«М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методическое пособие для студентов Института последипломного образования и студентов, получающих высшее образование по сокращенной ...»

Министерство образования Республики Беларусь

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ»

М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие для студентов Института последипломного образования и студентов, получающих высшее образование по сокращенной форме обучения Гродно 2007 УДК 519.2 (075.8) ББК 22.171 М33 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор Н.Н. Труш, кандидат физико-математических наук, доцент А.А. Крушельницкий.

Рекомендовано Советом факультета математики и информатики ГрГУ им. Я. Купалы Маталыцкий, М.А.

Теория вероятностей и математическая статистика : учеб.- метод.

М33 пособие / М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко. – Гродно : ГрГУ, 2007. – 219 с.

ISBN В учебно-методическом пособии даются основы теории вероятностей и математической статистики. В каждом из параграфов кратко излагается теоретический материал, приведены решения типовых примеров, даны задачи для самостоятельного решения различной степени трудности. Представленные задачи могут быть использованы при составлении контрольных работ и индивидуальных домашних зданий для студентов очной и заочной форм обучения. Адресовано студентам инженерных и экономических специальностей, а также лицам, занимающимся самообразованием, инженерным работникам, которые интересуются теорией вероятностей, математической статистикой и их применениями.

УДК 519.2 (075.8) ББК 22. © Маталыцкий М.А.,Русилко Т.В., ISBN © ГрГУ им. Я. Купалы, Предисловие За последнее десятилетие значительно увеличился объем преподавания теории вероятностей в высших учебных заведениях. В университетах и институтах для студентов различных специальностей читается полугодовой или годовой курс теории вероятностей и математической статистики, обязательным является раздел, связанный с вероятностью и статистикой, для студентов инженерных и экономических специальностей.

Предлагаемое учебно-методическое пособие является пособием по теории вероятностей и математической статистики для слушателей Института последипломного образования (ИПО) и студентов факультета непрерывного образования, получающих высшее образование по сокращенной форме обучения. Оно написано на достаточно строгом математическом уровне, но в то же время понятном студентам-нематематикам. Примеры и задачи также подобраны соответствующим образом. Пособие поможет студентам в самостоятельной работе и выполнении контрольных работ. Каждый из параграфов пособия имеет введение, где приводятся краткие сведения о понятиях и утверждениях теории вероятностей, необходимых для решения задач, приводятся решения типовых примеров. В пособии дается большое число задач различной степени трудности; в нем представлено значительное число задач «прикладного» характера, что позволяет не только обучить студента теоретическим основам, но и привить навыки вероятностно-статистического моделирования реальных явлений.

При написании пособия был использован ряд отечественных и зарубежных учебников и задачников, приведенных в списке литературы. Некоторые из задач составлены авторами.

Выражаем благодарность рецензентам, сделавшим ряд полезных замечаний.

Глава

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§1. Случайные события.

Классическое определение вероятности Определение. Возможные события, порождаемые комплексом условий, называются элементарными, если:

а) они различны (т.е. осуществление одного означает неосуществление любого другого);

б) после выполнения комплекса условия обязательно происходит одно из них.

Обозначим через = {1, 2,..., n,...} множество (пространство) элементарных событий.

Определение. Любое объединение элементарных событий называется случайным событием, B.

Событие B осуществляется тогда, когда происходит одно из элементарных событий B. В этом смысле множество может рассматриваться тоже как событие. Т.к. одно из элементарных событий происходит всегда, то и событие происходит всегда, поэтому оно является достоверным событием. Событие, не содержащее ни одного элементарного события, является невозможным и обозначается.

Таким образом, мы пришли к описанию случайных событий как множеств, получающихся объединением элементарных событий. В связи с этим для определения соотношений между случайными событиями в теории вероятностей принят язык теории множеств, который приобретает своеобразную вероятностную трактовку. Поясним некоторые из них при помощи таблицы 1.

Определение (классическое определение вероятности). Пусть случайное событие A состоит из n элементарных событий:

B  C,...., События B, = являются ) несовместными. Если Данная формула называется формулой классической вероятности.

A = \ Bчто хотя бы один раз герб окажется наверху.

Решение. Множеством элементарных событий является множеA= B ство Событие, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}. Здесь, например, когда означает, что при первом бросании появился герб, а при втором – цифра. Таким образом: N = 4, Основной проблемой при решении задач с использованием формулы классической вероятности является подсчет числа способов, которыми могло произойти то или иное событие. В связи с этим такие задачи решаются, как правило, методами комбинаторики.

Часто используется следующее очевидное правило (основной принцип комбинаторики): если некий выбор A можно осуществить m различными способами, а некоторый другой выбор можно осуи B ( A или B ) можно осущеществить n способами, то выбор ствить mn (m + n ) способами.

При этом классическое определение вероятности можно дать другими словами.

Определение. Рассмотрим эксперимент, имеющий N одинаково возможных исходов (любой мыслимый результат эксперимента называется элементарным событием). Предположим, что событию A благоприятствует n из этих исходов (оно состоит из n элементарных событий). Тогда справедлива формула классической вероятности.

Рассмотрим свойства классической вероятности:

1. Для любого события из N элементарных событий.

+ P(B), поскольку если событие A содержит n1 элементарных событий, а событие B – n 2 элементарных событий, то событие A  B содержит n1 + n 2 элементарных событий; и, следовательно, P ( A  B ) = Остальные свойства вытекают из этих трех свойств.

4. Вероятность противоположного события A равна P ( A ) = При решении задач часто используют размещения, перестановки и сочетания. Если дано множество = {1, 2,..., n }, то размещением (сочетанием) из n элементов по называется любое упорядоченное (неупорядоченное) подмножество из k элементов множества. При размещение называется перестановкой из хотя бы одним элементом, а размещения отличаются либо самими элементами, либо порядком их следования.

Число сочетаний из n элементов по вычисляется по формуле элементов по, а Pk = k! – число перестановок из k элементов.

Рассмотрим перестановки с повторениями. Пусть из элементов 1, 2,..., i образуются конечные последовательности, содержащие i k i раз, k1 + k 2 +... + k i = n. Такие последовательности называются перестановками с повторениями. Две перестановки считаются одинаковыми, если они совпадают порядком расположения элементов и считаются различными, если у них различный порядок расположения элементов. Число различных перестановок с повторениями равно Пример 1.2. Какова вероятность того, что из шести отмеченных чисел в карточке «спортлото» (игра 6 из 49) k чисел будут выигрышными, k = 0, 6.

Решение. В данном примере эксперимент состоит в том, что случайным образом отмечаются 6 чисел из 49 в карточке «спортлото».

Поэтому равновозможными элементарными событиями будут наборы из шести отмеченных чисел. Т.к. для определения того, произойдет или не произойдет событие A – среди отмеченных чисел k чисел выигрышные, – порядок чисел не существен, то в качестве равновозможных элементарных событий достаточно рассматривать неупорядоченные наборы 6 чисел из 49. Следовательно, число равновозможных элементарных событий равно C 6. Событие A состоит из наборов 6 чисел, k из которых выигрышные, а 6- k проигрышk ные. Набор из k выигрышных чисел можно выбрать C 6 способами, а набор 6- k проигрышных чисел можно выбрать C 6 k способами.

Тогда по основному принципу комбинаторики набор из k выигрышных и 6- k проигрышных чисел можно выбрать C 6 C 6 k способами, следовательно, 1.1. Игральный кубик бросают дважды. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 4.

1.2. Среди n лотерейных билетов выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.

1.3. В партии, состоящей из N изделий, имеется k дефектных.

В процессе приемного контроля из партии выбирается n изделий.

Найти вероятность того, что из них ровно изделий будут дефектными.

1.4. Рабочий у конвейера при сборе механизма устанавливает в него две одинаковые детали. Берет он их случайным образом из имеющихся у него 10 штук. Среди деталей находятся 2 уменьшенного размера. Механизм не будет работать, если обе установленные детали окажутся уменьшенного размера. Определить вероятность того, что механизм будет работать.

1.5. человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (K > 2 ). Найти вероятность того, что два фиксированных лица A и B окажутся рядом.

1.6. Определить вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.

1.7. На десяти карточках написаны буквы A, A, A, M, M, T, T, Е, И, K. После перестановки вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают их в том порядке, в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово «МАТЕМАТИКА».

1.8. Из разрезной азбуки составляют слово «ЭКОНОМИКА».

Затем все буквы этого слова перемешиваются и снова вкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово «ЭКОНОМИКА».

1.9. Телефонный номер в г. Гродно – из шести цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

1.10. Какова вероятность того, что четырехзначный номер случайно взятого автомобиля в г. Гродно имеет все цифры различные?

1.11. К четырехстороннему перекрестку подъехало с каждой стороны по автомобилю. Каждый автомобиль может с равной вероятностью совершить один из четырех маневров на перекрестке: развернуться и поехать обратно, поехать прямо, направо или налево. Через некоторое время все автомобили покинули перекресток. Найти вероятность следующих событий: {все автомобили поедут по одной и той же улице}, B = {3 автомобиля поедут по одной и той же улице}, C = {по каждой из четырех улиц поедет один автомобиль}.

1.12. Некоторые жители г. Гродно и других городов шестизначный номер троллейбусного или автобусного билета считают «счастливым», если сумма первых его трех цифр совпадает с суммой последних трех цифр. Найти вероятность получить «счастливый» билет.

1.13. В лифт двенадцатиэтажного дома на первом этаже вошли пять человек. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на одном и том же этаже; б) на восьмом этаже.

1.14. На полке в случайном порядке расставлено 20 книг, среди которых находится трехтомник Янки Купалы. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом).

1.15. Для беспрепятственного полета над некоторой территорией самолет, приближаясь к ней, посылает по радио парольную кодовую группу, состоящую из нескольких точек и тире. Найти вероятность того, что радист, не знающий парольной группы, угадает ее, передав какую-нибудь группу наугад, если известно, что число кодовых элементов в группе (точек и тире) равно пяти.

1.16. В ящике имеется K типовых элементов замены (ТЭЗ), из них K 1 элементов 1-го типа, …, K i элементов i -го типа, …, элементов n -го типа;. Из ящика выбирают наугад k ТЭЗ.

