На правах рукописи

Иванчиков Андрей Александрович

ЧИСЛЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ

РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ – СТОКСА

С ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ

01.01.07 – вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2008

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Е.В. Чижонков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.В. Фурсиков кандидат физико-математических наук, с.н.с. С.А. Горейнов

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета

Защита состоится 14 ноября 2008 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.045.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан 12 октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук Г.А. Бочаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Уже долгое время задачи управления решениями эволюционных уравнений в частных производных являются объектом исследования математиков. В их числе рассматриваются уравнения, допускающие неустойчивые решения. В теории неустойчивых задач информации о существовании и единственности решения недостаточно для их успешного численного решения. Поэтому задачей исследователей является, с одной стороны, указание алгоритма решения, с другой стороны анализ процесса возникновения возмущений и разработка методов их подавления.

Пусть известно стационарное решение w(x) эволюционного уравнения, которое, возможно, является неустойчивым. Сформулируем задачу стабилизации этого решения. Для начального условия из достаточно малой окрестности w(x) требуется найти краевые условия, выполняющие роль управления, такие, что решение v(t, ·) начально-краевой задачи устремится к стационарному решению w(x) с заданной скоростью: v(t, ·) w C · et при t > 0, определяемой показателем > 0. Объектом исследования в диссертации будет задача стабилизации неустойчивого решения системы уравнений Навье – Стокса, описывающей движение вязкой несжимаемой жидкости.

Среди теоретических исследований, посвященных стабилизации уравнений математической физики, наиболее привлекательной является дифференциальная теория А.В. Фурсикова, которая, в частности, позволяет строить стабилизирующие граничные условия. Мы будем пользоваться лишь той ее частью, которая касается уравнений Навье – Стокса. Следующие положения, базирующиеся на более общих результатах из теории банаховых пространств, являются в этой теории центральными:

1. Существует устойчивое инвариантное многообразие M такое, что эволюционное решение, принадлежащее M в начальный момент времени и стартовавшее из окрестности стационарного решения w, экспоненциально стремится к последнему. Само многообразие имеет представление в виде суммы линейной L и нелинейной частей.

2. Существует оператор продолжения, отображающий малую окрестность стационарного решения w в многообразие M.

Естественным является вопрос о принципиальной возможности стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье – Стокса при реальном компьютерном моделировании. Несмотря на все положительные предпосылки дифференциальной теории, ответ на этот вопрос оставался открытым. На момент начала исследований никакой конструктивной информации об устройстве инвариантного многообразия M известно не было, кроме, конечно, способа построения касательного пространства L. Это, в свою очередь, порождало разрыв между построенной дифференциальной теорией и практикой численного моделирования. Все теоретические оценки для реального процесса говорят о том, что сходимость к неустойчивому решению при численной стабилизации обеспечена, правда со скоростью несколько меньшей. Но это остается справедливым лишь в том случае, если в любой нужный момент времени мы умеем точно проектировать решение на устойчивое многообразие M. Такая возможность в реальной ситуации отсутствует, поэтому, в первую очередь, кажется естественным использование свойств линейного приближения многообразия множества L.

При проведении численной стабилизации неустойчивых решений самым наглядным фактором роста ошибок является непосредственное интегрирование эволюционных уравнений, поскольку M является отталкивающим множеством. Кроме того в этих задачах присутствует еще предельная точность решения вспомогательных задач, которая на несколько порядков хуже машинной. Одной из таких вспомогательных задач является спектральная задача. Другая такая задача это решение системы линейных алгебраических уравнений с некоторой плохо обусловленной матрицей проектирования. Поэтому уже при проведении операции проектирования накопленные ошибки могут далеко отодвинуть решение от целевого линейного многообразия L.

Из всего вышесказанного следует, что задача численной стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье – Стокса с помощью граничных условий является важной и трудной задачей современной вычислительной математики.

Цель работы. Основная задача диссертации заключается в создании вычислительной технологии для стабилизации с границы области неустойчивых решений уравнений Навье – Стокса с наперед заданной скоростью.

