точка – это геометрический объект, который нельзя охарактеризовать ни формой, ни размерами. Единственное, чем отличается одна точка от другой, – это ее местоположение. Еще одной важнейшей особенностью точки является то, что она не имеет частей, т. е. нельзя, например, рассмотреть половину точки. Из точек состоит любая геометрическая фигура, в том числе и линия (в частности, прямая).

Эта мысль является очень важной для формирования правильных геометрических представлений, но она очень сложна для понимания. Дело в том, что учащиеся могут делать попытки строить линии Формирование временных и пространственных представлений с помощью постановки большого количества точек, расположенных близко друг к другу. А это грубейшее искажение существа дела:

таким способом «сплошную» линию в принципе получить нельзя!

Между любыми двумя различными точками на линии существует бесконечно много других точек! С физических позиций точка соответствует моменту времени, а линия – интервалу времени. По этой причине точку ставят (отмечают), а линию проводят (чертят).

Представление о прямой линии можно сформировать только с помощью соответствующих моделей (туго натянутая нить, линия сгиба плотной бумаги). Никакие словесные описания нам здесь не помогут. Акцент на бесконечности прямой мы на данном этапе обучения не делаем, полагая, что сначала нужно сформировать правильное представление о «прямолинейности».

После того как введены понятия точки и прямой, начинается этап изучения определяемых понятий. Это, естественно, не означает, что мы будем предлагать учащимся работать с этими определениями, но логика введения каждого такого понятия будет подсказана именно его определением. Как это можно и нужно сделать, будет описано в методических рекомендациях к соответствующим темам.

Завершая разговор об изучении геометрического материала, следует особо подчеркнуть, что знакомство с любым геометрическим понятием в нашем учебном курсе осуществляется на основе анализа соответствующей реальной (или псевдореальной) ситуации, в которой фигурирует предметная модель данного понятия.

Формирование временных и пространственных представлений Умение адекватно ориентироваться в пространстве и во времени – это те умения, без которых невозможно обойтись как в повседневной жизни, так и в учебной деятельности. Элементы пространственной ориентации являются отправной точкой в изучении геометрического материала, а знание временных отношений позволяет правильно описывать ту или иную последовательность действий. В связи с этим изучению пространственных отношений отводится несколько уроков в самом начале курса. При этом сначала изучаются различные характеристики местоположения объекта в пространстве, а потом характеристики перемещения объекта в пространстве.

Из временных понятий мы рассматриваем только «раньше»

и «позже», а также «часть суток» и «время года». Об особенностях Особенности развития основных содержательных линий курса первого полугодия изучения этого материала подробно сказано в методических рекомендациях к соответствующим темам.

Изучение величин В первом полугодии из всех величин изучается только величина «длина» (доизмерительный период), если не считать двух тем, в которых в пропедевтическом плане затрагивается величина «время».

Мы постарались рассмотреть наиболее важные проявления длины в различных ситуациях. Сравнение предметов по этой величине осуществляется на глаз по рисунку или по представлению, а также способом «приложения». Результатом такой работы должно явиться понимание учащимися того, что реальные предметы обладают свойством иметь определенную протяженность в пространстве, по которому их можно сравнивать. Таким же свойством обладают и отрезки. Никаких измерений мы пока не проводим. Об этом речь пойдет во второй части учебника.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ

Примечание. Предлагаемое распределение учебных часов, отводимых на изучение той или иной темы, не является строго обязательным. Учитель вправе внести изменения в тематическое планирование исходя из реальной ситуации.

Эти изменения могут касаться и сроков окончания работы по первой части учебника. По усмотрению учителя планирование каждого конкретного урока дополняется заданиями из тетради для самостоятельной работы № 1 (О.А. Захарова, Е.П. Юдина).

Тема: «Здравствуй, школа!» (1 урок) Данная тема носит вводный характер. При ее рассмотрении дети познакомятся со школой, с классом, с учителем, с одноклассниками, с Машей и Мишей – книжными персонажами, которые будут Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие сопровождать детей на протяжении всего учебного года и не только на уроках математики. Главным объектом знакомства должен стать учебник математики: его структура, условные обозначения, иллюстративный материал. Дополнительной темой для беседы (по усмотрению учителя) может стать сама МАТЕМАТИКА. С этой целью мы предлагаем учителю обсудить с детьми на доступном уровне следующие вопросы: где в жизни людям нужна математика? Где тебе приходилось сталкиваться с математикой? Какими математическими знаниями дети владеют на настоящий момент?

Тема: «Этот разноцветный мир» (1 урок) Эта тема призвана актуализировать и систематизировать цветовое восприятие окружающего мира, которое сформировалось у детей на данный момент. Мы предлагаем поработать с шестью цветами, которые традиционно представлены в наборах цветных карандашей, фломастеров, красок. При этом необходимо добиться того, чтобы дети эти цвета знали, легко различали и не путали, так как в дальнейшем целый ряд заданий построен на использовании цвета, причем цвет выступает не только в роли эмоционального фактора, но и в роли носителя информации.

В задании 1 учащиеся должны назвать цвета, представленные на палитре художника, и выбрать тот цвет, который еще не использовался художником (речь идет о синем цвете). После этого учащимся должна быть предоставлена возможность назвать то, что можно раскрасить этим цветом. При этом сначала следует ориентироваться на «картину художника», а уже потом можно привлечь воображение учащихся.

В задании 2 учащимся предлагается распознать сначала желтый цвет, а потом – голубой, назвав соответствующие предметы или их части.

В задании 3 учащимся предлагается распознать флажки, которые раскрашены одинаково. При этом отличие одного флажка от другого состоит лишь в том, в какой последовательности используются три данных цвета для раскрашивания трех полосок, из которых состоит флажок (форма всех флажков одинаковая).

В задании 4 учащимся еще раз предлагается сосредоточиться на распознавании данного цвета. При этом использование одних и тех же цветов еще не означает, что предметы раскрашены одинаково.

После этого учащимся можно предложить в тетради нарисовать желтый шарик, который далее нужно раскрасить синим цветом.

В результате этого должно произойти «волшебное» превращение цвета: желтый и синий дадут зеленый. Аналогичное «превращение»

можно осуществить для красного и зеленого цветов, которые должны дать коричневый цвет.

Задание 5 предусматривает работу по распознаванию цветовых отличий на двух данных рисунках. Обо всех замеченных отличиях учащиеся должны рассказать классу.

Тема: «Одинаковые и разные по форме» (1 урок) После актуализации сравнения предметов по цвету появляется естественная необходимость установления и других признаков сравнения. Следующим из таких признаков мы предлагаем рассмотреть форму предмета. С этим признаком работать сложнее, так как выделение формы есть более трудный процесс в психологическом плане, чем выделение цвета. Мы предлагаем сначала опираться на знакомые учащимся формы и в неявном виде их определить.

А в дальнейшем попробовать обратить внимание детей на форму предмета в процессе сопоставления предметов с одинаковой формой и противопоставления их предметам другой формы.

В задании 1 от учащихся требуется умение распознавать предметы круглой и прямоугольной формы. При этом под круглой формой понимается и форма круга, и форма шара, а под прямоугольной – и форма прямоугольника, и форма прямоугольного параллелепипеда.

