«НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для студентов специальностей 1-70 02 01, 1-70 04 02, 1-70 04 03 Часть I Начертательная геометрия Составители: Т.Я. Артемьева, В.А. Лубченок, ...»

- линии, принадлежащие картинной плоскости, сохраняют в перспективе натуральную величину;

- горизонтальные прямые, не параллельные картинной плоскости, имеют точки схода на линии горизонта;

- горизонтальные прямые, расположенные под углом 45 к картине, имеют точку схода, лежащую на линии горизонта и удаленную от главной точки картины Р на величину главного расстояния PF = SP = D;

- точкой схода горизонтальных прямых, перпендикулярных картине, является главная точка картины Р;

- перспективы прямых, принадлежащих предметной плоскости П1 и проходящих через основание точки зрения, перпендикулярны основанию картины О1О2 и линии горизонта h – h;

- перспективы прямых, параллельных картине, параллельны самим прямым. Отсюда следует, что вертикальные прямые изображаются в перспективе вертикальными прямыми.

Построим перспективу фигуры ABCEGHK, принадлежащей плоскости П1. Положение картинной плоскости определено ее основанием О1О2, положение точки зрения – точкой S1 и высотой горизонта h. Проведем линию горизонта и основание картины на заданном расстоянии h (рис. 15.4), определим положение точки Р1 в плане (рис. 15.5) и отметим ее в перспективе.

Фигура ABCEGHK ограничена, в основном, двумя группами параллельных линий. Одно из доминирующих направлений определяется прямыми BC, GE и AH, другое – прямыми AB, HG и CE. Определим для них точки схода F1 и F2. Построим в перспективе на линии горизонта точки F и F2 на соответствующих расстояниях от точки Р.

Начнем построение перспективы с точки Е. Продолжим прямые GE и CE до основания картины и отметим точки 10 и 20. Перспектива прямой GE проходит через точки 10 и F1, прямой CE – через точки 20 и F2. На пересечении этих прямых расположена перспектива точки Е. Точка С лежит на прямой ЕС, перспектива которой уже построена. Поэтому проведем через точку С еще одну прямую, например, перпендикулярную основанию картины. Она пересекается с основанием картины в точке 30.

Построим перспективу 3Р прямой С3. Точка G лежит на пересечении прямых GE и HG. Для построения ее перспективы нужно построить только перспективу прямой HG, так как перспектива прямой GE уже найдена. Отметив точку 40, проведем через эту точку и F2 перспективу прямой HG.

Найдем перспективу точки H. Воспользуемся, например, прямой, проходящей через эту точку и точку S1. Перспектива такой прямой идет через точку 50 вертикально. В ее пересечении с перспективой HG отметим H.

Перспектива точки К построена с помощью горизонтальных прямых К70 и К80.

Проводим перспективы прямых AB и BC соответственно через точки F1 и F2 и получаем перспективу точки В.

Перспектива точки А построена с помощью прямой А70 и прямой, проходящей через точку А и точку S1.

Выбор прямых, с помощью которых строятся перспективы точек фигуры, зависит от конкретных условий задачи. В данном примере были использованы три типа горизонтальных прямых: 1) проходящих через точку S1, 2) перпендикулярных основанию картины, 3) наклоненных к основанию картины.

Рассмотрим построение перспективы окружности (рис. 15.6, а, б). В перспективе изображение окружности строят чаще всего, вписывая ее в квадрат (в перспективное изображение квадрата). Расположим картинную плоскость фронтально. Тогда перспективы прямых АВ и СЕ будут иметь точкой схода главную точку картины Р, так как АВ и СЕ перпендикулярны картине. Перспективу окружности, вписанной в квадрат, можно построить по восьми точкам. В четырех точках она касается сторон квадрата, а другие ее четыре точки располагаются на его диагоналях. В связи с тем, что диагонали располагаются под углом 45 к плоскости картины, точками их схода будут являться точки дальности (D1 и D2).

16.1. Способы построения перспективных изображений.

16.2. Выбор рационального положения картины и точки зрения при построении перспективы.

16.1. Способы построения перспективных изображений Построение перспектив в строительном черчении и начертательной геометрии производится по прямоугольным проекциям. В качестве таких проекций здания выбирают его горизонтальную и фронтальную проекции, которые называют планом и фасадом.

