Pages: | 1 |

«М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методическое пособие для студентов Института последипломного образования и студентов, получающих высшее образование по сокращенной ...»

-- [ Страница 2 ] --

8.15. Имеется сетевой график планирования управления, согласно которому момент начала какой-то работы представляет собой максимальное время окончания двух обеспечивающих работ, 2 (моменты окончания этих работ). Случайные величины 1, 2 независимы и имеют плотности p1 ( x1 ) и p 2 (x2 ). Найти среднее значение 8.16. Техническое устройство состоит из узлов. Каждый узел T1i [( )( + )] может выходить из строя независимо от других. Время исправной работы -го узла распределено по показательному закону с параметром. Каждый узел, оказавшийся неисправным, немедленно заменяется новым и поступает в ремонт. Ремонт i -го узла продолжается случайное время, распределенное по показательному закону с параУстройство работает в течении времени t. Определить:

а) среднее число узлов, которые придется заменить; б) среднее время, которое будет затрачено на ремонт вышедших из строя узлов.

8.17. В результате испытаний прибор может быть отнесен к классу I с вероятностью p1, к классу II с вероятностью p 2, или быть забракованным с вероятностью p 3 = 1 p1 p 2. Испытание проходят n приборов. Определить распределение вероятностей различного числа приборов классов I и II, их средние значения.

8.18. Из десяти изделий, среди которых два бракованных, случайным образом выбирают два для проверки. Найти среднее значение числа бракованных изделий.

8.19. Среди 7 приборов 3 неисправных. Наугад берут 4 прибора и проверяют их. Найти среднее значение числа приборов, которые при этом будут работать исправно.

8.20. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1.

Из партии контролер случайным образом берет деталь и проверяет ее качество. Если она оказывается нестандартной, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если деталь окажется стандартной, то контролер берет следующую и т.д. Всего проверяет он не более 5 деталей. Найти математическое ожидание – числа проверяемых стандартных деталей.

8.21. Уровень весеннего паводка на реке является случайной величиной с функцией распределения. Плотина рассчитана так, чтобы выдерживать паводок уровня не выше z. Предполагая, что уровни паводков в разные годы независимы и одинаково распределены, найти минимальное значение z, при котором вероятность разрушения плотины паводком за 100 лет будет не больше.

8.22. Производится ряд попыток включить двигатель. Каждая попытка занимает время и заканчивается успехом (включением двигателя) независимо от других с вероятностью. Найти распределение общего времени T, которое потребуется для запуска двигателя и его среднее значение.

8.23. Радиолокационная станция ведет слежение за областью пространства, где находится N объектов. За один цикл обзора i -й объект независимо от других обнаруживается с вероятностью, i = 1, N. За время наблюдения осуществляется n циклов обзора. Найти среднее число объектов, которые будут обнаружены.

8.24. Наблюдаемый объект на круглом экране радиолокатора отображается светящейся точкой. Будем считать, что точка может занимать на экране любое положение. Диаметр экрана равен. Найти среднее значение расстояния от точки до центра экрана.

8.25. Написано n писем, но адреса на конвертах написаны в случайном порядке. Пусть – число писем, которые будут получены теми адресами, которым они предназначались. Показать, что M n = 1.

8.26. В N телефонных автоматах ведутся разговоры. Длительность разговора, измеряемого в секундах, имеет геометрическое распределение с математическим ожиданием µ. Найти среднее время ожидания до первого освобождения телефона-автомата.

8.27. Стреляют три раза по мишени. Вероятности попадания в 8.28. Скорость молекул газа является СВ, распределенной по Найти среднюю скорость молекул.

8.29. Из теории броуновского движения известно, что если частица в момент времени t = 0 находится на расстоянии x 0 от отражающей стенки, то вероятность того, что в момент t > 0 она будет находиться от Найти среднее значение перемещения частицы за время t.

x.01dx 0,( x )dx 4h3 2 8.30. Предположим, что вам необходимо выбрать работу из двух p ( x ) = ® предлагаемых работ (по первой работе оплата сдельная, по второй – °0, xповременная). Известно, что на первой работе доход с одинаковой вероятностью составит $200 при хорошей распродаже и $100 при скромной. На второй работе ставка $151, но если компания обанкротится (вероятность этого равна ), то вы получите пособие размером $51. Какую работу вы бы предпочли?

них было k билетов. Эти автобусы вместе перевезли n пассажиров.

Найти среднее число пассажиров, которым не досталось билетов, если каждый пассажир независимо от остальных может сесть в любой из рышей стоимостью c1, m 2 выигрышей стоимостью c2,..., mn – стоимостью c n. Какую стоимость лотерейного билета следует установить, чтобы средний выигрыш составлял 50 % его стоимости?

8.33. В партии имеется n изделий, каждое из которых независимо от остальных с вероятностью удовлетворяет стандарту, а с вероятностью не удовлетворяет ему. Изделия проходят проверку, описанную в задаче 3.33. За каждое изделие, удовлетворяющее стандарту, фирма-изготовитель получает a руб. премии; за изделие, прошедшее проверку, но не удовлетворяющее стандарту, – штраф руб.; за изделие, не прошедшее проверку, – штраф c руб. Найти среднюю прибыль фирмы, полученную за партию из изделий.

8.34. Обследуется крупный пакет акций из штук. Известно, что каждая акция с вероятностью p обесценивается. Обследование происходит путем анализа экономического проекта, в котором участвуют акции пакета. Применяют два способа обследования:

а) обследовать каждую из акций;

б) вести обследование по группам из n,, акций, причем если пакет неубыточный, то считают, что все акции данной группы растут в цене; если же наоборот (это происходит, если хотя бы одна акция группы обесценилась), то переходят к сплошному анализу акций из данной группы.

Определить: 1) какой способ выгоднее в смысле минимального среднего числа анализов, 2) при каком n = n* для обследования группы акций потребуется в среднем наименьшее число анализов.

8.35. Пусть бизнесмен имеет убыток, если попадет к месту встречи ранее намеченного срока на время. Положим, что время, необходимое, чтобы попасть к месту встречи, является экспоненциально распределённой СВ с параметром. Предполагая, что бизнесмен отправляется к месту встречи за время до назначенного срока, доказать, что величина, минимизирующая ожидаемые потери, определяется из уравнения В данном параграфе рассмотрим другие различные числовые характеристики СВ, которые являются математическими ожиданиями определенных функций от СВ.

Определение. Начальным моментом порядка N СВ называется Определение. В случае многомерных СВ смешанным начальным моментом порядка N СВ = (1, 2,..., n ) называется Смешанным центральным моментом порядка N называется 2n 2 nN 1 1 Пример 9.1. Найдем моменты СВ, имеющей нормальное расN pn x = 2пределение с параметрами a, Сделаем это вначале для случая a = 0, = 1, плотность распределения СВ при этом имеет вид При нечетных n этот интеграл равен нулю как интеграл нечетной функции по симметричному промежутку интегрирования. Таким обпри четных n. Пусть проверяется по правилу Лопиталя. Аналогично, проинтегрировав интеграл, выражающий n, по частям, получим Итак, доказана рекуррентная формула Отсюда Положим n = 2k. Тогда Найдем теперь центральные моменты распределения СВ с D= )(n ( 1 )...1 =2 (2k 1)(2k 3)...1 = Определение. Дисперсией СВ называется ее центральный D называется средним квадратичным отклонением СВ.

Дисперсия служит характеристикой (хотя и не полной) рассеяния значений СВ от ее среднего значения.

Из определения следует, что Рассмотрим свойства дисперсии.

2. D = 0 только в том случае, когда P ( = const ) = 1.

поскольку для независимых СВ () =.

6. Если в неравенстве Чебышева для математического ожидания в качестве f ( x ) взять x 2, а в качестве СВ взять ( ) (или, что то получим неравенство Чебышева для дисперсии:

Пример 9.2. Из предыдущего примера следует, что дисперсия равна 2, т.е. D = r 2.

Пример 9.3. Найдем дисперсию СВ, равномерно распределенной на отрезке.

начальный момент второго порядка:

Пример 9.4. (правило «трех сигм»). Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что любая СВ отклонится от своего среднего значения менее чем на три средних квадратичных отклонения этой величины.

Решение. Из неравенства Чебышева следует Таким образом, полученная вероятность не меньше, чем Рассмотрим свойства ковариации.

определения ковариации и свойства 6 математического ожидания (см.

предыдущий параграф).

3. Для произвольных СВ и что следует из определения дисперсии и ковариации.

4. Пусть 1 = x, где x принимает действительные значения.

Рассмотрим дисперсию СВ Это выражение является квадратным трехчленом относительно x.

Поскольку быть меньше либо равен нулю, т.е. должно выполняться неравенство т.е.

или Коэффициент корреляции и его свойства. Нормированной СВ Определение. Коэффициентом корреляции СВ и называется Пример 9.4. Приведем два примера, показывающие, что из равенства нулю коэффициента корреляции двух случайных величин не т.к. подынтегральные функции в интегралах – нечетные, и, следовательно, cov(, ) = r (, ) = 0, т.е. СВ и некоррелированы, в то 1 ((,x)0 e x 00 Рассмотрим свойства коэффициента корреляции.

±,=0 0 a =)2=+ ная матрица ационный момент СВ i и j ; ясно, что ij = ji, ii = D i, i,j = 1,n. Нормированной ковариационной (корреляционной) матрицей R называется матрица, элементами которой являются коэффициенты корреляции СВ i и j :

Энтропия. Количество информации. Часто числовыми характеристиками СВ являются функционалы, определяющие различие между двумя распределениями вероятностей. Такое различие необходимо знать, например, если, кроме факта зависимости между двумя СВ, нужно знать, насколько велика эта зависимость. Рассмотрим случай абсолютно непрерывных распределений. В качестве величины, измеряющей степень зависимости двух СВ, можно использовать расстояние между распределениями p (t, ) и p (t ) p ( ). Расстояние между двумя распределениями измеряется различными способами. Одним из них является так называемое количество информации Шеннона.

Определение. Энтропией называется функционал В физике – это мера беспорядка (неопределенности); чем больше неопределенность, тем больше энтропия.

Следует отметить, что может быть и многомерной СВ, т.е.

Определение. Количеством информации Шеннона называется величина В теории информации эта величина означает, что СВ содержит Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.

9.2. Дано распределение дискретной СВ Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.

9.3. Найти среднее квадратичное отклонение СВ, заданной законом распределения 9.4. СВ имеет плотность распределения Найти дисперсию СВ.

9.5. Найти начальный момент -го порядка СВ, равномерно распределенной на отрезке.

9.6. Найти начальный момент n -го порядка СВ, имеющей показательное распределение.

