи функции предложения 2) на рынке в каждый период t + 1 устанавливается равновесная цена p t + 1, которая является решением уравнения D ( p t + 1 ) = S t + 1 ;

3) потребитель предъявляет спрос, который при цене p t + 1 в каждый момент времени равен предложению S t + 1, вследствие чего потребитель приобретает все, что ему предложено.

Схематичное графическое истолкование итерационного процесса установления равновесной цены на рынке одного товара на основе паутинообразной модели с запаздыванием спроса представлено на рис. 10.

Рис. 10. Графическое истолкование процесса установления Паутинообразная модель позволяет реализовать процесс “нащупывания” равновесной цены, в результате которого формируется последовательность цен p t, где t номер интервала времени.

Пусть в начальный момент времени t = 0 на рынке установилась начальная цена товара p 0. Тогда производитель по значению этой цены в соответствии с функцией предложения определяет объем предложения S 1 для следующего момента времени t = 1. Так как на рынке предложение превысит спрос ( S 1 > D 1 ), то цена товара уменьшится и станет равной p 1.

Для очередного момента времени t = 2 производитель, ориентируясь на цену предыдущего момента времени p 1, в соответствии с функцией предложения определяет новый объем предложения S 2. Так как на рынке предложение окажется меньше спроса ( S 2 < D 2 ), то цена товара уменьшится и станет равной p 2.

Для очередного момента времени t = 3 производитель, ориентируясь на цену предыдущего момента времени p 2, в соответствии с функцией предложения определяет новый объем предложения S 3 и т. д.

Как видно из рис. 10 итерационный процесс установления равновесной цены сходится.

В общем случае для нелинейных функций спроса и предложения для сходимости итерационного процесса установления равновесной цены хотя бы в ее окрестности должно быть выполнено условие Состояние равновесия рынка одного товара называется устойчивым, если в некоторой окрестности равновесной цены итерационный процесс сходится к состоянию равновесия при любом начальном значении цены из этой окрестности.

Состояние равновесия называется неустойчивым, если существует такая окрестность равновесной цены, что при любом начальном значении цены из этой окрестности, отличном от равновесного, итерационный процесс не сходится к состоянию равновесия.

Найдем зависимость цены товара p t в последующем периоде времени от его цены p t 1 в предыдущем периоде времени для частного случая паутинообразной модели с запаздыванием спроса, в которой функции спроса и предложения линейны и имеют вид:

Равновесная цена товара в t -м периоде времени является решением уравнения или Последовательно подставляя в последнее рекуррентное соотношение значения t =1, 2, … получим Выражение в фигурных скобках представляет собой сумму n первых членов геометрической прогрессии с первым членом a 1 = 1 и знаменателем q =, которая при q 1 (что всегда выполняется) равна При e > b ± и итерационный процесс установления равновесной цены расходится. В этом случае состояние равновесия рынка является неустойчивым.

При e = b (то есть при одинаковых по модулю угловых коэффициентах наклона кривых спроса и предложения) выражение ( ) примет вид При нечетных значениях t =1, 3, 5, … При четных значениях t =2, 4, 6, … и колебания цены имеют постоянную амплитуду.

Схематичное графическое истолкование итерационного процесса установления равновесной цены на рынке одного товара на основе паутинообразной модели с запаздыванием спроса при разных соотношениях между угловыми коэффициентами наклона функции спроса b и функции предложения e показано на рис. 11. Соответствующие им зависимости цены товара от номера интервала времени представлены на рис. 12.

Рис. 11. Графическое истолкование процесса установления равновесной цены при разных соотношениях между угловыми коэффициентами наклона Рис. 12. Зависимости цены товара от времени при разных соотношениях между угловыми коэффициентами наклона функций спроса и предложения Равенство спроса и предложения достигается при выполнении условия Поэтому условие равновесия спроса и предложения имеет вид p + 6 = ( 2 p + 1, 5) ( p + 1), p 1 (выполняется автоматически, так как p 0 );

Полученное уравнение является квадратным уравнением с одним неизвестным вида a x 2 + b x + c = 0. Решение такого уравнения в общем виде определяется выражением В полученном уравнении a = 2, b = 2,5 ; c = 4,5.Поэтому дискриминант квадратного уравнения равен Так как цена не может быть отрицательной ( p 0 ), то при этом условии полученное квадратное уравнение имеет одно решение, которое является равновесной ценой, то есть p = 1.