Под вычислительной технологией здесь понимается совокупность численных методов, структур данных и программных реализаций для решения последовательности разнородных вычислительных задач на вычислительных системах. С целью разделения сложной проблемы на этапы переход к основной задаче осуществляется последовательно от линейной к нелинейной, от устойчивой к неустойчивой, от симметричной к несимметричной. Конечной целью является стабилизация неустойчивого течения Куэтта, которое в отсутствие управления стремится к вихрям Тейлора. Выбор этих течений обусловлен тем, что такая картина неустойчивости наблюдается в природе и хорошо описывается математической моделью теорией уравнений Навье – Стокса.

Для решения основной проблемы требуется решить несколько вспомогательных. Первая состоит в вычислении собственных функций с максимально высокой точностью и построении базиса в в корневых подпространствах. Второй задачей является установление возникновения неустойчивости течения Куэтта в дискретном случае. Ее решение является основой для постановки целевой задачи стабилизации неустойчивого течения Куэтта.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Разработана вычислительная технология стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье – Стокса с помощью граничных условий. Алгоритм сформулирован и успешно применен в самом общем случае для стабилизации неустойчивых нетривиальных стационарных течений, приводящих к несимметричным спектральным задачам. Стабилизация уравнений динамики жидкости проведена впервые и аналогов не имеет.

2. Реализованы и успешно применены алгоритмы численного решения частичных спектральных задач для линеаризованных уравнений Навье – Стокса. Получены аналитические решения спектральных задач.

3. Описана динамика стабилизируемых течений с объяснением всех, возникающих в процессе стабилизации, численных эффектов.

Достоверность, теоретическая и практическая ценность работы.

Работа носит теоретический характер. Достоверность проведенного исследования основана на строгой математической теории стабилизации в дифференциальном случае и тщательном анализе и сравнении результатов численных экспериментов. Теоретическая ценность состоит в построении отправной точки для дальнейших исследований по разработке новых, более совершенных численных алгоритмов стабилизации уравнений математической физики. Практическая ценность работы заключается в обширном наборе формул, алгоритмов и графических представлений расчетов. Ее методы и результаты могут быть использованы учеными и инженерами различных научнотехнических институтов при решении прикладных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором:

на конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2002), на международной научной конференции “Актуальные проблемы математики и механики” (Казань, 2004), на ежегодных научных конференциях “Ломоносовские чтения” (Москва, 2004, 2005), на 6-ом Всероссийском семинаре “Сеточные методы и приложения” (Казань, 2005), на международной научной конференции “Математическая гидродинамика” (Москва, 2006), на научно-исследовательском семинаре “Вычислительная математика, математическая физика, управление” под руководством проф. Г.М. Кобелькова, проф. В.И. Лебедева, проф. А.В. Фурсикова (ИВМ РАН, Москва, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ: 3 в материалах конференций, 5 в рецензируемых журналах (из них [4], [7], [8] в журналах, рекомендованных ВАК для защиты кандидатских диссертаций).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии из 48 наименований. Она изложена на 100 страницах, содержит 96 рисунков и 25 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается краткое изложение дифференциальной теории А.В.

Фурсикова по стабилизации уравнений Навье – Стокса. Формулируется задача о неустойчивом течении Куэтта и связанная с ним задача стабилизации.

Глава 1 посвящена численному и аналитическому решению проблемы собственных значений для уравнений Стокса.

Численные расчеты проводятся на примере решения двух спектральных задач: 1) в единичном квадрате с нулевыми краевыми условиями; 2) в прямоугольнике с периодическими условиями по одному направлению. Во втором случае приводится аналитическое решение дифференциальной задачи.

В §1.1 дается строгое определение оператора, по отношению к которому формулируется спектральная задача. Для задачи Стокса в ограниченной двумерной области определим оператор A1 : u f. В качестве его области определения D(A1 ) возьмем совокупность всех решений задачи (1) для всевозможных правых частей f L2 (). Известно, что спектр оператора A1 дискретный, конечной кратности и стремится к +. Система собственных функций ортогональна и полна в L2 ().

В §1.2 приводится постановка спектральных задач и их дискретизация.

