«С. Н. Борисов Учебное пособие по физике для учащихся 7-го класса Москва 2009 УДК 53(075) ББК 22.3я7 Б82 Борисов С.Н. Учебное пособие по физике для учащихся 7-го класса. – М.: МИФИ, 2009. – 100 с. В настоящем пособии ...»

Федеральное агентство по образованию

Российской Федерации

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

С. Н. Борисов

Учебное пособие

по физике

для учащихся 7-го класса

Москва 2009

УДК 53(075)

ББК 22.3я7

Б82

Борисов С.Н. Учебное пособие по физике для учащихся 7-го класса. – М.: МИФИ, 2009. – 100 с.

В настоящем пособии представлено шесть тем, которые изучаются в курсе физики 7-го класса. По каждой теме представлен необходимый теоретический материал, рассмотрены примеры решения задач. Задачи для самостоятельного решения, которые приведены в конце каждой темы, сгруппированы по трем уровням сложности. Задачи второй и третьей группы сложности могут быть использованы при проведении физических олимпиад.

Пособие предназначено для учащихся 7-го класса вечернего физикоматематического лицея при МИФИ, а также для учителей, преподающих в этом лицее. Оно может быть полезно и для учащихся старших классов, желающих глубже изучать физику.

Рецензент канд. физ.-мат.наук, доц. Е. Е. Городничев © Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», ISBN 978-5-7262-1104- Предисловие Пособие предназначено для учеников 7-го класса, начинающих углубленное изучение физики в физико-математическом лицее. Будем надеяться, что вы – это как раз те ученики, которые не желают ограничиваться знаниями по математике и физике, получаемыми на уроках в своей «родной» школе. Наша задача – помочь вам расширить и углубить эти знания, сделать так, чтобы вы ощущали себя сейчас и особенно в дальнейшем полноценными и успешными участниками научно-технического прогресса.

Практически вы, как и любой современный семиклассник, уже много всего знаете и много умеете, вы постоянно находитесь в информационном поле: Интернет – телевизор, телевизор – Интернет… Как правило, легко можете пользоваться разными услугами Интернета, загрузить «игрушку»

на компьютер и т.д. Короче говоря, уже обладаете определенным (а иногда и очень большим) набором пользовательских умений и навыков. Однако мало кто из вас задумывается, каким образом появляются эти игры и различные изображения на мониторе и на экране телевизора.

Пытались ли вы самостоятельно что-нибудь создать, сконструировать, предварительно рассчитав параметры вашего изделия, например, обычной рогатки? Автор уверен, что подавляющее большинство из вас ответят отрицательно. И это абсолютно нормально – ведь вы только начинаете постигать физические законы, которыми объясняются самые разнообразные явления окружающей нас природы.

Физика – наука, которую создало человечество, чтобы попытаться объяснить различные окружающие нас явления. Да, физикам уже давно понятно, почему небо имеет днем голубой цвет. А вот как образовалась наша Вселенная – еще окончательного ответа нет. Может быть, кто-то из вас окажется на передовом крае современной науки, и ответит на многие пока нерешенные вопросы. Но это все в будущем, а пока вам предстоит овладевать самыми основами физики. Для этого вам предстоит решать задачи, овладевать математическим аппаратом, пока, конечно, достаточно простым.

Да, физика в своей основе является наукой экспериментальной. Но в настоящее время физические эксперименты стали настолько сложны, что без надежных теоретических знаний в этой области человеческих знаний обойтись невозможно. А если оперировать более «приземленными» понятиями, то так сложилось, что на дополнительных занятиях не предусмотрено пока проведение опытов. Зато вы будете решать физические задачи повышенной сложности – такие, которые, как правило, в обычной школе не рассматриваются.

Цель, которую ставят перед собой автор настоящего пособия и преподаватели лицея – научить понимать логику решения физических задач, правильно их математически оформлять, анализировать полученные ответы и многое другое.

В пособии рассматриваются 6 тем в соответствии со стандартной программой по физике для 7-го класса. Однако в отличие от школьного учебника, автор не включил в пособие разделы по потенциальной и кинетической энергии, а также по превращению одного вида энергии в другой. Автор посчитал, что корректное объяснение этих физических разделов для учеников 7-го класса затруднительно (может быть, он и не очень прав).

Каждая тема структурно выглядит следующим образом. Сначала приводятся краткие теоретические сведения по данному разделу физики.

Возникает вопрос: почему краткие сведения и зачем тогда они нужны?

Во-первых, у автора есть твердое убеждение, что никакое, даже самое хорошее пособие не заменит учебник. Учебник надо обязательно внимательно изучать: там приводятся описания опытов, даются разного рода исторические справки – что очень познавательно и интересно. А, вовторых, повторить необходимые определения и формулы всегда полезно.

Затем приведены примеры решения задач по данной теме. Как правило, разбираются задачи повышенного уровня сложности. Здесь преследуется цель показать, как применить на практике физические законы. Здесь автор не сосредоточивал усилия на том, как надо оформлять решение задач – этому вас должны научить учителя физики. Главное – научиться правильным подходам к выявлению физической сущности рассматриваемых явлений. Также крайне важно научиться той математике (пока очень и очень ограниченной!), которая используется при решении данной физической задачи. Именно поэтому автор так много внимания уделяет так называемому «решению задач в буквах», в котором формируется специфическая культура физиков.

Далее предлагаются задачи для решения на уроках и для самостоятельного решения. Какие и где будут решаться – выберет преподаватель.

Этих задач достаточно много, и они разбиты на три уровня сложности.

Уровень А практически соответствует сложности задач, которые вы решаете в обычной школе. Здесь вы не найдете слишком оригинальных задач. Уровню В соответствует более сложные задачи. Практически все они оригинальные «авторские». Чтобы их решить, надо овладеть определенной техникой решения задач и обладать хорошими математическими навыками. Задачи группы С соответствуют так называемому «олимпиадному» уровню сложности. Для их решения зачастую требуется не только уверенная физическая (не в смысле ваших мускулов, хотя это тоже важно) и математическая подготовка, но и определенная смекалка.

Следует отметить, что все задачи из групп В и С прошли «боевое крещение». Причем решали ваши старшие товарищи, когда сдавали экзамен по физике при поступлении в 8 класс физико-математического лицея при МИФИ по дневной форме обучения. Этот экзамен проводится уже больше 10 лет и стандартно включает в себя 7 задач, из которых от трех до пяти соответствуют указанным выше уровням сложности. Так вот, были ученики и ученицы, которые абсолютно правильно решали все предложенные им задачи. Абсолютно искренне желаю и вам таких же успехов!

Автор с благодарностью рассмотрит все замечания и предложения, которые будут высказаны по поводу настоящего пособия.

ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Физика – наука, изучающая основные законы природы. Эти законы природы также называют фундаментальными. Установив фундаментальные законы природы, человек использует их в процессе своей жизнедеятельности:

Любой физический закон устанавливает причинную взаимосвязь между различными физическими величинами и их изменениями. Физической величиной называют характеристику материальных тел, систем тел, а также физических процессов, которую можно выразить количественно в соответствующих единицах.

Обычно все физические величины измеряются в Международной системе единиц, имеющей сокращенное название СИ – система интернациональная. Такая система единиц была построена в 1960– 1983 годах. Она основана на семи основных и двух дополнительных единицах. Мы будем использовать пока только три из них.

Они приведены в таблице 1.1.

Еще в 1790 г. была создана комиссия их лучших физиков и математиков того времени, которая выбрала в качестве единицы длины метр, а единицы времени – секунду.

Метр определялся как одна десятимиллионная часть четверти земного меридиана. Секунда определялась как 1/86400 часть средних солнечных суток. В настоящее время метр и секунда определяются иначе – более сложно, но зато и более точно. Об этом вы узнаете в старших классах.

Килограмм равен массе международного прототипа килограмма, который хранится в Международной палате мер и весов во Франции в г. Севре.

Чтобы было удобнее измерять «большие» физические величины, используют кратные единицы, которые в 10, 100, 1000 и т.д.

раз больше основных единиц измерения. Напротив, чтобы измерять «маленькие» физические величины, используют дольные единицы, которые в 10, 100, 1000 и т.д. раз меньше основных единиц измерения. Для обозначения кратных и дольных единиц используют специальные приставки, некоторые из которых приведены в таблицах 1.2 и 1.3.

Зачастую на практике (в повседневной жизни), кроме метра, секунды и килограмма, применяются и другие единицы измерения. Их обычно называют внесистемными. Некоторые внесистемные единицы, которые затем будут использоваться, приведены в таблице 1.4.

Примеры использования кратных и дольных единиц:

1) длина 1 км = 1000 м = 1·10P3 м = 10000 см = 1·10P5 см = 1·10P6 мм;

Как видите, писать много нулей неудобно. Лучше использовать для записи больших и малых чисел степень десяти, как это было показано в примерах. Это непривычно для учеников 7 класса, но такую запись надо обязательно освоить – потом будет проще.

Примеры использования внесистемных единиц:

2) объем 20 л = 20·0,001 мP3 = 0,02 мP3 или 20 л = 20·10P-3 мP3 = = 2·10P-2 мP = 7,2·10P3 с.

Задача 1.1. Лист плотной бумаги в форме квадрата со стороной 1 м разрезали на 100 одинаковых маленьких квадратиков. Какова площадь и сторона одного квадратика? Сколько времени потребуется для укладки всех квадратиков в ряд вплотную друг к другу, если на укладку двух квадратиков уходит 5 с?

рона одного квадратика будет равна 0,1 м.

Для нахождения времени укладки квадратиков используем пропорцию:

Используя основное свойство пропорции, найдем искомое время:

Ответ: 1·10P-2 мP2 250 с.

Задача 1.2. На поверхности воды разлилась нефть объемом V = = 1 мP3 Какую площадь займет нефтяное пятно, если толщина слоя нефти h = 2,5·10P-5 мм?

Решение. Нефтяное пятно представляет собой цилиндр с площадью основания S и высотой h – толщиной слоя нефти. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

V = Sh. Отсюда площадь пятна S =. Для получения числового ответа выразим теперь толщину слоя в СИ:

2,5·10P-5 мм = 2,5·10P-5 ·10P-3 м = 2,5·10P-5-3 м = 2,5·10P-8 м.

Теперь можно рассчитать площадь пятна:

Мы получили ответ в СИ. Но это число не слишком удобно употреблять в обыденной жизни. Представьте себе, что диктор телевидения, говоря об экологической катастрофе, зачитает, что разлилось нефтяное пятно площадью «четыре умножить на десять в седьмой степени квадратных метров». Сколько процентов населения поймет эту фразу? А в чем же лучше выразить полученную площадь? Попробуем в квадратных километрах:

Для того чтобы выразить найденную нами площадь пятна в квадратных километрах, необходимо 4·10P7 разделить на 1·10P 1.1. Вода в кастрюле закипела через 4,5 мин после включения плиты.

Выразите это время в секундах и часах.

1.2. Масса мальчика равна 52 кг. Выразите массу мальчика в граммах, миллиграммах и тоннах (правда, смешно?).

1.3. Муравей прополз расстояние 46 см. Выразите это расстояние в метрах, километрах, миллиметрах и нанометрах.

1.4. Завтрак длился 0,15 ч. Выразите длительность завтрака в минутах и секундах.

1.5. Стороны прямоугольника равны a = 20 см и b = 1 м. Определите площадь прямоугольника. Ответ запишите в мP2 и смP2 P P.

1.6. Площадь прямоугольника S = 80 смP2 Одна сторона прямоугольP.