Существует несколько способов построения перспектив геометрических тел и зданий по заданному чертежу в прямоугольных проекциях. Рассмотрим некоторые из них, имеющие наиболее широкое практическое применение.

Способ перспективных координат, разработанный Н.Л. Русскевичем, в литературе называют «способом ортогонального эпюра».

Суть способа состоит в использовании прямоугольных проекций предмета для графического определения двух координат перспективы точки. Он отличается простотой и компактностью построения за счет отказа от использования точек схода.

Этот способ заключается в том, что на картинной плоскости выбирается новая система координат О1X'Z'. За ось О1X' принимается основание картины О1О2, начало координат О1 выбирается в произвольной точке (рис. 16.1, а). Перспектива точки А (А') на ортогональном эпюре определяется как след луча, т.е. как точка пересечения луча SA с плоскостью К (точка А', ее проекции А1' и а0). В новой системе координат О1X'Z' на плоскости К определяются координаты точки А': координата XA' и координата ZA'. Эти координаты в выбранном масштабе откладываются на картине К и определяют положение перспективы точки А (А') (см. рис. 16.1, б и в).

';

На рис. 16.2 показано построение перспективы сооружения способом перспективных координат (перспективное изображение увеличено в два раза по сравнению с ортогональными проекциями).

Способ архитекторов. В основу этого способа положено свойство параллельных прямых сходиться в перспективе в одной точке (точке схода F).

Этот способ применяется при построении перспективных изображений различных сооружений, которые в плане имеют два доминирующих направления линий.

Рассмотрим последовательность построения перспективы здания способом архитекторов. Для получения более выразительной перспективы след картинной плоскости проводим через один из углов здания и располагаем под углом 30 – 40 к направлению главного фасада. Точку зрения выбираем так, чтобы угол зрения, определяемый крайними лучами зрения, был равен 30 – 40, и чтобы она лежала на перпендикуляре, восстановленном в средней третьей части ширины картины (рис. 16.3).

Точки схода для основных направлений плана найдутся, если провести прямые из точки S1 параллельно сторонам объекта до пересечения с основанием картины в точках F11 и F12.

После установки точки зрения, картинной плоскости и нахождения точек схода проводятся лучи зрения из всех точек объекта и на следе картинной плоскости О1О2 фиксируются все точки пересечения: 10, 20,…60 и т.д.

Для построения самой перспективы переносим след картинной плоскости со всеми нанесенными на нем точками, линию горизонта, главную точку картины и точки схода F1 и F2 на то пространство, где будем строить перспективу (рис. 16.4). Линию горизонта проводим параллельно основанию картинной плоскости О1О2 на заданной высоте и на нее переносим точки схода с основания картинной плоскости.

Так как картинная плоскость проведена через ребро 1, то оно в перспективе изобразится в натуральную величину. Из точки 10 восстанавливаем перпендикуляр к следу картинной плоскости и на нем откладываем высоту ребра 1, взятую с фронтальной проекции ортогонального чертежа.

Нижнюю и верхнюю точки ребра 1 соединяем с точками схода F1 и F2, получая направление сторон здания. Восстановив перпендикуляры из точек 20 и 30 до пересечения с лучами, идущими в точки схода, получим стороны здания 1-2 и 1-3. Таким же образом находим все ребра и стороны объекта в перспективе.

Для получения точек 8, 9, 10 и 11 в перспективе продолжим линию конька 11-10 до пересечения с картинной плоскостью О1О2 в точке N0, а линию 8-9 – до пересечения в точке M0 и переносим эти точки в перспективу. Из полученных точек восстанавливаем перпендикуляры, на которых откладываем высоты от земли до соответствующего конька. Соединяем точки N' и M' с точками схода и, пересекая полученные линии перпендикулярными прямыми, восстановленными из точек 110, 100, 80 и 90, получим перспективное изображение прямых 11-10 и 8-9, принадлежащих конькам кровли. Найденные точки соединяем с соответствующими точками, согласно ортогональному чертежу, и получаем перспективное изображение кровли.

16.2. Выбор рационального положения картины и точки зрения Наглядность перспективных изображений зависит от правильности выбора положения картины и точки зрения.

Основание картинной плоскости (О1О2) должно составлять с одной из сторон плана сооружения (чаще всего с главным фасадом) угол = 25…35 (рис. 16.5). Картинную плоскость обычно совмещают с одним из вертикальных ребер изображаемого объекта.

