На правах рукописи

КОСТРИГИНА Ольга Сергеевна

НЕЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

УРАВНЕНИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПО ДАРБУ

01.01.02 – Дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Уфа – 2011

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО ” Уфимский государственный авиационный технический университет”

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Жибер Анатолий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Газизов Рафаил Кавыевич;

кандидат физико-математических наук, доцент Картак Вера Валерьевна

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт механики Уфимского научного центра РАН

Защита состоится 23 декабря 2011 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Учреждении Российской академии наук Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математических наук С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию проблемы интегрируемости нелинейных гиперболических систем уравнений вида ui = F i (x, y, u, ux, uy ), i = 1, 2,..., n, u = (u1, u2,..., un ). (1) xy Последние описывают широкий класс нелинейных явлений в самых различных областях теоретической и математической физики.

Изучаемые системы (1) обладают нетривиальной группой внутренних симметрий, генерируемой алгеброй Ли - Беклунда, что позволяет для их классификации использовать “симметрийный” подход. Симметрийный метод классификации эффективен в случае эволюционных уравнений, однако при симметрийной классификации гиперболических уравнений возникают серьезные технические трудности даже в простейшей ситуации.

В данной работе для решения классификационной задачи используется метод, основанный на изучении структуры характеристических алгебр (колец) системы. Идеи этого алгебраического подхода были предложены в конце XIX века в классических работах Дарбу, Гурса, Вессио1 и других авторов, однако окончательное его формирование произошло сравнительно недавно.

Важный вклад в развитие этого метода внесла работа Шабата А.Б., Ямилова Р.И. 2, в которой исследовалась система гиперболических уравнений вида 1 n ui = ai1 eu +... + ain eu, i = 1, 2,..., n, (2) xy В этой работе было введено понятие характеристической алгебры Ли векторных полей и было показано, что характеристическая алгебра системы уравнений (2) конечномерна тогда и только тогда, когда коэффициенты aij определяют матрицу Картана простой алгебры Ли. Далее, в статье Лезнова А.Н., Смирнова В.Г., Шабата А.Б.3 для систем гиперболических уравнений более общего вида ui = F i (u), i = 1, 2,..., n xy Darboux G. Lecons sur la thorie e gnrale V. 1 - 4.

Goursat E. Lecons sur l’integration des quations aux drives partielles du second order deux variables indpendantes. – Paris: Herman. – 1896, 1898. – Tome I, II.

Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F (x, y, p, q, r, s, t) = 0, inteqrables par la methode de Darboux // J. Math. Pure Appl. – 1939 – V. 18. – № 9. – P. 1 - 61.

Шабат А. Б., Ямилов Р. И. Экспоненциальные системы типа 1 и матрицы Картана// Препринт БФ АН СССР, Уфа. – 1981. - 23 с.

Лезнов А. Н., Смирнов В. Г., Шабат А. Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. – 1982. – Т. 51.

– № 1. – С. 10 - 21.

была выдвинута гипотеза о том, что условием интегрируемости в квадратурах является конечномерность ее характеристической алгебры.

В последнее время понятие характеристической алгебры (кольца) было обобщено на дифференциально-разностные и полностью дискретные уравнения и на этой основе проведена классификация некоторых классов интегрируемых цепочек4.

Целью работы является развитие и применение метода, основанного на изучении структуры характеристических алгебр (колец), для классификации интегрируемых нелинейных гиперболических систем уравнений.

Доказательство критерия интегрируемости по Дарбу, выделение класса интегрируемых систем, построение x, yинтегралов и точных решений.

Методы исследования. В работе применяются классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений, а также теории алгебр Ли.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказан критерий независимости x(y)интегралов нелинейной гиперболической системы уравнений. Приведены необходимые и достаточные условия интегрируемости по Дарбу, установлена связь между порядками интегралов системы и размерностью характеристических колец Ли.

2. Для решения задачи классификации двухкомпонентных гиперболических систем уравнений с экспоненциальной правой частью предложен подход, основанный на изучении структуры характеристических алгебр Ли линеаризованной системы.

