[ «УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ АРХИТЕКТУРА И ДИЗАЙН АРХИТЕКТУРНОЙ СРЕДЫ ХАБАРОВСК 2003 А.А. Вайсфельд ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ (в двух частях) УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ АРХИТЕКТУРА И ...»
А. А. В А Й С Ф Е Л Ь Д
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
«АРХИТЕКТУРА» И «ДИЗАЙН АРХИТЕКТУРНОЙ СРЕДЫ»
ХАБАРОВСК
2003
А.А. Вайсфельд
ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
(в двух частях)
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
«АРХИТЕКТУРА» И «ДИЗАЙН АРХИТЕКТУРНОЙ СРЕДЫ»
Часть 1.Основы статики и оценки напряженно-деформируемого состояния сооружений
ХАБАРОВСК
2003 Предисловие Настоящее пособие написано в соответствии с программой курса «Строительная механика» для студентов, обучающихся по специальностям 290100 «Архитектура» и 290200 «Дизайн архитектурной среды». Строительная механика и сопротивление материалов, являются одним из разделов механики деформируемого твердого тела. В них широко используются методы теоретической механики. Изучению курса строительной механики должно предшествовать предварительное изучение теоретической механики и сопротивления материалов, которые служат теоретической базой инженерного мышления и без знания которых невозможно усвоение основ строительной механики.Программой курса по строительной механике для специальностей «Архитектура» и 290200 «Дизайн архитектурной среды» не предусмотрено предварительное изучение этих дисциплин и предполагается, что основы теоретической механики и сопротивления материалов будут изучаться в курсе строительной механики. В то же время количество учебных часов, отведенных в учебном плане на строительную механику, резко ограничено. В этой связи у студентов возникают значительные трудности, вызванные как отсутствием навыка восприятия физических явлений и умения математически описать эти процессы, так и отсутствием учебника, логически связывающего перечисленные дисциплины.
Цель настоящего пособия - помочь студентам-архитекторам изучить строительную механику наиболее простым путем и приобщить к новым для них понятиям механики деформируемого твердого тела. Предлагаемое учебное пособие представлено двумя книгами (две части). Учебный материал в каждой из частей излагается так, чтобы студенты не чувствовали искусственных границ между тремя дисциплинами и уже в начале изучения курса смогли приступить к выполнению практических расчетов по строительной механике. Изложение учебного материала рассчитано на создание логически завершенного курса, способствующего пониманию у будущих архитекторов проблемы взаимосвязи работы конструкции с ее архитектурной формой.
В данном пособии кратко изложены основные положения статики, изучаемые в курсе теоретической механики, основные принципы расчета элементов сооружений на прочность, жесткость и устойчивость, а также приведены вопросы для самопроверки полученных знаний и примеры решения задач, без усвоения которых немыслимо изучение строительной механики.
ВВЕДЕНИЕ
Архитектор и строительная механика. Строительная механика возникла давно, но, тем не менее, это современная наука. Вопреки распространенному ошибочному мнению, что архитектору не нужны точные дисциплины, современный архитектор не может обойтись без знаний основ механики деформируемого твердого тела. По своей сути архитектура стоит на грани искусства и техники. Без первого архитектура превращается в ремесленничество, без второго - в бесплотные абстракции, которые невозможно реализовать. Не случайно один из создателей теории архитектуры римский архитектор и механик второй половины I века до новой эры Витрувий заложил в ее основу три основных принципа - польза, прочность и красота (заметим, что красота у Витрувия стоит отнюдь не на первом месте). Поэтому архитектор, помимо собственно архитектурных дисциплин, помимо рисунка, живописи и скульптуры, должен владеть знанием основ расчета конструкций.Всякое сооружение строится для определенных практических целей. В этом его художественное отличие от скульптуры. Нет таких конструкций, которые создавались бы ради самой конструкции. Проследим реализацию принципов Витрувия на процессе проектирования.
Создавая сооружение, архитектор сразу выбирает конструкции и материалы, с помощью которых он будет организовывать внутреннее пространство и ограничивать некоторый объем. При этом сооружение должно иметь конкретное функциональное назначение (польза), противостоять силам природы и функциональным нагрузкам (прочность) и, кроме удовлетворения этим унитарным требованиям, оно должно всегда удовлетворять эстетическим требованиям (красота). Часто эти требования входят в противоречие с требованиями прочности и экономичности сооружения. В этих условиях форму и размеры конструкций архитектору приходится назначать после выполнения сложного расчета.
Витрувий М.П. Десять книг об архитектуре. – М.:Изд-во. Акад. Архитектуры, 1936.
В древности, при отсутствии методов расчета прочности сооружений наиболее ответственна была роль архитекторов. Это нашло отражение в законах. Например, в древнем Вавилоне существовал такой закон: если строитель построит дом и его творение окажется недостаточно прочным, и случится, что построенный дом разрушится, вызвав смерть хозяина, то строителя следует предать казни. Можно привести отголоски этих законов и в более поздние времена. Например, в 1830 году зодчий К. И. Росси при строительстве Александрийского театра в Санкт-Петербурге писал правительству: «…В случае, когда бы в упомянутом здании от устройства металлической крыши произошло какое–либо несчастье, то в пример для других пусть меня тотчас повесят на одной из стропил» 2.
Быстрое развитие конструкций, создаваемых из новых материалов (алюминий, предварительно напряженный железобетон, армоцемент, пластики), а также математические трудности расчета новых конструктивных форм (оболочки, структуры), не дают возможности архитектору охватить весь круг проблем, связанных с проектированием новых современных конструкций.
Поэтому архитектор доверяет окончательный расчет конструкций инженерупроектировщику. Но на первоначальной стадии проектирования архитектор сам назначает форму и пропорции конструкции, полагаясь на свою интуицию и знания. Только тогда сооружение в стадии завершения проекта будет таким, каким его мыслил архитектор.
Архитектор и инженер являются носителями двух творческих начал эстетического и конструктивного, взаимодействующих на всех этапах проектирования. Диалог между ними будет возможен при условии понимания архитектором основных принципов работы конструкций под нагрузкой. Ведь архитектурный замысел, в отличие от живописи, имеет ценность только в том случае, если его можно осуществить на практике. В противном случае он останется не более чем красивой картинкой. Более того, хорошее знание строительной механики может помочь архитектору не только в обосновании своего творческого замысла, но и в решении его главной задачи - нахождении оригинальных и оптимальных архитектурных решений.
Архитектору полезно помнить, что оптимальное с конструктивной точки зрения решение, как правило, является оптимальным и с точки зрения эстетической. Известно, что многие архитектурные сооружения, как в нашей стране, так и за рубежом, были спроектированы не архитекторами, а инженерами, которые во главу угла ставили не эстетические, а конструктивные качества. Однако полученные в результате решения оказались не только технически безупречными, но весьма привлекательными с эстетической точки зрения.
Так, первая в нашей стране радиобашня на Шаболовке была спроектирована инженером В. Г. Шуховым по принципу так называемого "однополостного гиперболоида". Особенностью подобных конструкций является то, что все их Подробно по истории науки строительной механики см. Бернштейн С.А. Избранные труды по строительной механике. – М.:Госстрой издат, 1961.
элементы работают только на осевые усилия. Это обеспечивает легкость и прочность сооружения. Не случайно шуховская телебашня уже более 70 лет остается самым легким сооружением подобной высоты в мире. Но самое главное, что это конструктивное решение оказалось не только оптимальным с точки зрения прочности и устойчивости, но и весьма изящным для зрительного восприятия. Ажурность конструкции скрадывает вес сооружения, придает ему легкость и изящество. Поэтому шуховская телебашня и поныне служит одним из украшений Москвы, иллюстрируя гармоничное сочетание конструктивной целесообразности и эстетического совершенства.
Цель и задачи строительной механики. Архитектор стремится к тому, чтобы его представления о тектонической форме сооружения были решающими на всех этапах проектирования. Однако кроме архитектурных требований к сооружениям предъявляются еще и другие, важнейшие из которых - прочность, устойчивость, жесткость, трещиностойкость и экономичность. Назначение строительной механики - обеспечить выполнение первых двух требований с учетом последующих.
Обеспечение прочности является основной задачей строительной механики.
Как правило, это достигается тогда, когда расчетные нагрузки не превышают несущей способности сооружения. Обеспечение устойчивости предполагает, что все сооружение в целом и отдельные его элементы под расчетной нагрузкой не теряют первоначального состояния равновесия. Ограничения по этим требованиям соответствуют согласно “Строительным нормам и правилам“ расчету по первому предельному состоянию.
В процессе эксплуатации сооружений не должно быть недопустимых деформаций, перемещений, вибраций. Способность сооружения обеспечивать нормальную его эксплуатацию называют функциональностью. В связи с этим при проектировании зачастую решающими являются не требования прочности, а требования деформативности. В этом случае расчет по СНиПам производится по второму предельному состоянию. В то же время экономичность сооружения становится все более острой и актуальной проблемой, и в этой связи все больше возрастают требования к точности расчета, что позволяет устранить излишки строительного материала. Сложный, многокомпонентный процесс проектирования является, по существу, процессом интеграции научной, технической и художественной деятельности. Формируя художественный образ сооружения, архитектор придает ему эстетическую ценность. В хорошо разработанном проекте закономерности работы конструкции воспринимаются как закономерности эстетического порядка. В этом проявляется взаимосвязь эстетических и технических требований к сооружению.
РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И
АКСИОМЫ СТАТИКИ
Статика - раздел теоретической механики, в котором изучают свойства сил, условия их одновременного действия на тело и условия равновесия тел под действием этих сил. В статике рассматривают условия равновесия тел только под воздействием внешних сил.Все тела в природе взаимодействуют друг с другом. Мерой механического взаимодействия служит особая физическая величина - сила. В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах (Н), килоньютонах (кН). Силы, характеризующие взаимодействие одного тела на другое, называют внешними, а силы, характеризующие взаимодействие частиц (частей) данного тела между собой, - внутренними. Силы (нагрузки), действующие на тела, в зависимости от условий их приложения могут быть поверхностными и объемными.
Сила - величина векторная. Для ее характеристики необходимо знать численное значение, направления действия и точку приложения к телу.
Например, будем прикладывать к стулу одну и ту же по модулю силу F. При приложении силы сверху вниз стул остается в состоянии покоя; при положении силы снизу вверх - стул поднимается; изменим направление нагружения, приложим силу горизонтально к спинке стула - стул опрокинется. Так как во всех случаях направление и место приложения силы различны, то и результат действия силы на стул разный, несмотря на то, что модуль силы F во всех случаях одинаков. Силу, как и другие векторные величины, изображают в виде направленного отрезка со стрелкой на конце, указывающей его направление.
Основы векторной алгебры должны быть известны из курса математики.