9.7. Найти дисперсию и моменты дискретных СВ, имеющих: а) распределение Бернулли, б) биномиальное распределение, в) распределение Пуассона, г) геометрическое распределение.

9.8. Найти дисперсию СВ в задаче 8.22.

9.9. Найти дисперсию СВ, имеющей распределение Максвелла, см. задачу 8.29.

9.10. Показать, что функция вида где a, > 0, s = 1,2,3, обладает свойствами плотности распределения.

Определить параметры и, исходя из заданного математического ожидания, и найти дисперсию. Заметим, что СВ, имеющая плотность распределения, распределена по закону Релея, а СВ, имеющая плотность распределения f 2 ( x ), – по закону Максвелла.

9.11. Найти дисперсию СВ, распределенной по логарифмически нормальному закону, плотность вероятностей для которого имеет вид Замечание. А.Н. Колмогорав показал, что логарифмически нормальному закону распределения подчинены размеры частиц при дроблении.

Рассматривая длину ребра куба как СВ, распределенную равноbx b мерно (в интервале x ( ]) ность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, 0, xпропорциональна площади этой области. Найти ф.р. и дисперсию 9.18. Ошибка измерений некоторых величин при одном способе равна 2, где – нормально распределенная СВ с параметрами 1 = 2 = 0, 1 = 2 = 5. Какой способ измерений лучше?

9.19. Объект из бесконечности движется по направлению к объекту. Максимальные дальности выявления один одного для этих объектов 1 и 2 являются независимыми нормально распределенными СВ соответственно с параметрами a1, 1, a2, 2. Найти вероятность того, что объект выявит объект первым и дисперсии 9.20. Дискретная СВ задана законом распределения Используя неравенство Чебышева для дисперсии, оценить вероятность того, что < 0,2.

9.21. Устройство состоит из 10 независимых работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,05.

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время t окажется меньше трех.

9.22. Случайная ошибка измерительного прибора имеет дисперсию 16. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Оценить вероятность того, что при измерении ошибка превысит по модулю 6 мВ.

Замечание. Если измерения не содержат систематической ошибки, то отклонение полученных измеренных значений некоторой величины от ее истинного значения объясняется чисто случайными погрешностями и можно предположить, что = 0.

9.23. СВ является ошибкой измерения некоторого расстояния.

При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1,2 м; среднее квадратичное отклонение ошибки равно 0,8 м. Оценить вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превысит по абсолютной величине 1,6 м.

12111) = )( = 1) = ( = 0 ) = 0,5, 9.27. Случайный вектор (, ) равномерно распределен в квадрате со стороной, равной единице, и диагоналями, совпадающими с осями координат. Найти коэффициент корреляции СВ и.

9.28. По некоторой цели делают три независимые выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна. Рассмотрим 9.30. Производят четыре независимых измерения одной и той же величины. Результаты измерений следующие: 1, 2, 3, 4, причем i = a, Di = 2, i = 1, 4. Рассмотрим разности между соседними i = 1, 3, и корреляционную матрицу.

9.31. Найти энтропию одномерной и многомерной СВ, распределенных по нормальному закону.

9.32. Вычислить количество информации Шеннона, которая содержится в скалярной нормально распределенной СВ о другой скалярной, также имеющей нормальное распределение.

9.33. Среднее значение скорости ветра у земли в данном пункте равно 10 км/ч. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что в этом пункте скорость ветра при данном наблюдении не превысит 80 км/ч.

9.34. Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения курса самолета. Среднее значение ошибки измерения равно нулю.

Оценить вероятность того, что ошибка при данном измерении курса самолета превзойдет 4 .

9.35. Среднее потребление электроэнергии за июнь месяц населением одного из микрорайонов города равно 36 10 4 кВт ч. Оценить вероятность того, что потребление электроэнергии в июне текущего года превзойдет 10 6 кВт ч.

9.36. Среднее число отказов ПЭВМ после года эксплуатации равно 5. Оценить вероятность того, что после окончания года число отказов в учебной лаборатории, в которой находятся 12 ПЭВМ, будет меньше 20.

9.37. Светофор на перекрестке работает в трех режимах: 1 мин горит зеленый свет, 0,2 мин – красный, 0,1 – желтый и т.д. Водитель подъезжает к перекрестку в случайный момент времени. Найти: а) вероятность того, что он проедет перекресток без остановки, б) ф.р.

времени ожидания у перекрестка, в) числовые характеристики времени ожидания.

9.38. Бизнесмен решает задачу выбора одного из двух поставщиков, анализируя вариабельность цены на сырье. Для первого поставщика цена на сырье описывается СВ 1, равномерно распределенной на отрезке [10,14], а для второго – СВ 2, имеющей нормальное распределение с параметрами a = 12, 2 =. Бизнесмен намеревается выбрать того поставщика, который вносит меньшую неопределенность (энтропию) при одинаковой средней цене. Какое решение примет бизнесмен?

в § 5. Из приведенного там утверждения следует, что доля успешных испытаний из n независимых испытаний Бернулли при приближается к вероятности одного успешного испытания (частота поk ( 1 2,...} n ), k =1,явления события стремится к вероятности данного события).

lim ® : ¦ ( kОпределение. 0Говорят, что для последовательности CB Пример 10.1. (закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть CB 1 (), 2 (),..., независимы и имеют одинаковые математические ожидания k () = a и дисперсии D k () = 2. Тогда для них имеет место закон больших чисел, т.е.

Это вытекает из неравенства Чебышева для дисперсий, из которого следует, что Отметим, что аналогичный результат имеет место и в случае, когда CB 1 (), 2 (),... независимы, одинаково распределены и имеют конечное математическое ожидание (теорема Хинчина).

Смысл закона больших чисел состоит в том, что среднее арифметическое CB 1 (), 2 (),..., n () при достаточно большом n или, в частности, от a.

В экспериментальных науках среднее арифметиче ское результатов x1, x2,..., xn измерений некоторой величины a рассматривают как более точное приближение к истинному значению этой величины по сравнению с отдельным измерением.

Вероятностная модель измерений дается последовательностью CB, 2 (),..., n (). Если измерения не содержат систематической ошибки, т.е. отклонение xi a объясняется чисто случайными погрешностями, то следует предположить, что ( k () a ) = 0, т.е.

k () = a, k = 1, n. Если к тому же измерения независимы и одинаково точны, т.е. D k () = 2, k = 1, n, то закон больших чисел позволяет объяснить экспериментально наблюдаемую закономерность о стабилизации с ростом n средних арифметических вблизи a.

n можно характеризовать неравенством Чебышева оценивающим степень конкретизации распределения вероятностей CB S (1 (), 2 (),..., n ()) вокруг точки a. Таким образам, точность легко доказать утверждение для схемы Бернулли, приведенное в начале параграфа. Именно, пусть Приведем результат, связанный с выполнением закона больших Теорема. Для того, чтобы для последовательности CB {k (), k = 1, 2,...} (они могут быть и зависимыми) выполнялся закон больших чисел, необходимо и достаточно, чтобы Рассмотрим следствия из этой теоремы.

Теорема Маркова. Если то имеет место закон больших чисел.

Это вытекает из соотношения Теорема Чебышева. Если последовательность независимых CB { k (), k = 1, 2,...} (не обязательно одинаково распределенных) такова, что D k () c, k = 1, 2,..., где – некоторая константа, то имеет место закон больших чисел.

Это следует из теоремы Маркова и независимости CB, поскольку Пример 10.2. Пусть { k (), k = 1, 2,...} – последовательность независимых CB и поэтому D k () =, и из теоремы Чебышева следует, что эта последовательность удовлетворяет закону больших чисел.

Далее рассмотрим другую группу предельных теорем теории вероятностей, устанавливающих сходимость законов распределения для последовательностей сумм случайных величин. Эта группа теорем ввиду ее особой важности как для теории, так и для приложений носит название центральной предельной теоремы. Две из таких теорем, а именно, теоремы Муавра – Лапласа, мы рассматривали в § 5.

Они являются частными случаями более общих теорем, которые мы Теорема (Линдеберга). Если последовательность независимых CB 1 (), 2 (),... при любых > 0 удовлетворяет условию Линдеберга n 2 1 =¦ ( k ( Теорему Линдеберга используют в основном в теоретических работах, требующих большой общности рассмотрения. В приложениях чаще применяют теорему Ляпунова, условия которой проверяются более эффективно.

Теорема Ляпунова. Если для последовательности независимых то справедлива центральная предельная теорема.

Для ее доказательства достаточно показать, что из условия Ляпунова вытекает условие Линдеберга. Если x ak > n, то поэтому т.е. действительно из условия Ляпунова следует условие Линдеберга.

Пример 10.3. Пусть CB 1 (), 2 (),... независимы и условие Ляпунова Воспользуемся неравенством Ляпунова для математического ожидания из которого вытекает, что и поэтому а из этого соотношения следует условие Линдеберга, т.е. в данном случае справедлива центральная предельная теорема.

Нужно отметить, что если все k (), k = 1, 2,.., независимы и Линдеберга также выполняется и Практический смысл центральной предельной теоремы состоит в следующем: если некоторый процесс происходит под воздействием большого числа независимо действующих случайных факторов, каждый из которых лишь очень мало изменяет ход процесса, то распределение суммарного действия этих случайных факторов можно очень близко аппроксимировать нормальным законом.

Пример 10.4. Нагрузка потребительской сети (телефонной, информационной, электрической и т.п.) в данный момент времени является результатом суммирования большого числа элементарных нагрузок, вносимых индивидуальными потребителями. Поскольку случайности, определяющие поведение потребителей, естественно считать = 1 ледовательность этих величин удовлетворяет закону больших чисел?

Удовлетворяет ли последовательность { k (), k = 1, 2,...} закону больших чисел?

10.6. Последовательность независимых CB { k (), k = 1, 2,...} задана законом распределения Удовлетворяет ли она закону больших чисел?

10.7. Дана последовательность независимых CB 1 (), 2 (),..., при этом Можно ли применить к этой последовательности теорему Хинчина?

CB, причем k () принимает значения 2 k и 2 k с вероятностями.

Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?

10.9. Пусть 1 (), 2 (),... – последовательность независимых CB. В случае, когда k – точный квадрат, k () принимает значения нимает значения 2 k, 2 k с вероятностьюкаждое. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?

10.10. Среднее значение скорости ветра у земли в данном пункте равна 10 км/ч. Оценить вероятность того, что в этом пункте скорость ветра при одном наблюдении не превысит 80 км/ч.

10.11. Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения курса самолета = 3. Среднее значение ошибки измерения равно нулю.

