«НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для студентов специальностей 1-70 02 01, 1-70 04 02, 1-70 04 03 Часть I Начертательная геометрия Составители: Т.Я. Артемьева, В.А. Лубченок, ...»

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Полоцкий государственный университет»

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

для студентов специальностей

1-70 02 01, 1-70 04 02, 1-70 04 03

Часть I

Начертательная геометрия

Составители: Т.Я. Артемьева, В.А. Лубченок, Т.С. Махова, С.В. Ярмолович Под общ. ред С.В. Ярмоловича Новополоцк 2004 УДК 514.18 (075.8) ББК 22.151.3 (4 Беи) я73 Н 36 РЕЦЕНЗЕНТЫ:

А.А. Селицкий, канд. искусствоведения, доц. каф. инженерной графики строительного профиля БНТУ, В.А. Петров, к.т.н., доц. каф. металлорежущих станков и инструментов, Е.З. Зевелева, ассистент каф. начертательной геометрии и графики Рекомендован к изданию методической комиссией инженерно-строительного факультета Н 36 Начертательная геометрия и инженерная графика: Учеб.-метод. комплекс для студ. спец. 1-70 02 01, 1-70 04 02, 1-70 04 03 / Сост. Артемьева Т.Я., Лубченок В.А., Махова Т.С., Ярмолович С.В.; под общ. ред. С.В. Ярмоловича. – Новополоцк:

ПГУ, 2004. – 204 с.

ISBN 985-418-270-3 (Ч. 1) ISBN 985-418-269-Х Приведены материалы индивидуальных и практических занятий, экзаменационные вопросы и билеты по курсу начертательной геометрии в соответствии с действующей учебной программой.

Для преподавателей, аспирантов и студентов строительных специальностей очной и заочной форм обучения.

УДК 514.18 (075.8) ББК 22.151.3 (4 Беи) я ISBN 985-418-270-3 (Ч. 1) ISBN 985-418-269-Х © УО «ПГУ», © Т.Я. Артемьева, В.А. Лубченок, Т.С. Махова, С.В. Ярмолович, сост.,

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие

Введение

Лекция 1. Метод проекций

Лекция 2. Прямая

Лекция 3. Плоскость

Лекция 4. Прямая и плоскость

Лекция 5. Взаимное положение двух плоскостей

Лекция 6. Методы преобразования чертежа

Лекция 7. Методы преобразования чертежа

Лекция 8. Многогранники

Лекция 9. Поверхности. Пересечение поверхностей плоскостью и линией

Лекция 10. Взаимное пересечение поверхностей

Лекция 11. Взаимное пересечение поверхностей (продолжение)..... Лекция 12. Развертка поверхностей

Лекция 13. Проекции с числовыми отметками

Лекция 14. Проекции с числовыми отметками (продолжение)......... Лекция 15. Перспектива

Лекция 16. Перспектива (продолжение)

Лекция 17. Тени в ортогональных проекциях

Лекция 18. Тени в ортогональных проекциях и перспективе............ Литература

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие предназначено для студентов строительных специальностей вузов и соответствует программе курса «Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика», рассчитанного на три семестра.

Оно состоит из трех частей.

1 СЕМЕСТР. «Начертательная геометрия». Данный раздел изучается в первом семестре первого курса. Материал курса разбит на 18 лекций и 18 практических занятий, согласно количеству недель в семестре в соответствии с учебными календарными планами. Двенадцать первых лекций содержат теоретический материал по разделу «Ортогональные проекции». Раздел является общим для всех технических специальностей вузов.

Шесть последних лекций посвящены изложению спецкурса: «Проекции с числовыми отметками», «Перспектива» и «Тени в ортогональных проекциях и перспективе».

Весь материал курса начертательной геометрии изложен в краткой доступной форме и сопровождается большим количеством рисунков.

Практические занятия так же, как и лекции, разбиты по темам. Для каждого практического занятия разработаны типовые задачи.

2 СЕМЕСТР. «Инженерная графика». Этот раздел изучается студентами во втором семестре первого курса. Основными разделами курса являются: «ЕСКД. Государственные стандарты (ГОСТ)», «Проекционное черчение» и «Машиностроительное черчение».

3 СЕМЕСТР. «Машинная графика». Раздел изучается студентами в третьем семестре второго курса. Материалом курса являются два раздела:

«Строительное черчение», состоящее из чертежей строительных конструкций и архитектурно-строительных чертежей жилых зданий, и «Машинная графика», в которой изучается графическая система AutoCAD 2000-2004.

В учебное пособие входит комплект заданий, которые студент должен выполнить в течение семестра. Каждое задание содержит 30 – 32 варианта, а также образцы выполняемых работ по начертательной геометрии с описанием решения типовых задач.

По каждой теме составлены задачи для самостоятельного решения.

Учебно-методический комплекс составлен авторским коллективом кафедры начертательной геометрии и графики ПГУ.

Лекции и другие материалы, связанные соответствующими темами лекций, подготовлены: Т.С. Маховой – 1, 2, 12, 13, 14; С.В. Ярмоловичем – 3, 4, 5, 6, 7; В.А. Лубченком – 8, 9, 10, 11; Т.Я. Артемьевой – 15, 16, 17, 18.

Графические работы в основном выполнены ассистентом А.В. Дубко, отдельные работы выполнены лаборантом И.Г. Чернеченко и ст. преподавателем В.Н. Баженовым.

ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия – это наука о методах построения изображений пространственных форм на плоскости.

Начертательная геометрия и ее методы находят применение в различных областях науки и техники: в машиностроении, архитектуре, строительстве, изобразительном искусстве.

Основным методом проецирования является ортогональное проецирование. Этот метод основан на проецировании пространственного объекта на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, перпендикулярными (ортогональными) к этим плоскостям.

В строительстве и машиностроении применяется также аксонометрическое проецирование. Изображения (чертежи), полученные с помощью такого проецирования, имеют высокую наглядность и простые построения.

При проектировании крупногабаритных инженерных сооружений (строительных площадок, каналов, плотин, откосов железных и автомобильных дорог, насыпей и выемок на кривых и прямых участках пути), при изыскании и трассировании дорог, для определения границ и объемов земляных работ при строительстве этих сооружений, то есть когда длина сооружения намного превышает высоту, применяют метод проекций с числовыми отметками.

В строительстве и архитектуре при изображении проектируемых промышленных и жилых зданий, городских площадей и улиц, железнодорожных вокзалов, интерьеров станций метрополитенов и пассажирских залов, мостов и путепроводов, различных дорог широко используются перспективные проекции.

Эти проекции дают возможность получить наглядные изображения инженерных сооружений, которые наиболее точно передают реальное зрительное восприятие человека.

В начертательной геометрии чертежи являются тем инструментом, с помощью которого осуществляется непосредственное изучение геометрических форм предмета и выполняется решение пространственных задач.

Поэтому к чертежам предъявляют следующие требования:

1) чертеж должен быть наглядным, т.е. он должен вызывать пространственное представление об изображаемом предмете;

2) чертеж должен быть обратимым, т.е. он должен точно определять форму, размеры и положение изображаемого предмета;

3) чертеж должен быть простым для его графического выполнения;

4) изображение предмета должно быть удобным для чтения размеров.

Чертежи, выполненные методом проецирования, называются проекционными.

Начертательная геометрия возникла в глубокой древности. Потребность в изображениях пространственных форм на плоскости, развитие изобразительного искусства, техники предопределили появление начертательной геометрии.

Ученые всего мира внесли большой вклад в развитие методов построения изображений пространственных форм на плоскости. Это великий греческий геометр Эвклид (III в. до н.э.), римский архитектор Витрувий (I в. до н.э.).

Значительные труды по методам изображений были написаны в эпоху Возрождения: итальянскими архитекторами Леоном Батиста Альберти (1404 – 1472 гг.), Леонардо да Винчи (1455 – 1519 гг.), немецким живописцем и архитектором Альбрехтом Дюрером (1471 – 1528 гг.).

Математическую трактовку перспективы дал итальянский ученый Гвидо Убальди (1545 – 1607 гг.), а французский архитектор Жерар Дезарг (1593 – 1662 гг.) в своем труде заложил теоретический фундамент перспективы.

В России практические приемы построения графических изображений были известны еще в давние времена. Рисунки домов, крепостей в различных древних летописях сохранили для нас достаточно совершенные для своего времени примеры изображений.

Работы таких великих русских мастеров, как иконописец Рублев, механик-самоучка И.П. Кулибин, зодчие Д.В. Ухтомский, В.И. Баженов, М.Ф. Казаков и многие другие, являются образцами правильных проекционных изображений.

Таким образом, методы построения графических изображений постоянно развивались в различных странах независимо друг от друга, но только французский инженер и ученый Гаспар Монж (1746 – 1818 гг.) смог сформулировать главные элементы теории построения графических изображений, используя прямоугольное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости.

В 1798 году Гаспар Монж опубликовал свой главный научный труд «Начертательная геометрия».

В России курс начертательной геометрии впервые стал изучаться в 1810 году. Первым русским профессором начертательной геометрии и крупным ученым в этой области стал Я.А. Севастьянов (1796 – 1849 гг.).

Значительный вклад в развитие начертательной геометрии внесли русские ученые: Н.И. Макаров, В.И. Курдюмов, Н.А. Рынин, А.И. Добряков, Н.Ф. Четверухин и многие другие.

Позднее продолжили свои исследования такие ученые, как В.О. Гордон, С.А. Фролов, А.В. Бубенников, Н.Н. Крылов и др.

Название тем, их объем в часах лекционных занятий 9 Поверхности. Пересечение поверхностей 10, 11 Взаимное пересечение поверхностей Тени в ортогональных проекциях и перспективе Практические занятия, их объем в часах Взаимное расположение прямых и плоскостей Взаимное расположение двух плоскостей 11, 12 Взаимное пересечение поверхностей Линейная перспектива. Тени в ортогональных проекциях и перспективе Тени в ортогональных проекциях и перспективе

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ЛЕКЦИЯ 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

1.1. Центральное проецирование.

1.2. Параллельное проецирование.

1.3. Ортогональное проецирование.

1.4. Проекции точки.

Пусть в пространстве задана плоскость П1, которую будем называть плоскостью проекций.

Выберем какую-либо точку S, не лежащую на плоскости проекций.

Эту точку будем называть центром проецирования.

Заданную точку А пространства будем проецировать на плоскость проекций П1. Для этого через точку А из центра проекций S проведем прямую l. Эта прямая будет называться проецирующей прямой. Затем находим точку пересечения А1 проецирующей прямой SA с плоскостью проекций П1. Точка А1 будет называться проекцией точки А (рис 1.1). Аналогично выполним построение проекции В1 точки В.

Очевидно, что каждой точке пространства будет однозначно соответствовать своя собственная проекция. Однако на рис 1.2 мы видим, что проекцией точки А и точки С является точка пересечения их общей проецирующей прямой с плоскостью проекций.

Следовательно, такое изображение не является взаимно однозначным, и судить о положении точек А и С в пространстве по одной проекции нельзя, потому что одним из требований, предъявляемых к чертежам, является точное определение положения пространственного объекта по его изображению, по его проекциям.

Если центр проецирования S удален в бесконечность (рис. 1.3), то проецирующие лучи станут параллельны друг другу. Такое проецирование называется параллельным.

