«Н.Д.Дроздов ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ Учебное пособие Тверь 2006 2 УДК 51-7 (075.8) ББК В1я73-1 Д 75 Рецензенты: доктор технических наук, профессор Сиротинин Е.С., доктор экономических наук, заведующая ...»

1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

Н.Д.Дроздов

ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие Тверь 2006 2 УДК 51-7 (075.8) ББК В1я73-1 Д 75 Рецензенты:

доктор технических наук, профессор Сиротинин Е.С., доктор экономических наук, заведующая лабораторией проблем региональной экономики, доцент Лапушинская Г.К.

Н.Д.Дроздов История и методология прикладной математики. Учебное пособие, Тверь: Твер. гос. ун-т, 2006. 303 с., рис. 6, библ. Учебное пособие предназначено для студентов университетов, обучающихся на факультетах прикладной математики. Пособие содержит существенно расширенный материал лекционного курса «История и методология прикладной математики», прочитанного на отделении магистратуры факультета прикладной математики и кибернетики Тверского гоударственного университета 1997-1999 гг. Раздел пособия, содержащий методологию и логику прикладных исследований, может быть полезным для лиц, не окончивших соответствующие факультеты университетов, но занимающихся прикладными математическими исследованиями в самых различных областях науки и техники, т.е. использующих математические модели для решения практических задач.

Особое внимание в этом разделе уделено проблеме постановки задачи в реальных условиях работы исследователей.

УДК 51-7 (075.8) ББК В1я73- Печатается по решению методической комиссии факультета ПМиК ТвГУ © Тверской государственный университет, © Дроздов Н.Д., Содержание Предисловие………………………………………………….. 1 Чистая и прикладная математика…………………………… 1.1. Прикладная математика и моделирование……………… 1.2. Две стороны математики…………………………………... 2. История прикладной математики…………………………… 2.1. Основные этапы истории прикладной математики……… 2.2. Математика на заре человечества………………………… 2.3. Древний Восток………………………………………………. 2.4. Древняя Греция……………………………………………… 2.5. Восток после упадка античного общества………………… 2.6. Западная Европа. Возрождение…………………………… 2.7. XYII столетие 2.8. XYIII столетие 2.9. XIX столетие 2.10. Математика в XX столетии 2.11.XX век и кризис математического сообщества 2.12. О синтезирующей роли математики 3. Методология и логика прикладной математики 3.1. Особенности подготовки прикладных математиков. 3.2. Системный подход - основа методологии системного анализа ………………………………………….. 3.2.1 Система. Основные понятия.. 3.2.2. Принцип системности. 3.2.3. Закономерности материального мира. 3.3. Особенности методологии прикладной математики. 3.3.1. Необходимость участия прикладного математика на этапе постановки задачи 3.3.2. Различие целей теоретического и прикладного исследования 3.3.3. Повторно обращение к модели. «Спор» моделей 3.3.4. Существование в чистой и прикладной математике 3.3.5. Проблема адекватности 3.3.6. Трансформация математики при освоении новых областей знания 3.3.7.. Сочетание формальных и неформальных методов 3.3.8. Типовые рациональные рассуждения 3.3.9. Необходимость учета многовариантности 3.3.10. Прикладная математика и число…………………….. 3.3.11 Проблема бесконечности……………………………….. 3.3.12. О математической строгости………………………. 3.3.13. Функции в прикладной математике…………………. 3.3.14. Устойчивость относительно изменения параметров………………………………………………………… 3.3.15. Скорость сходимости вычислительных методов.... 3.3.16. Необходимость учета внематематических ограничений…………………………………………………………. 4. Математические методы 4.1. Особенности применения вычислительных методов…..….. 4.2. Из истории развития вычислительной техники в СССР…... 5. Модели…………………………………………………………… 5.1. Определение понятия «модель»……………………………... 5.2. Определение понятия «модель» в логико-алгебраических терминах…………………………………………………………. 5.3. Классификация моделей……………………………………... 5.4. Общие требования к моделям……………………………….. 5.5. Структура моделей…………………………………………… 5.6. Этапы моделирования……………………………………… 6. Постановка задачи……………………………………………... 6.1. Значение и содержание этапа “Постановка задачи”………. 6.2.. Изучение объекта (системы, процесса) исследования…… 6.3. Анализ структуры управления……………………………… 6.4. Учет условий функционирования (динамики внешней среды)………………………………………………………… 6.5. Уяснение цели исследования……………………………….. 6.6. Анализ доступной информации……………………………. 6.7. Выявление релевантных факторов………………………… 6.8. Формирование системы (набора) альтернатив……………. 6.9. Выбор критерия (системы критериев) качества решения задачи……………………………………………………………... 6.10. Анализ ограничений, допущений………………………… 6.11. Анализ внематематических ограничений………………... 6.12. Установление масштаба предстоящего эксперимента….. 6.13. Математическая постановка (формализация) задачи ….. 7. Задачи, возникающие на различных этапах оделирования…………………………………. 7.1. Выбор типа (вида) модели………………………………… 7.2. Прогнозирование………………………………………… 7.3. Планирование эксперимента……………………………… 7. 4. Проверка модели…………………………………………… 7.5. Анализ результатов и внедрение рекомендаций……….. 8. Примеры моделей прикладных задач…………………….. 8.1. Задача о назначениях……………………………………… 8.2. Планирование производства. Продажа ресурсов……… 8.3. Рациональная диета………………………………………. 8.4. Планирование военной операции………………………… 8.5. Планирование работы киоскера………………………….. 8.6..Обоснование решения о строительстве нового предприятия………………………………………………. 8.7. Обоснование создания новой системы обороны……….. 8.8. Взаимодействие двух систем производства сельхозродуктов……………………………………………. 8.9. Взаимодействие производителя сельхозпродуктов и переработчика этих продуктов…………………………. 9. Теория вероятностей и математическая статистика в математицеских моделях…………………………… 9.1. Теория вероятностей. История Область применения 232..

9.2.Вычислительные методы комбинаторной математики………………………………………………………235.

9.3.Математическая статистика………………………….. 9.4. Случайные процессы……………………………………… 9.5. Теория игр и статистических решений……………….. 9.6. Математические модели в статистической теории систем автоматического управления и регулирования… 10. Особенности моделей экономических и социальных процессов……………………………………………………. 11. Моделирование в исследовании операций …………….. 12. Субъективные проблемы исследования ……………….. Литература………………………………………………………………………………….. Приложение. Математические методы …………………… Приложение. Математически методы 1. Вычислительная математика. Классические методы 1.1. Решение уравнений 1.2 Решение задач линейной алгебры 1.3. Интерполирование, Численное дифференцирование и интегрирование 1.4. Равномерное и среднеквадратическое приближение функций 1.5. Численное интегрирование дифференциальных уравнений 2. Дальнейшее развитие классических вычислительнвх методов 2.1. Дифференцирование в нормированных пространствах 2.2. Алгоритм выпулого анализа 3. Методы оптимизации 3.1. Постановка задачи оптимизации 3.2. Экстремум в задачах безусловной оптимизации 3.3. Численные методы безусловной оптимизации.

3.4. Численные методы одномерная оптимизации 3.5. Экстремум в задачах условной оптимизации 3.6. Классическая задача на условный экстремум 3.7. Общий вид задач условной оптимизации Принцип Лагранжа в 3.8. Численные методы условной оптимизации 3.9. Линейное программирование 4 Алгоритмы дискретного программирования 4.1. Методы отсечения Гомори 4.2. Венгерский алгоритм 4.3. Метод ветвей и границ 4.4. Метод построения последовательности планов 5. Динамическое программирование Стимулом к написанию пособия явилось то, что при обучении студентов на факультетах прикладной математики университетов обычно недостаточно внимания уделяется особенностям методологии и логике прикладной математики, в том числе методологическим аспектам моделирования. Пренебрежение этой необходимой для подготовки прикладных математиков областью знаний особенно отчетливо проявляется на младших курсах при изучении основ математики, т.е. когда закладываются основы научного мировоззрения будущего специалиста. Что касается методических аспектов моделирования, то непонимание их важности характерно, в той или иной мере, для всего периода обучения.

При отсутствии понимания особенностей методологии и логики прикладной математики, специалисты - прикладные математики, обладая достаточными теоретическими математическими знаниями, оказываются беспомощными в применении своих знаний для решения конкретных задач.

Им приходится переучиваться и, что особенно печально, при таком "переучивании" происходит, как правило, приспособление молодого специалиста к установившимся подходам к решению прикладных проблем со всеми вытекающими отсюда последствиями - говорить о вкладе молодого специалиста в ускорение научно-технического прогресса уже не приходится.

Явления застоя в наибольшей степени заметны в управленческих структурах, где сегодня наиболее опасны традиционный волюнтаризм при решении возникающих проблем и вопиющая неграмотность при прогнозировании результатов принимаемых решений, а молодые специалисты, будучи не подготовлены к самостоятельному осмыслению и постановке реальных задач, оказываются не в состоянии способствовать научно-обоснованному решению задач управления.

Предметный непрофессионализм существенно снижает эффективность использования ЭВМ. Старый бумажный бюрократизм превратился в бюрократизм компьютерный, и он куда более опасен – за ЭВМ можно укрыться. Н.Винер в 1954 г на вопрос почему так низка – всего 10% эффективность использования ЭВМ, ответил: «Потому то нужен разум, чтобы знать, что давать машине». Н.Н. Моисеев неоднократно подчеркивал, что математику, занимающемуся прикладными исследованиями, нужно уметь самому искать то «жемчужное зерно», которое впоследствии он назовет моделью.

Сегодня методологии прикладной математики по-прежнему уделяется недостаточно внимания. Так, в интересный и полезной, на наш взгляд, книге В.Русанова и Г.Рослякова1 методология прикладной математике сведена, в основном, к описанию истории развития и применения алгоритмов и численных методов решения задач - что само по себе, представляет безусловный интерес. Но при этом оставлены без внимания основополагающие аспекты методологии прикладных математических В.В.Русанов, Г.С.Росляков. «История и методология прикладной математики». М., 2004 г.

исследований, развитые ранее в трудах ряда русских математиков, успешно сочетающих в своей работе теорию и практику2.

