«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ УНИВЕРСИТЕТ имени адмирала Г. И. Невельского Ю. А. КОМАРОВСКИЙ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ РЕФЕРЕНЦ-ЭЛЛИПСОИДОВ В СУДОВОЖДЕНИИ Учебное пособие Издание второе, переработанное и дополненное Владивосток ...»

1

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени адмирала Г. И. Невельского

Ю. А. КОМАРОВСКИЙ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ

РЕФЕРЕНЦ-ЭЛЛИПСОИДОВ В СУДОВОЖДЕНИИ

Учебное пособие

Издание второе, переработанное и дополненное

Владивосток 2005

УДК 621.396.932.1:629.783 Комаровский Ю.А. Использование различных референцэллипсоидов в судовождении: Учеб. пособие. Изд. второе, перераб. и дополн. – Владивосток: Мор. гос. ун-т, 2005. – 341 с.

В учебном пособии даны основные сведения по геофизическим полям Земли, геоиду, земному эллипсоиду и геодезическим системам.

Более подробно описаны американская геодезическая система WGS 84 и новая отечественная геодезическая система СК-95.

Приведены сведения об используемых в нашей стране и за рубежом референц-эллипсоидах и геодезических системах, на основе которых составляются карты. Особое место уделено различным способам преобразования геодезических координат при переходе от одной геодезической системе к другой. Дана классификация этих способов, приведены алгоритмы решений, примеры решений, а также даны рекомендации и справочный материал для решения задач преобразований координат. Даны подробные описания геодезических систем GRS 80, NAD 83, ETRS, СК-42, ПЗ 90 и Балтийской системы высот 1977 года. Рассмотрена система координат ITRS, поскольку она планируется стать геодезической основой новой спутниковой радионавигационной системы Галилео.

Учебное пособие подготовлено в соответствии с программами дисциплин “Навигация и лоция”, а также “Технические средства судовождения”. Пособие рассчитано на студентов (курсантов) старших курсов морских специальностей вузов Дальневосточного региона. Материал данного пособия полезен аспирантам, научным работникам, штурманам-практикам и тем, кто осваивает технологии применения приёмников системы Навстар GPS.

Ил. 14, табл. 17, прилож. 10, библиогр. 106 назв.

Рецензенты: А.Н. Жирабок, кафедра КПР ДВГТУ, д-р техн. наук, профессор;

А.Н. Солодянкин, доцент кафедры судовождения Дальрыбвтуза, канд. техн. наук.

© Ю.А. Комаровский © МГУ им. адм. Г.И. Невельского Предисловие ко второму изданию После выхода в свет первого издания данного учебного пособия произошёл ряд событий, которые внесли существенные изменения в практику применения в судовождении приёмников спутниковых радионавигационных систем.

К первому такому событию относится отмена Правительством США режима искусственного загрубления точности дальномерных сигналов спутников СРНС Навстар GPS. В результате погрешность определения обсервованных координат судов с помощью обычных приёмников Навстар GPS стала лучше ±10 м. практически сразу было объявлено о коренной модернизации СРНС Навстар GPS.

Модернизация среди прочих мероприятий предполагает введение двух новых гражданских сигналов. Это позволит снизить влияние флуктуаций ионосферы и довести точность ОМС в открытом море до ±5 м. Повышение точности ОМС вызывает необходимость перехода на трансляцию дифференциальными станциями поправок уже к фазовым измерениям с последующим обновлением парка судовых приёмников.

Вторым событием стало принятие ИМО более высоких требований к точности ОМС в открытом море.

третьим событие явилось учреждение в Российской Федерации новой системы геодезических координат CК-95.

Четвёртым событием надо рассматривать окончательное принятие Европейским Союзом решения о начале развёртывания в 2006 году новой СРНС Галилео. Галилео по своим параметрам будет превосходить СРНС Навстар GPS, что свидетельствует о конкуренции в космосе и в области высокоточного определения абсолютных координат.

Перечисленные факты привели к переменам в геодезическом обеспечении использования приёмников спутниковых навигационных систем. Перемены способствуют уменьшению количества применяемых геодезических систем и к переходу к более точным способам преобразования геодезических координат. Всё это нашло отражение во втором издании данного учебного пособия.

ВВЕДЕНИЕ

Мировое морское сообщество вступило в ХХI век с двумя принципиально новыми технологиями в области судовождения. К ним относятся технология, основанная на глобальных спутниковых радионавигационных системах (СРНС) Глонасс и Навстар GPS, а также технология, создаваемая географическими информационными системами (ГИС).

Первая связана прежде всего с получением в любой точке земной поверхности и околоземного пространства высокоточных координат движущегося транспортного средства, вектора его абсолютной скорости, а также точного времени. Все это открыло новые пути для организации более высокого уровня безопасности мореплавания на основе систем сопровождения, диспетчеризации, систем управления движением судов и транспондерных систем. Возможность непрерывного определения обсервованных координат судна вызвала новые направления в автоматизации судовождения, примерами которых уже стали автоматическое нанесение на электронные планшеты и карты текущего обсервованного места судна и его траектории и автоматическое управление судном по заданному маршруту. Непрерывная трансляция в эфир судовых обсервованных с помощью СРНС координат коренным образом видоизменяет подход к решению задачи предупреждения столкновений судов. Знание штурманом скорости и направления абсолютного перемещения своего судна совсем иначе позволяет подходить к ведению счисления пути, приближая точность счислимых координат к точности обсервованных. Кроме того, способность судового приемника СРНС измерять мгновенное значение абсолютной скорости открывает перспективу создания абсолютного лага, который эффективнее гидроакустического. Весьма обнадеживают первые попытки эксплуатации спутниковых курсоуказателей, точность которых уже достигает полутора угловых минут. Более того, видны перспективы заметного увеличения точности подобных курсоуказателей, что открывает новые возможности в мореходной астрономии. Появление аппаратуры, пригодной непрерывно отслеживать угловые положения главных плоскостей судна относительно созвездия навигационных спутников, расширяет область применения автоматического оперативного контроля остойчивости. Особо следует упомянуть о возрастающей ценности точного отсчета времени с помощью СРНС. Способность судовых и береговых эталонов времени работать в наносекундном диапазоне, используя шкалы времени СРНС, создает основу для построения сети новых высокоточных многопараметрических радионавигационных систем, которые повысят надежность мореплавания в прибрежных водах, дублируя СРНС.

';

Концепция ГИС сформировалась с появлением быстродействующих ЭВМ, обладающих большой памятью. Географические информационные системы представляют собой базу данных, имеющих привязку к географическим координатам. К таким данным поначалу относилась топографическая, гидрографическая и гидрологическая информации, гидрометеорологические особенности, видеоинформация (изображения мысов, приметных объектов и т.д.), информация о радионавигационных средствах, огнях, знаках, подводных коммуникациях и т.д. С помощью разработанных программных средств эта информация дополнялась, корректировалась, передавалась в другие базы данных, обрабатывалась и представлялась в виде, удобном для того или иного применения.

Примером таких ГИС являются современные ECDIS (Electronic Chart and Display Systems). В последние годы географические информационные системы получили дальнейшее развитие от включения в базы данных сведений о естественных физических полях Земли. Это привело к возникновению совершенно новых методов судовождения, получивших название навигации по геофизическим полям. Точность таких методов полностью зависит от точности измерений параметров полей и от точности привязки к координатам.

Технологии СРНС и ГИС имеют общую основу, так как базируются на одних и тех же геодезических системах координат, предполагающих различные референц-эллипсоиды. Увеличение точности определения места судна и точности геодезической привязки информации в ГИС, а также переход в навигации к абсолютным координатам уже давно поставило на повестку дня вопрос о необходимости, во-первых, учета того, в какой геодезической системе определяются координаты, во-вторых, корректного перехода от одной геодезической системы к другой. Важность этой проблемы подчеркнута в РШС-89, где сказано о необходимости учета погрешности, обусловленной различием систем координат, в которых работает СРНС и составлена навигационная карта. Расхождение в координатах из-за использования различных геодезических основ может достигать 0,4 мили. К сожалению, в учебной литературе по навигации этой проблеме не уделено достаточного внимания. По этой причине вопросам описания существующих геодезических систем, а также принятым методам преобразования координат при переходе от одной системы к другой в данном учебном пособии отведено особое место.

Из-за широкого распространения СРНС Навстар GPS во многих областях человеческой деятельности и подавляющего количества типов приемоиндикаторов, работающих по сигналам этой системы, фактически общепринятым в спутниковой навигации, в спутниковой геодезии и в ГИСах стал референц-эллипсоид WGS 84. Восполняя пробелы в отечественной литературе, в предлагаемом учебном пособии дается полное описание этого референц-эллипсоида на том уровне, на котором он описан в официальных открытых публикациях правительственных учреждений США.

Важное место в пособии занимает попытка автора познакомить читателя с геоидом WGS 84, который в настоящее время является одной из самых точных моделей Земли, а также с моделью гравитационного поля Земли, без элементарных знаний о которых уже становится трудно объяснить и понять явления, происходящие в движении Земли, в изменении её формы, в движении искусственных спутников Земли, а также явления, влияющие на точность определения обсервованных координат.

Особое значение автор придал терминологии, систематизировав и обосновав смысл и определения некоторых распространённых в навигации понятий. Приведены их зарубежные аналоги, что поможет читателю более профессионально знакомиться с зарубежными литературными источниками по навигации, а также осознанно и грамотно эксплуатировать приёмоиндикаторы СРНС.

Предлагаемую работу можно рассматривать ещё и как попытку описания той геофизической среды, в которой работают современные спутниковые радионавигационные системы, и которая влияет на работу этих систем, так или иначе, сказываясь на точности определения места судна.

Учебное пособие рассчитано, прежде всего, на курсантов старших курсов судоводительской специальности морских ВУЗов и на штурмановпрактиков, самостоятельно пытающихся вникнуть в принципы работы СРНС, приёмоиндикаторов и в основы электронной картографии. Пособие может оказаться полезным для преподавателей, аспирантов и научных работников, чей профессиональный интерес распространяется на навигацию, технические средства судовождения и на радионавигационные приборы и системы.

Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность С.В.

Коркишко за электронное оформление рукописи и помощь в расчётах в пакете Mathematica 4.0 таблиц 1, 3 и 6, а также Приложения 7. Целый ряд его полезных замечаний способствовали улучшению данного пособия.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. СТРУКТУРА, ДИНАМИКА, ФОРМА И РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ Земля третья по порядку от Солнца большая планета Солнечной системы. Масса Земли равна 5,976 1024 кг, что составляет 1/448 долю массы больших планет и 1/330000 массы Солнца. Под действием притяжения Солнца Земля, как и другие тела Солнечной системы, обращается вокруг него по мало отличающейся от круговой эллиптической орбиты. Солнце расположено в одном из фокусов эллиптической орбиты Земли, вследствие чего расстояние между Землей и Солнцем в течение года меняется от 147,117 млн. км (в перигелии) до 152,083 млн. км (в афелии). Большая полуось орбиты Земли, равная 149,6 млн. км, принимается за единицу при измерении расстояний в пределах Солнечной системы. Скорость движения Земли по орбите, равная в среднем 29,765 км/с, колеблется от 30,27 км/с (в перигелии) до (в афелии). Вместе с Солнцем Земля участвует также в движении вокруг центра Галактики; период галактического обращения составляет около 200 млн лет, средняя скорость движения 250 км/с.