Оценить вероятность того, что ошибка при данном измерении курса самолета будет более 4.

10.12. ЭВМ вырабатывает случайные двоичные числа так, что знаки 0 и 1 на каждой позиции появляются с одинаковой вероятностью и независимо от других позиций. Последовательность знаков делится на группы, состоящие из одинаковых знаков, например, 001101001110. Подсчитывается число знаков в каждой группе и делится на число групп. Как будет себя вести эта средняя величина при неограниченном увеличении числа групп n ?

10.13. Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равна 30', а математическое ожидание равно нулю. Оценить вероятность того, что ошибка среднего арифметического трех независимых измерений не превзойдет.

10.14. Нужно сделать 10 измерений x1, x2,..., x10 неизвестной 10.15. Проводятся n независимых измерений некоторой неизвестной величины. Ошибки измерений, 2,..., n – CB, k = 0, 1nD(a, n0.01) a ~N Pi = D. " P ® ¦ x kD = 2, 0k991, n. За значение величины a примем среднее арифмеa k, = 10 == тическое результатов измерений, тогда ошибка для будет равна в качестве приближенного значения дисперсии ошибок прибора, если 1 (), 2 (),..., n () – независимые измерения постоянной величины a, имеющие одинаковые ф.р.?

одинаково распределенных невырожденных CB, D k () <, 10.18. Пусть 1 (), 2 (),... – последовательность независимых одинаково распределенных CB, k () = 0, D k () <, k = 1, 2,..., 10.19. Будет ли выполняться центральная предельная теорема для последовательности независимых CB 1 (), 2 (),... с распределениями, задаваемыми следующим образом:

10.20. CB () является средним арифметическим одинаково распределенных ошибок независимых измерений некоторой величины, дисперсия каждой из которых равна 5. Сколько нужно сделать измерений, чтобы CB () с вероятностью, не меньшей 0,9973, имела отклонение от своего среднего значения, не превосходящее 0,01 ?

10.21. Для предыдущей задачи известно, что ошибки измерений являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 2. Произведено 3000 независимых измерений. Найти вероятность того, что () примет значение в промежутке (2, 3).

10.22. В задаче 10.20 известно, что среднее квадратичное отклонение каждой из ошибок равно 2; произведено 10000 независимых измерений. Какое максимальное отклонение величины () от ее среднего значения можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,9544 ?

10.23. Для измерения некоторой величины с помощью прибора, лишенного систематической ошибки, но имеющего случайные с дисперсией 2 = 0,22, сделано 100 независимых измерений. Найти вероятность того, что среднее арифметическое результатов отклонится от истинной величины больше, чем на 0,05.

10.24. Производится выборочное обследование партии электролампочек для определения средней продолжительности их горения.

Каков должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, утверждать, что средняя продолжительность горения лампочки по всей партии отклонится от средней, полученной в выборке, не более чем на 100 часов, если среднее квадратичное отклонение продолжительности горения лампочки равно 200 часов?

10.25. В условиях предыдущей задачи найти наименьшее число ламп, которые нужно взять для обследования, чтобы с вероятностью 0,99 утверждать, что средняя продолжительность горения лампы во всей партии отклонится от полученной в выборке не более чем на часов.

10.26. Для определения средней продолжительности работы некоторого прибора из данной партии выбирают наугад 100 штук. Оценить снизу вероятность того, что средняя продолжительность работы 100 отобранных приборов отличается от средней продолжительности работы приборов всей партии по абсолютной величине меньше, чем на месяц, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности работы прибора не превышает двух месяцев.

10.27. В университет поступило 10 одинаковых ящиков с приборами. Среднее число приборов в каждом ящике, которые пришли в негодность за время транспортировки, равно трем, а среднее квадратичное отклонение – двум. Определить границы, в которых с вероятностью не менее 0,9 будет заключено общее число приборов, пришедших в негодность за время транспортировки.

10.28. Стрелок попадает при выстреле по мишени в десятку с вероятностью 0,5 ; в девятку – 0,3 ; в восьмерку – 0,2 ; в семерку – 0,1.

Сделано 100 выстрелов. Какова вероятность того, что выбито более 980 очков?

10.29. Напряжение на входе приемного устройства является случайной величиной, которую можно рассматривать как сумму достаточно большого числа независимых синусоидальных величин, амплитуды которых распределены по нормальному закону с параметрами 0, 2, а фазы равномерно распределены в промежутке (, ).

Можно ли считать распределение этого напряжения почти нормальным?

10.30. В кольце, ограниченном концентрическими окружностями радиусов 1 и R > 1, расположено n излучателей равной мощности. Каждый из них может рассматриваться как случайная точка, равномерно распределенная в этом кольце независимо от всех остальных. Мощность сигнала, наводимая каждым излучателем в приемниa ке, находящемся в центре кольца, равна вх = 4, где i – расстояние излучателя до центра. Какова ф.р. мощности iсигнала, наведенного суммарным воздействием всех n излучателей, если они работают на одной и той же частоте и их число достаточно велико?

10.31. В предыдущей задаче оценить нижнюю границу мощносна входе приемника (как функцию от n ), если число излучати телей неограниченно возрастает.

10.32. При производстве деталей для автомагнитол рабочий выполняет с каждой деталью однотипные операции. На это уходит случайное время, распределенное по показательному закону. Найти вероятность того, что на выполнение 100 операций рабочему понадобится время от 6 до 7 часов, если среднее время, необходимое для выполнения одной операции равно 3 минуты.

10.33. В кассе в день зарплаты получают деньги человек. Размер выплаты каждому – CB со средним значением $100 и средним квадратичным отклонением $50. Если выплаты отдельным клиентам независимы, то:

б) каков будет гарантированный с вероятностью 0,95 остаток денег в кассе после выплаты всем клиентам, если в начале в кассе 10.34. Среднее суточное потребление электроэнергии в населенном пункте 12000 кВт • ч. Оцените вероятность того, что потребление в этом населенном пункте в течении данных суток превзойдет кВт • ч. Какого потребления энергии в том населенном пункте можно ожидать в ближайшие сутки с вероятностью, не меньшей 0,96, если среднее квадратичное отклонение равно 200 кВт • ч. Сколько потребителей следует проверить, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что отклонение среднего потребления отобранной группы от среднегородского потребления по модулю не превосходит 1 %?

10.35. Статистические данные свидетельствуют о вероятности 10 % краж из квартир граждан. Застрахована группа из 100 человек, сумма страхового взноса составила $1000 в год. В случае ограбления клиента страховая фирма выплачивает потерпевшему $.

P{ = 1} = 0,3, 1) какова должна быть страховая выплата, чтобы с вероятностью 0,95 фирма не оказалась в убытке?

2) какова вероятность фирмы получить доход, превосходящий 10.36. Коммивояжер для выполнения своего задания должен посетить n = 60 городов, затрачивая в каждом из них случайное время (измеряемое в сутках) со следующим законом распределения:

Оценить вероятность того, что коммивояжер затратит на работу 10.37. Наудачу выбранный посетитель банка делает вклад, величина которого является CB k () с равномерным распределением на интервале [ 80,100]. Если банк принимает в течении суток n = посетителей, то какова вероятность отрицательного суточного сальn

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Математическая статистика занимается изучением методов сбора и обработки опытных данных для получения научных и практических выводов и является разделом математики, очень близким к теории вероятностей. Лучше сказать, математическая статистика в решении своих специфических задач пользуется результатами теории вероятностей. Однако следует иметь в виду, что это другая, отдельная наука, решающая в каком-то смысле обратные задачи по сравнению с задачами теории вероятностей.

Типичная задача теории вероятностей. Задана вероятность p наступления случайного события в одном опыте. Какова вероятность того, что в 200 опытах событие A наступит 3 раза?

Типичная задача математической статистики. Произвели опытов, случайное событие A при этом наступило 3 раза. Какова вероятность наступления события A в одном опыте?

В математической статистике объектом исследования являются данные эксперимента.

Установление статистических закономерностей, присущих случайным явлениям, основано на изучении статистических данных – сведений о том, какие значения принял в результате наблюдения интересующий нас признак (случайная величина ). Например, исследуется спрос на определенные размеры мужской обуви по имеющимся статистическим данным о размерах 350 пар обуви, проданных магазином за неделю; исследуется точность измерительного прибора по результатам 50 независимых измерений.

Генеральной совокупностью называется совокупность объектов или наблюдений, все элементы которой подлежат изучению при статистическом анализе. Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной.

На практике изучение всего набора элементов генеральной совокупности в большинстве случаев оказывается невозможным. Часть объектов генеральной совокупности, используемая для исследования, называется выборочной совокупностью или выборкой ( ). Число объектов в генеральной совокупности ( N ) или выборке ( n ) называют их объемами. В примере об исследовании спроса на размеры мужской обуви используется выборка объема, в примере об исследовании точности измерительного прибора n = 50. Сущность выборочного метода состоит в том, что выводы, сделанные на основе изучения части совокупности (выборки), статистика позволяет распространять на всю генеральную совокупность.

Упорядоченная по возрастанию значений совокупность вариант носит название вариационного ряда.

Дискретным вариационным (статистическим) рядом или статистическим распределением выборки называют таблицу, которая n = 350, x2,..., xn } X = {x тельной частотой элемента xi, i = 1, s. Дискретный вариационный ряд, как правило, представляет собой выборку значений дискретной При изучении непрерывных признаков, для которых xi могут принимать как угодно близкие значения, пользуются интервальным вариационным (статистическим) рядом. Также использование интервальных рядов целесообразно при изучении выборок большого объема. Интервал J = [x1, x n ] разбивают на s промежутков одинаковой длины. При этом считают, что каждый промежуток содержит свой левый конец, но лишь последний промежуток содержит и свой правый конец. Далее для каждого промежутка подсчитывают число элементов выборки, попавших в него – ni, i = 1, s, в результате данные наблюдений представляют в виде таблицы:

Число промежутков s следует брать не очень большим, чтобы после группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобы не потерять особенности распределения признака. Согласно формуле Стерджеса, рекомендуемое число интервалов,а Для графического изображения вариационных рядов наиболее часто используются полигон и гистограмма.

Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, отрезки которой последовательно соединяют точки с координатами ( xi, ni ), i = 1, s.

При построении полигона для интервального вариационного ряда в качестве xi используют середины интервалов.

Гистограмма (частот, относительных частот) служит только для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями равными интервалам значений признака J i = [xi, xi +1 ) и высотами, равныni n ми плотности частоты Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения.