Проецирующие лучи, исходящие из бесконечного далека, могут быть наклонены под любым углом к плоскости проекций.

При заданном аппарате проецирования можно построить параллельную проекцию любой точки пространства. Для этого через заданную точку А проведем проецирующую прямую, параллельную направлению s, и найдем точку А1 – точку пересечения этой прямой с плоскостью проекций П1.

Через точку А параллельно заданному направлению в пространстве можно провести только одну прямую, следовательно, каждая точка пространства имеет одну и только одну параллельную проекцию.

Точки А и В принадлежат одному и тому же проецирующему лучу, параллельному направлению s (рис. 1.4). Поэтому проекции этих точек В и А1 совпадают. Отсюда следует, что по одной заданной проекции положение в пространстве точек В и А определить невозможно.

1.3. Ортогональное (прямоугольное) проецирование Ортогональное (прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного проецирования, при котором направление проецирования s выбирается перпендикулярным плоскости проекций П1, т.е.

s П1 (рис 1.5).

Такое проецирование является наиболее простым и удобным из всех других существующих видов проецирования. Оно обеспечивает простоту определения проекций геометрических объектов, а также позволяет сохранить на проекциях их форму и размеры.

Прямоугольное проецирование имеет те же недостатки, что и центральное и параллельное проецирование: одна прямоугольная проекция не дает возможности определить положение геометрического объекта в пространстве.

Для того чтобы получить так называемый «обратимый чертеж», который позволит определить любые геометрические параметры объекта, надо иметь хотя бы две связанные между собой прямоугольные проекции.

Проецирование будем вести на три взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.6):

П1 – горизонтальная плоскость проекций;

П2 – фронтальная плоскость проекций;

П3 – профильная плоскость проекций.

Линии пересечения этих плоскостей называют осями проекций (координатными):

и рассматривают как систему прямоугольных декартовых координат с центром О.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами:

А (X, Y, Z).

Для получения прямоугольных проекций точки А необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций. Основания перпендикуляров и будут являться проекциями данной точки:

А1 – горизонтальная проекция точки;

А2 – фронтальная проекция точки;

А3 – профильная проекция точки.

Для получения более удобного чертежа необходимо совместить плоскости проекций П1 и П3 вместе с изображением на них данной точки А с плоскостью проекций П2 поворотом их вокруг осей ОХ и ОZ в направлении, указанном стрелкой (рис. 1.6). Такой совмещенный чертеж называется эпюром (от франц. epurer – очищенный) (рис. 1.7).

Из чертежа видно, что горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси ОХ, а фронтальная и профильная проекции – на одном перпендикуляре к оси ОZ.

Прямая, которая соединяет на чертеже две проекции одной и той же точки, называется линией связи.

А2А1 – всегда перпендикулярна оси ОХ;

А2А3 – всегда перпендикулярна оси ОZ.

Расстояния от заданной точки А до плоскостей проекций определяются ее координатами:

АА3 – абсцисса точки А (X);

АА2 – ордината точки А (Y);

АА1 – аппликата точки А (Z).

Каждая проекция точки определяется двумя координатами: А1 (X, У); А2 (X, Z); А3 (У, Z), а две любые проекции определяются тремя координатами, следовательно, для задания точки достаточно двух проекций.

Если все три координаты точки отличны от нуля, точка находится в пространстве (см. рис. 1.6 и рис. 1.7).

Если одна из координат равна нулю, точка находится в плоскости проекций, например, точка В лежит в плоскости П1, поэтому координата Z = 0 (рис. 1.8).

Если точка лежит на оси, то нулю равны две ее координаты (точка С лежит на оси ОZ, см. рис. 1.8). Координаты Х и У равны 0.

Если все три координаты равны нулю, точка совпадает с началом координат.

По двум известным проекциям всегда можно построить третью (рис. 1.9).

Например, чтобы построить профильную проекцию А3 точки А по данным горизонтальной А1 и фронтальной А2 проекциям, необходимо:

1) из точки А1 провести прямую, перпендикулярную ОУ, до пересечения с ней в точке Ау1;

2) из точки Ау1 провести прямую под углом 45° к оси проекций ОУ 3) из полученной точки Ау3 восстановить перпендикуляр к оси ОУ3;

4) из фронтальной проекции А2 провести прямую, перпендикулярную оси ОZ, и продолжить ее до пересечения с построенной ранее прямой из точки Ау3. На пересечении этих прямых находится искомая проекция А3 точки А. Проекцию А3 можно найти так, как показано на рис. 1.10, т.е. отложить от точки Аz отрезок, равный На рис. 1.11 построена горизонтальная проекция А1 точки А с помощью постоянной прямой чертежа, когда известны фронтальная и профильная проекции точки А. Ее проводят под углом 45° к вертикальной или горизонтальной линии связи (см. рис. 1.10 и рис. 1.11).

Часто для решения задач бывает достаточно иметь на чертеже только две прямоугольные проекции предмета. В этом случае для получения чертежа берут две взаимно перпендикулярные плоскости проекций – горизонтальную П1 и фронтальную П2. Такой метод был изложен Г. Монжем, поэтому иногда называется методом Монжа.

Пересекаясь между собой, плоскости П1 и П2 делят пространство на четыре части, которые называются четвертями. Их нумеруют в порядке, указанном на рис. 1.12.

Ось проекций делит каждую из плоскостей проекций на две полуплоскости (полы): плоскость проекций П1 – на переднюю и заднюю полы, плоскость П2 – на верхнюю и нижнюю полы. Фронтальная проекция точки А, находящейся в первой четверти, окажется над осью ОХ, горизонтальная – под осью ОХ (рис. 1.13).

При переходе от пространственного изображения к эпюру, т.е. при совмещении горизонтальной плоскости с фронтальной передняя пола плоскости П1 будет перемещаться на 90° вокруг оси ОХ вниз, а задняя пола – вверх. Поэтому фронтальная и горизонтальная проекции точки, находящейся во второй четверти, окажутся над осью ОХ (рис. 1.14).

Фронтальная проекция точки, находящейся в третьей четверти, окажется под осью ОХ, а горизонтальная – над осью ОХ (рис. 1.15), фронтальная и горизонтальная проекции точки, находящейся в четвертой четверти, – под осью ОХ (рис. 1.16).

Три плоскости проекций делят пространство на восемь октантов.

Нумерация октантов дана на рис. 1.17.

Совмещая плоскости проекций так же, как было показано ранее, можно получить чертеж точки, расположенной в любом из восьми октантов (рис. 1.18).

Считают, что наблюдатель, рассматривающий предмет, находится в I-ом октанте.

Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рис. 1.17, составляют таблицу знаков координат во всех восьми октантах (табл.).

Пусть задана точка А (6, 4, 5). Эта запись означает, что положение точки А в пространстве определяется координатами: X = 6, У = 4, Z = 5.

Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели осуществляют следующим образом: на осях координат от точки О откладывают отрезки, соответственно равные 6, 4, 5 единицам длины (рис. 1.19). На этих отрезках (ОАx, ОАу, ОАz), как на ребрах, строят параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, определяет положение заданной точки А. Из рис. 1.19 видно, что для определения положения точки А достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например, ОАx, АxА1 и А1А.

Эпюр точки представлен на рис. 1.20.

На рис. 1.21 – 1.23 представлены наглядные изображения и эпюры точек, которые расположены во II, III, IV октантах.

2.1. Задание прямой.

2.2. Прямая общего положения.

2.3. Прямые частного положения.

2.4. Принадлежность точки прямой. Деление отрезка прямой линии в 2.5. Определение длины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций.

2.6. Следы прямой линии.

2.7. Взаимное положение прямых.

2.8. Проекции плоских углов.

Положение прямой линии в пространстве определяется двумя точками или точкой и направлением. Поэтому на эпюре прямую можно задать проекциями ее отрезка (рис. 2.1), проекциями некоторой произвольной части прямой, не указывая концевых точек этой части (рис. 2.2), или указывая одну точку этой прямой (рис. 2.3).

Прямая общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

На эпюре проекции прямой общего положения составляют с осями проекций произвольные углы, поэтому величина каждой проекции меньше истинной величины самой прямой (см. рис. 2.1).

Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называют прямыми частного положения.

Прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций, а с двумя другими плоскостями образующая произвольные углы, называется прямой уровня. Различают три линии уровня:

1) прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекций; называют горизонтальной или горизонталью h;

2) прямую, параллельную фронтальной плоскости проекций; называют фронтальной или фронталью f;

3) прямую, параллельную профильной плоскости проекций; называют профильной р.

Каждая линия уровня будет проецироваться в натуральную величину на ту плоскость проекций, которой она параллельна, углы наклона (,, ), которые эта прямая образует с двумя другими плоскостями проекций, также будут проецироваться на эту плоскость без искажения (рис. 2.4 – 2.6).

На рис. 2.4 видно, что все точки горизонтальной прямой АВ удалены на одинаковые расстояния от плоскости П1, поэтому фронтальная проекция любой горизонтали параллельна оси ОХ, а профильная проекция параллельна оси ОУ. Величины фронтальной и профильной проекций будут меньше натуральной величины самой прямой.

Эти отличительные особенности характерны и для фронтальной и профильной прямых.

Прямые уровня могут принадлежать плоскостям проекций. Такие прямые называют нулевой горизонталью и нулевой фронталью (рис. 2.7).

Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, а двум другим параллельные, называются проецирующими:

1) горизонтально-проецирующая – прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (рис. 2.8);

2) фронтально-проецирующая – прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (рис. 2.9);

3) профильно-проецирующая – прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций (рис. 2.10).

На рис. 2.8 – 2.10 видно, что проекции прямых, перпендикулярных плоскостям проекций, на этих плоскостях представляют собой точки, а на тех плоскостях, которым прямые параллельны, проекции прямых будут перпендикулярны осям и равны по величине самим прямым.

2.4. Принадлежность точки прямой. Деление отрезка Если точка лежит на прямой, то ее проекции будут лежать на одноименных проекциях этой прямой.

На рис. 2.11 изображена прямая и три точки: А, В и С. Точка А принадлежит прямой l, т.к. А2 є l2, А1 є l1, точки С и В – не принадлежат, т.к.

С1 l1, а В2 l2.

На рис. 2.12 показано построение точки С, принадлежащей профильной прямой АВ, если известна фронтальная проекция точки С. Для построения неизвестной горизонтальной проекции используется профильная проекция А3В3 отрезка прямой АВ.

Чтобы разделить отрезок прямой в данном отношении, достаточно разделить в этом отношении одну из проекции заданного отрезка, а потом с помощью линии связи перенести делящую точку на другие проекции отрезка.

На рис. 2.13 точка С делит отрезок АВ в отношении 2:3. Для этого из точки А проведена вспомогательная прямая, на которой отложено 5 равных отрезков произвольной длины.

Если необходимо разделить отрезок профильной прямой АВ точкой С, заданной фронтальной проекцией С2, то выполняют следующие построения: из точки В1 проводят произвольную вспомогательную прямую, откладывают на ней В11 = В2С2 и 12 = С2А2. Соединяют точки 2 и А1 и параллельно прямой 2А1 через точку 1 проводят прямую до пересечения с А1В1 в точке С1. Это и будет недостающая проекция точки С (рис. 2.14).