Разделить историю развития теоретической и прикладной математики невозможно и не нужно. Именно в совместном развитии двух ветвей математики проявляется мощное влияние математики на развитие человеческого общества, проявляется основная линия развития математики – обеспечение потребностей общества. Исходя из этих положений, следует рассматривать историю прикладной математики как историю участия прикладной математики в совместном плодотворном развитии двух тесно взаимодействующих ветвей единой науки математики При подготовке учебного пособия автор в значительной степени опирался на собственный опыт работы - более двадцати лет в одном из прикладных НИИ. В пособии широко цитируются источники, указанные в списке литературы. Цитируемые положения, с которыми автор полностью согласен, написаны точным и образным языком, и нет никакой необходимости в поиске других формулировок.

Несколько большее внимание, чем обычно принято в подобных пособиях, уделяется описанию процесса моделирования в логикоалгебраических терминах. При использовании такого описания представляется возможным более четко пояснить, что такое адекватность модели исследуемой системе, в чем заключается разница между моделью реального объекта и различными спекуляциями, претендующими на прикладные исследования.

В заключение еще одно замечание. Прикладные математические исследования связаны с анализом проблем в реальных системах и их результатом обычно являются рекомендации по принятию конкретных решений. При этом приходится иметь дело с различными оппонентами, заинтересованными в той или иной части в результатах исследований. Не следует ожидать, что среди оппонентов будут только квалифицированные люди и только лица, действительно заинтересованные в лучшем решении проблемы. Не исключено, что в числе оппонентов окажутся лица, обладающие властью, но либо не достаточно грамотные, либо просто решающие свои частные корыстные задачи. Прикладной математик должен обладать немалым мужеством, чтобы объективно провести исследование, а затем отстоять научно-обоснованные выводы и рекомендации. Можно заявить, что все это вне науки. Отнюдь нет. Прикладные исследования ведутся в обстановке реального мира, при непрерывном воздействии окружающей среды и это одна из основных их особенностей, принципов.

Соответственно, в примерах постановки задач особое внимание уделяется влиянию «внешних» обстоятельств на постановку задачи. Весьма показательным в этой части является разработка системы противоракетной 2. Например, во второй половины XX века в России проблемам методологии прикладных математических исследований значительное и конструктивное внимание уделяли Н.Н.Моисеев и Е.С.Вентцель.

обороны, где научное обоснование постановки задачи подменялось политической коньюктурой и амбициями вывокопоставленных чиновников от науки.

1. Чистая (теоретическая) и прикладная математики – 1.1. Прикладная математика и моделирование.

Предметом прикладной математики – предметом прикладных математических исследований являются фрагменты реального мира:

явления природы, социально-экономические системы, производственные процессы, технические конструкции, структуры управления и пр.

Математическое моделирование – инструмент прикладных математических исследований, инструмент прикладной математики.

Прикладное исследование начинается с уяснения возникшей задачи.

Это уяснение цели исследования является первым важным этапом разработки модели. Исследование завершается обеспечением реализации выработанных рекомендаций, что также должно быть предусмотрено при разработке модели.

Таким образом, представляется невозможным разделить два понятия:

прикладное математическое исследование и прикладное математическое моделирование.

1.2. Две стороны математики.

Математика – наука, изучающая схемы моделей безотносительно к их конкретному воплощению и методы (способы) использования моделей для решения конкретных задач. Если вначале математика занималась простейшими числовыми моделями, то теперь наибольший интерес представляют более сложные качественные модели.

У математики есть и другая функция. А именно, язык математики, ее методы используются в других науках. Об этой функции математики так сказал Галилей: «Философия природы написана в грандиозной книге – Вселенной, которая открыта нашему пристальному взгляду. Но понять эту книгу может лишь тот, кто научился понимать её язык и знаки, которыми она написана. А написана она на языке математики и письмена ее – геометрические фигуры, без которых нельзя понять по-человечески ее слова, без них - тщетное кружение в тесном лабиринте».

О решающем значении математики в развитии наук говорили еще многие выдающиеся деятели культуры. Приведем еще два высказывания.

«Учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена к ней математика»

(Иммануил Кант).

«Математика дает точным естественным наукам определенную меру уверенности в выводах, достичь которой без математики они не могут»

(Альберт Эйнштейн).

Сегодня в принципе невозможно представить, не прибегая к математике, наши знания в виде непрерывной единой системы. Необходимо и существенное расширение многих традиционных представлений о содержании и принципах математических исследований. Количественный аспект является одной из важнейших сторон математики. Но этот аспект далеко не исчерпывает математику. Математика развивается прежде всего как дисциплина, создающая качественные методы анализа.

В математике различают два направления (две ветви): теоретическую (чистую) и прикладную. Большинство математиков придерживаются положения, что эти два направления являются двумя непрерывно обогащающими друг друга сторонами одной науки – математики. Для известного американского математика Т.Саати это очевидно, он говорит о своей любви к обеим сторонам математики: к чистой – за ее возвышенный уход от реальности; к прикладной – за ее страстное стремление к жизни.

Математика всегда отвечает потребностям человеческого общества. Все важные направления математики, так или иначе, связаны с решением задач, стоящих перед человечеством. Плодотворные математические идеи не произвольная игра ума, они всегда отражают реальный Мир, пусть часто в весьма абстрактном виде и в очень сложной причинно - следственной связи.

На определенном этапе человеческое общество осознает необходимость и важность как теоретических обобщений прикладных математических исследований в различных областях науки и техники, так и чисто теоретических математических построений и создает математикам условия для работы в этих направлениях. Чтобы гений Ньютона проявил себя в эпохальных научных результатах, потребовалось создание обществом соответственных условий для его работы. Как правило, влияние социальноэкономических факторов на математику происходит не непосредственно, а через другие науки: экономику, географию, астрономию и др.

Взаимосвязь, единство двух сторон математики, их взаимообогащение особенно отчетливо заметны, если обратиться к истории развития математики. Подчас очень трудно в конкретных условиях установить связь того или иного теоретического направления математики с конкретной человеческой практикой. Однако связь легко просматривается сквозь перспективу столетий. И более того, всякий крупный прорыв человеческой мысли в новые области техники и физики, как следствие, всегда стимулировал развитие математики.

Новая теория, генерируемая запросами практики, возникнув, может начать самостоятельную жизнь, казалось бы, не связанную с исходной посылкой, а затем возвращает сторицей то, что она использовала для своего развития, то, что послужило исходным пунктом. Такое положение, в частности, имеет место, когда появляется прикладная проблема, для решения которой существующего математического аппарата оказывается не достаточно.

Иногда плодотворные теоретические идеи сами порождают новые математические теории, причем порой в этих теориях не видно ничего утилитарного. Однако теоретические результаты, кажущиеся при появлении бесполезными, становятся со временем необходимыми для решения вновь появившихся практических проблем, и теоретические математические абстракции эффективно используются для постановки и решения новых прикладных задач. Не редки случаи, когда прикладная задача только сформулирована, а математический аппарат, который может быть использован для ее решения, уже существует.

И все же периодически появляются высказывания, и даже дискуссии относительно содержания и взаимоотношений чистой и прикладной сторон математики. Приведем некоторые "крайние'' позиции.

1. "Математика есть создание чистого разума и поэтому не нуждается в связи с другими сферами деятельности". (Л.Морден) 2. "Под словом математика … подразумевается чистая математика.

Кроме нее существует прикладная … Задачей статьи является проведение четкой и недвусмысленной линии раздела, даже не линии, а заградительной полосы между этими двумя совершенно разными областями науки".

(А.Китайгородский) 3. "Математика едина. Это положение означает, что деление математики на чистую и прикладную не может быть строго проведено, что чистая и прикладная математики являются частями единого неразрывного целого, называемого математикой, что эти части невозможно четко отделить одну от другой". (Л.Кудрявцев) 4. " Чисто логические концепции должны составлять, так сказать, твердый скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но сама жизнь математики, ее продуктивность относится преимущественно к приложениям. Изгнать приложения из математики это то же самое, что искать живое существо с одной только костной основой без мускулов, нервов, сосудов". (Ф.Клейн) Представляется, что высказанное Ф.Клейном мнение относительно единства математики предельно убедительно. При дальнейшем изложении будем придерживаться положения, что чистая (теоретическая) и прикладная математика не что иное, как две стороны одной науки – математики. Использование терминов "чистая", "прикладная" оказывается удобным, вследствие естественного разделения направлений деятельности математиков, что, соответственно, приводит к необходимости дифференциации подготовки математиков. В большинстве случаев вместо термина "прикладная математика" ближе к существу было бы "прикладные математические исследования".

Известен спор между Фурье и Якоби относительно смысла и стимулов математического творчества. По мнению Якоби - это прославление человеческого Разума, по мнению Фурье - содействие объяснению природы.

Каждое из этих утверждений определяет основные направления развития математики. Но необходимо к определению Фурье добавить: и содействие решению реально существующих практических задач во всех областях человеческой деятельности.

Можно ли понять некоторых математиков-теоретиков в их стремлении изгнать приложения из математики? Если последовательно придерживаться этой позиции, то следует придти к заключению, что наука может развиваться вне связи с реальным миром. Существует естественное разделение труда, нельзя упрекнуть конкретного математика, что он предпочитает заниматься только чистой математикой, если он и безразличен к тому, как будут использованы его результаты в прикладных задачах.

Вместе с тем не нужно использование разработанных математических моделей в других науках считать прикладной математикой. Здесь математика просто выполняет свою функцию языка наук. Прикладная математика – это всегда прикладное математическое исследование – разработка в определенной степени новой математической модели.

В заключение раздела приведем высказывание об отношении математической теории к практике великого русского математика П.Л.

Чебышева: «Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования, или новые стороны в предметах давно известных».

2.1. Основные этапы истории математики В истории математики динамическая связь между теоретическим и прикладным направлениями проявляется и в характерной для всех наук периодической смене эпох: эпохи дробления наук и эпохи обобщений.

Соответственно, на определенном этапе развития общества происходит активное проникновение математики в новые для нее области, накапливаются результаты теоретических и прикладных исследований, затем возникает необходимость в обобщении полученных знаний, систематизации понятий и определений, в создании математического аппарата для решения новых классов задач.

На начальном этапе развития человечества ведущая роль была у прикладной ветви математики: возникали различные системы счета, геометрические представления, велись астрономические наблюдения. Такое положение характерно для эпохи неолита и далее для древних Египта и Мексики. Интересно, что так называемые арифметические начала, с чего сегодня начинается изучение математики, появились значительно позже.