Примечание. При выполнении этого задания учащимся впервые предлагается познакомиться с парной формой работы. В связи с этим учитель должен подробно объяснить, как будет организована эта работа, как учащиеся будут образовывать пары в зависимости от наличия или отсутствия соседа по парте, а также следует договориться о том, от чьего лица в данной паре будет формулироваться задание. Для решения последнего вопроса можно предложить тот же способ, который используется для определения номера варианта, закрепленного за данным учеником: те, кто в паре сидит ближе к окну, будут играть роль «первого» лица, т. е. от их имени будет формулироваться задание в паре.

В задании 2 от учащихся требуется умение распознавать предметы (или их части) треугольной формы. Особое внимание учащихся следует обратить на предметы, которые имеют либо форму конуса, либо форму пирамиды. Изображение таких предметов на плоскости часто напоминает по форме треугольник, но на самом деле они такую форму не имеют. Примером тому может служить «детская Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие пирамидка». Без развитого пространственного воображения далеко не просто установить, что речь не идет о предмете треугольной формы. В связи с этим желательно, чтобы учащимся была продемонстрирована реальная «детская пирамидка» и демонстрационная модель треугольника.

В задании 3 имеются две вазы, которые одинаковы не только по форме, но и по размеру. Эту пару ваз отыскать совсем нетрудно.

Но есть и еще одна ваза, которая имеет ту же форму, но другие размеры. Эту вазу нужно ни в коем случае не забыть. Для этого, при необходимости, учитель должен своими вопросами типа «Есть ли еще ваза, которая очень похожа на эти две, но только меньше их по размеру?» направить мысль учащихся в нужном направлении.

Примечание. При выполнении данного задания учащимся впервые предлагается продемонстрировать полученный ответ с помощью фишек. Использование страницы учебника в качестве «игрового поля», на котором расставляются фишки произвольного или определенного цвета, – это прием, который мы будем применять достаточно часто. С его помощью мы получаем возможность использовать рисунки на страницах учебника не только для иллюстрации заданий, но и для непосредственной работы по выполнению задания и демонстрации полученного результата. Съемные фишки позволяют фиксировать нужный результат, не оставляя никаких «следов» на рисунках, что является обязательным условием работы ученика с учебником. В противном случае учебник нельзя будет использовать многократно. Что касается самих фишек, то они будут использоваться практически на каждом уроке в 1 классе, и их набор должен быть у каждого ученика.

При этом совсем не обязательно, чтобы фишки были «настоящими», т. е. фишками, которые входят в комплект некоторых настольных игр. Фишки, например, можно сделать из цветного картона, вырезав фигурки соответствующей формы, можно сделать из пластилина или из другого пригодного для этих целей материала. Наконец, в качестве фишек можно использовать различные предметы, которые на данный момент имеются у учащихся и которые пригодны для этих целей. Например, это могут быть некоторые фигурки из «математического набора».

В задании 4 все отличия искать совсем не обязательно. Можно устроить соревнование: кто найдет больше отличий.

В задании 5 от учащихся потребуется проявить определенную изобретательность, чтобы ответить на поставленный вопрос. Если связать форму бревна с кругом и назвать бревно «круглым» не так уж сложно, то объяснить смысл термина «плоский» совсем непросто. Однако сделать это нужно обязательно, так как иначе понятие «плоская геометрическая фигура» останется без необходимой понятийной опоры. Желательно, чтобы учащиеся, характеризуя отличительные особенности доски, отметили, что она «ровная», «не изогнутая», что по ней (в отличие от бревна) легко ходить, что из досок можно сделать ровный пол в доме и т. п. В задании 6 продолжается работа в том же направлении. Вообще, плоскую поверхность удобно моделировать с помощью гладкой поверхности воды в озере (в тихую погоду) или с помощью гладкой и ровной поверхности стола.

Тема: «Слева, справа, вверху, внизу» (1 урок) Этой темой начинается изучение вопросов, связанных с пространственными отношениями и ориентировкой в пространстве. Мы исходим из того, что первичные представления в этой области дети получили в своем дошкольном детстве, и наша задача состоит в том, чтобы их актуализировать и систематизировать.

В задании 1 на рисунке слева изображен Миша рядом с копной сена, а на рисунке справа – Маша и сноп соломы. Эти ответы ученики должны дать без особого труда, так как местоположение слева и справа относительно себя им не раз уже приходилось определять ранее.

Выполнение задания 2 потребует от учащихся умения идентифицировать себя сначала с Мишей, а потом с Машей. При возникновении затруднений учитель может взять на себя роль Маши (или Миши), взяв в правую (в левую) руку какой-нибудь предмет, и продемонстрировать это сначала спиной к классу, а потом лицом.

В задании 3 учащиеся должны отыскать ошибки в рисунке. Эти ошибки связаны с понятиями «вверху» и «внизу». При анализе рисунка указанные термины должны обязательно прозвучать в устных ответах детей.

Тема: «Над, под, левее, правее, между» (1 урок) Продолжаем изучать вопросы, изучение которых было начато в предыдущей теме.

В задании 1 в качестве характеристики местоположения предмета мы используем соответствующие предлоги, обращая тем самым внимание учащихся на их смысл.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие В задании 2 знакомые уже термины «слева» и «справа» заменяются терминами «левее» и «правее». Отличие этих терминов проявляется в том случае, когда описывается некоторое изменение местоположения (указывается направление передвижения) или когда необходимо сравнить объекты по их местоположению. Фраза «Отойди левее» нам понятна, а вот фраза «Отойди слева» лишена смысла. Также понятной должна быть, например, фраза: «На книжной полке учебник по математике располагается правее всех остальных книг». Особо следует обратить внимание на формирование понятия «между» (см. задание 3). Этот термин применяется для характеристики местоположения объектов, выстроенных в определенной последовательности (друг за другом). Если этого нет, то такая характеристика лишена смысла.

Тема: «Плоские геометрические фигуры» (1 урок) Данная тема продолжает развивать линию, которую мы начали при изучении форм предметов. Геометрическая фигура рассматривается как некая абстракция, возникающая при сопоставлении предметов, имеющих одинаковую форму. Учащимся предлагается распознавать такие фигуры, как круг, треугольник и прямоугольник, и правильно использовать соответствующие термины (см. задание 1). Если ктото из учеников обратит внимание на то, что среди прямоугольников он видит квадрат, то не следует отказываться и от этого термина, но заниматься выяснением отличительных признаков квадрата совсем необязательно. Вполне достаточно сказать учащимся о том, что квадрат также является и прямоугольником.

В задании 2 от учащихся потребуется умение распознать в реальных предметах форму плоских геометрических фигур. Особенность данной ситуации состоит в том, что предметы – трехмерные (объемные), а предлагаемые формы – плоские. Это означает, что у рассматриваемого предмета нужно пренебречь одним измерением (толщиной) и условно считать его плоским. Форму предмета, который может находиться в пустой рамке, должен подсказать учащимся ее цвет: так как на рисунке круг имеет красный цвет и фишками красного цвета мы обозначаем предметы, имеющие форму круга, то в рамке красного цвета должен находиться предмет именно такой формы.