а – заданная система сил; б – эквивалентная система сил Совокупность сил, действующих на тело, называется системой сил. Если под действием сил тело остается в покое или движется равномерно и прямолинейно по отношению к другим телам, то такое состояние тела называется равновесием. Равновесие возможно в том случае, если система сил, действующих на тело, уравновешена. Такую систему сил называют уравновешивающейся или эквивалентной нулю. Системы сил называются эквивалентными, если их действие на тело одинаково. Например, если системы сил, изображенных на рис. 1.1, а и рис. 1.1, б, уравновешены, то эти две системы сил будут эквивалентны друг другу.
Так как система сил F1 и F2 эквивалентна одной силе R (рис. 1.1, б), то сила R называется равнодействующей данной системы сил. Силы F1 и F2 в свою очередь могут называться составляющими силы R.
Изучая действие силы на тело (например, на балку, ферму, колонну и т. п.), можно не учитывать его деформации, т. е. изменения формы и размеров, так как они очень малы по сравнению с размерами самого тела. Поэтому в статике пользуются такими абстрактными понятиями, как абсолютно твердое тело и материальная точка. Абсолютно твердым телом называют такое тело, которое под действием нагрузки не меняет своей формы, т. е. не деформируется. Материальной точкой будет называться абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь. Рассмотрим основные аксиомы или принципы статики.
Аксиомы, или принципы, статики выражают основные свойства сил, действующих на тело. Большинство аксиом статики является следствием основных законов механики. Так закон инерции нашел свое отражение в условиях равновесия твердого тела. Рассматривая условия равновесия системы внешних сил, решают вопрос о частном случае движения твердого тела состоянии покоя.
Принцип независимости действия сил. Если на материальную точку (твердое тело) действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил действует независимо от других. Иначе, эффект совместного действия нескольких сил, равен сумме эффектов действия каждой силы в отдельности.
Следствием этого закона механики является обобщенный закон параллелограмма сил (аксиома III).
а - действие двух равных и противоположно направленных сил;
Аксиома I. Если на абсолютно твердое тело действуют две равные и противоположные по направлению силы, лежащие на одной прямой, то они уравновешивают друг друга (рис.1.2, а).
Аксиома II. Действие системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или отнять от нее любую уравновешенную систему сил.
Следствие из аксиом I и II. Действие силы на твердое тело не изменится, если эту силу перенести по линии ее действия в любую точку тела.
Пусть на тело в точке А действует сила F (рис. 1.2, б). Приложим к телу по линии действия силы F в точке В две уравновешенные силы F1 и F2, равные по модулюF. Система трех сил F, F1 и F2 будет эквивалентна либо силе F, либо силе F1 (так как сила F1=F и F2=-F, то систему уравновешенных сил F2, F можно не учитывать). В результате в точке В на тело будет действовать сила F1=F, что равносильно переносу силы F из точки А в точку В.
Аксиома III. Две силы, действующие на тело в одной точке, имеют равнодействующую в той же точке, изображаемую вектором, представляющим собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах этих сил, как на сторонах.
Равнодействующую R (рис. 1.3) сил F1 и F2 называют геометрической суммой слагаемых векторов F1+F2=R. Следует отличать векторную сумму от скалярной суммы (алгебраической). Следовательно, аксиому III можно сформулировать так: равнодействующая двух сил, действующих на одно тело в одной точке, равна геометрической (векторной) сумме этих сил и приложена в той же точке тела. Данная аксиома является правилом параллелограмма сил.
Равнодействующая двух сил выходящих из одной точки Принцип противодействия Аксиома IV (принцип противодействия). При всяком действии одного материального тела на другое возникает равное по величине и противоположное по направлению противодействие: F2=-F1 (рис. 1.4). Эта аксиома соответствует третьему закону Ньютона: действие всегда равно и противоположно противодействию. При этом необходимо помнить, что в аксиоме IV рассматривается случай, когда силы приложены к разным телам и в этом случае система сил не является уравновешенной в отличие от случая действия сил в аксиоме II.
Этот принцип утверждает, что в природе не существует односторонних явлений. На рис. 1.5 изображена балка, опирающаяся на стены концами А и В.
Для выявления сил действия и противодействия отделим балку от стен. Тогда силы действия балки на стену выражаются силами DA и DB, приложенными к стенам, а силы противодействия - силами RA и RB, приложенными к балке, которые в дальнейшем будем называть реакциями а – схема загружения балки; б – силы действия балки на Аксиома V (принцип отвердения). Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием системы сил, не нарушится, если под нагрузкой тело станет абсолютно твердым. Из принципа отвердения следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела, необходимы, но не достаточны для равновесия деформируемого тела, по форме и размерам тождественного с данным.
Аксиома VI (аксиома связей). Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если механическое действие связей заменить реакциями этих связей (пояснения к этой аксиоме в следующем параграфе).
Приведенные принципы и аксиомы положены в основу методов решения задач статики. Все они широко используются в инженерных расчетах.
Тело называется свободным, если оно может перемещаться в любом направлении, например воздушный шар в потоке воздуха. Обычно в окружающей нас среде движение тел в пространстве ограничено. Такие тела называются несвободными.
Любое тело, ограничивающее свободу передвижения другого тела, называют связью. Используя аксиому связей, всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить силами реакциями связей.
Если в качестве физического тела рассматривать какой-либо элемент инженерного сооружения (балка, ферма, колонна, плита и т. п.), который передает давление на опоры, то реакции опор (связей) называют опорными реакциями. Реакции связей носят вторичное происхождение, они возникают как противодействие другим силам.
Все силы, кроме реакции связей, называют заданными силами. Термин «заданные силы» имеет глубокий смысл. Заданные силы чаще всего являются активными, т.е. силами, которые могут вызвать движение тел, например: сила тяжести, снеговая или ветровые нагрузки и т. п. Учитывая сказанное выше, будем подразделять силы на активные силы и реакции связей.
Одна из главных задач статики твердого тела - нахождение реакции связей.
Для определения реакции связей необходимо найти величину этой реакции, линию и направление ее действия. Линия действия реакции обычно проходит через точку касания тела и связи. Численное значение реакции определяется расчетом, а направление реакции зависит от вида (конструкции) связи.
Для определения направления реакции необходимо установить особенности взаимодействия твердого тела со связями различного вида. Следует иметь в виду, что реакция всегда направлена противоположно направлению возможного перемещения тела при удалении связи.
Рассмотрим основные типы связей, используемых в качестве опорных элементов или для соединения элементов сооружений в пространстве.
Рис. 1.6. Свободное незакрепленное опирание тел:
Свободное (незакрепленное) опирание тел на поверхность или точку опоры (рис.1.6, а, б). Гладкая поверхность или точка опоры препятствуют перемещению тел только по направлению перпендикуляра, восстановленного из точек опоры к этой плоскости. Реакция в этих случаях направлена по нормали (перпендикуляру) к опирающейся поверхности.
а – подвеска груза с помощью троса; б – фиксация груза с помощью двух тросов Гибкие связи (рис. 1.7, а, б). Под гибкими связями подразумевают тросы, нити, цепи, веревки и т. п. Перемещение тела от точки подвеса ограничено гибкой нерастяжимой нитью. Такая связь может воспринимать только растягивающие усилия. Реакции гибких связей направлены вдоль нити к точке ее прикрепления.
Связь в виде жесткого стержня, шарнирно закрепленного по концам (рис.
1.8, а, б). Такая связь препятствует перемещению тела по оси стержня. Реакция направлена вдоль оси этого стержня. В отличие от гибкой нерастяжимой нити, шарнирный стержень строго фиксирует расстояние между двумя точками по концам стержня, которые не могут сблизиться (сжатие) или удалиться (растяжение) а – стержень препятствует перемещению бруса вниз; б – стержень препятствует Шарнирно - подвижные опоры (рис. 1.9. а, б). Под шарниром подразумевают связь, допускающую вращение одного тела по отношению к другому. Одним из распространенных видов шарнирно - подвижных опор являются катковые опоры (катки). Связь препятствует движению тела по нормали к опорной поверхности катков.
Таким образом, в подвижной катковой опоре возникает одна опорная реакция, направленная перпендикулярно плоскости опорной поверхности аналогично опорной реакции в шарнирном жестком стержне. Конструктивное решение шарнирно-подвижных опор может быть весьма разнообразным. В строительной механике такую опору изображают в виде шарнирного стержня (рис.1.9, б).
Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.10, а, б). Это устройство представляет собой опорный элемент (подшипник), внутри которого вращается палец (ось) шарнира. Такая опора не препятствует вращению вокруг оси, но препятствует движению тела в любом направлении в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира.
Рис. 1.9. Шарнирно подвижная опора: Рис. 1.10. Шарнирно-неподвижная опора:
а – вид катковой опоры; а – вид шарнирно-неподвижной опоры;
Реакция R шарнирно-неподвижной опоры расположена в плоскости, перпендикулярной оси возможного вращения, и ее направление определяют две взаимно перпендикулярные составляющие Rx и Ry, соответствующие направлению выбранных осей (рис. 1.10, а). В строительной механике шарнирно-неподвижную опору изображают в виде двух шарнирных стержней пересекающихся в точке опоры (рис.1.10, б) или шарнира (рис 1.10.в).
а – вид жесткой заделки; б – расчетная схема жесткой заделки Жесткая заделка (рис.1.11, а, б). Это соединение исключает возможность каких-либо перемещений абсолютного твердого тела. Балка, изображенная на рис.1.11, а, жестко заделана в стену в точке А. Перемещению ее в вертикальном направлении, препятствует реакция Ry, перемещению в горизонтальном направлении препятствует реакция Rx и повороту вокруг точки А - опорный момент МА. Характерным для данной опоры является наличие опорного момента сил, исключающего вращение тела вокруг любой оси. Схематическое изображение такой опоры в строительной механике показано на рис. 1.11, б.
С помощью указанных опорных связей сооружения прикрепляются к фундаментам или отдельные элементы соединяются между собой.
Ввиду особой важности для решения задач статики напомним известное из курса векторной алгебры определение проекции вектора на ось, в нашем случае - вектора F.
Проекцией вектора F=AB (рис. 1.12) на ось m называют отрезок АmВm оси m, заключенный между двумя плоскостями, перпендикулярными оси m и проходящими через начало и конец вектора F. Точка Аm - начало проекции, точка Вm - конец проекции.
Если направление от начала проекции Аm к концу проекции Вm совпадает с положительным направлением оси, то величину проекции берут со знаком плюс, а в противоположном случае - со знаком минус. На рис. 1.12 проекция силы F на ось m - Fm положительна.
Проведем ось m1, параллельную оси m. Так как отрезок ААm= СВm, а плоскости I и II перпендикулярны оси m, то АС=АmВm=Fm. Следовательно, при определении проекции силы на ось можно силу или ось переносить параллельно так, чтобы получились пересекающиеся прямые, а силу считать приложенной в точке пересечения.