Тогда равновесные спрос и предложение будут равны Номер варианта ответа: 1.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

Среди заданий для самостоятельного выполнения имеются задания, теоретические сведения для выполнения которых в данном пособии не рассмотрены. Номера таких заданий отмечены символом “*”. При отсутствии остаточных знаний для выполнения этих заданий следует воспользоваться рекомендованными учебными пособиями.

3.1. Задания для самостоятельного выполнения по теории вероятностей Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме “Теория вероятностей: основные понятия” Вероятность наступления некоторого события не может быть равна … В урне находятся 6 шаров: 3 белых и 3 черных. Событие А – “вынули белый шар”. Событие В – “вынули черный шар”. Опыт состоит в выборе только одного шара.

Тогда для этих событий неверным будет утверждение:

Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет 5 очков, равна … 1) 0,1;

Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет нечетное число очков, равна … 1) 0;

Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет число очков больше, чем три, равна … Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет не менее пяти очков, равна … Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет не менее трех очков, равна … Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет четное число очков, равна … Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет не более четырех очков, равна … Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет не менее четырех очков, равна … Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет более одного очка, равна … Наиболее вероятным числом выпадений герба при 5 бросаниях монеты является В слове “WORD” меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных “слов” равно … Количество различных двузначных чисел, которые можно составить из четырех цифр: 1, 2, 3, 4 (все цифры в числе разные), равно … Количество различных способов выбора (порядок не имеет значения) 2 томов из 12-томного собрания сочинений Л.Н. Толстого равно … Количество способов, которыми читатель может выбрать 4 книги из 11, равно … Количество способов, которыми можно разделить 6 различных учебников поровну между 3-мя студентами, равно … Количество способов, которыми можно рассадить 4 человека в поезд из 8-ми вагонов при условии, что все они поедут в разных вагонах, равно … Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме “Теоремы сложения и умножени я веро ятностей ” A, B, C - попарно независимые события. Их вероятности: p ( A ) = 0, 4, p ( B ) = 0,8, p ( C ) = 0,3. Укажите соответствие между событиями и их вероятностями:

Для посева берут семена из двух пакетов. Вероятности прорастания семян в первом и втором пакетах соответственно равны 0,9 и 0,7. Взяли по одному семени из каждого пакета, тогда вероятность того, что оба они прорастут равна … По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих однотипную продукцию, равны 0,2 и 0,25. Тогда вероятность банкротства обоих предприятий равна … По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих однотипную продукцию, равны 0,1 и 0,25. Тогда вероятность банкротства обоих предприятий равна … Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,6 и 0,3 соответственно. Тогда вероятность того, что в цель попадут оба стрелка, равна … Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,8 и 0,75 соответственно. Тогда вероятность того, что цель будет поражена, равна … Из урны, в которой находятся 3 черных и 7 белых шаров, вынимают 2 шара. Тогда вероятность того, что оба шара будут черными, равна … Из урны, в которой находятся 4 черных и 6 белых шаров, вынимают 2 шара. Тогда вероятность того, что оба шара будут черными, равна … Из урны, в которой находятся 4 черных и 7 белых шаров, вынимают 2 шара. Тогда вероятность того, что оба шара будут черными, равна … Из урны, в которой находятся 4 черных и 8 белых шаров, вынимают 2 шара. Тогда вероятность того, что оба шара будут черными, равна … В первой урне 3 белых и 7 черных шаров. Во второй урне 3 белых и 17 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна … В первой урне 3 белых и 7 черных шаров. Во второй урне 13 белых и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна … В первой урне 7 белых и 3 черных шаров. Во второй урне 5 белых и 15 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна … В первой урне 7 белых и 3 черных шаров. Во второй урне 9 белых и 11 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна … В первой урне 4 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна … В первой урне 7 белых и 3 черных шаров. Во второй урне 11 белых и 9 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна … В первой урне 3 белых и 7 черных шаров. Во второй урне 7 белых и 13 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна … В первом ящике 7 красных и 11 синих шаров, во втором 5 красных и 9 синих. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он синий, равна … Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме “Биномиаль ный закон распределения вероятностей” Вероятность выиграть у равносильного противника 2 из 4 партий (ничьи не в счет) равна … Игральную кость бросают 10 раз. Вероятность того, что ровно 3 раза появится четная грань, равна … Вероятность появления события A в 20 независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, равна 0,9. Тогда дисперсия числа появлений этого события равна … Вероятность появления события A в 20 независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, равна 0,4. Тогда дисперсия числа появлений этого события равна … Вероятность появления события A в 40 независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, равна 0,5. Тогда дисперсия числа появлений этого события равна … Вероятность появления события A в 40 независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, равна 0,8. Тогда дисперсия числа появлений этого события равна … Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме “Законы распределени я веро ятностей дискретных Дан закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X :