Относительно ближайших звезд Солнце вместе с Землей движется со скоростью около 19,5 км/с в направлении созвездия Геркулеса.

Плоскость земной орбиты (плоскость эклиптики) наклонена в современную эпоху под углом 1,6° к так называемой неизменяемой плоскости Лапласа, перпендикулярной главному вектору момента количества движения всей Солнечной системы. Под действием притяжения других планет положение плоскости эклиптики, а также форма земной орбиты медленно изменяются на протяжении миллионов лет. Наклон эклиптики к плоскости Лапласа при этом меняется от 0 до 2,9°, а эксцентриситет земной орбиты от 0 до 0,067. В современную эпоху эксцентриситет равен 0,0167, убывая на 410-7 в год. Если смотреть на Землю со стороны северного полюса, то орбитальное движение Земли происходит против часовой стрелки, то есть в том же направлении, что и ее осевое вращение, и обращение Луны вокруг Земли.

Если принять форму Земли за шар, то вследствие суточного вращения Земли точки экватора имеют линейную скорость 465 м/с, а точки, расположенные в широте скорость 465cos м/с.

Зависимость линейной скорости вращения, а, следовательно, и центробежной силы от широты приводит к различию значений ускорения свободного падения в разных широтах.

Ось вращения Земли отклонена от перпендикуляра к плоскости эклиптики на 23°26,5' (в середине ХХ века); в современную эпоху этот угол уменьшается на 0,47 за год. При движении Земли по орбите вокруг Солнца ее ось вращения сохраняет почти постоянное направление в пространстве. Гравитационное влияние Луны, Солнца, планет вызывает длительные периодические изменения эксцентриситета, орбиты и наклона оси Земли, что является одной из причин многовековых изменений климата.

Период вращения Земли систематически увеличивается под воздействием лунных и в меньшей степени солнечных приливов.

Притяжение Луны создает приливные деформации как атмосферы и водной оболочки, так и коры Земли. Они направлены к притягивающему телу и, следовательно, перемещаются по Земле при ее вращении. Приливы в земной коре имеют амплитуду до 50 см, в открытом океане вода поднимается на высоту не более 2 м, в атмосфере они вызывают изменение давления в несколько сотен Па.

Приливное трение, сопровождающее движение приливов, приводит к потере системой Земля Луна энергии и передаче момента количества движения от Земли к Луне. В результате вращение Земли замедляется, а Луна удаляется от Земли. 500 млн. лет назад длительность земных суток составляла 20,8 часа [2].

Существует много гипотез происхождения Земли. Все они сводятся к тому, что несколько миллиардов лет назад наша планета представляла небесное тело, состоящее из жидкого раскаленного вещества. И если бы наша молодая планета не вращалась вокруг своей оси, то до наших дней она сохранила бы форму идеального шара, поскольку в таком случае отсутствовали бы центробежные силы, уменьшающие силу тяжести.

Тем не менее, много миллионов лет назад Земля вращалась с более высокой угловой скоростью, следовательно, ее сплюснутость с полюсов была гораздо больше, чем в наши дни. По мере охлаждения поверхности стала образовываться плита, которая подверглась разлому на несколько частей, ставших впоследствии континентами. Континенты продолжают дрейфовать, создавая океанские глубины и горные массивы при расхождении и наползании. Так формировался и до сих пор формируется рельеф твердой поверхности Земли. Фактическое замедление скорости вращения Земли несколько меньше того, которое соответствует передаче момента Луне. Это указывает на вековое уменьшение момента инерции Земли, связанное с ростом плотности ядра планеты и с перемещением тектонических плит, на которых в настоящее время покоятся континенты. Скорость вращения Земли несколько меняется в течение года также вследствие сезонных перемещений воздушных масс и влаги. Наблюдения, сделанные с помощью искусственных спутников Земли (ИСЗ), позволили с высокой точностью установить, что сжатие с полюсов несколько больше того, которое соответствует современной скорости и распределению внутренних масс. Это объясняется увеличивающейся вязкостью земных недр, приводящей к тому, что при замедлении вращения Земли ее фигура не сразу принимает форму, соответствующую увеличенному периоду вращения.

Поскольку Земля имеет сплюснутую форму (избыток массы у экватора), а орбита Луны не лежит в плоскости земного экватора, притяжение Луны вызывает прецессию медленный поворот земной оси в пространстве (полный оборот происходит за 26 тысяч лет). На это движение накладываются периодические колебания направления оси нутация (основной период 18,6 года). Положение оси вращения по отношению к телу Земли испытывает как периодические изменения (полосы при этом отклоняются от среднего положения на 1015 метров), так и вековые (среднее положение Северного полюса смещается в сторону Северной Америки со скоростью приблизительно 11 см в год).

Знание формы и размеров Земли необходимо во многих областях человеческой деятельности, особенно в мореплавании, природопользовании и укреплении обороноспособности страны. Для практического использования этих знаний требуется с высокой точностью изображать земную поверхность на картах, планах, разрезах.

Задача эта весьма трудная из-за больших размеров и сложности формы Земли. Общая площадь физической поверхности Земли составляет приблизительно 510 млн. км2, 29% которой составляет суша [3]. Суша и дно морей и океанов представляют сложные комбинации возвышенностей и впадин, находящихся между собой в различных случайных сочетаниях. Самая высокая точка над уровнем океана находится на высоте 8848 м (г. Эверест), а максимальная глубина океана около 11 км. Таким образом, колебания точек поверхности Земли по высоте могут составлять до 20 км.

Как уже говорилось выше, на динамику Земли существенно влияет гидросфера совокупность вод земного шара в жидком, твердом или газообразном состояниях. Гидросфера включает воды мирового океана (более 96 % объема гидросферы), подземные воды (около 2 %), льда и снега (около 2 %), воды рек, озер, водохранилищ и болот (около 0,02 %). Если материки в большей или меньшей степени разобщены между собой, то водная оболочка Земли образует непрерывное пространство. Мировой океан занимает площадь км2 и содержит 1370106 км3 воды [4]. К настоящему времени строгой теории происхождения океанов еще нет. Имеющиеся суждения носят характер гипотез, основанных на изучении косвенных факторов, связанных с геологическим строением Земли и происходящими в ней и на ее поверхности процессами. Наиболее правдоподобной выглядит гипотеза образования океанов в результате раздвига континентальных плит земной коры. Наиболее весомым аргументом этой концепции является конфигурация очертаний материалов. Гидросфера непрерывно находится в движении, о чем свидетельствует изменение уровня мирового океана. Уровень мирового океана формируется многочисленными явлениями, воздействующими на водные массы. К ним относятся космические, или приливообразующие, геодинамические и геотермические, возникающие вследствие процессов, протекающих в недрах земной коры (землетрясениями, моретрясениями, извержениями вулканов на суше и в океане и современными проявлениями тектонизма), а также радиационными (механическими и физико-химическими), являющимися следствием воздействия солнечной радиации на поверхность и атмосферу Земли.

Главной силой, формирующей уровень мирового океана, является сила тяжести, стремящаяся привести водные массы в состояние покоя.

Перечисленные явления и сила тяжести формируют сложную систему движения водных масс. Следствием их перемещения являются динамика топографии поверхности океана, сложные, часто случайные изменения положения поверхности, проявляющиеся в колебаниях уровня воды. Колебания уровня подразделяются на периодические, непериодические и вековые. К периодическим относятся колебания приливо-отливные, метеорологические (происходящие в результате годового хода осадков, испарения и стока вод), колебания, связанные с периодическими изменениями направления ветра (например, в области действия муссонов). В открытом океане величина приливов составляет в среднем 0,8 1,0 м [1]. Вблизи суши на величину приливов существенное влияние оказывают изрезанность береговой линии, уменьшение глубин и так далее. В вершине залива Фунди, расположенного между полуостровом Новая Шотландия и материком, величина прилива достигает 16,2 м, что является максимумом для мирового океана. Непериодические колебания уровня моря обусловлены случайными изменениями количества осадков, испарения и стока, воздействием ветра случайного направления, подводными землетрясениями и извержениями, вызывающих цунами, временными течениями, изменениями атмосферного давления, изменением плотности воды и другими причинами. Зависимость уровня от количества осадков и стока очевидна, а изменения уровня во времени определяются климатическими характеристиками района. В океанах непериодические колебания уровня из-за этих причин не превышают см, в морях, изолированных от океана, могут достигать 50 см и более.

Непериодические изменения интенсивности солнечной радиации обуславливают изменение температуры воды, а, следовательно, и ее плотности. Из-за этого в зонах повышенной плотности образуются понижения уровня вследствие сил тяжести, а в зонах пониженной плотности повышения уровня воды. В отдельных случаях значительное изменение плотности происходит под действием перемещения водных масс течениями. Непериодические изменения атмосферного давления вызывают колебания уровня, проявляющиеся в образовании сейш. С изменением атмосферного давления на 1 мбар уровень моря изменяется на 10 мм [4].

Вековые колебания уровня происходят вследствие изменения общего объема воды в мировом океане, объясняемого изменением климата нашей планеты, интенсивностью образования или таяния ледников, а иногда изменением гидрологического режима в бассейнах питающих рек. К вековым относятся и тектонические колебания в результате медленных вертикальных движений как отдельных участков материков, так и всей земной коры. Яркими примерами вековых колебаний является резкое падение уровня Аральского моря и катастрофическое повышение уровня Каспийского моря. Уровень Черного моря повышается на 14 см за сто лет.

Огромную роль в судовождении играет рельеф морского дна и дна внутренних водоемов. Непрерывная циркуляция воды в гидросфере вызывает изменение рельефа из-за переноса твердых частиц. Только реками планеты ежегодно переносится миллиарды тонн твердых частиц. Это приводит не только к изменению топографии дна, но и к медленному смещению центра массы Земли, что также сказывается на динамике вращения нашей планеты. Рельеф дна подвержен изменению в результате тектонической, вулканической и даже человеческой деятельности. Примером влияния человеческой деятельности является опускание дна Северного моря на несколько десятков метров в районах активной добычи нефти и газа.