Найти вероятность того, что среди них будет k1 ТЭЗ 1-го типа, …, k i ТЭЗ i -го типа, …, дентов (один студент – за одной ПЭВМ). Каждый студент выбирает любую ПЭВМ случайно и с одинаковой вероятностью. Найти вероятность того, что для работы будут выбраны ПЭВМ с номерами.

1.18. Для работы на N ПЭВМ случайным образом распределяются K студентов. Под состоянием совокупности из N ПЭВМ будем понимать вектор k = (k1, k 2,..., k N ), где k i – число студентов, которые выполняют свое задание на i -й ПЭВМ,. Состояния считаются различными, если им соответствуют векторы с различными компонентами. Найти: а) число состояний сети, б) вероятности состояний, предполагая, что все состояния равновозможные.

1.19. Из 30 экзаменационных вопросов студент знает 20. Какова вероятность того, что он правильно ответит на два вопроса из двух?

1.20. Найти вероятность того, что в группе из 25 студентов найдутся, по меньшей мере, два, которые имеют общий день рождения.

1.21. Пакет из десяти различных сообщений должен быть передан по электронной почте. Сообщения передаются одно за другим произвольным образом. Определить вероятность того, что сообщение A будет передано раньше, чем сообщение B.

1.22. По линии связи в случайном порядке передают 30 букв русского алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, которые образуют слово «МИНСК».

1.23. По N каналам связи случайным образом передают K сообщений, N > K. Определить вероятность того, что на каждый канал припадет не более одного сообщения.

1.24. Используя условие предыдущей задачи, найти вероятность того, что среди одного сообщения, n1 таких, по которых будет передано только одно сообщение, …, n K таких, по которым будет передано K сообщений;

1.25. По N каналам связи, которые пронумерованы, случайным образом передаются K сообщений. Какова вероятность того, что по 1-му каналу будет передано k1 сообщений, 2-му – k 2,..., N -му канаN лу – k N сообщений, причем 1.26. Принимаются кодовые комбинации, в которые входят десять цифр от 0 до 9, при этом цифры не повторяются. Какова вероятность того, что в принятой комбинации цифры образуют последовательность 9876…210?

1.27. В N ячейках случайно размещены n частиц. Чему равна вероятность того, что в -ю ячейку попало частиц?

1.28. Газ, состоящий из K молекул, находится в замкнутом сосуде. Мысленно разделим сосуд на K равных клеток и будем считать, что вероятность для каждой молекулы попасть в любую из клеток одна и та же. Какова вероятность того, что молекулы распределятся так, что в 1-й клетке будет n1 молекул, во 2-й – n 2 молекул, …, в K -й – n K молекул?

1.29. Из колоды карт (52 карты) наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.

1.30. Из колоды карт (52 карты) наугад вынимают 6 карт. Определить вероятность того, что среди этих карт: а) будет дама пик; б) будут карты всех мастей.

1.31. Полная колода карт (52 карты) делится пополам. Найти вероятность того, что: а) число черных и красных карт в обеих пачках будет одинаковым (по 13), б) в каждой половине будет по два туза.

1.32. Из колоды в 36 карт наугад выбираются 4. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

1.33. Из колоды в 36 карт берется наугад 10 карт. Найти вероятность того, что среди них будут 8 одномастных.

1.34. В очереди, где продаются билеты по $5, стоят n человек.

Какова вероятность того, что ни одному из покупателей не придется ждать сдачи, если перед началом продажи денег у кассира не было, а получение платы за каждый билет равновозможно как 5-и, так и 10долларовыми купюрами?

1.35. Решить предыдущую задачу при условии, что перед продажей билетов у кассира было 5-долларовых купюр.

1.36. В лотерее 100 билетов, среди них один выигрыш в $50, выигрыша по $25, 6 выигрышей по $10 и 15 – по $3. Найти вероятность какого-нибудь выигрыша при покупке трех лотерейных билетов. Что вероятнее: выиграть не менее $25 или не более $25 при покупке одного лотерейного билета?

1.37. В лотерее K билетов, из них m выигрышных. Найти вероятность одного выигрыша для лица, имеющего билетов.

1.38. Пусть эксперимент состоит в проведении голосования по стратегии развития компании собранием из K членов. Каждый сотрудник может голосовать «за», «против» или воздержаться от голосования. Найти число элементарных событий в, если голосование является а) открытым, б) тайным. Если в процессе обсуждения сотрудники могут менять свое мнение, то сколько элементов содержит, если голосование проводится дважды (двумя способами)?

§2. Геометрическое определение вероятности Геометрическая вероятность является расширением понятия классической вероятности на случай несчетного множества элементарных событий. В случае, когда – несчетное множество, вероятность определяется не на элементарных событиях, а на их множествах.

Определение. Пусть из области G выбирается точка таким образом, что выбор точки из некоторой области A, содержащейся в G, объективно не имеет преимуществ перед выбором точки из любой другой области, содержащейся в G, с мерой, равной мере области A, какой бы формы она не была. Такой выбор называется выбором с равновозможными исходами. Пусть событие A состоит в том, что точка будет выбрана из области A. Тогда вероятностью события A называется число где mesA – мера (на прямой – длина, на плоскости – площадь, в пространстве – объем) области A.

Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами классической вероятности. Первые три свойства следуют из определения, остальные из первых трех.

Пример 2.1 (Задача Бюффона). На пол, построенный из досок шириной a, бросается игла длиной. Найти вероятность того, что игла пересечет линию пола.

Решение. Положение иглы относительно линий пола зададим двумя координатами: – расстояние от нижнего конца иглы до ближайшей верхней линии, – угол между иглой и направлением линий пола, рис. 1.

Независимо друг от друга они могут принять одно из значений в пределах: 0 x a, 0, причем каждое из этих значений равновозможно. Этим значениям соответствует точка прямоугольника со сторонами a и, рис. 2. Тогда все элементарные события можно поставить в соответствие с точками этого прямоугольника; из сказанного выше следует, что любая точка прямоугольника будет равновозможна,.

Пусть A = {игла пересечет линию пола}, тогда A = {( x, ) :

x l sin }, такие точки заполняют заштрихованную область, рис. 2.

Мера в данном случае является площадью. Из геометрического этого соотношения, пользуясь тем, что частота появления события A близка к вероятности этого события, можно найти приближенное значение числа :, где N – число бросаний иглы, n( A) – число тех из них, в которых игла пересекла линию пола. Учеником Бюффона около 400 лет назад было проделано 6000 таких опытов и получено правильное приближенное значение числа с точностью до четырех знаков после запятой.

2.1. Два студента имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t.

2.2. По маршруту независимо друг от друга ходят два автобуса:

остановку в случайный момент времени. Какова вероятность, что ему придется ждать автобуса менее трех минут.

какой-либо интервал отрезка [0, 1] пропорциональна длине интервала и не зависит от его положения относительно отрезка [0, 1]. Найти вероятность того, что данное уравнение имеет действительные корни.

2.4. Найти вероятность того, что сумма двух наудачу взятых положительных правильных дробей не больше 1, а их произведение не T " ]a < b# 2.5. Два студента договорились встретиться в определенном месте между 19 и 20 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 5 минут. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода в промежутке 2.6. На паркетный пол случайным образом падает монета диаметром d размеры паркетных плиток a b, причем Какова вероятность того, что упавшая монета не пересечет границ паркетной плитки?

Какова вероятность того, что из отрезков, полученных разбиением отрезка [0, 1] этими точками, можно построить треугольник?

2.8. На бесконечную шахматную доску, сторона каждой клетки равна 2a, бросают монету радиуса r < a. Найти вероятность того, что монета попадает внутрь одной клетки целиком.

2.9. Два танкера должны подойти к одному и тому же причалу.

Время прихода обоих танкеров равновозможно в течение одних суток. Найти вероятность, что одному из танкеров придется ждать освобождения причала, если время разгрузки первого танкера – три часа, а второго – четыре часа.

2.10. Два судна плывут в тумане: одно идет вдоль пролива шириной, а другое курсирует без остановок поперек этого пролива. Скорости движения судов соответственно равны v1 и v 2. Второе судно подает звуковые сигналы, которые слышны на расстоянии l < L. Определить вероятность того, что на первом судне услышат сигналы, если пересечение курсов судов равновозможно в любом месте пролива.

2.11. Катер перевозит груз с одного берега на другой, пересекая пролив за один час. Какова вероятность того, что судно, которое движется вдоль пролива, будет замечено, если с катера замечают судно в случае пересечения его курса не раньше, чем за 20 мин до пересечения с курсом катера, и не позже, чем через 20 мин после пересечения судном курса катера? Любой момент и любое место пересечения судном курса катера равновозможны. Курс судна перпендикулярен курсу лодки.

2.12. В круге радиуса наудачу выбирают точку. Вероятность попадания точки в некоторую область круга пропорциональна площади этой области. Определить вероятность того, что: а) точка находится от центра на расстоянии меньшем, чем r, r < R ; б) меньший угол между заданным направлением и прямой, которая соединяет точку с началом координат, будет не больше, чем.

2.13. На окружности с радиусом 1 и центром в начале координат наудачу выбирают точку. Вероятность выбора точки на некоторой дуге окружности зависит только от длины этой дуги и пропорциональна ей.

Найти вероятность того, что: а) проекция точки на диаметр находится от центра на расстоянии не большем, чем ; б) расстояние от выбранной точки до точки с координатами (1,0) не больше, чем r.

2.14. Спутник Земли двигается по орбите, которая заключена северной и 60  южной широты. Найти вероятность того, между что спутник упадет выше 30  северной широты, если считать равновозможным падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями.

2.15. Слой воздуха толщиной H задерживает пылинки радиусом r в количестве штук в одной кубической единице. Найти вероятность того, что луч света, перпендикулярный слою, не пересечет 2.16. Электрон вылетает из случайной точки нити накаливания и движется перпендикулярно ей. С какой вероятностью он свободно пройдет через сетку, которая окружает нить и имеет вид винтовой 2.17. Рассмотрим частицу с энергией E =, которая движется в случайном направлении. Пусть (v1, v 2, v 3 ) – вектор скорости частицы в некоторой системы координат. Какова вероятность того, 2.18. На круглом экране радиолокатора радиусом r имеется точечное отображение объекта, которое занимает случайное положение в границах экрана, причем ни одна зона в границах не имеет преимущества перед другой. Найти вероятность того, что расстояние от точки объекта до центра экрана будет меньше, чем.