Точка зрения должна быть расположена так, чтобы соблюдались следующие условия:

1. Угол зрения должен быть в пределах 20…60 (наиболее наглядное перспективное изображение получается при угле зрения 2. Главная точка картины Р должна находиться в средней трети ширины изображаемого объекта (т.е. в средней трети отрезка 2030).

Вид перспективного изображения зависит от высоты горизонта.

Перспектива, полученная с точки зрения S' (рис. 16.6), расположенной на высоте человеческого роста (1,5…1,7 м), называется перспективой с нормального горизонта (см. рис. 16.6, а).

Если точка зрения S'' (см. рис. 16.5) находится выше человеческого роста, в пределах средней трети высоты сооружения, то перспективу называют перспективой с повышенного горизонта (см. рис. 16.6, б).

Если точка зрения S''' (см. рис. 16.5) располагается выше изображаемого объекта, на высоте 100 метров и выше, тогда перспективу называют перспективой с птичьего полета (см. рис. 16.6, в).

Перспективой с нулевого горизонта (см. рис. 16.6, г) называется перспективное изображение при расположении точки зрения на предметной плоскости П1 (точка S на рис. 16.5).

ЛЕКЦИЯ 17. ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ

17.1. Общие положения.

17.2. Тень от точки.

17.3. Тень от прямой линии.

17.4. Тень от плоской фигуры.

17.5. Метод обратных лучей.

Строительство зданий и сооружений ведется по чертежам, выполненным в ортогональных проекциях. Представление о внешнем виде здания, в основном, создается по изображению фасада. Это изображение имеет существенный недостаток – в нем отсутствует объемность. Тени, построенные на ортогональных чертежах, дают возможность представить по чертежу расположение отдельных элементов, их освещенность, а также помогают находить наилучшие пропорции проектируемых зданий и сооружений.

При освещении лучами света каких-либо объектов на них образуются тени. Для образования тени необходим источник света и плоскость, на которую падает тень.

Освещение может быть центральным (факельным) или параллельным (солнечным). Освещение называется центральным в случае, когда световые лучи идут из одной точки (лампа, свеча); параллельным, если источник света (солнце) удален в бесконечность, и световые лучи практически будут параллельны между собой.

Основной геометрической задачей построения теней является определение контуров собственных и падающих теней (рис. 17.1).

Неосвещенная часть поверхности тела называется собственной тенью. Линия, разграничивающая освещенную часть поверхности тела и собственную тень, называется контуром собственной тени. Пространственное тело, преграждая путь световым лучам, образует на некоторой поверхности Г падающую тень г. Линия г, ограничивающая падающую тень г, называется контуром падающей тени. Контур падающей тени г есть тень от контура собственной тени.

Для построения падающей тени необходимо знать направление лучей света. Направление световых лучей S принимается параллельным диагонали куба, прислоненного своими гранями к плоскостям проекций. Проекции такого светового луча на плоскости проекций П1, П2, П3 составляют угол 45 с соответствующими координатными осями x, у и z (рис. 17.2).

Тенью от точки на любую поверхность называется точка пересечения светового луча, проходящего через эту точку, с поверхностью.

Тень от точки на плоскость проекций Тенью от точки А на плоскость проекций является след светового луча S, проходящего через точку А на этой плоскости. Поэтому построение проекций тени от точки на чертеже аналогично построению следов прямой. На рис. 17.3 плоскость проекций П2 пересекается лучом в точке А*2. Точка А*2 для луча является фронтальным следом, а для точки А, через которую проходит этот луч, – тенью её на плоскость проекций П2.

Аналогично, точка А*1 для луча служит горизонтальным следом, а для точки А – тенью на П1. А*2 – реальная тень, А*1 – мнимая тень точки А, так как луч пересекает плоскость П2 раньше, чем П1. На рис. 17.4 показано построение тени точки на эпюре.

Тень от точки на плоскую фигуру Чтобы построить тень от точки на плоскость общего положения (рис. 17.5), необходимо найти точку пересечения луча света, проходящего через заданную точку К, с плоскостью Р, заданной четырехугольником АВСD. Для этой цели через проекции точки К1 и К2 проводятся проекции светового луча, световой луч заключается в горизонтально-проецирующую плоскость Г, определяется линия пересечения MN (M1N1, M2N2) плоскости Г с плоскостью Р. Точка пересечения светового луча S с линией MN определяет точку пересечения светового луча S с плоскостью Р, т.е. тень от точки К на плоскость четырехугольника АВСД – точка К' (К'1, К'2).