ника равна a = 0,04 м. Найдите другую сторону прямоугольника. Ответ запишите в СИ.

1.7. По известной площади квадрата S = 81 ммP2 определите его стоP рону. Ответ запишите в СИ.

1.8. Длина ребра куба равна 4 см. Определите объем этого куба. Ответ запишите в мP3 и смP 1.9. Представьте результаты измерений физических величин в единицах СИ. При необходимости (если получается много нулей в записи) перепишите результат в виде степени с основанием 10, как это было показано выше в примерах: а) радиус Земли 6400 км; б) масса груженого автомобиля с прицепом 8 т; в) радиус атома водорода 0,051 нм; г) масса пылинки 0,05 мкг; д) масса мальчика 60000 г; е) дорога от школы до дома занимает 18 мин.

1.10. Диаметр некоторой молекулы равен 2·10P-7 см. Сколько таких P молекул нужно «уложить» в ряд, чтобы длина полученной цепочки была равна 1 мм?

1.11. Площадь квадрата равна S = 25·10P2 смP2 Чему равна сторона квадрата? Ответ запишите в СИ.

1.12. Куб имеет объем V = 8·10P3 ммP3 Чему равна длина ребра куба?

Ответ запишите в СИ.

высота H = 0,3 м. Определите объем сосуда. Ответ запишите в мP3 и смP3 P P.

1.14. Имелся квадрат площадью S = 100 смP2 Сторону этого квадрата уменьшили в 2 раза – получился новый квадрат. Чему равны его площадь и сторона? Ответ запишите в СИ.

1.15. Цилиндрический сосуд имеет объем V = 9·10P3 смP3 Высота сосу-P P.

да H = 0,45 м. Определите площадь основания сосуда. Ответ запишите в мP2 и смP 1.16. Из куба объемом V = 100 смP3 сделали сто тысяч маленьких куP биков. Каким получился объем кубика? Какой длины ряд (в метрах) можно сложить из этих кубиков за время tB1 = 2 ч, если на укладку двух кубиB ков уходит время tB2 = 1 с?

1.17. Куб, объем которого VB1 = 1 мP3 разделили на кубики объемом VB2 = 1 ммP3 каждый. Сколько кубиков получилось? Определите время укP ладки этих кубиков в ряд, если на укладку 500 кубиков уходит время t = 8 мин.

Путь – физическая величина, равная длине траектории от начального до конечного положения тела (материальной точки). Эта длина траектории соответствует определенному промежутку времени t. Обычно путь в физических задачах обозначают через S.

Равномерным называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути.

Скорость тела при равномерном движении является постоянной величиной и определяется соотношением:

смысл запомнить формулу (2.1) в виде своеобразной геометрической интерпретации (рис. 2.1). Тогда, чтобы выразить из (2.1) нужную величину, мер, прикрывая время t, получим: t =. Прикрывая, получим формулу (2.1).

В СИ путь измеряется в метрах, а время – в секундах. Поэтому единицей измерения скорости в СИ будет метр в секунду: [] = м/с.

Используют, конечно, для удобства и другие единицы измерения скорости: км/ч, см/с, км/с и т.д. Например, показания радара, который использует сотрудник ДПС для измерения скорости автомобилей, приводятся в км/ч. И было бы крайне неудобно, чтобы спидометр автомобиля показывал скорость в м/с.

Если скорость тела меняется со временем, то такое движение называют неравномерным. Для характеристики такого движения вводят понятие средней скорости как отношение всего пройденного пути sBобщ ко всему времени движения tBобщ:

Если известны пути sB1, sB2, sB3 …, проходимые телом за соответB B B ствующие промежутки времени tB1, tB2, tB3…, то среднюю скорость можно рассчитать по формуле:

Если из формулы (2.1) выразить путь, s дать графическую интерпретацию. При фиксированном значении скорости путь s График такой линейной функции представляет собой прямую линию, проходящую рис. 2.2. Причем, чем больше скорость, тем круче идет прямая линия. Это и понятно: за одно и то же время при большей скорости тело проходит и больший путь.

Прежде чем переходить рассмотрению примеров решения задач, обсудим некоторые моменты, касающиеся оформления решения физической задачи и, собственно, порядка решения задачи. В школе обычно требуют оформления, которое мы продемонстрируем на простой задаче.

Задача 2.1. Определить скорость некоторого объекта, который за время 0,5 ч прошел расстояние 3 км.

Найти:

Итак, какие действия мы здесь выполнили?

1. Записали данные задачи, используя для этого общепринятые обозначения физических величин: путь s, время t, скорость.

2. Выразили данные задачи в единицах Международной системы единиц, т.е. в СИ.

3. Используя обозначения физических величин, записали необходимое соотношение между ними.

4. В полученную формулу подставили числовые данные и произвели вычисления.

5. Записали ответ к задаче.

А теперь сделаем некоторое замечание по решению. Требование всегда представлять ответ в СИ не всегда является разумным.

Здесь удобнее было бы выразить скорость в км/ч:

Во-первых, так мы получаем точный, а не приближенный ответ. А во-вторых, в таких единицах измерения на практике проще представить такую скорость – она соответствует быстрому шагу или медленному бегу человека. По этой причине в дальнейшем мы будем использовать те единицы измерения, которые удобны в данной задаче.

Далее из-за экономии места автор не будет использовать порядок оформления задач, приведенный в задаче 2.1. Вы можете это сделать самостоятельно.

Задача 2.2. Тело, двигаясь с некоторой скоростью, проходит путь sB1 = 400 м за время tB1 = 50 с. Какой путь пройдет это тело за время tB2 = 120 с, двигаясь со скоростью в 2 раза меньшей, чем в первом случае?

Решение. Рассмотрим два способа решения этой задачи. Их можно условно назвать «решение в числах» и «решение в буквах».

Конечно, численный ответ в обоих случаях должен получиться одинаковым.

Первый способ. Определим сначала скорость, с которой тело проходит путь 400 м. Для этого по формуле (2.1) необходимо этот путь разделить на время прохождения этого пути:

По условию задачи скорость тела на следующем пути уменьшается в 2 раза, т.е. следующий путь тело пройдет со скоростью 4 м/с. Используя затем формулу (2.1) для нахождения другого пути (или, если нравится, фигуру на рис. 2.1), получим ответ:

Второй способ. Пусть B1 – скорость, с которой тело проходит путь sB1 за время tB1. По определению (2.1) при равномерном движеB B нии тела скорость 1 = 1. Пусть sB2 – путь, пройденный телом за вию задачи скорость на пути sB2 в два раза меньше скорости тела на пути sB1, т.е. 2 = 1. С учетом этого запишем, что путь s2 = 1 t2.

Подставим теперь выражение для скорости B1: s2 = s1 t 2.

Мы получили так называемый «буквенный» ответ. Теперь подм 120 с ставим числовые значения: s2 = Второй способ, наверное, показался вам гораздо более трудоемким! Но, получив конечную формулу, вы можете подставлять в нее любые значения (кроме tB1 = 0) и получать численный ответ. Вы можете ее запрограммировать, и за вас считать будет компьютер – сколько хотите раз. Наконец, вы просто практикуетесь в алгебраических преобразованиях, ведь без того, чтобы быстро выполнять так называемые «выкладки», все равно в дальнейшем не обойтись, если вы решили свою дальнейшую судьбу связать с изучением математики и физики. Кстати, попробуйте без калькулятора решить эту задачу первым способом при условии, что скорость тела уменьшилась не в 2, а в 3 раза.

Задача 2.3. Маленькая букашка ползет с постоянной скоростью по проволочному каркасу, имеющему форму квадрата. Время одного оборота букашки составляет t = 1 мин. Какое время затратит букашка на два оборота, если сторона квадрата будет в k = раза меньше, а свою скорость букашка уменьшит в n = 3 раза?

Решение. Эта задача сложнее предыдущей, так как неизвестно расстояние, пройденное букашкой. Придется его каким-то образом квадрата, а – первоначальная скорость букашки (рис. 2.3). Тогда время одного оборота В условии задачи не сказано, что результат должен быть обязательно представлен в СИ. Поэтому в качестве числового ответа вполне можно оставить 3 мин.

Замечание. Если вы еще не готовы к таким алгебраическим преобразованиям, а задачу решить очень надо, то можно поступить так.

Пусть сторона квадрата равна 1 м. Тогда в первом случае скорость букашки будет равна 4 м/мин, так как пройденный путь будет равен 4 м, а время прохождения этого пути 1 мин. Во втором случае скорость в 3 раза меньше и будет равна 4/3 м/мин. Пройденный путь во втором случае по условию будет таким же (два оборота сделает букашка). Осталось только разделить 4 м на 4/3 м/мин и получить ответ: = 3 мин.

Задача 2.4. За время tB1 = 4 ч моторная лодка проходит по течеB нию расстояние l = 48 км. За какое время она пройдет в обратном направлении половину этого расстояния, если скорость течения реки B0 = 3 км/ч.

Решение. Обозначим скорость лодки в стоячей воде через Bл. B При движении вниз по течению реки скорости лодки и течения складываются (рис. 2.4). Поэтому расстояние, проходимое лодкой вниз по течению, будет определяться выражением: l = (0 + л )t1. Выразим отсюда При движении вверх по течению скорости лодки и течения реки вычитаются, а по условию задачи лодка проходит вдвое меньший путь, поэтому будет справедлиl вым соотношение:

ние для скорости лодки в стоячей воде:

Из этого уравнения найдем искомое время:

Теперь подставим заданные числовые значения:

Задача 2.5. По правой полосе прямой дороги едет автобус со скоростью B1 = 10 м/c. По левой полосе его обгоняет автомобиль, движущийся со скоростью B2 = 72 км/ч. В течение какого времени = 20 м, а длина автомобиля LB2 = 4 м?

Решение. Эту задачу решим двумя способами.

Первый способ. На рис. 2.5 показаны начальное и конечное положения автобуса и автомобиля (конечное положение показано пунктиром). Из рисунка видно, что за время обгона t передняя биля – путь sB2 = LB1 + x + LB1 + LB2, где x – неизвестное расстояние.

Учитывая теперь, что путь sB1 = B1t, а путь sB2 = B2t, получим

B B B B B B

Второй способ. Этот способ основан на введении такого особого понятия как скорость сближения. В нашем случае автомобиль и автобус движутся в одном направлении, поэтому их скорость сближения будет равна разности их скоростей: сбл = 2 1. С такой скоростью должно быть пройдено расстояние, равное суммарной длине автобуса и автомобиля: s = LB1 + LB2. Тогда L1 + L2 = сбл t.

Отсюда получает искомое время обгона: t =.

Как видите, второй способ дает возможность существенно сократить математические преобразования!

Задача 2.6. Каскадер начинает бежать со скоростью B1 = 5 м/с B за движущимся грузовым автомобилем. Догнав его, каскадер прыгает в его кузов, и проезжает в автомобиле вдвое большее время, чем он его догонял. Найдите среднюю скорость каскадера в указанном движении, если скорость автомобиля B2 = 4 м/с. B Решение. Согласно определению (2.2) средняя скорость каскадера равна:

где sBобщ – путь каскадера за все его время движения tBобщ.

Особенностью этой задачи является тот факт, что не заданы ни общий путь, ни общее время движения. Заданы только скорости каскадера и автомобиля, а также соотношение между временем движения каскадера самого по себе и в кузове автомобиля.

Поступим следующим образом. Обозначим за t время, в течение которого каскадер, движущийся со скоростью B1, догонял гру- B зовик. Тогда по условию задачи 2t – время, в течение которого каскадер ехал в кузове грузовика со скоростью B2. Следовательно, обB B B щий путь каскадера в указанном движении будет равен сумме двух путей: sBобщ = sB1 + sB2 = B1t + B22t.