2.19. По радиолокатору в течение промежутка времени (0, T ) a передаются два сигнала длительностью < T и каждый с одинаковой возможностью начинается в любой момент интервала.

Когда сигналы перекрывают друг друга хотя бы частично, они оба искажаются и приняты быть не могут. Найти вероятность того, что 2.20. Самолет с радиолокационной станцией, дальность действия которой L, в районе площадью s осуществляет поиск подводной лодки со скоростью. Лодка может всплыть в любой точке района на время. Найти вероятность обнаружения подводной лодки радиолокатором, если время t невелико.

2.21. Имеются две параллельные линии связи длиной, расстояния между которыми d < l. Известно, что на каждой линии где-то есть разрыв, но неизвестно, в каком месте. Найти вероятность того, что расстояние между точками разрыва не больше, чем.

2.22. Панорамный приемник периодически с постоянной скоростью проходит полный диапазон частот ( f 1, f 2 ), где возможно появление сигнала, за которым установлено наблюдение. Полоса пропускания приемника определяется допустимой расстройкой относительно сигнала ± f. Считая сигнал импульсным (выявленной точкой как на оси времени, так и на оси частот), появление его равновозможным вероятность обнаружения сигнала.

2.23. Используя условие предыдущей задачи, найти вероятность пеленга передатчика, если известна частота сигнала и то, что антенна пеленгатора вращается равномерно с углом раскрытия диафрагмы антенны = 20 .

2.24. Поезда метро идут в данном направлении с интервалом мин. Какова вероятность того, что пассажиру доведется ждать поезда не больше, чем 30 с?

2.25. Концентрация доходов различных социальных групп изображается кривой Лоренца. Пусть наудачу выбираются социальные слои, суммарная доля x которых от всего населения изменяется в интервале а суммарный относительный доход y изменяется соответственно в интервале Найти вероятность события, состоящего в том, что наудачу выбранная часть населения будет иметь относительный доход, удовлетворяющий соотношению 2.26. Состояние работы банка за сутки характеризуется суммарной величиной d 1 вкладов от индивидуальных вкладчиков и не зависящей от нее величиной d 2 вкладов от фирм. Работа банка оценивается его правлением как успешная, если d 1 + d 2 > 0 и выполняется пропорция вкладов: d 1 + d 2 > d, где d > 0 – заданный коэффициент. Предполагая равновероятность значений d i d i, d i, i = 1,2, вычислить вероятность того, что итоги работы банка в течение суток успешны.

§3. Условная вероятность и независимость событий Определение. Предположим, что P ( ) > 0. Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется Пример 3.1. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков большее трех (событие A ), если извесP ( / ) = 1 тно, что выпала четная грань (событие B )?

Решение. Событию B соответствует выпадение чисел 2, 4, 6; событию A – выпадение чисел 4, 5, 6; событию  – 4, 6. Поэтому Определение. Два события A и B называются независимыми, Определение. События A1, A2,..., An называются независимыми в совокупности, если для любых наборов индексов i1, i 2,..., i m Если это равенство справедливо только для случая, когда m = 2, то события называются попарно независимыми.

Пример 3.2. Бросаются две монеты. Пусть событие A состоит в выпадении герба на первой монете, событие B состоит в выпадении цифры на второй монете; событие C – монеты выпадут разными сторонами. В этом случае:

= {ГЦ, ГГ, ЦГ, ЦЦ}, A = {ГЦ, ГГ}, B = {ГЦ, ЦЦ}, C = {ГЦ, ЦГ}, т.е. A, B, C – попарно независимы (но независимости в совокупности здесь нет).

Следует отметить, что на практике независимость событий проверяется не из определения, а исходя из условий эксперимента: можно показать, что если события связаны с независимыми экспериментами, то и сами события будут независимыми.

Справедливо следующее утверждение, известное как теорема умноm · жения вероятностей. Пусть для событий Ak, k = 1, 2,..., n; P  k для всех 1 m n, тогда Пример 3.3. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наугад. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем три раза.

Решение. Обозначим через Ai событие, заключающееся в том, что абонент звонит i -й раз и ему соответствует неудача,. Тогда имеем:

Искомая вероятность равна:

3.1. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Используя понятие условной вероятности, найти вероятность того, что студент знает все эти вопросы.

3.2. Вероятность попадания в первую мишень для стрелка равна. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определите вероятность поражения второй мишени.

3.3. Сколько нужно взять чисел из таблицы случайных целых чисел, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что среди них хотя бы одно число четное?

3.4. Для некоторой местности среднее число ясных дней в июле m равно 25. Найти вероятность того, что первые два дня в июле будут ясными.

3.5. В обществе из 2n человек одинаковое число мужчин и женщин. Места за столом занимают наудачу. Определить вероятность того, что два лица одного пола не займут места рядом.

3.6. Имеется группа из k космических объектов, каждый из которых независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с вероятностью p. За группой объектов ведут наблюдение независимо друг от друга радиолокационных станций. Найти вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены.

3.7. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 5 % всей продукции является браком, а 75 % не бракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

3.8. Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть не принятой, если она содержит 5 % неисправных деталей?

3.9. Производится испытание прибора. При каждом испытании прибор выходит из строя с вероятностью. После первого выхода из строя прибор ремонтируется; после второго – признается негодным. Найти вероятность того, что прибор окончательно выйдет из строя в точности при -м испытании.

3.10. Вероятность выхода из строя k -го блока ЭВМ за время T равна p k, k = 1, 2,.., n. Определить вероятность выхода из n блоков ЭВМ, если работа всех блоков взаимно независима.

3.11. ЭВМ, в которой подозревается дефект, подвергается тестированию с целью локализации дефекта. Для этого применяется последовательно тестов. При обнаружении дефекта тестирование прекращается. Вероятность локализации дефекта при первом тесте равна ; условная вероятность локализации дефекта при втором тесте (если при первом он не был локализован) равна p 2 ; условная вероятность локализации дефекта на i -м тесте (если при первых он не был локализован) равна p i, i = 1, 2,.., n. Найти вероятности следующих событий: а) проведено не менее трех тестов; б) проведено не более трех тестов; в) дефект локализован в точности при четвертом тесте; г) дефект не локализован после тестов; д) проведены все n тестов.

3.12. Каждая буква слова «ЭЛЕКТРОНИКА» написана на отдельной карточке, которые тщательно перемешаны. Последовательно вынимают четыре карточки. Какова вероятность получить слово «КИНО»?

3.13. Вероятность того, что некоторое устройство космического корабля испортится, равна. Сколько запасных устройств нужно иметь на корабле, чтобы обеспечить вероятность правильной работы не меньшую, чем ?

3.14. Измерительное устройство состоит из двух приборов. Вероятность исправной работы k -го прибора за рассматриваемый промежуток времени равна 1 k, k = 1, 2. Найти вероятность того, что оба прибора будут работать: а) если известно, что поломки в них возникают независимо, б) если ничего не известно о зависимости между поломками этих приборов.

3.15. Проведены три независимых измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что при одном измерении ошибка превысит заданную точность, равна p. Определить вероятность того, что только в одном из измерений ошибка превысит заданную точность.

3.16. Во время стрельбы ракетами по цели попадания отдельных ракет независимы и вероятность попадания каждой ракеты равна. Каждая ракета поражает цель с вероятностью. Стрельба ведется до поражения цели или до израсходования всего боезапаса;

количество ракет n > 2. Найти вероятность того, что не весь боезапас будет израсходован.

3.17. Сообщение, которое передают по каналу связи, состоит из n знаков. При передаче каждый знак искажается независимо от других с вероятностью. Для надежности сообщение дублируют, т.е.

повторяют раз. Какова вероятность того, что хотя бы одно из переданных сообщений не будет искажено полностью.

3.18. Для того чтобы найти специальную книгу, студент решил обойти три библиотеки. Наличие книги в фонде библиотеки одинаково равновероятно, и если книга есть, то одинаково вероятно, занята она другим читателем или нет. Что более вероятно – возьмет студент книгу или нет, если библиотеки комплектуются независимо одна от 3.19. На железнодорожном вокзале пассажир воспользовался автоматической камерой хранения багажа, шифр который состоит из одной буквы русского алфавита и трехзначного цифрового кода. Пассажир набрал шифр, запер сейф, но, возвратившись, забыл свой шифровой набор. Найти вероятность событий: A = {сейф открывается при первой попытке}, B = {сейф открывается после k попыток}.

3.20. Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместительностью n монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взяв наудачу по одной в каждом ящике.

Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен?

3.21. Прибор состоит из блоков, которые выходят из строя независимо один от другого. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого блока равна. Найти надежность прибора для случаев, которые изображены на рис. 3.

3.22. Система управления состоит из четырех узлов, рис.4. Вероятности их безотказной работы соответственно равны: 0,7; 0,6; 0,8; 0,9.

Вычислить вероятность безотказной работы всей системы управления.

3.23. Электрическая цепь составлена из пяти элементов, рис. 5.

При выходе из строя любого элемента цепь в месте его включения разрывается. Вероятность выхода из строя за данный период элемента под номером, равна p k, k = 1,5. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что на рассматриваемом периоде по цепи будет проходить ток.

безотказная работа всех его узлов. При вычислении вероятности R Будет ли при этом вычисленное приближенное значение R вероятности R больше или меньше истинного R ?

двух независимых проверок. В результате k -й проверки изделие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью k, а бракованное изделие принимается с вероятностью k, k = 1, 2. Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найти вероятности следующих событий: а) будет принято бракованное изделие, б) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано.

надежность, состоит из k деталей D1, D 2,..., D k. Перед сборкой каждую деталь всесторонне проверяют и, если она окажется высококачественной, включают в прибор, а если нет – заменяют запасным экземпляром, который также проверяют. Сборщик имеет в наличии запас деталей каждого типа: ni экземпляров детали Di, i = 1, k, ¦ n i = n.

Если запасных деталей не хватает, сборка откладывается. Вероятность того, что отдельный экземпляр детали Di окажется высококачественным, равна Pi и не зависит от качества других экземпляров. Найти вероятности следующих событий: A ={имеющегося запаса деталей достаточно для сборки прибора}, B ={при данном запасе деталей сборщик может собрать прибор, и хотя бы одна деталь любого типа останется в запасе}.