Тогда значение a равно … Пусть X - дискретная случайная величина, заданная законом распределения:

Тогда математическое ожидание этой случайной величины равно … Пусть X - дискретная случайная величина, заданная законом распределения:

Тогда математическое ожидание этой случайной величины равно … Пусть X - дискретная случайная величина, заданная законом распределения:

Тогда математическое ожидание этой случайной величины равно … Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее математическое ожидание равно 3,3, если … Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Тогда математическое ожидание случайной величины Y = 2 X равно … Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Тогда математическое ожидание случайной величины Y = X 2 равно … Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Тогда дисперсия этой случайной величины равна … График плотности распределения вероятностей для нормального распределения изображен на рисунке … Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятx 4) Тогда математическое ожидание этой нормально распределенной случайной величины равно … График плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины X имеет вид:

Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [ 2, 5]. Распределение случайной величины Y = 3 X 1 имеет … Непрерывная случайная величина X распределена равномерно на отрезке [ 11, 2 0 ]. Тогда вероятность P ( X 0 ) равна … Непрерывная случайная величина X распределена равномерно на отрезке [ 11, 2 6 ]. Тогда вероятность P ( X > 4 ) равна … 3.2. Задания для самостоятельного выполнения Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме “Статистическое распределени е выборки” Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50 :

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50 :

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50 :

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50 :

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50 :

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50 :

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50, полигон частот которой имеет вид.

Тогда число вариант x i = 4 в выборке равно … Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме “Точечные о ценки параметров р аспределения” Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 5, 6, 9, 12. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна … Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 5, 6, 9, 10, 11. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна … Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 6, 7, 10, 11, 12. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна … Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 7, 8, 11, 12, 13. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна … Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 8, 9, 12, 13, 14. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна … Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 9, 10, 13, 14, 15. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна … В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 12, 14, 16. Тогда несмещенная оценка дисперсии измерений равна … В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 12, 15, 15. Тогда несмещенная оценка дисперсии измерений равна … Мода вариационного ряда 1, 2, 2, 3, 4, 5 равна … Мода вариационного ряда 1, 4, 4, 5, 6, 8, 9 равна … Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме “Интерваль ные оценки параметров распределения” Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 10. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 20. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 21. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … Точечная оценка параметра распределения равна 24. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … Точечная оценка параметра распределения равна 25. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … Точечная оценка параметра распределения равна 27. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … Точечная оценка параметра распределения равна 29. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме “Проверка статистических гипотез” Если основная гипотеза имеет вид H 0 : a = 6, то конкурирующей может быть гипотеза … Если основная гипотеза имеет вид H 0 : a = 7, то конкурирующей может быть гипотеза … Если основная гипотеза имеет вид H 0 : a = 10, то конкурирующей может быть гипотеза … Если основная гипотеза имеет вид H 0 : 2 = 2, то конкурирующей может быть гипотеза … Если основная гипотеза имеет вид H 0 : p = 0,5, то конкурирующей может быть гипотеза … Если основная гипотеза имеет вид H 0 : p = 0, 6, то конкурирующей может быть гипотеза … 3.3. Задания для самостоятельного выполнения Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме “Линейное программирование: аналити ческое задание Максимальное значение целевой функции z = x 1 + 3 x 2 при ограничениях Максимальное значение целевой функции z = 2 x 1 + x 2 при ограничениях Максимальное значение целевой функции z = 3 x 1 + x 2 при ограничениях Минимальное значение целевой функции z = x 1 4 x 2 при ограничениях Минимальное значение целевой функции z = x 1 3 x 2 при ограничениях Минимальное значение целевой функции z = 3 x 1 x 2 при ограничениях Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме “Нелинейное программирование” 1) 0;

Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме Транспортная задача будет закрытой, если … Транспортная задача будет закрытой, если … Транспортная задача будет закрытой, если … 3.4. Задания для самостоятельного выполнения Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме Функция полезности потребителя имеет вид u = x y. Цена на благо x равна 10, на благо y равна 4, доход потребителя равен 200. Тогда оптимальный набор благ потребителя имеет вид … Функция полезности потребителя имеет вид u = x y. Цена на благо x равна 10, на благо y равна 20, доход потребителя равен 200. Тогда оптимальный набор благ потребителя имеет вид … Функция полезности потребителя имеет вид u = x y. Цена на благо x равна 5, на благо y равна 20, доход потребителя равен 200. Тогда оптимальный набор благ потребителя имеет вид … Функция полезности потребителя имеет вид u = x y. Цена на благо x равна 10, на благо y равна 5, доход потребителя равен 200. Тогда оптимальный набор благ потребителя имеет вид … Задани я для самостоятель ного выполнени я по теме Производственная функция задается как Y = K 0, 5 L 0, 5, где K - капитал, L труд. Тогда предельный продукт капитала при K = 4, L = 16 равен … Производственная функция задается как Y = K 0, 5 L 0, 5, где K - капитал, L труд. Тогда предельный продукт капитала при K = 4, L = 25 равен … Производственная функция задается как Y = K 0, 5 L 0, 5, где K - капитал, L труд. Тогда предельный продукт труда при K = 9, L = 36 равен … Производственная функция задается как Y = K 0, 5 L 0, 5, где K - капитал, L труд. Тогда предельный продукт капитала при K = 16, L = 25 равен … Производственная функция задается как Y = K 0, 5 L 0, 5, где K - капитал, L труд. Тогда предельный продукт капитала при K = 50, L = 8 равен … Для мультипликативной производственной функции Y = 2 K 0, 6 L 0, 62 коэффициент эластичности по труду равен … Для мультипликативной производственной функции Y = 2 K 0, 6 L 0, 5 коэффициент эластичности по капиталу равен … Для мультипликативной производственной функции Y = 2 K 0, 6 L 0, 51 коэффициент эластичности по капиталу равен … Для мультипликативной производственной функции Y = 2 K 0, 59 L 0, 51 коэффициент эластичности по капиталу равен … Для мультипликативной производственной функции Y = 2 K 0, 57 L 0, 59 коэффициент эластичности по капиталу равен … Зависимость между издержками производства С и объемом продукции Q выражается функцией C = 26 Q 0, 08 Q 3. Тогда предельные издержки при объеме производства Q = 1 0 равны … Зависимость между издержками производства С и объемом продукции Q выражается функцией C = 28 Q 0, 08 Q 3. Тогда предельные издержки при объеме производства Q = 1 0 равны … Зависимость между издержками производства С и объемом продукции Q выражается функцией C = 29 Q 0, 08 Q 3. Тогда предельные издержки при объеме производства Q = 1 0 равны … Зависимость между издержками производства С и объемом продукции Q выражается функцией C = 34 Q 0, 09 Q 3. Тогда предельные издержки при объеме производства Q = 1 0 равны …

СВЕДЕНИЯ О РЕПЕТИЦИОННОМ ТЕСТИРОВАНИИ

Репетиционное тестирование предназначено:

1) для ознакомления студентов с программной оболочкой ТестЭкзаменатор, в которой выполняются задания Федерального Интернет-экзамена;

2) для ознакомления студентов с процедурой выполнения Интернет-экзамена по дисциплине;

3) для предварительной проверки студентами своих остаточных знаний по дисциплине.