Все время движения tBобщ = t + 2t = 3t. Подставим теперь полуB ченные выражения в формулу для средней скорости:

Полученное выражение не содержит заданного первоначально времени t. Как говорят, оно «сократилось» в результате алгебраических преобразований! Конечно, при условии t 0.

Теперь подставим числовые значения:

Замечание. Если вы все еще не являетесь поклонником алгебраических преобразований (зря, конечно, – все равно потом придется им быть!), то можно поступить так. Пусть каскадер догнал автомобиль за 1 с. Тогда каскадер пробежал путь 5 1 с = 5 м. В автомобиле каскадер ехал вдвое большее время (т.е. 2 с) со скоростью 4 м/с. Следовательно, в кузове автомобиля он проехал путь 4 2 с = 8 м. Таким образом, весь путь равен 5 м + 8 м = 13 м, а все время движения равно 1 с + 2 с = 3 с. По определению средней скорости (2.2) получим:

Задача 2.7. Семиклассник проходит четыре одинаковых отрезка пути, уменьшая каждый раз время прохождения соответствующего участка пути вдвое. Скорость семиклассника на первом отрезке пути постоянна и равна = 0,15 м/с. Определите его среднюю скорость на всем пути.

Решение.

По определению средняя скорость движения семиклассника определяется отношением пройденного им пути к времени движения:

Обозначим длину одного отрезка пути через s. Тогда весь пройденный путь будет равен sBобщ = 4s. Общее время движения определяется суммой отдельных времен прохождения четырех участков пути: tBобщ = tB1 + tB2 + tB3 + tB4. Время движения на первом отрезке пути t1 =. По условию задачи семиклассник каждый раз уменьшает время прохождения следующего отрезка пути вдвое. Поэтому соответствующие времена прохождения остальных участков пути Подставляя найденные соотношения в формулу для средней скорости, получим:

Теперь преобразуем это выражение, «сокращая» введенную нами длину одного отрезка s:

Замечание. Если решение этой задачи опять показалось вам алгебраически слишком сложным (здесь этот факт действительно имеет место), то можно немного «схитрить». Правда, цена у этой хитрости тоже есть: вы не получите ответа «в буквах». Примем длину каждого отрезка пути равным 0,15 м (понятно, почему так?).

Время прохождения первого отрезка будет равно 1 с. Соответствующие времена прохождения следующих отрезков по условию задачи будут равны 0,5 с, 0,25 с и 0,125 с. Тогда весь путь будет равен 0,6 м, а все время движения будет равно 1,875 с. Искомая средняя скорость: 0,6 м : 1,875 с = 0,32 м/с.

графики зависимости пути от времени для двух автомобилей. Сколько времени бы догнать первый автомобиль, если они выехали одновременно в одном наt, ч Решение. По данным в задаче графикам определяем скорости первого и второго автомобилей:

Так как по условию задачи автомобили движутся в одном направлении, то их скорость сближения будет равна С такой скоростью должно быть пройдено первоначальное расстояние l. Тогда искомое время до встречи автомобилей Осталось только подставить числовые значения:

Итак, мы решили 8 задач по теме «Механическое движение».

Теперь можно сформулировать предпочтительный порядок решения физических задач из 10 пунктов.

1. Запишите данные задачи «в буквах» и числах, используя для этого общепринятые обозначения физических величин и удобные для данной задачи единицы их измерения.

2. Если необходимо, сделайте рисунок к задаче (вопрос о необходимости рисунка решается сам собой по мере увеличения Вашего опыта по решению задач).

3. Напишите необходимые физические формулы и соотношения по теме задачи.

4. Запишите уравнения, связывающие известные величины и величины, которые требуется определить.

5. Если число неизвестных величин больше количества уравнений, то необходимо, используя условие задачи, составьте дополнительные уравнения.

6. Полученное уравнение (или систему уравнений, что пока достаточно редко Вам будет встречаться) желательно решите что называется «в буквах».

7. В полученную формулу подставьте числовые данные в согласованных единицах измерения и определите численное значение искомой величины. После проведения расчетов округлите (если это необходимо) полученное число. Для записи больших (или малых) чисел крайне желательно использовать степень с основанием 10. При желании можно также использовать приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц (см. тему настоящего пособия).

8. Проверьте единицы измерения искомых физических величин.

9. Запишите ответ «в буквах и числах», обязательно указывая единицы измерения.

10. Подумайте над вопросом о более простом способе решения данной задачи (помните задачу 2.5?).

Уровень А 2.1. Велосипедист едет со скоростью 2,5 м/с. Выразите эту скорость в км/ч и в см/с. Какая система единиц измерения больше подходит к этому примеру?

2.2. Скорость первого объекта 15 м/с, а второго – 72 км/ч. Скорость какого объекта больше? Приведите примеры объектов, которые могут двигаться с такими скоростями.

2.3. Определите среднюю скорость самолета, который за промежуток времени 0,5 ч пролетел расстояние 250 км. Выразите эту скорость в м/с.

2.4. В течение 20 с автомобиль двигался равномерно со скоростью 72 км/ч. Какой путь проехал автомобиль за это время?

2.5. Трактор за первые 5 мин проехал 600 м. Какой путь он проходит за 0,5 ч, двигаясь с той же скоростью? Ответ запишите в метрах и в километрах.

2.6. Некоторый участок пути один велосипедист проехал за 10 с, двигаясь со скоростью 4 м/с. Другой велосипедист этот же участок пути проехал за 8 с. Какова средняя скорость второго велосипедиста на данном участке пути?

2.7. Поезд движется со скоростью 90 км/ч. За какое время мимо неподвижно стоящего на платформе пассажира проедут первые три вагона, если длина каждого вагона равна 24 м, а расстояние между вагонами равно 1 м? Ответ выразите в секундах.

2.8. Поезд движется со скоростью 80 км/ч. За какое время мимо неподвижно стоящего на платформе пассажира проедут последние четыре вагона, если длина каждого вагона равна 28 м, а расстояние между вагонами равно 1 м? Ответ выразите в секундах.

2.9. В подрывной технике употребляют сгорающий с небольшой скоростью бикфордов шнур. Какой длины надо взять шнур, чтобы успеть отбежать на расстояние 300 м, после того, как его зажгут? Скорость бега 5 м/с, а пламя по шнуру распространяется со скоростью 0,8 см/с.

2.10. Мотоциклист за первые 10 мин проехал 5 км, а за следующие 8 мин – 9,6 км. Чему равна средняя скорость мотоциклиста на всем пути?

2.11. Определите среднюю скорость автобуса на всем пути, если первые 6 км пути он проехал за 0,2 ч, а следующие 10000 м пути – за 18 мин.

2.12. Теплоход по течению двигался со скоростью 15 км/ч, а против течения – со скоростью 10 км/ч. С какой средней скоростью теплоход прошел весь путь туда и обратно, если расстояние между двумя пристанями равно 8 км?

2.13. Гепард, мчащийся со скоростью 108 км/ч, догоняет антилопугну, которая находится в 100 м от него и убегает со скоростью 20 м/с. Через какое время произойдет их встреча?

2.14. Из двух противоположных вершин квадратного каркаса со стороной a = 40 см одновременно начинают движение навстречу друг другу два маленьких жучка. Первый жучок движется из левой верхней вершины А со скоростью B1 = 1 мм/с, второй – из вершины В со скоростью B2 = 2 мм/с. На каком расстоянии от вершины А (считая вдоль каркаса по часовой стрелке) встретятся жучки первый раз?

2.15. Из двух противоположных вершин квадратного каркаса со стороной a = 30 см одновременно начинают движение друг за другом два маленьких жучка. Первый жучок движется из правой нижней вершины А со скоростью B1 = 1 мм/с, второй – из вершины В со скоростью B2 = 3 мм/с.

На каком расстоянии от вершины В (считая вдоль каркаса по часовой стрелке) встретятся жучки первый раз?

2.16. Тело, двигаясь с некоторой скоростью, проходит путь sB1 = 0,2 км за время tB1= 50 с. Какой путь пройдет это тело за время tB2 = 20 с, двигаясь со скоростью в 2 раза большей, чем в первом случае?

2.17. Маленькая букашка ползет с постоянной скоростью по проволочному каркасу, имеющему форму квадрата. Время двух оборотов букашки t = 6 мин. Какое время затратит букашка на один оборот, если сторону квадрата уменьшить в n = 3 раза, а свою скорость букашка увеличит в k = 2 раза?

2.18. Автомобиль 2 ч двигался со скоростью 15 м/с, а затем проехал еще 72 км со скоростью 20 м/с. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

2.19. Неопознанный летательный объект (НЛО), совершая разведывательный полет вокруг Земли с целью изучения интеллектуальных способностей учеников 7-го класса, двигался со скоростью B1 = 7000 м/с в течеB последок он пролетел расстояние L = 600 км за время tB3 = 140 c. ОпредеB лите среднюю скорость НЛО на всем пути.

2.20. Первую половину пути автомобиль проехал с постоянной скоростью B1 = 50 км/ч, а вторую половину пути – с постоянной скоростью B2 = 60 км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

2.21. Первую половину всего времени движения автомобиль проехал с постоянной скоростью B1 = 50 км/ч, а вторую половину этого времени – с постоянной скоростью B2 = 60 км/ч. Определите среднюю скорость авB томобиля за все время движения.

лите среднюю скорость автомобиля за все время движения.

2.23. Автомобиль проехал первую четверть пути со скоростью B1 = B = 18 м/с, а оставшийся участок пути – со скоростью B2 = 72 км/ч. ОпредеB лите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

2.24. На прохождение некоторого расстояния ученик затрачивает время tB1 10 с. На прохождение в 5 раз большего расстояния тот же учеP= ник затрачивает время на t = 15 с больше. Во сколько раз при этом увеличивается средняя скорость ученика?

2.25. Тело движется из пункта А в пункт В через промежуточный пункт С. Двигаясь из пункта А до пункта С с постоянной скоростью, тело проходит путь s = 3 км за время t = 1 ч. Увеличивая затем скорость в 3 раза, тело затрачивает на движение из С в В вдвое меньшее время. Чему равна средняя скорость тела при движении из пункта А в пункт В?

ции в том же направлении проезжает экспресс со скоростью B2 = 144 км/ч. B На каком расстоянии от станции “Везенье” экспресс догонит товарный поезд?

2.27. Первый пешеход проходит расстояние s = 8 км между пунктами А и В за время tB1 2 ч, в второй – за время tB2 4 ч. На каком расстоянии от пункта А встретятся пешеходы, если выйдут одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В? Скорости пешеходов постоянны.

2.28. Сколько времени пассажир, сидящий у окна поезда, движущегося со скоростью B1 = 36 км/ч, будет видеть обгоняющий поезд длиной L = 2.29. По двум параллельным сторонам дороги едут навстречу друг ветственно. В течение какого времени грузовик проезжает мимо мотоцикла, если длина грузовика LB1 = 20 м, а длина мотоцикла LB2 = 2 м?

2.30. За время tB1 = 4 ч моторная лодка проходит по течению расстояB ние l = 48 км. За какое время она пройдет в обратном направлении половину этого расстояния, если скорость течения реки B0 = 3 км/ч. B 2.31. За время tB1 = 1,5 ч моторная лодка проходит против течения расB стояние l = 18 км. За какое время она пройдет в обратном направлении 2.32. На рис. 2.7 представлены графики зависимости пути от времени для двух автомобилей. Сколько времени потребуется первому автомобилю, чтобы догнать второй автомобиль, если они выехали одновременно в 2.33. Первый пешеход проходит расстояние s = 4 км между пунктами А и В за время tB1 1 ч, в второй – за время tB2 3 ч. На каком расстоянии от пункта А встретятся пешеходы, если выйдут одновременно: первый из пункта А в направлении В, второй из В в направлении от А? Скорости пешеходов постоянны.