2.5. Определение длины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения необходимо построить на чертеже прямоугольный треугольник, одним катетом которого является проекция отрезка на какую-либо плоскость проекций, а величина другого катета равна разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций, на которой взяли первый катет.

Натуральная величина отрезка прямой будет равна гипотенузе этого треугольника. Угол между катетом-проекцией и гипотенузой равен углу наклона отрезка к этой плоскости проекций.

На рис. 2.15 показано проецирование отрезка АВ на горизонтальную плоскость П1. Через точку А проведена прямая АВ', параллельная горизонтальной проекции отрезка А1 В1. В полученном прямоугольном треугольнике АВВ' катет АВ' равен проекции А1В1, а ВВ' равен разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций П1(). Гипотенуза этого треугольника равна длине отрезка АВ. Угол в треугольнике АВВ' является углом наклона отрезка прямой АВ к плоскости П1.

Для определения угла наклона отрезка прямой АВ на фронтальной плоскости проекций П2 строят прямоугольный треугольник аналогичным путем: через точку В проводят прямую ВА', параллельную А2В2. Катет ВА' = А2В2, а второй катет АА' равен у – разности расстояний точек А и В от плоскости П2 (рис. 2.16).

Угол в этом же треугольнике А'ВА является углом наклона прямой АВ к плоскости П2.

Прямая общего положения пересекает все плоскости проекций. Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называют следами прямой. Точка М – горизонтальный след прямой, точка N – фронтальный.

Горизонтальная проекция М1 горизонтального следа прямой совпадает с самим следом – точкой М, а фронтальная проекция этого следа М2 лежит на оси ОХ (рис. 2.17). Фронтальная проекция N2 фронтального следа прямой совпадает с точкой N, а горизонтальная проекция N1 лежит на оси ОХ.

Для построения горизонтального следа М прямой необходимо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью ОХ и в этой точке восстановить перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

Для построения фронтального следа прямой продолжаем горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью ОХ и восстанавливаем перпендикуляр к оси до пересечения с фронтальной проекцией прямой. С помощью этих правил на рис. 2.18 и рис. 2.19 построены следы прямых а и b.

Так как следы прямых – точки, в которых прямая переходит из одной четверти в другую, то они позволяют определить видимость этой прямой.

Та часть прямой, которая расположена в пределах первого октанта, будет видимой. Проекции видимой части прямой изображаются сплошными линиями, а невидимой – штриховыми.

На рис. 2.20 показано построение следов прямой а в системе трех плоскостей проекций.

Построение горизонтального и фронтального следов выполняют по правилам, указанным выше, профильный след Р находят как точку пересечения прямой а с профильной плоскостью проекций. Профильная проекция профильного следа прямой совпадает с самим следом, горизонтальная проекция этого следа Р1 лежит на оси ОУ; фронтальная проекция Р2 лежит на оси ОZ. Чтобы построить профильный след прямой, продолжают фронтальную проекцию прямой а до пересечения с осью OZ. Отмечают точку Р2 и из этой точки проводят перпендикуляр к оси OZ до пересечения с профильной проекцией прямой. Эта точка и будет искомым следом Р, с которым совпадает Р3. Горизонтальная проекция Р1 определяется как пересечение горизонтальной проекции прямой с осью ОУ (рис. 2.21).

Прямые в пространстве могут занимать различное взаимное положение. Они могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися.

Если прямые в пространстве пересекаются, то на эпюре их одноименные проекции пересекаются, и точки пересечения проекций этих прямых лежат на одной линии связи (рис. 2.22).

Если прямые в пространстве параллельны, то на эпюре их одноименные проекции параллельны. На рис. 2.23 изображены прямые общего положения АВ и СD, их горизонтальные и фронтальные проекции параллельны между собой. Можно утверждать, что и в пространстве эти прямые параллельны. Но для профильных прямых этого условия недостаточно.

Для определения их взаимного положения необходимо построить профильные проекции прямых. На рис. 2.24 горизонтальные и фронтальные проекции прямых CD и EF параллельны, но эти прямые не параллельны, что следует из взаимного положения их профильных проекций.

Если прямые в пространстве не пересекаются и не параллельны между собой, то такие прямые называются скрещивающимися. На эпюре точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых (рис. 2.25). Точка пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых является на эпюре проекцией двух конкурирующих точек, принадлежащих заданным прямым.

Конкурирующие точки – это точки, лежащие на одном перпендикуляре к плоскости проекций. На эпюре (см. рис. 2.25) горизонтальные проекции конкурирующих точек 11 и 21 совпадают, но точка 1 принадлежит прямой АВ, а точка 2 – прямой СD.

Из чертежа видно, что расстояния от плоскости П1 до точек 1 и различны. Фронтальная проекция перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет определить, какая из точек расположена ниже. В данном примере точка 2, лежащая на прямой CD, расположена ниже, чем точка 1, лежащая на прямой АВ. Следовательно, прямая CD проходит под прямой АВ.

Точке пересечения фронтальных проекций соответствуют точки 3 и 4, расположенные на прямых АВ и CD. Горизонтальная проекция перпендикуляра, отмеченная стрелкой, позволяет определить, какая из этих точек ближе к наблюдателю. Из чертежа видно, что точка 3 расположена ближе к наблюдателю, чем точка 4. Поэтому прямая АВ проходит перед CD.

Плоский угол проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если его стороны параллельны этой плоскости проекций.

Для того чтобы прямой угол проецировался на плоскость в натуральную величину, необходимо и достаточно, чтобы одна из его сторон была параллельна, а другая не перпендикулярна плоскости проекций. Изображенный на рис. 2.26 угол АВС – прямой, одна его сторона (АВ) параллельна плоскости проекций П1, поэтому на эту плоскость он спроецировался в виде прямого угла, т.е. в натуральную величину.

3.1. Изображение плоскости на чертеже.

3.2. Прямая и точка в плоскости.

3.3. Главные линии плоскости.

3.4. Положение плоскости относительно плоскостей проекций.

Что такое плоскость? Из геометрии известно, что плоскость представляет собой бесконечную поверхность, которая на всем своем протяжении имеет одинаковое направление. Примером получения плоскости в пространстве может служить параллельное перемещение одной прямой по второй неподвижной прямой. Простейшими плоскостями считаются плоские геометрические фигуры (треугольник, круг и т.п.) Плоскость на чертеже может быть задана (рис. 3.1):

проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (см. рис. 3.1, а);

проекциями отрезка прямой и точкой, не лежащей на прямой (см.

рис. 3.1, б);

- проекциями двух пересекающихся отрезков прямых (см. рис. 3.1, в);

- проекциями двух отрезков параллельных прямых (см. рис. 3.1, г);

- проекциями плоской фигуры (треугольника) (см. рис. 3.1, д);

Соединяя проекции точек на первых четырех рисунках, можно перейти к изображению в виде треугольника или других плоских фигур.

На рис. 3.1, е изображена в пространстве плоскость, заданная треугольником АВС. Эта же плоскость показана на чертеже (см. рис. 3.1, д) двумя ее проекциями.

Плоскость на чертеже также может быть задана следами плоскости.

Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций (рис. 3.2, а, б).

Плоскость Р (см. рис. 3.2) образует с плоскостями проекций П2 и П трехгранный угол, вершина которого находится в пересечении следов. Две грани этого угла совпадают с плоскостями проекций и находятся между осью Х и следами плоскости (hop и fop), а третий угол – между следами hop и fop, – всегда меньше суммы двух других углов. Это значит, что на чертеже угол, заключенный между следами hop и fop (см. рис. 3.2, б), всегда больше угла, заключенного между этими следами в пространстве (см. рис. 3.2, а).

На рис. 3.2, а показаны горизонтальный hop и фронтальный fop следы.

Точка пересечения следов, расположенная на оси Х, называется точкой схода следов (ХР). Так как след плоскости является прямой, лежащей в плоскости проекций, то горизонтальная проекция фронтального следа f1p будет находиться на оси Х. Здесь же будет находиться и фронтальная проекция h2P горизонтального следа плоскости Р. Обычно эти проекции следов не используются при решении задач и поэтому их можно не изображать и не обозначать.

Целесообразно следы плоскости обозначить на чертежах по наименованию самих плоскостей проекций (П1, П2) или по обозначению их индексов, например, Рп1 и Рп2, или же Р1 и Р2 (рис. 3.3). Такое обозначение более удобно при решении задач. Следует иметь в виду, что со следами плоскости совпадают (сливаются) их проекции. Так, с горизонтальным следом плоскости Г1 совпадает горизонтальная проекция этого следа, а с фронтальным следом плоскости Г2 совпадает фронтальная проекция этого следа.

Построение следов плоскости Г, заданной двумя пересекающимися прямыми а b (а1 b1 и а2 b2), показано на рис. 3.4. Чтобы построить фронтальный след плоскости Г2, необходимо найти фронтальные следы N и N' прямых а и b. Здесь же будут находиться и их фронтальные проекции N2 и N2'. Соединив данные следы прямой линией, получим фронтальный след плоскости Г2. Определив горизонтальные следы М М1 и М' М'1 прямых а и b и соединив их прямой линией, получим горизонтальный след плоскости Г1. Из рис. 3.4 видно, что для построения следа Г1 достаточно найти один след М прямой а и соединить эту точку с точкой схода следов Гх.

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, находящиеся в этой плоскости, или если она проходит через одну точку плоскости и параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости (рис. 3.5).

На рис. 3.5, а плоскость Р задана двумя пересекающимися прямыми а и b. Чтобы прямая принадлежала этой плоскости, необходимо на прямых а и b взять точки, например С и D, и через них провести прямую m.

На рис. 3.5, б прямая n принадлежит плоскости, так как она проходит через точку D, принадлежащую плоскости а b и параллельна прямой а.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, находящейся в этой плоскости. На рис. 3.6 показано построение проекции точки D на чертеже, заданном треугольником АВС.

Для решения задачи проводим в плоскости, заданной треугольником АВС, прямую n (n1 и n2), проходящую через произвольно выбранные точки А и 1 (А111 и А212) и принадлежащую плоскости треугольника. На прямой n в произвольном месте берем точку D. Фронтальная проекция точки D находится на фронтальной проекции прямой n2, а горизонтальная проекция точки D1 – на горизонтальной проекции прямой n1. Точку D можно было взять и на любой из сторон треугольника АВС.

Чтобы построить проекции точки D, принадлежащей плоскости Р, заданной следами (рис. 3.7), проводим в этой плоскости произвольно фронтальную и горизонтальную проекции прямой MN (M1N1 и M2N2), принадлежащей плоскости Р, и на соответствующих проекциях прямой отмечаем проекции точек D2 и D1.

К главным линиям плоскости относятся горизонтали (h), фронтали (f), профильные прямые (p) и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций.

Горизонталью h (h1 и h2) плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 3.8). Так как горизонталь плоскости параллельна горизонтальной плоскости проекций П1, то фронтальная ее проекция будет параллельна оси Х.

Для построения проекций горизонтали проводим через точку А2 прямую, параллельную оси Х. Это будет фронтальная проекция горизонтали (h2). Горизонтальную проекцию горизонтали (h1) находим по линии связи.