Для репетиционного тестирования используются демонстрационные задания АПИМ.

Алгоритм выполнения репетиционного тестирования включает следующую последовательность действий.

1. Открытие главной страницы сайта “Федеральный Интернет-экзамен в сфере профессионального образования” по адресу: http://www.fepo.ru.

2. Переход в левой части главной страницы сайта в разделе “ТЕСТИРОВАНИЕ” по ссылке “репетиционное вузам” в диалоговое окно “Репетиционное тестирование для вуза”.

3. Выбор в окне “Репетиционное тестирование для вуза” в раскрывающихся списках полей ввода “Специальность:” и “Дисциплина:” необходимых сведений (например, “080103.65 – Национальная экономика” и “Математика” соответственно) и нажатие кнопки “Далее ” для перехода в следующее окно “Основные правила тестирования” (для вызова раскрывающегося списка необходимо навести указатель мыши на кнопку “” в правой части поля ввода и нажать левую кнопку мыши).

4. Ознакомление с правилами тестирования в окне “Основные правила тестирования” и нажатие кнопки “Начать тестирование ” для выполнения заданий Интернет-экзамена.

5. Выполнение заданий АПИМ по дисциплине в любой последовательности.

6. Нажатие кнопки “Завершить тестирование” после выполнения всех заданий для перехода в окно “Результаты тестирования”.

7. Ознакомление с результатами тестирования в окне “Результаты тестирования” и нажатие кнопки “OK” для возвращения на главную страницу сайта “Федеральный Интернет-экзамен в сфере профессионального образования”.

Форма представления результатов тестирования приведена в табл. 6.

Форма представления результатов тестирования Результаты тестирования

ОТВЕТЫ НА ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

ВЫПОЛНЕНИЯ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Распоряжение Руководителя Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки В.А. Болотова от 17.07.2006 г. № 1192-05 [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые дан. – М. : Рособрнадзор, 2006. – Режим доступа :

http://www.fepo.ru/index.php?menu=about_rosobrnadzor2.

2. Письмо заместителя Руководителя Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Е.Н. Геворкян руководителям образовательных учреждений высшего профессионального образования от 10.03.2006 г. № 02-55-43ин/ак [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые дан. – М. : Рособрнадзор, 2006. – Режим доступа : http://www.fepo.ru/index.php?menu=about_rosobrnadzor.

3. Об Интернет-экзамене в сфере профессионального образования [Электронный ресурс] / В. Наводнов, А. Масленников. – Электрон. текстовые дан. – М. : Рособрнадзор, 2006. – Режим доступа : http://www.fepo.ru/index.php?menu=about_press_ie.

4. Модель оценки выполнения требований ГОС [Электронный ресурс]. – Электрон.

текстовые дан. – М. : Рособрнадзор, 2006. – Режим доступа :

http://www.fepo.ru/index.php?menu=method_model.

5. Рыжиков, В.Н. Краткий практический курс высшей математики. Контрольноизмерительные материалы [Текст] : учеб. пособие для студентов нематематических специальностей факультетов / В.Н. Рыжиков. – Тверь : Твер. гос. ун-т, 2007. – 84 с.

6. Интернет-экзамен в сфере профессионального образования. Специальность:

080103.65 – Национальная экономика. Дисциплина: Математика [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые дан. – Йошкар-Ола : Росаккредагентство, 2008. – Режим доступа : http://www.fepo.ru/index.php?menu=structs_demo.

7. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учеб.

пособие / В.Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. - М. : Высшее образование, 2006. – 8. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст] : учеб. пособие / В.Е. Гмурман. – 11-е изд., перераб. - М. :

Высшее образование, 2006. – 404 с.

9. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учеб.

для вузов / Н.Ш. Кремер. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.

10. Прикладная статистика. Основы эконометрики [Текст] : учеб. для вузов: В 2 т. – 2-е изд., испр. - Т. 1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656 с.

11. Фадеева, Л.Н. Математика для экономистов: Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций [Текст] : учеб. пособие. – М.: Эксмо, 2006. – 400 с.