3.27. Рабочий обязан поддерживать функционирование автоматической линии, состоящей из трех станков, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первой станок не потребует наладки, равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,85. Какова вероятность того, что в течении смены: а) линия не потребует наладки; б) все три станка потребуют наладки; в) какойнибудь один станок потребует наладки; г) хотя бы один станок потребует наладки.

3.28. Баллотируются два кандидата, причем за первого в урну опущено n бюллетеней, за второго бюллетеней,. Какова вероятность того, что на протяжении всего времени подсчета бюллетеней количество подсчитанных голосов, которые отданы за первого кандидата, будет больше числа голосов, отданных за второго?

§4. Формула полной вероятности и формула Байеса Определение. Совокупность событий называется полной группой событий, если выполнены следующие условия:

Если A1, A2,..., An образуют полную группу событий, то для любого события называется формулой полной вероятности для случайных событий.

A1, A2,..., Aт.е. имеет место формула Байеса для случайных событий:

При решении задач удобно применять следующую формулировку: если событие B может происходить только с одним из событий A1, A2,..., An, образующих полную группу событий, то при P (B ) > справедливы формула полной вероятности и формула Байеса.

Формула Байеса используется также в следующем случае. Пусть событие B может происходить в различных условиях, относительно известны вероятности P ( Ai ) и P ( B / Ai ), i = 1, n. Далее проводиться эксперимент, в результате которого происходит событие B. Это должно вызывать переоценку вероятностей гипотез. Появляются вероятности P ( Ai / B ). i = 1, n, которые вычисляются по формуле Байеса Пример 4.1. Для контроля продукции из трех партий деталей взята на проверку одна деталь. Какова вероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей – бракованные, а в двух других все доброкачественные.

Решение. Пусть B ={взятая деталь – бракованная}, Ak ={деталь берется из k -й партии}, k = 1, 3. Тогда Пример 4.2. Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t первого узла равна, второго p 2. Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

казал, а второй исправен}, A3 ={первый узел исправен, а второй отказал}, A4 ={оба узла отказали}. Эти события образуют полную группу событий. Найдем их вероятности.

По формуле Байеса находим:

4.1. Среди N экзаменационных билетов n «счастливых». Студенты подходят за билетами один за другим. У кого больше вероятность взять счастливый билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым? Какова вероятность взять «счастливый» билет 4.2. 15 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный 4.3. В техникуме студентов, из которых человек учатся k -й год. Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше второго. Какова вероятность того, числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше m ?

A 4.5. Водитель автомобиля, оказавшись в неизвестной местносв пункт B. Оценить шанти, пытается наудачу попасть из пункта сы водителя (вероятность) попасть в пункт B, если возвращения запрещены, а схема дорог приведена на рис. 6.

4.6. Вероятность того, что письмо находится в столе, равна, причем оно с равной вероятностью может находиться в любом из восьми ящиков стола. Проверили семь ящиков – письма не нашли. Какова вероятность того, что письмо в восьмом ящике?

4.7. В группе 10 студентов. Трое подготовились к экзамену на оценку «отлично», четверо на «хорошо», двое на «удовлетворительно», один на «неудовлетворительно». В экзаменационных билетах вопросов. Отличник знает ответ на все вопросы, хороший студент – на 16 вопросов, посредственный – на 10, плохой – на 5. Вызванный студент ответил на все три вопроса. Найти вероятность, что он б) плохой студент.

4.8. Вероятности того, что во время работы ЭВМ произойдет сбой в процессоре, в памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5.

Вероятности обнаружения сбоя в процессоре, в памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в ЭВМ сбой будет обнаружен.

4.9. Студент приходит в лабораторию, в которой находятся ПЭВМ, для выполнения лабораторной работы. Вероятности того, что работы студент выбирает наугад одну из ПЭВМ. При выполнении работы на исправной ПЭВМ (без вирусов) студент ошибается в среднем в k % случаев. Найти вероятность того, что студент правильно выполнит лабораторную работу.

4.10. К серверу подключены N ПЭВМ. Вероятность того, что запросы, поступающие на сервер из одной ПЭВМ в момент времени времени t из ПЭВМ на сервер не поступают запросы, то вероятность того, что они начнут поступать до момента, равна независимо от работы других ПЭВМ. Составить дифференциальные уравнения, которым будут удовлетворять Pn (t ) – вероятности того, что в момент t на сервер поступают запросы из ПЭВМ. Найти стационарное решение (при ) этих уравнений.

4.11. Вероятность поступления на телефонную станцию вызовов за промежуток времени t равна. Будем считать количество вызовов за любые два соседних промежутка времени независимыми. Определить вероятность P2t (k ) поступления s вызовов за промежуток времени.

4.12. Производится посадка самолета не аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально. В этом случае вероятность благополучной посадки равна p1.

Если аэродром затянут низкой облачностью, летчик сажает самолет вслепую по приборам. Надежность (вероятность безотказной работы) приборов слепой посадки равна P. Если приборы слепой посадки сработали нормально, то самолет садится благополучно с той же вероятностью p1, что и при визуальной посадке. Если же приборы слепой посадки не сработали, то летчик может благополучно посадить самолет с вероятностью p 2 < p1. Найти полную вероятность благополучной посадки самолета, если известно, что в k % всех случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью.

4.13. В условии предыдущей задачи известно, что самолет приземлился благополучно. Найти вероятность того, что летчик пользовался приборами слепой посадки.

4.14. Расследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы H 1, H 2, H 3, H 4. По статистике, их вероятности равны соответственно 0,2; 0,4; 0,3; 0,1. Выявлено, что в ходе катастрофы произошло возгорание горючего. Условные вероятности этого события при гипотезах H 1, H 2, H 3, H 4, согласно той же статистике, составляют 0,9;0;0,2; 0,3. Найти апостериорные вероятности гипотез.

4.15. Для поиска пропавшей подводной лодки выбрано 10 самолетов, и каждый из них можно использовать для поиска в одном из двух возможных районов, где лодка может находиться с вероятностями 0,8 и 0,2 соответственно. Как нужно распределить самолеты по районам поиска, чтобы вероятность обнаружения лодки была наибольшей, если каждый самолет выявляет ее в районе поиска с вероятностью 0,2 и осуществляет поиски независимо от других? Найти вероятность обнаружения лодки при оптимальной процедуре поисков.

4.16. Объект, за которым ведется наблюдение, может находиться в одном из состояний A1 или A2, априорные вероятности которых равны p1 и p 2 соответственно. Есть два источника информации о состоянии объекта: из первого известно, что объект находится в состоянии A1, из другого – что в состоянии A2. Из первого источника правильные сведения о состоянии объекта поступают в 90 %, а из второго – в 60 % случаев. На основе анализа донесений найти апостериорные вероятности состояний A1 и A2.

4.17. Перед опытом о его условиях можно сделать n независимых гипотез, которые образуют полную группу с априорными вероятностями p1, p 2,..., p n. В результате опыта известно, что имела место некоторая гипотеза из группы H 1, H 2,..., H k, H k +1  H k + 2 ...  H n =. Найти апостериорные вероятности гипотез.

4.18. Прибор может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями p1, p 2, p 3, где p1 = p 3 = 0,25, p 2 = 0,5. Вероятности того, что прибор будет работать заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1, 0,2 и 0,4. Определить вероятность того, что этот прибор проработает заданное число часов.

4.19. Апробируется прибор, состоящий из двух блоков, которые выходят из строя независимо один от другого; работа каждого блока безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность исправной работы на протяжении времени t ) равна для них соответственно что прибор вышел из строя. Найти с учетом этого вероятности наступления следующих событий: = {вышел из строя только первый блок}, A2 = {вышел из строя только второй блок}, A3 = {вышли из строя оба блока}.

4.20. Во время испытаний было установлено, что вероятность безотказной работы прибора при отсутствии повреждений равна 0,99, при перегреве – 0,95, при вибрации – 0,9, при вибрации и перегреве – 0,8. Найти вероятность P1 отказа этого прибора во время работы в жарких странах (вероятность перегрева – 0,2, вибрации – 0,1) и вероятность P2 отказа во время работы в передвигающейся лаборатории (вероятность перегрева – 0,1, вибрации – 0,3), если считать перегрев и вибрацию независимыми событиями.

4.21. В условиях задачи 4.20 найти границы, в которых могут лежать вероятности P1 и P2, если отказаться от предложения о независимости перегрева и вибрации.

4.22. По каналу связи передается одна из последовательностей букв (команда) AAAA, BBBB, CCCC с вероятностями p1, p 2, p нимается за каждую из двух других букв. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что 4.23. По каналу связи передают символы A, B, C с вероятностями 0,4; 0,3; 0,3 соответственно. Вероятность искажения символа равна 0,4, и все искажения равновероятны. Для увеличения надежноn1i, i = 1,5 сти каждый символ повторяют четыре раза. На выходе восприняли последовательность BACB. Какова вероятность того, что передали 4.24. Сообщение может передаваться по каждому из n каналов для различных типов каналов равны соответственно p1, p 2, p 3, p 4.

Для увеличения точности сообщения его передают два раза по двум разным каналам, которые выбирают наугад. Найти вероятность того, что хотя бы по одному из каналов оно будет передано правильно.

4.25. Есть пять каналов связи, передача сообщений по которым распределяется случайным образом с равной вероятностью. Вероятность искажения сообщения при его передаче по i -му каналу равна. Выбран некоторый канал и по нему переданы n 1 сообщений; ни одно из них не исказилось. Найти вероятность того, что n - е сообщение, переданное по тому же самому каналу, не будет искажено.

4.26. Передача сигналов происходит с вероятностями, в одном из трех режимов. В каждом из них сигнал доходит до адресата неискаженным помехами с вероятностями соответственно p1, p 2, p 3. Передача трех сигналов происходила в одном из трех режимов, в каком – неизвестно. Найти апостериорные вероятности того, что передача происходила в первом, втором и третьем режимах.

4.27. На вход радиолокационного устройства с вероятностью p поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью – только одна помеха. Когда поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-либо сигнала с вероятностью p1, если поступает только помеха – с вероятностью p 2.