На рис. 3.9. показано наглядное изображение плоскости Р (Р1 и Р2) и горизонтали h с ее проекциями h2 и h1. При построении проекций горизонтали на чертеже плоскости, заданной следами Р1 и Р2 (рис. 3.9, а, б), проводим через произвольно выбранную точку N (проекция N2) на следе Р2 прямую m параллельно оси Х. Горизонтальная проекция горизонтали (h1) пройдет через точку N1 параллельно горизонтальному следу Р1.

Фронталью плоскости f (f1 и f2) называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали на чертеже параллельна оси Х, а фронтальную проекцию фронтали находим при помощи линии связи (рис. 3.10).

На рис. 3.11, а показано наглядное изображение плоскости Г (Г1 и Г2) и фронтали f c ее проекциями f1 и f2, а на рис. 3.11, б представлен чертеж плоскости, заданной следами, и горизонтальная и фронтальная проекции фронтали этой плоскости.

Профильной прямой р (р1, р2, р3) называется прямая линия, принадлежащая плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (рис. 3.12).

В этом случае фронтальная и горизонтальная проекции профильной прямой р (Е1F1 и Е2F2) параллельны П3, а профильная проекция Е3F3 = ЕF, т.е. равняется натуральной величине отрезка ЕF.

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций (горизонтальной, фронтальной и профильной) называются прямые, принадлежащие этой плоскости и перпендикулярные фронталям, горизонталям, профильным прямым плоскости, или же соответствующим следам плоскости. Линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций чаще всего называют линией ската.

Так, если в точку А плоскости Г (рис. 3.13, а) поместить шарик, то траектория его движения определится прямой линией АМ (А1М1, А2М2), т.е. линией ската, перпендикулярной к горизонтали h (h1, h2), а также к горизонтальному следу Г1 плоскости Г.

Чтобы в плоскости Г (Г1, Г2) (рис. 3.13, б), заданной следами, провести линию ската, необходимо на этой плоскости взять произвольную точку А (А1, А2) и через ее горизонтальную проекцию А1 провести линию перпендикулярно горизонтальному следу либо горизонтальной проекции горизонтали (h1). Прямой угол между h1 и M1N1' спроецируется на горизонтальную плоскость проекций без искажения, так как одна из его сторон, а именно горизонталь, параллельна горизонтальной плоскости проекций, но h1 параллельна Г1, следовательно, угол между Г1 и M1N1 тоже прямой.

Как видно из рис. 3. 13, а, линейный угол АМ1А1, заключенный между линией ската АМ1 и ее горизонтальной проекцией М1А1, равняется двугранному углу, образованному плоскостями Г и П1.

Чтобы определить угол наклона плоскости, заданной треугольником АВС, к плоскости проекций П1 (рис. 3.14), необходимо выполнить следующее: провести в плоскости треугольника АВС горизонталь h (h1 и h2), затем из точки В1 провести горизонтальную проекцию линии ската (В1К1) перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали и по линии связи определить фронтальную проекцию линии ската (В2К2). Построив на горизонтальной проекции линии ската В1К1 прямоугольный треугольник В1К1В0, одним катетом которого является горизонтальная проекция линии ската В1К1, а вторым – превышение (z) точки В (В2) над точкой К (К2) относительно горизонтальной плоскости проекций, получим угол, заключенный между горизонтальной проекцией линии ската и ее натуральной величиной. Это и есть угол наклона треугольника АВС к плоскости проекций П1.

Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций П2 и П производится аналогичным образом. Для этого необходимо провести фронталь в плоскости, а затем линию перпендикулярно к ней, или же профильную прямую и перпендикуляр к ней.

3.4. Положение плоскости относительно плоскостей проекций Плоскость в пространстве может занимать относительно плоскостей проекций П1, П2, П3 следующие положения: наклонно ко всем плоскостям проекций – плоскость общего положения (см. рис. 3.2, 3.3), перпендикулярно к одной из плоскостей проекций – проецирующая плоскость, перпендикулярно одновременно к двум плоскостям проекций, т.е. параллельно третьей плоскости проекций – плоскость уровня.

Проецирующие плоскости: горизонтально-проецирующая (перпендикулярна к П1), фронтально-проецирующая (перпендикулярна к П2), профильно-проецирующая (перпендикулярна к П3).

В горизонтально-проецирующей плоскости (рис. 3.15, а, б) фронтальный след Г2 расположен перпендикулярно к плоскости проекций П и к оси ОХ, а горизонтальный след может быть расположен под любым углом, кроме прямого. Горизонтальный след обладает собирательным свойством, т.е. любая точка, фигура, находящаяся в плоскости Г, всегда проецируется на горизонтальный след Г1, это относится и к точке А (см. рис. 3.15, а, б), принадлежащей плоскости Г.

На рис. 3.15, в изображен треугольник АВС, который занимает проецирующее положение относительно плоскости проекций П1. Точка К принадлежит данному треугольнику. Фронтальная ее проекция К2 совпадает с К (К2 К). Горизонтальная проекция К1 проецируется на горизонтальную проекцию треугольника А1В1С1. Угол, заключенный между осью Х и горизонтальным следом плоскости Г1, а также между горизонтальной проекцией треугольника А1В1С1 и осью Х, есть угол наклона плоскостей Г и треугольника АВС к фронтальной плоскости проекций.

Фронтально-проецирующие плоскости Р, изображенные наглядно следами Р2, Р1 и треугольником ВСD (В1С1D1 и В2С2D2), показаны на рис. 3.16, а, б, в.

В данном случае (см. рис. 3.16, а и б) горизонтальный след Р1 расположен перпендикулярно П2 и оси Х. Точка В, находящаяся в плоскости Р, спроецируется обязательно на фронтальный след Р2. Треугольник ВСD (см. рис. 3.16, в) занимает проецирующее положение относительно плоскости проекций П2, поэтому фронтальная его проекция изобразится в виде отрезка прямой В2С2D2.

Угол (см. рис. 3.16, б, в), заключенный между Р2 и осью Х, а также между В2С2D2 и осью Х, есть угол наклона плоскостей Р и ВСD к плоскости проекций П1.

Профильно-проецирующая плоскость показана на рис. 3.17. На рис. 3.17, а показано наглядное изображение профильно-проецирующей плоскости Ф, точка А, принадлежащая этой плоскости и ее проекции.

Профильная проекция точки А3 находится на профильном следе Ф3. На рис. 3.17, б и рис. 3.17, в изображены профильно-проецирующие плоскости, заданные следами плоскости Ф (Ф1, Ф2, Ф3) и треугольником СDE (C1D1E1; C2D2E2; C3D3E3).

Профильно-проецирующая плоскость, проходящая через ось Х, называется осевой, а если она делит двугранный угол между плоскостями проекций П1 и П2 пополам, то она еще называется биссекторной.

Плоскости уровня. К ним относятся горизонтальная плоскость – параллельная П1, фронтальная – параллельная П2 и профильная – параллельная П3. Эти плоскости уровня перпендикулярны одновременно двум другим плоскостям проекций. Например, горизонтальная плоскость перпендикулярна одновременно фронтальной и профильной плоскостям проекций.

На рис. 3.18, а показано наглядное изображение горизонтальной плоскости Г (Г2, Г3) в системе плоскостей проекций П1, П2 и П3, а на рис. 3.18, б – чертеж данной плоскости, изображенный фронтальным и профильным следами (Г1 и Г3). Показано также, как точка А, находящаяся в плоскости Г, проецируется на плоскости проекций.

Горизонтальная плоскость, заданная треугольником АВС (см. рис. 3.18, в), изображена проекциями А1В1С1, А2В2С2 и А3В3С3. При этом фронтальная и профильная проекции изображаются отрезками прямых линий, а горизонтальная – треугольником, который равняется истинной величине треугольника АВС, т.к. он в пространстве занимает параллельное положение относительно плоскости проекций П1.

На рис. 3.19, а и б изображена фронтальная плоскость Ф, где показаны горизонтальный Ф1 и профильный Ф3 следы этой плоскости, а также проекции точки А, принадлежащей этой плоскости. В данном случае горизонтальная и профильная проекции точки А совпадают с соответствующими следами.

Проекции треугольника А1В1С1 и А2В2С2 также изображают фронтальную плоскость треугольника АВС. Горизонтальная проекция А1В1С проходит параллельно оси Х, тогда фронтальная проекция А2В2С2 проецируется в натуральную величину: А2В2С2 = АВС.

ЛЕКЦИЯ 4. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

4.1. Прямая линия, параллельная плоскости.

4.2. Прямая линия, перпендикулярная плоскости.

4.3. Прямая линия, пересекающаяся с плоскостью частного 4.4. Пересечение плоскости частного положения с плоскостью 4.5. Проведение плоскостей частного положения через прямую 4.6. Пересечение прямой с плоскостью общего положения.

4.7. Пересечение двух плоскостей общего положения.

4.1. Прямая линия, параллельная плоскости Прямая линия относительно плоскости может занимать следующие положения: находиться в плоскости, быть параллельной плоскости и пересекаться с плоскостью.

Из геометрии известно, что прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, находящейся в этой плоскости. Пусть требуется через точку D (D1, D2) провести прямую, параллельную плоскости, заданной треугольником АВС (А1В1С1, А2В2С2) (рис. 4.1).

В треугольнике АВС проводим произвольно отрезок ВК (В2К2 и В1К1), а через точку D (D1, D2) проводим прямую m, параллельную данному отрезку, т.е. m2 К2В2, а m1 К1В1. Через данную точку D можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных плоскости треугольника АВС, в том числе и параллельных сторонам треугольника.

Если бы была поставлена задача провести через точку D прямую, параллельную треугольнику АВС и фронтальной плоскости проекций, то в данном случае можно провести только одну прямую, параллельную и треугольнику и П2. Для этого в треугольнике проводим фронталь f (f1, f2), а через точку D (D1, D2) – прямую n (n1, n2), параллельную фронтали (n1 f1, n2 f2), (рис. 4.2).

В случае построения прямой, параллельной плоскости Р, заданной следами, необходимо в плоскости Р провести произвольно прямую или горизонталь (фронталь), а затем провести проекции прямой, проходящей через точку D (D2, D1), параллельные соответствующим проекциям прямых, взятых в плоскости Р (рис. 4.3).

На рис. 4.3, а в плоскости Р проведен отрезок произвольной прямой MN (M1N1, M2N2), а через точку D – прямая m (m1, m2), одноименные проекции которой параллельны проекциям отрезков, взятых в плоскости, т.е.

m1 M1 N1, m2 M2 N2.

На рис. 4.3, б в плоскости Р проведена горизонталь h (h1, h2), а через D1 – прямая n1, параллельная h1, и через D2 проведена прямая n2, параллельная h2.

4.2. Прямая линия, перпендикулярная плоскости Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости (рис. 4.4).

На комплексном чертеже легко построить проекции прямого угла между прямой общего положения и линией уровня (фронталью, горизонталью). На основании свойств прямого угла прямой угол проецируется в натуральную величину, например, на П2, если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, т.е. является фронталью. Чтобы прямой угол проецировался на П1 без искажения, необходимо, чтобы одна из его сторон была параллельна П1, т.е. была горизонталью. На рис. 4.5 показано, как проведен перпендикуляр из точки К к фронтали и горизонтали.