В Древней Греции после накопления результатов решения практических задач началось активное развитие теоретической ветви математики.

Впервые в нашей истории произошло в использовании математических знаний разделение труда: чистая теоретическая математика стала занятием аристократии, а вычисления - уделом рабов. Отрыв теории от приложений привел к некоторым кризисным ситуациям.

На начальных этапах феодализма Западная Европа находится в полу варварском состоянии, хозяйственная деятельность, торговля пришли к упадку. Почти отсутствовали факторы, стимулирующие развитие математики.

В эпоху Возрождения началось бурное развитие торговых городов и, как следствие, мощный толчок в развитии наук, в том числе в математики и в 1-ую очередь ее прикладной ветви. Алгебраисты XVI столетия являлись участниками общекультурного движения, они были медиками, архитекторами, географами, купцами.

Дальнейшее развитие наук связано с появлением капитализма.

Появление новых результатов в математики связано с именами Галилея, Кеплера, Ньютона и др. Математический способ мышления для них основное оружие естествознания. В их работах теоретические результаты непосредственно определялись прикладными задачами.

К середине XIX столетия математика представляла собой огромное и хаотичное здание, состоявшее из большого числа плохо связанных между собой частей, доступ к которым был понятен лишь узким специалистам.

Даже такие крупные математики как Эрмит, Вейерштрасс, Кели, Бельтрами могли успешно работать только в нескольких областях математики. Эта специализация и как следствие разобщенность порой достигала устрашающих размеров. Знаний по отдельным направлениям развития математик накопилось много, но они были не связаны, порой под одинаковыми терминами понималось различные математические построения. Чтобы математика развивалась далее успешно, было необходимо систематизировать полученные результаты. века В математике наступил период успешного развития теории. В работах Кантора по теории множеств, Вейерштрасса по теории функций и ряда других математиков были выработаны основные понятия, общие термины. В результате была созданы основы для дальнейшего развития математики как науки.

Некоторые математики - теоретики потребовали, чтобы все исследования, претендующие на математические, проводились на предельно строгой теоретической основе. Были попытки исключить из математики результаты, в основе которых лежал эксперимент. Поскольку в вычислениях абсолютная строгость не достижима, математики перестали вычислять.. Была положена основа разделения всех доказательств на строгие и нестрогие без учета реальной возможности достижения «строгости». Попытки удаления приложений из математики не были продуктивными, фактически они сдерживали развитие математики как движущей силы общества.

Необходимый синтез двух сторон математики нашел в XVIII столетии отражение в трудах Лагранжа и Лапласа по механике. В работах ряда выдающихся математиков XIX столетия сочетание совершенного математического аппарата с глубоким проникновением в существо явлений привели к выдающимся открытиям в физике и астрономии (электромагнитная теория Максвелла, открытие Нептуна и Плутона, предсказание Дирака о позитроне и др.). Новые обобщающие принципы математики (теория групп, риманово понятие функции и пространства и др.) развивались в девятнадцатом столетии в трудах Клейна, Ли и Пуанкаре.

В XX столетии произошла научно-техническая революция. Новые проблемы физики, биологии, экономики привели к постановке новых сложных задач перед математикой, стимулировали ее развитие. Решение ряда реальных задач оказалось возможным только при объединении формальных и неформальных подходов, использования вычислительных экспериментов. Фундаментальные исследования успешно проводились и в чисто теоретической, и в прикладных областях. Наряду с этим резко сократился интервал между фундаментальными результатами и их практической реализации в самых различных областях науки и техники..

Приведем некоторые примеры взаимодействия теоретических и экспериментальных исследований На примере развития небесной механики хорошо прослеживается, как экспериментальные наблюдения способствовали уточнению теории, а теория, в свою очередь, направляла практические исследования.

Гелиоцентрическая модель солнечной системы была опубликована Коперником в 1543 г. В результате систематического наблюдения за движением планет Тихо Браге (1546-1601) обнаружил расхождение теории Коперника с данными наблюдений. Опираясь на эти наблюдения, Кеплер сформулировал с 1601 по 1618 гг. три закона движения планет. Строгое математическое обоснование и уточнение законов Кеплера было дано Ньютоном. Во времена Ньютона было известно шесть планет. В 1781 г.

была обнаружена планета «Уран». Поскольку траектория этой планеты не соответствовала однозначно теории Ньютона, было сделано предположение о наличии других планет. Траектории еще двух планет были рассчитаны, а затем и сами планеты были обнаружены: «Нептун» в 1846.г, «Плутон» в 1915 г. Используя более совершенные методы, Лаплас (1749-1827) показал, что некоторые особенности движения ряда планет, которые вроде не укладываются в теорию Ньютона, на самом деле также объясняются этой теорией, в частности он уточнил теорию приливов, создал теорию движения спутников Юпитера.

Поучительный пример того, как практические задачи стимулирует математические изыскания, представляет поиск метода определения долготы судна. Задача возникла как вполне практическая. Правительство, академии, частные лица поощряли исследования в этой области.

Необходимость решения проблемы была одним из мотивов, стимулирующих создание Лондонского королевского общества и Парижской Академии наук. В процесс поиска решения проблемы были усовершенствованы навигационные приборы и часы, исследованы движения Луны и спутников Юпитера. Математика получила развитие в изучении Гюйгенсом маятниковых часов, в исследованиях Ньютоном задачи о двух телах. Нужды картографии привели к появлению математической теории Меркатора и Ламберта. Гук, экспериментируя с пружинными стопорами, заложил основы теории упругости, а Галилей, проводя опыты в Атлантике, стал основателем теории земного магнетизма. Все эти исследования по астрономии, картографии, навигации, механики способствовали развитию математического анализа.

Сегодня в принципе невозможно представить, не прибегая к математике, наши знания в виде непрерывной единой системы. Но необходимо и существенное расширение многих традиционных представлений о содержании и принципах математических исследований.

Количественный аспект является одной из важнейших сторон математики.

Но этот аспект далеко не исчерпывает математику. Математика развивается, прежде всего, как дисциплина, создающая качественные методы анализа.

Необходимость дальнейшего взаимодействия математики с другими науками, особенно с физикой, биологией, экономикой, очевидна. Успех этого взаимодействия связан с адекватным описанием функционирования сложных систем в условиях неопределенностей различного вида. Для исследования больших сложных систем различной природы требуется дальнейшее развитие математики, в том числе теории и методов использования имитационных моделей, работающих в диалоговом режиме.

Далее рассматриваются основные этапы истории математики3, основное внимание акцентировано на значение прикладных исследованиях в развитии математики как науки.

Примерно 10 тыс. лет тому назад человечество вступило в новый каменный век - неолит. На смену охоте и рыболовству пришло земледелие, пассивное отношение человека к природе сменилось активным. Начали развиваться ремесла: плотничье, гончарное, ткацкое. Совершались замечательные открытия: гончарный круг, тележное колесо. В позднем неолите появилась выплавка и обработка меди и бронзы. Развитие торговых совершенствованию техники, в том числе изготовления медных, а затем бронзовых орудий и оружия.

Развитие ремесел и торговли способствовало формированию абстрактных понятий, кристаллизации понятия «число». Появился счет, сначала с основанием пять, потом десять. Модель счета – это, по-видимому, первая математическая модель. Необходимость определять размеры и емкость предметов привела к появлению единиц измерений, вначале очень грубых: палец, фут, локоть. Люди в эпоху неолита обладали острым чувством геометрии форм. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, обработка металлов выработали представление о плоскостных и пространственных соотношениях.

Появление орнаментов было, по-видимому, связано вначале с религиозными обрядами.

Потребности в измерении времени возникли в глубокой древности.

Можно предположить, что первобытный человек первоначально различал смену дня и ночи, позднее и смену времен года. Отсчет времени и, следовательно, определенные сведения о движении солнца, луны, звезд имели место у самых древних племен. Более систематический характер эти сведения получили с развитием торговли и земледелия... Использование при плавании наблюдений за созвездиями привело к появлению представлений о сфере, окружностях и углах. Необходимость измерять длительные промежутки времени привели в последствии к созданию календарей. Лунные календари появились у древних кочевых пастушеских племен Различные системы счета, геометрические представления, астрономические наблюдения характерны для эпохи неолита и далее для древних Египта и Мексики. Так называемые арифметические начала, с чего сегодня начинается изучение математики, появились значительно позже.

Таким образом, вначале истории человечества развитие математики шло в процессе решения сугубо практических задач. Появление первых математических понятий определялось непосредственно нуждами При изложении настоящего раздела за основу принята монография: Д.Я.Стройк. «Краткий очерк истории математик», М., 1994 г.

человеческого существования, необходимостью решать конкретные задачи взаимодействия человека и природы 1. В 5-3 тысячелетиях до нашей эры новые общественные отношения складывались в основном вдоль рек Нила, Тигра, Евфрата, Инда, несколько позже Ганга, Хуанхе, еще позднее Янцзы. Субтропический климат, развитие ирригационных систем, интенсивное земледелие обеспечили высокий урожай. В результате совместных усилий населения обширных районов повысился уровень жизни, появились избытки урожая. Возникло централизованное управление и началось разделение труда и усиленное расслоение общества. Появилось много новых профессий: ремесленники, солдаты, писцы, жрецы. Сложилась династическая система управления восточный деспотизм. Руководящая роль была, как правило, у жрецов, разбирающихся в движении тел, смене времен года, землеустройстве, хранении запасов, налогах. Общественная эволюция шла медленно.

Менялись цари, династии, а экономические основы оставались неизменными.

Развитие математик Древнего Востока было преимущественно связано с необходимостью решения практических задач: проведения календарных расчетов, организации общественных работ, распределения урожая и пр.

Шло накопление технических знаний, в том числе в металлургии, и в медицине. В первую очередь совершенствовались измерения и арифметика.

В результате накопления знаний, появились зачатки теоретической геометрии, из арифметики выросла алгебра. Статичный характер общественного строя приводил к тому, что научные сведения сохранялись без изменения столетиями. Трудность в датировании восточной науки связано с материалом закрепления знаний (Двуречье - это глиняные таблички, Китай, Индия_ древесная кора или бамбук, Египет - папирус).

Хранилища знаний могли быть уничтожены в результате войн, стихийных бедствий.