Построение тени от отрезка прямой линии сводится к определению тени двух или нескольких его точек. Тень от прямой можно рассматривать как след лучевой плоскости, проходящей через данную прямую. В зависимости от положения прямой, лучевая плоскость может быть общего и частного положения. Линия пересечения её с плоскостями или поверхностями определит форму тени от отрезка прямой.

Тени на плоскости проекций от прямых частного положения Построение тени от отрезка прямой АВ, перпендикулярной плоскости проекций П1, показано на рис. 17.6.

Тень В1* от точки В совпадает с самой точкой, т.к. точка В расположена на плоскости проекций П1. Следовательно, для построения тени отрезка АВ достаточно построить тень А*1 от точки А. Соединив точки В1* и А1* прямой линией, получим тень от отрезка АВ.

Вывод. Тень от прямой, перпендикулярной плоскости проекций, совпадает с проекцией светового луча на эту плоскость.

На рис. 17.7 показано построение тени от отрезка прямой АВ, параллельной плоскости проекций П1.

Вывод. Тень от отрезка прямой, параллельной плоскости проекций, на этой плоскости равна и параллельна самому отрезку.

Тени на плоскости проекций от прямых общего положения На рис. 17.8 показано построение тени от отрезка прямой СD общего положения. Строим падающие тени С*2 и D*1 от точек С и D. Тень от точки С падает на фронтальную плоскость проекций, а тень от точки D – на горизонтальную. Следовательно, тень отрезка прямой будет преломляться в точке на оси проекций. Эта точка называется точкой перелома тени. Для нахождения точки перелома тени построим тень от отрезка прямой СD, предположив, что тень от него падает только на горизонтальную плоскость. Мысленно уберем плоскость проекций П2 и построим мнимую тень С*1 от точки С. Соединив точки С*1 и D*1, получим на оси Х точку перелома КX. Таким образом, тень от отрезка будет ломаная линия С*2КXD*1.

Точку перелома можно получить также, если взять на отрезке какуюнибудь дополнительную точку и построить от неё тень. На рис. 17.8 это будет точка 1.

Тень от прямой на произвольную плоскость Для построения тени от прямой на плоскость общего положения достаточно определить тени на эту плоскость от двух любых точек прямой (см. построение тени от точки на плоскую фигуру, рис. 17.5).

Падающая тень от плоской фигуры на плоскости проекций может быть построена как совокупность теней от её вершин и сторон. Таким образом, построение тени от плоской фигуры на плоскость проекций может быть сведено к известному определению теней от точек и прямых.

На рис. 17.9 показано построение тени от треугольника АВС на плоскости проекций. Известным способом построены тени от вершин треугольника А, В и С. Тени от вершин падают на разные плоскости, и для определения действительной тени треугольника построена мнимая тень В1* вершины В (см. рис. 17.9).

На рис. 17.10 построена тень от круглой пластины, перпендикулярной плоскости проекций П1. Вокруг заданной пластины опишем квадрат и проведем в нём диагонали. Построим тени от сторон, диагоналей и вспомогательных прямых АВ и CD этого квадрата. Точки 1П1, 2П1, 3П1, 4П1 делят тени каждой стороны пополам, а точки 5П1, 6П1, 7П1 и 8П1 располагаются на пересечении теней от диагоналей и вспомогательных прямых АВ и CD.

Соединив полученные точки, получим контур падающей тени круглой пластины, перпендикулярной плоскости П1.

Метод обратных лучей применяется при построении теней, падающих от одного предмета на другой. Суть метода заключается в том, что строят тени заданных геометрических фигур на одну из плоскостей проекций и определяют точки пересечения теней. Через отмеченные точки проводят луч, направление которого противоположно световым лучам. Каждый из обратных лучей, пересекая данные геометрические фигуры, определяет нужные для построения тени точки.