Если задать плоскость двумя пересекающимися прямыми (АВ АD), одна из которых будет фронталью, а вторая – горизонталью и провести из точки А2 перпендикуляр к А2В2, т.е. к фронтальной проекции фронтали, а из А1 – перпендикуляр к А1D1, т.е. к горизонтальной проекции горизонтали, то этот отрезок будет перпендикулярен заданной плоскости (рис. 4.6).

Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на чертеже ее горизонтальная проекция была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой – перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.

В случае, если плоскость задана следами, то, учитывая, что горизонтальная проекция горизонтали (h1) всегда параллельна горизонтальному следу Г1, а фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу Г2, то, чтобы из точки К (К1, К2) провести прямую перпендикулярно плоскости Г (рис. 4.7), необходимо ее горизонтальную проекцию провести перпендикулярно горизонтальному следу Г1, а фронтальную проекцию – перпендикулярно фронтальному следу Г2.

4.3. Прямая линия, пересекающаяся с плоскостью Точку пересечения (встречи) прямой линии с плоскостью частного положения определяют непосредственно из чертежа, без дополнительных построений, так как известно, что следы плоскостей частного положения обладают собирательным свойством, и любая точка, находящаяся в плоскости, обязательно проецируется на один из следов плоскости; вторая проекция точки находится по линии связи. Подробно это рассмотрим на примере пересечения отрезка АВ с горизонтально проецирующей плоскостью Г (рис. 4.8).

Отрезок АВ пересекается с плоскостью Г (Г1, Г2) в точке К, горизонтальная ее проекция К1 находится на следе Г1, как точка, принадлежащая этой плоскости. Фронтальная проекция К2 определяется по линии связи (см. рис. 4.8, а и б). Часть отрезка КВ (К2В2) на фронтальной плоскости проекций, а именно, за точкой пересечения К, закрыта плоскостью, поэтому она изображается штриховой линией.

На рис. 4.8, в приведен пример определения точки пересечения прямой m (m1, m2) с горизонтально-проецирующей плоскостью, заданной треугольником АВС (А1В1С1, А2В2С2).

На рис. 4.9, а приведен пример нахождения точки пересечения прямой а с фронтально-проецирующей плоскостью Г. Фронтальная проекция К2 находится на пересечении фронтальной проекции прямой а2 с фронтальным следом Г2. К1 определена по линии связи. Определение проекций точек пересечения прямой b с горизонтальной плоскостью Ф (Ф2) и прямой d с фронтальной плоскостью (1) показано на рис. 4.9, б и 4.9, в.

4.4. Пересечение плоскости частного положения с плоскостью Рассмотрим построение линии пересечения плоскости общего положения Г и проецирующей Р, заданных следами (рис. 4. 10).

Из наглядного изображения (рис. 4.10, а) видно, что на пересечении горизонтальных следов плоскостей Г и Р (Г1 и Р1) находится горизонтальный след линии пересечения этих плоскостей М и его горизонтальная проекция М1. На пересечении фронтальных следов Г2 и Р2 находится фронтальный след линии пересечения N и его проекция N2. Соединив одноименные проекции точек М и N, получим фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения М2N2 и М1N1, причем последняя совпадает с горизонтальным следом плоскости Р1. Это же решение показано на чертеже (см. рис. 4.10, б).

Пример построения линии пересечения горизонтально-проецирующей плоскости Г, заданной следами, и плоскости общего положения, заданной треугольником, приведен на рис. 4.11.

На рис. 4.11, а показано наглядное изображение двух плоскостей с линией пересечения 12, на рис. 4.11, б это показано на чертеже. Горизонтальная проекция линии пересечения 1121 в таких случаях находится всегда на горизонтальном следе.

Построение линии пересечения плоскости общего положения Р и плоскости уровня, в частности, горизонтальной плоскости Г, показано на рис. 4.12.

Так как плоскость Г (Г2) и плоскость проекций П1 параллельны между собой, а общей пересекающей их плоскостью является плоскость Р (Р1, Р2), то линия пересечения плоскостей Р и П1 есть горизонтальный след Р1, а плоскостей Г и Р – отрезок прямой линии NК (см. рис. 4.12, а). Исходя из вышеизложенного, они должны быть параллельны между собой, т.к. две параллельные плоскости одновременно пересекаются третьей плоскостью Р.

Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальным следом Г2 плоскости Г и проходит параллельно оси Х, горизонтальная проекция линии пересечения проходит параллельно горизонтальному следу Р1, к тому же отрезок NК является горизонталью. На рис. 4.12, б приведен чертеж пересечения плоскости общего положения Р (Р1, Р2) и горизонтальной плоскости Г (Г2).

4.5. Проведение плоскостей частного положения Для решения задач на определение точек пересечения прямой c различными плоскостями необходимо проводить дополнительные построения, такие, например, как проведение через прямую проецирующих плоскостей или плоскостей уровня. Через прямую общего положения можно провести любую проецирующую плоскость (рис. 4.13, 4.14), а через прямые, параллельные плоскостям проекций, можно провести как проецирующие плоскости, так и плоскости уровня (см. рис. 4.14).

На рис. 4.13, а изображен отрезок прямой АВ общего положения, а на рис. 4.13, б через этот отрезок проведена фронтально-проецирующая плоскость Г (Г1, Г2). Через отрезок СD (см. рис. 4.14, а) проведена горизонтально-проецирующая плоскость Р (Р1, Р2), что изображено на рис. 4.14, б.

Ниже показаны примеры проведения горизонтальной плоскости Ф (рис. 4.15) и фронтальной Т (рис. 4.16) через соответствующие отрезки прямых EF (E1F1, E2F2) и КМ (К1М1, К2М2).

4.6. Пересечение прямой с плоскостью общего положения Рассмотрим порядок определения точки пересечения прямой m с плоскостью, заданной треугольником АВС (рис. 4.17) и следами Г (Г1, Г2) (рис. 4.18).

Чтобы определить точку пересечения прямой m с плоскостью, заданной треугольником АВС, необходимо выполнить следующее:

- провести через прямую m фронтально-проецирующую плоскость - определить линию пересечения плоскости Р и треугольника АВС - определить точку пересечения прямой m (m1, m2) с треугольником АВС. Эта точка находится на линии пересечения плоскостей Р и треугольника АВС – 12 (1121 и 1222). Сначала определяем горизонтальную проекцию К1, а затем фронтальную К2.

В заключение необходимо определить видимые и невидимые части прямой m относительно плоскостей проекций П1 и П2, считая, что треугольник АВС является непрозрачным. Для этого необходимо сравнить положение в пространстве двух конкурирующих точек, одна из которых принадлежит прямой m, а вторая – стороне треугольника АВС.

При определении видимости прямой m относительно горизонтальной плоскости проекций рассмотрим взаимное положение прямой m и стороны АВ треугольника АВС. В точке пересечения их горизонтальных проекций m1 и А1В1 совпадают две горизонтальные проекции 31 и 41 точек 3 и 4.

Точка 3 (31, 32) принадлежит стороне АВ (А1В1, А2В2) треугольника АВС, точка 4 (41, 42) принадлежит прямой m (m1, m2). По расположению фронтальных проекций 32 и 42 этих точек устанавливаем, что точка 3 (31, 32) находится выше точки 4 (41, 42) относительно горизонтальной плоскости проекций П1. Это значит, что участок прямой линии m от точки пересечения К (К1, К2) с треугольником АВС до точки 4 (41, 42) находится под треугольником. Следовательно, горизонтальная проекция отрезка К141 будет невидимой и она изображена штриховой линией.

При определении видимости прямой m относительно фронтальной плоскости проекций рассмотрим взаимное положение прямой m и стороны АС треугольника АВС. В точке пересечения их фронтальных проекций m2 и А2С2 совпадают две фронтальные проекции 12 и 52 точек 1 и 5. Точка 1 (11, 12) принадлежит стороне АС (А1С1, А2С2), точка 5 (51, 52) принадлежит прямой m (m1, m2). По расположению горизонтальных проекций 11 и этих точек замечаем, что точка 5 (51, 52) находится далее от плоскости проекции П2 и ближе к нам, чем точка 1 (11, 12). Это значит, что прямая m до точки пересечения К (К1, К2) с треугольником АВС находится перед треугольником. Следовательно, фронтальная проекция m2 прямой m будет видимой до точки К (К1, К2), а фронтальная проекция отрезка К222 будет невидимой и она изображена штриховой линией.

При определении точки пересечения прямой m с плоскостью, заданной следами Г1 и Г2 (рис. 4.18), необходимо также прямую m заключить в горизонтально-проецирующую плоскость Ф (Ф1 и Ф2) и найти их линию пересечения MN (M1N1 и M2N2). Фронтальная проекция точки пересечения прямой К2 будет находиться на фронтальной проекции линии пересечения M2N2, горизонтальная проекция К1 находится при помощи линии связи.

4.7. Пересечение двух плоскостей общего положения Линия пересечения двух плоскостей – это прямая, принадлежащая как одной, так и другой плоскости. Но положение любой прямой в пространстве определяется положением двух ее точек. Поэтому для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям.

Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей Г и Р, заданных следами (рис. 4.19, а – наглядное изображение, см. рис. 4.19, б – чертеж).

На наглядном изображении (см. рис. 4.19, а) показана линия пересечения этих плоскостей – MN. Она проходит через точку N, в которой пересекаются фронтальные следы Г2 и Р2, и точку М, в которой пересекаются горизонтальные следы Г1 и Р1.

Точка N является фронтальным следом линии пересечения плоскостей, а точка М – горизонтальным следом линии пересечения. Одновременно в этих точках находятся и соответствующие проекции этих следов N2 и M1. Так как точка N2 находится во фронтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция N1 будет находиться на оси Х. Аналогично и с точкой М (М1 и М2). Соединяя прямыми линиями одноименные проекции точек М1 с N1 и М2 с N2, получим проекции прямой MN – линии пересечения плоскостей Г и Р (см. рис. 4.19, б).

При построении линии пересечения двух плоскостей общего положения, заданных непрозрачными треугольниками АВС и DEF (рис. 4.20) воспользуемся способом построения точек пересечения прямой линии с плоскостью общего положения, т.е. в качестве прямых линий примем две стороны, DE и FE, треугольника DEF и определим точки пересечения их с плоскостью, заданной треугольником АВС.

Для нахождения точки пересечения стороны DE треугольника DEF с треугольником АВС проводим через DE фронтально-проецирующую плоскость Г (показан след Г2). Эта плоскость пересекает треугольник АВС по линии 12 (1222, 1121). На пересечении горизонтальной проекции стороны D1E и горизонтальной проекции линии пересечения 1121 находится горизонтальная проекция точки пересечения К1 стороны DE с треугольником АВС.

Фронтальная проекция К2 этой точки определена при помощи линии связи.

Точка пересечения стороны EF (E1F1, E2F2) треугольника DEF с плоскостью, заданной треугольником АВС, определяется аналогичным образом. Для этого через EF проводим фронтально-проецирующую плоскость Р (Р2).

Видимость участков треугольников определена таким же образом, как и в примере, приведенном на рис. 4.17.