Остановимся на случае периодических краевых условий, поскольку именно эти результаты будут востребованы в алгоритме стабилизации. Периодическая спектральная задача в = [T /2, T /2] [a, a] имеет вид и дополняется условиями u(x1, x2 ) = u(x1 + T, x2 ), p(x1, x2 ) = p(x1 + T, x2 ), где a и T параметры определяющие размеры области, T = 2 период.

Под границей теперь понимается лишь та ее часть, на которой заданы краевые условия. Для дискретизации введем в равномерную прямоугольную сетку. Пусть каждая из дискретных компонент вектора скорости u определена в узлах сетки, а дискретное давление в центрах ячеек. Теперь сеточные аналоги дифференциальных операторов h, div h, h определяются стандартным симметричным образом.

В §1.3 дается описание алгоритмов, используемых для численного решения сеточного аналога задачи (2). Основным является метод Ланцоша, который предназначен для решения частичной проблемы собственных чисел и векторов для симметричных матриц. Применительно к нашим целям в качестве оператора A возьмем определенный выше A1 он сопоставляет правой части f решение краевой задачи для дискретных уравнений (1).

Найдем несколько максимальных собственных чисел оператора A1. Тогда обратные к ним величины будут искомыми минимальными собственными числами. Качество полученных приближений измеряется с помощью невязок rs = A1 ys 1 ys.

В §1.4 дается аналитическое решение дифференциальной периодической Теорема 1. Обозначим µ = m2. Решение задачи (2) распадается на четыре случая:

Первые два уравнения задают для каждого целого m > 0 бесконечную серию собственных чисел. Последние два дают еще пару бесконечных серий собственных чисел.

Теорема 1 также дает явный вид собственных функций.

В §1.5 проводится численное решение спектральной задачи (2) при различных значениях сеточных параметров и анализ вычислений. Параметр a полагался равным /2. В алгоритме Ланцоша размерность крыловского пространства бралась равной 50. При этом число искомых собственных чисел с учетом кратности составляло 10. Из расчетов можно сделать вывод, что приближения сходятся со вторым порядком к точным значениям, полученным по формулам (3).

В Главе 2 строится алгоритм стабилизации устойчивых и неустойчивых решений уравнений Стокса и Навье – Стокса в дискретном случае. Проводится полный вычислительный цикл стабилизации и анализ наблюдаемых явлений.

В §2.1 приводится точная постановка задачи. В ограниченной области R2 рассмотрим следующую систему уравнений От системы Навье – Стокса ее отличает член u с параметром 0. Варьируя значение, мы можем превратить тривиальное решение системы из устойчивого в неустойчивое, поскольку собственные значения линеаризованной стационарной задачи смещаются на величину и некоторые из них становится отрицательными. Стабилизации здесь подвергается тривиальное решение, а задачей является построение таких граничных условий u|, которые обеспечивают стремление нормы возмущения u0 решения к нулю с оценкой 1 условием на границе, будет решаться в двух областях: в рассмотренной ранее и ее симметричx1 ном расширении G = 1 2 (рис. 1). Ввиду периодичности функций u и p по первой координате, под границами областей и G понимаются Рис. 1. Область G В §2.2 формулируется алгоритм стабилизации решения линейной задачи (система (1) при Re = 0) с заданной скоростью в дифференциальной форме.

Дается его обоснование. Алгоритм состоит из 3-х шагов.

1. Продолжение – проектирование заданного начального условия из исходной области в расширенную область на линейное приближение L устойчивого инвариантного многообразия M.

2. Стабилизация в расширенной области G, т.е. интегрирование нестационарной системы уравнений в G с нулевыми краевыми условиями, где в качестве начального условия взята проекция, полученная на предыдущем шаге.

3. Стабилизация в исходной области, т.е. интегрирование системы уравнений с полученными граничными условиями следом на, определенного в G, решения.

В формулировку алгоритма входит циклическое повторение операции продолжения – проектирования (п.1) через равные промежутки времени при интегрировании в G. В таком виде он применяется в реальных расчетах. Формальное описание алгоритма в общем виде дается в §4.2.