Известно, что устройство зарегистрировало присутствие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе присутствует полезный сигнал.

4.28. Радиолокационная станция ведет наблюдение за объектом, который может применять либо не применять помехи. Если объект не применяет помех, то за один цикл наблюдения станция обнаруживает его с вероятностью p 0, если применяет – с вероятностью p1 < p 0. Вероятность того, что на протяжении цикла будут применяться помехи, равна p и не зависит от того, как и когда применялись помехи во время остальных циклов. Определить вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за циклов наблюдения.

4.29. На наблюдательной станции установлены четыре радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения целей с помощью первого локатора равна 0,86, второго – 0,9, третьего – 0,92, четвертого – 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов.

Какова вероятность обнаружения цели?

4.30. Самолет, вылетающий на задание, производит радиопомехи, которые с вероятностью 0,5 «забивают» радиосредства системы противовоздушной обороны (ПВО). Если радиосредства «забиты», самолет подлетает к объекту необстрелянным, производит стрельбу ракетами и поражает объект с вероятностью 0,9. Если радиосредства системы ПВО «не забиты», то самолет подвергается обстрелу и сбивается с вероятность 0,8. Найти вероятность того, что объект будет разрушен.

4.31. Цель, по которой ведется стрельба, с вероятностью находится в пункте, а с вероятностью (1 p ) – в пункте B. В распоряжении стреляющего есть N ракет, каждая из которых поражает цель с вероятностью P независимо от других. Какое количество ракет нужно выпустить по пункту A для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностью?

вероятностями: P ( A) = 0,3; P(B ) = 0,6; P(C ) = 0,1. Вероятности сбить ракету этих типов, равны соответственно, 0,6; 0,8; 0,9. Известно, что противник применил две ракеты одного типа. Определить вероятность 4.33. Вероятность размножения бактерии в течение времени бактерии протекает независимо от других бактерий и ее поведения до момента t. В начальный момент в банке было бактерий. Найти вероятность того, что в момент в банке будет бактерий.

[P1 ] ra,b q движется направо с вероятностью p и налево с вероятностью конца, если в начальный момент находится в точке n [a,b ].

4.35. Некоторая деталь производится на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в n раз превышает объем продукции второго завода. Доля брака на первом заводе, на втором P2. Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь выпущена первым заводом?

4.36. Трое сотрудников фирмы выдают соответственно 30 %, 50 % и 20 % всей продукции изделий, производимых фирмой. У первого брак составляет 2 %, у второго – 5 %, у третьего – 1 %. Какова вероятность, что случайно выбранное изделие фирмы дефектно?

4.37. В условиях предыдущей задачи известно, что случайно выбранное изделие оказалось дефектным. Найти вероятность, что оно было сделано соответственно первым, вторым и третьим сотрудником фирмы.

4.38. Отдел входного технического контроля (ОТК) проверяет взятые наугад изделия из партии, содержащей, по данным поставщика, a изделий первого сорта и изделий второго сорта. ОТК считает возможным количество изделий первого сорта в размере a 2, a 1, a, a + 1 с вероятностями соответственно p i, i = 1,4. Проверка первых m изделий обнаружила, что все они второго сорта. С какой вероятностью ОТК может утверждать, что партия содержит изделий второго сорта больше, чем b ?

4.39. На технический контроль качества предъявляется партия из 1000 деталей, в которой 200 деталей изготовлено на заводе A, деталей – на заводе B, остальные – на заводе C. Доля брака зависит от завода-изготовителя и оставляет для завода A и B 15 %, а для завода C – 30 %. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется отличного качества.

4.40. Вероятность того, что некоторое устройство перестанет функционировать на протяжении времени (t,t + t ) равна t + ( t ), 0. Какова вероятность того, что оно проработает до момента t, если отказ его после момента не зависит от функционирования до момента s ?

4.41. Среди женщин-избирателей 70 % поддерживают кандидата от партии, а среди мужчин-избирателей – 60 %. Используя данные переписи, согласно которым доля женщин среди избирателей составляет 55 %, оценить вероятность победы на выборах кандидата от партии A.

4.42. Исследуется динамика курсов валют A и B (по отношению к некоторой валюте C ) с целью прогнозирования. Статистика валютных торгов показывает, что курс валюты B возрастает: в 80 % случаев, если вырос курс A ; в 30 % случаев, если снизился курс A ; в 50 % случаев, если курс A не изменился. Предполагая, что все три исходные гипотезы об изменении курса A равновозможны, оценить вероятности этих гипотез, если известно, что на последних торгах курс валюты вырос.

§5. Схема независимых испытаний Бернулли Определение. Испытанием (экспериментом, опытом) называется последовательность из двух актов: 1) создание комплекса условий, 2) наблюдение появившегося события. Испытания называются независимыми, если наблюдаемые события являются независимыми.

Определение. Независимыми испытаниями Бернулли называются такие испытания, для которых вероятности появления событий в каждом испытании одинаковы и не меняются от испытания к испытанию.

Нас будет интересовать следующая задача. Пусть производятся n испытаний Бернулли. В каждом испытании возможно появления Нужно определить Pn (m) – вероятность того, что в n испытаниях Результат испытаний удобно описать набором букв длиной означает, что в испытании появилось событие A, а B – что в испытаp C= 1 p A нии появилось противоположное событие A. Каждый набор интереn сующих нас исходов содержит m букв все такие исходы имеют одинаковую вероятность p m q n m. Разные наборы отличаются только размещением букв A и B, поскольку число случаев, в которых появляется событие A, фиксировано. Размещение букв A и B однозначно определяется выбором m элементов из Эта формула называется формулой Бернулли. Очевидно, что Пример 5.1. В течение смены, которая длится время t, эксплуатируется ПЭВМ. Каждая ПЭВМ имеет надежность (вероятность безотказной работы) и выходит из строя независимо от других.

Найти вероятность того, что инженер-электроник, вызванный по окончанию времени t для ремонта неисправных ПЭВМ, справится со своей задачей за время, если на ремонт каждой неисправной ПЭВМ ему требуется время.

Решение. Событие A равносильно тому, что число вышедших из строя ПЭВМ меньше, чем l = [ / 0 ], где [ / 0 ] – наибольшее целое число, которое меньше либо равно / 0. Поэтому Когда число испытаний велико, для вычисления Pn (m ) можно пользоваться приближенными формулами, которые вытекают из предельной теоремы Пуассона и локальной предельной теоремы Муавра – Лапласа.

В частности, имеет место предельная теорема Пуассона: если Она выполняется потому, что если положить np = n, то Далее путем предельного перехода при n получим утверждение теоремы.

Приближенная формула, которая следует из этой теоремы, имеет вид (при больших и малых ) Она применяется при решении задач, в основном, когда n = np 10.

Пример 5.2. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,001. Проведено 5000 испытаний. Найти вероятность, что событие в них произойдет не менее двух раз.

вытекает следующая приближенная формула Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа имеет вид:

Для того чтобы показать, что она имеет место, можно воспользоваться предыдущей теоремой, из которой следует: > 0 n, такое что n n т.е.

можно записать Пример 5.3. Театр, вмещающий 1000 зрителей, имеет два входа.

У каждого входа имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в зависимо P других выбираетbсвероятностью0,5 любой из входов.

его нахождения составим уравнение. Занумеруем гардеробы номерами 1 и 2. Выбор зрителями того или иного гардероба можно рассматривать как испытание Бернулли, в каждом из которых определенная пара с вероятностью 0,5 выбирает гардероб, например, №1. По условию задачи, n = 500, p = 0,5. Пусть событие A состоит в том, что зрители разденутся в гардеробе того входа, куда они зашли, m – число пар зрителей, выбравших гардероб №1. Событие будет происN N С помощью таблицы для функции ( x ) находим (2,56 ) 0,495, Из интеграла предельной теоремы Муавра – Лапласа получаем т.е. P p 1 > 0. Последнее соотношение ноn сит название закона больших чисел в форме Бернулли. Из него следует, что при большом числе испытаний частота появления события почти не отличается от вероятности этого события.

5.1. При проведении зачета с помощью ЭВМ студенту предлагается 5 вопросов. Вероятность, что студент правильно ответит на один вопрос, равна 0,5. Для получения зачета студенту необходимо правильно ответить не менее чем на 3 вопроса. Найти вероятность получения зачета.

5.2. Какова вероятность, что в группе, состоящей из 30 студентов, никто не родился в сентябре?

5.3. На лекции по теории вероятностей присутствуют 50 человек. Найти вероятность того, что k человек из присутствующих родились 14 июня и l человек родились 23 ноября. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день одна и та же для всех дней года. Решить задачу при k = 1, l = 2. Найти вероятность того, что число родившихся 14 июня и 23 ноября не больше двух.

5.4. Рыбак забросил спиннинг 100 раз. Какова вероятность того, что он поймал хотя бы одну рыбу, если одна рыба приходится в среднем на 200 забрасываний.

5.5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

5.6. Визуальное наблюдение искусственного спутника Земли возможно в данном пункте с вероятностью 0,1 каждый раз, когда он пролетает над этим пунктом. Сколько раз должен пролететь спутник над пунктом наблюдения, чтобы с вероятностью не меньшей 0, удалось сделать над ним не менее пяти наблюдений?

5.7. Попытки наблюдать спутник (см. предыдущую задачу) проводятся 100 раз. Найти практически достоверный диапазон числа успешных наблюдений.

5.8. В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки)?

5.9. В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор, пока один из участников мачта не набирал 6 очков (выигрыш – 1 очко, проигрыш и ничья – 0 очков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набирает 3 очка.

5.10. Вероятность появления события в одном опыте равна p.

С какой вероятностью можно утверждать, что частота появления этого события в опытах будет лежать в пределах от до ? Решить 5.11. Вероятность появления события в каждом из независимых опытов равна. Найти положительное число такое, что с вероятностью абсолютная величина отклонения частоты появления события от его вероятности будет не больше. Решить задачу при 5.12. Сколько нужно провести независимых опытов, чтобы с вероятностью P событие A, вероятность появления которого в одном опыте равна p, наблюдалось не менее, чем раз? Решить задачу 5.13. Сколько нужно провести независимых опытов, чтобы с вероятностью P утверждать, что частота интересующего нас события 5.14. Каждую секунду с вероятностью p по дороге проезжает автомашина. Пешеходу, для того чтобы перейти дорогу, нужно 3 с.