Величину проекций силы на ось при всех возможных положениях силы можно определить по формуле Fm=Fcos, где - угол между направлением вектора силы и оси m. Рекомендуется при вычислении проекции по этой формуле умножать модуль силы на косинус ее острого угла с осью, а знак величины проекции определять из чертежа.
Равнодействующую двух сил можно получить из правила силового треугольника. Из правила параллелограмма отрезок АВ (рис. 1.13) равен и параллелен отрезку ОС. Поэтому, если мысленно отложить вектор силы F2 от конца вектора силы F1 (точка А), то равнодействующая R имеет начало в точке О, а конец - в точке В. Получили правило силового треугольника.
Рассмотрим систему сил, приложенных в одной точке (рис. 1.14).
Складывая силы F1 и F2 по правилу силового треугольника, получаем равнодействующую R12. Затем по тому же правилу складываем R12 и F3 получаем равнодействующую R123, и так можно получить равнодействующую всех сил R. Ломаную линию ОАВС, звенья которой равны и параллельны силам, называют силовым многоугольником.
Силовой многоугольник сил Таким образом, чтобы сложить систему сил, приложенных в одной точке, необходимо от конца первой силы отложить вектор второй силы, от конца второй силы отложить вектор третьей силы и т. д. Вектор равнодействующей R имеет начало в начале первой силы и конец в конце последней. Вектор R, замыкающий силовой многоугольник, называют векторной суммой сил.
Систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называют системой сходящихся сил.
Действие силы на тело, как уже было сказано, характеризуется ее численным значением, линией действия и направлением. Кроме того, в случае закрепленного тела (в одной или в нескольких точках) вводится понятие момента силы относительно точки.
Момент силы F относительно точки О Момент силы относительно точки характеризует вращающее действие силы относительно этой точки. Его определяют как произведение силы F на длину перпендикуляра h, опущенного из этой точки на линию действия силы (рис. 1.15). Длину этого перпендикуляра будем называть плечом. Формулу для момента силы можно записать так: Moi=Fi hi, где индекс о обозначает точку, относительно которой определяют момент силы (центр момента), hi - плечо силы Fi.
Примем условно момент силы на рис. 1.16 положительным, если он стремится повернуть тело вокруг центра момента по ходу часовой стрелки, и отрицательным - против часовой стрелки. Тогда Mo1 = - F1h1, Mo2 =F2h2, Mo3 = 0.
Момент силы F3 относительно точки о (Мо3) равен нулю, так как линия действия данной силы пересекает точку о.
Пара сил - это две равные по абсолютному значению параллельные силы, направленные в противоположные стороны и имеющие разные линии действия (рис. 1.17). Плоскость, в которой действует пара сил, называется плоскостью пары. Пара сил не имеет равнодействующей и может быть заменена только другой эквивалентной парой сил. Сумма проекций сил, образующих пару, на любую ось равна нулю. Момент пары равен произведению одной из ее сил на плечо. Пара сил также сообщает телу вращательное движение, как и момент силы относительно точки.
Момент сил F1, F2, F3 относительно точки о Эквивалентные пары сил Часто пару сил изображают в виде изогнутой стрелки с обозначением момента (рис. 1.17.). Такое упрощенное изображение оправдано тем, что пара сил характеризуется моментом, а не ее положением в плоскости. Но если необходимо определять не внешние силы, а внутренние в разных сечениях элемента, как это делается в сопротивлении материалов, то важен знак и место приложения пары сил.
Например, внутренние силы будут различны для балок, изображенных на рис. 1.18, а, б.
Рис. 1. 18. Замена пары сил сосредоточенным моментом:
а –характер изогнутой оси балки при загружении двумя сосредоточенными силами;
б – характер изогнутой оси балки при загружении сосредоточенным моментом 1.6. Приведение произвольной пространственной В статике решают две основные задачи:
• сложную систему сил заменяют более простой - приводят систему сил к простейшему виду;
• устанавливают, когда тело под действием данной системы сил находится в равновесии, - составляют условия равновесия.
Чтобы решить первую задачу, необходимо знать, какой простейший вид может иметь произвольная система сил. Можно показать, что любая произвольная система сил эквивалентна двум силам: главному вектору, равному равнодействующей всех сил и главному моменту, равному алгебраической сумме моментов всех сил относительно какой-либо точки.
Доказательство теоремы о приведении произвольной системы сил к двум силам приводится в курсах статики, например [1, 2].
Замена произвольной системы сил Для того чтобы найти главный вектор системы сил, определяют вначале проекции главного вектора на координатные оси OX, OY, OZ (рис. 1.19), равные: Rx=Fix, Ry=Fiy, Rz=Fiz. Главный вектор находят, последовательно складывая проекции главного вектора по правилу параллелепипеда:
R=Rx2+Ry2+Rz2.
Алгебраическую сумму моментов всех сил (главный момент) можно определить следующим способом: вначале определяют алгебраическую сумму моментов всех сил относительно каждой из координатных осей OX,OY,OZ, в выбранной точке о: Mx=mox; My=moy; Mz=moz. Главный момент заданной системы сил равен: М=Mx2+Mx2+Mz2. Существуют и другие способы определения главного момента, эти способы рассматриваются в подробных курсах статики.
Решение второй задачи статики заключается в составлении условий равновесия системы сил, действующих на твердое тело. Для выполнения условия равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент относительно любой произвольно взятой точки были равны нулю:
В зависимости от вида системы сил, действующих на тело, условия равновесия могут быть записаны в различной форме, наиболее удобной для конкретного случая, но все они являются частным случаем основных уравнений равновесия, полученных для произвольной системы сил.
1.7. Равновесие произвольной системы сил На рис. 1.20 изображена произвольная система сил, не пересекающихся в одной точке. Тогда согласно п. 1.6 произвольная система сил эквивалентна двум силам: главному вектору R и главному моменту M.
Выберем в произвольной точке тела о прямоугольную систему координат.
Разложим все силы по осям X,Y,Z. Для вычисления главного вектора необходимо вычислить сумму проекций всех сил на каждую из координатных осей, а для определения главного момента - сумму моментов всех сил относительно этих же осей.
Тогда условия равновесия произвольной системы сил запишутся следующим образом:
Итак, для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось равенство нулю одновременно шести уравнений:
суммы проекций всех сил системы на каждую из трех произвольно выбранных координатных осей и суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей. Рассмотрим частные случаи.
1.7.1. Равновесие системы сил, сходящихся в одной точке На рис. 1.21 изображена система сил, пересекающихся в одной точке о.
Выберем начало координат в точке пересечения сил. Тогда линии действия всех сил пересекают оси координат и моменты сил относительно этих осей равны нулю. Из шести уравнений (1.2) остаются три:
Итак, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из трех координатных осей равнялась нулю.
Если все сходящиеся силы расположены в одной плоскости, например OX, OY (рис. 1.21), то проекция любой силы на ось OZ равна нулю. Поэтому третье уравнение (1.3) дает тождество: 0=0, которое нельзя использовать, и тогда условия равновесия для плоской системы сил будут:
Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на любые две координатные оси в плоскости действия сил равнялась нулю.
Уравнения равновесия для системы сходящихся сил используются при расчетах различных плоских и пространственных ферм и т.п.
1.7.2. Система параллельных сил, не лежащих в одной плоскости Рассмотрим систему сил, изображенную на рис. 1.22. Проводим систему координат. Ось OZ параллельна силам, а оси OX и OY - перпендикулярны.
Тогда все силы проектируются только на ось OZ со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадает ли направление силы с направлением оси или противоположно этому направлению. Проекции сил на оси OX и OY равны нулю.
Система параллельных сил не лежащих в одной плоскости Составляем уравнение моментов всех сил относительно осей. Моменты всех сил вокруг оси OZ равны нулю, так как ось OZ параллельна силам. Тогда из шести уравнений равновесия сил (1.2) остаются три уравнения:
Для равновесия системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма величин всех сил равнялась нулю и сумма моментов всех сил относительно любой из двух координатных осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной силам, равнялась нулю.
Случай равновесия системы параллельных сил рассматривается при расчете внецентренно сжатых (растянутых) конструкций.
На рис. 1.23 изображена система сил, действующих в плоскости YOZ. Тогда проекции всех сил на ось OX равны нулю, так как силы перпендикулярны оси и моменты всех сил относительно осей OY и OZ также равны нулю, потому что эти оси и силы лежат в одной плоскости.
Произвольная плоская система сил Поэтому из шести уравнений (1.2) остаются три уравнения равновесия:
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей в плоскости этих сил равнялась нулю, и сумма моментов всех сил относительно произвольной точки в плоскости этих сил также равнялась нулю.
Для плоской системы сил, кроме вида (1.6), уравнения равновесия можно составлять в следующих видах:
Точки о1, о2, о3 не лежат на одной прямой в плоскости действия сил.
Данные условия равновесия широко используются при расчете плоских изгибаемых элементов (балок, рам) в строительных конструкциях. При расчете можно пользоваться любым из трех видов уравнений равновесия сил (1.6), (1.7), (1.8), исходя из конкретных условий.
1.7.4. Система параллельных сил, расположенных в одной плоскости Согласно рис. 1.24 все силы параллельны и лежат в плоскости YOZ, причем они перпендикулярны оси OZ. Тогда из шести условий равновесия (1.2) остаются два условия:
Точки о1, о2 и oi лежат на прямой, не параллельной силам.
Система параллельных сил расположенных в одной плоскости Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма величин всех сил равнялась нулю и сумма моментов всех сил относительно любой точки в плоскости этих сил также равнялась нулю.
Чтобы решить задачу о равновесии тела, необходимо выделить основные этапы решения, придерживаясь следующей последовательности:
1. Указать тело, равновесие которого рассматривается.
2. Определить все активные силы, действующие на тело.
3. Показать, какие тела являются связями для рассматриваемого тела.
4. Мысленно отбросить связи, заменив их действие на данное тело силами - реакциями связей.
5. Составить условия равновесия тела под действием полученной системы сил.
Вопросы для самопроверки Что такое абсолютно твердое тело?
Какие величины называются векторными и скалярными?
Что такое сила и какова ее размерность?
Что называется моментом силы относительно данной точки и какова его 5. Что называется реакциями связей?
6. Что такое статически эквивалентная система сил?
7. Что такое аксиомы статики твердого тела? Как они формулируются?
8. Какие силы называются сходящимися? Как определить их равнодействующую?
9. Что называется главным вектором плоской системы сил?
10.Что называется главным моментом плоской системы сил относительно какого-нибудь центра?
11.Составьте условие равновесия для произвольной плоской системы сил.
12.Составьте условие равновесия для системы сходящихся сил.
13.Составьте условие равновесия для плоской системы параллельных сил.
Рассмотрим примеры решения задач статики, встречающиеся в строительной механике.