2.34. На рис. 2.8 представлен график зависимости пути s, пройденного муравьем, от времени t. Определите скорость муравья на временных интервалах: (0; 3 с), (3 с; 4 с), (4 с; 6 с мин) и среднюю скорость прохождения пути за время 5 с.

2.35. Из пунктов А и В в одном направлении одновременно выехали два автомобиля: легковой из пункта А и грузовой из пункта В. Расстояние между пунктами LB1 = 50 км. Скорость грузового автомобиля Bг = 12 м/с.

Определите скорость легкового автомобиля, если известно, что он догнал грузовой автомобиль на расстоянии LB2 = 36 км от пункта В. Скорости авB томобилей считать постоянными.

2.36. Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля: грузовой из пункта А и легковой из пункта В. Известно, что встреча автомобилей произошла на расстоянии LB1 = 12,6 км от пункB та А. Определите скорость легкового автомобиля, если расстояние между городами L = 41 км, а скорость грузового автомобиля Bг = 14 м/с. СкороB сти автомобилей считать постоянными.

2.37. Два семиклассника движутся навстречу друг другу так, что за каждые tB1 = 10 с расстояние между ними уменьшается на sB1 = 16 м. Если дите скорости семиклассников.

2.38. Если два семиклассника от линии старта на стадионе побегут по кругу в одном направлении, то расстояние между ними будет увеличиваться за каждые tB1 = 2 c на sB1 = 4 м. Если же они побегут в разные стороB B ны (один из них что-то перепутал), то за каждые tB2 = 3 c расстояние между ними будет увеличиваться на sB2 = 10 м. За какое время наиболее быстрый семиклассник вернется к линии старта, если длина беговой дорожки L = 300 м?

2.39. Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно выехали две машины. В промежуточном пункте С они встретились и продолжили свое движение. Первая машина (выехавшая из пункта А) приехала в пункт В через tB1 = 4 ч после встречи. Вторая машина приехала в пункт А спустя tB2 = 1 ч после встречи. Определите скорость второй машины, если скорость первой машины B1 = 50 км/ч. Скорости машин считать постоянными.

2.40. Средняя скорость мотоциклиста на всем пути Bср = 90 км/ч. ПерB вую треть пути мотоциклист проехал со скоростью B1 = 60 км/ч. ОпредеB лите скорость мотоциклиста на остальном пути.

2.41. Средняя скорость поезда на всем пути Bср = 60 км/ч. Две трети пути поезд проехал со скоростью B1= 90 км/ч. Определите скорость поезда на остальном пути.

2.42. Каскадер увидел приближающийся к нему автомобиль и побежал навстречу ему со скоростью B1 = 4 м/с. Добежав до автомобиля, касB кадер прыгает на его крышу и едет втрое большее время, чем бежал до автомобиля. Найдите среднюю скорость каскадера в указанном движении, если скорость автомобиля B2 = 3 м/с.

2.43. Семиклассник проходит три одинаковых отрезка пути, увеличивая каждый раз время прохождения соответствующего участка пути вдвое. Скорость семиклассника на последнем отрезке пути = 0,7 м/с.

Определите его среднюю скорость на всем пути.

2.44. Скорость автомобиля на первой половине пути B1 = 20 м/с, а на второй половине пути B2 = 10 м/с. Во сколько раз средняя скорость на первых 3/4 пути больше средней скорости на всем пути?

2.45. Букашка начинает движение из одной вершины квадрата со скоростью = 1,5 мм/с. Пройдя каждую сторону квадрата, она отдыхает столько времени, сколько двигалась по этой стороне. При этом скорость букашки на следующей стороне квадрата в 2 раза больше, чем на предыдущей стороне. Определите среднюю скорость букашки на первом обороте (с учетом отдыха в конце первого оборота).

2.46. Букашка начинает движение из одной из вершин квадрата со скоростью = 4,5 мм/с. Пройдя каждую сторону квадрата, она устраивает себе отдых на время, равное половине времени движения по этой стороне.

При этом скорость букашки на следующей стороне квадрата в 2 раза меньше, чем на предыдущей стороне. Определите среднюю скорость букашки на первом обороте.

2.47. Некоторый объект делает пять оборотов, увеличивая с каждым оборотом свою скорость вдвое. Считая скорость объекта на каждом обороте постоянной и пренебрегая временем, необходимым для изменения скорости, определите, во сколько раз средняя скорость на последних двух оборотах больше средней скорости на первых трех оборотах.

2.48. Некоторый объект делает пять оборотов, уменьшая с каждым оборотом свою скорость вдвое. Считая скорость объекта на каждом обороте постоянной и пренебрегая временем, необходимым для изменения скорости, определите, во сколько раз средняя скорость на первых трех оборотах больше средней скорости на последних двух оборотах.

2.49. Два объекта одновременно отправляются из пункта А в пункт В.

Первый объект первую треть всего времени своего движения двигался со скоростью = 20 м/с в 2 раза меньшей, чем остальное время. Второй же объект первую половину всего пути проехал со скоростью = 20 м/с в 3 раза большей, чем вторую его половину. Во сколько раз отличаются времена движения объектов из пункта А в пункт В?

2.50. Два объекта одновременно отправляются из пункта А в пункт В.

Первый объект первые две трети всего пути двигался со скоростью = 20 м/с в 2 раза большей, чем последнюю его треть. Второй же объект первую половину всего времени движения проехал со скоростью = = 20 м/с в 4 раза меньшей, чем оставшееся время. Во сколько раз отличаются времена движения объектов из пункта А в пункт В?

2.51. Скорости мотоциклиста на двух участках траектории находятся в соотношении B2:B1 = 3:4. Соотношение длин участков траектории sB1:sB2 = = 1:2. Определите среднюю скорость мотоциклиста на всей длине траектории, если на ее первом участке скорость B1 = 10 м/с.

2.52. Скорости мотоциклиста на двух участках траектории находятся в соотношении B1:B2 = 5:4. Соотношение длин участков траектории sB1:sB2 = = 3:2. Определите среднюю скорость мотоциклиста на всей длине траектории, если на ее втором участке скорость B2 = 22 м/с.

2.53. На карте маршрут движения семиклассника обозначен треугольником АВС (САВ = 30°, АСВ = 90°). Вдоль катета СВ движение происходит со скоростью = 1 м/с, а вдоль гипотенузы ВА – со скоростью в три раза большей. Изобразите траекторию семиклассника. Определите среднюю скорость семиклассника на пути СВА.

2.54. На карте маршрут движения семиклассника обозначен треугольником ВАС (АВС = 30°, ВСА = 90°). Вдоль гипотенузы ВА движение происходит со скоростью = 2 м/с, а вдоль катета АС – со скоростью в три раза меньшей. Определите среднюю скорость семиклассника на пути ВАС.

2.55. Мотоциклист движется по окружности, практически мгновенно увеличивая свою скорость после каждого оборота на 1 м/с. Какова будет его средняя скорость на трех оборотах, если первый оборот он проходит со скоростью = 5 м/с?

2.56. Мотоциклист движется по окружности, практически мгновенно уменьшая свою скорость после каждого оборота на 2 м/с. Какова будет его средняя скорость на четырех оборотах, если последний оборот он проходит со скоростью = 10 м/с?

Тема 3. МАССА И ПЛОТНОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕЛ Инертность – свойство тела, состоящее в том, что для изменения его скорости при воздействии на него другого тела требуется некоторый промежуток времени. Если тело при взаимодействии с другим телом меньше изменяет свою скорость, то говорят, что оно более инертно.

Масса тела – количественная мера инертности тел; обозначается, как правило, буквой m или M.

За единицу массы в СИ принят 1 кг: [m] = 1 кг.

Часто используемыми производными единицами измерения массы являются:

один грамм (1 г = 0,001 кг = 10P-3 кг);

один миллиграмм (1 мг = 0,000001 кг = 10P-6 кг);

один центнер (1 ц = 100 кг = 10P2 кг);

одна тонна (1 т = 1000 кг = 10P3 кг).

Важным свойством массы является ее аддитивность (от английского to add – добавлять): масса системы тел равна сумме масс всех тел, входящих в эту систему. При этом существует закон сохранения массы: если ни одно из тел системы не взаимодействует с телами, не входящими в эту систему, то суммарная масса тел этой системы остается неизменной при любых процессах, происходящих в этой системе. Следует отметить, что такие системы называют замкнутыми.

Плотность однородного тела – тела, физические свойства которого одинаковы по всему его объему, определяется отношением массы тела m к его объему V:

Запомнить и применять эту формулу можно, используя геометрическую интерпретацию, представленную на рис. 3.1. Например, чтобы выразить объем, В СИ плотность измеряют в килограммах на кубический метр:

[] = 3. Однако зачастую более удобно использовать другие едим ницы измерения плотности, например.

Полезно запомнить, что 1 3 = 1000 3.

Если физические свойства тела неодинаковы по всему его объему, то такое тело называют неоднородным. Средняя плотность неоднородного тела определяется соотношением:

щий) объем.

Если известны массы mB1, mB2, mB3 … отдельных частей тела, имеющих соответственно объемы VB1, VB2, VB3 …, то среднюю плотB B B ность неоднородного тела можно рассчитать по формуле:

Необходимые нам в дальнейшем плотности некоторых твердых тел и жидкостей приведены в таблице 3.1. Более полный список вы можете найти в своем школьном задачнике или в физическом справочнике.

Вещество Плотность, Вещество Плотность, Вещество Плотность, Задача 3.1. Первая тележка массой mB1 = 2 кг, которая двигалась со скоростью B1 = 2 м/с, столкнулась со второй тележкой, первонаB чально покоящейся. Вследствие этого столкновения первая тележка остановилась, а вторая начала двигаться со скоростью B2 = 0,4 м/с. B Какова масса второй тележки?

Решение. Указанная в условии задачи ситуация схематично показана на рис. 3.2.

При взаимодействии тележек из опыта известно, что произведения масс тележек на соответствующие величины изменения скорости тележек должны быть равны (об этом опыте подробно рассказано в Вашем школьном учебнике, по этой причине автор пособия решил не повторяться). В нашем случае это утверждение запишется так:

B B B B B B

Отсюда находится масса второй тележки:

Ответ: m2 = 10 кг.

Задача 3.2. Сплошной стеклянный куб имеет массу m = 857,5 г.

Определите плотность стекла, если площадь всей поверхности куба S = 294 смP2 Ответ выразить в СИ.

Решение. Куб имеет шесть граней, поэтому площадь одной грани куба будет равна:

Площадь грани куба равна квадрату длины ребра куба а, поэтому длина ребра куба будет равна а = 7 см. Объем куба равен произведению его трех ребер, т.е. объем Так как по условию задачи куб сплошной, то его можно считать однородным телом. Согласно определению, плотность стекла будет равна:

Ответ: = 2500 кг/мP P.

Задача 3.3. Брусок квадратного сечения имеет массу m = 40 кг.

Какой станет масса бруска, если его длину увеличить в n = 6 раз, а каждую сторону квадрата уменьшить в k = 2 раза? Плотность материала бруска остается неизменной.