Помимо твердой части и жидкой части (гидросферы) Земли существует атмосфера как газообразная часть, играющая существенную роль не только в динамике планеты, но и в ее формообразовании. Атмосферой, или воздушной оболочкой называют газовую среду Земли, вращающуюся вместе с ней. Масса атмосферы составляет приблизительно 5,151018 кг. Среднее давление атмосферы на уровне моря равно 101325 Па (это соответствует 1 атмосфере, или 760 мм ртутного столба). Плотность и давление атмосферы быстро убывают с высотой: у поверхности плотность воздуха равна 1,22 кг/м (число молекул в 1 м3 равно 2,551025), на высоте 10 км плотность уже равна 0,41 кг/м3 (число молекул в 1 м3 равно 8,61024), а на высоте км плотность составляет 8,810-7 кг/м3 (число молекул в 1 м3 равно 1,81018). Атмосфера имеет сложное строение, ее слои различаются своими физическими и химическими свойствами (температурой, химическим составом, ионизацией молекул и др.). Принятое деление атмосферы на слои основано главным образом на изменении в ней температуры с высотой, поскольку оно отражает баланс основных энергетических процессов.

Химический состав земной атмосферы неоднороден. Сухой атмосферный воздух у поверхности Земли содержит по объему 78,08 % азота, 20,95 % кислорода (около 10-6 % озона), 0,93 % аргона и около 0,03 % углекислого газа. Не более 0,1 % составляет вместе водород, неон, гелий, метан, криптон и другие газы. В слое атмосферы до высоты 90 100 км, в котором происходит интенсивное перемешивание атмосферы, относительный состав ее основных компонентов не меняется (этот слой называется гомосферой). В атмосфере содержится (1,3 1,5) 1016 кг воды. Главная масса атмосферной воды (в виде пара, взвешенных капель и кристалликов льда) сосредоточена в тропосфере, причем с высотой ее содержание резко убывает. Во влажном воздухе содержание водяного пара у земной поверхности колеблется от 3 4 % в тропиках до 210-5 % в Антарктиде. Очень изменчивы аэрозольные компоненты воздуха, включающие пыль почвенного, органического и космического происхождения, частички сажи, пепла и минеральных солей. Кстати, за счет космической пыли и метеоритов Земля ежегодно увеличивает свою массу на 104 105 тонн [2]. Между атмосферой и подстилающей поверхностью происходит непрерывный обмен энергией (теплооборот) и веществом (влагооборот, обмен кислородом и другими газами). Теплооборот включает перенос теплоты излучением (лучистый теплообмен), передачу теплоты за счет теплопроводности, конвекции и фазовых переходов воды (испарения, конденсации, кристаллизации). Неравномерный нагрев атмосферы на разных широтах, над сушей и океанами, занимающими 71 % поверхности Земли, приводит к неравномерному распределению атмосферного давления. Возникающие в атмосфере устойчивые перепады давления вызывают общую циркуляцию, с которой связан влагооборот, включающий процессы испарения воды с поверхности гидросферы, переноса водяного пара воздушными потоками, выпадение осадков и их сток. Теплооборот, влагооборот и циркуляция атмосферы являются основными климатообразующими и погодообразующими процессами.

Атмосфера является активным агентом в различных процессах, происходящих на поверхности суши и в верхних слоях водоемов. В последние годы стало заметно потепление нижних слоев в атмосфере за счет так называемого «парникового эффекта». Это вызвало активное таяние льдов и подъем среднего уровня мирового океана. Дальнейшее потепление неизбежно приведет к уменьшению угловой скорости вращения Земли, которое нельзя будет не учитывать в расчетах, связанных с определением места по спутниковым навигационным системам.

Состояние атмосферы и отдельных ее слоев обязательно учитывается в современных СРНС еще и с точки зрения влияния на условия распространения радиоволн. Каждая СРНС обязательно имеет в своем составе некую математическую модель, описывающую суточные, сезонные и годовые изменения физических характеристик каждого слоя атмосферы. По этим причинам во вновь создаваемые для СРНС референц-эллипсоиды уже включаются характеристики атмосферы. Атмосфере как среде распространения радиоволн отводится ведущая роль при проектировании и эксплуатации новых береговых радионавигационных систем повышенной точности.

Рассмотрим структуру атмосферы и остановимся подробнее на каждом ее слое.

Тропосфера нижний слой атмосферы Земли, где возникают основные явления погоды. Тропосфера характеризуется достаточно регулярным падением температуры с высотой (в среднем 6,5 °С на км). На высоте 112 км в высоких и средних широтах и на высоте 1518 км в тропиках это падение прекращается и далее в стратосфере температура остается приблизительно постоянной. Из-за неравномерности разогрева земной поверхности возникают неоднородности атмосферного давления, вызывающие появление ветров. Общая циркуляция в тропосфере, возникающая из-за разности температур между экватором и полюсами, благодаря действию силы Кориолиса и закона сохранения кинетического момента разбивается на более или менее стационарные системы ветров. В полярных широтах преобладают восточные ветры, в средних западные, вблизи тропиков снова восточные (пассаты). Средняя зональная компонента скорости ветров составляет приблизительно 10 м/с. В тропосфере содержится почти все количество водяного пара атмосферы, образуются облака и формируются все виды осадков, которые непрерывно изменяют рельеф твердой поверхности Земли.

Неравномерности распределения температур и плотности в тропосфере приводят к задержкам в распространении радиоволн, отклонениям трасс их распространения от кратчайших.

Стратосфера область атмосферы между тропосферой и мезопиком. Ее нижняя граница находится на расстоянии около км от поверхности Земли в полярных районах, поднимаясь до высоты 28 км к экватору. Верхняя граница составляет условно км. В установлении температурного режима стратосферы основную роль играет теплообмен излучением. В нижней части стратосферы до высот 2025 км температура приблизительно постоянна, а выше, вплоть до мезопика, наблюдается рост температуры вследствие поглощения солнечного излучения озоном. Экваториальная стратосфера обычно холоднее полярной.

Мезопик (стратопауза) область атмосферы с максимальной температурой на высоте 5060 км. Ниже этого уровня интенсивность ультрафиолетового излучения Солнца заметно уменьшается вследствие поглощения молекулами озона, а выше этого уровня концентрация поглощающих молекул озона и водяного пара быстро падает. Таким образом, максимальный приток энергии располагается на высоте 5060 км, и это приводит к появлению максимума температуры. Концентрация озона и водяного пара выше мезопика весьма переменна, так что снижение температуры на высотах более 50 км наблюдается не всегда.

Обычно мезопик ясно выражен летом, зимой может отсутствовать.

Роль состояния мезопика для биосферы Земли огромна, так как в нем содержится озоновый слой, экранирующий от жесткого ультрафиолетового излучения (1834 мкм). Появление «озоновых дыр» является результатом человеческой деятельности. Мезопик рассматривается как переходная область между стратосферой и мезосферой.

Мезосфера область атмосферы между мезопиком и мезопаузой на высоте от 50 до 80 км. В мезосфере основным энергетическим процессом является лучистый теплообмен, причем важнейшую роль играют поглощение солнечного излучения озоном ( в области длин волн короче 30 мкм), а также водяным паром и углекислым газом и, кроме того, рассеяние ультрафиолетового излучения молекулами кислорода. В области мезосферы происходят сезонные вариации температуры, крупномасштабные вихри, являющиеся продолжением соответствующих образований в нижних слоях атмосферы.

Мезопауза переходная область атмосферы между мезосферой и термосферой с минимальной температурой на высоте около 80 км от поверхности Земли. Мезопауза отчетливо выявляется лишь в летнее время. Зимой отмечается почти постоянная температура в диапазоне высот примерно от 60 до 90 км. Природа мезопаузы окончательно еще не выяснена.

Термосфера область верхней атмосферы на высотах от 90 до 200400 км над поверхностью Земли, где происходят основные процессы поглощения и преобразования энергии солнечного коротковолнового излучения (ультрафиолетового и рентгеновского), что обусловливает в термосфере рост с высотой температуры нейтральных частиц атмосферы от 200 до 5002500 градусов по Кельвину в зависимости от времени суток и солнечной активности.

Влияние солнечного излучения сказывается и на плотности воздуха в термосфере (например, на высоте около 200 км плотность воздуха днем в 1,52 раза выше, чем ночью), что крайне необходимо учитывать в работе спутниковых навигационных систем. При поглощении квантов ультрафиолетового излучения Солнца с длиной волны менее 10 мкм происходит ионизация компонентов атмосферы, то есть образование ионосферы, поэтому основные области ионосферы (слои Е1, F1, F2) лежат внутри термосферы. Кроме процессов ионизации в термосфере происходят процессы молекулярного изменения кислорода и азота, что приводит к изменению состава атмосферы с высотой. На высотах выше 300 км преобладает атомарный кислород.

Термопауза область верхней атмосферы, находящаяся над термосферой и характеризующаяся переходом к постоянству температуры по высоте. В термопаузе поглощение солнечного коротковолнового излучения сравнительно невелико. Поэтому средний приток теплоты на одну частицу атмосферы мало меняется с высотой. Постоянство температуры означает отсутствие здесь какихлибо других заметных источников тепловой энергии, кроме солнечного излучения. Температура и концентрация атмосферных компонентов зависят от уровня солнечной и геомагнитной активности, а также имеют суточные и сезонные вариации.

Экзосфера (от греческих слов экзо вне, за, вдали и сфера шар) область верхней атмосферы, из которой возможно свободное ускользание нейтральных частиц в межпланетное пространство.

Геокорона внешняя область атмосферы Земли. Состоит в основном из заряженных частиц, преимущественно из протонов с сопутствующими электронами, с небольшой примесью нейтральных частиц, главным образом, атомов водорода, вышедших из экзосферы.

Геокорона простирается приблизительно до 15 земных радиусов и находится в постоянном взаимодействии с межпланетной средой.

Положение внешней границы носит условный характер. Особенно это относится к нейтральной компоненте. Положение границы ионизированной компоненты зависит от электромагнитных взаимодействий с солнечным ветром и может испытывать быстрые изменения во время солнечных и геомагнитных возмущений.

Планета Земля содержит и четвертое состояние вещества плазму. Она заключается в так называемой ионосфере. Ионосферой принято называть ионизированную часть верхней атмосферы выше км. Верхняя граница ионосферы простирается до внешней части магнитосферы Земли. Ионосфера представляет собой природное образование разряженной слабо ионизированной плазмы, находящейся в магнитном поле Земли и обладающей благодаря высокой электрической проводимости специфическими свойствами, определяющими характер распространения в ней радиоволн и различных возмущений. Ионосфера играет решающую роль в радиосвязи и, в частности, в спутниковой навигации и космической геодезии. Ионизированная оболочка Земли способна поглощать и отражать радиоволны. Основной характеристикой ионосферы выступает концентрация ионов и электронов. Сравнительно недавно было установлено, что концентрация заряженных частиц распределена по высоте неравномерно: имеются области или слои, где она достигает максимума. Таких слоев несколько. Они не имеют резко выраженных границ, их положение и интенсивность регулярно изменяются в течение дня, сезона и 11-летнего солнечного цикла.

Верхний слой F соответствует главному максимуму ионизации.