Пример 1.1. К кронштейну, изображенному на рис.1.25, а. в узле В подвешен груз весом 36 кН. Соединения элементов кронштейна шарнирные.
Определить усилия, возникающие в стержнях АВ и ВС, считая их невесомыми.
Решение. Для определения усилий в стержнях будем придерживаться методики, изложенной в начале параграфа.
Рассмотрим равновесие узла В, в котором сходятся стержни АВ и ВС. Узел В представляет собой точку на чертеже. Так как груз подвешен к узлу В, то в точке В прикладываем силу F, равную весу подвешенного груза. Стержни ВА и ВС, шарнирно соединенные в узле В, ограничивают возможность любого его линейного перемещения в вертикальной плоскости, т.е. являются связями по отношению к узлу В.
Рис. 1.25. Расчетная схема кронштейна к примеру 1.1:
Мысленно отбрасываем связи и заменяем их действия силами - реакциями связей RА и RС. Так как стержни невесомые, то реакции этих стержней (усилия в стержнях) направлены вдоль оси стержней. Предположим, что оба стержня растянуты, т.е. их реакции направлены от шарнира внутрь стержней. Тогда, если после расчета реакция получится со знаком минус, то это будет означать, что на самом деле реакция направлена в сторону, противоположную указанной на чертеже, т.е. стержень будет сжат.
На рис. 1.25, б показано, что в точке В приложены активная сила F и реакции связей RА и RС. Видно, что изображенная система сил представляет плоскую систему сил, сходящихся в одной точке. Выбираем произвольно оси координат OX и OY и составляем уравнения равновесия вида:
Учитывая, что cos (90 - ) = sin, из второго уравнения находим Подставив значение Rc в первое уравнение, получим Таким образом, стержень АВ - растянут, а стержень ВС - сжат.
Для проверки правильности найденных усилий в стержнях спроектируем все силы на любую ось, не совпадающую с осями X и Y, например, ось U:
После подстановки значений найденных усилий в стержнях (размерность в килоньютонах) получим Условие равновесия выполняется, таким образом, найденные усилия в стержнях верны.
Пример 1.2. Балка строительных подмостей, весом которой можно пренебречь удерживается в горизонтальном положении гибкой тягой СD и шарнирно опирается на стену в точке А. Найти усилие в тяге СD, если на край подмостей встанет рабочий весом 80 кг 0,8 кН (рис.1.26, а).
Рис. 1.26. Расчетная схема подмостей к примеру 1.2:
а – расчетная схема; б – система сил действующих на подмости Решение. Выделяем объект равновесия. В данном примере объектом равновесия является балка подмостей. В точке В на балку действует активная сила F, равная весу человека. Связями в данном случае являются неподвижный опорный шарнир А и тяга CD. Мысленно отбросим связи, заменив их действие на балку, реакциями связей (рис. 1.26, б). Реакцию неподвижной шарнирной опоры по условию задачи определять не нужно. Реакция в тяге CD направлена вдоль тяги. Предположим, что стержень CD растянут, т.е. реакция RD направлена от шарнира С внутрь стержня. Разложим реакцию RD, по правилу параллелограмма, на горизонтальную и вертикальную составляющие:
В результате получили произвольную плоскую систему сил, необходимым условием равновесия которой является равенство нулю трех независимых условий равновесия, например вида (1.6), (1.7), (1.8).
В нашем случае удобно первым записать условие равновесия в виде суммы моментов относительно моментной точки А, так как момент опорной реакции RA относительно этой точки равен нулю:
или Значение тригонометрических функций определим из треугольника АСD:;
Решая уравнение равновесия, получим RD = 5,38 kH. (Тяж СD - растянут).
Для проверки правильности вычисления усилия в тяже CD необходимо вычислить хотя бы одну из составляющих опорной реакции RA. Воспользуемся уравнением равновесия в виде или Знак минус означает, что вертикальная составляющая реакции RA на опоре направлена вниз.
Проверим правильность вычисления усилия в тяже. Используем еще одно условие равновесия в виде уравнений моментов относительно точки В.
Условия равновесия соблюдаются, таким образом, усилие в тяже найдено верно.
Пример 1.3. Вертикальный бетонный столб забетонирован нижним концом в горизонтальное основание. Сверху на столб передается нагрузка от стены здания весом 143 кН. Столб изготовлен из бетона плотностью = 25 кН/м3.
Размеры столба показаны на рис. 1.27, а. Определить реакции в жесткой заделке.
Решение. В данном примере объектом равновесия является столб. Столб загружен следующими типами активных нагрузок: в точке А сосредоточенной силой F, равной весу стены здания, и собственным весом столба в виде равномерно распределенной по длине бруса нагрузки интенсивностью q на каждый метр длины столба: q = А, где А - площадь поперечного сечения столба.
Связями в данном примере является жесткая заделка в основании столба.
Мысленно отбросим заделку и заменим ее действие реакциями связей (рис.
1.27, б).
В нашем примере рассматривается частный случай действия системы сил, перпендикулярных заделке и проходящих по одной оси через точку приложения опорных реакций. Тогда две опорные реакции: горизонтальная составляющая и реактивный момент будут равны нулю. Для определения вертикальной составляющей опорной реакции спроектируем все силы на ось элемента. Совместим эту ось с осью Z, тогда условие равновесия запишется в следующем виде:
где ql - равнодействующая распределенной нагрузки.
Отсюда Знак плюс указывает, что реакция VB направлена вверх.
Для проверки правильности вычисления опорной реакции остается еще одно условие равновесия - в виде алгебраической суммы моментов всех сил относительно любой точки, не проходящей через ось элемента. Предлагаем выполнить эту проверку самостоятельно Пример 1.4. Для балки, изображенной на рис.1.28, а, требуется определить опорные реакции. Дано: F = 60 кН, q = 24 кН/м, М = 28 кНм.
Рис. 1.28. Расчетная схема и размеры балки к примеру 1.4:
Решение. Рассмотрим равновесие балки. Балка загружена активной нагрузкой в виде плоской системы параллельных вертикальных сил, состоящих из сосредоточенной силы F, равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q с равнодействующей Q, приложенной в центре тяжести грузовой площади (рис. 1.28, б), и сосредоточенного момента М, который можно представить в виде пары сил.
Связями в данной балке являются шарнирно-неподвижная опора А и шарнирно-подвижная опора В. Выделим объект равновесия, для этого отбросим опорные связи и заменим их действия реакциями в этих связях (рис. 1.28, б).
Реакция подвижной опоры RB направлена вертикально, а реакция шарнирнонеподвижной опоры RA будет параллельна активной системе действующих сил и направлена также вертикально. Предположим, что они направлены вверх.
Равнодействующая распределенной нагрузки Q = 4,8q приложена в центре симметрии грузовой площади.
При определении опорных реакций в балках необходимо стремиться так составлять уравнения равновесия, чтобы в каждое из них входило только одно неизвестное. Этого можно добиться, составляя два уравнения моментов относительно опорных точек, как это рекомендуется в (п. 1.7). Проверку опорных реакций обычно проводят, составляя уравнение в виде суммы проекций всех сил на ось, перпендикулярную оси элемента.
Примем условно направление вращения момента опорных реакций вокруг моментных точек за положительное, тогда противоположное направление вращения сил будем считать отрицательным.
Необходимым и достаточным условием равновесия в данном случае является равенство нулю независимых условий равновесия в виде:
Подставляя численные значения величин, находим Для проверки правильности найденных реакций используем условие равновесия в виде:
После подстановки численных значений в это уравнение получаем тождество типа 0=0. Отсюда делаем выводы, что расчет выполнен верно и реакции на обеих опорах направлены вверх.
Пример 1.5. Определить опорные реакции для балки, изображенной на рис.
Рис. 1.29. Расчетная схема и размеры балки к примеру 1.5:
Решение. Рассмотрим равновесие балки. Мысленно освобождаем балку от связей на опорах и выделяем объект равновесия (рис. 1.29, б). Балка загружена активной нагрузкой в виде произвольной плоской системы сил.
Равнодействующая распределенной нагрузки Q = q3 приложена в центре симметрии грузовой площади. Силу F разложим по правилу параллелограмма на составляющие – горизонтальную и вертикальную Прикладываем к объекту равновесия вместо отброшенных связей реакции.
Предположим, вертикальная реакция VA шарнирно подвижной опоры А направлена вверх, вертикальная реакция VB шарнирно неподвижной опоры B направлена также вверх, а горизонтальная реакция HВ - вправо.
Таким образом, на рис. 1.29, б изображена произвольная плоская система сил, необходимым условием равновесия которой является равенство нулю трех независимых условий равновесия для плоской системы сил. Напомним, что, согласно теореме Вариньона, момент силы F относительно любой точки равен сумме моментов составляющих Fz и Fy относительно этой же точки. Примем условно, направление вращения момента опорных реакций вокруг моментных точек за положительное, тогда противоположное направление вращение сил будем считать отрицательным.
Тогда условия равновесия удобно составить в следующем виде:
Для проверки правильности вычисленных реакций используем еще одно условие равновесия, которое не использовали, например:
После подстановки численных значений получаем тождество 0=0.
Вертикальная опорной реакции VB получилась со знаком минус, это показывает, что в данной балке она направлена не вверх, а вниз.
Пример 1.6. Определить опорные реакции для балки, жестко заделанной с одной стороны и изображенной на рис. 1.30, а. Дано: q =20 кН/м.
Рис. 1.30. Расчетная схема и размеры балки к примеру 1.6:
Решение. Выделим объект равновесия. Балка загружена активной нагрузкой в виде плоской системы параллельных сил, расположенных вертикально. Мысленно освобождаем балку от связей в заделке и заменяем их реакциями в виде сосредоточенной силы VB и пары сил с искомым реактивным моментом МB (см. рис. 1.30, б). Так как активные силы действуют только в вертикальном направлении, то горизонтальная реакция НB равна нулю. Примем условно направление вращения момента опорных реакций вокруг моментных точек по часовой стрелке за положительное, тогда противоположное направление вращения сил будем считать отрицательным.
Составляем условия равновесия в виде Здесь q1,6 – равнодействующая распределенной нагрузки.
Подставив численные значения распределенной нагрузки q, находим Для проверки правильности найденных реакций составим еще одно условие равновесия. Теперь возьмем за моментную точку какую-нибудь другую точку, например правый конец балки, тогда:
После подстановки численных значений получаем тождество 0=0.
Окончательно делаем выводы, что опорные реакции найдены верно.
Вертикальная реакция VB направлена вверх, а реактивный момент МВ - по часовой стрелке.
Пример 1.7. Для рамы изображенной на рис.1. 31, а, требуется определить опорные реакции. Дано: F = 50 кН, М = 60 кНм, q = 20 кН/м.