Решение. По смыслу задачи брусок здесь также является однородным телом. Введем некоторые обозначения. Пусть a – сторона квадрата, l – длина бруска, – плотность бруска. Нижний индекс «2» будем использовать для обозначения параметров нового бруска. Тогда масса бруска определяется как произведение плотности бруска на его объем: m = V. Объем бруска равен произведению трех его сторон, т.е. V = a a l.Теперь длину бруска увеличим в n раз: l 2 = nl, а сторону квадрата уменьшим в k раз: aB2 = a/k. Так как плотность бруска остается неизменной, то новая масса бруска будет равна:

Учитывая теперь, что первоначальная масса бруска m = a a l = a 2l, получим новую массу:

Теперь подставим числовые значения:

Какова плотность вещества, заполняющего остальной объем этого тела?

вестную плотность второй части тела. По условию задачи треть объема тела занимает вещество с плотностью B1, а две трети – ве- B щество с плотностью B2. Тогда m1 = 1 – масса первой части, а m2 = 2 – масса второй части. Масса тела является суммой масс составляющих его частей (вспомните свойство аддитивности массы): m = mB1 + mB2. Подставляя выражения для масс, получим:

Решая это уравнение относительно неизвестной плотности, найдем искомую плотность вещества:

Тогда = 3 смP3 олова и VB2 = 8 смP3 Плотность олова B1 = 7,3 г/смP свинца B2 = 11,3 г/смP P.

Решение. Здесь разберем пример решения задачи на определение средней плотности тела. Несмотря на то, что сплав из свинца и олова, по сути, является однородным телом, формально мы можем считать, что имеем дело с двумя частями одного тела с известными объемами и плотностями. Используем определение средней плотности как отношение общей массы тела к суммарному объему отдельных его частей:

Масса первой части (из олова) равна произведению плотности олова на его объем: m1 = 1V1. Аналогично масса второй части (из свинца) равна m2 = 2V2. Подставляя в формулу для средней плотности, получим:

Теперь осталось только подставить числовые значения:

Задача 3.6. Кубик изготовлен из материала с плотностью B1 = 3 г/смP3 В кубике сделали выемP.

ку, объем которой составляет 1/3 объема кубика, и заполнили ее материалом с некоторой плотностью B2 (рис. 3.2). Известно, что средняя плотB ность такого кубика Bср = 4 г/смP3 Чему плотность материала B2?

Решение. Для решения задачи используем формулу для средней плотности (3.3). По условию задачи тело состоит из двух частей с различными плотностями и объемами.

Обозначим объем кубика через V. Тогда объем материала с плотностью B1 будет равен 2V/3, а объем выемки будет равен V/3.

Масса первой части m1 = 1, масса второй части m 2 = 2. Тогда средняя плотность будет определяться выражением:

уравнения найдем искомую плотность: 2 = 3 ср 2. Подставляя числовые значения, получим B2 = 6 г/смP3 P.

Задача 3.7. Из двух металлов с плотностями B1 = 4 г/смP3 и P B2 = 9 г/смP3 изготовили сплав массой m = 10 кг. Плотность этого сплава = 6 г/смP3 Определите массу первого металла в сплаве.

Решение. Эта задача похожа на задачу 3.5, но сложнее ее. Как уже отмечалось, плотность сплава по сути является средней плотm + m ностью и определяется соотношением (3.3): = 1. Выразим объемы металлов как отношение масс к объему: V1 =,V2 = 2.

Тогда получим: =. Очевидно, масса второго металла в сплаве m2 = m m1. Отсюда получаем уравнение относительно неизвестной массы первого металла:

Сначала преобразуем это линейное уравнение к стандартной форме:

Отсюда получаем Осталось только подставить числовые значения (в СИ значения плотности не надо переводить – будет только более громоздко):

Уровень А 3.1. Плотность некоторого вещества равна 2 г/смP3 Выразите эту плотP.

ность в кг/мP 3.2. Определите плотность металла массой 26,7 кг и объемом 3000 смP3 P.

Что это за металл?

3.3. В кузов одного автомобиля помещается 3 мP3 песка. Какую массу песка увезут 20 таких автомобилей? Плотность песка 1,5 г/смP3 P.

3.4. При строительстве железнодорожной линии вынули 6000 мP3 грун- P та, плотность которого 1400 кг/мP3 Сколько грузовых автомобилей можно нагрузить этим грунтом, если грузоподъемность одного автомобиля 12 т?

3.5. Определите массу медного бруска, имеющего длину 100 см, высоту 30 см и ширину 20 см.

3.6. На сколько масса 1 мP3 воздуха меньше массы 1 дмP3 алюминия?

Плотность воздуха 1,29 кг/мP 3.7. На прокатном стане прокатывают стальные листы размером 6 м 15 м. Масса каждого листа 355,5 кг. Какова толщина одного стального листа?

3.8. Два мальчика стоят на роликовых коньках вплотную друг к другу.

Второй мальчик толкает первого. В результате второй мальчик приобретает скорость B2 = 40 см/с. Каким будет расстояние между мальчиками через время t = 6 с, если масса первого мальчика в 1,2 раза меньше? Трение не учитывать.

3.9. Два мальчика стоят на роликовых коньках вплотную друг к другу.

Первый мальчик толкает второго. В результате первый мальчик приобретает скорость B1 = 70 см/с. Каким будет расстояние между мальчиками через время t = 5 с, если масса второго мальчика в 1,4 раза больше? Трение не учитывать.

3.10. Определите массу воды, полученной при таянии льда объемом 100 литров.

3.11. Определите массу льда, полученного при замерзании воды объемом 10 л.

3.12. Определите массу изделия объемом V = 200 смP3 если известно, = 3000 кг/мP3, а остальная часть – из материала плотностью B2 = 4500 кг/мP3.

3.13. Определите массу изделия объемом V = 300 смP3 если известно, что три четверти объема изделия выполнено из материала плотностью B1 = B = 2000 кг/мP3 а остальная часть – из материала плотностью B2 = 6000 кг/мP 3.14. Два тела сделаны из одного и того же материала. При этом масса первого тела на m = 400 г меньше массы второго тела, а объем второго тела в 6 раз больше объема первого тела. Чему равна масса второго тела?

3.15. Два тела сделаны из одного и того же материала. При этом масса первого тела на m = 1 кг больше массы второго тела, а объем второго тела в 3 раза меньше объема первого тела. Чему равна масса второго тела?

золота и VB2 = 5 смP3 Плотность золота B1 = 19,3 г/смP3 серебра B2 = 10,5 г/смP P.

3.17. Масса сплошного куба, сделанного из некоторого вещества, равна 8 кг. Какую массу будет иметь куб из этого же вещества, но с вдвое меньшим ребром?

3.18. Масса сплошного куба, сделанного из некоторого вещества, равна 1 кг. Какую массу будет иметь куб из этого же вещества, у которого площадь одной боковой грани в 16 раз больше.

3.19. Брусок квадратного сечения имеет массу m = 180 г. Какой станет масса бруска, если его длину уменьшить в k = 4 раз, а каждую сторону квадрата увеличить в n = 2 раза?

3.20. Масса стального кубика на 23 г больше массы алюминиевого кубика. Определите массу стального кубика, если его объем в 4 раза меньше объема алюминиевого кубика.

3.21. Масса алюминиевого кубика на 57 г больше массы железного кубика. Определите массу алюминиевого кубика, если его объем в 5 раз больше объема железного кубика.

3.22. На поверхность воды разлили нефть массой m = 900 кг. Какую площадь займет нефть, если она растеклась тонким слоем толщиной d = 1/4000 мм? Ответ выразите в квадратных километрах.

3.23. Железный кубик с ребром a = 8 см снаружи покрыли тонким слоем олова массой m = 650 мг. Какова толщина слоя олова? Ответ выразите в миллиметрах.

3.24. Какую массу имеет сплошной куб, если площадь его поверхности S = 150 смP2 а плотность вещества куба = 2700 кг/мP Уровень С 3.25. Масса второго бруска в 4 раза больше массы первого бруска, а объем второго бруска больше объема первого в 3 раза. По заданной плотности B2 = 3 г/смP3 второго бруска определите плотность B1 первого бруP ска.

3.26. Масса первого бруска в 2 раза больше массы второго бруска, а объем второго бруска больше объема первого в 3 раза. По заданной плотности B1 = 2,4 г/смP3 первого бруска определите плотность B2 второго бруP ска.

3.27. Первый брусок имеет массу m = 90 г. Второй брусок имеет высоту в 3 раза большую, длину в 6 раз меньшую, а ширину в 5 раз меньшую, чем у первого бруска. Определите массу второго бруска, если его плотность втрое больше, чем у первого бруска.

3.28. Первый брусок имеет массу m = 120 г. Второй брусок имеет высоту в 4 раза меньшую, длину в 3 раза меньшую, а ширину в 5 раз большую, чем у первого бруска. Определите массу второго бруска, если его плотность вдвое меньше, чем у первого бруска.

3.29. Масса первого изделия в 2 раза больше массы второго изделия, а их объемы находятся в соотношении VB1:VB2 = 1:3. Плотность первого издеB B лия B1 = 4 г/смP3 Какова будет средняя плотность “составного” тела, если два изделия склеить? Массой и объемом клея пренебречь.

3.30. Масса первого изделия в 3 раза меньше массы второго изделия, а их объемы находятся в соотношении VB1:VB2 = 2:1. Плотность первого тела B1 = 1,8 г/смP3 Какова будет средняя плотность “составного” тела, если два изделия склеить? Массой и объемом клея пренебречь.

3.31. Тело имеет массу m = 2 кг и объем V = 0,3 дмP3 Треть объема те- P.

ла заполнено веществом с плотностью B1 = 2 г/смP3 Какова плотность веP.

щества, заполняющего остальной объем этого тела?

3.32. Кубик с ребром a = 20 см сделан из материала с плотностью = 3000 кг/мP3. Однако внутри кубика имеется воздушная полость, поэтоP му его средняя плотность Bср = 1200 кг/мP3. Определите объем этой возP душной полости. Во сколько раз изменится средняя плотность кубика, если полость целиком заполнить водой? Массой воздуха внутри полости можно пренебречь.

бике сделали выемку, объем которой составляет 40 % объема кубика, и заполнили ее материалом с плотностью B1 = 5 г/смP3 Чему стала равна P.

средняя плотность кубика?

3.34. Изделие, склеенное из трех различных частей, имеет объем V = 600 смP3. Объемы частей находятся в соотношении VB1:VB2:VB3 = 2:3:5, а их плотности – в соотношении B1:B2:B3 = 4:3:1. Чему равна масса изделия, 3.35. Изделие, склеенное из трех различных частей, имеет объем V = 900 смP3. Объемы частей находятся в соотношении VB1:VB2:VB3 = 5:3:1, а их плотности – в соотношении B1:B2:B3 = 1:2:5. Чему равна масса изделия, если плотность первой части B1 = 500 кг/мP3. P Тема 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТЕЛ.

СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. ДАВЛЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Сила – физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия одного тела на другое.

Общепринятое обозначение силы – F. За единицу силы в СИ принят ньютон: [F] = Н. Приложенная к телу сила изменяет его скорость. Сила в 1 Н – такая сила, которая за промежуток времени 1 с изменяет скорость тела массой 1 кг на 1 м/с при его прямолинейном движении.

Сила является векторной величиной – она характеризуется числовым значением и направлением. Кроме того, сила всегда имеет точку приложения. Как правило, направление силы на рисунках указывают стрелкой, рядом с которой указывают ее обозначение.