Ночью он поднимается до высоты 300400 км, а днем (преимущественно летом) раздваивается на слои F1 и F2 c максимумами ионизации на высотах 160200 км и 220320 км. На высоте 90150 км находится область Е, а ниже 90 км область D.

Слоистость ионосферы обусловлена резким изменением по высоте условий ее образования. Основным источником ионизации днем является коротковолновое излучение Солнца с длиной волны короче 103,8 нм, однако важны также и корпускулярные потоки, галактические и солнечные космические лучи. Каждый тип ионизирующего излучения оказывает наибольшее воздействие на атмосферу лишь в определенной области высот, соответствующих его проникающей способности. В области D наблюдается наиболее низкая концентрация заряженных частиц (менее 109 в одном кубическом метре). От всей остальной ионосферы область D отличается тем, что наряду с положительными ионами в ней наблюдаются отрицательные ионы, которые определяют многочисленные свойства области D. При переходе ото дня к ночи в области D концентрация электронов резко уменьшается и, соответственно, уменьшается поглощение радиоволн, поэтому раньше считали, что ночью слой D исчезнет. В момент солнечных вспышек на освещенной стороне земной поверхности сильно возрастает интенсивность поступающего от Солнца рентгеновского излучения, увеличивающего ионизацию области D, что приводит к увеличению поглощения радиоволн, а иногда даже к полному прекращению радиосвязи. Продолжительность перерывов радиосвязи обычно составляет 0,31,5 ч. Более длительные и более значительные поглощения бывают в высоких широтах. В районах магнитных полюсов (полярных шапок) длительность перерывов радиосвязи достигает иногда нескольких суток. Это явление надо учитывать штурманам, эксплуатирующим приемники спутниковых навигационных систем.

Область ионосферы на высоте 100200 км, включающие слои Е и F1, отличаются наиболее регулярными изменениями. Это обусловлено тем, что именно здесь поглощается основная часть коротковолнового ионизирующего излучения Солнца. Ночью из-за отсутствия источников ионизации на высотах 125160 км величина концентрации заряженных частиц сильно уменьшается. Однако в области Е на высоте 100120 км обычно сохраняется высокая концентрация электронов (3 10109 в км3). Концентрация положительных ионов кислорода становится больше выше уровня 170180 км днем и выше 215230 км утром, вечером и ночью. Выше и ниже этого уровня условия образования ионосферы совершенно различны. Днем ниже этого уровня образуется слой F1, который регулярно наблюдается летом и в основном при низкой активности Солнца, а в максимуме активности зимой он вообще не фиксируется. Выше данного уровня создаются благоприятные условия для образования области F2.

Поведение главного максимума ионизации, или области F, является очень сложным. Оно коренным образом отличается от поведения областей Е и F1. Так, хотя в среднем электронная концентрация в слое F2 определяется солнечной активностью, но день ото дня она сильно изменяется. Максимум концентрации в суточном ходе бывает сдвинут относительно полудня, при этом сдвиг зависит от широты, сезона и даже от долготы. Здесь обнаруживаются сезонные и экваториальные аномалии. Высота главного максимума ионосферы в средних широтах северного полушария изменяется в течение суток сложным образом, глубоко опускаясь утром и достигая максимума вблизи полуночи. Высота слоя F зимой ниже, чем летом, а при высокой активности Солнца выше, чем при низкой [2].

Как следует из изложенного, структура ионосферы и ее динамика весьма сложны. Поэтому изучение ионосферы продолжается, чтобы, во-первых, определить влияние ионосферы на динамику процессов, происходящих на нашей планете, во-вторых, построить единую глобальную математическую модель динамики самой ионосферы.

Такая модель крайне необходима для создания новых алгоритмов работы в современных спутниковых навигационных систем, чтобы повысить точность определения места.

Описывая нашу планету, нельзя обойти молчанием три основных физических поля, играющих существенную роль в динамике и формообразовании Земли и в современном судовождении. К их числу относят магнитное поле, поле теплового излучения и гравитационное поле.

Магнитное поле Земли (МПЗ) человечеству известно не одну тысячу лет. Тем не менее, механизм возникновения и динамики МПЗ объяснен сравнительно недавно. В современном представлении земного магнетизма за основу принята стандартная сейсмологическая модель Земли, состоящая из твердого внутреннего ядра, жидкой (металлической или металлизованной) внешней оболочки ядра, обладающей высокой электропроводностью, и слабопроводящей силикатной коро-мантийной оболочки. Граница ядро-мантия расположена на глубине 2890 км; граница между жидкой и твердыми частями ядра на глубине 5150 км. Предполагается, что главное магнитное поле обязано своим происхождением и существованием некоторой системе гидродинамических течений в жидком ядре, возникающих в процессе гравитационной и тепловой конвекции проводящего вещества. Такую физическую модель принято называть моделью гидромагнитного динамо [6]. Впервые идея гидромагнитного динамо была выдвинута в 1919 г. Дж. Лармором для объяснения магнитного поля Солнца. На ее применимость к МПЗ указал в 1947 г.

Я. И. Френкель. Однако развитие теории геомагнетизма на этом принципе берет начало с опубликованной в 1934 году работы Т.

Каулинга, в которой были установлены условия существования стационарного гидромагнитного динамо. По современным представлениям жидкое ядро, в отличие от коро-мантийной оболочки Земли, не вращается вокруг ее оси как единое тело, а скорее находится в состоянии такого вращения, при котором различные слои ядра вращаются с разной угловой скоростью.

В первом приближении МПЗ подобно полю гигантского магнитного диполя, расположенного в центральных частях земного шара, с Южным магнитным полюсом, расположенным в северном полушарии, и с Северным магнитным полюсом в южном полушарии Земли. Магнитный момент этого диполя приблизительно равен 1,51016 Ам2 [7]. Ось такого диполя отстоит от центра Земли на 451 км (в 1965 году) в направлении Тихого океана и наклонена к оси ее вращения на 12° [8]. Ось диполя пересекает земную поверхность в точках, называемых геомагнитными полюсами. Установлено, что силовые линии МПЗ сходятся не в геомагнитных полосах, а в близких к ним точках, которые называются магнитными полюсами Земли. Это объясняет сложный характер поля, существенно отличающегося от поля однородно намагниченного шара.

Напряженность магнитного поля в вакууме измеряют в системе СИ в амперах на метр (А/м). В средах с магнитной проницаемостью напряженность выражается магнитной индукцией. В системе СИ единица магнитной индукции тесла (Тл), имеющая размерность кг/(с2А). В магнитометрии принято пользоваться нанотеслой, равной 10Тл (нТл). На магнитных полюсах напряженность МПЗ достигает нТл, а на экваторе она почти в два раза меньше.

По тому, какие источники создают МПЗ, его принято рассматривать как некую суперпозицию главного и аномального полей. В свою очередь главные поля рассматривают в виде векторной суммы дипольного (поле однородной намагниченности земного шара) и недипольного, или материкового (поле, вызванное неоднородностью глубоких слоев земного шара). Аномальные поля подразделяются на региональные аномалии (вызываются в основном глубокими слоями земной коры и распространяются на большие площади) и местные, или локальные аномалии (обуславливаются менее глубокими слоями земной коры, месторождениями и распространяются на ограниченные площади) [9]. В МПЗ обязательно присутствуют компоненты, вызванные процессами в космосе, в ионосфере и в непосредственной близости от наблюдателя. МПЗ не отличается постоянством.

Многолетний опыт геомагнитных исследований показывает, что МПЗ можно достаточно рельефно разделить на две составляющие, одна из которых относительно быстро меняется во времени, другая, вызываемая внутренними процессами в Земле, является квазистационарной, то есть медленно меняющейся. Последним свойством обладает главное поле. Вариации элементов земного магнетизма принято делить на быстрые (обусловлены электрическими токами в ионосфере), медленные, или вековые (связаны с процессами внутри земного шара), магнитные бури. Магнитные бури сопровождаются изменениями напряженности до сотен, а иногда до тысяч нТл. Продолжительность магнитных бурь от нескольких часов до 1 суток и более. Отмечаются суточные вариации. На поверхности мирового океана отмечаются специфические вариации, вызываемые перемещениями масс воды. Так, например, волнение моря 2 балла вызывает изменения напряженности на 0,5 нТл, а баллов до 3 нТл. Течение Куросио создает дополнительную напряженность магнитного поля 37 нТл/узел [6].

Несмотря на свою изменчивость, МПЗ давно служит целям навигации. В конце шестидесятых годов были разработаны основные принципы корреляционно-экстремальной навигации, использующей аномальные магнитные поля. Новые навигационные системы, работающие на этом принципе в сочетании с анализом рельефа дна еще в 1965 году, достигали точности ±45 м [10]. Нельзя не упомянуть о роли высшей части МПЗ, простирающейся на десятки тысяч километров до космического пространства и называемой магнитосферой. Магнитосфера, во-первых, удерживает заряженные частицы ионосферы, предотвращая тем самым испарение атмосферы, во-вторых, отклоняет частицы солнечного ветра, предохраняя жизнь на Земле от губительной радиации.

Поле теплового излучения Земли стало предметом изучения сравнительно недавно. В создании теплового излучения частей поверхности Земли принимает участие очень большое число хаотически движущихся частиц. Из закона Планка, выражающего зависимость спектральной плотности излучения абсолютно черного тела от частоты и температуры, следует, что максимум спектральной плотности приходится на диапазон видимых и инфракрасных длин волн. Спектральная плотность в диапазоне миллиметровых и сантиметровых длин волн во много ниже максимальной, но эти волны распространяются на большие расстояния, нежели инфракрасное и световое излучения. Многочисленными наблюдениями были установлены области на суше и на дне мирового океана, которые довольно стабильно излучают сигналы в данном спектре. Мощность этих сигналов сильно отличается от общего теплового фона. Поэтому поле теплового излучения Земли иногда называют полем теплового контраста. Поле создается тепловыми потоками, идущими из недр планеты. Таким образом, радиотепловое излучение это не что иное, как электромагнитное поле тепловых шумовых токов, протекающих в среде вещества. Поначалу поле радиотеплового контраста использовалось для практических задач навигации летательных аппаратов. В последние годы рассматриваются перспективы применения его для судовождения.

Гравитационное поле Земли играет решающую роль в образовании формы планеты и влияет на ее размеры. К сожалению, в традиционном курсе навигации этому полю Земли не уделяется достаточного внимания. Восполняет этот пробел следующий параграф.

Началом изучения фигуры Земли явилось научное обоснование ее сферичности. Считают, что эту мысль впервые высказал древнегреческий ученый Пифагор (571-497 гг. до н. э.). Аристотель (384-322 гг. до н.э.) по этому поводу приводил многие из общеизвестных в настоящее время научных доказательств [11].

Первое исторически известное определение размеров Земли как сферы произвел александрийский ученый Эратосфен, живший в 278гг. до нашей эры. Он установил, что в день летнего солнцестояния в полдень в Асуане Солнце находится точно в зените, а в Александрии оно отклоняется от зенита на 1/50 часть окружности, то есть на 7°12'.