12. Фадеева, Л.Н. Математика для экономистов: Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и упражнения [Текст] : учеб. пособие / Л.Н. Фадеева, Ю.В.

Жуков, А.В. Лебедев. – М. : Эксмо, 2006. – 336 с.

13. Васильев, А.А. Математика: Общие понятия и классификации основных разделов прикладной математики, изучаемых студентами экономических специальностей [Текст] : учеб.-справоч. пособие / А.А. Васильев. – Тверь : Твер. гос. ун-т, 2006. – 14. Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике [Текст] : учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. Н.Ш. Кремера. - М. : ЮНИТИ, 2005. – 407 с.

15. Кузнецов, Б.Т. Математика [Текст] : учеб. для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Б.Т. Кузнецов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 719 с.

16. Шукурьян, С.И. Линейное и целочисленное программирование [Текст] : учеб. пособие / С.И. Шукурьян. – Тверь : Твер. гос. ун-т, 2002. – 104 с.

17. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум (части I и II) [Текст] / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.

Фридман; под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Высшее образование, 2007. – 893 с.

18. Ильин, В.А. Высшая математика [Текст] : учеб. / В.А. Ильин, А.В. Куркина. - М. :

ТК Велби, 2002. – 592 с.

19. Моделирование экономических процессов [Текст] : учеб. для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Под ред. М.В.

Грачевой, Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 351 с.

20. Реут, В.Б. Математическая экономика. Ч.1. Графические и математические модели в микроэкономике [Текст] : учеб. пособие / В.Б. Реут. – Тверь : Твер. гос. ун-т, 2000.

21. Экономико-математический энциклопедический словарь [Текст] / Гл. ред. В.И. Данилов-Данильян. – М.: Большая Российская энциклопедия : Издательский Дом “ИНФРА-М”, 2003. – 688 с.

22. Лотов, А.В. Введение в экономико-математическое моделирование [Текст] : учеб.

пособие / А.В. Лотов; под ред. Н.Н. Моисеева. - М. : Наука, 1984. – 392 с.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Предметный указатель по теории вероятностей дисперсия числа появлений непрерывной случайной величины математическое ожидание числа Медиана формула классическое определение 10 стохастический свойства непрерывной случайной величины Закон распределения вероятностей 14 непрерывная Интеграл вероятностей Исход опыта благоприятный элементарный Среднее квадратическое отклонение 18 известной плотности Теорема случайной величины в заданный Числовая характеристика о вычислении вероятности появления положения сложения вероятностей умножения вероятностей для двух независимых для независимых в совокупности общая формулировка Теория вероятностей Предметный указатель по математической статистике Вариант относительная частота частость Дисперсия выборочная исправленная выборочная несмещенная оценка смещенная оценка Полигон частот относительных частот Признак дискретный непрерывный Совокупность генеральная выборочная объем Статистика критерия математическая Статистическая гипотеза проверка логическая схема простая сложная Статистическая оценка точечная состоятельная по экономико-математи ческим методам Алгоритм решения задачи на безусловный экстремум функции двух переменных 48-51 Максимум функции на безусловный экстремум глобальный (функции нескольких функции одной переменной 48 переменных) на условный экстремум функции локальный (функции нескольких Гессиан Достаточное условие экстремума функции градиентные методы оптимизации Задача линейного программирования алгоритм решения графическим методом на основе вычисления значений целевой функции во всех вершинах области допустимых решений геометрический смысл область допустимых решений словесная формулировка на условный экстремум функции нелинейного программирования словесная формулировка 57 экстремума функции Квадратичная форма знакопеременная отрицательно определенная положительно определенная математическое Точка Уравнения связи по экономико-математи ческим моделям Безразличия гиперповерхность Бюджетное множество 59 установления равновесной цены на Задача потребительского выбора оптимальное решение система уравнений для нахождения решения Закон Госсена убывания предельной полезности убывающей производительности факторов производства поведения потребителя Стоуна 65 равновесное состояние (рынка одного поведения фирмы (неоклассическая) товара) в краткосрочном периоде словесная формулировка 74 Совершенная конкуренция экономико-математическая 58 Спрос рефлексивное симметричное слабого предпочтения совершенное строгого предпочтения транзитивное Полезность выводы теории предельной полезности предельная (денег) Потребитель локальное рыночное равновесие точка спроса Предельный продукт Предложение функция Разделяющая поверхность 70 производственная (в узком предельная норма замены 72 производственная (в широком предельная производительность 70, 71 смысле) предельные затраты (издержки) 73 выпуска эластичность замены Рынок конкурентный основные характеристики 71 Эластичность с постоянной эластичностью производства затрат линейная неоднородная с ненулевыми затратами при нулевом выпуске линейная неоднородная с нулевыми затратами при нулевом выпуске линейная однородная спроса Маршалла на ресурсы Стоуна истолкование товара Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА,