2. Египет, Китай, Индия, Месопотамия развивались замкнуто. Их культура, письменность отличались. Отличался и уровень математических знаний, но не намного. Для всех был характерен арифметикоалгебраический период развития математики. Несколько выделялась Вавилонская школа.

Данные о состоянии математики в Египте получены по двум сохранившимся папирусам. Математика аддитивного вида базировалась на десятичную систему с обозначениями похожими на римские. Решаемые задачи носят практический характер, например, о количестве хлеба в различных сортах пива, о хранение зерна и пр. Многие задачи сводились к уравнениям с одним неизвестным, для обозначения которого существовал иероглиф - «хау». Отсюда название египетской математики – хауисчисления. В задачах встречались арифметическая и геометрическая прогрессии. Некоторые задачи имели геометрическую природу и касались преимущественно измерений.

Египетская астрономия содержала календарь, длина года в котором равнялась 365 дням, год длился 365 дней и делился на 12 месяцев по 30 дней каждый и 5 дополнительных дней в начале года. Сутки делились на 24 часа.

3. Одновременно с Египтом возник второй очаг цивилизации в долине рек Тигр и Евфрат, где до VI века до н.э. существовало рабовладельческое государство со столицей городом Вавилон. Математика Двуречья достигла более высокого уровня по сравнению с египетской. Уже в последний шумерский период (2100 г. до н.э.) получила развитие шестидесятеричная система счисления в сочетании с десятичной системой, фактически введена позиционная (поместная) система счисления, которая, по сути, не отличается от современной позиционной системы. Развитие этой системы связано с решением практических задач управления, что следует из множества текстов того периода, в которых арифметические вычисления используются при поставках зерна, скота и т.п. Позиционная система записи чисел и шестидесятеричная система счисления явились существенным достижением человечества.

При первой вавилонской династии (около 1950 г. до н.э.) семитское население подчинило себе исконных жителей - шумеров. Арифметика стала развиваться в хорошо разработанную алгебру. Явно выраженный арифметико - алгебраический характер проявился и в геометрии, развивающейся на основе практических задач, связанных с измерениями.

На базе алгебраических достижений проводились сложные вычисления, связанные не только с измерениями и расчетами налогов, но и со сложными астрономическими задачами. Одна из особенностей вавилонской математики – это тесная связь геометрических задач с алгеброй.

Вычисления проводились с использованием разнообразных таблиц. С третьего тысячелетия до н.э. вавилоняни употребляли позиционную шестидесятеричную систему счисления. Примерно с 700 г. до н.э.

математика в астрономии стала играть большую роль, чем наблюдения.

Существенным достижением была теория движения солнца и луны.

Математика Древнего Вавилона оказала огромное влияние на развитие математических исследований на Ближнем и Среднем Востоке, Китае, Индии и Европе. До сего времени используются введенная в Вавилоне система деления часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, окружности на градусов.

4. Согласно летописной истории известно, что учебник по математике в Китае существовал в XI веке до н.э. К сожалению, в период первой китайской «культурной революции» (213 г до н.э.) большинство китайских книг было уничтожено, а сотни философов и ученых зверски истреблены.

Дошедшим до нас математическим произведением Древнего Китая является «Девять книг о математическом искусстве» (152 г. до н.э.). В нем содержатся результаты, полученные в более ранние периоды. Система счисления в Китае была десятичной и уже со второго тысячелетия до нашей эры - позиционной. При календарных расчетах применялась нечто вроде шестидесятичной системы. Математика «Девяти книг» состояла в основном из задач и указаний по их решению. Для китайской математики характерны вычислительно-алгебраическое направление, а также непрерывность традиций и тесная связь с общественными задачами. При помощи математики китайцы вычисляли площади полей и помещений, объемы зернохранилищ. Кандидаты на должность, подвергавшиеся экзамену, должны были цитировать тексты «Девяти книг» по памяти.

Достижением китайской математики было введение отрицательных чисел и правила их сложения. Значения числа было получено в Китае в V веке с точностью, которую превзошел астроном аль-Каши только чрез лет.

Китайская математика не была изолирована от науки стран Средней Азии Ближнего и Среднего Востока и в последующем оказала влияние через эти страны на математику Европы. Однако многие результаты китайской математики стали известны в Европе уже после того, как эти результаты европейцы получили сами.

5. В середине третьего тысячелетия до н.э. в долине реки Инд существовала развитая цивилизация Древних индийских математических текстов не сохранилось. Однако Китай и Индия имели тесные культурные и экономические связи, что определило общий характер развития математики в этих странах. Первый сохранившийся математический текст Индии «Сурья» (300-400 гг.) был посвящен в основном астрономии. Наиболее известные математики Индии Арисхабата (560 г), Брхмагупта (625 г.) и их ученики развивали арифметико-алгебраическое направление математики, а также тригонометрию и задачи, связанные с измерениями. В Индии было положено начало учению о тригонометрических величинах, развита алгебраическая символика, положившая начало развитию алгебры как науки. Индийские математики знали комбинаторику. Достижением индийских математиков является десятичная позиционная система счета с нулем и правила выполнения арифметических операций в том виде как это используется сегодня в большинстве стран.

В индийской математике дедуктивный характер математических исследований отсутствовал, преобладали вычислительно-алгебраические методы, геометрические задачи носили сугубо практический характер.

Некоторые выводы.

Развитие математика Древнего Востока определялось преимущественно необходимостью решения практических задач, т.е. в Древнем Востоке развивалась в основном прикладная ветвь математики.

В практических задачах, решение которых было связано с применением математики, можно выделить множество направлений. Это, измерения длин (расстояний), площадей, объемов, различные расчеты, связанные с организацией производства и с организацией торговых сделок, организация общественных работ, учет собранного урожая, организация сбора налогов и распределения доходов, проведение календарных расчетов и пр. Задача обоснования календарных расчетов привела к изучению мироздания, как такового, организации астрономических измерений и вычислений.

По мере расширения области применения математики начали формироваться теоретические основы математики. В первую очередь, повидимому, это относится к определению понятия числа и методов ее представления. Соответственно, появлялись все более свершенные системы счисления. В Египте за 2000 лет до н.э. применялась непозиционная десятичная система счисления, немного позже в Индии была создана десятичная позиционная система, существующая до сего времени. Важным этапом развития теоретических основ математики было обобщение методов вычислений – создание вычислительных алгоритмов. Во всей математике Древнего Востока нет доказательств. Имеют место предписания: делай то, делай так то. Работоспособность алгоритмов иллюстрировалась численными примерами. В процессе совершенствования вычислительных алгоритмов развивалось арифметико-алгебраическое направление математики.

Практические задачи измерений способствовали развитию геометрии.

Астрономические наблюдения и измерения инициировали развитие тригонометрии, созданию теории движения солнца и луны (Двуречье).

Египетская астрономия дала человечеству календарь, основные положения которого сохранились до нашего времени.

В VIII веке труды индийских математиков и астрономов были переведены на арабский язык. После перевода с арабского на латынь эти труды стали достоянием ученых Европы.

1. Древняя Греция - колыбель Европейской культуры.

В истории Древней Греции можно выделить три периода (эпохи).

Первая эпоха, в свою очередь, включает несколько этапов.

XII–VIII вв. до н.э. - Критско-Микенский период называемый гомеровским периодом.. Основные центры политической и культурной жизни этого периода - остров Крит и восточная часть Пелопоннеса с рядом городов, в том числе Микены, Тиринф. Греческое общество этого периода характеризуется относительно развитым скотоводством, земледелием. На смену бронзе пришло железо, что привело к перевороту в военном деле.

Импульс получила вся экономика: ремесла, торговля. На новой экономической базе произошло разложение первобытно общинного строя, возникает патриархальное рабство.

VIII-VI вв. до н.э. – в Греции происходят крупные сдвиги в материальном производстве. Растет торговля, появляются деньги, обостряется борьба демоса с аристократией. Растет рабовладение, которое становится основой экономического и социального строя На побережье Средиземного и Черного морей появляются греческие колонии. Возникают рабовладельческие города-государства – полисы. Столкновение в Афинах аристократии и демоса привело к победе демоса и реформам Солона (594 г.

до н.э) и Клисфена (509 г. до н.э.), утвердив в конечном счете строй античной рабовладельческой демократии.

V в. до н.э. - греко - персидские войны. В ходе войны выдвинулись Афины, возглавившие союз приморских греческих государств.

Одновременно существовал союз пелопонесских государств, возглавлявшийся Спартой. В 449 г. до н.э окончательная победа греков и начало золотого века Греции. Афины становятся центром новой цивилизации. Соперничество Афин и Спарты за сферы экономического и политического влияния, а также борьба демократических и олигархических течений внутри городов привели к пелопонесской войне (431-404 гг. до н.э.), окончившейся победой Спарты. Гегемония Спарты была кратковременной, в связи с потерей греческими городами-государствами самостоятельности в 338 г до н.э.

В IV веке после возвышения Александра Македонского завершилась первая эпоха древнегреческой цивилизации..

2. В Греции в VI веке до н.э. сложилось определенное представление о мире. Суть этого представления заключается в следующем. Все процессы в природе протекают по точному плану, в основе которого лежат математические законы. Если приложить человеческий разум к изучению природы, то эти математические закономерности будут поняты.

Развитие наук, том числе математики связано с изменениями, происходящими в греческом обществе и государстве. Возникший в Греции новый общественный уклад создал новый тип человека. Купец путешественник жил в эпоху великих географических открытий, не разделял воззрений Востока, не признавал ни власти абсолютного монарха, ни власти в виде божества. В условиях политической и общественной борьбы развивались философские и политические воззрения, а вместе с ними и новая греческая наука и новая математика.

Греки скоро поняли, что математики Востока теоретическими доказательствами не занимались. Греческие ученые хотели получить ответ на вопрос «Почему?», а не только на вопрос «Как?». Более того, их интересовало, какое место занимает математика в мире человека, как математика может помочь найти порядок в хаосе. После накопления результатов прикладных математических исследований в Греции началось активное развитие теоретической ветви математики. В золотой век Греции группа критически мыслящих софистов стали рассматривать накопившийся математический материал с целью уяснения его сути (но не пользы) Своеобразие развития рабовладельческого общества, его расслоение привели к появлению аристократии, имеющий свободное время для размышлений, занятия наукой. В конечном счете, это привело к первой попытке разделить теоретическую и прикладную ветви математики. Теория стала развиваться весьма интенсивно, но определенный отрыв теории от приложений привел к некоторым кризисным ситуациям. Сложилась консервативная позиция, согласно которой теория - удел избранных, занятие теорией - благородное дело, а практической математикой, вычислениями заниматься зазорно, это дело рабов. Соответственно, в греческой математике произошло разделение на «арифметику» - науку о числах и «логистику» вычисления. К логистике относились: операции с целыми числами, численное извлечение корней, счет с использованием вычислительных устройств (типа абака), вычисления с дробями численное решение задач, сводящихся к уравнениям третьей степени включительно, практические задачи земледелия, архитектуры и др. Этот перечень фактически относится к прикладному направлению математики.