Линейное расстояние между этими городами, лежащими почти на одном меридиане, было определено по времени движения караванов;

оно составило 5000 египетских стадий (793 км). Отсюда длина одного градуса дуги меридиана равна 110,14 км, а радиус земной сферы 6314 км. В основе геометрического метода определения Эратосфена лежало измерение длины одного градуса дуги меридиана. Позднее подобные измерения, выполняемые с более высокой точностью, назвали градусными измерениями.

В последующие века по данным градусных измерений уточнялись размеры радиуса земной сферы. Заслуживают внимания измерения, выполненные в 16691670 гг. французским ученым Пикаром. Он измерил непосредственно на местности длину дуги меридиана от Парижа до Амьена (153689 м) и получил линейную величину градуса, равную 111212 (точная длина 1° меридиана на этих широтах измерений равна 111221 м), а радиус земной сферы 6372692 м. Для того времени градусное измерение Пикара дало результат довольно высокой точности.

Во второй половине XVII века Исаак Ньютон обосновал закон всемирного тяготения и выдвинул новое учение о форме фигуры Земли как вращающейся вокруг своей оси планетарной массы, находящейся в поле тяготения небесных тел. Он доказал, что Земля должна иметь форму сфероида, то есть эллипсоида вращения с малым сжатием по оси вращения. С середины XVIII века учение о сфероидичности Земли окончательно укрепилось в науке.

Для определения размеров сфероида в XVIII и XIX веках было выполнено большое количество измерений на поверхности Земли.

При этом определялись астрономические координаты точек, измерялись направления и расстояния между ними и сила тяжести в данных точках земной поверхности.

В России впервые работы по определению направления и величины силы тяжести (гравиметрические работы) были выполнены в 60 годах XVIII века М.В. Ломоносовым. С 1816 года начали проводиться астрономо-геодезические работы в западных пограничных районах под руководством К.И. Теннера в прибалтийских областях под руководством выдающегося астронома В.Я. Струве. Эти работы продолжались около 36 лет. В результате была измерена дуга меридиана от устья Дуная до берегов Северного Ледовитого океана, получившая название «дуги меридиана Струве».

Были произведены и другие градусные измерения. Наиболее значительными явились измерения по 48 параллели от Кишинева до Астрахани, по 52 параллели от Варшавы до Орека, по меридиану от Симбирска до Астрахани. Результаты этих измерений использовались русскими и иностранными учеными для определения размеров земного сфероида. Более подробно об этом изложено в последней главе данного пособия.

В последние годы все большую роль в изучении нашей планеты играет спутниковая геодезия, с помощью которой гораздо эффективнее изучается структура, динамика, форма и размеры Земли.

По результатам многочисленных измерений, выполненных спутниковыми радиолокаторами и лазерными дальномерами удалось получить основные размеры [2]:

Площадь поверхности Средняя плотность Ускорение свободного падения (на уровне моря) а) на экваторе в) стандартное Момент инерции относительно оси вращения 8,1041037 кг м2.

Кроме полярного сжатия отмечено незначительное сжатие в плоскости экватора (1/30000). Измерениями из космоса было обнаружено вздутие поверхности Земли, вытянутое в меридиональном направлении от полюса до полюса на 15° восточнее Гринвича. В районе Северного полюса существует незначительный подъем поверхности, а на Южном полюсе поверхность Земли имеет вогнутость.

Методы измерения формы Земли непрерывно совершенствуются, а поэтому размеры планеты постоянно уточняются ввиду важности знаний о структуре и динамике масс и полей.

Как видно из предыдущего параграфа, наша планета непрерывно изменяется. Тем не менее, для описания ее поверхности с целью создания точных карт, без которых невозможно представить человеческую деятельность, а также с целью дальнейшего освоения самой Земли и околоземного пространства необходимо иметь некий физический базис, создающий метрологическую основу для описания формы Земли. Таким базисом принято гравитационное поле Земли, которое в отличие от других физических полей обладает сравнительно незначительным изменением во времени. Под теорией фигуры Земли принято понимать раздел науки, занимающийся изучением формы Земли по её полю силы тяжести. Основополагающими понятиями здесь является понятие гравитационного потенциала и геоида.

Элементы теории гравитации. Слово гравитация в переводе с греческого означает тяжесть. В настоящее время под гравитацией понимают распределение силы тяжести на Земле, планетах и других космических телах, а также в самом космическом пространстве.

Наука, изучающая явления гравитации называется гравиметрией.

Древнегреческий мыслитель Аристотель (384-322 гг. до н. э.) считал, что чем больше вес тела, тем оно быстрее падает. Это утверждение пытался оспорить древнеримский ученый Тит Лукреций Кар (9955 до н. э.). Великий итальянский ученый Галилео Галилей (1564-1642) впервые предпринял эксперименты со свободно падающими телами для оценки величины ускорения силы тяжести. В 1590 году он приближенно определил ускорение свободного падения g 980 см/сек2. В честь его имени эта единица измерения получила название галилей (Гал). 1 Гал = 1 см/сек2. Примерно сто лет спустя голландский ученый Х. Гюйгенс (16291695) разработал первый маятниковый гравимер и точно определил величину ускорения свободного падения. Открытие И. Кеплером (15711630) законов движения планет вокруг Солнца позволило в 1687 году И. Ньютону, 16431727) сформулировать закон всемирного тяготения в знаменитом труде «Математические начала натуральной философии».

Закон тяготения Ньютона гласит: две любые материальные частицы с массами m1 и m2 притягиваются по направлению друг к другу с силой F, прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Величину гравитационной постоянной впервые опытным путем определил английский физик Г. Кавендиш (17311810).

Во времена Ньютона считали, что сила взаимодействия между телами передается мгновенно на любые расстояния. Современные опыты показали, что взаимодействие происходит с большой, но конечной скоростью, близкой к скорости света. Кстати, до сих пор эта скорость точно не определена.

Взаимодействие передается через среду, называемую гравитационным полем. Считается, что вокруг каждой массы существует поле, являющееся переносчиком взаимодействия масс.

Как и всякое другое гравитационное поле – это вид материи, основное свойство которого заключается в его непрерывности, то есть заданности в каждой точке пространства. Коль скоро гравитационное поле оказывает силовое воздействие на единичную (пробную) массу, то для количественного описания поля воспользуемся ее силовой характеристикой. Будем помещать в поле, создаваемое источником М, тела разной массы (m1, m2, …, mn) в одну и ту же точку на расстоянии от источника r. В результате получим силы притяжения различной величины (F1, F2, …, Fn), которые пропорциональны помещаемым пробным массам. Очевидно, что Эта константа служит силовой характеристикой поля в данной точке и зависит только от массы источника поля и расстояния от источника, но не зависит от пробной массы. Такую константу называют напряженностью гравитационного поля. Итак, напряженность это физическая величина, численно равная силе, с которой поле действует на пробную массу, помещенную в данную точку поля.

Гравитационное поле можно изобразить графически в виде силовых линий, касательных к вектору напряженности или к вектору силы притяжения, так как эти два вектора коллинеарны.

Поле тяготения является потенциальным, поскольку работа по перемещению тела любой массы не зависит от формы траектории перемещения, а только от координат начальной и конечной точек траектории. Иными словами, если начальная и конечная точки траектории совпадают, то работа по перемещению тела в гравитационном поле равна нулю.

Тело, находящиеся в гравитационном поле, обладает запасом потенциальной энергии, то есть силы притяжения способны совершить работу по перемещению тела, что вызывает убыль его потенциальной энергии. Для поля тяготения, образованного массой М, можно ввести понятие потенциала V произвольной точки пространства, расположенной на расстоянии r. Потенциал количественно показывает работу, необходимую для перемещения пробного тела из некой бесконечно удаленной точки пространства в интересуемую произвольную. Если произвольная точка пространства имеет координаты х, у, z, а тело массой М имеет координаты а, b, c, то формула потенциала запишется так:

При наложении нескольких силовых полей их потенциалы складываются.

Потенциал является удобной физической величиной для описания свойств гравитационного поля. Если по всем направлениям от центра массы какого-либо тела отложить расстояния, соответствующие величинам потенциала, то вокруг тела образуется система точек, через эквипотенциальной. Эквипотенциальная поверхность служит гравитационного поля сложной конфигурации.

Гравитационное поле Земли. Сила притяжения всей массой Земли единичной массы m = где расстояние от притягиваемой единичной массы в точке (х, у, z) до элемента dm массы Земли в точке (,, ); объем Земли [22].

В этом случае величина F численно равна ускорению свободного падения. Поэтому в гравиметрии принято силу тяжести представлять в единицах ускорения свободного падения.

Векторную величину ускорения F можно выразить через скалярные величины ее составляющих Fx, Fy, Fz по координатным осям х, у, z Составляющие Fx, Fy, Fz есть ни что иное, как частные производные по координатам притягиваемой точки от функции V, называемой потенциалом, или потенциальной функцией притяжения Земли Потенциал притяжения Земли обладает следующими свойствами:

1) потенциал V и его первые производные являются однозначными, непрерывными и конечными функциями координат притягиваемой точки во всем пространстве вне притягивающих масс;

2) потенциал V является функцией регулярной, то есть в бесконечности он стремится к нулю;

3) при удалении от притягивающих масс Земли произведение V стремится к пределу GM;

4) в каждой точке вне притягивающих масс Земли потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа 5) в каждой точке внутри притягивающих масс Земли справедливо уравнение Пуассона где плотность масс, окружающих точку.

Формула (1.2.6) является частным случаем соотношения (1.2.7) при = 0.

Нельзя забывать и о действии центробежных сил на массы.

Центробежная сила Р, существующая из-за суточного вращения Земли вокруг своей оси, пропорциональна расстоянию от оси вращения и квадрату угловой скорости суточного вращения Земли где = 2/86164 рад/с; 86164 число сидерических секунд, в течение которых Земля делает полный оборот вокруг оси.

Действие центробежной силы на единицу массы где Р центробежное ускорение.

Компоненты центробежного ускорения по осям координат х, у, z имеют вид Согласно определению потенциала его частные производные по осям координат равны компонентам ускорения по этим осям.

Следовательно, является потенциалом центробежного ускорения, так как В соответствии с равенствами (1.2.4) и (1.2.10) составляющие ускорения свободного падения по осям координат Полная величина ускорения свободного падения g равна и измеряется в СИ в метрах на секунду в минус второй степени (м/сек2). Однако в гравиметрии традиционно употребляется внесистемная единица «миллигал» (1 мГал = 110-3 Гал).

В гравиметрии для краткости g называют силой тяжести (точное выражение для g ускорение свободного падения). Среднее значение силы тяжести на поверхности Земли равно 979,700 Гал. Полное изменение силы тяжести от экватора к полюсу составляет около 5, Гал. Значение силы тяжести на экваторе gе = 978,032 Гал, а на полюсах gp = 983,218 Гал.