Суммарная площадь всех прямоугольников гистограммы равна 1:

тельная частота попадания элементов выборки в соответствующий интервал J i статистического ряда. Гистограмма является статистическим аналогом кривой распределения (кривой плотности распределения p (x) ), наблюдаемой случайной величины. При большом объеме выборки и достаточно малом с вероятностью, близкой к 1, можно считать кривую распределения и гистограмму приблизительно совпадающими.

Весьма важным является понятие эмпирической функции распределения.

Эмпирической функцией распределения называется функция где n x – накопленная частота, равная числу вариант меньших, чем пределения F (x) генеральной совокупности. Функцию распределения генеральной совокупности F (x) в математической статистике называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями распределения состоит в том, что F (x) определяет вероятность события < x, а – относительную частоту этого события, в силу закона больших чисел Функция Fn (x ) обладает всеми свойствами функции распределения:

Кумулятивная кривая (кумулята) – ломаная, соединяющая точки с координатами ( xi, n xi ), где n xi – накопленные частоты; для интервального ряда n xi – число вариант меньших значений вариант Итак, эмпирическая функция распределения и кумулята служат для оценки вида теоретической функции распределения дискретного и непрерывного признаков, полигон и гистограмма – для оценки вида теоретической кривой распределения.

Пример 11.1. В течение суток измеряют напряжение тока в электросети в вольтах. В результате опыта получена выборка X объема n = 30 :

Построить:

1) статистический ряд данной выборки, 2) полигон, 3) эмпирическую функцию распределения.

Решение.

1) Для построения статистического ряда различные значения признака располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту 2) Построим полигон этого распределения.

3) Построим эмпирическую функцию распределения. Наименьшая варианта x min = 106, значит, Fn ( x) = 0 при x 106. Пусть 107 < x 108, меньше значения x, удовлетворяющего этому интери x 2 = 107, n1 + n 2 = 1 + 3 = 4, следовательно, остальных интервалах. Убеждаемся, что действительно Fn ( x) = 1 при Построим график эмпирической функции распределения.

Пример 11.2. В таблице приведены значения промежутков времени (в минутах) между вызовами такси в городе Гродно.

Построить по этим данным:

1) интервальный вариационный ряд;

2) полигон;

3) гистограмму;

4) эмпирическую функцию распределения.

Решение.

1) По условию объем выборки n = 50. Определим оптимальную длину частичного интервала с помощью формулы Стерджеса:

За начало первого интервала можно выбрать величину xнач = xmin / (или xнач = xmin / 2 ), при этом первый интервал должен покрывать xmin, а последний – xmax. В данном случае xнач = 0 0,106 / 3 = = 0,035. Сгруппированный ряд представим в виде таблицы 2, где ni – число вариант, принадлежащих i -му интервалу.

3) Построим гистограмму.

-0,035 0,071 0,177 0,283 0,389 0,495 0,601 0, 4) В данном случае исследуется интервальный вариационный ряд, для непрерывно распределенного случайного признака. Эмпирическую функцию распределения находим таким же способом, как и в примере 11.1. Однако, учитывая, что теоретическая функция распределения является функцией распределения непрерывной случайной величины, ее эмпирическое приближение можем определить лишь на концах интервалов. Для графического изображения этой функции целесообразно ее доопределить, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой. В результате полученная ломанная совпадет с кумулятой. В последней графе таблицы 2 приведены значения функции распределения на концах интервалов:

Fn (0,389) = 0,8, Fn (0,495) = 0,92, Fn (0,601) = 0,96, Fn (0,707) = 1.

Построим график Fn (x ).

-0,035 0,071 0,177 0,283 0,389 0,495 0,601 0, Анализируя полученные результаты, можем предположить, интервалы времени между поступлениями вызовов такси распределены по показательному закону, так как полученная гистограмма схожа с кривой показательного распределения, график Fn (x) также схож с функцией показательного распределения.

11.1. На телефонной станции производились наблюдения за числом неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты:

Построить дискретный вариационный ряд, полигон, эмпирическую функцию распределения.

11.2. Пятьдесят наблюдений за жирностью молока дали следующие результаты в %:

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами. Построить полигон, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

11.3. Данные ежедневных измерений температуры в течение месяца представлены в таблице:

11.4. Ошибки 40 измерений приведены в таблице Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами. Построить полигон, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

11.5. При сверлении отверстий одним и тем же сверлом и последующем измерении диаметров получены следующие данные (в мм.):

результаты приведены в следующей таблице (в мм.):

N"). )."..

") 4A "> ". 4* ")N"4?>** N"4 )."?*3. "3A). ". ". 3A )..*. "3 )..""4A )."3")."? ". "?) )."?*>. "?) ?

)."*A )."A.".").")Построить"3. "*A"".данным.вариационный ряд, дискретный вариационпо этим "..).")*? "34 ") ". "*>3 ). N"." ). "">> N" " * " "). " Построить " 4> "> N")>> "N"?3 )..* A ). ""> распределения.

"? *A. ряд. "3. "*3>*?. полигон и эмпирическую "). "3) ?

)."3 > Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами. Построить полигон, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

11.8. В таблице приведены данные исследований срока работы электрических лампочек (в годах):

11.9. Время ожидания водителем зеленого света на перекрестке представлено случайной выборкой (в мин):

11.10. Наблюдении за месячным доходом 50 жителей региона дали следующие результаты (в тыс. руб.):

11.11. Имеются результаты наблюдений за числом сделок на фондовой бирже за квартал 40 инвесторов:

Построить по этим данным вариационный ряд, дискретный вариационный ряд. Построить полигон и эмпирическую функцию распределения.

11.12. Имеются статистические данные об удое 50 коров за лактационный период (в л):

11.13. В таблице приведено распределение 50 рабочих по производительности труда (единиц за смену):

?>)?

. A Построить по этим данным интервальный 4. вариационный ряд с равA) ными интервалами. Построить полигон, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

11.14. Имеются статистические данные об урожайности ржи на 40 участках колхозного поля (ц/га):

11.15. В таблице приведены статистические данные о числе поврежденных стеклянных изделий в одном контейнере:

11.16. Проведены исследования ошибки измерения дальности радиодальнометром, результаты экспериментов представлены в таблице:

11.17. Для определения надежности металлорежущих станков на заводе фиксировалось время их непрерывной работы до первого отказа. Полученные данные (в месяцах) приведены в таблице:

11.18. Интервал движения поездов метро составляет 2 минуты.

В таблице приведены значения времени ожидания пассажиром поезда (в мин).

11.19. В таблице приведены численные значения времени обслуживания клиентов кассиром некоторого банка (в мин.):

11.20. В таблице приведены значения прибыли 50 малых предприятий города Минска (в тыс. у.е.) за один из кварталов:

.>"> > *" )>".. > *">3> *"*. ?"A.4">> Построить A этим > ". > интервальный.вариационный ряд с равпо. ")4 данным. "3.) ?. "?> > "A>.. "4..

3"3) ными интервалами. Построить полигон, гистограмму и эмпиричесA 4"?

11.21. В фирме, производящей микропроцессоры, было исследовано их качество. Для этого испытаны 50 образцов и зафиксированы моменты выхода их из строя.

11.22. В одном из магазинов города исследовался спрос на прохладительные напитки в течение 50 летних дней. Имеются данные о количестве проданных бутылок:

11.23. В одном из магазинов города исследовался спрос на мороженное в течение 50 летних дней. Имеются данные о количестве проданных порций за день:

20541 20256 15264 10248 15248 20145 19254 18254 17458 15487 12458 12425 21478 17145 16547 14258 14689 12658 16478 16874 20458 19845 17844 17458 17452 16458 14532 13578 14578 14795 12458 18547 18754 18264 17548 16548 14875 12548 14587 15478 16145 15124 16015 17002 18048 Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами. Построить полигон, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

11.24. По данным выборочного обследования получено распределение семей по среднедушевому доходу (в у. е.):

11.25. В страховой компании имеются данные об объемах страховых премий, получаемых компанией ежедневно (в у.е.):

Средние величины характеризуют значения признака, вокруг которого концентрируются наблюдения. Наиболее распространенной из средних величин является средняя арифметическая.

Средней арифметической (выборочной средней) вариационного ряда называется величина:

)?A 3A )?A >A * >)?" )>A A >" A * A 3" )>. " 344" ?A есть «невзвешенная» средняя арифметическая.

Пример 12.1. Найти среднее напряжение тока в электросети для Отметим основные свойства выборочной средней, аналогичные свойствам математического ожидания случайной величины:

Кроме рассмотренной средней арифметической, в статистическом анализе применяются структурные средние – медиана и мода.

Медианой Me вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Для дискретного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным числом членов – полусумме двух серединных вариантов. Например, для примера 11. Для интервального ряда сначала находят медианный интервал J l = x l, x l +1 ), на который приходится середина ряда. Номер его будет соответствовать интервалу, кумулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот:

В случае выполнения равенства в предыдущей формуле номер медианного интервала равен l, в противном случае – l + 1. Медиану вычисляют по формуле Здесь l – порядковый номер интервала, где находится медиана, – величина медианного интервала, – накопленная частота домедианного интервала, n Me – частота медианного интервала.

При получении медианы ряд разбивается на 2 равные части. Если ряд разбить на 4 части, то получатся квартили ( q1, q 2, q 3 ), на 10 частей – децили. Второй квартиль q 2 равен медиане, а q1, q 3 вычисляются аналогично медиане с учетом разбиения.

Модой Mo вариационного ряда называется варианта, которой соответствует наибольшая частота. Например, в примере 11. Если распределение интервальное, то определяется модальный интервал J l = x l, x l +1, которому соответствует наибольшая частота nl, мода вычисляется по формуле:

где nl 1, nl +1 – частоты предмодального и послемодального интервалов.

Пример 12.2. Обследование качества пряжи дало следующие результаты, представленные в таблице. Найти моду и медиану этого Определим номер медианного интервала:

Следовательно, номер медианного интервала 5, а сам интервал 200 220. Тогда получаем 12.1. – 12.25. Используя данные задачи 11.1 – 11.25, вычислить:

а) выборочную среднюю, в) медиану распределения.

Согласно условию задачи указать смысл полученных характеристик.

§13. Показатели вариации, моменты Средние величины не отражают изменчивости (вариации) значений признака.

Простейшим показателем вариации является вариационный размах R = x max x min.

Наибольший интерес представляет мера рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической – дисперсия.

Дисперсией (выборочной дисперсий) вариационного ряда называется величина При расчете дисперсии и других числовых характеристик интервальных рядов в качестве xi также используют середины интервалов.