Какова вероятность того, что пешеход, подошедший к дороге, будет ждать возможности перехода: а) 3 с; б) 4 с; в) 5 с?

5.15. Вероятность столкновения космического корабля с метеоритом в течение часа полета равна 0,001. Найти практически возможные границы числа столкновений с метеоритами на протяжении трех месяцев полета – с 1 июня по 31 августа, если вероятность практической возможности принимается в данном случае равной 0,9995.

5.16. Аппаратура состоит из элементов. Вероятность выхода из строя одного элемента за наблюдаемое время равна и не зависит от состояния других элементов. Найти вероятность выэлементов, б) не меньше, чем m элехода из строя: а) равно ментов, в) не больше, чем m элементов. Решить задачу, когда 5.17. Электрическая цепь состоит из n последовательно включенных лампочек. Определить вероятность того, что при повышении напряжения в сети выше номинального произойдет разрыв цепи, если вероятность того, что лампочка перегорит, равна. Решить задачу 5.18. Найти наивероятнейшее число отрицательных и положительных ошибок и соответствующую вероятность при четырех изменениях некоторой величины, если в каждом из измерении вероятность 5.19. Линия связи, имеющая k каналов, связывает два города, где есть n абонентов, каждый из которых пользуется для этого телефоном в среднем мин в час. Найти вероятность безотказного обслуживания абонентов. Решить задачу для n = 1000, k = 130, l = 6.

5.20. Телефонная станция, которая обслуживает 20000 абонентов, должна соединять их с другой станцией B. Какое наименьшее число линий должно связывать A и B, чтобы в 99 % вызовов нашлась свободная линия. Имеется в виду, что в течение наиболее m = 20 = 0, lA = 2,,pp = 0, напряженного часа каждый абонент разговаривает в среднем 2 мин.

5.21. По каналу связи передаются n сообщений. Каждое из них независимо от других с вероятностью искажается помехами. Найиз n сообщений 5.22. Для увеличения надежности передачи важного сообщения, которое состоит из n символов, каждый из передаваемых символов дублируется раз. В качестве воспринимаемого символа в пункте из m. Когда символ в пункте приема повторяется меньше чем раз, то такой символ считается искаженным. Вероятность правильной передачи каждого символа одинакова и не зависит от того, как передаются другие символы. Найти вероятности следующих событий: A = {отдельный передаваемый символ в сообщении будет правильно воспринят в пункте приема}, B = {все сообщение будет правильно воспринято в пункте приема}, C = {в сообщении искажаются не больше m символов}.

5.23. В течение часа фирма принимает в среднем сообщений по электронной почте, обработкой которых занимается специальный сотрудник. Какова вероятность того, что за m минут на фирму не поступит ни одного сообщения? Решить задачу, когда:

5.24. Железнодорожный состав состоит из n вагонов, каждый из которых с вероятностью имеет дефект. Все вагоны осматривают независимо друг от друга два мастера; первый из них обнаруживает дефект (если роятность отправления в рейс состава, в котором имеется хотя бы один дефектный вагон? Решить задачу для n = 150, p1 = 0,95, p 2 = 0,9.

5.25. При установившемся технологическом процессе 80 % всех изготавливаемых заводом изделий выпускается высшим сортом. Приемщик наугад берет 100 изделий. Чему равна вероятность того, что среди них изделий высшего сорта окажется от 60 до 80 штук?

5.26. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью r (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью. Для контроля из продукции завода выбираются изделий. Найти вероятность, что хотя бы в одном из них обнаружен дефект. Решить задачу 5.27. Имеется партия изделий. Каждая из них независимо от других может оказаться дефектным с вероятностью 0,2. Из партии берут 10 изделий и проверяют их на годность. Если число дефектных изделий при этом не более 1, то партию принимают, в противном случае подвергают сплошному контролю. Какова вероятность того, что партия будет принята?

5.28. В лотерее 40000 билетов, ценные выигрыши выпадают на 3 билета. Определить: а) вероятность получения хотя бы одного выигрыша на 1000 билетов, б) сколько необходимо приобрести билетов, чтобы вероятность получения ценного выигрыша была не менее 0,5.

5.29. Транспортная фирма занимается перевозкой изделий со склада в магазин. Вероятность того, что при перевозке изделия будет повреждено ровно 0,002. Фирме необходимо перевести 1000 изделий.

Найти вероятность того, что магазин получит: а) хотя бы одно поврежденное изделие; б) менее двух поврежденных изделий; в) 3 % поврежденных изделий. Какова вероятность наиболее вероятного числа поврежденных изделий в наудачу выбранных пяти контейнерах (в одном контейнере – 20 изделий)?

5.30. Для нового офиса фирма приобрела n новых персональных компьютеров. В течение определенного периода времени каждый компьютер может выйти из строя с вероятностью. Устранение неисправностей в компьютерах занимается фирма. В конце данного периода фирма A обращается к услугам фирмы B и платит ей за ремонт каждого неисправного компьютера сумму $ d. Какова вероятность того, что фирме A по истечении этого периода придется заплатить фирме B сумму: а) менее $ D, б) не менее $ D. Решить задачу 5.31. Что вероятнее выиграть у брокера одинаковой квалификации: а) три сделки из четырех или пять из восьми, б) не менее трех сделок из четырех или не менее пяти сделок из восьми, в) не более n 2n + сделок или более n из того же числа.

5.32. Товаровед исследует 50 образцов некоторого товара. Производитель этого товара указывает, что процент брака составляет %. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает как годные.

5.33. При наступлении кризиса сбыта продукции фирма не терпит убытков с вероятностью, полностью терпит банкротство с вероятностью p 2 и несет серьезные издержки с вероятностью p 3 = 1 p1 p 2. Две серии серьезных издержек приводят к полному банкротству фирмы. Найти вероятность того, что при наступлении n признаков сбыта фирма не обанкротится.

5.34. Пункт нужно связать компьютерной связью с 10 абонентами пункта B. Каждый абонент занимает канал связи 12 минут в час. Вызовы любых двух абонентов независимы. Какое минимальное число каналов необходимо для того, чтобы можно было в любой момент времени с вероятностью 0,99 обслужить всех абонентов?

5.35. Вероятность появления фальшивой банкноты в банке равна p = 10 8. В течение рабочей недели банк оперирует с n = 7.5 банкнотами. Оценить вероятности встретить в ходе обработки 0; 1; 2;

3 фальшивые банкноты.

5.36. Для определения доли избирателей, поддерживающих кандидата A, производится выборочное обследование. Определить объем выборки, при которой с вероятностью, не меньшей 0,99, погрешность составит менее 0,005.

5.37. Страховая компания заключила договор со спортсменомтеннисистом на 365 дней, предусматривающий выплату страхового возмещения клиенту в случае травмы специального вида. Из предыдущей практики известно, что вероятность получения такой травмы теннисистом в любой фиксированный день равна 0,00037. Найти вероятность того, что в течение срока договора: а) не произойдет ни одного страхового случая; б) произойдет один страховой случай; в) произойдет два страховых случая.

5.38. Портфель страховой компании состоит из 1000 договоров, заключенных в начале года и действующих в течение текущего года.

При наступлении страхового случая по каждому их договоров компания обязуется выплатить 2000 у.е. Вероятность наступления страхового события по каждому из договоров равна 0,05 и не зависит от наступления страховых событий по другим контрактам. Каков должен быть совокупный размер резерва страховой компании для того, чтобы с вероятностью 0,99 она могла бы удовлетворить требования, возникающие по указанным договорам.

§6. Одномерные случайные величины Определение. Пусть = {} – множество элементарных событий. Случайной величиной (СВ) называется функция (), определённая на множестве, принимающая числовые значения и такая, что для любого действительного определена вероятность Пример 6.1. Пусть – множество студентов на факультете.

Каждый отдельный студент – элемент. Определим на элементах функцию которая принимает значения, равные году определенная функция является случайной величиной (имеется в виду, Пример 6.2. По промежуткам времени безотказной работы приборы делятся на несколько типов, например, первый, второй, третий.

Пусть = {} – множество значений, которые могут принимать промежутки времени безотказной работы прибора, а () – номер типа, который присваивается прибору с промежутком безотказной работы называется функцией распределения (ф.р.) случайной величины ().

{=x{(F( x ):=}(,...}(})P{ =F0(xk ) ):)==){..., k)x = =() x}.

w(,P x limPфункция. Рассмотрим случай, когда множество состоит из дискретного множества элементарных событий (счетного или конечного) k = { : () = xk }, k = 1, 2,.... Случайные величины, которые могут принимать только конечное или счетное множество значений, называются дискретными. Для их описания удобно пользоваться набором вероятностей {p1, p2,..., pk,...}, где pk = P( Ak ) = P{:() = xk }, который называется нормировки). Совокупность называется дискретным законом (рядом) распределения вероятностей.

Установим связь между распределением вероятностей и функцией распределения:

В связи с тем, что свойства СВ полностью определяются свойствами их функций распределения, их принято классифицировать по характеру этих функций.

I. Дискретные СВ (ф.р.). В этом случае множество значений ладает, кроме основных, следующими свойствами: 1) F (x) имеет конечное или счетное множество точек разрыва первого рода, 2) если Примеры дискретных распределений CB :

отметим, что, как следует из формулы Бернулли, число появлений (< ) {0,1,2,...,n} } Дадим интерпретацию некоторых из этих СВ. Предположим, что студент идет сдавать зачет. На некоторые вопросы по сдаваемому предмету он знает ответы, а на остальные – нет. Поэтому событие, заключающееся в том, что он получит зачет, является случайным. Определим СВ следующим образом: если зачет сдан, то = 1, если нет, то. Таким образом определенная СВ является бернуллиевой, параметр в том случае соответствует относительному числу вопросов, на которые студент знает ответ. Пусть студенту необходимо сдать зачетов и он делает по одной попытке получить каждый из этих зачетов. Определим СВ как число зачетов, которые получит студент. Такая СВ будет биноминальной. Число студентов, которых успел выслушать преподаватель на зачете за фиксированный интервал времени, а также число заданий, которые выполняет ЭВМ за фиксированный промежуток времени, являются СВ, распределенными по закону Пуассона с соответственно определенными параметрами.