Из двух составляющих силы тяжести сила притяжения значительно превышает действие центробежной силы и определяет в основном величину и направление силы тяжести. Центробежная сила на экваторе имеет максимальное значение и равна приблизительно 3,4 Гал, на полюсе нулю.

Сила тяжести в данной точке поверхности Земли не остается постоянной с течением времени. Она изменяется в зависимости от положения небесных тел, мгновенной оси вращения в теле Земли, от изменения скорости вращения Земли, а также от перемещения масс Земли и атмосферы и деформации поверхности Земли [15]. Изменения силы тяжести принято делить на приливные и неприливные. Как те, так и другие можно, в свою очередь, подразделить на вековые, периодические и непериодические. Причиной вековых изменений могут быть изменения гравитационной постоянной и замедление вращения Земли. Они вызывают очень небольшие изменения силы тяжести и экспериментально пока не обнаружены. Среди периодических главными являются приливные изменения, вызванные влиянием Луны и Солнца, достигающие 210-6 м/сек2.

Непериодические изменения гравитационного поля вызываются природными явлениями (вулканическая деятельность, землетрясения, перемещения воздушных масс и др.) и даже человеческой деятельностью. По величине эти изменения являются наибольшими и могут достигать 10-5 м/сек2.

Непериодические изменения всегда носят локальный характер и вызывают в целом для Земли незначительные деформации гравитационного поля. Неприливные изменения силы тяжести могут вызываться перераспределением масс внутри Земли, связанными с происходящими геологическими процессами, изменением физических свойств Земли, обязанным радиоактивному разогреву, фазовым превращениям, конвекции, периодическим колебаниям атмосферного давления, сезонным выпадениям осадков. Скачкообразные изменения силы тяжести отмечены при извержении вулканов.

Для изучения формы и размеров Земли, процессов в недрах нашей планеты и поиска полезных ископаемых применяются различные гравимеры. Первый стационарный гравимер был создан венгерским ученым Этвешем в 1888 году. В настоящее время широко применяются наземные и бортовые гравимеры, причем последние устанавливаются даже на искусственных спутниках Земли. Космическая гравиметрия позволила наиболее быстро и точно накопить огромный объем данных, обработка которых позволила построить наиболее точную модель поверхности Земли, на основании которой созданы такие известные общеземные эллипсоиды как ПЗ 90 и WGS 84.

Точность измерений современных гравиметров достигает 0, мГал. Появление судовых гравиметров объясняется не только геофизическими исследованиями. В последние годы довольно успешно развиваются методы навигации по геофизическим полям Земли. Среди них особое место занимают технологии определения места судна по гравитационному полю Земли. Суть их сводится к измерению характеристик поля тяжести в данной точке и сравнению результатов измерения с эталонными измерениями, выполненными заранее и привязанными с высокой точностью к координатам.

Потенциал силы тяжести W равен сумме потенциалов притяжения V и центробежного ускорения U Частные производные от функции W по координатам х, у, z равны составляющим силы тяжести gx, gy, gz. Полное приращение потенциала силы тяжести dW будет равно где s произвольное направление, cos(g, s) означает косинус угла между направлением силы тяжести g и произвольным направлением s в какой-либо точке пространства.

Формула (1.2.16) показывает, что приращение потенциала силы тяжести есть работа при перемещении массы тела в поле сил тяготения. Из этой формулы следует:

Таким образом, производная от потенциала силы тяжести по любому направлению s равна составляющей силы тяжести по этому направлению.

Геоид. Выражение (1.2.17) позволяет сделать два важных вывода.

1. Если предположить, что cos(g, s) = 0, то есть принять направление s перпендикулярным к направлению силы тяжести, то dW = 0. Следовательно, Так как W функция координат х, у, z, то уравнение (1.2.18) представляет собой уравнение некоторой поверхности, обладающей тем свойством, что в любой ее точке сила тяжести направлена по нормали к ней. Каждая материальная точка на этой поверхности испытывает лишь действие силы, перпендикулярной к поверхности W.

Такая поверхность соответствует поверхности жидкости, находящейся в состоянии равновесия, и поэтому называется уровенной или эквипотенциальной поверхностью, то есть эквипотенциальной поверхности очевидно, что уровенные поверхности не могут касаться друг друга или пересекаться.

2. Расстояние между соседними уровенными поверхностями, определенными уравнениями можно найти, если принять в выражении (1.2.16) cos(g, s) = 1.

Следовательно, расстояние по нормали между соседними уровенными поверхностями обратно пропорционально модулю действующей силы тяжести. Поскольку g не является постоянной во всех точках уровенной поверхности, то расстояние между соседними уровенными поверхностями неодинаково. На уровенной поверхности сила тяжести не остаётся ни по величине, ни по направлению, а потому и расстояние между двумя уровенными поверхностями в различных местах различно. Так, например, сила тяжести на полюсах больше, чем на экваторе, а следовательно, уровенные поверхности на полюсах будут располагаться ближе друг к другу, чем на экваторе.

3. Если единичная масса перемещается вдоль уровенной поверхности перпендикулярно направлению силы тяжести, то в этом случае работа не совершается. Иными словами, если какое-либо физическое тело находится на уровенной поверхности, и на это тело не действуют другие силы, то она не будет перемещаться по уровенной поверхности независимо от ее кривизны.

Итак, уровенных поверхностей вокруг Земли можно провести бесконечное количество, но ту из них, которая совпадает со средней поверхностью Мирового океана, находящуюся в невозмущенном состоянии, продолженную под материками, по предложению в году немецкого ученого И. Б. Листинга (1808 – 1882) называют основной уровенной поверхностью, а тело, ограниченное этой поверхностью геоидом (то есть «землеподобный»). Понятие геоида имеет фундаментальное значение в исследовании Земли, освоении космоса, в картографии, и в современной спутниковой навигации.

Например, горизонтали на навигационных картах в первом приближении представляют собой линии пересечения уровенных поверхностей с физической поверхностью Земли.

Если бы наша планета имела твердую поверхность в виде идеального шара с равномерной плотностью и покрытую морем, то водная поверхность под действием сил притяжения и сил, возникающих при вращении Земли, приняла бы форму идеального сфероида. Многочисленные радиолокационные исследования поверхности Земли, выполненные с искусственных спутников позволили с высокой точностью измерить и описать ее реальную поверхность. В совокупности с широкомасштабными гравиметрическими наблюдениями радиолокационные исследования из космоса позволили существенно уточнить параметры геоида и разработать более точную математическую модель геоида. Без подобных дорогостоящих работ невозможно функционирование современных высокоточных спутниковых радионавигационных систем Навстар GPS и Глонасс.

Исследования показали, что в открытых частях Мирового океана отклонение среднего уровня воды от геоида может достигать 1 метра. Кроме того, обнаружена довольно значительная асимметрия между Северным и Южным полушариями. Несимметричность полушарий выражается в том, что в Северном по площади преобладают материки, а в Южном океаны, на Южном полюсе находится материк, на Северном океан.

Рельеф поверхности материков, как и сами материки, создает заметное отклонение реальной земной поверхности от геоида. Не в меньшей мере этому способствует неравномерное распределение твердых масс в теле Земли. В итоге форма геоида отличается от сфероида, обычно принимаемого за истинную форму Земли.

Поверхность геоида достаточно сложная и обычно всюду выпуклая в соответствии с выпуклостью поверхности Мирового океана. Она резко выступает над поверхностью сфероида. Так, на экваторе отклонения геоида от сфероида обычно составляют не более ±100 м и лишь в отдельных случаях +125 и 140 м. Там, где поверхность Мирового океана пересекается с материками, отмечается небольшой подъем поверхности геоида. Отмечены многочисленные локальные вогнутости и выпуклости геоида, играющие большое положительное значение в навигации по гравитационному полю Земли. С другой стороны, сложная неправильная форма геоида вызывает возмущения в орбитах искусственных спутников Земли. По мере уточнения формы геоида вносятся поправки в искажения орбит навигационных спутников, что позволяет с более высокой точностью предвычислять их пространственные координаты и тем самым повышать точность определения места наземных потребителей.

Французский учёный А. Клеро (1713 – 1765) установил связь между сжатием земного эллипсоида и изменением ускорения силы тяжести на его поверхности в зависимости от широты. В 1743 году вышла в свет его работа “Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики”, в которой он, развивая теорию Ньютона, показал, что Земля имеет форму сфероида, и что ускорение силы тяжести на поверхности изменяется как функция широты по закону где – широта данной точки на поверхности Земли, ge – ускорение силы тяжести на экваторе, – сжатие, q = – отношение для экватора центробежной силы к силе тяжести, – угловая скорость вращения Земли, a – большая полуось эллипсоида.

Следующим существенным этапом в развитии теории после работ Клеро были исследования Г. Стокса (1819 – 1903). Стокс поставил и решил задачу определения формы внешней уровенной поверхности потенциала силы тяжести по данным измерений ускорения силы тяжести. Дальнейшие исследования и опыт применения теории геоида содержится в трудах Ф.А. Слудского (1841 – 1897). Ф. Гельмерт (1843 – 1917) выполнил важные работы по использованию накопившихся к тому времени гравиметрических данных для определения сжатия земного эллипсоида и распределения силы тяжести на его поверхности.

Работами Ф.Н. Красовского было доказано, что полное решение геодезических задач возможно только с использованием данных гравиметрии. По его инициативе в СССР был осуществлён переход от метода развёртывания геодезических данных к методу проектирования их на поверхность эллипсоида. В связи с постановкой этой задачи М.С.

Молоденским был разработан метод астрономо-геодезического нивелирования. В течение длительного времени изучение фигуры Земли неразрывно связывалось с изучением геоида. Однако геоид нельзя считать всюду внешней уровенной поверхностью, следовательно, непосредственно к нему теория Стокса неприменима. В связи с этим в теории фигуры Земли возникла проблема регуляции, то есть проведения вспомогательных операций, которые делали бы геоид внешней уровенной поверхностью. В 1945 году М.С. Молоденским была поставлена и решена основная задача изучения фигуры и внешнего гравитационного поля Земли, исходя из совершенно новой постановки проблемы. Показав принципиальную невозможность строгого изучения геоида только по результатам геодезических и гравиметрических измерений на поверхности Земли, М.С. Молоденский создал теорию, определяющую непосредственно фигуру физической поверхности Земли и внешнее гравитационное поле. Тем самым была исключена сложная проблема регуляции и получена строгая теория, решающая основную задачу высшей геодезии [83].

Форма поверхности геоида под материками имеет гораздо более сложный вид и не поддается точному математическому описанию. В связи с этим видным советским ученым М.С. Молоденским предложена вспомогательная поверхность квазигеоид, которую можно определить без учета гипотез о строении Земли. Квазигеоид не является уровенной поверхностью потенциала силы тяжести.