В §2.3 проводится дискретизация задачи по пространству и времени. Основная часть этой работы уже была проделана в §1.2 в области. В области G сеточные области Gu и Gp строятся аналогично. При этом выполняется свойство вложения u Gu, p Gp. Разностные аналоги нелинейных членов N(u, u) uk uxk строятся симметричным образом. Для дискретизации эволюционной задачи (4) с краевыми условиями u|G = 0 используется проекционная схема Чорина – Темама. В численных экспериментах уравнения, составляющие разностную схему, на каждом шаге решались методом минимальных невязок (GMRES) и методом сопряженных градиентов.

В §2.4 описываются некоторые детали решения вспомогательной спектральной задачи в расширенной области G. Приводятся необходимые для анализа процесса стабилизации собственные числа соответствующих спектральных задач в G и в.

В §2.5 приводятся результаты численных экспериментов по стабилизации и их подробный анализ. Введем дискретный аналог показателя из (5) по формуле (tk ) = ln vk1 h ln vk h /. В основе анализа лежит поведение функции (t) в процессе стабилизации. Изучаются четыре типа задач:

1. Устойчивая задача Стокса (Re = 0, = 0);

2. Неустойчивая задача Стокса (Re = 0, = 2);

3. Устойчивая задача Навье – Стокса (Re = 1, = 0);

4. Неустойчивая задача Навье – Стокса (Re = 1, = 2).

Остановимся на результатах расчета последней задачи, которая представляет собой наиболее общий и сложный случай. При = 2 три младших собственных значения становятся отрицательными, при этом тривиальное решение из устойчивого превращается в неустойчивое. Чтобы противостоять неустойчивости, необходимо выбрать K > 3. Для достижения достаточно высокой скорости стабилизации зададимся K = 7. Это приводит к ожидаемому показателю стабилизации = K+1 (G) 2.38. На рис. 2 изображены результаты стабилизации в области G, на рис. 3 в области.

В зададим сеточную область 32 32, в G 32 64, шаг по времени = 0.01, частоту реортогонализации каждые 10 шагов.

График в G имеет осцилляции в начале. Если увеличить K или Re то осцилляции резко возрастут по своей амплитуде и длине временного интервала.

Это эффект нелинейности задачи: проектирование ведется лишь на касательное пространство к многообразию M. Затем график приобретает идеальный характер, демонстрируя выход показателя стабилизации на предсказанную асимптотику 2.38, что полностью соответствует дифференциальной теории экспоненциального затухания возмущения. Затухание осцилляций с течением времени связано с тем, что решение переходит в окрестность нуля, где M и L достаточно близки.

График в имеет две характерных особенности. Первая это несколько больших немонотонных скачков на первых шагах интегрирования. Она является следствием полученных граничных условий. Вторая особенность это неконтролируемое падение к значению 1 () 1. Объяснение состоит в том, что реортогонализация проводится в области G, где этого эффекта нет. В области же имеются свои неустойчивые собственные функции, коэффициенты при которых монотонно растут, а у нас отсутствует инструмент их подавления. Существенным является то, что описываемое изменение (t) происходит, когда падение нормы возмущения достигает 3·1011 на промежутке интегрирования, т.е., по сути, когда цель стабилизации достигнута.

Итоговыми являются эксперименты по стабилизации с большими значениями Re. Они показывает, что из-за осцилляций в G стабилизация невозможна уже при Re = 8. Это ограничение является следствие используемого линейного приближения M в численном алгоритме стабилизации.

Глава 3 посвящена численному и аналитическому решению спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта. Она формулируется для оператора, получающегося линеаризацией уравнений Навье – Стокса в окрестности течения Куэтта. Рассматриваются численные методы решения спектральной задачи, в основе которых лежит метод Арнольди; иллюстрируется сходимость спектра дискретной задачи к спектру дифференциальной при измельчении сетки, поведение спектра при изменении числа Рейнольдса; возникновение неустойчивости при решении нестационарных уравнений Навье – Стокса с увеличением числа Рейнольдса и ее связь со спектром.