Если к телу приложено несколько сил, то часто используют понятие равнодействующей силы. Любая равнодействующая сила вызывает такое же движение тела, как все отдельные силы, действующие на тело совместно. Говорят, что равнодействующая сила равна сумме сил, действующих на тело. Ввиду того, что сила является векторной величиной, для сложения отдельных используют особые правила, отливающиеся от давно знакомых Вам правил сложения в математике. Поясним это на конкретных примерах сложения сил, действующих вдоль одной прямой (более сложные случаи Вы будете рассматривать в старших классах, после изучения соответствующих разделов математики).

Пусть к телу приложены две силы FB1 и FB2, направленные вдоль одной прямой в одну сторону (рис. 4.1, а).

Тогда равнодействующая сила направлена в ту же сторону, а ее величина равна сумме величин этих сил:

Пусть теперь к телу приложены две силы, действующие вдоль одной прямой, но направленные в противоположные стороны (рис.

4.1, б) и пусть для определенности FB1 > FB2. В этом случае равнодейB B ствующая сила направлена в сторону большей силы FB1, а ее велиB чина равна разности величин сил:

Замечание. Если на тело в одном направлении действуют не две силы, а больше, то поступают аналогичным образом. В примерах решения задач такие ситуации будут рассмотрены.

Кратко рассмотрим силы, с которыми приходится иметь дело при изучении физики в 7 классе.

Сила, с которой Земля притягивает к себе тела, называется силой тяжести. В отсутствии сопротивления воздуха все тела вблизи поверхности Земли свободно падают, увеличивая свою скорость за 1 с на 9,8 м/с. Характеристикой такого движения является ускорение свободного падения, обозначаемое буквой g. Сила тяжести определяется как произведение массы тела m на ускорение свободного падения g: Fт = mg, где g = 9,8 Н/кг. Для удобства расчета иногда принимают g = 10 Н/кг. На рисунках силу тяжести всегда изображают стрелкой, направленной вертикально вниз (рис. 4.2).

Силы упругости возникают при упругой деформации тел, т.е.

при изменении формы или размеров этих тел. Именно силы упругости не дают возможности этой книжке провалиться сквозь стол, а нити и обозначают T. Силу же упругости, возникающую при малых деформациях опор (например, стола), на которых находятся тела, называют нормальной реакцией опоры и обозначают буквой N. Вам делать это не обязательно, но для будущего полезно.

ведлив закон Гука: сила упругости прямо пропорциональна упругой деформации этих тел. В школе обычно этот закон используют для решения задач с пружинами, которые могут либо растягиваться, либо сжиматься. Направление роны пружины, будем определять таким образом: если пружина растянута, то сила упругости будет направлена от тела к пружине; если пружина сжата – от пружины к телу (рис. 4.3). Рис. 4. Закон Гука для пружины можно записать в виде формулы. Если величину деформации обозначить за x (x 0), а положительный коэффициент пропорциональности за k, то Заметим, что коэффициент k называется коэффициентом жесткости пружины. В СИ он измеряется в Н/м.

Силы трения возникают при взаимодействии между соприкасающимися телами и препятствуют их движению друг относительно друга. Силы трения можно разбить на две группы: силы сухого трения, которые возникает между поверхностями твердых тел, и силы трения (сопротивления), которые возникают при движении тел в жидкостях или в воздухе. Обычно считается, что силы трения препятствуют движению тел. Однако для автомобиля сила сухого трения является как раз «движущей» силой! Что касается решения задач, у учащихся обычно не возникает проблем с выбором направления силы трения.

Опыт показывает, что результат действия тела на опору зависит как от площади соприкосновения тела с опорой, так и от силы, действующей со стороны тела на опору. Эти факторы учитывает физическая величина, называемая давлением. Давлением называется физическая величина, равная отношению величины силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности:

В СИ давление измеряется в паскалях: 1 Па =. Заметим также, что в отличие от силы давление является скалярной величиной. Сила давления всегда приложена к опоре и направлена от тела к опоре.

Если на тело не действует никаких вертикальных сил, кроме силы тяжести, то давление тела на поверхность есть отношение силы тяжести к площади соприкосновения тела с поверхностью:

Задача 4.1. Самолет летит запад, увеличивая свою скорость и не изменяя высоту над Землей. Изобразите силы, действующие на самолет.

Рис. 4. Из чертежа видно, что векторы сил, действующих в горизонтальном направлении, имеют длину и направления. Сила тяги двигателей больше силы сопротивления, поэтому самолет по условию задачи увеличивает скорость. Равнодействующая же силы тяжести и подъемной силы равна нулю, так как по условию самолет не изменяет высоту над Землей.

Задача 4.2. К бруску, покоящемуся на гладком горизонтальном чина силы FB2 в 4 раза меньше FB1. Будет ли этот брусок находиться в покое, если к нему приложить силу FB1, направленную вправо, и наB правленную влево силу FB4, если величина силы FB4 равна половине суммы сил FB2 и FB3? Все указанные силы направлены параллельно поверхности стола.

Решение. На рис. 4.5, а показаны силы, действующие на брусок в первом случае. Так как по условию брусок покоится, то равнодействующая сила равна нулю. Тогда F3 = F1 + F2. По условию На рис. 4.5, б показаны силы, действующие на брусок во втором случае. По условию задачи сила FB4 равна полусумме сил FB2 и Получилось, что сила, действующая на брусок справа, не равна силе, действующей на брусок слева. Следовательно, равнодействующая сила не равна нулю, и брусок не будет находиться в покое.

Ответ: брусок будет двигаться влево Задача 3. Деревянный брусок с прикрепленными к нему тремя пружинами покоится на столе (рис. 4.6). Пружины 2 и 3 сжаты на 1 см, а пружина 1 растянута на 2 см (относительно недеформированного состояния). В результате предварительных испытаний пружин было установлено, что под действием силы 1 Н пружины 2 и 3 растягиваются на 1 см, а 1 – на 0,5 см. Изобразите силы, действующие на брусок. Определите силу трения, действующую на брусок, а также силу давления бруска на стол. Масса бруска m = 0,4 кг.

Решение. На брусок действуют (см. рис. 4.7):

- сила тяжести FBт = mg = 4 Н, направленная вниз;

- три силы упругости FBу1, FBу2, FBу3 со стороны трех пружин – их направления показаны;

- направленная вверх сила упругости со стороны горизонтальной поверхности – ее мы называем «нормальная реакция опоры» и обозначаем N;

- сила трения FBтр со стороны горизонтальной поверхности, наB правленная вправо.

Выбор направлений указанных трех сил упругости достаточно очевиден: первая пружина растянута, и она притягивает к себе брусок. Напротив, пружины 2 и 3 сжаты, поэтому они отталкивают брусок от себя. Выбор направления силы трения в этом случае очевиден, однако расчет силы требует предварительного определения сил упругости для первой и второй пружин.

Согласно закону Гука сила упругости при растяжении или сжатии пружины пропорциональна ее деформации – удлинению или укорочению. Сравнивая деформацию пружин на предварительных испытаниях с заданными в условии задачи деформациями, = 4 Н. Согласно условию равновесия тела, в горизонтальном направлении равнодействующая сила должна быть равна нулю. Потому сила трения Аналогично из условия равновесия бруска в вертикальном направлении найдем нормальную реакцию опоры:

Сила давления бруска на стол численно равна нормальной реакции опоры, но направлена в противоположную сторону:

Задача 4.4. Грузы подвешены на двух легких нитях так, как показано на рис 4.8. Отношение сил натяжения нижней и верхней нитей FB2/FB1 = k = 1/3.

Определите отношение масс верхнего и нижнего грузов (mB1/mB2).

если дано несколько тел, то обязательно рисовать их надо отдельно. Иначе можно запутаться с расстанов- Рис. 4. кой действующих на них сил.

На верхний груз следующие действуют (см. рис. 4.9, а):

- сила тяжести mB1g, направленная вниз;

направленная вверх;

При этом условие равновесия этого груза имеет вид:

ленная вниз сила тяжести mB2g и сила на- B тяжения нижней нити FB2, направленная B Условие равновесия нижнего груза:

С учетом последнего соотношения, сила натяжения верхней нити будет равна FB1 = mB2g + mB1g.

По условию задачи отношение сил натяжения нижней и верхF ней нитей равно k: 2 = k. Подставляя сюда выражения для FB2 и FB1, получим:

Теперь маленькая математическая хитрость: разделим числиk. Решая это уравтель и знаменатель дроби на mB2. Тогда:

нение относительно неизвестного отношения масс, найдем:

вертикально установленную пружину, то она сожмется на xB1 = 4 см. На сколько сожмутся две таB ких же пружины, если их установить так, как показано на рис. 4.10, и положить на них груз втрое На этот груз действует сила тяжести (сила притяжения груза к Земле) mg, направленная вертикально вниз, и сила упругости со стороны пружины FBу1, направленная вертикально вверх. Условие равB новесия груза заключается в равенстве этих сил: mg = FBу1. Другими словами, равнодействующая сила должна быть равна нулю.

Теперь рассмотрим груз втрое большей массы, покоящийся на двух вертикально установленных пружинах (рис. 4.11, б). На этот груз действует сила тяжести 3mg и две силы упругости со стороны каждой пружины. Условие равновесия этого груза примет вид:

Тогда получаем, что Так как пружины одинаковые, а силы упругости пропорциональны деформации пружин (в данном случае сжатию), то аналогичное соотношение будет справедливым и для деформаций:

Следовательно, две пружины сожмутся на x2 = 4 см = 6 см.

Задача 4.6. Папа и его сын надели лыжи. Масса папы 80 кг, сына – 40 кг. Размер лыж папы 200 см 5 см, сына – 1,6 м 4 см.

Чему равны давления папы и сына на снег? Принять g = 10 Н/кг.

Решение. По формуле (4.5) для папы получим давление:

Давление сына на снег найдем по той же формуле:

Ответ: 8 кПа и 6,25 кПа.

4.1. На тело по вертикали действуют силы 5 Н и 15 Н. Изобразите эти силы. Сколько вариантов у Вас получилось?

4.2. На тело вдоль одной прямой действуют силы 2 Н и 3 Н. Может ли равнодействующая этих сил быть равной: а) 1 Н; б) 2 Н; в) 4 Н; г) 5 Н?

Сделайте пояснительные рисунки.

4.3. Найдите равнодействующую сил, действующих вдоль одной прямой: а) 1 Н влево, 0,8 Н и 1,2 Н вправо; б) 6 Н вверх, 10 Н и 3 Н вниз.

4.4. Карлсон «завис» напротив окна Малыша. Масса Карлсона 100 кг.

Какова подъемная сила моторчика Карлсона?

4.5. Перышко массой 0,03 г опускается вертикально вниз с постоянной скоростью. Чему равна сила сопротивления воздуха, действующая на перышко?

4.6. Пружина удлиняется на 1 см под действием силы 20 Н. Под действием какой силы эта пружина сожмется на 2,5 см.

4.7. Под действием силы FB1 = 5 Н пружина удлинилась на xB1 = 3 см.

Чему будет равна длина пружины при действии на нее силы FB2 = 15 Н, B если длина недеформированной пружины равна lB0 = 4 см?

4.8. Как, имея два одинаковых динамометра, определить массу груза, вес которого превышает предел измерения каждого из динамометров?

4.9. Если стакан сдавливать ладонями за горлышко и дно, то на одной ладони появится отпечаток, а на другой – нет. Почему?

4.10. Является ли единицей измерения давления 1 мН/кмP2 P?

4.11. Расположите давления в порядке уменьшения: 6 кН/мP2 P, 60 Н/смP2 600 Па, 60 кН/дмP2 60 Н/мP 4.12. Тело находится в состоянии покоя на горизонтальной плоскости. Определить давление тела на эту плоскость. Масса тела m = 700 г.