Таким образом, впервые произошло разделение математики на две ветви: теоретическую и прикладную.

3. Согласно преданию отцом греческой математики был купец Фалес Милетский (ок. 623-ок.547 до н.э.). Фалес был провозглашен первым из семи мудрецов Древней Греции. Он был купцом, государственным деятелем, инженером, математиком, философом. Посетив в первой половине VI века до н.э. Вавилон и Египет, Фалес ознакомился с достижениями восточной математики и ознакомил с математикой Востока греков.

Фалес и его ученики изучали геометрию, выдвинули ряд положений относительно основ «всего сущего» Фалесу приписывали открытие годового движения Солнца на фоне неподвижных звезд, объяснение, что Луна светит отраженным светом. Согласно легендам Фалес успешно применял геометрию для решения практических задач. Так, он определил высоту пирамиды по длине ее тени, определил расстояние до корабля по трем установленным на побережье палкам. Известные афоризмы Фалеса характеризуют глубину его философского мышления 4. В конце VI века центр развития математики и античной философии (италийская математика) переместился в Великую Грецию – совокупность колоний на побережье Южной Италии и Сицилии. К италийцам относятся пифагорейцы и элеаты.

Первая научная школа, предложившая свою модель строения вселенной, основанную на математических понятиях была основана Пифагором (ок. 570-500 до н.э). Изучение арифметики, геометрии, астрономии, музыки проводилось Пифагором и его учениками для познания вечных законов природы. Пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное. В основе их философии лежало понятие «число»:

«Вещи – суть копии чисел, числа – начала вещей»; «Все есть число и все из чисел». Отсюда следует, что отношения между различными количествами должны быть отношениями целых чисел. Пифагорейцы разделили числа на разнообразные классы. Целые числа рассматривались в качестве основополагающих универсальных объектов, к операциям над которыми сводились не только математические построения, но и все многообразие явлений действительности - отношения между различными количествами должны быть отношениями целых чисел. В последствии сами пифагорийцы Примеры афоризмов: «Больше всего пространство, потому что оно все в себе содержит», «Сильнее всего необходимость, ибо оно имеет над всем власть», «Многословие вовсе не является показателем разумного».

обнаружили, что отношение диагонали квадрата к его стороне не является целым.

Прикладное приложение математики у Пифагора и его учеников заключается в первую очередь в использовании математической идеологии для познания сути бытия. Вместе с тем решились и вполне практические задачи, Так Архит Тарентский (ок.428-356 до н.э.) – крупнейший представитель позднего пифагореизма установил первые принципы механики, создал модель «летающего голубя». Считают, что он изобрел блок и винт. Им написаны книги; «О флейте», «О машине» «О земледелии»

и др. Архит был выдающимся государственным деятелем, пост стратега он занимал семь раз (хотя по закону этот пост одно лицо не могло занимать лишь дважды).

Пифагорийцы способствовали открытию иррациональных чисел, приданию геометрии характера науки, созданию теории пропорций и пр. Их вклад в развитие математики, в возникновение последующих математических школ весьма существенен.

Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, прежде всего в геометрию. С этого момента математика стала наукой.

Философская школа элеатов (V век до н.э.) строили свои рассуждения на основе физической сущности мироздания. Но именно они показали невозможность бесконечной делимости и всякого движения, если полагать, что пространство и время состоят из неделимых частей. Представители этой школы Ксенофан, Параменид, Зенон и Мелис.

Зенон Элейский (ок. 490-430 до н.э.) утверждал, что разум постигает только абсолютное бытие, а изменение есть только кажущееся. Его считают изобретателем диалектики. Выдвинутые им парадоксы (дихотомия, Ахиллес и черепаха, стрела, стадион) вскрыли противоречия в некоторых интуитивных представлениях о бесконечно большом и бесконечно малом.

Зенон впервые указал на внутреннюю противоречивость понятий непрерывного и дискретного, конечного и бесконечного. Открытие иррациональности и парадоксы Зенона привели к вопросу: «Можно ли считать математику точной наукой?»

5. Расцвет классической Греции относится к периоду с 479 г. до н.э. до 431 г. до н.э. Основные научные достижения этого периода относятся ко времени правления Перикла (ок 490-429 до н.э. ). К этому период относится деятельность афинской группы мыслителей. В это время в Афинах жил выдающийся греческий математик, автор первого систематического изложения геометрии. Это сочинение было утеряно, но полагают, что оно охватывало содержание пертых четырех книг «Начал» Евклида.

Первая крупная Афинская школа - это школа софистов, странствующих учителей. Математические проблемы, изучаемые софистами, были в основном связаны со знаменитыми задачами древности: удвоение куба, трисекции угла, квадратура круга. Серьезные математические исследования начались с величайшего греческого философа Платона (ок. 427- 347 до н.э) – ученика Сократа и учителя Архимеда. В Афинах Платон открыл знаменитую школу - Академию, просуществовавшую более девяти веков.

Платон считал, что реальность и рациональность физического мира могут быть достигнуты только с помощью математики, ибо «Бог вечно геометризует». Платон заложил основы дедуктивно –аксиоматического метода, сыгравшего значительную роль в развитии всех областей математики, Он один из основателей метода рассуждения от противного.

Его труды содержат математические разделы по теории чисел, стереометрии и космических фигур – пяти правильных многогранников.

Руководителем другой афинской философской школы – Лицея является ученик Платона Аристотель (384-322 до н.э.). Хотя в Лицее математика играла второстепенную роль, сам Аристотель успешно занимался математикой. Аристотель считал, что математические объекты «лишь определенные акциденции физических вещей, абстрагируемых умом». Он является творцом дедуктивной логики, а также дал важное определение бесконечности: «Бесконечность – это не то, за чем ничего нет, а то, за чем всегда что-нибудь есть».

6. Вторая эпоха развития Греции и греческой науки - эпоха эллинизма (350 - 200гг. до н.э.) наступила после смерти Александра Македонского ( г. до н.э.) и распада его империи на несколько крупных эллинистических государств-монархий, в том числе монархия Птоломеев (Египет, культурный центр Александрия), монархия Селевкидов (Месопотамия, Сирия, Персия) и Македония. Политический строй эллинистических государств – сочетание элементов древневосточных монархий. Эта эпоха характеризуется расцветом наук. Греческая цивилизация распространилась на обширные районы Востока. Старая культура Востока и греческая цивилизация, соприкасаясь и смешиваясь, привели к значительным научным достижениям, в том числе в математике. Новая столица Египта Александрия стала научным культурным и экономическим центром всего эллинистического мира.

В эпоху эллинизма у греческой математики появились новые задачи.

Сохранив свои особенности, она испытала влияние астрономических и административных достижений Востока. Взаимовлияние оказалось весьма плодотворным. Требования практики - запросы ирригации, астрономии - во многом определили развитие вычислительной математики. Основные результаты получены в математике в эпоху эллинизма в городах Александрия, Афины (центр образования), Сиракузы и др. Во многом успехи математики связаны с именами Евклида, Архимеда и Аполлония.

Центром математики была Александрия, построенная в 332 г. до н.э. В Александрии в период царствования династии Птолемеев (330-305 г. до н.э.) был создан научный центр «Музей» с огромной библиотекой. Евклид (306 гг. до н.э.) был одним из первых математиков, работающих в Музее.

Ему принадлежат «Начало» (13 книг) и «Данные». В «Началах»

систематизированы и строго изложены результаты математики, полученные Эллины –самоназвание греков.

к III веку до н.э., включающие три важных открытия: теорию отношений Евдокса (ок. 408-355 до н.э.), теорию иррациональных Теэтета (ок. 414- до н.э.) и теорию пяти правильных тел. Основные положения изложены в этих книгах на строго логической основе, алгебраические выводы даны в геометрической форме. Влияние Евклида на все последующее развитие математики огромно.

Архимед (287-212-гг. до н.э.) - математик, астроном, архитектор, механик. В его работах блестяще сочетаются теоретическое и прикладное направления математики. Архимед родился и жил в Сиракузах, погиб при участии в обороне Сиракуз, осажденных римлянами. Для работ Архимеда характерны алгоритмическая направленность, использование механики как инструмента, для получения математических результатов, применение математических методов в физике, совершенствование техники вычислений.

Важным вкладом в вычислительную математику явился разработанный Архимедом метод интегральных сумм для вычисления площадей и объемов.

С помощью специально построенной вычислительной системы Архимед определил число песчинок, которыми можно было бы заполнить Вселенную. При этом он использовал гелиоцентрическое представление Аристарха (310-230 г до н.э.). При решении ряда геометрических задач (вычисление площади параболического сегмента и др.) им был разработан вычислительный метод механических аналогий. В творчестве Архимеда присутствуют и элементы дифференцирования.

Архимед был и выдающимся механиком и инженером. К числу полученных им наиболее значительных результатов относится закон о потери веса телами, погруженными в жидкость. Им созданы военные метательные машины, устройство для поднятия тяжестей, изобретен винтовой двигатель и др.

Творчество Архимеда оказало огромное влияние на развитие математики.

Аполлоний (260-170 г. до н.э.) – третий выдающийся математик эпохи эллинизма. Им написан трактат из 8 книг «О кониках» - о эллипсе, параболе и гиперболе, определяемых как сечения кругового конуса.

В эпоху эллинизма Аристарх Самосский (280 г до н.э.) выдвинул гипотезу о центральном месте Солнца - современниками она не была принята. Гиппарх (161 -126 г. до н.э.) обосновал на основании наблюдений геоцентрическую модель Мира, опередив на три столетия Птолемея.

7. Третья и последняя эпоха античного общества - эпоха господства Рима. Рим завоевал Грецию в 146 г., Месопотамию - в 64 г., Египет - в 30 г до н.э. Римская империя была землевладельческим государством.