3. Для nкомпонетной системы уравнений приведены необходимые и достаточные условия существования полного набора интегралов первого порядка. Получен полный список интегрируемых двухкомпонентных систем уравнений, построены их x и yинтегралы.

4. Проведена полная классификация систем уравнений с тремя интегралами первого порядка и одним второго. Приведены явные формулы для x и yинтегралов этих систем.

5. Получен класс нелинейных гиперболических систем уравнений, обладающих двумя интегралами первого порядка и двумя второго. Для найденных систем уравнений построены x и y интегралы, общие решения, а также решения задач Гурса.

Habibullin I., Zheltukhina N. and Pekcan A. Complete list of Darboux integrable chains of the form t1x = tx + d(t, t1 ) // J. Math. Phys. 50 (2009) 102710.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в исследовании нелинейных гиперболических систем уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2006 г.);

2. 38, 40-е региональные молодежные конференции “Проблемы теоретической и прикладной математики” (Екатеринбург, 2007, 2009 гг.);

3. Уфимская международная математическая конференция, посвященная памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007 г.);

4. Российская конференция “Математика в современном мире”, посвященная 50-летию Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, 2007 г.);

5. Международная конференция MOGRAN-13 “Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений” (Уфа, 2009 г.);

6. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых “Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании” (Уфа, 2009, 2010 гг.);

7. Международная научная конференция “Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования” (Владикавказ, 2010 г.);

8. VII Международная конференция “Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике”, посвященная 110-летию академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2010 г.);

9. Всероссийская школа-конференция молодых исследователей и V Всероссийская конференция, посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова “Актуальные проблемы прикладной математики и механики” (Абрау-Дюрсо, 2010 г.);

10. Всероссийская конференция “Нелинейные волны: теория и новые приложения”, посвященная памяти чл.-корр. РАН В.М. Тешукова и приуроченная к 65-летию со дня его рождения (Новосибирск, 2011 г.);

11. Международная конференция “Спектральная теория операторов и ее приложения”, посвященная памяти выдающегося ученого-математика, д.ф.-м.н., профессора Анатолия Гордеевича Костюченко (Уфа, 2011 г.);

12. VI Уфимская международная конференция “Комплексный анализ и дифференциальные уравнения” (Уфа, 2011 г.);

13. научный семинар кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета под руководством профессора В.А. Байкова (Уфа, 2011 г.);

14. научный семинар кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров А.В. Жибера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2010, 2011 гг.);

15. научный семинар по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессоров Л.А. Калякина и В.Ю. Новокшенова (Уфа, 2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 работы, из них статьи [1]-[5] в журналах из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 56 наименований. Объем диссертации составляет 146 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен обзор литературы по теме диссертации, описаны постановка задачи, методы исследования и приведено краткое содержание работы.

Для удобства дальнейшего изложения введем набор переменных Легко видеть, что всякая смешанная производная от u может быть выражена через функции (3), которые нельзя связать между собой, пользуясь уравнениями (1) и их дифференциальными следствиями. Поэтому во всех определениях и выкладках они считаются независимыми переменными.

Обозначим через D(D) оператор полного дифференцирования по переменной y (x) в пространстве локально аналитических функций, каждая из которых зависит от конечного числа переменных (3).

Определение 0.2. Функция = (x, y, u, u1,..., um ) называется x = 0. Аналогично, = (x, y, u, u1,..., up ) – yинтеграл pго Определение 0.3. X-интегралы 1, 2,..., k порядков s1, s2,..., sk соответственно, называются независимыми, если Dj i, i = 1, 2,..., k, j = 0, 1,..., s si, s = maxj (sj ) функционально независимы.

В статье Гурьевой А. М., Жибера А. В.5 показано, что максимальное число независимых xинтегралов равно порядку n исходной системы.

Определение 0.4. Система уравнений (1) называется интегрируемой по Дарбу, если у нее существует полный набор независимых x и y интегралов.