Видимость треугольников относительно горизонтальной плоскости проекций П1 определена при помощи конкурирующих точек 5 (51, 52) и 6 (61, 62), находящихся на сторонах АВ (А1В1, А2В2) и DE (D1E1, D2E2) треугольников. Точка 5 (51, 52) принадлежит стороне АВ (А1В1, А2В2) треугольника АВС, а точка 6 (61, 62) принадлежит стороне DE (D1E1, D2E2) треугольника DEF. Горизонтальные проекции этих точек совпадают (5161), т.к. находятся в точке пересечения горизонтальных проекций сторон А1В1 и D1E1. Фронтальная проекция 52, принадлежащая А2В2, находится выше фронтальной проекции 62, принадлежащей D2E2. Следовательно, горизонтальная проекция А1В1 будет видимой на П1.

Относительно фронтальной плоскости проекций П2 видимость определена при помощи конкурирующих точек 4 (41, 42) и 7 (71, 72). Так как на П1 горизонтальная проекция 71 точки 7, принадлежащая стороне EF (E1F1, E2F2) расположена дальше от П2, т.е. ближе к нам, чем горизонтальная проекция 41 точки 4, принадлежащей стороне ВС (В1С1, В2С2), то видимой на П2 будет фронтальная проекция E2F2 стороны EF на участке Е2L2.

ЛЕКЦИЯ 5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

5.1. Взаимно параллельные плоскости.

5.2. Взаимно перпендикулярные плоскости.

5.3. Взаимно перпендикулярные прямые.

5.4. Метрические задачи на определение расстояний.

Две плоскости в пространстве могут занимать два различных положения: они могут быть параллельны между собой или пересекаться.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Рассмотрим параллельность плоскостей на примере.

Пусть требуется через точку К (К1, К2) построить плоскость а b (а1 b1 и а2 b2), параллельную плоскости, заданной треугольником DEF (D1E1F1 и D2E2F2) (рис. 5.1).

Через точку К проводим прямые а DE и b DF. Это значит, что горизонтальная проекция а1 должна быть параллельна D1Е1, а фронтальная проекция а2 должна быть параллельна D2E2. Что же касается прямой b, то горизонтальная проекция b1 D1F1, а b2 D2F2. Построенная плоскость (а b) параллельна плоскости DEF, так как пересекающиеся прямые а и b соответственно параллельны двум пересекающимся сторонам DE и DF треугольника DEF.

Если плоскости заданы следами, то признаком параллельности данных плоскостей является параллельность одноименных следов Р1 и Г1, Р2 и Г2 (рис. 5.2, а и б).

Рассмотрим пример построения параллельной плоскости, проходящей через заданную точку. Пусть требуется через точку К провести плоскость Р (Р1, Р2), заданную следами, параллельно плоскости Г (Г1, Г2), также заданной следами (рис. 5.3).

Для решения задачи через точку К проводим в первом случае горизонталь h (h1, h2) (см. рис. 5.3, а), т.е. h1 проводим параллельно следу плоскости Г1, а h2 – параллельно оси Х и находим фронтальный след этой горизонтали N (N1 и N2). Через N2 проводим фронтальный след плоскости Р2 параллельно Г2, а через точку схода следов Гх проводим Г1 параллельно Р1. Во втором случае (см. рис. 5.3, б), чтобы построить плоскость Р, параллельную плоскости Г, применена фронталь f (f1, f2). Ход решения виден из чертежа. Это относится ко всем видам плоскостей, за исключением профильно-проецирующих плоскостей. Чтобы определить, параллельны ли такие плоскости при параллельности одноименных следов, например, горизонтальных и фронтальных (рис. 5.4, а, б), необходимо построить профильные следы данных плоскостей. Если они параллельны, то и плоскости параллельны, а если пересекаются, то и плоскости пересекаются (см. рис. 5.4). В данном случае профильные проекции следов пересекаются: Р3 Г3, следовательно, плоскости также пересекаются. Проекциями линии пересечения KL служат отрезки К1L1, K2L2 и K3 L3.

Следует отметить, что плоскости также пересекаются, если хотя бы одна пара одноименных следов пересекается. На рис. 5.5, а показаны две горизонтально-проецирующие плоскости, Т (Т1 и Т2) и Ф (Ф1 и Ф2), у которых фронтальные следы Ф2 и Т2 параллельны, а горизонтальные пересекаются. Такие плоскости пересекаются по линии АВ. На рис. 5.5, б показана фронтальная проекция линии пересечения А2В2. Горизонтальная проекция этой линии проецируется в точку А1 В1, т.к. расположена перпендикулярно к плоскости проекций П1.

5.2. Взаимно перпендикулярные плоскости Две плоскости взаимно перпендикулярны:

- если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости (рис. 5.6);

- если одна из плоскостей проходит перпендикулярно прямой, расположенной в другой плоскости (рис. 5.7).

Иными словами, две плоскости взаимно перпендикулярны, если имеется возможность провести прямую, принадлежащую одной плоскости и одновременно перпендикулярную к другой плоскости.

В первом случае (см. рис. 5.6) плоскость Р перпендикулярна плоскости Г, так как проходит через отрезок АМ, перпендикулярный плоскости Г.

На рис. 5.7 плоскость Р перпендикулярна плоскости Г, так как проходит перпендикулярно отрезку АВ, принадлежащему плоскости Г.

Рассмотрим построение взаимно перпендикулярных плоскостей на чертеже. Пусть требуется провести плоскость через отрезок прямой DE (D1E1, D2E2), перпендикулярную плоскости, заданной треугольником АВС (А1В1С1, А2В2С2). Задача будет решена, если из точки D отрезка DE провести прямую перпендикулярно к треугольнику АВС (рис. 5.8). Для этого в треугольнике АВС проводим фронталь и горизонталь. Затем из точки D проводим перпендикуляр D1K1 к h1 (горизонтальная проекция горизонтали), а из точки D2 – перпендикуляр D2K2 к f2 (фронтальная проекция фронтали). Таким образом, плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми (KD DE), перпендикулярна треугольнику АВС, т.к. проходит через перпендикуляр к нему DK.

Рассмотрим второй случай. Пусть требуется из точки D провести плоскость перпендикулярно к стороне АС треугольника АВС (рис. 5.9).

Иными словами, чтобы сторона АС была перпендикулярна новой плоскости, проходящей через точку D, А1С1 должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали (h1), а А2С2 – перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f2 новой плоскости (h f). Поэтому из точки D1 проводим h1 перпендикулярно А1С1 (h2 пройдет параллельно оси Х), а из точки D2 проводим перпендикуляр к f2 (f1 пройдет параллельно оси Х). Данные плоскости взаимно перпендикулярны, т.к. плоскость (f h) проходит перпендикулярно стороне АС треугольника АВС.

На приведенных примерах (рис. 5.10 и рис. 5.11) изображены взаимно перпендикулярные плоскости, которые заданы треугольником АВС и следами плоскости.

Плоскость Г перпендикулярна плоскости треугольника АВС (см. рис. 5.10).

Она проходит перпендикулярно прямой m (Г1 m1 и Г2 m2), лежащей в плоскости треугольника АВС.

Плоскость Р также перпендикулярна плоскости треугольника АВС (см. рис. 5.11), так как она перпендикулярна горизонтали h (h1, h2), т.е. Р1 h1, а Р2 h2. Одновременно она еще перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, т.е. является горизонтально-проецирующей плоскостью.

Следует также отметить, что перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения Р и горизонтально-проецирующей Г (рис. 5.12) соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.

Это легко доказать, если попытаться провести прямую, принадлежащую плоскости Р, перпендикулярно плоскости Г. Такой прямой является горизонталь, которая проведена через точку N (N1, N2), взятую на следе плоскости Р2 (h1 Р1 и h2 Р2).

Перпендикулярность фронтальных следов плоскости общего положения и фронтально проецирующей также дает основание утверждать о перпендикулярности этих плоскостей. Доказательство аналогичное.

Однако если одноименные следы двух плоскостей общего положения перпендикулярны между собой, то такие плоскости не перпендикулярны (рис. 5.13), т.к. здесь не соблюдается условие перпендикулярности плоскостей. Невозможно провести прямую, принадлежащую одной плоскости, например, Т, и перпендикулярно ко второй плоскости Ф. Если взять в плоскости Т горизонтальную проекцию прямой и провести ее перпендикулярно горизонтальному следу Ф1, то это будет горизонтальная проекция горизонтали, а фронтальная проекция горизонтали должна быть проведена параллельно оси Х, т.е. не перпендикулярно Ф2.

5.3. Взаимно перпендикулярные прямые Как известно (см. раздел 4.2), легко построить прямой угол между прямой общего положения и прямой уровня (фронталью, горизонталью).

Чтобы построить две взаимно перпендикулярные прямые общего положения, необходимо предварительно выполнить дополнительные построения, т.к. прямой угол между такими прямыми проецируется на плоскости проекций с искажением.

Пусть требуется из точки А (рис. 5.14) провести перпендикуляр к прямой общего положения b (b1, b2).

Для решения задачи необходимо выполнить следующее:

- из точки А провести плоскость, заданную f h перпендикулярно - определить точку пересечения К прямой b с плоскостью (f h).

Для этого нужно заключить прямую b в проецирующую плоскость, например, горизонтально-проецирующую плоскость Г (след Г1), и найти линию их пересечения (12). На этой линии находится точка К (К1, К2) пересечения прямой b с плоскостью (f h). Соединив точки А и К, получим искомый отрезок АК (А1К1, А2К2), перпендикулярный прямой b, так как он находится в плоскости, перпендикулярной прямой b.

На рис. 5.15 приведено решение задачи на проведение через точку А (А1, А2) прямой линии, перпендикулярной прямой общего положения b (b1, b2). Здесь в качестве плоскости, перпендикулярной прямой b, проведена плоскость Г, заданная следами Г1 и Г2. Для ее построения применена фронталь f (f1, f2), проведенная через точку А и перпендикулярно прямой b (f2 b2). Определив горизонтальный след фронтали М'1, проводим через него горизонтальный след плоскости Г1 перпендикулярно b1. Фронтальный след Г2 проводим перпендикулярно b2. Определив линию пересечения MN (M1N1, M2N2) двух плоскостей Г и Р, находим точку К пересечения прямой b с плоскостью Г. Отрезок АК (А1К1, А2К2) является перпендикуляром к прямой b.

5.4. Метрические задачи на определение расстояний Рассмотрим решение задач на определение расстояний от точки до плоскости и до прямой линии общего положения. Пусть требуется определить расстояние от точки А до плоскости Г, расположенной перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций (рис. 5.16).

Из точки А проводим перпендикуляр к плоскости Г. Горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальному следу Г1, а фронтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна фронтальному следу Г2. Расстояние от точки А до плоскости Г определится проекциями А1В1 и А2В2. Сначала определим точку В1, которая находится на пересечении перпендикуляра и горизонтального следа Г1. Фронтальная проекция точки В2 находится по линии связи.

При определении расстояния от точки А до плоскости общего положения Г, заданной следами (рис. 5.17), необходимо:

- через точку А провести прямую перпендикулярно плоскости Г;

- провести через перпендикуляр горизонтально-проецирующую найти линию пересечения MN (M1N1, M2N2) плоскостей Г и Р;

определить точку пересечения К (К1, К2) перпендикуляра с плоскостью Г. Она находится на линии пересечения плоскостей MN.

Проекции отрезка АК (А1К1, А2К2) являются соответственно горизонтальной и фронтальной проекциями расстояния от точки А до - определить истинную величину перпендикуляра, например, при помощи прямоугольного треугольника.

Отрезок А1К0 есть расстояние от точки К до плоскости Г.