Рабовладельцы как класс не заинтересованы в развитии науки, культуры и расширение рабовладельческих хозяйств привело, в конечном счете, к упадку античного общества.

После захвата Греции Римом Александрия оставалась центром математических знаний. Новых математических результатов в этот период получено мало. Наиболее значительное произведение этой эпохи «Альмагест» Птолемея - астрономический труд, блестящее приложение математических знаний для решения прикладной проблемы (использованы стереографическая проекция, рассчитаны таблицы тригонометрических величин).

Последнее большое математическое сочинение этой эпохи, созданное в Александрии - «Собрание» Паппа (конец 3-го столетия) - учебник греческой геометрии. Многие математические достижения Древней Греции стали известными по этому учебнику, в котором даны соответствующие исторические справки.

Последним математиком Александрии, внесших в математику новые идеи, был Диофант (III век). Он известен как автор «Арифметики» в книгах, где материал изложен чисто аналитически. Сочинения Диофанта определили в различной степени направления исследований Ферма, Эйлера, Гаусса и других математиков.

Академия в Афинах была закрыта в 529 г. как языческая. В 630 г. арабы взяли Александрию. Судьба Александрийской библиотеки не известна.

8. За время менее чем два столетия, греки овладели математикой, которая до этого складывалась тысячелетиями Заслуга греков в части превращения математики в науку несомненна. Разделение математики на теоретическую (арифметика) и прикладную (логистика) было связано с желанием придать математике научную строгость и, соответственно, в эту эпоху были получены новые замечательные результаты в математической теории..

Определенный консерватизмом мышления греческой аристократии, постулирование границы между двумя ветвями математики, пренебрежение аристократии прикладными задачами, связанными с вычислениями.

сдерживало развитие алгебраического направления и способствовало возникновению в математике в 4 веке до н.э. кризисных явлений.

Придя к заключению, что совокупность геометрических величин более полно, чем множество рациональных чисел, греки создали геометрическую алгебру, первичными элементами которой являются отрезки прямой. С ними определены все операции исчисления. Возникающие при этом геометрические построения осуществляется циркулем и линейкой без делений. Методы геометрической алгебры практически очень громоздки и неудобны в применении. Геометрическому исчислению присущи и другие недостатки. Довольно скоро выяснилось, что существуют задачи, не решаемые с помощью циркуля и линейки. К ним относятся три знаменитых задачи Древней Греции:). С помощью геометрических построений были найдены только приближенные решения этих задач.

Геометрическое толкование чисел сдерживало развитие алгебры,. не знали греки отрицательных чисел. Возникла трудность с понятием бесконечности (для преодоления этой трудности был разработан метод исчерпывания (предела), открывший новые возможности в развитии математики). Принятая система счета была десятичной, но не позиционной что безусловно усложняло вычисления. Не была понята гелиоцентрическая модель Мира.

Несмотря на разграничения двух направлений математики, развитие теоретической математики способствовало совершенствованию вычислительной практики и обеспечивало решение задач, возникающих в астрономии, сельском хозяйства, мореплавании, а запросы практики способствовали развитию прикладных математических исследований и математики в целом. Взаимодействие математической теории и практики усилилось в эпоху эллинизма, когда взаимодействие греческой цивилизации и традиций Востока привело к новому расцвету наук.

Попытки объяснения Мира, сущности бытия с помощью математических построений можно, по-видимому, также отнести к попыткам греков решить такие проблемы, которые они считали, в определенном смысле, насущными, имеющими практическое значение. Это направление исследований способствовало развитию философии, а также популяризации математики, как самостоятельной науки.

Таким образом, основы современной математики были заложены в Древней Греции. В математике были намечены области, требующие строгих теоретических построений. Разделение математики на два направления в конечном итоге способствовало развитию математики в целом и, в дальнейшем, к объединению этих направлений, что наглядно проявилось в работах Архимеда, Гиппарха, Птолемея.

2.5. Восток после упадка античного общества 1. В VI-м веке арабы стремительно овладели большей частью Западной и Средней Азии, а также стали обладателями значительной части западноримского государства (Сицилия, Северная Африка, Испания). На завоеванных землях было создано феодальное государство – Халифат, объединивший арабские государства с огромную империю. Везде грекоримская культура заменялась культурой ислама.

Развитие общественно-экономических отношений в арабском мире вызвало развитие науки, в том числе математики. Строились обсерватории, библиотеки, появились и оплачиваемые ученые. Начался перевод на арабский язык трудов ученых Древности: переводились труды Архимеда, Евклида, Птолемея. Многие труды греческих математиков известны только в арабском переводе. Используя геометрию греков и алгебру индийцев арабы придали математики тот вид, который способствовал в последствии быстрому развитию математических знаний в Западной Европе в XVI столетии.

Развитие науки зависело от поддержки ученых халифами и по мере успеха очередных завоевателей происходила смена научных центров 2. Месопотамия стала центром торговых путей. Халифы Багдада (7-8 в) покровительствовали наукам, особенно астрономии и математике..

Видный арабский математик Мухамед абн Муса аль-Хорезми (787ок.850) родился в Хорезме, в818 г. по приглашению халифа переехал в Багдад, где ему было поручено заведование книгохранилищем, получившем название «Дом мудрости» и являющемся по существу в IX –XII веках Академией наук халифата. Известные математические труды аль-Хорезми «Арифметически трактат» и «Алгебраический трактат». Алгебра рассматривалась им как самостоятельная наука. Им введен новый термин «алгебра», а словом «algorithms» (латинизированное имя автора) стал обозначаться вычислительный процесс, проводимый по определенным правилам. В его трудах содержится решение квадратичного уравнения, приведены тригонометрические таблицы. Из его книг мир узнал о десятичной системе счета.

Аль-Хорезми успешно использовал математику в различных областях знаний. Известны его фундаментальные труды по астрономии и географии.

В частности, он измерил длину меридиана. Аль-Хорезми был талантливым организатором науки. Он возглавлял три экспедиции в различные области халифата, руководил работой ученых в различных областях знаний.

Ученики аль-Хорезми Абу Камиль (ок. 850-930), Аль-Караджи (умер ок.1030) продолжили развитие алгебры, как самостоятельной отрасли математики.

3. В Северной Персии в эпоху процветания государства турок сельджуков жил Омар Хайям (1038-1124) астроном и философ, получивший на Западе известность как поэт. Омар Хайям реформатор персидского календаря, автор «Алгебры», содержащей систематическое изложение алгебраических уравнений 3-ей степени. В своем труде «Ключ к трудным местам Евклида» Хайям пытался доказать аксиому о параллельных или заменить ее другими аксиомами. Математические основы календаря Хайяма были использованы для французского календаря эпохи революции конца XVIII века. Омар Хайям не принадлежал непосредственно к Багдадской математической школе.

4. В 1256 г. монголы разграбили Багдад. Невдалеке возник новый научный центр, построенный для Насирэддин Туси, по-арабски Ат Туси (1201-1274).

Внук Чингис хана Хулагу-хан сделал своей столицей азербайджанский город Марага, где построил в 1289 т обсерватоию. Научным руководителем обсерватории стал Насирэддин.

Насирэддин занимался постулатом Евклида о параллельных прямых, численными приближениями алгебраических чисел. Существенен его вклад в развитие тригонометрии.. При решении астрономических задач был накоплен большой фактический материал, как по плоской, так и по сферической тригонометрии. Этот экспериментальный материал был систематизирован в трудах Насирэддина Из разрозненных математических результатов, полученных в астрономии, была создана наука о тригонометрических функциях и способах решения задач, связанных с плоскими и сферическими треугольниками. Были составлены довольно точные таблицы тригонометрических функций. Насирэддин перевел с греческого на арабский язык и снабдил комментариями и добавлениями важнейшие математические, астрономические м физические труды древних авторов. труды Для работы в Мараге были привлечены многие выдающиеся ученые того времени. Марагинская школа вошла в историю как центр науки XIII века.

5. Арабская математика Востока достигла высокого уровня развития в работах самаркандской школы, возглавляемой внуком Тамерлана Углубеком (349-1449) и директором его знаменитой обсерватории аль-Каши (умер около 1436) Аль Каши – узбекский ученый (1430-е годы) жил и работал в Самарканде. Был первым директором знаменитой лучшей в то время обсерватории Углубека, где работали астрономы и математики. Аль Каши принадлежит ряд отличных работ по вычислительной математике. Им получено число с 17-ью десятичными знаками. Под руководством Аль Каши составлялись таблицы синусов с шагом в одну минуту с точностью до девятого десятичного знака. Для проведения вычислений с необходимой точностью Аль Каши разработал метод последовательных приближений (метод итераций). В своих вычислениях он пользовался шестидесятеричной системой, которая применялась в сложных астрономических расчетах. Аль Каши ввел в науку десятичные дроби, аналогично десятичным ввел 60ричные. Сформулировал правила действий с 60-ричными числами и правило перевода их в десятичные 6. Арабские математики VIII XV проделали огромную работу по переводу на арабский язык и комментарии математики Древней Греции и Индии. Вместе с тем они сыграли положительную роль в дальнейшем развитии математической науки, существенно продвинули результаты греческих математиков в основном в алгоритмическо-алгебраическом направлении. Безусловными заслугами арабских математиков является распространение позиционной десятичной системы. Замечательные результаты получены в тригонометрии, которая развивалась как часть астрономии.

Выдающиеся представители математики Ближнего и Среднего Востока были, как правило, людьми всесторонне образованными, успешно использовали достижения математики для развития других наук.

Безусловно, значителен их вклад в прикладное направление математики, разработку вычислительных методов решения математических задач. Так ими проведено вычисление чрезвычайно точных и полных тригонометрических таблиц, разработан прием извлечения корня из чисел, применение числовой алгебры в измерительной геометрии и тригонометрии, открытие замечательного итерационного приема численного решения одного из видов кубического уравнения и др.

Результаты арабов были освоены в Западной Европе только в XVI столетии.

2.6. Западная Европа. Возрождение (XII-XVI столетия) 1. Длительный период в странах Западной Европы общественная жизнь и экономические условия оставались такими же, как во время упадка Римской империи. Арабы лишили Византийскую империю и ее провинций выхода к Средиземному морю. Хозяйственная деятельность во многих районах Европы сокращалась. Западная Европа перешла в полу варварское состояние. Следующая иллюстрирует уровень знаний в то время. «До чего дошло отупление людей можно судить по тому, что даже через 7 веков после Р.Х. чудом учености считался монах Буда за то только, что он был единственным человеком, понимавшим четыре правила арифметики и способным применять их на практике».