В §3.1 дается постановка краевой и спектральной задач для уравнений Навье – Стокса. Исходная система, для которой при подходящих числе Рейнольдса Re и периоде T решение не единственно, имеет вид:

и давление p(r, z) определены в плоской области = [0, T ] [r0, r1 ]. Здесь и далее все функции периодичны: v(r, z) = v(r, z + T ), p(r, z) = p(r, z + T ).

Оператор в (6) представим как сумму линейного L и нелинейного N, перейдем к уравнениям для возмущения u = v w, где w какое-либо стационарное решение, отбросим нелинейные члены по u; тогда в компактном виде задачу можно записать так:

Полученные уравнения представляют собой линеаризацию нелинейной задачи (6) в окрестности своего решения w. Таким решением является течение Куэтта. При достаточно больших Re задача (6) имеет решение, отличное от течения Куэтта вихри Тейлора. Спектральная задача, связанная с устойчивостью течения Куэтта, имеет вид:

В §3.2 проводится дискретизация задачи. Для дискретизации введем в равномерную прямоугольную сетку. Пусть каждая из дискретных компонент вектора скорости u определена в узлах сетки, а дискретное давление в центрах ячеек. Теперь сеточные аналоги дифференциальных операторов h, div h, h, Nh определяются стандартным симметричным образом.

В §3.3 дается описание алгоритмов, используемых для численного решения сеточного аналога задачи (8). Основным является метод Арнольди, который предназначен для решения частичной проблемы собственных чисел и векторов для несимметричных матриц. Применительно к нашим задачам в качестве оператора A возьмем оператор A1, сопоставляющий правой части f задачи (7) ее решение u. Найдем несколько максимальных собственных чисел оператора A1. Тогда обратные к ним величины будут искомыми минимальными собственными числами. Качество полученных приближений измеряется с помощью невязок s = L1 ys 1 ys.

В §3.4 дается аналитическое решение спектральной задачи.

Теорема 2. Обозначим µ = m2. В некоторых случаях задача (8) имеет аналитическое решение:

Здесь Jm (r), Ym (r) функции Бесселя и Im (r), Km (r) модифицированные функции Бесселя. Второе уравнение, как и четвертое задает для каждого целого m > 0 бесконечную серию собственных чисел. Первая и третья формулы дают еще пару бесконечных серий собственных чисел (достаточно громоздкие выражения для, мы здесь не приводим).

Теорема 2 также дает явный вид собственных функций.

В §3.5 дается численное решение спектральной задачи (8) и его анализ.

Положим r0 = /2, r1 = 3/2. T = 2. Зафиксируем сетку 32 32 в u.

С ростом Re задача становится все более несимметричной и результаты расчетов показывают, что в спектре появляются комплексные собственные значения. Появление значений с отрицательной действительной частью и увеличение их количества с ростом числа Рейнольдса также является ожидаемым результатом и соответствует росту неустойчивости течения Куэтта.

В §3.6 анализируется численное решение эволюционных уравнений Навье – Стокса при разных числах Рейнольдса (для их решения использовалась схема Чорина – Темама, описанная в §4.3). В качестве начального условия берется возмущенное течение Куэтта, временной интервал [0, 100], шаг по времени 0.01, сеточная область u та же, что и в спектральной задаче.

Расчеты показывают, что полученные результаты вполне соответствуют ожидаемым с ростом Re неустойчивость течения Куэтта появляется примерно с появлением собственных чисел с отрицательной вещественной частью, а при дальнейшем росте Re неустойчивость увеличивается.

32, t = 100.0. Изображенное на рис. 4 течение имеет вид классических вихрей Тейлора.

Рис. 4 Вихри Тейлора В Главе 4 строится алгоритм стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье – Стокса в самом общем несимметричном случае с применением обратной связи. Проводится полный вычислительный цикл по стабилизации неустойчивого течения Куэтта и анализ наблюдаемых явлений.