На рис. 5.18 показано определение расстояния от точки С до плоскости, заданной параллельными прямыми (а b).

Чтобы провести из точки С (С1, С2) перпендикуляр к плоскости (a b), необходимо в первую очередь в плоскости провести фронталь f (f1, f2) и горизонталь h (h1, h2). Фронтальная проекция перпендикуляра проведена из точки С2 перпендикулярно f2, а горизонтальная – из точки С1 перпендикулярно h1. Точка пересечения К (К1, К2) перпендикуляра с плоскостью (a b) найдена при помощи фронтально-проецирующей плоскости Г (фронтальный след Г2). Истинная величина расстояния К2С0 определена путем построения прямоугольного треугольника С2К2С0.

При определении расстояния от точки А до прямой общего положения b (см. раздел 5.3, рис. 5.14) из точки А проведена плоскость (f h), перпендикулярная прямой b. Затем найдена точка пересечения К (К1, К2) прямой b с заданной плоскостью. Соединив точки А и К, получим проекцию расстояния от точки А до прямой b (А1К1 и А2К2). Для определения истинной величины расстояния от точки А до прямой b необходимо построить на одной из проекций, А1К1 или А2К2, прямоугольный треугольник.

ЛЕКЦИЯ 6. МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

6.1. Метод замены плоскостей проекций.

6.2. Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.

При решении задач на определение истинной величины отрезка прямой линии, плоской фигуры или наклона их к плоскостям проекций, а также на определение расстояний между точкой и прямой или плоской фигурой было замечено, что если эти прямые или плоские фигуры «удобно» расположены относительно плоскостей проекций, т.е. занимают частное положение, то задачи имеют простые решения. Сравним решение двух задач. Пусть требуется определить истинную величину отрезков АВ и СD (рис. 6.1). В первом случае отрезок АВ занимает общее положение (см. рис. 6.1, а), во втором отрезок CD занимает частное положение (см. рис. 6.1, б).

Истинная величина отрезка АВ (А1В0) определена при помощи прямоугольного треугольника. Что же касается отрезка CD, то истинная величина его равняется С2D2, т.к. отрезок расположен параллельно плоскости проекций П2, т.е. решение задачи вытекает из самого чертежа.

Если заданные геометрические элементы расположены наклонно ко всем плоскостям проекций, то, применяя метод замены плоскостей проекций, т.е. дополняя основную систему плоскостей проекций П1/П2 одной или несколькими новыми плоскостями проекций, переходим к такому положению, когда геометрические элементы в новой системе плоскостей проекций, например, П1/П4, занимают частное положение.

Метод замены плоскостей проекций заключается в том, что одна из основных плоскостей проекций, П1 или П2, заменяется новой плоскостью проекций П4, перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Например, если заменяется плоскость проекций П2, то новая плоскость проекций П4 должна быть расположена перпендикулярно П1 и параллельно, например, проецируемому отрезку. При данном методе положение в пространстве отрезков прямых или плоских фигур не изменяется.

Рассмотрим построение проекции точки А в новой системе плоскостей проекций П1/П4. Для этого основную систему плоскостей проекций П1/П2, дополняем новый плоскостью проекций П4, расположенной перпендикулярно П1 в произвольном месте (рис. 6.2, а). Линия пересечения этих плоскостей образует новую ось проекций Х14.

Положение точки А4 в новой системе плоскостей проекций П1/П определяем так же, как и в системе П1/П2, т.е. из точки А проводим перпендикуляр до пересечения с плоскостью проекций П4. Затем плоскость П совмещаем с плоскостью проекций П1, как совмещали плоскость проекций П1 с П2 при нахождении проекций точек, расположенных в первой четверти.

Проекции А1 и А4 точки будут лежать на одном перпендикуляре к оси Х14.

Чтобы построить чертеж точки А4 в новой системе плоскостей проекций (см. рис. 6.2, б), проводим из точки А1 перпендикуляр к новой оси проекций, а затем на продолжении этого перпендикуляра от оси Х14 откладываем расстояние, равное А2Ах12, взятое с фронтальной плоскости проекций П2.

При необходимости замены плоскости проекций П1 новую плоскость проекций П4 располагаем перпендикулярно П2. Остальное решение аналогично предыдущему.

Определим натуральную величину отрезка АВ и угол наклона его к горизонтальной плоскости проекций методом замены плоскостей проекций (рис. 6.3).

Учитывая, что одновременно нужно определить величину отрезка АВ и угол наклона его к П1, необходимо, чтобы новая дополнительная плоскость проекций П4 была расположена параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости проекций П1. Таким образом, на горизонтальной плоскости проекций П1 проводим новую ось проекций Х14 параллельно А1В1 на произвольном расстоянии от А1В1. Отрезок АВ спроецируется на новую плоскость проекций П4 в натуральную величину. Построение проекции А4В4 показано на чертеже. Из точек А1 и В1 проведены перпендикуляры к оси проекции Х14 и от этой оси на продолжении перпендикуляров отложены величины расстояний, взятые с фронтальной плоскости проекций (показано засечками).

Угол, заключенный между найденной проекцией А4В4 и осью проекций Х14, равняется углу наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций.

Для того чтобы определить угол наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций, необходимо новую плоскость проекций расположить параллельно отрезку и перпендикулярно фронтальной плоскости проекций, т.е. новая ось на эпюре должна пройти параллелью А2В2. Дальнейшее решение аналогично предыдущему.

На рис. 6.4 приведен пример преобразования отрезка СD в проецирующее положение в новой системе плоскостей проекций П2/П4. Так как отрезок CD занимает частное положение, т.е. расположен параллельно плоскости проекций П2, то при расположении дополнительной плоскости проекций П4 (ось Х24) перпендикулярно плоскости проекций П2 и отрезку CD последний спроецируется в точку, т.е. С4 совпадет с D4 (С4D4). Это видно из чертежа, т.к. горизонтальные проекции точек С1 и D1 отстоят на одинаковом расстоянии от оси Х.

Чтобы преобразовать плоскость общего положения Ф, заданную следами (рис. 6.5), в проецирующее положение, необходимо дополнительную плоскость П4 расположить перпендикулярно данной плоскости и перпендикулярно одной из плоскостей проекций П1 или П2. Для сравнения на рис. 6.6 показаны горизонтально-проецирующая плоскость (см. рис. 6.6, а) и фронтально-проецирующая Р (см. рис. 6.6, б), у которых один из следов перпендикулярен оси Х, а это значит, что он перпендикулярен и одной из плоскостей проекций.

Для решения задачи необходимо плоскость П4 расположить перпендикулярно горизонтальному следу Ф1, который является линией пересечения плоскости Ф и плоскости проекций П1. Это значит, что ось Х14 должна быть проведена перпендикулярно следу Ф1. Следовательно, плоскость П одновременно займет положение, перпендикулярное П1, что является необходимым условием при замене плоскостей проекций. Чтобы построить след Ф4 в новой системе плоскостей проекций П1/П4, возьмем на следе Ф фронтальную проекцию точки 12 и найдем точку 14, принадлежащую фронтальному следу в новой системе плоскостей проекций. Проведя прямую линию через точку 14 и точку пересечения следа Ф1 с осью проекций Х14, получим фронтальный след Ф4 в новой системе плоскостей проекций.

Плоскость же, заданная следами Ф1 и Ф4, является фронтально-проецирующей в новой системе плоскостей проекций.

Задача решается аналогично при замене горизонтальной плоскости проекций.

Рассмотрим задачу, для решения которой замена одной плоскости проекций дополнительной плоскостью проекций является недостаточной.

Пусть требуется преобразовать систему плоскостей проекций так, чтобы отрезок АВ, занимающий в основной системе плоскостей проекций П1/П общее положение, в новой системе был бы перпендикулярен одной из плоскостей проекций, т.е. спроецировался бы в точку.

Новую плоскость проекций выбрать так, чтобы она была перпендикулярна отрезку АВ и одной из плоскостей проекций, невозможно, т.к. отрезок занимает общее положение. Поэтому необходимо вначале применить промежуточную плоскость проекций П4, которую нужно расположить параллельно отрезку АВ и перпендикулярно П1 (рис. 6.7).

Для этого проводим новую ось проекций параллельно отрезку АВ, т.е. Х14 А1В1, и строим новую фронтальную проекцию отрезка А4В4.

Вторую дополнительную плоскость проекций П5 в системе П4/П5 располагаем перпендикулярно промежуточной плоскости проекций П4 и отрезку АВ, т.е. ось проекций Х45 проводим перпендикулярно проекции отрезка А4В4. Точки А5 и В5 совпадают, т.к. отрезок А1В1 расположен на одинаковом расстоянии от оси Х14.

На рис. 6.8 приведен пример определения истинной величины треугольника АВС путем применения двух дополнительных плоскостей проекций.

Заменяем систему плоскостей проекций П1/П2 новой системой плоскостей проекций П1/П4, располагая плоскость проекций П4 перпендикулярно треугольнику АВС и плоскости проекций П1. Это значит, что новая ось проекций должна быть расположена перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1. Плоскость треугольника в данном случае спроецируется на П4 в прямую линию (С4А4В4).

Чтобы получить истинную величину треугольника АВС, нужно плоскость П5 расположить параллельно плоскости треугольника АВС и перпендикулярно П4. Это значит, что ось проекций Х45 должна быть расположена параллельно проекции треугольника С4А4В4. Полученная проекция А5В5С5 соответствует истинной величине треугольника АВС.

6.2. Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной Сущность метода вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, состоит в том, что, сохраняя основную систему плоскостей проекций П1/П2 неизменной, проецируемым отрезкам прямых, плоским фигурам придаем путем вращения вокруг некоторой оси частное положение по отношению к плоскостям проекций. В том случае, если отрезок прямой повернуть до положения, параллельного плоскости проекций, то на эту плоскость проекций он спроецируется в натуральную величину.

В качестве осей вращения применяют прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, располагающиеся вне этих плоскостей или принадлежащие им (рис. 6.9).

Рассмотрим пример на вращение точки А вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. Пусть требуется точку А повернуть на некоторый угол, вращая по ходу часовой стрелки (рис. 6.10).

Ось вращения i проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 точкой (i1), а на П2 – прямой линией (i2), перпендикулярной оси Х.

При вращении точки А вокруг оси i она будет перемещаться в плоскости Г по окружности с радиусом ОА и центром вращения О. Плоскость Г, построенная дополнительно, располагается перпендикулярно оси i и называется плоскостью перемещения точки. Следовательно, горизонтальная проекция радиуса вращения О1А1 равняется истинной величине радиуса вращения ОА, т.к. плоскости Г и П1 параллельны между собой. При вращении точки А по ходу часовой стрелки на угол она переместится в плоскости Г по дуге окружности радиуса ОА в точку А'. Горизонтальная проекция точки А также будет перемещаться по окружности радиуса О1А1 = ОА и займет положение А'1. Фронтальная проекция А2 будет перемещаться по прямой, параллельной оси Х (след Г2), и займет положение А'2.

На рис. 6.11, а показан пример вращения точки А на угол вокруг оси i, перпендикулярной П1, а на рис. 6.11, б – вращение точки В вокруг оси i, перпендикулярной П2.