В первом параграфе приводится критерий независимости интегралов системы уравнений (1). Доказано, что интегралы независимы тогда и только тогда, когда они независимы в главном.

Для того, чтобы сформулировать основной результат второго параграфа, определим x и yхарактеристические кольца системы уравнений (1).

Обозначим через пространство локально аналитических функций, каждая из которых зависит от конечного числа переменных x, y, u1, u, u1, u2,......, uk,.... Оператор D на функциях из действует по правилу где Xхарактеристическое кольцо Ли уравнений (1) есть кольцо A, порожденное векторными полями X1, X2,..., Xn+1. Аналогично определяется y характеристическое кольцо Ли A.

Классификация нелинейных гиперболических систем уравнений, интегрируемых по Дарбу, основана на следующем критерии.

Теорема 2.1. Система уравнений (1) интегрируема по Дарбу, если и только если, характеристические кольца Ли A и A конечномерны.

Кроме того, зная порядки интегралов системы уравнений (1), можно определить размерность ее характеристических колец.

Теорема 2.2. Пусть система уравнений (1) имеет полный набор независимых xинтегралов i (x, y, u, u1,..., usi ), i = 1, 2,..., n, тогда размерность ее xхарактеристического кольца Ли A определяется следующим образом:

Гурьева А. М., Жибер А. В. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ. – 2005. – Т. 6. – № 2 (13). – С. 26 - 33.

a) если существуют p, q, r такие, что Fy · Fur = 0, то b) если Fy = 0, i = 1, 2,..., n и существуют p, q : Fuq = 0, то c) если Fu1 = 0, i = 1, 2,..., n и существует p : Fy = 0, то d) если Fy = Fu1 = 0 для любого i = 1, 2,..., n, то Кроме этого, в случаях b и d предполагается, что xинтегралы не зависят от переменной y.

В параграфе 3 главы 1 для системы уравнений вида приведено необходимое условие интегрируемости по Дарбу. А именно, доказано следующее утверждение.

Теорема 3.1. Пусть xхарактеристическое кольцо Ли A системы уравнений (4) имеет размерность m <. Тогда правые части системы (4) удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Заметим, что из теоремы 3.1. следует, что если xхарактеристическое кольцо системы уравнений (4) конечномерно, то правые части F 1, F 2,..., F n являются квазиполиномами переменных u1, u2,..., un.

Для доказательства теоремы 3.1., как и большинства последующих, используется следующее утверждение.

Лемма 3.1. Пусть uрешение системы уравнений (1) и векторные поля Z и Z имеют вид Тогда соотношения выполняются тогда и только тогда, когда Z = 0 и Z = 0 соответственно.

Вторая глава посвящена задаче классификации интегрируемых систем уравнений вида В параграфе 4 показано, что двухкомпонентная система уравнений с интегралом первого порядка приводится к вырожденной А для систем уравнений (5) с интегралами второго порядка справедливы следующие утверждения.

Лемма 4.1. Если система уравнений (5) имеет интегралы второго порядка (u, v, u1, v1, u2, v2 ), W (u, v, u1, v1, u2, v2 ), то их можно привести к виду:

где c11, c12, c22, d11, d12, d22 – произвольные постоянные.

Теорема 4.1. Система уравнений (5) с интегралами (6) сводится к одному из следующих видов:

либо Из теоремы 2.1. следует, что если система уравнений интегрируема по Дарбу, то характеристические кольца линеаризованной системы конечномерны.

В параграфе 5 рассматриваются экспоненциальные системы уравнений (7). При этом для решения задачи классификации используется подход, основанный на исследовании структуры характеристической алгебры линеаризации системы уравнений:

Получены все уравнения для которых размерность характеристической алгебры линеаризации не превышает 9. Показано, что правые части этих систем задаются матрицами Картана простой алгебры Ли.