2. В XI-XIV веках в Западной Европе начинает постепенно развиваться феодализм - экономика древнего мира уступала место новым феодальным порядкам. В XV-XVIII веках также постепенно происходит переход к капиталистическим отношениям. Начало этого периода преобразований - XV-XVI века в Европе называют эпохой Возрождения.

В начале этого периода математика в Западной Европе была в примитивном состоянии. Математические тракты носили характер поверхностного заимствования. Практических задач, стимулирующих развитие математики, не было. Однако теоретическая математика имела некоторое развитие. Философы - схоласты, изучая Платона и Аристотеля, размышляя о природе божества, приходили к тонким рассуждениям о природе континуума, бесконечности и движения, что в последствии способствовало развитию теории бесконечно малых. Главенствующую роль в идеологической жизни общества играла теология Она основывалась на канонизированном и догматизированном учении Аристотеля, системе мира Птолемея и религиозных учениях Отцов церкви. Вначале учение Аристотеля было запрещено, как противоречащее догматам Церкви. Затем его идеи приспособлены к Священному Писанию. В XIII веке была создана доктрина:

при сотворении Вселенной Бог руководствовался математическими принципами. Первостепенной обязанностью ученого является поиск математического плана,по которому Бог создал Вселенную.

Развитие научных знаний существенным образом способствовало организация, начиная с XI века, учебных заведений. Одна из первых школ была создана еще в X веке во Франции монахом Гербертом. Начиная с XII века в Европе начали возникать университеты: в Болонье и Салерно, затем в Оксфорде и Париже (1167 г.), Кембридже (1209 г.), Неаполе (1224 г.) и в других городах. Первые университеты создавались под покровительством церкви, в XVI-XVII веках они перешли под контроль государств.

Характерная особенность университетского образования состояла в том, что оно заключалось в основном в разъяснении книг известных авторов, включенных в программу обучения. В первых университетах властвовала схоластика. В течение длительного времени математик оставалась В.А.Стеклов. «Математика и ее значение для человечества». 1923.

второстепенной дисциплиной, ни отдельных кафедр, ни преподавателей математики не было. Позднее в образовательный курс ввели первые две книги «Начал» Евклида, лекции по астрономии, началам оптики, тории пропорций. Несмотря на второстепенную роль математики, из стен университетов вышел ряд замечательных ученых, в том числе Иоганн Мюллер-Региомонтан, Николай Коперник.

XII век стал для Европы веком «великих переводов» трудов греческих и арабских математиков на латинский язык.

3. Во второй половине XV века в Европе стала быстро развиваться промышленность, на смену ремесленникам пришла мануфактура. В !453 г.

появилась первая печатная книга. Необходимость новых рынков сбыта явилась стимулом для поиска новых земель, которые и были открыты в результате великих путешествий Христофора Колумба (1451-1506 Васко де Гама (1469-1524), Фернана Магеллана (1480-1521). В XII -XIII столетиях возникли первые коммерческие города в Италии (Генуя, Пиза, Венеция, Милан, Флоренция), затем во Франции и других районах Европы. Позже торговые города выходят поддержке феодальных князей победителями в борьбе с феодалами - землевладельцами.. В результате в Европе появляются первые национальные государства.

Развитие в XV- XYI вв. военного дела дало новую область применения геометрии. Именно в это время появилось много новых инструментов, были написаны книги по применению артиллерии.

Развитие промышленности, торговли, мореплавания привело к развитию наук. Города начали устанавливать коммерческие связи с Востоком. Западные купцы и студенты познакомились с цивилизацией стран ислама, и с сохранившейся в этих странах греческой классикой. В растущих торговых городах под влиянием торговли, навигации, астрономии и землемерия развивалась практическая математика. Вначале развитие математики носило чисто прикладной характер. Наибольший интерес бюргеры проявляли к практическим вычислениям. К ним присоединились и работники университетов, заинтересованных улучшением вычислительных методов для решения астрономических задач. Несколько столетий алгебру и геометрию вне университетов преподавали мастера счета, не знающие математической классики, но обладающие твердыми знаниями по навигации и бухгалтерии.

Первым из купцов, чьи математические работы выявляют известную зрелость, был Леонардо из Пизы (Фибоначчи сын Боначчо) (1180-1240).

Вернувшись из путешествия на Восток, он написал Книгу абака» - разделов (1202 г.), содержащую сведенья об алгебре и арифметике, а затем «Практику геометрии» В его работах нашли отражение труды греческих и арабских математиков, приводятся решения большого числа задач. В разделах 8-11 Книги абака дано приложение арифметики к коммерческим расчетам. Получен ряд новых результатов, в том числе выведен ряд Фибоначчи, как результат решения задачи о размножении кроликов.

Английский философ Роджер Бэкон (1214-1292) считал математику основой всех наук. Ему принадлежит заявление: «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества.»

Известный математик XIV века профессор Парижского университета Николай Орезм (1323-1382) ввел впервые дробные показатели степени и правила пользования ими. В XV веке французский математик Шюке (1445ввел нулевые и отрицательные показатели.

Выдающийся математик XV столетия Иоганн Мюллер из Кенигсберга (иначе Региомонтанус) (1436-1476) переводил все доступные ему математические рукописи. Его математические труды оказали глубокое влияние на дальнейшее развитие тригонометрии, и ее применение в астрономии и алгебре. Будучи замечательным вычислителем, он составил таблицу синусов с интервалом в одну минуту. Был автором первых печатных астрономических таблиц. В Нюрнберге он основал одну из первых астрономических обсерваторий Европы.

Во второй половине XV века в Европе подвились многочисленные учебники по арифметике. В 1489 г. в Лейпциге вышла книга Яна Видмана (1460-ок.1489) «Быстрый и красивый способ счета для всякого вида счета».

Большую роль в поднятии авторитета и значения математики в конце XY столетия сыграл Леонардо да Винчи (1452-1519) - живописец, скульптур, архитектор, механик и математик. Он говорил: «Никакое человеческое исследование не может считаться истинной наукой, пока оно не прошло математическое доказательство». Леонардо разработал теорию перспективы, разработал «метод неделимых».

В XV столетии мастера счета в Италии владели арифметическими операциями, включая действия с иррациональностями, а итальянские художники были хорошими геометрами. Мастером счета был францисканский монах Лука Пачоли (ок. 1445-1514). В его книге «Сумма арифметики» (1494) труды Фибоначчи были изложены в переработанном виде. Книга содержала все, что было известное в то время по арифметике, алгебре и тригонометрии. После этой книги использование индийско арабских цифр стало общепринятым, а сделанные в конце книги замечания о невозможности решения уравнений x3 + mx =n, x3 + n = mx стало отправной точкой в работах математиков Болонского университета - одного из наиболее крупных в Европе. Его студентами в разное время были Пачоли, Дюрер, Коперник.

4. Только в XV-XVI столетиях европейские математики сумели перейти к дальнейшему развитию математики греков и арабов. В Болонском университете была разработана теория решения кубических уравнений, что в свою очередь послужило толчком к развитию теории комплексных чисел (Бомбелли, «Алгебра» 1572г.). К концу XVI века получила развитие теория решения алгебраических уравнений до 4-ой степени.

Франсуа Виет (1540 - 1603) ввел в теорию алгебраических уравнений буквенные обозначения, что оказало огромное влияние на все последующее развитие алгебры. Усовершенствование техники вычислений также в значительной степени является результатом совершенствования обозначений. Виет доказал ряд теорем по связи корней и коэффициентов уравнений, получил разложение тригонометрических функций кратных дуг, ввел в математику бесконечное произведение, улучшил результат Архимеда, вычислив число с десятью десятичными знаками.

Новые запросы формулировались развивающимися национальными государствами. Инженеры были нужны для возведения публичных зданий и сооружений. Важной областью математических исследований по-прежнему оставалась астрономия. Это было время великих астрономических теорий.

Коперник (1473-1543), Тихо Браге (1546-1601), Кеплер (1571-1640) совершили революцию в астрономии.

Коперник в книге «О вращении небесных тел » изложил результаты своих исследований о гелиоцентрической системе мира. Система Коперника изменила существующие представления о строении мира, явилась фундаментом дальнейшего развития науки. Вскоре последовали открытия Галилея и Кеплера, а затем и механика Ньютона.

Решающее влияние на математику стал оказывать труды Платона, его преклонение перед количественными и математическими рассуждениями.

Появлялись все более точные тригонометрические и астрономические таблицы. Совершенствовались методы решенья уравнений. Вычислительная техника достигла новых высот. После открытия морского пути в Индию итальянские города перестали быть основной дорогой на Восток В новых государствах Франции, Англии, Голландии возрос спрос на математиков. В числе великих математиков - теоретиков и вычислителей XVII столетия известны инженер Симон Стевин, астроном Иоганн Кеплер, землемеры Андриан Влакка и Езекиль де Деккера.

Стевин (1548-1620) в работе “Десятая” ввел десятичные дроби составную часть проекта унификации всей системы мер на десятичной основе, что явилось существенным этапом развития вычислительной математики, ставшем возможным благодаря принятой индийско - арабской системе счисления.

5. Математик XVII в. был одновременно математиком, механиком, астрономом и даже философом. Все это способствовал органическому слиянию физической, математической, философской, а иногда и конструкторской мысли. Среди ученых того времени было много любителей, т.е. людей, занимающихся наукой помимо своей основной деятельности: адвокатов, судей, монахов, торговцев. По-прежнему они были изолированы друг от друга. Первый европейский «Журнал ученых» начал выходить с 1665 г. (еженедельно, но нерегулярно. Задачи журнала были определены издателем следующим образом: перечень важных книг и характеристика их краткого содержания, печатание хвалебных речей скончавшимися ученым и знакомство с их трудами, описание новых изобретений и полезных экспериментов в различных областях науки, проведение дискуссий и др. Одной из центральных фигур первой половины XVII в францисканский монах Марен Мерсенн (1588-1649), которого называли «главным почтамтом для всех ученых Европы». Мерсенну принадлежит ряд оригинальных трудов по математике, измерению скорости звука, проблемам наследственности и др. Но его главная заслуга в том, что он выполнял миссию посредника в круга самых знаменитых ученых Европы Его келья стала центром научного кружка, в который входили Этьен и Блез Паскали, Ферма и многие другие ученые. В числе его корреспондентов были Декарт, Галилей, Гюйгенс. Его уникальный талант заключался в умении ставить новые научные проблемы, умело направлял интересы ученых на решении задач, которые представлялись ему наиболее важными. Мерсенн был также и популяризатором науки. Усилия Мерсенна по установлению связей между учеными имели результатом начала их коллективной деятельности. Его можно считать создателем такого научного объединения, на базе которого позднее образовалась Парижская академия наук (1666).