В первом случае горизонтальная проекция А1 точки А перемещается по дуге радиусом О1А1 до положения А'1, а фронтальная А2 – по прямой линии, параллельной оси Х (А'2). Во втором случае, наоборот, фронтальная проекция точки (точка В2) перемещается по дуге радиусом О2В2 до положения В'2, а горизонтальная – по прямой, параллельной оси Х до В'1.

Рассмотрим примеры определения истинных величин геометрических образов методом вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.

Пусть требуется определить истинную величину отрезка АВ (рис. 6.12).

Целесообразно ось вращения проводить через одну из точек, принадлежащих отрезку, тогда получается более простое решение. В данной задаче ось i проходит через точку В перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций, следовательно, горизонтальная ее проекция совпадает с В1 (i1 В1). Перемещая горизонтальную проекцию точки А1 по дуге радиусом R=А1В1 с центром вращения в точке В1 i1, располагаем ее на таком расстоянии от оси Х, на котором расположена точка В1, т.е. горизонтальная проекция отрезка А1В1 займет положение, параллельное оси Х (В1А'1), поэтому фронтальная проекция В2А'2 будет равняться истинной величине отрезка АВ. Как видно из чертежа, фронтальная проекция А точки А перемещается параллельно оси Х до пересечения с линией связи, проходящей от точки А'1.

Определение истинной величины отрезка CD вращением вокруг оси, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций, показано на рис. 6.13, где C'1D'1 является истинной величиной отрезка CD.

Как видно из рис. 6.14 и рис. 6.15, при вращении отрезка прямой вокруг оси, перпендикулярной П1 или П2, ее проекция на эту плоскость проекций остается неизменной. Учитывая это положение, предоставляется возможность решать аналогичные задачи без применения осей вращения, так называемым плоскопараллельным перемещением, при котором все точки прямой, фигуры перемещаются в плоскостях, параллельных между собой.

На рис. 6.14 определена истинная величина отрезка АВ плоскопараллельным перемещением. Мысленно вращаем этот отрезок вокруг мнимой оси, перпендикулярной П1, до положения, параллельного П2, и располагаем горизонтальную проекцию А1В1 в произвольном месте параллельно оси Х, получаем отрезок А'1В'1. Фронтальные проекции точек А и В в данном случае перемещаются параллельно оси Х.

На рис. 6.15 дан пример нахождения истинной величины отрезка CD, когда ось вращения i проходит перпендикулярно плоскости проекций П1, но не через отрезок CD. Из точки i1 опускаем перпендикуляр i1K1 к горизонтальной проекции отрезка C1D1 и вращаем этот перпендикуляр с проекцией отрезка C1D1 до положения, пока i1K1 не расположится перпендикулярно оси Х, тогда отрезок C'1D'1 займет положение, параллельное оси Х, т.е. спроецируется на П2 в истинную величину C'2D'2.

При решении отдельных задач для достижения поставленной цели недостаточно применения одной оси вращения, тогда применяется несколько осей вращения. Так, при определении истинной величины треугольника АВС (рис. 6.16), занимающего общее положение относительно плоскостей проекций, необходимо его вначале повернуть до проецирующего положения, а затем – до плоскости уровня.

Ось вращения i проводим перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций, а в треугольнике АВС проводим горизонталь h. Вращаем эту горизонталь до проецирующего положения относительно плоскости проекций П2. Горизонталь спроецируется в точку, а весь треугольник – в отрезок А'2С2В'2.

Вторую ось вращения i' (i'1, i'2), проходящую через точку В (В'1, В'2), располагаем перпендикулярно плоскости проекций П2 и вращаем треугольник АВС (А'2С2В'2) до положения, параллельного плоскости проекций П1 (В'2С'2А''2 Х). В этом случае горизонтальная проекция А0В'1С треугольника спроецируется в натуральную величину, т.е. А0В'1С0 = АВС.

ЛЕКЦИЯ 7. МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

7.1. Вращение вокруг оси, параллельной плоскости проекций.

7.2. Вращение вокруг следа плоскости.

7.3. Решение метрических задач методами преобразования чертежа.

7.1. Вращение вокруг оси, параллельной плоскости проекций При определении формы и размеров плоских фигур применение метода вращения вокруг оси, расположенной параллельно одной из плоскостей проекций (горизонтали, фронтали), значительно упрощает решение задач по сравнению с другими методами.

Пусть требуется точку А повернуть вокруг некоторой оси h (рис. 7.1), расположенной параллельно плоскости проекций П1, до положения, пока она не окажется на одном уровне с осью h относительно П1, т.е. пока их расстояния до плоскости проекций П1 не окажутся одинаковыми.

При вращении точки А вокруг оси h она будет перемещаться по окружности в плоскости Р, где О – центр вращения (точка пересечения оси с плоскостью Р), ОА – радиус вращения. Плоскость Р перпендикулярна оси вращения h, следовательно, она перпендикулярна и горизонтальной проекции h1 оси вращения h, т.е. плоскость Р является горизонтально-проецирующей. Поэтому горизонтальная проекция точки А при вращении также будет перемещаться по горизонтальному следу Р1 плоскости Р. Чтобы была выполнена поставленная задача, необходимо вращать радиус ОА до тех пор, пока он не займет положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций П1 (ОА'). В этом случае точка А окажется на одинаковом уровне с осью h относительно плоскости проекций П1. Тогда горизонтальная проекция радиуса вращения О1А'1 будет соответствовать натуральной величине радиуса вращения ОА (О1А'1=ОА).

При определении нового положения точки А на чертеже (рис. 7.2) необходимо выполнить следующее: выбрать положение оси вращения h (h и h2), затем из горизонтальной проекции точки А1 провести перпендикуляр к горизонтальной проекции оси вращения h1, далее определить центр вращения О (О1, О2) и радиус вращения ОА (О1А1; О2А2). В заключение необходимо определить натуральную величину радиуса вращения О1А0 и отложить его величину от h1 на продолжении перпендикуляра О1А1, т.е. на горизонтальной проекции траектории перемещения точки А. Получим горизонтальную проекцию А'1 точки А, которая расположена на одном уровне с горизонталью, поэтому фронтальная проекция А'2 будет проецироваться на h2.

Рассмотрим пример построения натуральной величины треугольника АВС вращением вокруг горизонтали (рис. 7.3).

Сторона треугольника АС расположена параллельно горизонтальной плоскости проекций, поэтому проводим через нее горизонталь h (h1, h2), которая и будет являться осью вращения. Так как точки А и С треугольника находятся на оси вращения, то при вращении они своего положения не меняют. Точка В будет перемещаться в плоскости, перпендикулярной горизонтали, поэтому из горизонтальной проекции точки В1 проводим прямую, перпендикулярную h1. На пересечении этой прямой с h1 находится горизонтальная проекция центра вращения О1 точки О. Фронтальная проекция О2 определена по линии связи и расположена она на h2. Радиусом вращения является отрезок ОВ (О1В1 и О2В2). Определив натуральную величину радиуса вращения О1В0, откладываем его на продолжении отрезка В1О1, т.е. на горизонтальной проекции траектории перемещения точки В;

получим точку В'1. В таком положении радиус вращения ОВ будет расположен параллельно П1, поэтому О1В'1 будет равняться ОВ. Соединив точку В'1 с точками А1 и С1, получим горизонтальную проекцию треугольника А1В'1С1, которая соответствует натуральной величине треугольника АВС, т.к. он в данном случае оказался параллельным П1. Фронтальная проекция треугольника проецируется на фронтальную проекцию горизонтали h (А2В'2С2).

При необходимости поворота плоской фигуры параллельно фронтальной плоскости проекций нужно в качестве оси вращения выбрать фронталь, остальные построения аналогичны тем, что и при вращении вокруг горизонтали.

На рис. 7.4 показан поворот отрезка прямой АВ вокруг горизонтали h, пересекающей данный отрезок в точке К. Точки А и В при вращении перемещаются в горизонтально-проецирующих плоскостях Г и Р (следы Г1 и Р1), поэтому из горизонтальных проекций точек А1 и В1 проводим прямые, перпендикулярные горизонтальной проекции горизонтали. На пересечении этих прямых с h1 получим горизонтальные проекции О1 и О'1 центров вращения. Проекциями радиусов вращения являются отрезки О1А1 и О'1В1.

Так как точка К расположена на пересечении отрезка АВ и горизонтали h, то при вращении отрезка она остается на месте. Достаточно определить натуральную величину одного радиуса вращения О1А0 и отложить его величину на следе Г1 от О1. Получим точку А'1, которую соединяем прямой с проекцией точки К (К1), и продолжаем ее до пересечения со следом Р1, проходящим перпендикулярно от точки В1 к h1.

Полученная проекция отрезка А'1В'1 является натуральной величиной отрезка АВ. Фронтальная его проекция (А'2В'2) спроецируется на фронтальную проекцию горизонтали h2.

Вращение плоскости вокруг следа этой плоскости находит применение в тех случаях, когда необходимо, например, определить истинную величину отрезка прямой, плоской фигуры и др., расположенных в данной плоскости. Чтобы добиться этой цели, необходимо плоскость вращать вокруг ее следа до совмещения с одной из плоскостей проекций, П1 или П2.

Этот способ еще называется способом совмещения, так как здесь плоскость пространства совмещается (накладывается) с какой-либо плоскостью проекций.

Пусть требуется плоскость Г совместить с плоскостью проекций П1, вращая ее вокруг горизонтального следа Г1 (рис. 7.5, а).

Учитывая, что горизонтальный след Г1 плоскости Г является осью вращения, то при вращении он, а вместе с ним и точка схода следов Рх, своего положения не меняют, т.е. остаются на месте. Чтобы найти совмещенное положение фронтального следа Г2, достаточно найти хотя бы еще одну точку в совмещенном положении, принадлежащую следу Г2.

Второй точкой будет являться точка схода следов Гх плоскости Г, так как она принадлежит одновременно фронтальному и горизонтальному следам этой плоскости.

Для решения задачи возьмем на фронтальном следе Г2 в произвольном месте точку N (N2). При вращении она будет перемещаться по окружности в плоскости Р, перпендикулярной горизонтальному следу Г1 плоскости Г, т.е. оси вращения. Центром вращения является точка О, а радиусом вращения – ОN (ON2). Проведя дугу радиусом ON до пересечения с Р1, получим точку N (N'2) в совмещенном положении. Соединив точку N'2 c точкой схода следов Гх прямой линией, получим совмещенное положение фронтального следа Г'2, а, следовательно, и всей плоскости Г с плоскостью проекций П1. Следует отметить, что при вращении плоскости Г вокруг горизонтального следа отрезок ГхN не изменяет своей величины, поэтому совмещенное положение точки N с плоскостью П1 можно найти, если из точки схода следов Гх сделать засечку радиусом ГхN на следе Р1 (траектория перемещения точки N).

Такое решение приведено на рис. 7.5, б, где из точки схода следов Гх проведена дуга радиусом ГхN2 до пересечения с прямой, перпендикулярной Г1, проходящей от точки N1.

На рис. 7.6 приведено решение задачи на совмещение плоскости Г и точки А, принадлежащей этой плоскости, с плоскостью проекций П2.

Первоначально проводим в плоскости Г через точку А фронталь f (f1, f2).

Затем находим совмещенное положение плоскости Г с плоскостью П2 и совмещенное положение фронтали f1, на которой отмечаем совмещенную точку А'1.