В задании 3 учащиеся уже будут работать не с изображениями предметов, а с изображениями геометрических фигур. «Ловушка»

подстерегает учащихся там, где прямоугольник (квадрат) разделен на два треугольника. Эту ситуацию можно трактовать двояко: либо как изображение двух треугольников, либо как изображение одного прямоугольника (квадрата). Но в последнем случае свою позицию ученик должен обосновать.

При выполнении задания 4 учащиеся должны работать в паре, рассказывая по очереди, из каких фигур состоит «сказочный человечек» и «сказочная собака». Назвать и показать нужно все фигуры.

Тема: «Прямые и кривые» (1–2 урока) В этой теме продолжается изучение геометрического материала.

Новый геометрический объект – линия вводится на идее противопоставления прямых и кривых линий. Особенность линии как геометрического объекта преподносится учащимся с помощью описания процедуры ее получения, что выражается соответствующим термином: линию проводят.

Знакомство с прямыми и кривыми линиями мы предлагаем провести на основе сопоставления траекторий движения двух поездов (см. задание 1). Определить их траектории движения можно по изображенным рельсам. Личный опыт учащихся должен им помочь в анализе предложенной ситуации: прямолинейные и непрямолинейные участки железнодорожного пути они могли наблюдать как в реальной жизни, так и на экране телевизора.

В задании 2 учащимся предлагаются для анализа изображения прямых и кривых линий. Затруднения в идентификации может вызвать кривая линия, часть которой является отрезком прямой.

В этом случае обязательно нужно обратить внимание учащихся на то, что линию следует рассматривать не по частям, а в целом.

В задании 3 происходит знакомство учащихся с линейкой как инструментом для проведения прямых линий. Это знакомство осуществляется как в плане распознавания, так и в плане использования.

Примечание. При выполнении данного задания следует обязательно обратить внимание учащихся на последнюю его часть. Правильно сделанный акцент на возможность продолжения прямой линии в обе стороны позволит заложить необходимую базу для понимания такого важнейшего свойства прямой как «бесконечность». Для этого можно обратить внимание учащихся на тот факт, что, продолжив прямую на чертеже, мы получаем изображение той же самой прямой, а само продолжение возможно только в тех направлениях, которые задает данная прямая.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Задание на проведение различных кривых линий (см. задание 4) не должно вызвать у учащихся каких-то затруднений.

Можно дополнительно сориентировать учащихся на проведение «красивых» кривых линий. Что же касается продолжения кривых линий в обе стороны, то ситуация в этом случае принципиально отличается от той, которую мы имели при продолжении в обе стороны прямой линии: если продолжение прямой возможно только в тех двух (противоположных) направлениях, которые и задает эта прямая, то продолжение произвольной кривой линии может быть любым, и вариантов выполнения этого задания существует сколько угодно.

В задании 5 учащимся сначала предлагается распознать на рисунке прямые и кривые линии, а потом нарисовать в тетради дом с помощью прямых и кривых линий. При этом учителю в данном случае не следует обращать внимание на тот факт, что для рисунка учащиеся будут использовать не прямые, а их части.

Задание 6 относится к хорошо известному типу заданий занимательного характера. Распутать эту «путаницу» учащиеся смогут, если с помощью какой-нибудь указки «пройдут весь путь» по нитке от клубка до соответствующего носка.

Тема: «Впереди и позади» (1 урок) Возвращаемся к вопросам, связанным с пространственными отношениями и ориентировкой в пространстве. Термины «впереди»

и «позади» позволяют охарактеризовать местоположение объекта по направлению движения, при этом следует обратить внимание на то, что при осуществлении некоторого процесса по шагам, термин «впереди» будет трактоваться как «в первую очередь». Кроме того, по отношению к наблюдателю «впереди» можно трактовать как «ближе», а «позади» – как «дальше».

В задании 1 проводится подготовительная работа к введению указанных понятий на основе таких характеристик, как «передний»

и «задний», которые выводят нас на различия, связанные с направлением движения.

В задании 2 эта идея находит развитие: мы анализируем последовательность объектов по ходу движения. В математике с аналогичными конструкциями приходится сталкиваться достаточно часто.

В задании 3 проверяется общий уровень развития учащихся.

С этой целью можно предложить им рассказать о предназначении нарисованных приборов.

Тема: «Точки» (1 урок) Следующим геометрическим понятием, с которым мы знакомим учащихся, является понятие «точка». Точку мы предлагаем ввести на основе визуального восприятия очень удаленных объектов, т. е. удаленных настолько, что уже невозможно различить форму этих объектов и они все начинают выглядеть одинаково:

они «превращаются в точки». Основной проблемой правильного формирования понятия точки является уяснение учащимися того факта, что точка размеров не имеет, т. е. не бывает точек больших и маленьких. Более высокий уровень предполагает достижение понимания того, что точка частей не имеет, т. е. нельзя, например, провести одну линию через верхнюю часть точки, а другую – через нижнюю ее часть. Так же нельзя говорить о половине точки, о четверти точки и т. п.

В задании 1 мы сделали попытку максимально просто ответить на вопрос «Что такое точка?», на который в строгом смысле явного ответа не существует. Выше было сказано о том, на какой основе мы предлагаем получить неявный ответ на этот вопрос.

В задании 2 речь идет об изображении точки. Понятно, что изображать точку лучше остро отточенным карандашом, но не всегда это возможно и нужно. А вот то, что точку ставят, а не проводят, нужно помнить всегда. Вторая часть этого задания готовит учащихся к введению понятий «пересекающиеся линии» и «непересекающиеся линии».

В задании 3 учащиеся знакомятся с возможностью проведения линий через данные точки. При этом можно дополнительно обратить внимание учащихся на тот факт, что через две точки можно провести только одну прямую и сколько угодно кривых линий.

Тема: «Отрезки и дуги» (1 урок) Эта тема позволяет соединить изученный материал двух предшествующих тем: «Прямые и кривые линии» и «Точки». Если взять две точки и соединить их прямой линией (по прямой), то получится отрезок, а если соединить их кривой линией (по кривой), то получится дуга. Процесс получения отрезка и дуги может быть осуществлен и в другой последовательности: если взять прямую линию и на ней отметить две точки, то они выделяют часть прямой, которая вместе с ними называется отрезком; если то же самое проделать с кривой линией, то образуется дуга, которую Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие можно было бы назвать отрезком кривой. Таким образом, общим признаком для отрезка и дуги является явное выделение на линии двух точек, которые являются их концами, а отличительным признаком будет то, на какой линии – прямой или кривой – эти точки выделены.

В процессе выполнения задания 1 учащиеся фактически смогут познакомиться с определением отрезка, хотя в явном виде мы его все же не формулируем. Очень важно обратить внимание учащихся на два факта: во-первых, отрезок – это часть прямой, во-вторых, концы отрезка – это точки. Таким образом, говоря об отрезке, мы говорим о той части прямой, которая ограничена точками – концами этого отрезка.

В задании 2 учащиеся знакомятся с реальной моделью отрезка.

В качестве такой модели выступает туго натянутая нить. Другие модели мы не предлагаем использовать, но не исключаем возможность их применения (например, линия сгиба плотной бумаги или тонкий луч света). При выполнении задания 2 мы допускаем, что учащиеся могут сказать, что отрезки легче проводить от руки, имея ввиду трудности в работе с линейкой. В этом случае формулировку вопроса следует уточнить, обращая особое внимание не на удобство работы, а на качество результата работы.