Решение. Рассмотрим равновесие рамы. Мысленно освобождаем раму от связей на опорах (рис.1.26, б) и выделяем объект равновесия. Рама загружена активной нагрузкой в виде произвольной плоской системы сил. Вместо отброшенных связей прикладываем к объекту равновесия реакции: на шарнирно-неподвижной опоре А - вертикальную VA и горизонтальную HA, а на шарнирно-подвижной опоре В - вертикальную реакцию VB Предполагаемое направление реакций показано на рис.1.31, б.
Рис.1.31. Расчетная схема рамы и объект равновесия к примеру 1.7:
Составляем следующие условия равновесия:
Здесь условно принято направление вращения вокруг моментных точек против движения часовой стрелки за положительное.
Для проверки правильности вычисления реакций используем условие равновесия, в которое входили бы все опорные реакции, например:
После подстановки численных значений получаем тождество 0=0.
Таким образом, направления и величины опорных реакций определены верно.
ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ
МАТЕРИАЛОВ
Сопротивление материалов это раздел строительной механики, изучающий поведение элементов сооружений под нагрузкой. В процессе своей созидательной деятельности архитектору при проектировании различных сооружений приходится определять размеры отдельных элементов сооружений.Элементы сооружений отличаются друг от друга формами, размерами, материалом, функциональным назначением, рядом специальных требований.
При этом следует отметить, что все без исключения элементы как искусственного, так и естественного происхождения обладают такими свойствами, как прочность и жесткость, то есть способностью, не разрушаясь воспринимать различные нагрузки и сопротивляться изменению своих первоначальных форм и размеров, без чего не может нормально функционировать сооружение. Цель расчетов в сопротивлении материалов – создание прочных, устойчивых, обладающих достаточной жесткостью, долговечностью и вместе с тем экономичных элементов сооружений Например, конструкции стропильной фермы, междуэтажных перекрытий зданий должны выдерживать нагрузки от атмосферных воздействий, оборудования и людей и обладать достаточной жесткостью, обеспечивающей ограничение прогибов для создания нормальных условий функционирования сооружения.
Рис. 2.1. Характер деформирования и разрушения стержня под нагрузкой:
а) – элемент до нагружения; б) – деформация стержня при изгибе; в) – вид излома Прочностные и жесткостные качества элементов сооружений зависят от многих факторов: материала, размеров, характера возникающих деформаций и др. Металлические конструкции обладают большей прочностью и жесткостью, чем аналогичные деревянные конструкции. Стержень из одного и того же материала, имеющий большие поперечные размеры, более прочный и жесткий, при этом его легче разрушить, изгибая, чем растягивая. Тонкий стержень при его сжатии разрушается в результате выпучивания в поперечном направлении, в то же время это явление отсутствует при продольном растяжении и для разрушения стержня требуется значительно большая нагрузка.
Например, возьмем деревянный брусок (рис 2.1, а). Начнем сгибать стержень. Чем сильнее мы будем прикладывать усилия, тем больше он изогнется (рис 2.1 б), и при какой то величине усилий сломается (рис 2.1, в).
Подведя итог можно утверждать, что всякое реальное тело под воздействием сил меняет свою форму и размеры, т. е. деформируется. Деформации обуславливают появление внутри элемента сил сопротивления. Если внешние силы больше сил сопротивления, происходит разрушение элемента сооружения.
При возрастании нагрузки выше определенных значений в теле наряду с упругими будут возникать деформации не исчезающие после снятия нагрузки.
Такие деформации называются остаточными. Возникновение остаточных деформаций, наравне с разрушением связано с нарушением нормальной работы конструкции и, как правило, недопустимо.
Способность конструкции воспринимать заданную нагрузку, не разрушаясь и без остаточных деформаций, называют прочностью.
Все элементы сооружения, из каких бы материалов они ни были изготовлены, под нагрузкой деформируются. Однако значительные деформации могут мешать нормальной эксплуатации сооружения.
Способность сооружений и ее частей под нагрузкой сохранять свои размеры и форму в установленных нормами пределах называется жесткостью.
Рассмотрим еще один пример. Будем сжимать тонкий и длинный стержень (тот же деревянный брусок). Уже при незначительной силе стержень изогнется, как показано на рис. 2.1, г. В этом случае первоначальная форма прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой.
Способность конструкции, и ее частей, сохранять под нагрузкой первоначальную форму упругого равновесия называется устойчивостью.
Обычно потеря устойчивости сопровождается мгновенным изменением формы элемента и разрушением конструкции.
Перечисление отдельных факторов и примеров не позволяет установить общие закономерности работы элементов сооружений под нагрузкой. Для этого требуется их творческое осмысление, изучение механических характеристик материалов, обобщение и создание на этой основе общих теоретических и экспериментальных методов исследования изучаемых явлений. В курсе сопротивления материалов эти задачи решаются применительно к расчетам прочности жесткости и устойчивости отдельных конструктивных элементов.
Методы сопротивления материалов позволяют архитектору на стадии проектирования обоснованно выбрать тип конструкций, форму, размеры их элементов и материал, обеспечивающие надежную и безопасную работу сооружения весь период эксплуатации, при этом следует стремиться к минимальному расходу материалов. Конечная цель науки сопротивления материалов – определение размеров элементов сооружений, обеспечивающих его работоспособность при минимальном расходе материалов.
Элементы различных сооружений изготавливаются из различных материалов – металла, бетона дерева, полимеров и др. однако в сопротивлении материалов пользуются некоторым условным материалом, наделенным определенными идеализированными свойствами деформирования. Рассмотрим основные допущения о свойствах условного материала.
Деформации могут быть упругими и остаточными или пластическими.
Если после снятия нагрузки тело восстанавливает свою первоначальную форму, то такие деформации называются упругими, а само свойство тела называется упругостью Материал элементов сооружений будем считать упругим. Абсолютно упругих тел в природе не существует, но если деформации невелики, то тела можно считать упругими, именно такие деформации мы будем рассматривать в дальнейшем.
Материал элементов сооружений будем считать сплошным, однородным, изотропным и линейно-деформируемым.
Свойство сплошности предполагает, что не учитывается реальная структура материала (зернистая, кристаллическая и др.) и считается, что материал непрерывно заполняет весь объем элемента. Свойство однородности означает, что весь объем материала обладает одинаковыми механическими свойствами. Свойство изотропности означает, что механические свойства материала во всех направлениях одинаковы.
Использование этих понятий существенно упрощает изучение поведения конструкций под нагрузкой, а соответствие условного материала реальным материалам достигается введением в расчет элементов сооружений экспериментально получаемых механических характеристик реальных материалов.
Вопросы самопроверки знаний (к разделу 2.1) Что такое «Сопротивление материалов»? Какие задачи ставит перед собой эта Что наливается прочностью, жесткостью и устойчивостью элемента конструкции?
Что называется деформацией твердого тела?
Что такое упругая и пластическая деформация?
Что такое упругость твердого тела?
Как разделяются нагрузки (по их видам), действующие на части сооружении, и каковы их размерности?
7. Какие основные допущения (гипотезы) приняты в сопротивлении материалов? В чем они заключаются?
8. Что такое изотропные и анизотропные твердые тела?
9. В чем заключается принцип независимости действия сил?
10. Что такое внутренние силы упругости, возникающие в твердом теле, и чем они вызываются?
2.2. Определение внутренних силовых факторов В курсе сопротивления материалов в отличие от теоретической механики изучают законы распределения внутренних сил, возникающих в элементах сооружений от внешних воздействий. В процессе эксплуатации сооружения подвергаются воздействию различного рода нагрузок. При этом все элементы сооружения, из каких бы материалов они ни были изготовлены, меняют свои первоначальные размеры и форму, т. е. деформируются.
Рис. 2.2. Определение внутренних сил методом сечений:
а) – элемент до рассечения поперечным сечением; б) – приведение системы внутренних сил к центру тяжести сечения; в) – разложение главного вектора и Представим, что элемент сооружения состоит из отдельных частиц, между которыми существуют силы взаимодействия. При нагружении элемента расстояние между частицами меняется. При этом возникают дополнительные силы взаимодействия – упругие силы, которые стремятся вернуть частицы в первоначальное положение. Эти дополнительные силы взаимодействия между частицами будем называть внутренними силами.
Для выявления внутренних сил и последующего их определения применяют метод сечений, суть которого заключается в следующем. Пусть к элементу сооружения, имеющего форму бруса, приложена система внешних сил, удовлетворяющая условиям равновесия. Под действием этой нагрузки в элементе возникают внутренние силы. В произвольном месте мысленно рассечем брус поперечным сечением на две части (рис. 2.2, а).
Так как связи между частями устранены, то необходимо действие правой части на левую, и левой на правую заменить системой сил в этом сечении. Эти силы определяют взаимодействие между частицами тела, расположенными по разные стороны от мысленно проведенного сечения, и поэтому являются внутренними для тела в целом. Согласно закону действия и противодействия система сил, возникающих на поверхности сечения в левой отсеченной части, равна, но обратна по знаку системе сил на поверхности сечения в правой отсеченной части. Согласно допущению о сплошности материала следует считать, что внутренние силы распределены по сечению непрерывно по некоторому не известному нам закону.
Рассмотрим отдельно какую-либо из отсеченных частей бруса, например левую. Внутренние силы, возникающие в сечении целого бруса по отношению к рассматриваемой отсеченной части бруса, являются внешними и дополняют систему заданных внешних сил до равновесной. Приведем систему внутренних сил к центру тяжести сечения (рис. 2.2, б). В результате получим главный вектор R и главный момент M.
Выберем систему координат так, чтобы ось z совпала с нормалью к сечению (располагалась вдоль оси элемента), а оси у и x лежали в плоскости нормального сечения. Разложив главный вектор и главный момент по осям координат, получим составляющие: три силы и три момента. Эти составляющие называют внутренними силовыми факторами в сечении бруса, каждая из которых имеет свое наименование:
N — нормальная сила; Qy и Qz— поперечные силы; Т —крутящий момент;
Mz и Му— изгибающие моменты (рис. 2.2, в).
При известной нагрузке все шесть внутренних силовых факторов могут быть определены из уравнений равновесия составленных для рассматриваемой части бруса. Заметим, что в каждое уравнение войдут проекции на соответствующую ось (или моменты относительно оси) всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части, и только один из внутренних силовых факторов.
Уравнения равновесия позволяют сформулировать правило определения каждого из внутренних силовых факторов:
Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на ось z, всех внешних сил, действующих на одну из отсеченных (левую или правую) частей бруса.
То же для определения поперечных сил Qy и Qx,, только проектировать внешние силы необходимо на оси y и x.
Изгибающие моменты Mx и My и крутящий момент T, численно равны алгебраической сумме моментов всех сил по одну сторону от сечения, относительно соответствующих осей x, y и z.