В §4.1 дается постановка задачи стабилизации. Эволюционные уравнения, соответствующие стационарной задаче (6) после переноса решения в окрестность течения Куэтта w в обозначениях §3.1 примут вид:

В этих уравнениях при больших Re неустойчивым является нулевое решение, а устойчивым вихри Тейлора за вычетом течения Куэтта. Поэтому стабилизации здесь подвергается нулевое решение, а задачей является построение таких граничных условий u|r=r1 на части границы области, которые обеспечивают стремление возмущения u к нулю с оценкой (5). Причем начальное возмущение u0 бездивергентно и тождественно равно нулю на.

В §4.2 формулируется алгоритм стабилизации в дифференциальной форме. Дается его обоснование.

Нам потребуется ввести расширенную область G = (рис. 5), а также несколько видоизмененное скалярное произведение в L2 (), что вызвано переходом к цилиндрическим координатам:

В расширенной области G помимо спектральной задачи вида (8) нам понадобится решать спектральную задачу формально сопряженную к ней в скалярном произведении (, )L2 (G).

(п.4 – п.5), затем непосредственно выполняется стабилизация (п.6) с построенными краевыr ми условиями. Перейдем к его изложению. Задавшись числом > 0, определяющим скорость стабилизации, найдем K из неравенства 1a. Определение M собственных и присоединенных функций i,j, i = 1,...K, j = 1,..., µ(i ), M = K µ(i ) в G:

где w течение Куэтта в, продолженное нулем в.

1b. Определение M сопряженных собственных и присоединенных функций i,j в G:

2. Доопределение u0 с на G, т.е. нахождение функции u в области :

3. Определение вспомогательных M функций wi,j в области как решений задач Стокса с ограничениями функций i,j на в качестве правых частей:

4. Построение функции u Коэффициенты ci,j определяются из условия ортогональности к функциям сопряженной задачи: u0, i,j L (G) = 0, которое сводится к системе линейных алгебраических уравнений A c = b с симметричной и положительно определенной матрицей A.

5. Интегрирование (стабилизация) уравнений с построенным начальным условием u0 в области G:

Интегрирование происходит с возвратом к п.4 через равные промежутки времени, где процедура проектирования применяется к текущему решению u(t).

6. Интегрирование (стабилизация) уравнений с построенным граничным условием u| (следом полученного в G решения u на r = r1 ) в области :

В §4.3 проводится дискретизация задачи по пространству и времени. Фактически она уже построена в §3.2 в области. В G сеточные области строятся так, чтобы выполнялось свойство вложения u Gu, p Gp. Для дискретизации эволюционной задачи (10) применяется проекционная схема типа Чорина – Темама. В численных экспериментах составляющие ее уравнения решались методом минимальных невязок (GMRES).

В §4.4 описываются некоторые аспекты решения прямой и сопряженной спектральных задач в расширенной области G. Приводятся необходимые для анализа собственные числа прямой спектральной задачи в ; прямой и сопряженной спектральных задач в расширенной области G. Далее для экспериментов фиксируются области, сетки и число Рейнольдса:

В §4.5 приводятся результаты численных экспериментов по стабилизации течения Куэтта. В основе анализа, как и прежде, лежит поведение функции (t), которая моделирует поведение показателя скорости сходимости в формуле (5) в процессе стабилизации. Для всех экспериментов зафиксируем ряд параметров: норму начального возмущения u0 = 102, интервал интегрирования [0, 10], шаг по времени = 0.01, частоту проектирования t = 0.1.

В качестве размерности проектирующего собственного подпространства M брались величины M = 5, M = 10, M = 16. Рассмотри случай M = 10.

В расширенной области (рис. 6) мы наблюдаем сходимость (t) к 1. M +1 (G), то есть стабилизация происходит с наперед заданной скоростью.

Отсутствие точного совпадения с собственными значениями объясняется нелинейностью решаемой задачи. Наличие же незатухающих со временем всплесков (которые происходят в момент операции проектирования) можно объяснить отсутствием сопряженности спектральных задач в дискретном случае и, как следствие этого неточное выполнение операции проектирования. На всем промежутке интегрирования норма решения падает в 7.11 · 106 раз.