Отклонения по высоте поверхности квазигеоида от поверхности геоида могут быть вычислены по следующей формуле [15]:

где gm и m средние значения действительной и идеализированной (нормальной) силы тяжести для данной точки поверхности Земли m, Н высота точки m физической поверхности Земли над поверхностью квазигеоида. Как показывает подсчеты по приведенной выше формуле, отклонения на равнинах составляют несколько сантиметров, а в горах могут достигать 23 м. Поскольку на поверхности океана разности потенциалов на поверхностях геоида и квазигеоида равны нулю, то есть m gm = 0, то в океане геоид совпадает с квазигеоидом. Таким образом, квазигеоид только на материках, да и то незначительно, отступает от уровенной поверхности потенциала силы тяжести, совпадающей с уровнем моря.

Но поскольку положение геоида под материками не может быть точно определено, то за уровень моря приходится принимать поверхность квазигеоида, относительно которого отсчитываются высоты, используемые для изображения рельефа на картах.

На навигационных картах высоты даются от нуля высот, который в общем случае не совпадает с поверхностью геоида. В отечественных таблицах приливов приводятся средние уровни моря (z0) для основных пунктов. Эти величины полезны для прибавления к возвышению антенны приемоиндикатора спутниковой РНС над уровнем моря, так как повышает точность определения координат судна, особенно при плавании вблизи берегов, когда рельеф местности может затенить сигналы части спутников. При больших расстояниях от берега средний уровень моря почти совпадает с поверхностью геоида.

Авиационные приемники спутниковых РНС, особенно предназначенные для слепой посадки, обязательно учитывают разность высот между поверхностью геоида и поверхностью квазигеоида.

Существует ещё одна характеристика, называемая геопотенциалом или геопотенциальным числом. Им является приращение потенциала силы тяжести между произвольной точкой на поверхности Земли A и некой отсчётной точкой (например, нулевым значением футштока) O, взятое с обратным знаком Поверхности, имеющие равные геопотенциалы, то есть просто уровенные поверхности потенциала силы тяжести, называют иногда геопами. Пользуясь этим термином, можно сказать, что геоид есть геоп с нулевым геопотенциалом.

Понятия геоида и квазигеоида играют важную роль в определении так называемых астрономических координат.

Астрономической широтой (a) точки на поверхности Земли называется угол, заключенный плоскостью экватора и направлением отвесной линии, то есть направлением вектора силы тяжести.

Поскольку отвесная линия всегда перпендикулярна поверхности геоида, то точки на поверхности Земли, одинаково удаленные от экватора не всегда будут иметь одну и ту же астрономическую широту. Астрономической долготой (a) точки на поверхности Земли называется двугранный угол, заключенный между плоскостями Гринвичского меридиана и астрономического меридиана данной точки [23].

гравитационного поля Земли, порождаемая неправильностью ее формы и неравномерным распределением масс в ее недрах, обуславливает значительные трудности при определении потенциала силы тяжести W. Проблема определения потенциала W может быть значительно облегчена, если построить модель гравитационного поля Земли, близкую к ее действительному гравитационному полю. За такую модель можно принять гравитационное поле уровенного эллипсоида вращения, то есть эллипсоида, внешняя поверхность которого является уровенной поверхностью силы тяжести и в каждой точке которого сила тяжести направлена по нормали. Модель гравитационного поля принято называть нормальным гравитационным полем, а потенциал этого поля нормальным потенциалом Q.

Нормальное поле значительно проще действительного поля Земли. Его уровенные поверхности могут быть использованы как координатные при определении положения точек физической поверхности Земли. Нормальное поле представляется как поле идеального физического тела, заменяющего реальную Землю и называемого нормальной Землей [15].

Построение нормального поля позволяет выделить из действительного гравитационного поля Земли его основную часть и рассматривать не полные элементы поля, а малые разности соответствующих элементов действительного и нормального полей. В этом случае задача определения фигуры Земли заключается в изучении отклонений ее физической поверхности от поверхности «модели» (называемой иначе фигурой сравнения), а задача определения потенциала W сводится к определению небольших величин T = W Q. Величина Т получила название возмущающего потенциала Земли. Очевидно, что между величинами Т и отклонениями физической поверхности Земли от фигуры сравнения должна существовать определенная связь, используя которую можно определить эти отклонения.

Определение нормального потенциала возможно на основе теории, разработанной английским ученым Стоксом. В ее основе лежит теорема, которая формулируется следующим образом: если известна общая масса планеты, ее угловая скорость вращения и форма внешней уровенной поверхности потенциала силы тяжести, то потенциал силы тяжести и сама сила тяжести определяются однозначно как во всем внешнем пространстве, так и на самой уровенной поверхности. Теорема Стокса замечательна тем, что она освобождает от необходимости знать закон распределения плотностей внутри притягивающих масс при определении внешнего потенциала.

Определение потенциала силы тяжести по данным теоремы Стокса составляет так называемую проблему Стокса.

Проблема Стокса для уровенного эллипсоида вращения может быть сформулирована следующим образом: известны его общая масса М, угловая скорость вращения и большая a и малая b полуоси (обычно вместо малой полуоси задается параметр полярное сжатие эллипсоида), необходимо определить Q потенциал этого эллипсоида и силу тяжести 0, которую называют нормальной силой тяжести, как во всем внешнем пространстве, так и на поверхности эллипсоида.

Значение нормального потенциала Q (с точностью до малых величин второго порядка) на поверхности уровенного эллипсоида определяется формулой:

Сила тяжести на поверхности уровенного эллипсоида (нормальная сила тяжести 0) определяется формулой Сомильяна где В геодезическая широта; е нормальная сила тяжести на экваторе; p нормальная сила тяжести на полюсе; a и b большая и малая полуоси эллипсоида соответственно.

Формулу Сомильяна можно упростить. Путем некоторых преобразований, удерживая малые величины второго порядка, можно получить приближенную формулу Формула (1,2.21) называется формулой Клеро с малыми величинами второго порядка, величина получила название гравиметрического сжатия.

В России для вычисления нормальной силы тяжести применяется формула Гельмерта:

0 = 9,7803 (1 + 0,005302 sin2В 0,000007 sin22В) м с-2. (1.2.23) Её применение объясняется тем, что сжатие, соответствующее коэффициенту = 0,005302, определенному Гельмертом ( = 1/298,2), практически совпадает со сжатием эллипсоида Красовского.

Постоянные е и определены Гельмертом по результатам гравиметрической съемки того времени, коэффициент 1 получен теоретически по данным о внутреннем строении Земли.

Нормальное гравитационное поле вполне определяется четырьмя параметрами. Так, для определения нормального потенциала (1.2.19) в соответствии с теорией Стокса требуется знать: GM,, и. Величина GM (произведение массы Земли на универсальную гравитационную постоянную) носит название геоцентрической гравитационной постоянной. Кроме того, необходимо еще знать Q, е, и 1.

При помощи нормального потенциала (то есть потенциала уровенного эллипсоида) и возмущающего потенциала можно достаточно точно описать геоид. Если по аналогии с формулой (1.2.15) для действительного потенциала Земли представить нормальный потенциал где V0 – потенциал притяжения уровенного эллипсоида, а Q потенциал его центробежной силы, и взять разность между W и Q, то получим следующее выражение для возмущающего потенциала Т:

Как видно из полученного выражения, величина возмущающего потенциала существенно зависит от выбора нормального потенциала, то есть от того, какой эллипсоид взят в качестве уровенного. Забегая вперед, следует заметить, что в качестве уровенного эллипсоида иногда берут специально рассчитанный, общеземной или даже референц-эллипсоид. Иногда один эллипсоид выступает в качестве этих трех. Примером тому служит эллипсоид WGS 84, лежащий в основе спутниковой СРНС Навстар GPS.

При выборе уровенного эллипсоида в качестве нормальной Земли руководствуются следующими соображениями:

1) центр уровенного эллипсоида вращения должен совпадать с центром масс Земли, а его главная ось инерции, являющаяся осью его вращения, с осью вращения Земли;

2) угловые скорости вращения уровенного эллипсоида и реальной Земли должны быть одинаковыми;

3) масса уровенного эллипсоида должна быть равна массе реальной Земли;

4) зональные гармонические коэффициенты геопотенциала второй степени (см. ниже) для уровенного эллипсоида и реальной Земли должны совпадать;

5) нормальный потенциал силы тяжести на поверхности уровенного эллипсоида должен быть равен реальному потенциалу силы тяжести на геоиде.

Достаточно часто вместо нормального потенциала включают большую полуось уровенного эллипсоида. В этом случае пятое условие формулируется иначе: большая полуось уровенного эллипсоида должна быть подобрана таким образом, чтобы его объем равнялся объему геоида.

Модель гравитационного поля Земли. Для решения ряда задач геодезии, геофизики, спутниковой навигации крайне необходимо иметь математическую модель потенциала притяжения нормальной Земли (включая ее атмосферу). Для описания гравитационных полей планет широко применяется представление потенциала притяжения в виде разложения в ряд шаровых (сферических) функций геоцентрических координат, г, г где радиус-вектор; a экваториальный радиус Земли; m порядок гармоники (от 0 до n), n степень гармоники (от 2 до ), Cnm и Snm безразмерные коэффициенты, определяемые формой планеты и распределением масс внутри ее, Pnm(sinг) – так называемые присоединенные функции Лежандра (полиномы Лежандра), функции Pnm(sinг)cosmг и Pnm(sinг)sinmг называется сферическими гармониками. Гармоники с номером т = 0 называются зональными, с 0 < m < n тессеральными, а с m = n секториальными. В связи с тем, что начало координат совмещено с центром масс Земли, в формуле (1.2.26) отсутствуют гармоники первой степени. Зональные гармоники характеризуют, например, полярное сжатие Земли (то есть С20 = ), несимметрию полушарий, тессеральные эллиптичность экватора и т.д. Если бы наша планета обладала геометрической и динамической симметрией относительно оси вращения, то в разложении потенциала притяжения присутствовали бы одни зональные гармоники (m = 0). Если бы Земля обладала геометрической и динамической симметрией, то в разложении присутствовали бы только зональные гармоники с четными n.

Модель поверхности геоида. Формула (1.2.26) является основополагающей для расчета координат точек поверхности геоида в пространственных полярных координатах. Для этого достаточно умножить радиус-вектор в знаменателе коэффициента перед квадратной скобкой видоизмененной формулы (1.2.26) на теоретическую (нормальную) силу тяжести 0. Таким образом можно получать отстояния точек поверхности геоида N от поверхности принятого Земного эллипсоида:

В приемоиндикаторах спутниковой РНС Навстар GPS координаты точек поверхности геоида обычно задаются в виде таблицы отстояний поверхности геоида от поверхности референцэллипсоида WGS 84. Для нахождения отстояний в промежуточных точках применяется интерполяция. Такой способ задания поверхности геоида сильно упрощает вычислительные процедуры.