Для установления знака внутреннего силового фактора будем придерживаться следующих правил:
Условимся продольную силу считать положительной, если она вызывает растяжение, т. е. направлена от сечения и отрицательной, если она вызывает сжатие, т. е. направлена к сечению.
а) растяжение (сжатие);б) сдвиг; в) кручение; г) изгиб При решении задач знак N удобнее устанавливать в зависимости от направления внешних сил. Если внешняя сила, направлена в противоположную от сечения сторону, то она вызывает в нем положительную продольную силу (растяжение), и наоборот, если внешняя сила, направлена к сечению, то она вызывает в нем отрицательную продольную силу (сжатие) (рис.2.3, а ) Поперечную силу Q будем считать положительной, если она направлена так, что стремиться повернуть отсеченную часть бруса по ходу часовой стрелки (рис. 2.3, б), и отрицательной, если — против хода часовой стрелки.
Согласно этому правилу внешняя сила, стремящаяся повернуть рассматриваемую часть бруса относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную поперечную силу Крутящий момент Т будем считать положительным, если при взгляде со стороны внешней нормали на рассматриваемое сечение он направлен по ходу часовой стрелки или внешний скручивающий момент направлен против хода часовой стрелки (рис 2.3, в).
Изгибающий момент Mx считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон рассматриваемой части бруса. В противном случае изгибающий момент считается отрицательным. (рис. 2.3, г).
Согласно принятому правилу знаков для изгибающего момента, если внешняя сила, приложенная к рассматриваемой части бруса изгибает участок, расположенный между сечением точкой ее приложения выпуклостью вниз, то изгибающий момент положительный. Отрицательному значению изгибающего момента соответствует противоположное направление выпуклости балки Между поперечной силой и изгибающим моментом действующими в одном сечении существует дифференциальная зависимость Приведенную зависимость (теорему Журавского) будем широко использовать при построении эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.
Таким образом, метод сечений позволяет найти значения внутренних силовых факторов и установить вид нагружения в любом сечении бруса при действии любой нагрузки. Для этого необходимо:
разрезать мысленно брус или систему брусьев сечением в том месте, где требуется определить внутренние силовые приложить в сечении усилия, способные уравновесить внешние силы, действующие на отсеченную часть;
Найти значения внутренних силовых факторов из уравнений равновесия для отсеченной части.
В зависимости от вида внутренних силовых факторов, возникающих в сечении, различают различные следующие виды нагружения бруса.
Растяжение или сжатие. Действует только продольная сила N.
Кручение. Действует только крутящий момент T.
Сдвиг.. Действует только поперечная сила Qx или Qy Изгиб.. Действует только изгибающий момент Mx или My (чистый изгиб), при действии изгибающего момента и поперечной силы (поперечный изгиб).
Сложное сопротивление. Одновременное действие нескольких силовых факторов. Например, Mxи T, M и N.
2.2.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов Значение внутреннего силового фактора может меняться по длине элемента.
Графики изменения внутренних силовые факторов вдоль оси бруса, называют эпюрами. Эпюры строят для того, чтобы определить опасные сечения, т. е.
сечения в которых возникают наибольшие значения внутренних силовых факторов, вследствие которых может произойти разрушение бруса.
Перед построением эпюр необходимо освободить брус, в котором будем строить эпюры от опорных связей (выделить объект равновесия) и приложить к нему все действующие внешние силы (активные и реактивные). Затем необходимо установить границы участков, в пределах которых закон изменения внутренних сил постоянный. Границами таких участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы или начинается и кончается распределенная нагрузка, а также сечения, где имеется перелом стержня.
Применяя метод сечений и учитывая правила знаков изложенные выше, получаем уравнения изменения внутренних сил в пределах длины каждого участка бруса. Затем, используя, полученные зависимости строим графики (эпюры) этих усилий. Ординаты эпюр в определенном масштабе откладываем от базисной линии, которую проводим параллельно оси бруса.
Методика использования метода сечений для определения внутренних сил и построения эпюр рассмотрена на конкретных примерах 2.1, 2.2, 2.3, 2.4.
Вопросы для самопроверки знаний (к разделу 2.2) 1. В чем заключается метод сечении? Для чего он применяется в сопротивлении материалов?
2. Что называется плоским изгибом?
3. Что называется чистым изгибом?
4. Как ведут себя продольные волокна балки при ее изгибе?
5. Что такое нейтральный слой и нейтральная ось?
6. Что называется изгибающим моментом и поперечной силой в данном 7. Сформулируйте правила знаков изгибающего момента и поперечной силы.
8. Какие существует зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки?
9. Что такое эпюры изгибающих моментов и поперечных сил? Для чего они 10. Как определяется величина наибольшего по абсолютной величине изгибающего момента в сечении балки?
11. Как найти по эпюре поперечных сил сечение балки, в котором величина изгибающего момента имеет наибольшее значение?
Пример 2.1.Определить усилия в стержнях 1, 2, 3 системы показанной на рис.2.4, а, если F = 10 кН, М = 94 кН/м.
Рис. 2.4. К примеру 2.1: а) расчетная схема; б) объект равновесия Метод сечений в данном случае позволяет определить усилия во всех стержнях не вычисляя опорных реакций в опорах А, Б, В. Проведем сечение I-I, отбросим верхнюю часть и рассмотрим равновесие нижней части. Действие отброшенной части на нижнюю, заменим продольными силами N1, N2, N3 (рис. 2.3, б). Предположим, что стержни растягиваются (направим вектора продольных сил от сечения).
Составим уравнение равновесия в виде проекций на горизонталь, ось z, всех сил, действующих на отсеченную часть.
Составим уравнение равновесия в виде суммы моментов относительно точки D Знак минус означает, что стержень 3 - сжат (а не растянут, как мы предполагали раннее).
Наконец, составим уравнение равновесия в виде проекций на вертикальную ось у:
Fунижн. = 0; N1 +N2sin +N3 = 0; отсюда N1 = 12 кН (растянут).
Положительное значение N1 показывает, что это усилие направлено так, как показано на чертеже, т. е. является растягивающим.
Необходимо проверить правильность расчета, для этого выполним проверку в виде суммы моментов относительно точки Е.
MЕнижн. = 0. N17 + N2sin 7 + F1 - M = 0; получаем тождество 0 = 0.
Пример 2.2 Брус (рис. 2.5, а). загружен в сечениях А, В, С сосредоточенными силами F1= 70 кН, F2== 30 кН, F3== 25 кН, направленными вдоль оси бруса и на участке АВ равномерно распределенной нагрузкой q = 20 кН/м. Построить эпюру продольных сил.
Так как внешние силы, действующие на брус, совпадают с продольной осью бруса, то в брусе возникают только продольные силы. Согласно методу сечений (9) продольная сила в любом сечении бруса равна N = Fzотс.
1. Находим реакцию в заделке. Для этого отбросим заделку, а действие отброшенной заделки заменим реакцией RD. (рис. 2.5, б). Определим реакцию из условия равновесия Z = 0.
2. Разбиваем брус на участки. В нашем случае их три – АB, BC и CD (рис. 2.5, б).
Применяя метод сечений, на каждом участке рассекаем брус произвольным поперечным сечением, отбрасываем одну часть и для оставленной части составляем уравнение для продольной силы в сечении на расстоянии z1 от начала участка.
Рис. 2.5. К примеру 2.2: а) схема бруса; ; б) объект равновесия; в)отсеченая часть бруса по сечению I-I ;г) то же по сечению II-II; д) то же по сечению III-III; е) эпюра 3. Рассматриваем участок AB. Рассекаем брус сечением I-I на расстоянии z1 от свободного конца бруса, 0 z1 1м (рис. 2.5, в). Отбрасываем нижнюю часть и рассматривая равновесие верхней оставленной части, составляем уравнение для определения продольной силы в сечении I-I. N1 = Fzверх.; N1 = -F1;
Так как сила F1 направлена к сечению, то согласно принятому правилу знаков она вызывает сжатие и продольная сила отрицательная. Из уравнения видно, что продольная сила на всем протяжении участка постоянна. Откладываем от базисной линии на эпюре ординату равную 70кН в выбранном масштабе и проводим прямую параллельную оси z.с учетом знака.
4. Рассматриваем участок BС. Рассекаем брус сечением II-II. Отбрасываем нижнюю часть и рассматриваем равновесие верхней оставленной части (рис. 2.5, г).
Составляем уравнение для определения продольной силы в сечении II-II на расстоянии z2 от начала участка 0 z2 3м.,. N1I = Fzверх.; N1I = -F1;+F2 +q z Из уравнения видно, что продольная сила на всем протяжении участка изменяется по линейному закону. Для того, чтобы построить график этой зависимости необходимо определить две ординаты.:
Откладываем от базисной линии две ординаты и строим график изменения продольной силы на участке ВС в выбранном масштабе с учетом знака.(рис. 2.5, е).
5. Рассматриваем участок СD. Рассекаем брус сечением III-III. Очевидно, что здесь удобно рассмотреть равновесие нижней части, так как сверху от сечения внешних сил больше (рис 2.5, д). Отбрасываем верхнюю часть бруса и рассматривая равновесие нижней оставленной части, составляем уравнение для определения продольной силы в сечении III-III на расстоянии z3 от нижнего конца бруса, 0 z 1,5м.
N1II = Fzнижн..; N1II = - RD;
Так как сила RD направлена к сечению, то согласно принятому правилу знаков она вызывает сжатие и продольная сила отрицательная. Из уравнения видно, что продольная сила на всем протяжении участка постоянна. Откладываем от базисной линии на эпюре ординату равную 5 кН и в выбранном масштабе и проводим прямую параллельную оси z. с учетом знака (рис. 2.5, е).
Рис 2.6. К примеру 2.3: : а) схема балки; б) объект равновесия;
в)отсеченная часть бруса по сечению I-I; г) то же по сечению II-II; д) Пример 2.3 Построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx для балки, если q = 20 кН/м (рис. 2.6, а).
Внешняя нагрузка q действующая на брус, перпендикулярная продольной оси бруса,, вызывает в поперечном сечении балки поперечные силы Qy и изгибающий момент. Mx Согласно методу сечений поперечная в любом сечении бруса равна Qy = Fyотс., а изгибающий момент –Мх = мхотс.
Определяем реакции в заделке. Для этого отбросим заделку, а действие отброшенной заделки заменим реакцией VВ. и реактивным моментом MВ (рис.2.6, б ).
Определение опорных реакций в этой балке приведено в разделе 1, пример 1.6. VB = 32 кН, МВ = 38,4 кНм.
Разбиваем балку на участки. В нашем случае их два – АС и BC (рис.2.6, б ). Будем строить две эпюры одновременно Рассматриваем участок AB. Рассекаем брус сечением I-I на расстоянии z1 от свободного конца балки, 0 z1 1,6м. Отбрасываем правую часть и рассматриваем равновесие левой оставленной части (рис.2.6, в ).