На рис. 17.11 показано применение этого метода на примере построения тени прямой на плоскость треугольника. Построены падающие тени треугольника АВС и отрезка DЕ. Обе тени падают на горизонтальную плоскость проекций и пересекаются в точках К*1 и L*1. Проведем обратные лучи из точек К*1 и L*1, до пересечения с горизонтальными проекциями сторон А1С1 и В1С1 треугольника АВС. Прямая KL (K1L1, K2L2) является тенью отрезка DE на плоскости треугольника АВС.

Вывод. Если падающие тени двух геометрических образов пересекаются, то тень от одного из них будет падать на другой.

ЛЕКЦИЯ 18. ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ

18.1. Тени геометрических тел.

18.2. Тени элементов зданий.

18.3. Тени в перспективе.

При построении теней геометрических тел вначале определяют контур собственной тени, затем находят контур падающей тени путем построения падающих теней от вершин и сторон ломаной линии (или точек кривой линии), являющейся контуром собственной падающей тени.

В отдельных случаях бывает целесообразно определять контур собственной тени по уже построенной падающей тени.

Рассмотрим процесс построения теней от основных геометрических тел.

Тени призмы. Контур тени от призмы определяется тенями от рёбер (рис. 18.1). Освещенность призмы легко определить по горизонтальной проекции, где видно, что обращенными к свету являются две грани – АА'D'D и DD'C'C – и верхнее основание призмы. Следовательно, контуром собственной тени будет ломаная линия АА'В'С'С. Тень, построенная от этой линии, представляет собой падающую тень призмы.

Тени пирамиды. Построим тени пятиугольной пирамиды (рис. 18.2).

Строим падающую тень S*1 от вершины S и определяем падающую тень от боковых ребер. Соединим точки А1В1С1D1Е1 с точкой S*1 (на чертеже прямые S*1С1, S*1В1, S*1Е1 не показаны). Линиями контура падающей тени оказались прямые S*1А1 и S*1D1. Поэтому в собственной тени будут находиться грани АSE и DSE и основание пирамиды.

Тени цилиндра. Для определения контура собственной тени прямого кругового цилиндра необходимо провести две горизонтально-проецирующие лучевые плоскости Р и Г, касательные к поверхности цилиндра и составляющие с плоскостью проекций П2 угол 45. Образующие ММ' и NN', по которым плоскости Р и Г касаются цилиндра, и полуокружности MBN нижнего и верхнего оснований определяют контур собственной тени. Контур падающей тени от цилиндра состоит из падающих теней от образующих ММ' и NN' и полуокружностей MBN и M'B'N' (рис. 18.3). Цилиндр расположен так, что тень от него одновременно падает на обе плоскости проекций, и тень от полуокружности M'B'N' на плоскость проекций П строится по произвольно выбранным на этой полуокружности точкам 1, 2.

Тени конуса. На рис. 18.4 показано построение собственной и падающей теней прямого кругового конуса. Вначале определяем мнимую тень от вершины конуса S (S*1) на плоскости его основания П1. Затем из точки S* проводим прямые, касательные к основанию конуса, и определяем точки касания А и В. Через точки касания А и В проводим образующие конуса SА и SВ, которые вместе с дугой основания АМВ образуют контур собственной тени конуса. Падающая тень конуса имеет точки излома на оси Х.

При построении проекций теней на фасадах зданий используются те же приемы, что и при построении теней геометрических тел.

Рассмотрим примеры построения теней некоторых частей здания.

На рис. 18.5 показан пример построения теней в плоской нише. Определение границы падающей тени заключается в построении тени от ломаной линии ВАС на заднюю плоскость ниши. От вертикального ребра ВА тень падает на горизонтальную плоскость проекций П1 и на фронтальную плоскость задней стенки ниши. От горизонтального ребра АС тень падает частично на заднюю фронтальную стенку ниши в виде прямой, параллельной ребру АС, и частично – на правую боковую грань ниши (на чертеже не изображена).

На рис. 18.6 приведен пример построения тени в прямоугольной нише с цилиндрической аркой. В этом примере надо найти тень от точки А (пяты арки) и от центра О. Из полученной точки (тени) О'2 центра арки проводим дугу в пределах ниши радиусом, равным радиусу самой арки.

На рис. 18.7 построена тень от козырька (или балкона) здания. Построения понятны из чертежа.