Часто для вычисления дисперсии используют упрощенную формулу:

Если признак измеряется в метрах, то, очевидно, его дисперсия – в метрах квадратных. Желательно в качестве меры вариации иметь характеристику, выраженную в тех же единицах, что и значения признака. Такой характеристикой является среднее квадратическое отклонение:

Отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака, выраженное в процентах, называют коэффициентом вариации:

C = const =2 D x Если коэффициент вариации признака, принимающего только D Cx+ D= = x положительные значения, высок (например, более 100 %), то, как правило, это свидетельствует о неоднородности значений признака.

Дисперсия обладает следующими свойствами, аналогичными свойствам дисперсии случайной величины:

Пример 13.1. Вычислить дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации напряжения тока в электросети Среднее квадратическое отклонение = 2,65 = 1,63. Вариация 109, Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда являются частными случаями более общего понятия – моментов.

Начальный момент ~ -го порядка вариационного ряда опk ределяется по формуле:

Центральный момент µ k -го порядка вариационного ряда определяется по формуле:

Коэффициентом асимметрии вариационного ряда называется число Если A s = 0, то распределение имеет симметричную форму, то есть варианты, равноудаленные от x, имеют одинаковую частоту. При A s > 0 ( A s < 0 ) говорят о положительной (отрицательной) или правосторонней (левосторонней) асимметрии.

Эксцессом вариационного ряда называется число Эксцесс является показателем крутости кривой распределения вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением, дисперсия которого равна 2. При Ex = 0 распределение нормальное.

Если Ex > 0, то кривая распределения имеет более острую вершину, чем при нормальном распределении, если Ex < 0 – более плоскую.

Пример 13.2. Вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс распределения напряжения тока в электросети для примера 11.1.

Решение. Сначала находим центральные моменты третьего и четвертого порядков:

Тогда A s = 3 = = 0,09 ; Ex = 4 3 = 3 = 0,44. Поскольку найденные показатели близки к нулю, то можно сделать вывод, что рассматриваемое в примере 11.1 распределение по асимметрии и крутости приближается к нормальной кривой.

Вычисление выборочной средней и дисперсии можно упростить, если использовать не первоначальные варианты xi, а новые варианты где C и k – специально подобранные постоянные. Тогда согласно свойствам средней арифметической и дисперсии Данный метод дает существенное упрощение в случае больших значений xi. В качестве постоянной k рекомендуется брать величину интервала по x, а в качестве – варианту, имеющую наибольшую частоту (середину интервала, имеющего наибольшую частоту).

13.1. – 13.25. Используя данные задачи 11.1 – 11.25, вычислить:

а) выборочную дисперсию, б) среднее квадратическое отклонение, в) вариацию, г) коэффициент асимметрии, д) эксцесс.

На основе полученных результатов сделать выводы.

§14. Статистические оценки параметров распределения. Методы нахождения оценок Основная задача теории оценок выглядит следующим образом.

Имеется случайная величина, для которой известен вид ее плотности распределения вероятностей с точностью до неизвестных параметров. Например, известно, что величина нормальная, то есть ее плотность вероятностей имеет вид но параметры a и, характеризующие эту плотность вероятностей, нам неизвестны. Нашей задачей является оценка этих неизвестных параметров. Будем пока считать, для простоты, что у нас имеется всего лишь один неизвестный параметр, подлежащий оценке.

Разумеется, оценить неизвестный параметр можно только на должны указать число, которое близко к истинному значению неизвестного параметра, то есть мы должны указать оценку неизвестного параметра. Значит, мы должны каждой выборке поставить в соответствии некоторое число, которое будет называться оценкой неизвестного параметра. Другими словами, оценка есть Задачей теории оценки как раз и является указание вида функции T ( X ).

Ясно, что функцию T ( X ) следует выбирать таким образом, чтобы ее значения как можно точнее оценивали значения неизвестного параметра. К оценкам предъявляются требования, ограничивающие выбор функции. Рассмотрим эти требования.

1. Несмещенность – требование отсутствия систематических ошибок, или требование того, чтобы оценка в среднем совпадала с истинным значением неизвестного параметра:

2. Эффективность. Оценкой качества оценка является ее вариация:

Для несмещенной оценки она совпадает, очевидно, с дисперсиn) T ( XP ей. sОценка называется эффективной, если ее вариация является миD нимальной среди вариаций всех возможных оценок параметра, n 1 вычисленных по одному и тому же объему выборки.

3. Состоятельность. Данное требование состоит в том, чтобы Желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно трем перечисленным требованиям.

Несмещенной оценкой математического ожидания случайной величины служит выборочная средняя. Смещенной оценкой дисперсии случайной величины служит выборочная дисперсия. Несмещенной оценкой дисперсии случайной величины служит «исправленная» выборочная дисперсия.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Рассмотрим основные методы нахождения точечных оценок.

Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов (начальных или центральных) соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.

Напомним, что теоретические моменты для дискретной величины определяются по формулам:

для непрерывных:

Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания достаточно одного уравнения, чаще всего используют уравнение Если распределение определяется двумя параметрами, то чаще всего используют систему:

Разумеется, что для вычисления выборочных характеристик надо располагать выборкой.

Пример 14.1. Найти оценку параметра распределения Пуассона с помощью метода моментов.

Решение. Распределение Пуассона задается вероятностями, k = 0,1,2,.... В данном случае для нахождения единственного параметра достаточно приравнять 1 = ~1 или M = x. Математическое ожидание распределения Пуассона равно. Следовательно, Пример 14.2. Случайная величина – время безотказной работы прибора, имеет показательное распределение:

Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы n = 200 элементов:

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.

Математическое ожидание показательного распределения равно.

Тогда получим оценку параметра :

Оценки метода моментов состоятельны, однако по эффективности они не являются наилучшими. Тем не менее метод моментов часто используется на практике, так как приводит к сравнительно простым вычислениям.

Основным методом получения оценок параметров генеральной совокупности по данным выборки является метод максимального правдоподобия, предложенный Р.Фишером.

Основу метода составляет функция правдоподобия, выражающая плотность вероятности (вероятность) совместного появления результатов выборки x1, x 2,...,x n :

где в случае непрерывного распределения p( x, ) – плотность распределения вероятностей исследуемой случайной величины, в случае дискретного распределения p( x, ) – вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение x.

Согласно методу максимального правдоподобия в качестве оценки неизвестного параметра принимается такое значение, которое максимизирует функцию L. То есть оценка является точкой максимума функции правдоподобия.

Нахождение оценки упрощается, если максимизировать не логарифмической функцией правдоподобия.

Точку максимума функции ln L по аргументу можно искать, например, так:

3. Найти вторую производную, если вторая прозводная при = отрицательна, то – точка максимума.

Найденную точку максимума принимают в качестве оценки максимального правдоподобия параметра,.

Перейдем к логарифмической функции правдоподобия:

(x1,,x22,,...,x k ) Пример 14.4. Пусть случайная величина имеет показательное распределение с плотностью вероятностей Требуется по результатам выборки x1, x 2,...,x n найти оценку неизвестного параметра.

Решение. Для показательного распределения функция правдоподобия имеет вид:

Логарифмируя эту функцию, получим:

Тогда Значит, оценка неизвестного параметра имеет вид =.

Пример 14.5. Для нормально распределенной случайной величины по результатам выборки найти оценку неизвестных параметров a и.

Решение. Плотность распределения вероятностей нормального закона имеет вид:

В этом случае функция правдоподобия имеет вид:

Прологарифмировав L, получим:

Важность метода максимального правдоподобия связана с опln Ln 1 n = 1 x =тимальными свойствами его оценок. Основной недостаток метода ° a ¦= ° n i =1 i 2 максимального правдоподобия – трудность вычисления оценок, свяi = + 3 с xi a ) 2 = уравнений правдоподобия, чаще всего нелинейСущественно и то, что для построения оценок максимального правдоподобия и обеспечения их «хороших» свойств необходимо знание типа анализируемого закона распределения p( x, ), что во многих случаях оказывается практически нереальным.

Широкое распространение в практике статистических исследований получил метод наименьших квадратов, так как он, во-первых, не требует знания закона распределения выборочных данных, во-вторых, достаточно хорошо разработан в плане вычислительной реализации. Суть его заключается в том, что оценка определяется из условия минимизации суммы квадратов отклонений выборочных Применение метода наименьших квадратов будет рассмотрено при решении задач корреляционного и регрессионного анализа.

14.1. Случайная величина – число семян сорняков в пробе зерна, распределена по закону Пуассона, ниже приведено распределение семян сорняков в 1000 пробах зерна:

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

14.2. По данным задачи 14.1 найти методом максимального правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

14.3. Найти методом моментов по выборке:

Точечную оценку параметра биномиального распределения, – 14.4. Найти методом моментов точечную оценку параметра p ло испытаний, проведенных до появления события A, p – вероятность появления события в одном испытании.

14.5. Случайная величина (уровень воды в реке по сравнению с номиналом) подчинена гамма-распределению, плотность которого Ниже приведено распределение среднего уровня воды по данным 45 паводков:

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров и рассматриваемого гамма-распределения.

14.6. Случайная величина (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами и. Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала 200 изделий:

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров точечные оценки параметров a и равномерного расределения, плотix=0,3 = p (1 pкоторого p1,1x) = 1 1,5 b >1,7, 1,9 2,2 2, bx 2,x ) n ность 0,7i 1 0,9 x ( 1, 6 ( +26 Найти методом максимального правдоподобия по выборке 14.9. Найти методом максимально правдоподобия по выборке точечную оценку параметра p геометрического распрегде xi – число испытаний, проведенделения ных до появления события A, p – вероятность появления события в 14.10. Найти методом максимального правдоподобия по выборточечную оценку параметра a (параметр распределения Кэптейна, плотность которого где g (x) – дифференцируемая функция.

14.11. По методу наибольшего правдоподобия найти оценку неизвестного параметра случайной величины, распределенной по закону Максвелла с плотностью вероятностей 14.12. Из генеральной совокупности, распределенной по закону с неизвестным параметром, сделана выборка плотность вероятности 14.13. Продолжительность безотказной работы датчика является случайной величиной с плотностью распределения вероятностей По фиксированным значениям методом максимального правдоподобия оценить неизвестный параметр.

14.14. Случайная величина представляет собой количество срывов поставок потребителям фирмами, производящими однородную продукцию. За определенный период обследовано 8 фирм, у которых количество срывов поставок соответственно равно: 6, 3, 1, 1, 3, 4, 0, 2. Полагая, что случайная величина распределена по закону Пуассона, методом максимального правдоподобия найти оценку параметра.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

При этом называют точностью оценки.

Следует обратить внимание на то, что границы интервала и его величина находятся по выборочным данным и поэтому являются случайными величинами в отличие от оцениваемого параметра – величины неслучайной, поэтому говорят, что интервал «покрывает» («накрывает»), а не «содержит» истинное значение.