Задание 3 направлено на закрепление введенного только что понятия отрезка. С этой целью мы предлагаем учащимся сначала провести прямую через две выбранные точки, а уже потом распознать на этом чертеже отрезок, выделив его концы. Результатом такой работы должно стать не только знакомство с генетической трактовкой сути понятия отрезка, но и понимание того, как правильно изображать (строить) отрезки.

Задание 4 по своей идее аналогично заданию, в котором рассматривалась модель отрезка. Поэтому мы предлагаем учащимся самостоятельно подойти к рассмотрению понятия дуги. При этом знакомые названия предложенных моделей помогут учащимся ввести нужный термин самостоятельно.

Задание 5 дано для закрепления введенных понятий. При этом учителю следует помнить, что последовательное соединение точек дугами совсем не обязательно должно приводить к образованию плавной кривой линии: в точке соединения двух дуг возможен излом. Завершить задание следует изображением произвольной дуги от руки.

В задании 6 учащимся дана инструкция, выполняя которую они не только должны нарисовать отрезок от руки, но и поучиться использовать линейку в качестве инструмента для проверки «прямолинейности» изображенной линии.

Тема: «Направления» (1 урок) Геометрические представления учащихся обогащаются при изучении данной темы. Отрезок или дуга имеют два конца, которые совершенно равноправны. Двигаться по отрезку (дуге) можно от одного конца к другому. Но такое движение возможно в двух направлениях. Чтобы различить эти направления, мы должны один конец отрезка (дуги) считать началом, а другой, как и ранее, – концом. В этом случае отрезок (дуга) становится направленным (направленной), а показать это можно с помощью стрелки.

В задании 1 перед учащимися ставится проблема, решение которой требует найти способ различать концы линии, считая один конец началом, а другой – концом. Таким приемом мы хотим обосновать необходимость рассмотрения направленных отрезков (дуг).

Именно в этом смысле мы будем говорить о направлениях движения, описать которые можно с помощью соответствующих направленных линий, изображенных стрелками.

В задании 2 для анализа предложены дорожные знаки со стрелками. С одной стороны, это позволяет придать данному понятию реальную практическую направленность, а с другой стороны, появляется возможность вести речь о знаках как условных символах, передающих нужную информацию. Такое понимание знака будет полезно при изучении цифр.

В задании 3 мы предлагаем учащимся сначала назвать, люди каких профессий изображены на рисунках, а потом определить место работы каждого из них. Для установления соответствия между изображением работников и изображением мест их работы мы использовали стрелки. Такая конструкция является по своей сути графом соответствия. Тем самым мы демонстрируем математические возможности применения направленных отрезков (дуг).

Тема: «Налево и направо» (1 урок) Направление движения по горизонтали мы предлагаем изучать в связи с терминами «налево» и «направо». При этом следует рассмотреть случай как движения по прямой слева направо (справа налево), так и движение с поворотом направо (налево).

Сначала термины «налево» и «направо» вводятся в привычном толковании как указывающие на изменение направления движения (см. задание 1). Поставив себя на место водителя, ученик без особых затруднений должен истолковать данные термины и показать Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие это с помощью фишек соответствующего цвета, поставив их на изображения нужных улиц.

В задании 2 рассматривается принципиально другая ситуация:

нужно описать не изменение в направлении движения, а одно из двух возможных направлений движения по прямой, когда прямая располагается горизонтально. Термин «справа налево» должен обязательно прозвучать.

В задании 3 учащимся предлагается проанализировать реальные ситуации, в которых требуется определить направление движения по горизонтали (направление ветра слева направо) и показать соответствующий рисунок соседу по парте. В свою очередь, соседа по парте можно попросить назвать направление ветра на другом рисунке. Для характеристики направления ветра можно использовать и такие термины: «в лицо», «в спину», «спереди», «сзади».

Тема: «Вверх и вниз» (1 урок) Данная тема продолжает предыдущую, только теперь рассматривается направление движения по вертикали. При этом планируется дать учащимся представление не только о строго вертикальном движении снизу вверх (сверху вниз), но и о наклонном типе такого движения, где присутствует горизонтальная составляющая движения, но вертикальная составляющая остается определяющей. Аналогично можно рассмотреть движение по горизонтали с наличием вертикальной составляющей. Например, бросок мяча на дальность.

В задании 1 мы предлагаем учащимся не только познакомиться с терминами «вверх» и «вниз», смысл которых им должен быть понятен, учитывая ранее изученный материал и имеющийся жизненный опыт, но и мысленно смоделировать результаты предложенного физического опыта, опираясь на имеющиеся знания и наблюдения.

Если такая возможность имеется, то данный опыт (хотя бы в сокращенном варианте) можно осуществить.

В задании 2 учащиеся должны описать направление движения по вертикали. Для правильного ответа на вопрос учащиеся должны понимать, что направление движения мы описываем от начала к концу.

Задание 3 предусматривает организацию парной работы. В нем учащимся предлагается рассмотреть комбинированное направление движения, в котором есть и горизонтальная и вертикальная составляющая, но вертикальная составляющая в данной ситуации является определяющей. Дополнить это задание можно вопросом, который на первый план выведет горизонтальную составляющую.

Этот вопрос может звучать, например, так: «Машины едут слева направо или справа налево?»

Тема: «Больше, меньше, одинаковые» (1 урок) Предметы, которые имеют одинаковую форму, могут отличаться по величине (размеру). В силу их одинаковой формы отличие по объему означает и соответствующее отличие по длине (например, по высоте), и соответствующее отличие по площади (например, по толщине). Предметы, разные по форме, сравнивать по размерам на данном этапе обучения не имеет смысла, так как учащиеся еще не в состоянии сравнить другие размеры, кроме линейных, а сравнение линейных размеров для предметов разной формы мало что дает.

В задании 1 учащимся предлагается сравнить предметы одинаковой формы, при этом мячи отличаются только по размеру, а матрешки еще и по рисунку на них. Сравнение предметов по размеру происходит визуально.

В задании 2 представлены вазы, которые отличаются друг от друга только по размеру. По этой причине совпадение размеров ваз автоматически означает, что вазы одинаковые. Таким приемом мы готовим учащихся к правильному формированию понятия «равенства фигур».

В задании 3 учащимся предлагается достроить ряд прямоугольников (квадратов), выбрав из предложенных нужный прямоугольник (квадрат) с учетом установленной закономерности. Начать выполнение этого задания нужно с установления данной закономерности, а уже потом выбирать нужный прямоугольник (квадрат).

Смысл терминов «самый маленький» и «самый большой» должен быть понятен, так как в этом случае имеет место естественное смысловое обобщение терминов «меньше» и «больше». «Самый маленький» означает, что среди данных фигур «меньше» него нет, а «самый большой» – что «больше» него нет.