На рис. 18.8 показано построение теней на лестнице (крыльце). В собственной тени находятся правые грани вертикальных стенок. Падающая тень от правой стенки лестницы на плоскость стены здания и на землю строится как тень от плоской фигуры на плоскости проекций П1 и П2. Падающая тень от левой стенки на ступени лестницы строится методом секущих лучевых плоскостей. Этот способ заключается в том, что через заданную прямую проводится лучевая плоскость. Линия пересечения этой лучевой плоскости с произвольной поверхностью будет падающей тенью от прямой на поверхность. Через отрезок АВ параллельно световому лучу S проводим лучевую плоскость R. Так как отрезок АВ П1, то плоскость R, проходящая через него, будет горизонтально-проецирующей (R П1). Горизонтальный след этой плоскости R1 параллелен горизонтальной проекции светового луча: R1 S1.

Ломаная линия В12А является линией пересечения многогранной поверхности лестницы плоскостью Р и тенью от прямой АВ на ступени лестницы. Через отрезок АС (АС П2) проводим фронтально-проецирующую плоскость Г.

Фронтальный след этой плоскости Г2 параллелен фронтальной проекции светового луча: Г2 S2. Ломаная линия А34567С является линией пересечения многогранной поверхности лестницы плоскостью Г и тенью от прямой АС на ступени лестницы.

На рис. 18.9 показано построение контура падающей тени от трубы на скат крыши здания. Задача сводится к определению теней от точек и прямых на произвольно расположенную плоскость (скат крыши). Построения выполнены способом вспомогательных секущих лучевых плоскостей Р и Г, которые пересекают скат крыши по прямым 12 и 34.

При построении теней в перспективе в качестве источника света рассматривается естественный источник – солнце. Правила построения теней в перспективе точно такие же, как и в ортогональных проекциях.

Для упрощения построения считают, что световые лучи параллельны плоскости картины, тогда на картине перспективы оснований лучей будут параллельны основанию картины.

Если на картине задана перспектива А' точки А и перспектива А1' ее основания А1, то для построения тени от точки А на предметной плоскости (рис. 18.10) необходимо на картине через перспективу А' точки А провести перспективу луча света, а через перспективу А1' ее основания – перспективу основания луча. В месте пересечения луча и его основания получим точку, которая и будет искомой тенью АТ' от точки А на предметной плоскости.

Построение тени от прямой сводится к построению тени от двух ее точек. При этом, если прямая перпендикулярна предметной плоскости (рис. 18.11), то тень от нее на этой плоскости совпадает с основанием луча, проведенного через основание прямой.

Тень от вертикальной прямой на вертикальной плоскости вертикальна.

Если прямая параллельна предметной плоскости (горизонтальная прямая), то тень от нее на этой плоскости будет параллельна данной прямой (рис. 18.12) и направлена в точку схода.

Тени в перспективе могут быть построены с различных точек расположения источника света. Направление лучей света может быть выбрано в зависимости от характера объекта и от желания показать его освещенным с той или другой стороны. Так, например, если источник света будет находиться позади предмета (рис. 18.13) или перед зрителем, но позади предмета (рис. 18.14), то для построения перспективы тени А’т точки А на плоскость П1 необходимо выполнить следующие действия: через точку А’ и точку схода лучей S0 провести перспективу луча (прямую A’S0), а через ее вторичную проекцию А’1 – вторичную проекцию луча (прямую А’1 S10). Пересечение перспективы луча его вторичной проекцией определит тень А’т точки А на плоскость П1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виноградов В.Н. Начертательная геометрия. – Мн.: Выш. шк., 1977. – 360 с.

2. Начертательная геометрия / Под. ред. Н.Н. Крылова. – М.: Высш.

шк., 1990. – 232 с.

3. Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1981 – 258 с.

4. Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии: Учеб. для втузов – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 136 с.

5. Тарасов Б.Ф., Дудкина Л.А., Немолотов С.О. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов. – СПб.: Лань, 2001. – 249 с.

6. Вальков К.И., Дралин Б.И., Клементьев В.Ю. и др. Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика: Учеб. для студ. строит. спец.

вузов / Под ред. К.И. Валькова. – М.: Высш. шк., 1997. – 495 с.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

Подписано в печать 26.10.04 Формат 60х84 1/16 Гарнитура Таймс Бумага офисная Отпечатано на ризографе Усл. печ. л. 6,03 Уч.-изд. л. 6,00 Тираж 100 Заказ Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

ЛИ 02330/0133020 от 30.04.04 ЛП № 02330/0133128 от 27.05.