В исходной области (рис. 7) мы интегрируем уравнения Навье – Стокса с построенными стабилизирующими краевыми условиями на внешней стенке цилиндра. Сначала происходит всплеск (t) в область отрицательных значений (который на графике не показан), затем идет полезный промежуток, на котором (t) положительна и норма решения падает, после чего ее поведение ничем не отличается от случая, когда уравнения интегрируются без стабилизации (t) падает к 1.17 1 (). Как видно, подавлять возмущение в течении достаточно длительного времени за счет одних лишь краевых условий не удается. Тем не менее, его норма успевает значительно уменьшиться.

Задавшись целью провести стабилизацию в за счет краевых условий, несколько модифицируем алгоритм стабилизации. Проинтегрировав уравнения в до момента времени, когда норма решения упала достаточно сильно, возьмем полученное решение u(t) на верхнем временном слое в качестве начального возмущения u0 и повторим весь алгоритм стабилизации с начала.

Такая система удовлетворяет определению системы с обратной связью, а сам подход позволяет достичь желаемого результата на всем промежутке интегрирования норма решения падает в 1.96 · 102 раз. В этом случае речь уже не идет о стабилизации с наперед заданной скоростью, а о максимально возможной скорости при используемом подходе. Тем не менее, падение нормы значительно увеличивается с ростом M, а на достаточно большом временном промежутке можно подавить норму возмущения до машинного нуля.

В Заключении обсуждаются полученные результаты. Приводятся пути их возможного улучшения.

Основные результаты.

1. Разработан алгоритм стабилизации (вычислительная технология), работающий в условиях реального компьютерного моделирования. С его помощью проведена стабилизация неустойчивых решений разностных уравнений Навье – Стокса в двумерной прямоугольной области в двух случаях:

a) в декартовых координатах с тривиальным неустойчивым решением, которое стремится к бесконечности в отсутствии стабилизации;

b) в цилиндрических координатах с неустойчивым течением Куэтта, которое перестраивается в вихри Тейлора в отсутствии стабилизации.

2. Реализованы алгоритмы численного решения частичных спектральных задач для линеаризованных уравнений Навье – Стокса. С их помощью построены базисы в собственных подпространствах. Показана сходимость спектра по сетке. В важнейших случаях получено аналитическое решение.

3. Показано возникновение неустойчивости течения Куэтта при численном интегрировании эволюционных разностных уравнений Навье – Стокса при числе Рейнольдса, превышающем некоторое критическое значение. Тем самым установлено соответствие с дифференциальной теорией.

4. Подробно исследовано поведение стабилизирующего процесса во всех случаях. Даны объяснения возникающих численных эффектов.

[1] Иванчиков А.А. Численное решение некоторых спектральных задач для уравнений Стокса // Вычисл. методы и программ. 2003. Т.4, N.2, С.58-74.

[2] Иванчиков А.А., Чижонков Е.В. Стабилизация решений уравнений Стокса и Навье – Стокса за счет граничных условий // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. 2004. Т.25, С.128-129.

[3] Иванчиков А.А. Исследование спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта между вращающимися цилиндрами // Материалы шестого Всероссийского семинара “Сеточные методы для краевых задач и приложения”. 2004. С.102-106.

[4] Chizhonkov E.V., Ivanchikov A.A. On numerical stabilization of solutions of Stokes and Navier – Stokes equations by the boundary conditions // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2004. V.19, N.6, P.477-494.

[5] Иванчиков А.А. Исследование спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта между вращающимися цилиндрами // Вычисл. методы и программ. 2005. Т.6, N.2, С.55-70.

[6] Иванчиков А.А. О численной стабилизации неустойчивого течения Куэтта по граничным условиям // International Conference “Mathematical Hydrodynamics” Abstracts. 2006. С.92-93.

[7] Ivanchikov A.A. On numerical stabilization of unstable Couette ow by the boundary conditions // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2006. V.21, N.6, P.519-537.

[8] Иванчиков А.А. О численной стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье – Стокса с границы области // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2007. N.6, С.26-30.

Подписано в печать 09.10.2008 г.

Печать трафаретная Типография 11-й ФОРМАТ 115230, Москва, Варшавское ш., www.autoreferat.ru