В параграфе 6 исследуются системы уравнений с полным набором x и yинтегралов первого порядка Показано, что правая часть системы уравнений (8), (9) имеет следующий вид Согласно теореме 2.2., размерность x и yхарактеристических колец Ли системы уравнений (8), (9) равны 2n. Это условие позволяет получить следующее утверждение.

Теорема 6.1. Система уравнений (8), (10) обладает максимальным числом x и yинтегралов первого порядка, если и только если, выполнены соотношения Соотношения (11) позволяют полностью описать двухкомпонентные системы уравнений (8)-(10).

Теорема 6.2. Любая система уравнений обладающая полным набором x и yинтегралов первого порядка, с точностью до точечных преобразований сводится к следующей Интегралы системы (12) вычисляются по формулам где В седьмом параграфе проведена классификация двухкомпонентных систем уравнений обладающих тремя интегралами первого порядка и одним второго Доказано, что система уравнений (13) обладает интегралами вида (14) тогда и только тогда, когда где функция r является решением следующего уравнения При этом а yинтегралы 1 и 2 определяются из уравнений в частных производных первого порядка В третьей главе рассматриваются нелинейные гиперболические системы уравнений (13) с интегралами вида Показано, что система уравнений (13) с интегралами (15), удовлетворяющих условию сводится к одному из следующих видов либо Условия (16) означают, что интегралы 1 и 1 точечной заменой u1 = (p, q), u = (p, q) не приводятся к виду = W (p, q, p1 ), 1 = W (p, q, p1 ).

Отметим, что при преобразовании ui pi (u1, u2 ), i = 1, 2 система уравнений (17) не меняет вид, при этом функции pi можно выбрать так, что 1 = 1 = 0. Кроме этого будем предполагать, что 2 = 2 = 0.

Таким образом, мы рассматриваем систему уравнений:

с полным набором интегралов (15).

Из теоремы 2.2. следует, что размерность характеристических колец A и A для системы уравнений (18) с интегралами (15) равна 5. Изучение структуры характеристических колец позволяет получить условия на правые части системы. А именно справедливо утверждение.

Теорема 9.1. Система уравнений (18) обладает набором xинтегралов (15) тогда и только тогда, когда справедливы соотношения где Рассматривая yхарактеристическое кольцо системы уравнений (18), получаем “симметричный” вариант теоремы 9.1.

Анализ полученных условий позволяет доказать, что система уравнений (18) с полным набором интегралов (15) приводится к одной из следующих:

X X Y Y X Y

либо где c – произвольная постоянная, c2, d2, – ненулевые постоянные.

В параграфах 10 - 12 для систем уравнений (19), (20) приводится построение x и yинтегралов, точных решений, а также решений задач Гурса с данными на характеристиках Так, например, система уравнений (19) при = 1 имеет интегралы где при этом общее решение дается формулами а решение задачи Гурса представимо в виде где Заключение содержит обзор полученных результатов.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Васильевичу Жиберу за всестороннюю поддержку, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации в изданиях из перечня ВАК 1. Жибер А.В., Костригина О.С. Точно интегрируемые модели волновых процессов// Вестник УГАТУ. – 2007. – Т. 9. – № 7 (25). – С. 83 - 89.

2. Костригина О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений экспоненциального типа с конечномерной характеристической алгеброй Ли // Уфимский математический журнал. – 2009. – Т. 1. – 3. Жибер А. В., Костригина О. С. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических систем уравнений // Журнал Cибирского федерального университета. Математика и физика. – 2010. – Т. 3. – 4. O. S. Kostrigina and A. V. Zhiber Darboux-integrable two-component nonlinear hyperbolic systems of equations // J. Math. Phys. 52, (2011); (32 pages).

5. Жибер А.В., Костригина О.С. Задача Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений с интегралами первого и второго порядка // Уфимский математический журнал. – 2011. – Том 3. – № 3. – С. 6. Жибер А.В., Костригина О.С. Нелинейные гиперболические системы уравнений с интегралами первого порядка // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.