В XV- XYI вв. несмотря на значительные теоретические достижения, математика в основном развивалась в прикладных исследованиях. В это время было создано и усовершенствовано множество инструментов для навигации, астрономии, торговли. Иллюстрацией большого значения, которое придавалась измерения разного рода может служить картина «Измерители», приписываемая школе Франса Флориса (1516-1570). Таким образом, основным стимулом развития математики в эпоху Возрождения явились запросы торговли, мореплавания, строительства, земледелия, механики и др. Наиболее энергично развивалась прикладная математика. Алгебраисты XVI столетия являлись участниками общекультурного движения, они были медиками, архитекторами, географами, купцами, Достижения математиков эпохи Возрождения определили последующие выдающиеся достижения европейских астрономов.

1. В XYII столетии в странах Западной и Центральной Европы продолжалось интенсивное развитие капиталистических отношений.

Экономические ресурсы европейских государств необычайно возросли. В противовес феодальному схоластическому мышлению формировалось светское мировоззрение. Революция в астрономии позволило совершенно по-новому взглянуть на возможности человека объяснять астрономические явления.

Дальнейшее распространение мануфактур, развитие горного дела, строительство ветряных мельниц и каналов, постройка судов для океанических плаваний, изобретение огнестрельного оружия и книгопечатания - все это выдвигало новые технические проблемы. Отсюда Иллюстрация фразы римского поэта Горация: «Есть мера во всем».

естественное ускоренное развитие теоретической механики, изучение движения и изменения вообще. Возросла потребность в инженерах, способных решать возникшие технические проблемы.

В математике важное место по-прежнему отводилось вычислительному направлению - «счетному уклону», отвечающему запросам купеческого класса. Наряду с этим все большое значение приобретали задачи механики, эффективного использования и усовершенствования машин, анализ астрономических наблюдений..

Существенным совершенствованием вычислительной техники стало изобретение алгоритмов. Английский лорд Дж. Непер (1550 - 1617) написал “Описание удивительного канона логарифмов” (1615). После смерти Непера профессор Лондонского колледжа Бриггс в соответствие с рекомендациями Непера усовершенствовал логарифмы и опубликовал в 1624 г.

“Логарифмическую арифметику”. Полная таблица логарифмов с десятичным основанием была опубликована де Деккером и Блаком в 1627 г.

Натуральные логарифмы появились одновременно с Бриггсовскими, но не были вначале должным образом оценены.

Активность математиков в это время поддерживалась оживленной перепиской, а также деятельностью дискуссионных кружков, из которых вырастали академии как оппозиция университетам. Университеты оставались носителями средневекового подхода, при котором предполагалось изложение научных знаний в установившихся, застывших формах. Академии напротив были проникнуты духом поиска новых научных результатов. Первая академия основана в Неаполе (1560 г.), затем последовали академии в Риме (1603 г.), Лондоне (Лондонское королевское общество - 1662 г.), Париже (1666 г.).

В это время единственной наукой о природе, обладающей систематическим строением, была механика, базирующаяся на математике.

Математика стала действенным инструментом для изучения Вселенной.

2. Первую универсальную модель мира предложил Декарт (1596-1650).

В основе его модели лежало положение, что все явления природы (в том числе теплота, свет, электричество) объясняются механическим взаимодействием элементарных математических частиц. В модели введено понятие «близкодействия»; введено отношение между длительностью и временем; пространство отождествлялось с протяженностью; время определено как одно из пространственных осей принятой системы координат. Философские принципы Декарта – «мыслю, следовательно существую», «подвергай все сомнению», «делать всюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничто не пропущено» и др. Им сформулированы поражающие глубиной правила собственной морали Математические работы Декарта связаны с его работами по физике и философии. В «Геометрии» (1637 г.) Декарт применил свой метод для объединения алгебр и геометрии, получил новые результаты по аналитической геометрии. Почти 150 лет алгебра и аналитическая геометрия развивались в направлении, определенном Декартом..

Под влиянием развития страхового дела и изучения задач, связанных с азартными играми, появилась математическая теория вероятностей. Ее основы были заложены Ферма и Паскалем (1654 г.), Гюйгенсом (1657 г.).

Таблицы смертности были составлены Виттом и Галлеем (1671, 1693 гг.).

3. Замечательным примером получения новых математических результатов при решении практических задач была работа Христиана Гюйгенса (1629-1695) «Маятниковые часы» (1673 г.), в которой при поиске лучшего способа измерения времени рассмотрены не только маятниковые часы, но и эволюта и эвольвента. Изучение часов оказало влияние на развитие механической концепции мира.

Выше уже был приведен характерный для XVII века поучительный пример того, как поиск метода определения долготы судна стимулировал математические изыскания в различных теоретических и прикладных направлениях. Необходимость решения этой задачи была одним из мотивов, стимулирующих создание Лондонского королевского общества и Парижской Академии наук. Исследования по астрономии, картографии, навигации, механики способствовали развитию математического анализа.

Проблема определения долготы была решена, когда была создана удовлетворительная теория движения Луны и изобретен хронометр.

4. В своих вычислениях математики использовали труды Герона и Архимеда - именно в этот период были опубликованы латинские издания их трудов. В то же время, ради получения практических результатов, допускалось и пренебрежение Архимедовой строгостью что, в частности, проявилось при вычислении центров тяжести различных фигур - одной из любимых задач математиков того времени.

Иоганн Кеплер увидел в гелиоцентрической системе действие некоторой единой силы, обосновал зависимость между периодами вращения планет и их расстояниями от солнца, ввел представление об эллиптических траекториях, сформулировал три закона движения планет Кеплер в своих трудах по астрономии, связанных с большими вычислениями, отказался от Архимедовой строгости. Он говорил, что доказательства Архимеда «абсолютны и во всех отношениях совершенны», но оставлял их для людей склонных увлекаться точными доказательствами. В своей «Стереометрии винных бочек» (1615 г.) Кеплер вычислил объемы тел, получаемых при вращении конических сечений вокруг осей, лежащих с ними в одной плоскости 5. В развитии науки выдающаяся роль принадлежит Галилео Галилею (1564-1642 гг.) - итальянскому физику, астроному, математику, филологу.

Заслуга Галилея прежде всего в развитии духа современной науки, основанной на гармонии теории и эксперимента - научное значения, по определению Галилея, имеет только та теория, которая подтверждена экспериментом. Галилеем сформулирован принцип относительности, согласно которому все механические явления происходят одинаково во всех системах, находящихся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Не будучи собственно математиком, Галилей занимает видное место в истории математики. Он глубоко изучил доступные ему труды Архимеда, всячески пропагандировал применение математических методов при изучении явлений природы и сам дал образцы такого применения. В своих «Беседах» (1638 г.) Галилей пришел к математическому описанию движения, к зависимостям между расстоянием, скоростью и ускорением. Он не привел систематическое изложение своих взглядов на математический анализ, предоставив это своим ученикам Торричелли и Кавальери. Галилей сделал много открытий в естествознании:

закон инерции, закон колебания маятника; развил новую механику свободно падающих тел, обосновал параболическую теорию движения, был основателем теории упругости, теории земного магнетизма защищал теорию Коперника. Ему также принадлежит ряд выдающихся открытий в астрономии (открыл гор на Луне, 4 спутника Юпитера, фазы Венеры, пятна на Солнце, звездное строение Млечного Пути).

6. Работы физиков, астрономов, математиков в различных областях знаний в конечном счете привели к получению новых оригинальных результатов в теоретических разделах математики, в том числе к созданию новых областей математических исследований. Перечислим некоторые результаты, полученные в XVII столетии.

Виллис (1616-1703) был первым математиком, у которого алгебра по настоящему переросла в анализ. Метод обращения к бесконечности был у Виллиса достаточно примитивным, но новые результаты он получал.

Кавальери (1598 1647) - ученик Галилея в своей «Геометрии» (1695) построил упрощенный вариант исчисления бесконечно малых. Кавальери опубликовал более десяти книг по математике и астрономии, в которых рассматривались задачи измерения на небесной сфере, отражение света от параболических, эллиптических и гиперболических зеркал, определения фокусов зеркал и чечевиц, вычисления площадей и объемов т др.

Ферма (1601-1665) – юрист, математика была него лишь увлечением.

Несмотря на это, он стал основоположником плодотворных областей математики: аналитической геометрии, исчисления бесконечно малых, теории вероятностей. В 1638 г. под влиянием работ Кавальери предложил свой метод отыскания максимумов и минимумов. Ферма сформулировал также основной принцип оптики, из которого выводятся законы отражения и преломления света. Круг математических интересов Ферма был весьма широк.

Блез Паскаль (1623- 1664) вместе с Ферма является основателем математической теории вероятностей. Его идея относительно интегрирования, бесконечного и бесконечно-малого оказали влияние на Лейбница. Паскаль также изобрел счетную машину.

7. Исаак Ньютон (1643-1727). С 1669 до 1696 гг. - заведующий кафедрой Кембриджского университета, В 1696 поступил на службу в ведомство монетного двора, вначале инспектором, а затем директором. В 1672 г. избирается членом Лондонского королевского общества, а с 1703 г.

является его президентом.

В физике, астрономии, механике, математики Ньютон получил новые результаты, определившие дальнейшее развитие науки. Опираясь на труды Галилея и полученные Кеплером эмпирически, закономерности движения планет, И.Ньютон разработал строгую научную теорию механики, описывающую движение и небесных тел, и земных объектов одними и теми же сформулированными им тремя законами механики, открыл универсальный закон тяготения. Ньютон обосновал корпускулярную теория света, получил результаты о распространении световых волн, сложном составе света, исследовал интерференцию и дифракцию света, открыл дисперсию света и хроматическую аберрацию.