Тема: «Первый и последний» (1 урок) Изучение этой и следующей тем готовит детей к восприятию порядковых свойств целых неотрицательных чисел. Для того чтобы выстроить изученные числа в определенном порядке, т. е. построить начальный отрезок ряда целых неотрицательных чисел, мы постоянно будем обращаться к понятиям «непосредственно следующий»

и «непосредственно предшествующий» элемент последовательности, Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие употребляя соответственно термины «следующий» и «предшествующий». При этом так как рассматриваемая на каждом этапе последовательность (набор) чисел будет конечной, то мы будем говорить как о «первом» элементе, так и о «последнем». Предложенные в этой и следующей темах задания направлены прежде всего на то, чтобы сформировать у детей четкое представление об очередности элементов при заданном порядке их расположения. Наиболее подходящая для этих целей реальная модель – это очередь. Поработать с этой моделью можно и в большем объеме, чем это предложено в задании 3.

В задании 1 для построения модели конечной последовательности (упорядоченного набора) используется сюжет хорошо известной народной сказки «Репка». При необходимости учащимся можно напомнить сюжет этой сказки, опираясь на иллюстрацию.

В задании 2 рассматриваемой конечной последовательностью является последовательность, в которой закончили дистанцию участники соревнования по бегу. В данной ситуации термин «первый» можно заменить на термин «победитель», о чем и сообщается учащимся.

В задании 3 учащимся в явном виде предъявляется такая модель конечной последовательности, как «очередь». Возможности работы с этой моделью достаточно большие: можно говорить о первом и последнем человеке в очереди, о том, кто за кем стоит, кто стоит впереди, а кто позади данного человека и т. п.

Тема: «Следующий и предшествующий» (1 урок) О целях изучения этой темы было уже сказано выше (см. тему «Первый и последний»).

Для выполнения задания 1 от учащихся не требуется полного знания алфавита. Достаточно, чтобы они правильно прочитали данную таблицу, а именно двигались по строке слева направо, а при переходе на новую строку возвращались к ее началу.

В задании 2 осуществляется связь с предыдущей темой, а задание 3 носит комбинаторный характер. Мы предлагаем учащимся найти только один новый вариант расположения трех шариков, но если кто-то из них захочет продолжить комбинировать, то такая возможность должна быть предоставлена.

Тема: «Один и несколько» (1 урок) Данная тема в пропедевтическом плане является основной для перехода к изучению чисел. Мы предлагаем учащимся провести четкую грань в понимании того, что означает «один» и что означает «несколько». Работая на противопоставлении этих понятий, мы рассчитываем достичь максимального эффекта. При этом мы намеренно не берем в противопоставление к понятию «один» понятие «много», так как понятие «много» в строгом толковании не относится к математическим понятиям из-за своей неопределенности, чего нельзя сказать о понятии «несколько», которое в математике трактуется как «более одного», что вполне согласуется с интуитивным представлением ребенка об этом понятии.

В задании 1 предполагается, что учащиеся выберут рисунок козы.

Могут выбрать и рисунок стола, но в этом случае следует уточнить, как они воспринимают скатерть, покрывающую стол. Если как отдельный предмет, то следует указать на ошибочность сделанного выбора. Если они не отделяют скатерть от стола, то нужно установить причину такого восприятия. Можно предложить детям проанализировать ситуацию, когда на столе стоит ваза. Как они будут трактовать эту ситуацию в свете данного задания? Другими словами, следует обратить внимание учащихся на то, что несколько отдельных предметов не обязательно должны располагаться отдельно друг от друга.

При выполнении задания 2 учащимся предоставляется возможность сначала выбрать рисунок, на котором изображен один треугольник, а уже потом изобразить в тетради несколько треугольников. Например, столько, сколько изображено на другом рисунке.

Задание 3 предлагается с целью проверки понимания детьми того факта, что существуют единичные понятия. При этом важно установить, на каком уровне детализации воспринимает реальные предметы ребенок. Наиболее ожидаемые ответы детей (с опорой на рисунок) могут быть следующими: Солнце, Луна, Земля. Ктото может добавить такие варианты: я, моя мама, мой папа, мой друг Сережа Иванов, моя кошка Мурка. Но могут быть и совсем неожиданные ответы, поэтому учителю, прежде чем оценивать ответ ученика, следует очень внимательно проанализировать, что он имел в виду, давая данный ответ. Так, например, обращение к конкретному реальному объекту можно рассматривать в качестве иллюстрации «единственности» (каждый реальный объект является единственным и неповторимым). Но если речь идет о понятии, представителем которого является данный объект, то «единственность» иллюстрируется только единичными понятиями, такими, например, как «Солнце» или «Луна».

В задании 4 мы предлагаем сначала обратить внимание детей на то, что термин «один» может изменяться (по родам), но смысл его при этом не меняется. А вторая часть задания направлена на то, чтобы показать, как из «одного» можно получить «несколько».

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие При выполнении задания 5 от учащихся потребуется умение ассоциировать изображенный предмет с реальными предметами своей домашней обстановки. При этом искомая ситуация предполагает переход от одного изображенного предмета к нескольким воображаемым предметам.

В задании 6 учащиеся будут иметь дело с ситуацией, которая носит обратный характер: из «нескольких» получаем «один».

Тема: «Число и цифра 1» (2 урока) Данная тема является одной из главных для всего курса. Значимость этой темы объясняется в той части пособия, где речь идет об общих методических рекомендациях по изучению чисел.

Вся подготовительная работа для понимания и выполнения задания 1 была проведена. Учащимся остается сделать последний логический шаг: воспринять «один» как число. С этой целью мы вводим в формулировку задания словосочетание «по одному», т. е.

в единственном числе.

В задании 2 учащиеся знакомятся с цифрой 1. С самого начала мы подчеркиваем, что цифра – это математический знак, с помощью которого можно записать число. В данном случае – число ОДИН. С целью правильного формирования использования терминов «число» и «цифра» мы предлагаем различать следующие нюансы в употреблении глаголов: мы пишем цифры, но с их помощью записываем числа.

В задании 3 учащимся требуется найти сходство по начертанию между цифрой 1 и реальными предметами или их частями. При этом расположение предмета роли не играет. Примером такого сходства может служить и коса, и багор, и фонарный столб, и антенна, и сломанная ветка и т. д.

Задание 4 направлено на отработку графического навыка по написанию цифры 1. Особое внимание следует обратить на ту часть задания, в которой фигурирует игральный кубик. Во-первых, учащиеся должны познакомиться со стандартной «точечной формой»

обозначения числа 1. Во-вторых, они должны узнать (если еще этого не знают), что означает фраза «На кубике выпало 1 очко»

и на какую грань кубика следует смотреть, чтобы ответить на вопрос «Сколько очков выпало на кубике?». На первом этапе от детей требуется только правильно указать ту часть (грань) кубика, на которой изображено (обозначено) данное число (число 1). В дальнейшем можно обратить внимание детей на то, что 1 точка обозначена на верхней части (грани) кубика и что при таком располоПересекающиеся линии и точка пересечения»

жении кубика принято считать, что на нем выпало данное число очков (1 очко). Для более быстрого понимания данной ситуации очень полезна будет практическая работа с реальными кубиками, которую можно организовать на уроке и которая должна включать в себя следующие моменты: расположить на парте кубик так, как это показано на рисунке; показать и назвать число точек на верхней грани кубика, подчеркнув, что число точек на верхней грани и определяет число очков, выпавших на кубике.