Пример 6.4. Производятся последовательные испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Составить таблицу распределения и найти ф.р. случайного числа испытанных приборов, если вероятность надежности каждого прибора равна Решение. СВ, описывающая число испытанных приборов, имеет распределение вероятностей поэтому таблица распределения имеет вид II. Непрерывные СВ (СВ с абсолютно непрерывными ф.р.).

ция p (x) называется плотностью распределения вероятностей СВ (). Она обладает следующими свойствами:

H"bx.

2) СВ () имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром если В частности, интервалы времени между соседними автомобилями на дорогах являются экспоненциально распределенными СВ с соответствующими параметрами > 0. Если – СВ, имеющая экспоненциальное распределение, то следовательно, см. рис. 7, СВ имеет то же самое экспоненциальное распределение, как и СВ.

плотностью распределения вероятностей.

нормировки. Это можно сделать несколькими способами: а) пользугде (k ) = t k 1e t dt – гамма-функция;

p( 2 = откуда следует тот же самый результат. Плотность p(x) называют плотностью стандартного нормального распределения, у которого где ai 0, i = 1,3, a1 + a2 + a3 = 1, F1 ( x), F2 ( x), F3 ( x) – дискретная, абсолютно непрерывная и сингулярная ф.р. соответственно.

функция. Тогда для и если, кроме того, f (x ) – дифференцируемая функция, то Если же функция f (x ) – убывающая, то Пример 6.6. Случайная величина имеет показательное распределение с параметром. Найти плотность распределения СВ Решение:

Пример 6.7. Пусть СВ равномерно распределена на отрезке [0,1]. Найти ф.р. и плотности распределения СВ: а) откуда следует, что p 2 ( y ) = p ( y ) + p ( y ), y > 0, согласно определению плотности.

Пример 6.9. При проведении математических экспериментов на ЭВМ поведение построенной модели многократно наблюдают при различных случайных исходных условиях. Такой способ исследования называется методом статистических испытаний или методом «Монте-Карло». При этом возникает задача получения случайных чисел, распределенных по любому какому угодно заданному закону.

В ЭВМ эта задача решается при помощи функционального преобразования случайных чисел, распределенных равномерно в интервале [0,1], методы получения которых хорошо разработаны. Это делается следующим образом.

Пусть СВ () равномерно распределена на интервале [0,1].

Надо найти такое преобразование f (x ), чтобы СВ () = f (()) имела заданную ф.р. F ( y ). Т.к. 0 F ( y ) 1, выберем f (x ) в виде f ( x) = F 1 ( x). Рассмотрим СВ () = F 1 (()). Для нее p ( y ) = = p ( F ( y )), но т.к. () равномерно распределена на интерy дуля здесь можно снять, т.к. F ( y ) – неубывающая функция). Таким образом, F ( y ) = F ( y ), что и требовалось доказать.

Модой дискретной СВ называется ее наиболее вероятное значение, модой непрерывной СВ – значение аргумента, при котором ее плотность распределения 6.1. Плотность распределения вероятностей СВ имеет вид Найти: а) константу С, б) плотность распределения вероятностей СВ 6.6. В ячейке ЭВМ записано n -разрядное двоичное число; каждый знак этого числа, независимо от остальных, принимает с равной двоичного числа. Найти распределение СВ и вероятности 6.7. Времена между двумя сбоями ЭВМ распределены по показательному закону с параметром. Решение определенной задачи время произошел сбой, то задачу приходится решать заново. Сбой обнаруживается только через время после начала решения задачи.

Рассматривается СВ – время, за которое задача будет решена. Найти ее закон распределения.

6.8. При работе ЭВМ в случайные моменты возникают неисправности. Время работы ЭВМ до первой неисправности распределено по показательному закону с параметром. При возникновении неисправности она мгновенно обнаруживается, и ЭВМ поступает в ремонт. Ремонт продолжается время, после чего ЭВМ снова включается в работу. Найти плотность p (t ) и ф. р. F (x) промежутка времени между двумя соседними неисправностями. Найти вероятность.

6.9. СВ распределена по нормальному закону с параметром. Задан интервал (, ], не включающий начала координат. При каком значении вероятность попадания случайной величины в интервал достигает максимума?

6.10. СВ имеет распределение Пуассона. Найти вероятности случайных событий:

принимает нечетное значение}.

6.11. Интервалы времени безотказной работы ЭВМ имеют показательное распределение с параметром Найти вероятность безотказной работы ЭВМ в течении времени 2T.

6.12. Плотность распределения СВ равна p ( x) = ax 2 e kx, k > 0, 0 x < +. Найти: а) коэффициент a ; б) ф.р. этой СВ; в) вероятность попадания этой СВ в интервал.

ляется плотностью вероятности некоторой СВ и найти вероятность 6.16. Дискретная СВ характеризуется законом распределения в некоторых случаях характеризует время службы элементов электx0> ]0).

p ( x) = 0, 6.18. Случайное время простоя радиоэлектронной аппаратуры в некоторых случаях имеет плотность распределения где M = lg e 0, 4343 (логарифмический нормальный закон распределения). Найти: а) модуль распределения при x0 = 1, = 5M ;

6.19. СВ R – расстояние от места попадания до центра мишени – распределена по закону Релея, т.е. ее плотность распределения Найти: а) коэффициент a ; б) вероятность того, что окажется меньше, чем мода.

6.20. На электронное реле воздействует случайное напряжение, Какова вероятность схемы сработать, если электронное реле срабатывает каждый раз, когда напряжение на его входе больше 2 В?

6.21. Случайные ошибки измерений дальности до неподвижной цели подчинены нормальному закону с параметрами a = 100 м и 10 м. Определить вероятность того, что измеренное значение дальности отклонится от действительного не больше, чем на 15 м.

6.22. Закон распределения ошибок при измерении радиуса круга нормальный с параметрами 1000, 0,25. Найти закон распределения ошибок при вычислении длины окружности, площади круга.

6.23. В счетчике Гейгера – Мюллера для подсчета космических частиц частица, попавшая в счетчик, вызывает разряд, длящийся время. Попавшие в этот промежуток времени в счетчик новые частицы счетчиком не регистрируются. Считая, что распределение числа частиц, попавших в счетчик, подчиняется закону Пуассона, т.е. вечастиц за время t равна роятность попадания в счетчик за время t сосчитает все попавшие в него частицы.

6.24. Закон ошибок при наблюдении температуры выражен по шкале Фаренгейта формулой для плотности вероятности Написать этот закон, приспособив его к шкале Цельсия.

6.25. Угол сно са с амолет а определяет ся формулой, где – угол ветра – равномерно распределен в интерu – скорость ветра, – воздушная скорость самолета. Найти вале плотность вероятности угла сноса самолета, если 20 м/с, 1200 км/ч.

6.26. В группе из 5 изделий имеется одно бракованное. Чтобы его обнаружить, выбирают наугад одно изделие за другим и каждое вынутое проверяют. Построить закон распределения и ф.р.

6.27. Из партии 15 изделий, среди которых имеются две бракованные, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить закон распределения и ф.р. числа бракованных изделий.

6.28. Независимые опыты продолжаются до первого положительного исхода, после чего они прекращаются. Найти для случайного числа опытов: а) ряд распределения; б) наивероятнейшее число опытов, если вероятность успешного исхода в каждом 6.29. На пути движения автомобиля шесть светофоров, каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение автомобиля с вероятностью 0,5. Составить ряд распределения и построить ф.р. числа светофоров, пройденным автомобилем до первой остановки.

N 6.30. Известно, что при определенных параметрах динамических систем может наступить резонанс. Пусть параметр является СВ, следующей нормальному закону. Найти вероятность того, что значение параметра удалено от точек резонанса более чем на расстоянии d, где d 2, а точки резонанса 6.31. Бюджетная прямая спроса потребителя на два товара и Y подвергается изменению вследствие изменения цены на товар Y. Предполагая, что изменение зависит от угла наклона и плотность распределения величины полного расходования дохода потребителя на товар Y, если бюджетная прямая проходит §7. Многомерные случайные величины.

Независимость и функциональные преобразования Пусть на одном и том же множестве элементарных событий = {} заданы СВ 1 (), 2 (),…, n (). Вектор () = (1 (), 2 (),..., n ()) называется n -мерной СВ, или случайным вектором.

Функция n аргументов называется n -мерной ф.р. n -мерной СВ.

СВ. Найдем ее ф.р.

Ф.р. многомерной СВ имеет следующие свойства:

1) F (x ) является неубывающей по всем аргументам;

4) F1... n ( x1,..., xn ) непрерывна справа по всем аргументам;

5) условие согласованности:

Ф.р. меньшей размерности, которая получается из ф.р. большей размерности, если применить для нее условие согласованности, называется маргинальной;

6) отметим, что для того, чтобы некоторая функция F (x1,..., xn ) была ф.р. n -мерной, недостаточно, чтобы для нее были выполнены условия 1) – 5). Необходимо также выполнение еще одного условия. Пусть ak < bk, Ak = {x : ak < x bk }, k = 1, n. Нетрудно видеть, что а также P : k () k, k = 1, n = 1 2... n F1... n ( x1,..., xn ). Отсюда ясно, что для многомерной ф.р. должно выполняться условие Это условие не следует из свойств 1) – 5). Покажем это на примере.

Для такой функции, что легко проверить, выполняются свойства Таким образом получили, что если F1 2 ( x1, x2 ) – ф.р., то найденная вероятность – отрицательная. Это невозможно, значит, выполнение условий 1) – 5) является недостаточным для того, чтобы F12 (x1, x2 ) была ф.р.

Так же, как и в одномерном случае, F (x ) относится к дискретному типу, если каждая из СВ k (), k = 1, n, принимает значения из счетного или конечного множества. Дискретную СВ () = (1 (), 2 (),..., n ()) удобно описывать распределением вероятностей F (x ) относится к абсолютно непрерывному типу распределения, если ее можно представить в виде Здесь Функция p ( x ) = p1... n ( x1,..., xn ), обладающая перечисленными свойствами, называется плотностью распределения вероятностей многомерной СВ () = (1 (), 2 (),..., n ()) (совместной плотностью вероятностей величин 1 (), 2 (),..., n (). Из условия согласованности для F (x ) вытекает следующее свойство для совместной плотности вероятностей Плотность распределения, стоящая справа, называется маргинальной по отношению к исходной. Справедлива также следующая важная формула:

например, Рассмотрим примеры многомерных распределений.