Величина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки (уменьшается с ростом n ) и значения доверительной вероятности (увеличивается с приближением к единице).

Интервальной оценкой с надежностью математического ожиa tx (t ),s+ = P tt = )N )" Дисперсия D = x 2 ( x) 2 = 208,3456 - 14,4333 14,4333 = 0,0255. Среднее квадратическое отклонение = D = 0,1597.

2). Найдем теоретические частоты. Для этого пронормируем данX x Затем найдем теоретические вероятности, пользуясь формулой Pi = ( z i +1 ) ( z i ), (z ) – функция Лапласа. И, наконец, по форопределим теоретические частоты ni. Расчемуле ты приведем в следующей таблице:

3). Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона. Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле Необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов не менее 5 наблюдений. Однако, учитывая, что первые три интервала содержат малочисленные частоты, объединим их, а соответствующие частоты и теоретические частоты сложим. Данные расчетов приведем в таблице.

Значит, 2 = 0,2515. Столбец последней таблицы нужен для контроля, так как, если вычисления произведены правильно, то долn жно выполняться равенство По таблице критических точек распределения 2 (приложение 6), по уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы < кр, то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем.

Пример 17.2. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки объема n = 200 :

Решение. Во-первых, найдем выборочную среднюю x = 6, и выборочное среднее квадратическое отклонение = 0,0316.

2= (0,05;=u3 ==*,8... ". uтеоретические частоты по формуле k snh* 3) 7 = * для этого составим расчетную таблицу.

Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия Пирсона Значит, 2 = 8,5105. По таблице критических точек распределения 2 находим критическую точку правосторонней критической области 2 (0,05; 5) = 11,1.

Так как 2 < 2 – гипотезу о нормальном распределении генекр ральной совокупности принимаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо.

По смыслу частота есть целое число, поэтому иногда целесообразно округлить ni до целых, следя при этом за тем, чтобы сумма полученных таким образом теоретических частот была равна объему выборки. Получим частоты, сумма которых равна.

Замечание. Так как нормальное распределение является непрерывным, то, проверяя гипотезу о нормальном распределении на основе дискретного вариационного ряда данных, можно осуществить переход к интервальному вариационному ряду, считая варианты дискретного ряда серединами интервалов. Например, в примере 17.2 перейти к интервальному ряду Далее осуществлять проверку гипотезы аналогично примеру 17.1.

17.1. – 17.25. Используя данные задачи 11.1 – 11.25, при заданном уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, пользуясь критерием Пирсона.

Методы теории корреляции позволяют определить зависимость между различными факторами или случайными величинами. Термин корреляция произошел от латинского «correlatio» – соотношение, взаимосвязь.

В естественных науках часто речь идет о функциональной зависимости, когда каждому значению одной величины соответствует вполне определенное значение другой. Случайные величины обычно не связаны функциональной зависимостью. В экономике в большинстве случаев между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует не какое-то определенное, а множество возможных значений другой переменной.

Иначе говоря, каждому значению одной переменной соответствует определенное условное распределение другой переменной. Например, и т.д. Такая зависимость получила название статистической (или стохастической, вероятностной). Примером статистической связи является зависимость урожайности от количества внесенных удобрений, производительности труда на предприятии от его энерговооруженности и т.п.

В силу неоднозначности статистической зависимости между и для исследователя представляет интерес усредненная схема зависимости – зависимость условного математического ожидания или его статистического аналога y x от значений x случайной величины, то рая определяется как среднее арифметическое значений ( ), соответствующих значению = x. Такая зависимость получила название корреляционной. Корреляционной зависимостью между двумя величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой. Уравнение называют уравнением регрессии на, уравнение называют выборочным уравнением регрессии на. Функцию называют функцией регрессии, а ее график – линией регрессии.

Статистические связи между переменными можно изучать методами корреляционного и регрессионного анализа. Основной задачей корреляционного анализа является выявление связи между случайными величинами и оценка ее тесноты. Основной задачей регрессионного анализа – установление и изучение формы зависимости между переменными.

Данные о статистической зависимости удобно представлять в виде корреляционной таблицы.

Здесь nij – частоты появления пар ( xi, y j ), прочерк говорит о том, что соответствующая пара ( xi, y j ) не встречалась, n y j = ¦ nij, Наличие корреляции приближенно может быть определено с помощью корреляционного поля. Его получим, если нанесем на график в определенном масштабе точки, соответствующие наблюдаемым одновременным значениям двух величин ( xi, y j ).

Пример 18.1. В таблице приведены данные, отражающие зависимость урожайности зерновой культуры (ц) от расстояния до реки (км). Построить поле корреляции, сделать вывод.

Решение. Полученное корреляционное поле представлено на рис.

точки поля корреляции концентрируются вдоль убывающей прямой, то можно сделать3предположение об5обратной линейной зависимости между урожайностью и расстоянием до реки. То есть чем больше – расстояние до реки, тем меньше урожайность исследуемой зерновой культуры.

Перейдем к оценке тесноты корреляционной зависимости. Рассмотрим наиболее важный для практики случай линейной зависимости. В теории вероятностей показателем тесноты линейной зависимости являлся коэффициент корреляции, в математической статистике таким показателем является выборочный коэффициент корреляции.

Выборочным коэффициентов корреляции называется величина, рассчитываемая по формуле где xy = ¦ ¦ xi y j nij, x, y – выборочные средние, x, y – выбоn i =1 j = рочные средние квадратические отклонения.

Отметим основные свойства выборочного коэффициента корреляции, аналогичные свойствам коэффициента корреляции для случайных величин.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке 2. Чем ближе значение r к единице, тем более тесная линейная зависимость между изучаемыми величинами. В зависимости от того, насколько r приближается к единице, различают слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную и весьма тесную линейную связь.

3. Если r > 0, то говорят о прямой зависимости, то есть с увеличением значений одной из величин значения другой также увеличиваются, при r < 0 – обратную зависимость.

4. Если все значения переменных увеличить (уменьшить) на одно и то же число или в одно и то же число раз, то величина коэффициента корреляции не изменится. Коэффициент корреляции есть безразмерная характеристика тесноты линейной связи.

5. При r = ±1 корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость, при этом все точки поля корреляции лежат на одной прямой.

6. При r = 0 или r близком к нулю линейная корреляционная связь отсутствует. Но это не означает отсутствие другой зависимости, например, нелинейная связь может быть очень тесной.

Для ответа на вопрос о значимости коэффициента корреляции проверяют нулевую гипотезу H 0 : rг = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Если гипотеза принимается, то это означает, что между и нет линейной корреляционной зависимости, в противном случае линейная зависимость признается значимой.

гипотезу при конкурирующей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 7), по заданному уровню значимости и числу степеней свонайти критическую точку t кр (; k ) двухсторонней критической области. Если t набл < t кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если t набл > t кр – нулевую гипотезу отвергаем.

Пример 18.2. По данным примера 18.1 рассчитать выборочный H коэффициент корреляции. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю при конкурирующей гипотезе H 1 : rг 0. Сделать вывод.

Решение. Для удобства вычислений построим вспомогательную Находим средние значения:

Находим коэффициент корреляции:

Проверим гипотезу о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю. Рассчитаем наблюдаемое значение критерия По таблице критических точек распределения Стьюдента определим t кр (0,05; 48) = 2,01. Так как t набл > t кр, отвергаем нулевую гипотезу о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю.

Таким образом, анализируя полученное значение выборочного коэффициента корреляции, делаем вывод о достаточно тесной обратной линейной зависимости между и, что не противоречит выводам примера 18.1.

Найдем формулы расчета неизвестных параметров a и по имеющимся статистическим данным ( xi, yi ), i = 1, n.

Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений выборочных значений yi от значений y xi = a + bxi, полученных по уравнению регрессии, была минимальна:

На основании необходимого условия экстремума приравниваем нулю частные производные, получим После преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

Из последней системы следуют формулы для определения параметров уравнения парной линейной регрессии на :

Уравнение регрессии y x = a + bx можно с учетом формулы вычисления параметра a записать в виде Коэффициент b показывает, на сколько единиц в среднем изменится переменная при увеличении переменной на одну единицу.

Уравнение регрессии может быть использовано для прогнозирования значений при значениях не указанных в корреляционной таблице.

Замечание. Если значения переменных и (то есть и yj ) достаточно велики, то при расчете параметров a и удобно перейти к условным вариантам ui = Пример 18.3. По данным примера 18.1 определить параметры уравнения парной линейной регрессии, построить линию регрессии на корреляционном поле. Спрогнозировать значение урожайности Решение.

Определим параметры уравнения регрессии Запишем полученное уравнение регрессии y x = 182,17 2,17 x и нанесем полученную прямую на корреляционное поле.

Пример 18.4. Найти коэффициент линейной корреляции между если распределение признаков приводится в таблице.

Решение. Составим следующую расчетную таблицу Выборочный коэффициент корреляции параметры уравнения b = 0,84 = 7,8, a = 27,6 7,8 2,73 = 6,31.

Уравнение регрессии y x = 6,31 + 7,8 x.

18. Для исследования зависимости случайных величин и получены статистические данные, представленные в корреляционной таблице ( а) построить корреляционное поле, б) определить выборочный коэффициент корреляции, в) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю при конкурирующей гипотезе, г) найти уравнение прямой регрессии на, д) построить линию регрессии на корреляционном поле.

18.6.

18.7.

18.8.

18.9.

18.10.

18.11.

18.12.

18.13.

Дисперсионный анализ определяется как статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов. Например, необходимо выяснить, существенно ли различие между партиями некоторого изделия по определенному показателю качества, то есть проверить влияние на качество изделия одного фактора – партии изделия. По числу факторов, влияние которых исследуется, различают однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ.

Пусть на количественный нормально распределенный признак воздействует фактор, который имеет m постоянных уровней. Одновременно будем рассматривать пример об исследовании влияния технологии обработки почвы на урожайность. Задаiji=,1,,m..., Fmча, которую предстоит решить, ставится следующим образом: выясF i 1= F2ni ni 1, нить, влияет выбор технологии обработки почвы на урожайность культуры или нет. Выбор технологии естественно назвать фактором, если m – полное число применяемых технологий, то каждую отдельную уровне проведено наблюдений, в результате которых получено примере xij – урожайность культуры, полученная в j -м году при исгде ni – число лет, в течение которых производились наблюдения за применением технологии Fi.