Площадь основания тела S = 35 смP2 P.

4.13. Алюминиевый кубик с ребром 20 мм лежит на столе. Какое давление создает кубик?

4.14. Тело находится в состоянии покоя на горизонтальной плоскости. Давление тела на эту плоскость p = 2 кПа. Определить массу тела.

Площадь основания тела S = 45 смP2 P.

4.15. Какое давление на пол производит стол массой m = 20 кг, если площадь каждой из четырех ножек S = 5 смP2 Влиянием атмосферного P?

давления пренебречь.

4.16. Ветер создает давление всего лишь 80 Па. С какой силой ветер Уровень В 4.17. На медный шар объемом 120 смP3 действует сила тяжести, равная 9 Н. Имеется ли внутри этого шара полость?

4.18. К бруску, покоящемуся на гладком горизонтальном столе, приложены три силы: FB1 = 12 Н влево, а FB2 и FB3 вправо. Величина силы FB3 в 3 раза больше FB2. Будет ли это тело находиться в покое, если к нему приB ложить силу FB3, направленную влево, и направленную вправо силу FB4, если величина силы FB4 равна половине суммы сил FB1 и FB2? Все указанные силы направлены параллельно поверхности стола. Ответ обосновать.

4.19. Поезд весом Р = 20 МН движется по горизонтальному участку пути с постоянной скоростью. Определите силу тяги тепловоза, если сила трения составляет 0,5 % его веса.

4.20. Деревянный брусок под действием силы FB = 12 Н движется по B горизонтальной поверхности с постоянной скоростью. Во сколько раз сила трения меньше веса бруска, если масса бруска m = 3 кг?

4.21. Известно, что вертикальная пружина растягивается на x = 2 см, если на нее действует сила F = 10 Н. На сколько растянется эта пружина, если к ней прикрепить ведро массой m = 0,2 кг и в него налить воду объемом V = 500 смP3 Массой пружины пренебречь.

4.22. Пружина под действием силы FB1 = 150 Н, растянулась на xB1 = = 1 см. Чему равно общее удлинение двух таких же пружин, соединенных как показано на рис. 4.12, под действием силы, величина которой FB2 = 450 Н? B 4.23. Пружина под действием силы, величина которой FB1 = 50 Н, расB тянулась на xB1 = 1 см. Чему равно общее удлинение двух таких же пруB жин, соединенных как показано на рис. 4.13, под действием силы, величина которой FB2 = 250 Н?

4.24. Какое наибольшее и наименьшее давления может создавать оловянный брусок с размерами 1058 см?

4.25. Оловянный брусок с размерами 102025 см и массой 5 кг лежит на столе своей большей гранью. Какое он создает давление?

4.26. Оловянный брусок с размерами 202510 см и массой 5 кг лежит на столе своей меньшей гранью. Какое он создает давление?

4.27. Какая сторона бетонного блока с размерами 50150100 см опирается на землю, если блок создает давление 23 кПа? Плотность бетона 2,3 г/смP 4.28. Латунный брусок с размерами 10 40 15 см, лежащий на столе, создает давление 34 кПа. Грань с какими ребрами находится внизу? Плотность латуни 8,5 г/смP3 P.

4.29. Медный кубик с ребром 2 см лежит на оловянном кубике с ребром 4 см. Какое давление испытывает оловянный кубик? Стол под ним?

Плотность олова 7,3 г/смP3 P.

4.30. Оловянный кубик с ребром 4 см лежит на медном кубике с ребром 2 см. Какое давление испытывает медный кубик? Стол под медным кубиком?

4.31. Брусок массой m = 2 кг движется по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью (рис. 4.14). В процессе движения на брусок действуют три силы со стороны привязанных к нему нитей: FB1 = 4 Н, FB2 = 8 Н, FB3 = 6 Н. Определите силу трения, действующую на брусок, и силу давB ления бруска на поверхность.

4.32. Брусок массой m = 1 кг движется по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью (рис. 4.15). В процессе движения на брусок действуют три силы со стороны привязанных к нему нитей: FB1 = 2 Н, FB2 = = 5 Н, FB3 = 2 Н. Определите силу трения, действующую на брусок, и силу давления бруска на поверхность.

4.33. Объем кубика увеличили в k = 27 раз, а его плотность уменьшили в m = 1,5 раза. Во сколько раз при этом изменилось давление кубика на стол?

4.34. Объем кубика уменьшили в т = 8 раз, а его плотность увеличили в k = 3 раза. Во сколько раз при этом изменилось давление кубика на стол?

4.35. Кубик сделан из материала с плотностью = 2 г/смP3 Внутри куP.

бика имеется полость, объем которой составляет 25% объема кубика. Найдите ребро кубика, если он оказывает давление на стол равно p = 7 кПа.

4.36. Кубик с ребром а = 10 см имеет внутри себя полость, объем которой составляет 30% объема кубика. Найдите плотность кубика, если он оказывает давление на стол p = 900 Па.

4.37. Кубик с ребром а = 10 см стоит на столе. Каким должен быть объем воздушной полости внутри кубика, чтобы давление, оказываемое кубиком на стол, уменьшилось в 4 раза?

Уровень С 4.38. Грузы подвешены на двух легких нитях так, как показано на рис. 4.16. Отношение сил натяжения верхней и нижней нитей FB1/FB2 = k =5. B B Определите отношение масс нижнего и верхнего грузов (mB1/mB2).B B 4.39. Грузы подвешены на двух легких нитях так, как показано на рис.

4.17. Отношение сил натяжения верхней и нижней FB1/FB2 =3. Определите массу верхнего груза, если сила натяжения нижней нити равна FB2 =10 Н. B 4.40. Если груз аккуратно положить на вертикально установленную пружину, то она сожмется на xB1 = 3 см. На сколько сожмутся две такие же пружины, если их установить так, как показано на рис. 4.18, и положить на них груз втрое меньшей массы?

4.41. Деревянный брусок с прикрепленными к нему тремя пружинами покоится на столе (рис. 4.19). Пружины 2 и 3 сжаты на 1 см, а пружина растянута на 2 см (относительно недеформированного состояния). В результате предварительных испытаний пружин установлено, что под 4.42. В результате испытаний было установлено, что первая пружина под действием силы FB1 = 18 Н удлиниB 36 Н удлинилась на xB2 = 1 см. Каково будет суммарное удB линение этих двух пружин, если их подвесить вертикально и 2 как показано на рис. 4.20? Массой пружин пренебречь.

удлинилась на xB1 = 1 см. Вторая пружина под действием Рис. 4. суммарное удлинение этих двух пружин, если их подвесить вертикально и прикрепить к ним грузы массой mB1 = 2 кг и B mB2 = 3 кг так, как показано на рис. 4.21? Массой пружин 4.44. Два кубика, сделанные из одного материала, поставлены на стол так, как показано на рис. 4.22. Объем верхmB2 него кубика в 10 раз меньше объема нижнего кубика. В верхB 2 нем кубике высверливают отверстие, объем которого в 3 раза меньше объема этого кубика. Как следует изменить плотность нижнего кубика, чтобы давление на стол не изменилось?

4.45. Два кубика, сделанные из одного материала, поставлены на стол так, как показано на рис. 4.23. Объем верхнего кубика в 8 раз больше объема нижнего кубика. В верхнем кубике высверливают отверстие, объем которого в 4 раза меньше объема этого кубика. Как следует изменить плотность нижнего кубика, чтобы давление на стол не изменилось?

4.46. Брусок с размерами aab (a< b) поставили на стол сначала вертикально (на грань aa), а затем положили горизонтально (на грань ab).

При этом отношение разности давлений к первоначальному давлению k = = 0,2. Определите сторону бруска b, если сторона a = 5 см.

4.47. Брусок с размерами aab (a < b) сначала положили на стол горизонтально (на грань ab), а затем поставили вертикально (на грань aa).

При этом отношение разности давлений к первоначальному давлению n = 1,5. Определите сторону бруска a, если сторона b = 7,5 см.

4.48. Кубик с ребром а = 5 см стоит на столе. Кубик сделан из материала с плотностью = 2 г/смP3 Внутри кубика имеется полость, объем которой равен 3/5 объема кубика. Какой должна быть плотность материала, заполняющего полость, чтобы давление, оказываемое кубиком на стол, увеличилось в 7/4 раза?

4.49. Два кубика с одинаковыми внутренними воздушными полостями оказывают равное давление на стол. Плотность вещества, из которого изготовлен первый кубик, в k = 3 раза больше плотности вещества, из которого изготовлен второй кубик, зато у второго кубика в n = 2 раза больше длина ребра. Пусть x – отношение объема воздушной полости к объему первого кубика. Найдите x. Массой воздуха в полости пренебречь.

4.50. Два кубика с одинаковыми внутренними воздушными полостями оказывают равное давление на стол. Плотность вещества, из которого изготовлен первый кубик, в k = 2 раза меньше плотности вещества, из которого изготовлен второй кубик. У второго кубика в n = 1,2 раза меньше длина ребра. Пусть x – отношение объема воздушной полости к объему второго кубика. Найдите x. Массой воздуха в полости пренебречь.

Тема 5. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.

СИЛА АРХИМЕДА

В данном разделе рассматриваются основы гидростатики – раздела механики, в котором изучаются физические явления в покоящейся жидкости.

Силами давления жидкости называют силы, действующие со стороны жидкости на погруженные в нее тела, а также между отдельными частями самой жидкости. Важной особенностью этих сил является то, что они направлены перпендикулярно поверхности тел или частей жидкости.

Гидростатическим давлением называют давление в жидкости, обусловленное весом этой жидкости. Во всех точках жидкости с плотностью ж, находящихся на одной глубине h от поверхности жидкости, гидростатическое давление одинаково и не зависит от поверхностей двух разнородных несмешиh2 вающихся жидкостей относительно их поh сосудах обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей (рис. 5.1):

Важнейшую роль в гидростатике играет закон Паскаля: давление, оказываемое на жидкость (или газ) поверхностными силами, передается во все точки жидкости одинаково. Пример применения этого закона рассмотрен в задаче 5.2.

Закон Паскаля лежит в основе работы гидравлического пресса – устройства, широко распространенного в технике (например, автомобильные гидравлические тормоза). На рис. 5.2 изображена принципиальная схема гидравлического пресса. Так как давление p, оказываемое на малый поршень F площадью S1, передается без изменения во все точки жидкости, а значит, и на большой поршень площадью S2, то на него действует сила Отсюда Таким образом, гидравлический пресс дает выигрыш в силе во столько раз, во сколько раз площадь одного поршня больше площади другого.

Закон Архимеда является отправным пунктом при изучении условий плавания тел. Согласно этому закону на любое тело, погруженное в жидкость (или газ) с плотностью ж, действует выталкивающая (направленная вверх) сила, равная по величине весу жидкости в объеме погруженной части тела. Эту силу называют силой Архимеда и рассчитывают по формуле:

где Vпчт – объем погруженной в жидкость части тела.

Условие плавания тела заключается в равенстве (по величине) действующих на него сил Архимеда и тяжести, т.е.

Если сила Архимеда при помещении тела в жидкость превышает силу тяжести, то тело будет всплывать в этой жидкости. В противном же случае тело будет тонуть.

Атмосферой называется воздушная оболочка Земли. Верхние слои атмосферы давят на нижние точно так же, как это происходит в жидкости, что приводит к появлению атмосферного давления – давления у поверхности Земли. Значение атмосферного давления, равное давлению столба ртути высотой 760 мм при температуре 0 С называют нормальным атмосферным давлением. Нормальное атмосферное давление в СИ равно 1,01105 Па. Измеряют атмосферное давление барометрами. Наиболее известные из них ртутный барометр и барометр-анероид – безжидкостный барометр.