В задании 5 мы впервые сталкиваемся с главным героем сказки «Про Козленка, который умел считать до 10». О том, с какой целью мы включили эту сказку в содержание нашего учебника и какая подготовительная работа к заданиям такого типа требуется от учителя, было уже сказано выше (см. общие методические рекомендации по изучению чисел). В этом задании дети вновь встречаются с порядковым числительным ПЕРВЫЙ и устанавливают связь и различия между количественным и порядковым смыслом числа.

Более четкое проявление этой связи и этого различия мы сможем наблюдать в дальнейшем.

Задание 6 дает возможность учащимся закрепить порядковую терминологию для числа 1 и различный порядок счета (как слева направо, так и справа налево).

Тема: «Пересекающиеся линии и точка пересечения»

(1 урок) Задания данной темы продолжают знакомить детей с геометрическими понятиями и их свойствами. С понятием «пересекающиеся линии» мы предлагаем познакомить детей на основе направлений движения (см. задание 1). Фраза «пути пересекаются» должна быть понятна детям без дополнительных пояснений. Если этого нет, то можно предложить детям показать в тетрадях предполагаемый путь автомобилей с помощью линий и спросить, в каком случае может произойти столкновение автомобилей, – это и будет основанием для утверждения, что пути автомобилей пересекаются. Для большей наглядности можно организовать с детьми игровую ситуацию, в которой они будут изображать движущиеся автомобили.

В задании 2 мы переходим к рассмотрению собственно пересекающихся линий на примере прямых. При этом выбор прямых объясняется тем, что именно прямые позволяют на данном этапе избежать ситуации, когда общая точка двух линий является их точкой касания (для прямых это невозможно). Во второй части этого задания мы вводим термин «точка пересечения», хотя термины Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие «пересекающиеся прямые» и «точка пересечения» должны быть уже предложены учащимися самостоятельно. Кроме этого, при выполнении второй части данного задания учащиеся, по существу, убеждаются в том, что через данную точку можно провести сколько угодно прямых.

В задании 3 мы предлагаем рассмотреть ситуацию с пересекающимися линиями на примере кривых линий (точки касания намеренно не рассматриваются). Для первой пары пересекающихся кривых имеется одна точка пересечения, и этим ситуация напоминает ту, которая имела место для двух прямых, а для другой пары пересекающихся кривых таких точек несколько, что демонстрирует отличие в свойствах прямых и кривых линий. Если вопрос о точке касания все же возникнет, то следует объяснить детям (с применением соответствующей наглядности), что общей точкой двух линий может быть и точка касания как особый случай точки пересечения.

Темы: «Один лишний», «Один и ни одного» (1 урок) Рассмотрение темы «Один лишний» имеет цель приобщить учащихся к решению логических задач, в которых требуется не только выполнить (на доступном уровне) такие логические операции, как сравнение, обобщение, классификация, но и попробовать рассуждать на основе отрицания, что является важнейшим компонентом логического мышления. Кроме этого, мы еще раз стараемся обратить внимание детей на число один, противопоставляя нескольким предметам с общим функциональным предназначением (предметы для занятий спортом), один предмет, который такого предназначения не имеет (см. задание 1).

В задании 2 с помощью установления предмета с указанными свойствами для девочки и для мальчика мы предлагаем детям выбрать одежду для Маши и Миши. При этом термин «лишний» может меняться на характеристику типа «может быть использован»

(«может пригодиться»).

В задании 3 учащимся предлагается решить логическую задачу на распознавание выбранных предметов по имеющейся информации негативного (отрицательного) характера о произведенном выборе. Для решения этой задачи целесообразно применить метод исключения. С помощью этого метода можно постепенно исключить все варианты, которые не могли иметь место в данной ситуации, оставив только интересующий нас вариант. Рассуждения в этом случае можно проводить по следующей схеме: сначала нужно определиться с выбором Миши, так как из условия задачи сразу можно установить, что Миша выбрал желтый шарик (такой исходной определенности нет для выбора Маши); после этого уже можно определиться и с выбором Маши, так как информация из условия оставляет для Маши две возможности (либо красный шарик, либо желтый), а в совокупности с полученной информацией о выборе Миши можно уже однозначно ответить на вопрос о выборе Маши: она выбрала красный шарик. Таким образом, лишним остался синий шарик. Все проведенные рассуждения могут быть записаны в виде таблицы, с которой, по усмотрению учителя, учащихся можно познакомить, но делать это в обязательном порядке мы не рекомендуем.

Какой из шариков остался лишним, можно определить и без выяснения того, кто из детей какой шарик выбрал. Для этого достаточно обратить внимание на то, что и Маша, и Миша отказались от выбора синего шарика (об этом сказано в условии задачи). Однако первый вариант решения следует обсудить с учениками независимо от того, выйдут ли они сразу на второй вариант, или нет.

На следующих уроках мы рекомендуем учителю эпизодически возвращаться к такого типа заданиям, предлагая их решить как с помощью составления таблицы или графически, так и с помощью непосредственной манипуляции с предметами.

Основной целью заданий темы «Один и ни одного» является знакомство учащихся с пустым множеством, характеристическим свойством которого является следующее свойство: не иметь ни одного элемента. Сам термин «пустое множество» мы не предлагаем использовать, но рассмотреть и проанализировать различные ситуации, в которых фигурирует пустое множество, следует обязательно. При этом пустое множество в таких ситуациях будет задаваться с помощью характеристического свойства, в формулировке которого будет присутствовать словосочетание «нет ни одного»

(или что-то аналогичное по смыслу).

Прежде всего, пустое множество мы вводим, противопоставляя его единичному множеству (см. задание 1), а в дальнейшем противопоставляя его непустым множествам (задание 2 и др.). В задании 1 находит отражение еще один момент, имеющий отношение к пустому множеству, а именно возможная процедура получения Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие пустого множества в результате удаления всех элементов данного множества.

Развитие этой мысли мы реализуем в задании 3. При работе с этим заданием следует обратить внимание учащихся на то, что в правой рамке нарисована эта же ветка, а не другая. Выполнение этого задания предполагает использование групповой формы работы.

В задании 4 мы постарались увязать данную тему с темой «Отрезки и дуги». При анализе данных рисунков учащиеся должны искать на них отрезки. Как только на рисунке обнаруживается отрезок, этот рисунок исключается из рассмотрения. При этом если часть дуги, не выделенная особыми точками, является отрезком, то всю линию все равно следует считать кривой. Поэтому рисунками, которые удовлетворяют требованию задания, являются первый и последний. Такая ситуация позволяет еще раз повторить с учащимися термины «первый» и «последний» и их правильное употребление.

Задание 5 носит занимательный характер, а при его выполнении дети еще раз должны уяснить для себя смысл словосочетания «нет ни одного». Кроме того, от них потребуются некоторые комбинаторные умения в виде перебора вариантов, а в идеале – умение мысленно проследить различные пути обхода и выбрать из них правильный, который и нужно показать соседу по парте с помощью указки.

Задание 6 носит логический характер. Для его выполнения от учащихся потребуется умение правильно истолковывать смысл высказываний типа «есть A, но нет ни одного B» и «нет ни одного А, но есть В», представляющих собой конъюнкцию (отвечают логическому смыслу союза «и»), в состав которой входит отрицание.