Рассмотрим математическую модель, в которой предполагается, что каждая случайная величина xij может быть представлена в виде xij = xгрi + ij, где согласно условию примера xгрi – урожайность, вызванная применением технологии Fi, а ij – независимые случайные величины, которые описывают суммарный вклад всех случайных факторов, влияющих на итоговую урожайность. Чаще всего полагают, что все ij распределены нормально с нулевым математическими ожиданиями и с одинаковыми неизвестными дисперсиями 2.

Задача об исследовании влияния технологии обработки почвы на урожайность культуры на математическом языке означает, что по результатам эксперимента необходимо проверить справедливость статистической гипотезы H 0 : xгр1 = xгр 2 =... = xгрm, против альтернативной гипотезы H 1 о том, что хотя бы одно равенство не выполнено. То есть на некотором уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних при допущении, что групповые генеральные дисперсии неизвестны, но одинаковы.

Проверка гипотезы основана на сопоставлении двух оценок неизвестной дисперсии. Обозначим Несмещенной оценкой для неизвестной дисперсии 2 является, как известно, сумма квадратов деленная на n 1, где n = ¦ ni – количество всех наблюдений (если на каждом уровне проведено одинаковое количество наблюдений n1 = n2 =... = nm = n, то n = n m ). Основная идея дисперсионного анализа заключается в разбиении этой суммы квадратов отклонений на несколько компонент, каждая из которых соответствует предполагаемой причине изменения средних значений xгрi.

Справедливо тождество:

или В результате получим следующее тождество:

где S общ = ¦ ¦ ( xij x) 2 – общая или полная сумма квадратов отi =1 j = клонений;

S факт = ¦ ni ( x грi x) 2 – сумма квадратов отклонений группоi = вых средних от общей средней или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;

S ост = ¦ ¦ ( xij x грi ) 2 – сумма квадратов отклонений наблюдеi =1 j = ний от групповых средних или внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.

В разложении S общ = S факт + S ост заключена основная идея дисперсионного анализа. Применительно к рассматриваемому примеру данное равенство показывает, что общая вариация показателя урожайности культуры, измеренная суммой S общ, складывается из двух компонент – S факт и S ост, характеризующий изменчивость показателя урожайности между технологиями ( S факт ) и изменчивость «внутри» технологи ( S ост ).

В дисперсионном анализе анализируются не сами суммы квадратов отклонений, а так называемые средние квадраты, являющиеся несмещенными оценками соответствующих дисперсий, которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы (см. «исправленная» выборочная дисперсия).

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений минус число связывающих их уравнений. Поэтому несмещенной оценкой межгрупповой дисперсии является так как при расчете S факт используются m групповых средних, связанных между собой одним уравнением. Несмещенной оценкой внутригрупповой дисперсии является ибо при расчете S ост используются все n наблюдений, связанных между собой уравнениями. В случае однофакторного комплекса sфакт и sост являются несмещенными и независимыми оценками дисперсии 2.

Сравним обе оценки sфакт и sост. Если гипотеза H 0 верна, то дисперсионное отношение (статистика) имеет распределение Фишера с m 1 и n m степенями свободы. Следовательно, проверка нулевой гипотезы свелась к проверке существенности различия несмещенных выборочных оценок Гипотеза H 0 отвергается, если фактически вычисленное значение статистики F больше критического Fкр (; m 1; n m) и принимается, если F < Fкр (; m 1; n m).

Применительно к рассматриваемому примеру опровержение гипотезы H 0 означает наличие существенных различий в урожайности культуры в зависимости от выбранной технологии.

Если установлено, что фактор F влияет на результативный признак, то возникает вопрос о степени этого влияния. Для измерения степени влияния фактора на результативный признак используют выборочный коэффициент детерминации, равный Коэффициент детерминации показывает, какая часть общей дисперсии результативного признака объясняется зависимостью признака от фактора. Тогда 1 R 2 – доля дисперсии результативного признака, обусловленная случайными факторами. Очевидны следующие свойства коэффициента детерминации:

Пример 19.1. В таблице приведены данные об урожайности сельскохозяйственной культуры за 6 лет при различных технологиях обработки почвы.

Выяснить на уровне значимости = 0,05, зависит ли урожайность сельскохозяйственной культуры от технологии обработки почвы. Установите степень влияния технологии обработки почвы на урожайность.

Решение. Рассчитаем групповые средние и общую среднюю.

Вычислим суммы квадратов отклонений:

S факт = ¦ ni ( x грi x) 2 = 6(141,5 145,4211) 2 + 4(149 145,4211) 2 + + 5(147,8 145,4211) 2 + 4(144,75 145,4211) 2 = 173,582;

Результаты сведем в таблицу Сделаем выводы. По таблице критических точек распределения Фишера (приложение 8) определим Fкр (0,05; 3; 15) = 3,29. Так как F = 15,215 > Fкр (0,05; 3; 15) = 3,29, то нулевая гипотеза отвергается, то есть на уровне значимости 0,05 (с надежностью 0,95, или 95 % ) выбор технологии существенно влияет на урожайность. Анализируя значение коэффициента детерминации, можем утверждать, что 75,3 % общего изменения урожайности3обусловлены технологией и C > 24,7 % другими случайными составляющими.

19. Для заданного уровня значимости = 0,05 установите влияние типа используемой рекламы на объем продаж товара. Определите степень влияния типа используемой рекламы на объем продаж товара.

19.2.

ламы 19.3.

19.4.

ламы 19.5.

рекламы 19.6.

рекламы 19.7.

рекламы 19.8.

рекламы 19.9.

рекламы 19.10.

рекламы 19.11.

рекламы 19.12.

рекламы 19.13.

рекламы 19.14.

рекламы 19.15.

рекламы 19.16.

рекламы 19.17.

рекламы 19.18.

рекламы 19.19.

рекламы 19.20.

рекламы 19.21.

рекламы 19.22.

рекламы 19.23.

рекламы 19.24.

рекламы 19.25.

рекламы

ПРИЛОЖЕНИЯ

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ

0,30 0,1179 0,62 0,2324 0,94 0, 0,31 0,1217 0,63 0,2357 0,95 0, 3,0 0,0001 0, 3,5 0,0002 0,0001 0, 8,0 0,0481 0,0296 0,0169 0,0090 0, 9,0 0,0728 0,0504 0,0324 0,0194 0, 10,0 0,0948 0,0729 0,0521 0,

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

степеней свободы

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА

Уровень значимости (двусторонняя критическая область) Число степеней свободы k

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ФИШЕРА – СНЕДЕКОРА

18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,36 19,37 19,38 19,39 19,40 19, 1. Боровков, А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. – М: Наука, 1986. – 428 с.

2. Боровков, А.А. Математическая статистика / А.А. Бровков. – М.: Наука, 1984. – 472 с.

3. Гихман, Н.Н. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Н. Гихман, А.В. Скороход, М.Н. Ядренко. – Киев: Высшая школа, 1979. – 408 с.

4. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко. – М: Наука, 1988. – 447 с.

5. Коваленко, И.Н. Теория вероятностей и математическая статистика / И.Н. Коваленко, А.А. Филиппова. – М: Высшая школа, 1982. – 256с.

6. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. – М.: Юнити-Дана, 2000. – 543 с.

7. Маталыцкий, М.А. Вероятность и случайные процессы: теория, примеры, задачи / М.А. Маталыцкий. – Гродно: ГрГУ, 2006. – 583 с.

8. Мацкевич, И.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика / И.П. Мацкевич, Г.П. Свирид. – Мн.: Высшая школа, 1993. – 272 с.

9. Пугачев, В.С. Теория вероятностей и математическая статистика / В.С. Пугачев. – М: Наука, 1973. – 496 с.

10. Севастьянов, Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б.А. Севастьянов. – М: Наука, 1982. – 252 с.

11. Четыркин, Е.М. Вероятность и статистика / Е.М. Четыркин, И.Я. Калихман. – М.: Финансы и статистика, 1982. – 319 с.

12. Чистяков, В.П. Курс теории вероятностей / В.П. Чистяков. – М: Наука, 1987. – 240 с.

1. Агапов, Г.И. Задачник по теории вероятностей / Г.И. Агапов. – М: Высшая школа, 1986. – 80 с.

2. Белько, И.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи / И.В. Белько, Г.П. Свирид. – Мн.: Новое знание. 2002. – 250 с.

3. Вентцель, Е.С. Прикладные задачи теории вероятностей / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – М: Радио и связь, 1983. – 416 с.

4. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высш. шк., 2000. – 400 с.

5. Емельянов, Г.В. Задачник по теории вероятностей и математической статистике / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович. – Ленинград: ЛГУ, 1967. – 331 с.

6. Зубков, А.М. Сборник задач по теории вероятностей / А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков. – М: Наука, 1989. – 320 с.

7. Лаппо, П.М. Задачы па теорыi iмавернасцей / П.М. Лаппо, М.А. Маталыцкi. – Мiнск: Унiверсiтэцкае, 1995. – 87 с.

8. Маталыцкий, М.А. Теория вероятностей в примерах и задачах / М.А. Маталыцкий, Т.В. Романюк. – Гродно: ГрГУ, 2002. – 247 с.

9. Мацкевич, И.П. Сборник зада и упражнений по высшей математике: Теории вероятностей и математическая статистика / И.П. Мацкевич, Г.П. Свирид, Г.М. Булдык. – Мн.: Высш. шк., 1996. – 318 с.

10. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / под ред. А.А. Свещникова. – М: Наука, 1965. – 632 с.

11. Рябушко, А.П. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике / А.П. Рябушко, В.В. Бархотов, В.В. Државец, И.Е. Юруть. – Мн.: Высш. шк., 1992. – 191 с.

12. Харин, Ю.С. Сборник задач по теории вероятностей, случайных процессов и математической статистике / Ю.С. Харин, Г.А. Хацкевич, В.И. Лобач. – Минск: БГУ, 1995. – 99 с.

Предисловие

Глава 1. Элементы теории вероятностей

§1. Случайные события. Классическое определение вероятности

§2. Геометрическое определение вероятности

§3. Условная вероятность и независимость событий.............. §4. Формула полной вероятности и формула Байеса............... §5. Схема независимых испытаний Бернулли

§6. Одномерные случайные величины

§7. Многомерные случайные величины. Независимость и функциональные преобразования случайных величин...... §8. Математическое ожидание случайных величин................. §9. Другие числовые характеристики случайных величин..... §10. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.... Глава 2. Элементы математической статистики................ §11. Вариационные ряды и их графическое изображение.... §12. Средние величины

§13. Показатели вариации, моменты

§14. Статистические оценки параметров распределения.