Задача 5.1. Докажите, что гидростатическое давление жидкости можно рассчитать по формуле pг = жgh.

Решение. Выделим в жидкости узкий столбик жидкости в форме цилиндра. При этом пусть верхнее основание цилиндра находится на уровh не границы раздела воздух–жидкость, а нижнее – Обозначим через S площадь основания цилиндра. Согласно определению давления p = F/S.

В данном случае в качестве силы F будет выстуРис. 5.3 пать сила тяжести, действующая на столбик жидкости: F = mжg. Масса жидкости в объеме цилиндра равна произведению плотности жидкости на ее объем: mж = жV. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = Sh. Тогда для давления на глубине h получим:

что и требовалось доказать.

Задача 5.2. В цилиндрическом сосуде слой воды толщиной h = 1 м плотно закрыт поршнем массой m = 10 кг (рис. 5.4). Площадь дна сосуда S = 20 см2. Плотность воды = 1 г/см3. Определите давление на дно сосуда. Атмосферное давление Решение. Согласно (5.1), гидростатическое давление, обусловленное весом жидкости в сосуде, равно pг gh. Но это еще не ответ в данной задаче. Согласно закону Паскаля, чтобы найти давление на дно сосуда, к этому гидростатическому давлению Рис. 5. следует прибавить давление, оказываемое на жидкость поверхностными силами. В нашем случае – это силы, обусловленные наличием атмосферного давления и поршня. Таким образом, давление на дно сосуда будет определяться суммой трех слагаемых:

где p0 – атмосферное давление; pп – давление поршня на поверхность воды. Значение атмосферного давления нам задано в условии задачи, а давление поршня на поверхность воды определяется отmg ношением веса поршня к площади его сечения: p. ОкончаS тельно получим выражение для давления на дно сосуда:

Подставим теперь числовые значения в СИ:

Задача 5.3. В вертикальную цилиндрическую трубку, снизу закрытую пробкой, наливают воду (см.

рис. 5.5). Известно, что пробка вылетает, если избыточная сила давления на нее превышает значения F = 6 Н (влияние сил трения, действующих на пробку со стороны дна трубки). Какую максимальную массу воды можно налить в трубку, если площади поперечного сечения трубки и пробки относятся как 3:1? Массой Рис. 5. пробки, а также толщиной стенок трубки пренебречь.

Решение. Обозначим через h высоту уровня воды в трубке, а через Sпр площадь сечения пробки. Тогда гидростатическое давление на дно сосуда будет равно pг gh. Сила, действующая со стороны воды на пробку, определяется произведением гидростатического давления на площадь пробки. Так как по условию задачи мы пренебрегаем массой пробки, то эта сила должна быть равна силе трения, действующей на пробку со стороны дна трубки, т.е.

Если обозначить через Sдно площадь дна цилиндрической трубки, то можно записать выражение для массы воды, находящейся в трубке:

Таким образом, мы получили два соотношения: m S дноh и ghSпр F. Выражаем теперь произведение h из первого соотm ношения: h. Затем подставляем во второе соотношение и получаем:

Отсюда выражаем искомую массу воды:

Так как по условию задачи площади поперечного сечения дна и пробки относятся как 3:1, то окончательно получим:

Задача. 5.4. В U-образную трубку с площадью поперечного сечения S = 10 см2 налиты ртуть, вода и керосин (рис. 5.6). Высота слоя керосина в левом колене трубки hк = 26 см. В правом колене трубки уровень ртути на a = 0,5 см ниже, чем в левом. Определите массу содержимого трубки, если масса ртути mрт = 200 г.

Плотность ртути рт = 13,6г/см3, плотность керосина к=0,8г/см3.

Решение. Масса содержимого трубки складывается из массы ртути mрт, массы воды mв и керосина mк:

Масса керосина mк кVк, где объем керосина в трубке равен произведению площади сечения трубки на высоту слоя керосина:

mв в Shв, где hв – неизвестная пока высота К сожалению, для нахождения высоты слоя воды в этой задаче нельзя напрямую воспользоваться законом сообщающихся со- Рис. 5. судов в форме (5.2). Все дело в том, что здесь присутствуют не две, а три жидкости: вода, ртуть и керосин. Высоту столба воды определим из равенства гидростатических давлений в коленах U – образной трубки на уровне (см. рис. 5.6), ниже которого в трубке находится однородная жидкость, т.е. ртуть. На этом уровне гидростатическое давление в правом колене трубки будет равно pв в ghв. В левом же колене трубки на этом уровне гидростатическое давление будет равно сумме гидростатических давлений керосина и ртути (опять проявление закона Паскаля!). Тогда получим:

Из этого уравнения находим высоту уровня воды:

Зная теперь высоту уровня воды в трубке, находим массу воды:

Окончательно получаем искомую массу содержимого трубки Подставим теперь числовые значения (здесь не обязательно использовать СИ):

m = 200 г +10 см2 (20,8 г/см3 ·26 см +13,6 г/см3 0,5 см) = 684 г.

Задача 5. В цилиндрическом сосуде слой воды плотно закрыт невесомым тонким поршнем, на который действует направленная вертикально вниз сила F = 20 Н (рис. 5.7). Сила тяжести, действующая на воду, в 2 раза меньше силы F, а площадь дна в 3 раза меньше площади боковой поверхности цилиндра. С какой силой действует вода на боковую поверхность цилиндра? Атмосферное Решение. Это достаточно сложная для учеников 7 класса задача, поэтому разберем ее подробно. Согласно закону Паскаля, давление, обусловленное поверхностными силами, передается во все точки жидкости без изменения. Давление, обусловленное действием силы F, будет одинаковым для дна и боковой поверхности цилиндрического сосуда:

Рис. 5. Гидростатическое давление на дно, обусловленное действием силы тяжести на воду, будет равно:

По условию задачи сила тяжести, действующая на воду, в раза меньше заданной силы F: mg, тогда pгд. дно.

Гидростатическое давление на боковую поверхность цилиндра равно половине гидростатического давления на дно, т.е.

Сила, действующая на боковую поверхность, определяется двумя слагаемыми: Fбок FF бок Fгд. бок.

Подставляя выражения для этих слагаемых, получим:

По условию задачи площадь боковой поверхности цилиндра в раза больше площади дна, т.е. бок 3. Тогда искомая сила Задача 5.6. Кубик с ребром a = 10 см плавает в жидкости с плотностью = 1,5 г/см3, погрузившись на 1/3 своего объема. Какую вертикальную силу следует приложить к другому кубику, сделанному из того же материала, но с вдвое меньшим ребром, чтобы удержать его в воздухе?

Решение. Согласно (5.5), условие плавания кубика заключатся в равенстве сил Архимеда и тяжести, т.е. mg = FA (рис. 5.8, а). Учитывая, что сила тяжести а сила Архимеда объема), получим:

Отсюда найдем плотность тела Чтобы удержать другой кубик в воздухе (рис. 5.8, б) к нему необходимо приложить силу, равную действующей на него силу тяжести:

Так как длина ребра этого кубика в два раза меньше, чем у кубика, плавающего в жидкости, то искомая сила Ответ: F = 0,625 Н.

Задача. 5.7. Кубик льда плавает в широком сосуде с водой. Как изменится уровень воды в сосуде, если лед растает?

Решение. Это очень известная задача – она есть во многих задачниках. Тем не менее, ее решение приводится в «рассудительной» форме без использования конкретных математических соотношений. Мы же решим эту задачу с использованием уже известных вам физических законов строго математически, доказав торжество хотя и достаточно примитивной, но «математической физики»!

Воспользуемся условием плавания кубика льда в воде и законом сохранения массы в замкнутой системе тел. Обозначим через mл массу льда, тогда по условию плавания:

После таяния льда образуется вода массой вSH2. По закону сохранения массы:

Подставляя массу льда и раскрывая скобки, получим:

Отсюда H1 = H2, т.е. уровень воды не изменится.

Ответ: уровень воды в сосуде не изменится.

Задача. 5.8. Чтобы удержать в воде полностью погруженное тело объемом V = 80 см3, к нему необходимо приложить вертикальную силу F = 0,25 Н. Определите объем полости внутри тела, если плотность воды в = 1 г/см3, плотность тела т = 1,5 г/см3.

Массой воздуха внутри полости пренебречь.

Решение. Это задача «с изюминкой». Она имеет два решения, так как в условии задачи ничего не сказано о направлении приложенной к телу силы F. А она может быть направлена как вертикально вверх, так и вертикально вниз. Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1. Пусть сила F направлена вертикально вверх. Так как ее направление совпадает с направлением силы Архимеда, то условие равновесия тела будет иметь вид:

Так как сила Архимеда FА = вVg, а сила тяжести mg = тg(V – Vп), то получим:

Из этого уравнения выражаем искомый объем полости:

Подстановка числовых значений в СИ дает результат: Vп = 10 см3.

Случай 2. Пусть теперь сила F будет направлена вертикально вниз. В этом случае условие равновесия тела имеет вид:

Аналогично случаю 1 находим объем полости:

Подстановка числовых значений в СИ дает результат: Vп = 43 см3.

Как мы убедились, в обоих случаях получился «разумный» ответ для объема полости. Вот если бы объем полости получился отрицательным, тогда стало бы понятно: что-то не так с числовыми значениями. Попробуйте самостоятельно проанализировать, при каких значениях приложенной силы и плотности тела задача не имеет решения. Ведь на самом деле объем полости не может быть отрицательным. Если вы это сделаете, то, надеюсь, не останется сомнений относительно необходимости решения большинства физических задач «в буквах».

5.1. Определите высоту столба керосина, который оказывает гидростатическое давление на дно сосуда равное 4103 Па.

5.2. Найдите гидростатическое давление на дно сосуда цилиндрической формы с площадью основания 50 см2, в который налили 2 л воды.

5.3. Сила Архимеда (выталкивающая сила), действующая на полностью погруженное в воду тело, равна 16 Н. Чему равен объем этого тела?

5.4. Определите силу Архимеда, действующую на тело с размерами 420,2 м, наполовину погруженное в воду.

5.5. Какая выталкивающая сила действует на тело, если его вес в воздухе равен 180 Н, а в воде 150 Н?

5.6. Длина плота равна 4 м, а ширина – 2 м. На середину плота кладут стальной лист, в результате чего глубина погружения плота увеличивается на 5 мм. Чему равна масса листа?

5.7. Медный и деревянный шары бросили в воду. Как соотносятся выталкивающие силы, действующие на эти шары, если: а) шары имеют одинаковые объемы; б) шары имеют одинаковые массы?

5.8. Гидравлический пресс имеет поршни с площадью S1 = 0,003 м2 и S2 = 400 см2. На больший поршень действует сила F = 1000 Н. Какая сила действует на меньший поршень?

5.9. Гидравлический пресс имеет поршни с площадью S1 = 200 см2 и S2 = 0,15 м2. На меньший поршень действует сила F = 100 Н. Какая сила действует на больший поршень?

5.10. С какой силой атмосферный воздух давит на бумажный лист, расположенный на горизонтальном столе? Размеры листа 1620 см, атмосферное давление 1105 Па.

5.11. Давление газа в баллоне 23 кПа. С какой силой газ давит на дно баллона площадью 3,2 дм2?

5.12. Высота столба ртути, уравновешивающего атмосферное давление, равна 760 мм. Во сколько раз будет больше высота столба воды, уравновешивающего это давление?