Выбор нужного рисунка следует осуществлять по шагам, выполняя сначала первое требование, а потом – второе. При этом для ответа на первый вопрос на первом шаге выделяется два рисунка, а на втором – из них выбирается один искомый. Для ответа на второй вопрос сразу на первом шаге выделяется один рисунок, для которого потом на втором шаге подтверждается выполнимость соответствующего требования.

Тема: «Число и цифра 0» (1–2 урока) Данная тема посвящена дальнейшему изучению чисел. Следующим числом, которое мы будем рассматривать, является число 0. Такой порядок изучения чисел мы объясняем следующими соображениями. Во-первых, мы хотим сразу приступить к формированию понятия ряда целых неотрицательных чисел и рассматривать число в общей последовательности чисел, а не как особое число, которое добавляется к ряду натуральных чисел. Во-вторых, с записью числа 0 учащиеся уже неоднократно сталкивались, когда выполняли задания с использованием линейки, и поэтому откладывать знакомство с этим числом мы считаем нецелесообразным. В-третьих, мы хотим сразу включить число 0 во множество чисел, на котором мы определяем операцию сложения, и рассматривать случаи сложения с 0 на общих основаниях.

Само число «ноль» фактически мы уже ввели, когда рассматривали число зайцев в пустой клетке (см. задание 1 из предыдущей темы).

В задании 1 данной темы учащимся впервые в явном виде говорится о том, что словосочетание «ноль цветков» и «нет ни одного цветка» имеют один и тот же смысл. Таким образом, мы знакомим учащихся с количественным смыслом числа «ноль», согласно которому это число обозначает число предметов, которых в данном случае нет ни одного. (Строго говоря, число 0 есть численность элементов в пустом множестве.) Вся подготовительная работа к такому толкованию числа 0 была уже проведена.

Примечание. Мы предлагаем использовать для названия данного числа и соответствующей цифры термин «ноль» (см.

задание 1), хотя и не исключаем использование в соответствующих случаях термина «нуль». Так, принято говорить:

«нулевая отметка», «на табло стадиона “горят” нули» и т. д.

Задание 2 посвящено «официальному» знакомству с цифрой и ее узнаванию среди похожих знаков.

В задании 3 детям предлагается распознать цифру 0 в очертании реальных предметов или их частей.

Задание 4 направлено на формирование у детей умения правильного написания цифры 0. В целом работа с цифрой 0 (как и с другими цифрами) должна проводиться аналогично тому, как это было рекомендовано делать при работе с цифрой 1.

Задание 5 снова возвращает нас к ситуации, при описании которой число 0 используется в качестве соответствующей количественной характеристики. (Тем самым мы еще раз обращаемся к рассмотрению пустого множества как носителя числа 0.) При ответе на вопрос о числе рыбок в левом аквариуме учащиеся должны назвать число 0. При этом учащиеся могут трактовать предложенный рисунок двояко: либо как изображение двух аквариумов, в одном из которых по какой-то причине нет рыбок, либо как изображение одного и того же аквариума, в котором сначала не было рыбок, а потом они там появились. Оба варианта следует считать допустимыми.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Выполнение этого задания предполагает использование групповой формы работы.

Задание 6 не имеет непосредственного отношения к данной теме. Оно направлено на развитие графических умений учащихся, а также на знакомство с процессом копирования, который должен привести учащихся к правильному пониманию равенства геометрических фигур. Само задание выполняется в тетради для самостоятельной работы № 1.

Тема: «Непересекающиеся линии» (1 урок) Данной темой мы продолжаем изучать вопросы, связанные с взаимным расположением линий на плоскости. Предметом разговора становятся непересекающиеся линии. Сразу обращаем внимание на то, что тема «Непересекающиеся линии» имеет отношение и к изученным только что арифметическим вопросам, а именно:

непересекающиеся линии – это две линии, множество точек пересечения которых является пустым, т. е. число точек пересечения равно 0. Таким образом, характеризуя непересекающиеся линии, учитель и ученики обязательно должны говорить о том, что у таких линий «нет ни одной точки пересечения» или что у таких линий «ноль точек пересечения» («число точек пересечения равно 0»).

Задание 1 призвано подвести учащихся к рассмотрению данного понятия на основе исследования псевдореальной ситуации. Можно порекомендовать следующую последовательность действий учащихся при выполнении этого задания: сначала один ученик показывает путь охотника от берлоги к избушке, а потом сосед по парте показывает путь медведя к его берлоге. При этом следует обязательно обратить внимание учащихся на тот факт, что пути охотника и медведя (соответствующие линии) не пересекаются. После выполнения этого задания учащимся можно предложить следующее дополнительное задание, которое они должны выполнить в тетради:

поставить две точки одного цвета и две точки другого цвета, после чего соединить точки одного цвета и точки другого цвета линиями так, чтобы эти линии не пересекались.

Задание 2 призвано перевести реальную ситуацию с непересекающимися рельсами одного железнодорожного пути на язык геометрии. При этом мы имеем возможность познакомить учащихся с понятием «параллельные прямые», так как рельсы одного железнодорожного пути являются, на наш взгляд, одной из самых хороших моделей параллельных прямых. При этом мы, естественно, понимаем, что рельсы не всегда проложены прямолинейно, но соПара предметов»

ответствующий рисунок должен сориентировать учащихся именно на такое их расположение. А в случае прямолинейности параллельность гарантируется тем, что расстояние между ними не может меняться, так как в противном случае может произойти крушение поезда. Еще одной проблемой, с которой можно столкнуться при работе с этим заданием, является то, как учащиеся воспримут изображение на рисунке параллельных прямых в перспективе. Для разъяснения этой ситуации можно обратиться к имеющемуся детскому опыту: зрительно они воспринимают параллельные рельсы как сходящиеся, но разум им подсказывает, что расстояние между ними не изменяется. На своем рисунке они могут повторить прием, используемый для восприятия перспективы (как на левом рисунке), но могут и попробовать начертить на глаз параллельные прямые (как на правом рисунке). Таким образом, в данном задании мы пытаемся подвести учащихся к мысли, что существуют прямые, которые не имеют точек пересечения не только в той их части, которые изображены на рисунке (чертеже), но и на всей своей протяженности в целом. Еще раз удостовериться в существовании этого непростого геометрического факта учащиеся смогут при выполнении задания 3. На данном чертеже имеется три пары прямых, которые не имеют точек пересечения для изображенных частей этих прямых, но лишь одна пара прямых действительно относится к непересекающимся. При мысленном продолжении прямых из двух других пар обязательно получается их точка пересечения, только продолжать прямые следует в обе стороны.

Тема: «Пара предметов» (1 урок) Задания данной темы возвращают учащихся к рассмотрению вопросов, связанных с количественной характеристикой множеств.

Из всего разнообразия предметных множеств нас в данный момент будут интересовать только те, которые состоят из пары предметов, т. е. двухэлементные множества. Однако задание таких множеств мы будем осуществлять не с помощью числа 2 (этого числа у нас еще нет в распоряжении), а на основе имеющихся у учащихся знаний о существовании «парных» предметов.