Составляем уравнение для определения поперечной силы в сечении I-I.
Так как сила распределенная нагрузка q вращает отсеченную часть относительно сечения против часовой стрелки, то согласно принятому правилу знак поперечной силы отрицательный. Из уравнения видно, что поперечная сила на всем протяжении участка изменяется по линейному закону.
Вычисляем два значения Qy1:
Составляем уравнение для определения изгибающего момента в сечении I-I.
Знак минус поставлен потому, что распределенная нагрузка q изгибает балку выпуклостью вверх, т. е. растягивает верхние волокна. Из уравнения видно, что изгибающий момент на этом участке меняется по параболе.
Вычисляем три значения Mx1:
при z1 = 0, Mx1 = 0; при z1 = 0,8, Mx1 = - 6,4 кНм; при z1 = 1,6, Mx1 = - 25,6 кНм.
По найденным данным строим эпюру Qy и эпюру Mx.на участке АС. Ординаты эпюры моментов откладываем в сторону растянутых волокон.
Рассматриваем участок BС. Рассекаем балку сечением II-II. Так как справа внешних сил больше, отбрасываем правую часть и рассматриваем равновесие левой оставленной части. Привязываем сечение II-II к началу участка BС (0 z2 1,6м).
Отбрасываем правую часть и рассматриваем равновесие левой оставленной части (рис.2.6, г).
Составляем уравнение для определения поперечной силы в сечении II-II.
Так как распределенная нагрузка q вращает отсеченную часть относительно сечения против часовой стрелки, то согласно принятому правилу знак поперечной силы отрицательный. Из уравнения видно, что поперечная сила на всем протяжении участка постоянна.
Составляем уравнение для определения изгибающего момента в сечении II-II.
MxI1 = mxлев..; MxI1 = -q1,6 (0,8 + z2) кНм; MxI1 = - 32 (0,8 + z2) кНм.
Знак минус поставлен потому, что распределенная нагрузка q изгибает балку выпуклостью вверх, т. е. растягивает верхние волокна. Из уравнения видно, что изгибающий момент на этом участке изменяется по линейному закону.
Вычисляем два значения MxI1:
По найденным значениям ординат внутренних сил, строим эюру Qy и эпюру Mx на участке BС. Ординаты эпюры моментов откладываем в сторону растянутых волокон.
Эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx показаны на рис.2.6, е..
Следует обратить внимание, что значения поперечной силы и изгибающего момента в сечении В, соответствуют значениям вертикальной ракции Rb и реактивного момента Mb в заделке. Это служит проверкой правильности выполнения расчетов.
Пример 2.4. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 2.7, а, если F = 6 кН, М = 14,4 кНм, q = 5 кН/м.
Выделяем объект равновесия. Отброшенные связи заменяем реакциями связей (рис. 2.7. б). Определение опорных реакций приведено в главе 1 (пример1.4).
Разбиваем балку на участки. В нашем случае их четыре – АD, AC BC и BE (рис 2.7, б). Будем строить две эпюры одновременно Рассматриваем участок AD. Рассекаем брус сечением I-I на расстоянии z1 от свободного конца балки, 0 z1 2,4м (рис. 2.7, в). Отбрасываем правую часть и Рис. 2.7. К примеру 2.4: а) расчетная схема балки; б) объект равновесия;
в) отсеченная часть по сечению I-I; г) тоже по сечению II-II; д) то же по сечению III-III; ж) то же по сечению IV-IV; и) эпюра поперечных сил;
рассматриваем равновесие левой оставленной части.
Составляем уравнение для определения поперечной силы в сечении I-I. Так как сила F стремится повернуть отсеченную часть против часовой стрелки, то Qy отрицательна.
Из уравнения видно, что эпюра поперечных сил на всем протяжении участка прямая параллельная базисной оси.
Составляем уравнение для определения изгибающего момента в сечении I-I. Так как сила F изгибает отсеченную часть балки выпуклостью вверх, т.е. растягиваются верхние волокна, изгибающий момент отрицательный.
Из уравнения видно, что изгибающий момент на этом участке изменяется по линейному закону.
Вычисляем два значения MxI:
Рассматриваем участок AС. Рассекаем брус сечением II-II, отбрасываем правую часть и рассматриваем равновесие левой оставленной части (рис. 2.7, г). Определяем QyII и MxIII на расстоянии z2 от начала участка, 0 z2 2,4м.
Составляем уравнение для определения поперечной силы в сечении II-II. В соответствие с принятым правилом знаков, сила F поворачивает отсеченную часть относительно сечения против часовой стрелки и знак QyI1 от нее отрицательный, а опорная реакция VB - по часовой стрелке и знак QyI1 от нее положительный.
Из уравнения видно, что поперечная сила на всем протяжении участка прямая параллельная базисной оси эпюры.
Составляем уравнение для определения изгибающего момента в сечении II-II, В соответствие с принятым правилом знаков, первый член уравнения отрицательный, т.
к. отсеченная часть, мысленно закрепленная в заделке от силы F, изгибается выпуклостью вверх, а второй член уравнения положительный, т. к. от действия опорной реакции отсеченная часть изгибается выпуклостью вниз.
Из уравнения видно, что изгибающий момент на этом участке изменяется по линейному закону.
Вычисляем два значения MxII:
Рассматриваем участок BC. Рассекаем брус сечением III-III, отбрасываем левую часть и рассматриваем равновесие правой оставленной части (рис. 2.7, г). Определяем QyIII и MxIII в сечении III- III на расстоянии z3 от начала участка справа, 0 z3 3,6м.
Составляем уравнение для определения поперечной силы в сечении III-III в соответствие с принятым правилом знаков.
QyII1 = Fyправ..; QyII1 = q(z3;+1,2) - VB; QyII1 = 5(z3 +1,2) –14,4;
Из уравнения видно, что поперечная сила на всем протяжении участка изменяется по линейному закону.
Вычисляем два значения Qy1:
Составляем уравнение для определения изгибающего момента в сечении III-III в соответствие с принятым правилом знаков.
Mx III = mxправ.; MxIII = - q(z3;+1,2)(z3;+1,2)/2 + VB z3 ; MxIII = -[5(z3;+1,2)2]/2 + 14,4 z3, где (z3;+1,2)/2 - плечо равнодействующей распределенной нагрузки относительно сечения III.
Первый член уравнения принят со знаком минус, так как отсеченная часть, мысленно закрепленная в сечении, под действием распределенной нагрузки изгибается выпуклостью вверх, а второй член уравнения – со знаком плюс, так как под действием опорной реакции отсеченная часть будет выгибаться выпуклостью вниз. Из уравнения видно, что изгибающий момент на этом участке меняется по квадратной параболе.
Вычисляем три значения MxIII:
Согласно дифференциальной зависимости между изгибающим моментом и поперечной силой, в том месте, где поперечная сила равна нулю, эпюра изгибающих моментов имеет экстремум. Так как эпюра Qу на участке СВ линейна, то из подобия треугольников, нулевая точка О лежит от начала участка на расстоянии z0 = 8,4 / =1,68м. Тогда:
Рассматриваем участок BЕ. Рассекаем брус сечением IV-IV, отбрасываем левую часть и рассматриваем равновесие правой оставленной части (рис. 2.7, д). Определяем QyIV I и MxIV на расстоянии z4 от начала участка справа, 0 z3 1,2м.
Составляем уравнение для определения поперечной силы в сечении IV-.
Распределенная нагрузка поворачивает отсеченную часть относительно сечения по часовой стрелке, и в соответствие с принятым правилом знаков – положительна.
Из уравнения видно, что поперечная сила на всем протяжении участка постоянна.
Составляем уравнение для определения изгибающего момента в сечении IV-IV В соответствие с принятым правилом знаков, изгибающий момент от распределенной нагрузки отрицательный, т.к. нагрузка изгибает отсеченную часть выпуклостью вверх.
где z4 / 2 - плечо равнодействующей распределенной нагрузки относительно сечения IV-IV. Уравнение изгибающего момента квадратная парабола. Вычисляем три значения MxIV:
при z4 0, Mx IV = 0; при z3 = 0,6м, Mx IV = - 0,9 кНм; при z4 = 1,2м, Mx IV = -3,6 кНм.
По найденным данным строим эпюру Qy и эпюру Mx (рис. 2.6, е, ж). Ординаты эпюры моментов откладываем в сторону растянутых волокон.
Пример 2.5. Для рамы изображенной на рис 2.8, а, требуется построить эпюры внутренних силовых факторов, если F = 50 кН, q = 20 кН/м, М = 60 кН/м.
Выделяем объект равновесия для этого, отбрасываем опорные связи, а действие опорных связей заменяем опорными реакциями в этих связях (рис 2.8, б).
Определение опорных реакций для этой рамы показано в разделе 1, пример 1.7.
Особенностью построения эпюр в рамах является то, что в поперечных сечениях рамы могут одновременно возникать три внутренних силовых фактора - Mx, Qy, и Nz.
Одни и те же внешние силы на разных участках могут вызывать разные внутренние силовые факторы. В рамах выбирают текущую систему координат. На каждом участке ось элемента будем совмещать с осью z, а оси x и y располагаем в плоскости нормального сечения. В раме дополнительными, характерными точками, являются узлы рамы.
Разбиваем ось рамы на участки. Тогда всего участков три - АС, СD, BD. Будем строить три эпюры одновременно Рассматриваем участок AС. Рассекаем брус сечением I-I на расстоянии z1 от опоры А, 0 z1 6м (рис 2.8, б). Отбрасываем правую часть и рассматриваем равновесие левой оставленной части.
Составляем уравнение для определения внутренних силовых факторов в сечении I-I.
Знаки усилий приняты в соответствие с принятым правилом знаков. Nz – отрицательна так как VA сжимает отсеченную часть, а Qy1 – отрицательна, так как НA стремится повернуть отсеченную часть против часовой стрелки. При определении знака изгибающего момента условно будем считать, если внешние силы изгибают отсеченную часть выпуклостью внутрь контура рамы, то изгибающий момент положительный. В нашем случае, если мысленно закрепить сечение I-I, НA будет изгибать отсеченную часть выпуклостью внутрь контура.
Рис 2.8. К примеру 2.5: а) расчетная схема рамы; б) объект равновесия; в) эпюра продольных сил; г)эпюра поперечных сил; д) эпюра изгибающих Из уравнения видно, что продольная сила на участке АС – постоянна, поперечная сила – постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.
Вычисляем два значения MxI:
Рассматриваем участок BD. Рассекаем раму сечением II-II, отбрасываем левую часть и рассматриваем равновесие правой оставленной части (рис 2.8, б). Определяем внутренние силовые факторы в сечении II- II на расстоянии z2 от опоры В, 0 z2 4м.