Геоид имеет довольно сложную форму. Поэтому его используют в качестве первого и достаточно строгого приближения к реальной форме Земли, но не применяют в качестве поверхности, на которую можно переносить координаты точек земной поверхности. Самым первым приближением к форме геоида является земной шар или земная сфера.

Земная сфера характеризуется радиусом, который зачастую принимается равным 6370 км, длиной дуги одной минуты большого круга, которую приближённо считают равной одной морской миле (1852 м). Есть ещё один показатель земной сферы, имеющий историческое значение. Им является длина четверти меридиана R/2, которая приблизительно равна 10000 км. Именно эта величина послужила основой для определения длины 1 метра. В 1799 году французской Генеральной комиссией мер и весов была определена длина 1 метра как одна десятимиллионная часть длины четверти Парижского меридиана, вычисленная Деламбером [74, 78]. В картографии для составления генеральных карт целесообразно принимать такой радиус земной сферы, поверхность которой равна поверхности референц-эллипсоиду. Например, для международного референц-эллипсоида Хейфорда R = 6371,228 км.

Во втором приближении тело Земли принимают за эллипсоид, образованный вращением вокруг его малой оси. Размеры и ориентация поверхности эллипсоида устанавливаются так, чтобы она была как можно ближе к основной уровенной поверхности – геоиду.

Такой эллипсоид называется земным эллипсоидом. Иногда его называют земным сфероидом из-за того, что сфероидом является эллипсоид с малым сжатием по оси вращения. Иными словами, сфероид мало отличается от сферы. Многочисленные измерения и расчёты показали, что длина малой полуоси земного сфероида приблизительно на 21 км короче радиуса земной сферы, что составляет 1/300 часть.

Поверхность земного эллипсоида, образованная вращением эллипса вокруг его малой оси, в современной геодезии, картографии и в навигации принимают за математическую поверхность, на которую проектируют объекты, принадлежащие физической поверхности Земли.

Традиционно это выполняется вот уже более 200 лет по двум причинам.

Первая причина заключается в том, что для отдельной территории, государства, континента или всей Земли всегда можно подобрать такие элементы эллипсоида, при которых его математическая поверхность будет проходить с наперёд заданной точностью вблизи точек физической поверхности Земли или вблизи поверхности принятого геоида. Это намного увеличивает точность карт по сравнению с тем, если бы за математическую поверхность была взята поверхность земной сферы. Вторая причина кроется в сравнительно простых математических расчётов направлений и расстояний на поверхности эллипсоида, что заметно облегчает построение карт в любых картографических проекциях.

Элементы земного эллипсоида. Поверхность эллипсоида вращения вполне определяется его меридианным эллипсом. Форма эллипса однозначно задаётся его главными полуосями. Большая (экваториальная) полуось a (см. рис. 1) является радиусом экватора земного сфероида. Основное свойство эллипса заключается в том, что сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная, равная 2a. Малая (полярная) полуось b находится в определённом отношении с большой полуосью, характеризующим форму данного меридианного эллипса. Разность a – b принято называть линейным сжатием. Отношение b/a, которое близко к единице, также характеризует форму образующего эллипса, но оно редко используется в сфероидической геодезии из-за слабой чувствительности. Чаще применяются иные формы относительных сжатий.

В официальных документах земные эллипсоиды имеют собственные названия и задаются двумя параметрами: величиной большой (экваториальной) полуоси и первым сжатием. Первое (полярное) сжатие в официальных документах представляется либо в виде дроби. Например, первое сжатие эллипсоида Красовского представляют как 1/298,3. В отечественной литературе первое сжатие принято обозначать буквой. В зарубежных источниках первое сжатие обозначают буквой f. Чтобы отобразить знаменатель сжатия, его обозначают как f. Величины a и называют главными (исходными) параметрами земного эллипсоида. Дело в том, что все методы обработки градусных или гравиметрических наблюдений, предпринимаемых с целью определения геометрических характеристик земного эллипсоида, направлены на вычисление размера его большой полуоси и знаменателя первого сжатия. Главные параметры применяются в расчётах всегда с той точностью, с которой они объявлены в официальных документах. Все остальные параметры земных эллипсоидов являются вычисленными и считаются вторичными.

Поэтому они в различных литературных источниках могут отличаться по точности. Ко вторичным параметрам относятся размер малой полуоси, эксцентриситеты, а также величины n и m, не имеющие названия.

Величину малой полуоси рассчитывают с помощью главных параметров эллипсоида по следующей формуле:

а первый эксцентриситет по формуле точностью, то можно иначе рассчитать первое сжатие а также второе сжатие и третье сжатие Первый эксцентриситет (e), второй эксцентриситет (e) и третий эксцентриситет (e) с использованием размера малой полуоси рассчитываются по следующим формулам :

численными эксцентриситетами.

Геометрию образующего эллипса характеризует ещё и так называемый линейный эксцентриситет, который является расстоянием от центра образующего эллипсоида до каждого его фокуса (рис. 1).

Первый эксцентриситет есть отношение линейного эксцентриситета к большой полуоси. Второй эксцентриситет выражает линейный в частях малой полуоси. Квадрат третьего эксцентриситета можно определить как отношение квадрата линейного эксцентриситета к полусумме квадратов полуосей. В навигационных и геодезических расчётах иногда используют другой линейный показатель c=a2/b, также характеризующий геометрию меридианного эллипса и являющийся гипотенузой треугольника PF1n.

Для контроля расчётов полезно будет руководствоваться следующими приближёнными значениями параметров [12, 75]:

Ниже приводятся расчётные формулы для вычисления параметров земных эллипсоидов [12, 75].

С целью упрощения вычислительных процедур, а также для того, чтобы выполнять их без особой потери точности даже на малой вычислительной технике, ниже представлены формулы расчёта параметров эллипса в виде степенных рядов [75].

Координаты. Установим систему координат для земного эллипсоида, для чего воспользуемся системой декартовых прямоугольных координат [12].

Рис. 2. Система координат земного эллипсоида Начало координат поместим в центре эллипсоида, ось z направим вдоль оси вращения, ось x в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, ось у перпендикулярна осям x и z и дополняет систему координат до правой (рис. 2).

Из аналитической геометрии следует, что в этой системе координат уравнение поверхности эллипсоида вращения в канонической форме имеет вид:

Умножим его на a2, чтобы получить другой вид уравнения поверхности эллипсоида вращения:

Возьмем плоскость z = const. Найдем след пересечения поверхности эллипсоида этой плоскостью. Совместное решение уравнений этой плоскости и поверхности эллипсоида даст нам уравнение окружности где r радиус окружности. Следовательно, при пересечении поверхности эллипсоида любой плоскостью, перпендикулярной оси вращения, всегда получается окружность. Эти окружности называются параллелями. Параллель с наибольшим радиусом, равным большей полуоси эллипсоида (r = a, z = 0), называется экватором.

Экватор делит эллипсоид на две симметричные половины. Верхний полусфероид с полюсом Р (см. рис. 2) принято называть северным, нижний с полюсом Р1 южным полусфероидом. Любой параллели с радиусом r в северном полусфероиде соответствует с точно таким же радиусом параллель в южном полусфероиде.

Если поверхность эллипсоида пересекать плоскостями, проходящими через ось вращения, то следы пересечения дадут семейство совершенно одинаковых эллипсов. Половина каждого эллипса, расположенная между полюсами, называется меридианом.

Выразим через r координаты х и у в уравнении (1.3.11), используя уравнение (1.3.13). Тогда получим уравнение меридиана Параллели и меридианы можно принять в качестве системы ортогональных линий на эллипсоиде. Это вполне возможно, так как каждая параллель пересекается с каждым меридианом под прямым углом, а точка их пересечения определяет единственное положение любой точки на поверхности данного полусфероида. Исключение составляют полюса Р и Р1, в которых сходятся все меридианы. Полюсы представляют собой так называемые особые точки поверхности для данной системы координатных линий меридианов и параллелей. Семейство параллелей и семейство меридианов представляют собой наиболее простую сеть координатных линий на поверхности эллипсоида.

В качестве координат на поверхности эллипсоида можно использовать и линейные величины длины дуг меридианов и параллелей. Такая система координат обладает более высокой чувствительностью и поэтому в последнее время находит все более широкое распространение в навигации из-за повсеместного использования приемоиндикаторов спутниковых навигационных систем и устройств отображения электронных карт, обладающих высокоскоростными микропроцессорами, благодаря чему осуществляется быстрый переход от угловой системы координат к линейной и наоборот. В современной навигации продолжает сохраняться угловая система координат главным образом из-за влияния мореходной астрономии.

Примем один из меридианов в качестве начального. На рис. начальный меридиан проходит через ось х. Тогда положение любого другого меридиана будет определяться двугранным углом, образованным плоскостью начального меридиана и плоскостью данного меридиана. Этот угол имеет одну и ту же величину для всех точек данного меридиана и, следовательно, может быть принят в качестве координаты для меридиана. Такой угол для земного эллипсоида называется геодезической долготой. Её в отечественной литературе принято обозначать через L. Долготы, отсчитываемые от плоскости начального меридиана к востоку (со стороны северного полюса – против движения часовой стрелки) в пределах от 0 до +180°, называются восточными долготами, а к западу в пределах от 0 до 180° западными долготами. В последние годы в зарубежной литературе по навигации и геодезии встречается способ отсчета геодезической долготы от 0 до 360° к востоку.

Таким образом, меридиан есть координатная линия, во всех точках которой геодезическая долгота имеет одну и ту же величину (L = const).

Установим координату для параллели, для чего в некоторой точке Q проведем нормаль меридиана. Нормаль пересечет строго вертикально касательную плоскость, приложенную к поверхности земного эллипсоида в точке Q, и затем пересечет ось вращения в точке n. Из-за симметричности поверхности эллипсоида относительно меридиана прямая Qn будет перпендикулярна одновременно к касательной к меридиану и касательной к параллели.

Острый угол, составленный нормалью к поверхности эллипсоида и плоскостью экватора (или плоскостью любой параллели), называется геодезической широтой и обозначается буквой В.

Геодезическая широта отсчитывается от плоскости экватора в пределах от 0 до 90°. Для точек, расположенных в северном полусфероиде, её принято считать положительной, а в южном полусфероиде отрицательной. Следовательно, параллель есть координатная линия, во всех точках которой геодезическая широта имеет одну и ту же величину (В = const).

Система геодезических координат B и L представляет собой главную систему координат, позволяющую однозначно определять положение любой точки на поверхности эллипсоида. Название «геодезические координаты» не подразумевает применение их только в геодезии. Так называются координаты, принадлежащие земному эллипсоиду. Навигационные карты представляют собой проекцию Меркатора участков земного эллипсоида на плоский лист бумаги или на плоский экран электронного устройства отображения.

Следовательно, судоводители, работая с навигационной картой, имеют дело с геодезическими координатами.