Методы нахождения оценок

§15. Интервальные оценки

§16. Некоторые статистические распределения

§17. Проверка статистических гипотез

§18. Элементы теории корреляционного и регрессионного анализа

§19. Однофакторный дисперсионный анализ

Приложения

Приложение 4. Таблица значений t = t (, n)

Приложение 5. Таблица значений q = q (, n)

Приложение 6. Критические точки распределения 2.............. Приложение 7. Критические точки распределения Стьюдента... Приложение 8. Критические точки распределения F Фишера – Снедекора

Рекомендуемая литература

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Сдано в набор 19.06.2007. Подписано в печать 20.11.2007.

Усл. печ. л. 12,79. Уч.-изд. л. 11,66. Тираж экз. Заказ.

Учреждение образования «Гродненский государственный ЛИ № 02330/0133257 от 30.04.2004. Пер. Телеграфный, 15а, 230023, Гродно.

Отпечатано на технике издательского центра Учреждения образования «Гродненский государственный ЛП № 02330/0056882 от 30.04.2004. Пер. Телеграфный, 15а, 230023, Гродно.

Pages: | 1 |

Главная >> Методички

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«Т.К. Миронова Право социального обесПечения Учебное пособие КНОРУС • МОСКВА • 2013 УДК 349.3(075.8) ББК 67.405я73 М64 Миронова Т.К. М64 Право социального обеспечения : учебное пособие / Т.К. Миронова. — М. : КНОРУС, 2013. — 312 с. ISBN 978-5-406-02868-1 Кратко отражены вопросы Общей части отрасли. Основное внимание уделе но институтам Особенной части — базовым положениям, которые определяют ключевые параметры отечественной системы социального обеспечения и глав ные подходы к регламентации...»

«Список электронных образовательных ресурсов на CD и DVD-дисках школьной библиотеки МБОУ СОШ №23 с УИИЯ ХИМИЯ № Класс Наименование Аннотация Колрег. во (шт.) Химия в школе Химия в школе: Кислоты и основания. - 1 2 8 Екатеринбург : ООО Уральский электроный завод, 2002. - 111,00. На уроках химии по теме и для проектных работ Виртуальная химическая Виртуальная химическая лаборатория : 3,5 лаборатория Лаборатория. Конструктор молекул. Задачи. Тесты. - Екатеринбург : ООО Уральский электронный завод,...»

«Уважаемые выпускники! В перечисленных ниже изданиях содержатся методические рекомендации, которые помогут должным образом подготовить, оформить и успешно защитить выпускную квалификационную работу. Рыжков, И. Б. Основы научных исследований и изобретательства [Электронный ресурс] : [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки (специальностям) 280400 — Природообустройство, 280300 — Водные ресурсы и водопользование] / И. Б. Рыжков.— СанктПетербург [и др.] : Лань,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Дальневосточный государственный гуманитарный университет (ГОУ ВПО ДВГГУ) ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ФИЗИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Кафедра физики ОТЧЕТ о результатах самообследования КАФЕДРЫ ФИЗИКИ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ, ФИЗИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ по состоянию на 11.12.2008 года Утвержден на заседании кафедры физики...»

«Министерство образования и науки Республики Казахстан КГКП Геологоразведочный колледж г.Семей Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения по дисциплине Основы геофизических методов поисков и разведки МПИ для средних профессиональных учебных заведений по специальности 0701000 Геологическая съемка, поиски и разведка месторождении полезных ископаемых Семей 2012 Программа, методические указания и контрольные задания для студентов заочного...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Утверждаю Заместитель Министра образования и науки Российской Федерации _ А.Г.Свинаренко 31 января 2005 Номер государственной регистрации 722 пед/бак (новый) ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НАПРАВЛЕНИЕ ФИЛОЛОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ СТЕПЕНЬ (КВАЛИФИКАЦИЯ) — БАКАЛАВР ФИЛОЛОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Вводится с момента утверждения взамен ранее утвержденного 27.03.2000 г. №258пед/бак Москва 2005 г. I. ОБЩАЯ...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники Военный факультет ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ Материалы 49-й научной конференции аспирантов, магистрантов и студентов (Минск, 8 мая 2013 года) Минск БГУИР 2013 УДК 001.895:378 Редакционная коллегия: А.М. Дмитрюк, С.Н. Касанин, С.И. Паскробка, Р.А. Градусов, С.Н. Ермак Инновационные технологии в учебном процессе: материалы 49-й научной...»

«СОДЕРЖАНИЕ Стр. 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 4 1.1. Нормативные документы для разработки ООП по 4 направлению подготовки Общая характеристика ООП 1.2. 5 1.3. Миссия, цели и задачи ООП ВПО 6 1.4. Требования к абитуриенту 7 ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ 2. 7 ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВЫПУСКНИКА ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ Область профессиональной деятельности выпускника 2.1. Объекты профессиональной деятельности выпускника 2.2. Виды профессиональной деятельности выпускника 2.3. Задачи профессиональной деятельности...»

«Б А К А Л А В Р И А Т В.Г. ШИРОБОКОВ З.М. ГРИБАНОВА А.А. ГРИБАНОВ БУХГАЛТЕРСКИЙ ФИНАНСОВЫЙ УЧЕТ Рекомендовано УМО по образованию в области финансов, учета и мировой экономики в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности Бухгалтерский учет, анализ и аудит Второе издание, стереотипное КНОРУС • МОСКВА • 2013 УДК 657(075.8) ББК 65.052я73 Ш64 Рецензенты: И.М. Сурков, заведующий кафедрой Статистика и анализ хозяйственной деятельности Воронежского государственного...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.Р. Луц, И.А. Галочкина АЛЮМИНИЕВЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ СПЛАВЫ – СПЛАВЫ БУДУЩЕГО САМАРА 2013 Издается по решению методического совета ФТФ СамГТУ УДК 544-971.2 Алюминиевые композиционные сплавы – сплавы будущего: Учебное пособие / Сост. А.Р.Луц, И.А. Галочкина. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т,...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Полоцкий государственный университет В. Ф. Коренский ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ, МАШИН И МАНИПУЛЯТОРОВ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для студентов специальностей 1-36 01 01, 1-36 01 03 В двух частях Часть 1 ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ОСНОВЫ КУРСОВОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН Новополоцк ПГУ 2008 УДК 621-01(075.8) ББК 34.41я73 К66 Рекомендовано к изданию советом машиностроительного факультета в качестве учебно-методического комплекса...»

«Министерство здравоохранения Красноярского края Обеспечение доступности первичной медико-санитарной помощи в амбулаторно-поликлинических отделениях (учреждениях) на территории Красноярского края Часть I Организация работы по формированию потока пациентов в амбулаторно-поликлинических отделениях (учреждениях) Методические рекомендации для организаторов здравоохранения, врачей первичного звена, врачей-специалистов, экспертов Красноярск 2012 1 2 Министерство здравоохранения Красноярского края...»

«DESIGNER’S PRINTING C O M PA N I O N by Heidi Tolliver Nigro National Association for Printing Leadership Paramus, New Jersey КОМПАНЬОН ДИЗАЙНЕРА Хайди Толивер Нигро ТЕХНОЛОГИИ ПЕЧАТИ Рекомендовано Учебно методическим объединением по образованию в области полиграфии и книжного дела в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям в области техники и технологии полиграфии. Москва 2006 Книга Технологии печати — пятое издание, подго товленное ПРИНТ...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Методические рекомендации и контрольные работы по дисциплине Микробиология для студентов 3 курса заочного отделения фармацевтического факультета Учебно-методическое пособие для вузов Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2010 2 Утверждено научно-методическим советом фармацевтического факультета _ 2010...»

«Приложение к приказу департамента социальной защиты населения от _31.12.2013_№508 Положение об учетной политике для целей бюджетного и бухгалтерского учета. I. Общие принципы и правила ведения бюджетного учета 1.1. Бюджетный учет осуществляется в соответствии с: - Бюджетным кодексом Российской Федерации (Федеральный закон от 31.07.1998 № 145-ФЗ); - Налоговым кодексом Российской Федерации (Федеральный закон от 31.07.1998 № 146-ФЗ); - Федеральным законом от 06.12.2011 № 402-ФЗ О бухгалтерском...»

«НАЦИОНАЛЬНАЯ АССОЦИАЦИЯ БЛАГОТВОРИТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ А.С.Автономов, Н.Л.Хананашвили ОЦЕНКА В СОЦИАЛЬНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ Москва 2010 2 А.С.Автономов, Н.Л.Хананашвили. Оценка в социальном проектировании. Методическое пособие./ Под общей редакцией А.С.Автономова. М.: Национальная Ассоциация благотворительных организаций, 2010. – 150 с. Введение, глава 4, некоторые итоги совместно (заключение) – А.С.Автономов и Н.Л.Хананашвили Главы 1, 5, 6 – А.С.Автономов Главы 2, 3, 7 – Н.Л.Хананашвили Данная...»

«ФИЛИАЛ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА в г. НОВОСИБИРСКЕ (Филиал ОУ ВО СПб ИВЭСЭП в г. Новосибирске) Красный проспект, 167, г. Новосибирск, Россия, 630049, Тел.: (383) 200-00-30, Факс: (383) 200-01-41 http://www.ivesep-nsk.ru E-Mail: [email protected] ОКПО 49087610 ОГРН 1027809216566 ИНН 7825055606 КПП 540202001 Сибирский банк Сбербанка России, р/с 40703810144070100483 БИК 045004641 к/с...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОГРАММА ПО БИОЛОГИИ Персиановский 2014 Составитель: Костылев Э.В. На письменном экзамене по биологии (письменное тестирование) проверяется практическая грамотность абитуриентов. Продолжительность - 3 часа (180 минут), результаты оцениваются по стобалльной шкале. Программа сформирована на основе федерального государственного...»

«Кафедра менеджмента и психологии управления УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ образовательной программы 080200.68 Менеджмент магистерской программы Управление человеческими ресурсами МОСКВА 2013 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.А.ШОЛОХОВА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ образовательной программы 080200.68 Менеджмент магистерской программы Управление человеческими ресурсами Москва...»

«Л. Г. Скамай СТРАХОВОЕ ДЕЛО УЧЕБНИК Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов средних специальных учебных заведений МОСКВА ЮРАЙТ 2011 УДК 368 ББК 65.9(2)27 С42 Автор: Скамай Любовь Григорьевна, кандидат экономических наук, доцент, профессор кафедры Предпринимательство Государственного университета управления (ГУУ). Скамай, Л. Г. Страховое дело : учебник / Л. Г. Скамай. — М. : Издательство С42 Юрайт, 2011. — 343 с. — Серия : Основы наук....»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ФИШЕРА – СНЕДЕКОРА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)