Из уравнений видно, что поперечная сила и изгибающий момент на всем протяжении участка равны нулю, а продольная сила постоянна и отрицательна, т.к. VB – сжимает отсеченную часть.
Рассматриваем участок CD. Рассекаем брус сечением III-III, отбрасываем левую часть и рассматриваем равновесие правой оставленной части (рис 2.8, б). Определяем внутренние силовые факторы в сечении III- III на расстоянии z3 от узла D, 0 z3 6м.
Составляем уравнения для определения внутренних силовых факторов в сечении III-III в соответствие с принятым правилом знаков.
Из уравнения видно, что продольная сила на всем протяжении участка равна нулю, Поперечная сила изменяется по линейному закону. Знаки в уравнении ее членов, взяты из следующих соображений: первый член отрицательный, т.к. VВ вращает отсеченную часть относительно сечения против часовой стрелки, второй член положительный, т.к. распределенная нагрузка q вращает по часовой стрелке.
Изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы. Так как под действием VB и M отсеченная часть мысленно закрепленная в сечении изгибается выпуклостью внутрь контура, то первый и второй член уравнения положительные, а от действия распределенной нагрузки – выпуклостью наружу контура и знак третьего члена уравнения отрицательный.
Вычисляем два значения Qy1II:
Вычисляем три значения MxIII:
при z3= 0, MxIII = -60 кНм; при z3 = z0 = 5м, MxIIImax = 310 кНм; при z3 = 6м, MxIII = при z3 = z0, определен согласно дифференциальной зависимости между изгибающим моментом и поперечной силой. В том месте, где поперечная сила равна нулю, эпюра изгибающих моментов имеет экстремум. Так как эпюра Qу на участке СD линейна, то из подобия треугольников, нулевая точка О лежит от начала участка на расстоянии z0 = 100 /20 =5м.
По найденным данным строим эпюры Nz, Qy и Mx. в раме. Для построения каждой из трех эпюр тонкими линиями проводим контур рамы, который служит базовой линией эпюры (рис 2.8, в, г, д). Ординаты эпюры моментов откладываем в сторону растянутых волокон.
Метод сечений позволяет определять составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил в сечении, при этом значения внутренних сил распределенных непрерывно по поперечному сечению и закон их распределения остаются неизвестными. Для этого вводится понятие напряжения. Мера интенсивности внутренних сил называется напряжением.
Проведем сечение и выделим вокруг произвольной точки К элементарную площадку А (рис.2.9, а). Пусть равнодействующая внутренних сил на этой площадке R. Отношение равнодействующих внутренних сил действующих на этой площадке к площади этой площадки называется средним напряжением pср., а предел отношения элементарной внутренней силы к площади выделенной площадки, при стремлении последней к нулю называется напряжение в точке.
Необходимо подчеркнуть, что если через ту же точку провести другое сечение, то напряжение в общем случае получится другое, т.е. напряжение зависит не только от положения точки, но и направления и сечения проведенного через эту точку. Напряжение p можно разложить на две составляющие: по нормали к сечению – нормальное напряжение и составляющую, лежащую в плоскости –касательное напряжение (рис.2.9,б).
Нормальные напряжения связаны с раздвижкой (при растяжении) или сближением (при сжатии) частиц материала в сечении, а касательные напряжения - со сдвигом частиц материала по плоскости рассматриваемого сечения.
Касательное напряжение, в свою очередь, раскладывается на две составляющие, направленные вдоль координатных осей (рис.2.9, б).
В системе СИ напряжения измеряются - Н/м2. Эта единица измерения напряжения называется паскалем и обозначается - Па.
2.3.2. Связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами Между внутренними силовыми факторами и напряжениями в сечении существует связь. Выделим в сечении площадку dA (рис. 2.9). На площадке dA возникают элементарные силы и элементарные моменты внутренних сил Суммируя эти элементарные силы и моменты по площади сечения, получаем интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и напряжениями:
Рис 2.9. Связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами Вопросы для самопроверки (к разделу 2.3) 1. Что называется напряжением? Какова его размерность?
2. Что такое нормальное и касательное напряжения? Как они действуют в рассматриваемых сечениях твердого тела?
Как уже отмечалось выше, под действием нагрузки реальные тела меняют свою форму и размеры. Рассмотрим реальный элемент сооружения (рис. 2.10).
Отметим на нем до нагружения точку А. После нагружения эта точка переместилась в положение А и получила линейное перемещение А. Линейное перемещение можно разложить на составляющие параллельные осям координат z, y, x и соответственно равные u, v, w.
Кроме линейного перемещения введем понятие углового перемещения.
Если рассмотреть отрезок АВ прямой между двумя близкими точками до нагружения, то после нагружения этот отрезок займет новое положение АВ (рис. 2.10).
Угол, на который рассматриваемый отрезок повернулся в пространстве, принято называть угловым перемещением.
Введем понятие деформации. После приложения нагрузки отрезок АВ изменится на величину l (рис. 2.10). Эта величина называется абсолютным приращением длины отрезка. Отношение абсолютного приращения длины отрезка к начальной длине называется средней линейной деформацией в точке А АВ = l/l.
В пределе при стремлении l к нулю получим линейную деформацию в точке Линейную деформацию обычно раскладывают на составляющие параллельные координатным осям, т.е. x, y, z.
За счет изменения угла между бесконечно малыми отрезками при нагружении тела, в точке кроме линейных, возникают еще угловые деформации. Угловые деформации в точке в различных плоскостях различны. Обычно угловые деформации определяют в трех взаимно перпендикулярных координатах плоскости и обозначают xy, yz, zx.
2.4.2. Связь между упругими деформациями и напряжениями Многочисленные наблюдения за поведением элементов сооружений показывают, что перемещения в определенных пределах прямо пропорциональны величине действующей нагрузки. Эта закономерность впервые была установлена Р. Гуком в 1676 г. в формулировке «ut tensio sic vis»
- «какого растяжение - такова и сила». Это утверждение носит название закона Гука, который можно сформулировать так: напряжение прямо пропорционально деформации.
При растяжении (сжатии) математически закон Гука записывается как При сдвиге Коэффициенты пропорциональности E и G соответственно называют модулем упругости и модулем сдвига. Поскольку и безразмерные величины, то размерность модуля упругости и модуля сдвига та же, что и у напряжений, т.
е. МПа.
Модуль упругости и модуль сдвига характеризуют жесткость материала, т.
е. способность материала сопротивляться упругим деформациям. При одном и том же напряжении деформации больше у того материала, у которого меньше модуль упругости.
Рис. 2.11. Деформация элемента при растяжении: а) общий вид элемента; б) При растяжении или сжатии одновременно с продольной деформацией = l/l (рис. 2.11.а), в элементе возникает поперечная деформация = - а/а.
Отношение называют коэффициентом Пуассона.
Величины коэффициента Пуассона и модуля упругости для различных материалов определяют опытным путем и их значения приведены в ГОСТ.
Между модулем упругости и модулем сдвига существует зависимость Установим связь между нормальными напряжениями и линейными деформациями, справедливые для любого напряженного состояния.
Рассмотрим бесконечно малый элемент, имеющий форму кубика, на гранях которого возникают напряжения растяжения x, y, z. При действии только напряжения x, элемент получает продольную деформацию в направлении оси х, равную, согласно закону Гука, x/Е (рис. 2.11,б). Одновременно его размеры вдоль осей y и z уменьшатся, при этом соответствующие поперечные деформации будут равны Аналогичное действие оказывает растягивающие напряжения y, и z..
Каждое из них вызывает продольную деформацию в своем направлении у/Е и z/Е и поперечные деформации по двум другим направлениям (рис. 2.11,в, г).
Суммируя деформации в направлениях каждой оси, получаем Эти зависимости представляют собой математические выражения обобщенного закона Гука. Напряжения x, y, z следует подставлять в формулы со своим знаком.
2.4.3. Определение механических свойств материалов.
Все сведения о прочностных и деформативных характеристиках различных материалов (модуля упругости, коэффициента Пуассона и. т. п.) получают опытным путем. Наибольшее распространение получили испытание на растяжения, поскольку они наиболее просты в осуществлении и в то же время дают возможность сравнительно судить о поведении материала и при других видах нагружения. Подробнее описание механических испытаний можно посмотреть в полном курсе сопротивления материалов, например [4].
По результатам испытания строят диаграмму, в координатах которую принято называть диаграммой растяжения материала (рис. 2.12, а). На основании диаграммы получают следующие основные характеристики материала необходимые для расчета элементов сооружений:
Предел пропорциональности пц. – наибольшее напряжение, до которого справедлив закон Гука (рис. 2.12, а).
Предел текучести тек – напряжение, при котором происходит рост остаточных деформаций образца при практически постоянной нагрузке. Для ряда материалов, не имеющих на диаграмме выраженной площадки текучести (рис. 2.12, б), вводят понятие условного предела текучести 0,2, под которым подразумевают напряжение, вызывающее остаточную деформацию 0,2%.
Временное сопротивление или предел прочности врем – наибольшее напряжение, выдерживаемое образцом до разрушения.
Рис. 2.12. Диаграммы растяжения различных материалов.
Из приведенных диаграмм растяжения различных сталей видно, что основной характеристикой пластичных материалов, т. е. материалов способных получать значительные остаточные деформации, не разрушаясь, является физический или условный предел текучести тек(0,2).
Диаграмма растяжения хрупкого материала показана на рис. 2.12, в. На ней отсутствует площадка текучести, разрушение образца практически происходит без остаточных деформаций. Поэтому основной характеристикой хрупкого материала является временное сопротивление врем.
2.4.4. Понятие о методах расчета элементов сооружений Различают три метода расчета элементов сооружений: по допускаемым напряжениям, по допускаемым нагрузкам и предельным состояниям. Подробно о этих методах расчета можно посмотреть, например в [4]. В качестве основного при расчете строительных конструкций с 1955 г. принят метод предельных состояний. Рассмотрим сущность этого метода.
Предельным называется такое состояние конструкции, при котором она перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям или требованиям, предъявляемым в процессе возведения здания или сооружения. Различают две группы предельных состояний. Первая группа – непригодность к эксплуатации по причине потери несущей способности. Вторая группа – непригодность к нормальной эксплуатации, в связи с нарушениями требований строительных норм и правил (СниП). В правильно запроектированном сооружении не должно возникнуть ни одно из этих предельных состояний, т. е. должна быть обеспечена надежность сооружения.
Надежностью называется способность сооружения сохранять в процессе эксплуатации качества, заложенные при проектировании. Надежность зависит от точно учета многих факторов среди них: нагрузки или другие воздействия, механические свойства материалов, геометрические параметры конструктивных элементов, условия работы сооружения, степень ответственности сооружения и др. Значения перечисленных факторов, при которых обеспечена нормальная эксплуатация сооружения, называются нормативными характеристиками и определяются по СниПу.
«