Для выполнения задания 1 учащимся потребуется привлечь свой жизненный опыт: мы исходим из того, что смысл словосочетаний «пара перчаток», «пара ботинок», «пара носков» и т. п. знаком учащимся, а значит, они смогут выполнить данное задание без дополнительных разъяснений. При этом найденные предметы они должны как назвать, так и показать.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие В задании 2 мы предлагаем учащимся научиться различать предметы в паре, используя понятия «левый» и «правый». Делается это, во-первых, для того, чтобы учащиеся воспринимали арифметическую природу пары как «один и один», а во-вторых, для того, чтобы в дальнейшем мы могли легко перейти к рассмотрению упорядоченных пар, в которых имеет значение, какой элемент стоит на первом месте, а какой – на втором. Упорядоченные пары нам будут нужны при построении соответствий и отношений. При этом не следует забывать, что предметы в паре не обязательно можно и нужно различать (что существуют неупорядоченные пары, т. е. двухэлементные множества).

Задание 3 еще раз заставляет учеников воспользоваться имеющимися у них знаниями. В данном случае речь идет о знаниях из области спорта. В помощь им даны соответствующие рисунки.

При этом выбрать они должны те рисунки, на которых изображена пара спортсменов, образующих одну команду (фигуристы, гребцы).

В данном случае речь идет о стабильной, устойчивой паре предметов. С помощью такого приема мы стремимся дать представление о паре как о едином объекте, что нам потребуется при введении числа 2. Рисунок с боксерами тоже позволяет говорить о паре, но только о паре соперников, что следует учитывать при анализе ответов учащихся. Изображенная пара футболистов образована в результате сиюминутного единоборства двух футболистов из разных команд, в которых есть еще и другие участники, но они просто не изображены. Поэтому данная пара не отвечает требованию задания.

Тема: «Число и цифра 2» (1–2 урока) Изучение числа и цифры 2 осуществляется по той же схеме, что и изучение числа и цифры 1. По существу, число 2 вводится как количественная характеристика множества, представляющего собой пару предметов. Ни в тексте учебника, ни в объяснении учителя термин «множество» не употребляется. Адекватная замена этому термину всегда может быть найдена. Так, в данном случае мы можем говорить о «паре». В других случаях вместо, например, множества пальцев на руке следует говорить просто о пальцах на руке и т. п.

Поэтому, встречая в тексте пособия термин «множество», воспринимать его нужно только в рамках диалога автора и учителя и не употреблять его в рамках диалога учителя и ученика.

Для введения числа 2 в качестве «эталонного» множества мы выбрали множество крыльев у птицы (см. задание 1). Другие примеры аналогичных множеств мы предлагаем привести самим ученикам.

При этом следует обратить их внимание на тот факт, что числительное «два» имеет особую форму для соответствующих существительных женского рода: две руки, две ноги, две груши и т. д. (Сравните с ситуацией для числительного «один», которое изменялось по родам, и с числительными «три», «четыре» и т. д., которые по родам не изменяются.) Особо мы хотим подчеркнуть то обстоятельство, что пару мы рассматриваем как самостоятельный математический объект (как «единое» множество), поэтому не можем трактовать пару как «один плюс один». Таким образом, сейчас наша задача состоит в том, чтобы учащиеся научились легко и сразу распознавать множества, состоящие из двух элементов, не проводя детального анализа состава этих множеств. На это же направлена и та часть задания 4, в которой рассматривается игральный кубик. Познакомившись со стандартной точечной формой изображения числа 2, учащиеся в дальнейшем могут любую пару предметов сопоставлять (ассоциировать) с этим зрительным образом. Аналогично можно применять стандартную точечную форму изображения и других чисел.

В задании 2 учащиеся «официально» знакомятся с цифрой и учатся ее распознавать. Новым в этом задании является дополнение, которое касается получения и записи ответа на вопрос о том, сколько раз встречается цифра 2. Этим приемом мы возвращаемся к теме число и цифра 1. Еще раз подчеркиваем важность постоянного акцентирования внимания учеников на различие в терминах «число» и «цифра». Напоминание об этом никогда не будет лишним.

Задания 3 и 4 совершенно аналогичны соответствующим заданиям темы «Число и цифра 1» и темы «Число и цифра 0». Поэтому аналогичными будут и рекомендации к этим заданиям.

В задании 5 мы продолжаем обращаться к сказке о Козленке:

теперь это делается с целью введения порядкового числительного «второй» и формирования навыка счета.

Задание 6 возвращает учащихся к порядковому и количественному смыслу числа 2. Это задание можно дополнить и другими вопросами (требованиями), в которых будет отражен количественный и порядковый смысл числа 2 и связь между ними. Например: «Отсчитай слева два карандаша и покажи их».

Тема: «Больше, меньше, поровну» (1 урок) В данной теме рассматриваются вопросы сравнения чисел. Теоретической основой для сравнения числа элементов в одном множестве с числом элементов в другом множестве является процесс установления взаимно однозначного соответствия. Такой подход позволяТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие ет устанавливать отношение между числами без непосредственного рассмотрения самих чисел, т. е. до изучения чисел. Главное в этом подходе состоит в следующем: для сравнения числа элементов в одном множестве с числом элементов в другом множестве нужно образовать пары (упорядоченные), каждая из которых состоит из элемента первого множества и элемента второго множества, причем эти элементы ни в каких парах не должны повторяться; если в таком процессе будут участвовать все элементы этих множеств, то в них поровну элементов, если же хотя бы один элемент какого-то одного множества останется без пары, то в этом множестве элементов больше, чем в другом. Процесс образования пар, как правило, может быть проведен учениками без особого труда.

Согласно изложенному выше подходу в задании 1, мы предлагаем рассматривать образование пар на основе установления естественных (смысловых) соответствий: чашка и блюдце к этой чашке, гость и его чашка, гость и его стул, гость и его ложка и т. п. В результате построения таких соответствий учащиеся смогут установить, каких предметов больше (меньше) по сравнению с другими, а каких поровну.

В задании 2 образование пар осуществляется на другой основе.

В этом случае определяющим является специальное расположение двух групп рассматриваемых предметов (геометрических фигур) по правилу «один под другим». Такое расположение позволяет легко построить пары и тем самым сравнить число предметов (фигур) одного вида (цвета) с числом предметов (фигур) другого вида (цвета). Что же касается уравнивания числа предметов одного вида с числом предметов другого, то это задание мы предлагаем как пропедевтическое к заданиям на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц.

В задании 3 учащиеся сначала должны сравнить три числа: число яблок на первой тарелке, число яблок на второй тарелке и число яблок на третьей тарелке. Сделать они это могут, сравнивая последовательно по два числа. Например, сначала ученик может на глаз выбрать тарелку с самым большим числом яблок, а потом, сравнив последовательно число яблок на этой тарелке с числом яблок на двух других, убедиться в правильности своего предположения. Аналогично можно поступить и с выбором тарелки, на которой лежит меньше всего яблок. Возможна и другая последовательность рассуждений, но во всех случаях обязательным требованием остается то, что необходимо проводить сравнение численностей двух множеств (не используя соответствующие числа) на основе образования пар, а не только на глаз, так как сравнение на глаз далеко не всегда приводит к правильному ответу. В подтверждение этих слов