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

КРАТКИЙ КУРС И ПРАКТИКУМ

ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ФЕДЕРАЛЬНОМУ

ИНТЕРНЕТ-ЭКЗАМЕНУ

В СФЕРЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ “МАТЕМАТИКА”

для студентов, обучающихся по специальности 080103 “Национальная экономика” и другим экономическим специальностям кандидат технических наук, старший научный сотрудник В.М. Кукушкин, Тверского филиала Московского гуманитарно-экономического института);

кандидат технических наук, старший научный сотрудник С.И. Шукурьян, (зав. кафедрой автоматизированной обработки экономической информации и статистики Тверского государственного университета) Васильев, А.А. Теория вероятностей, математическая статисти ка, эконо мико -математически е методы и экономико-математически е модели. Краткий курс и практик ум для подготовки к Федеральном у Интернет- экз амен у в сфере профессионального образования по дисциплине “Математи ка” [Текст] : учеб. пособие для ст удентов, обучающи хся по специальности 080103 “Национальная экономика” и другим экономическим специально стям и направлениям / А. А. Василь ев ; Федеральное агентство по образо ванию ; Тверской гос. ун-т. – Тверь : Твер. гос. ун-т, 2008. – 119 с.

Учебное пособие предназначено для самостоятельной подготовки студентов специальности “Национальная экономика” к Федеральному Интернет-экзамену в сфере профессионального образования по математике (по дидактическим единицам “Теория вероятностей”, ‘Математическая статистика”, “Экономико-математические методы” и “Экономико-математические модели”).

Оно содержит сведения об Интернет-экзамене, тематическую структуру и типовые задачи аттестационных педагогических измерительных материалов по математике в части перечисленных дидактических единиц, решение всех типовых задач с приведением необходимых теоретических сведений, тесты для самостоятельного решения и ответы на них, а также необходимые сведения для выполнения репетиционного тестирования.

Пособие может быть также полезно студентам других экономических специальностей и направлений, а также преподавателям математики у них.

Печатается по решению кафедры автоматизированной обработки экономической информации и статистики (протокол № 10 от 18 июня 2008 г.) Подписано в печать 25.06.2008 г. Формат 6090 1/16.

Отпечатано на экономическом факультете Тверского государственного университета

1. ТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АТТЕСТАЦИОННЫХ

ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПО

ДИСЦИПЛИНЕ “МАТЕМАТИКА” (ПО ДИДАКТИЧЕСКИМ

ЕДИНИЦАМ “ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ”, “МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА”, “ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ”

2.1. Типовые задания по теории вероятностей..………………………………... 2.1.1. Задание № 17 по теме “Теория вероятностей: основные 2.1.2. Задание № 18 по теме “Теоремы сложения и умножения вероятностей: вероятность произведения” …………………………... 2.1.3. Задание № 19 по теме “Биномиальный закон распределения 2.1.4. Задание № 20 по теме “Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин:

2.2. Типовые задания по математической статистике ………………………….. 2.2.1. Задание № 21 по теме “Непрерывное распределение 2.2.2. Задание № 24 по теме “ Точечные оценки параметров 2.2.3. Задание № 23 по теме “Интервальные оценки параметров 2.2.4. Задание № 22 по теме “Проверка статистических гипотез” ……….. 2.3. Типовые задания по экономико-математическим методам ………………. 2.3.1. Задание № 25 по теме “Линейное программирование:

2.3.2. Задание № 26 по теме “Линейное программирование:

аналитическое задание области допустимых решений” ……………. 2.3.3. Задание № 27 по теме “Нелинейное программирование” ………….. 2.3.4. Задание № 28 по теме “Транспортная задача” ………………………. 2.4. Типовые задания по экономико-математическим моделям ………………. 2.4.1. Задание № 29 по теме “Функции полезности” ……………………… 2.4.2. Задание № 30 по теме “Кривые безразличия” ………………………. 2.4.3. Задание № 31 по теме “Функции выпуска продукции” …………….. 2.4.4. Задание № 32 по теме “Функции спроса и предложения:

3.1. Задания для самостоятельного выполнения 3.2. Задания для самостоятельного выполнения 3.3. Задания для самостоятельного выполнения по экономико-математическим методам ………..…...……………………... 3.4. Задания для самостоятельного выполнения по экономико-математическим моделям …..………...……………………..

5. ОТВЕТЫ НА ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

ВВЕДЕНИЕ

Эксперимент по введению Федерального Интернет-экзамена в сфере профессионального образования (ФЭПО) проводится с мая 2005 года. С этого времени во всех его этапах участвует Тверской государственный университет (ТвГУ).

Основные положения по организации ФЭПО и по использованию его результатов заключаются в следующем [1-4].

1. ФЭПО проводится Национальным аккредитационным агентством в сфере образования (Росаккредагентство), г. Йошкар-Ола.

2. ФЭПО является видом проверки остаточных знаний студентов по циклу общих гуманитарных и социально-экономических дисциплин и по циклу общих математических и естественнонаучных дисциплин.

3. Основной задачей ФЭПО является оценка соответствия результатов обучения студентов требованиям государственных образовательных стандартов (ГОС).

4. Оценка соответствия результатов обучения требованиям ГОС производится на основе результатов выполнения студентами заданий аттестационных педагогических измерительных материалов (АПИМ) по дисциплинам федерального компонента ГОС.

5. АПИМ разработаны для каждой дисциплины федерального компонента ГОС из цикла общих гуманитарных и социально-экономических дисциплин и из цикла общих математических и естественнонаучных дисциплин для каждой специальности и направления.

6. Структура АПИМ по дисциплине включает основные дидактические единицы требований ГОС к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы по данной дисциплине. Дидактическая единица (ДЕ) – это логически самостоятельная часть учебного материала, по своему объему и структуре соответствующая таким компонентам содержания как понятие, теория, закон, явление, факт, объект и т.

п. Например, дидактическими единицами дисциплины “Математика” для студентов специальности 080103 “Национальная экономика” являются “Линейная алгебра”, “Математический анализ”, “Теория вероятностей”, “Математическая статистика”, “Экономико-математические методы” и “Экономико-математические модели”. Каждая ДЕ состоит из нескольких тем, по каждой из которых предполагается выполнение одного задания. С тематической структурой и демонстрационным вариантом АПИМ по любой дисциплине любой специальности (направления) можно ознакомиться на сайте Росаккредагентства “Федеральный Интернет-экзамен в сфере профессионального образования” по адресу: http://www.fepo.ru.

7. АПИМ представляют собой специальным образом подобранные наборы тестовых заданий закрытой формы (выбор одного или нескольких ответов из предложенных), выполнение которых требует использования знаний и умений в знакомой ситуации (то есть задания рассчитаны на типовые действия). При таком способе построения АПИМ Интернет-экзамен позволяет оценить только минимальный, базовый уровень освоения ГОС и не может служить полноценной экзаменационной процедурой для студентов. Поэтому ФЭПО следует рассматривать не как альтернативу обычному экзамену, а как его дополнение. Выполнение Интернет-экзамена соответствует освоению дисциплины на оценку “удовлетворительно”. Для получения оценок “хорошо” и “отлично” необходимо показать творческий подход к дисциплине, который может быть оценен только на экзамене, проводимом преподавателем.

8. Концептуальной основой модели оценки выполнения требований образовательного стандарта является оценка освоения всех ДЕ дисциплины на уровне требований ГОС.