1. Полиномиальное распределение имеет дискретная СВ () = (1 (), 2 (),..., n ()), где 2. Многомерное нормальное распределение имеет СВ () = (1 (), 2 (),..., n ()), непрерывного типа, для которой где G =|| g ij ||n n – неотрицательно определенная матрица, G – ее определитель.

Пример 7.3. Пусть ((), ()) – двумерная СВ, имеющая нормальное распределение, Найдем плотности распределения СВ () и () :

Из условий нормировки матрицы G вытекает следующее требование: g12 = g 21, g11 g 22 g12 g 21 = G > 0, т.е. матрица G должна быть симметричной и положительно определенной.

Пусть k (), k = 1, n, – СВ, определённые на вероятностном множестве элементарных событий = {}, Ak = { : k () Bk }, где Bk – множество на числовой прямой R, Bk R.

Определение. СВ k (), k = 1, n, называются независимыми в совокупности, если, как бы ни выбирались множества Bk, k = 1, n, случайные события Ak, k = 1, n, являются независимыми в совокупности, т.е.

Определение. СВ k (), k = 1, n, называются независимыми парами, если 1 i < k n и для любых множеств Bi и Bk события Ai и Ak являются независимыми, т.е. P ( Ai  Ak ) = P( Ai )P( Ak ).

Ясно, что СВ, независимые в совокупности, являются независимыми парами.

Приведём два критерия независимости СВ в совокупности.

Если F1... ( x1,..., xn ) – абсолютно непрерывная функция, то имеет место следующее утверждение.

Теорема. Для того чтобы СВ k (), k = 1, n, были независимыми в совокупности, необходимо и достаточно, чтобы Доказательство следует из предыдущей теоремы и определения абсолютно непрерывной ф.р. Докажем, например, необходимость Пример 7.4. Из примера 7.3 следует, что, для того чтобы нормально распределённые СВ () и () были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы диагональные элементы матрицы G были равны нулю, т.е. q12 = q21 = 0. Приведем аналогичное утверждение для дискретных СВ.

Теорема. Пусть 1 (), 2 (), …, n () – СВ, каждая из которых может принимать не более, чем счетное число значений. Они Рассмотрим следующую задачу. Пусть f k (x1, x2,..., xn ), k = 1, m – некоторые функции, определенные на R n. Определим СВ где () = (1 (), 2 (),..., n ()) – n -мерная СВ. =СВ ответственно СВ () и (). Нужно выразить F ( y ) через F (x ) и систему функций f k (x), k = 1, m.

Допустим, что ф.р. F (x ) – абсолютно непрерывна. Рассмотрим следующие случаи.

1) Пусть m = n и все функции, k = 1, n, являются дифференцируемыми и функционально независимыми, для последнего достаточно, чтобы В данном случае будем иметь:

Сделаем замену переменных f k (x1,..., xn ) = zk, k = 1, n, тогда rang Данное выражение можно записать в более краткой форме:

непрерывно дифференцируемыми. Новая система функций определит n -мерную СВ. Тогда из условия согласованности и предыдущего случая будем иметь:

Пример 7.5. Пусть у нас есть двумерная СВ Образуем СВ () = 1 () + 2 () и найдем ее плотность распредеf1 ( x1, x2 ) = x1 + x2 = y1.

ления. В данном случае n = 2, m = 1, f 2 ( x1, x2 ) = x2 = y2. Тогда обратное преобразование определяется функциями x1 = q1 ( y1, y2 ) = y1 y2, x2 = q2 ( y1, y2 ) = y2. Поэтому Если 1 () и 2 () – независимые СВ, то Эта формула известна в литературе как свертка для плотностей распределения вероятностей и обозначается p = p1 * p2.

Пример 7.6. Пусть 1 (), 2 (), …, n () – независимые СВ, имеющие экспоненциальное распределение с параметром, т.е.

Найдем распределение СВ n () = 1 () + 2 () +... + n ().

Предположим, что для некоторого n 1 справедлива формула Докажем, что она справедлива также и для n + 1. По той же формуле Распределение с плотностью p n ( y ) называется распределение распределения вероятностей их суммы () = 1 () + 2 () имеет вид Покажем, что их сумма 1 () + 2 () = () имеет пуассоновское распределение с параметром + µ :

поскольку справедлива формула бинома Ньютона Пример 7.8. Пусть имеем двумерную СВ непрерывного типа, для которой известна плотность распределения p ( x1, x2 ). Необходимо найти p ( y ), где В данном случае опять n = 2, m = 1. При этом и введем функцию f 2 ( x1, x2 ) = x2 = y2. Обратное преобразование имеет вид: x1 = q1 ( y1, y2 ) = y1 y2, x2 = q2 ( y1, y2 ) = y2. Якобиан этого преобразования равен поэтому p ( y1, y2 ) = p ( y1 y2, y2 ) y2, и, таким образом, Используя этот результат, можно найти также плотность распределения произведения () = 1 () 2 () :

7.2. Совместная плотность распределения случайных величин дания случайной точки (, ) в пределы квадрата с центром в начале координат, стороны которого параллельны осям координат и имеют длину, равную 2.

7.3. СВ (1, 2 ) имеет плотность распределения Найти: а) величину а; б) ф.р. F12 (x, y ) ; в) вероятность попадания (1, 2 ) в квадрат, который ограничен прямыми x = 0, y = 0, 7.4. Случайный вектор = (1, 2, 3 ) имеет плотность распределения Найти коэффициент a.

Определить плотности распределения отдельных компонентов 1, 2, 3.

Доказать, что p(x, y ) – двумерная плотность распределения вероятностей, и найти маргинальные плотности распределения.

7.7. Пусть u ( x ) – нечетная непрерывная функция на прямой, которая принимает значения, равные нулю, вне интервала [ 1, 1], приu (x ) < пределения, отличающегося от нормального, но маргинальные распределения – нормальны.

является равномерной внутри круга радиуса r с центром в начале координат. Написать ее выражение и выражения для плотностей распределения отдельных его компонент.

7.9. Студент и студентка договорились встретиться между 19 и 20 ч, условившись не ждать друг друга более 10 мин. Предположим, что моменты их прихода к месту встречи равномерно распределены между 19 и 20 ч. Найти вероятность встречи.

7.10. Закон распределения системы двух случайных величин Найти. Составить ряд распределения для каждой из случайных 7.11. Передаются два сообщения, каждое из которых может быть независимо от другого либо искажено, либо не искажено. Вероятность искажения для первого сообщения равна, для второго – p2 Рассматривается система двух случайных величин (1, 2 ), определяемых следующим образом Найти совместное распределение пары случайных величин (1, 2 ).

Найти совместную функцию распределения F1 2 ( x1, x2 ).

7.12. Каким условиям должны удовлетворять числа a,, c для того, являлась плотностью распределения вероятностей на плоскости?

7.13. Состояние замкнутой компьютерной сети, состоящей из систем (такими системами могут быть серверы, компьютеры пользователей и т.д.), описывается вектором где ki – число заданий (запросов, сообщений) в i -й системе, – число заданий, обрабатываемых в сети. Распределение вероятностей состояний сети имеет вид:

где µi – интенсивность обработки заданий в i -й системе, удовлетворяют системе уравнений p ji – вероятность перехода задания после обработки из j -й системы в -ю, – нормировочная константа, определяемая из условия нормировки Найти вероятности состояний сети в случае: а) K = n = 2, p12 = p21 = 1, 7.14. В условиях задач 7.4, 7.5 установить, является или нет СВ 1, 2, 3 зависимыми.

7.17. Система СВ (1, 2 ) распределена равномерно с постоянной плотностью внутри квадрата со стороной a. Написать выражеp1 (x1 ), p 2 (x2 ) и определить, явния для плотностей [p,1] (x1, x2 ) 7.21. Пусть и – независимые СВ с одинаковой плотностью расНайти плотность распределения суммы +.

пределения 3) Неравенство Гёльдера. Пусть = 1, где 0 < s < t, то получим неравенство Ляпунова:

При p = q = 2 из неравенства Гёльдера получаем неравенство Коши – Буняковского (Шварца):

Пример 8.6. Показать, что Решение. Применив неравенство Чебышева и свойство 5 математического ожидания, получим Приведем практический пример, иллюстрирующий, как можно использовать понятие математического ожидания.

Пример 8.7. Продавец получает N единиц товара в день и стремится заказать число N таким образом, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль. Найти оптимальный параметр N *, если число покупателей товара в данный день следует закону Пуассона с параметром > 0. Прибыль, получаемая от единицы проданного товара, равна, убыток от нереализованной единицы товара –, c – убыток, если покупатель желает приобрести товар, но их запас исчерпан.

Ожидаемая прибыль является математическим ожиданием GN = g N ( ). Изменение ожидаемой прибыли при добавлении еще то уравнение для нахождения оптимального N * имеет вид:

Числовое значение данного выражения можно найти, воспользовавшись таблицей распределения Пуассона.

8.1. Найти математическое ожидание СВ, распределенной по нормальному закону с параметрами a,.

8.2. Существует ли математическое ожидание СВ, имеющей 8.3. Пусть – СВ, равномерно распределенная на отрезке.

Найти cos ( ), sin ( ).

8.4. Найти математические ожидания дискретных СВ, имеющих:

а) распределение Бернулли, б) биномиальное распределение, в) геометрическое распределение.

8.6. СВ имеет бета-распределение с плотностью где Найти.

8.7. Пусть – неотрицательная СВ с конечным математическим ожиданием, имеющая ф.р.. Доказать, что 8.8. СВ – неотрицательная целочисленная величина с конечным математическим ожиданием. Показать, что 8.9. Пусть и – независимые одинаково распределенные СВ. НайЯвляются ли независимыми СВ ( ) и ( + ) ?

8.13. Найти среднее значение квадрата расстояния между двумя точками, выбранными наугад на любой из сторон прямоугольника.

8.14. Интервалы времени между движением автомашин на дороге имеют показательное распределение с параметром. Найти интенсивность потока автомашин на дороге.