Ефимова. Труды участников. Ростов-на-Дону: РГУ. – 2006. – С. 228 Костригина О.С. О нелинейных гиперболических системах уравнений с конечномерной характеристической алгеброй Ли // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 38-й Региональной молодежной конференции. Екатетеринбург: ИММ УрО РАН. – 2007. – С. 164 - 168.

8. Костригина О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений лиувиллевского типа // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева.

Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН. – 2007. – Т. 2. – С. 24 - 25.

9. Жибер А.В., Костригина О.С. Интегрируемые двумерные динамические системы и характеристические алгебры Ли // Труды ИМ УНЦ РАН. – 2007. – вып. 5. – С. 195 - 201.

10. Жибер А.В., Костригина О.С. О нелинейных гиперболических системах уравнений, интегрируемых по Дарбу // Российская конференция “Математика в современном мире”, посвященная 50-летию Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН. Новосибирск: Институт Математики им. С.Л. Соболева СО РАН. – 2007.

(http://math.nsc.ru/conference/conf50/Abstracts.pdf).

11. Жибер А.В., Костригина О.С. Нелинейные гиперболические системы уравнений и характеристические алгебры Ли // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. – 2009. – С. 131 Жибер А.В., Костригина О.С. Характеристические алгебры Ли и нелинейные гиперболические системы уравнений // Международная конференция MOGRAN-13 “Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений”. Тезисы докладов. Уфа: УГАТУ, ИМ с ВЦ УНЦ РАН, ИМ УНЦ РАН. – 2009. – С.

13. Костригина О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений с интегралами первого и второго порядка // “Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании”. Тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ. – 2009. – С. 18.

14. Костригина О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений с интегралами первого и второго порядка. //Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых “Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании”. Математика. Т. 1. Уфа: РИЦ БашГУ. – 2009. – С. 209 - 215.

15. Жибер А.В., Костригина О.С. Характеристические алгебры Ли и нелинейные гиперболические системы уравнений // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов международной научной конференции. – Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. – 2010. – С. 190 - 191.

16. Жибер А.В., Костригина О.С. Характеристические алгебры Ли и нелинейные гиперболические системы уравнений // Итоги науки. Юг России. Математический форум. “Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям.”– Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. – 2010. – Т. 4. – С. 240 - 251.

17. Жибер А.В., Костригина О.С. Характеристические алгебры Ли и классификация интегрируемых нелинейных гиперболических систем уравнений // VII Международная конференция “Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике”, посвященная 110-летию академика М.А. Лаврентьева. Тезисы докладов. Новосибирск: Институт гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН. – 2010. – С. 28.

18. Жибер А.В., Костригина О.С. Нелинейные интегрируемые системы уравнений с интегралами первого и второго порядка // Актуальные проблемы прикладной математики и механики. Тезисы докладов Всероссийской школы-конференции молодых исследователей и V Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау - Дюрсо, 13-18 сентября 2010 г.) – 2010. С. 39 - 40.

19. Костригина О.С. Построение общего решения одной двухкомпонентной нелинейной гиперболической системы уравнений // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: Тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ. – 2010. – С. 4.

20. Костригина О.С. Построение общего решения одной двухкомпонентной нелинейной гиперболической системы уравнений // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых “Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании”.

Математика. Т. 1. Уфа: РИЦ БашГУ. – 2010. – С. 66 - 75.

21. Жибер А.В., Костригина О.С. Точно интегрируемые модели волновых процессов // Всероссийская конференция “Нелинейные волны: теория и новые приложения”, посвященная памяти чл.-корр. РАН В.М. Тешукова и приуроченная к 65-летию со дня его рождения. – Новосибирск.

22. Жибер А.В., Костригина О.С. Задача Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений с интегралами первого и второго порядка // VI Уфимская международная конференция “Комплексный анализ и дифференциальные уравнения” посвященная 70-летию чл.корр.РАН В.В. Напалкова. Сборник тезисов. Уфа: ИМВЦ. – 2011. – С. 63 - 64.