На правах рукописи

СЫПЧЕНКО МАРИЯ ВЛАДИМИРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИЙ ПО

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИМ ОРИЕНТИРОВКАМ НА

ГРУППЕ SO(3)

Специальность 05.13.18 – математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, Савелова Татьяна Ивановна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, Яковлев Виктор Борисович, Национальный исследовательский университет Московский государственный институт электронной техники кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Николаев Дмитрий Игоревич, Объединенный институт ядерных исследований

Ведущая организация:

Институт металлургии и материаловедения им. А.А. Байкова РАН

Защита состоится « 10 » ноября 2010 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д212.130.09 в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ» по адресу: 115409, г. Москва, Каширское шоссе, д. 31, тел. 324-84-98, 323-92-56.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ МИФИ.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенном печатью организации.

Автореферат разослан « 9 » cентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор Леонов А.С.

Общая характеристика работы

Объектом исследования диссертационной работы является количественная характеристика текстуры материала – функция распределения ориентировок поликристалла, получаемая на основе измерений отдельных кристаллографических ориентаций зерен.

Актуальность работы. Большинство конструкционных материалов являются поликристаллами, и их свойства (физические, электрические, химические, оптические) зависят от текстуры, т.е.

от преимущественной ориентировки зерен, образующих материал.

Наиболее полно текстуру описывает функция распределения зерен по ориентациям (ФРО), которая представляет собой вероятность обнаружить в образце кристаллит с ориентацией g (g является вращением трехмерного евклидова пространства, gSO(3)). ФРО используется для решения различных научных и производственных задач: вычисления усредненных свойств материала, исследования методов обработки материала, изучения процессов формирования текстуры и т.д.

Ранее ФРО вычислялась из экспериментально полученных рентгеновским или нейтронным методом полюсных фигур (ПФ) [1–2]. В последние годы активно развиваются методы электронной микроскопии, в частности метод дифракции отраженных электронов (ЕВSD – Electron Backscattering Diffraction). Эти методы позволяют получать большое количество измерений (порядка 104–107) отдельных кристаллографических ориентаций и предоставляют исследователям обширную информацию о текстуре материала: позволяют изучать размеры зерен, границы между зернами, углы разориентации между двумя соседними зернами (т.е. разницы между соседними ориентациями). Методы электронной микроскопии получили широкое распространение, однако ряд вопросов о точности получаемых результатов остается открытым.

Перечислим некоторые такие вопросы.

1) Вопрос об определении необходимого количества зерен, измеренных с помощью метода EBSD. Во многих исследованиях, например, в [3], отмечено, что ФРО одного и того же материала, вычисленные по различным экспериментальным данным (рентгеновским ПФ и с помощью методов электронной микроскопии), могут существенно отличаться, что обусловлено различной статистикой измерений. Поэтому представляется важным проведение исследования зависимости точности вычисления ФРО от объема измеренных ориентаций.

2) Важен вопрос об учете остроты текстуры (аналога дисперсии распределения ориентаций зерен) при выборе объема выборки, шага измерений и других параметров проведения эксперимента [4, 5].

3) Достаточно новым и мало изученным является фактор статистической зависимости соседних ориентировок [6, 7] и его связь с шагом измерения.

4) Является важным вопрос о выборе порогового значения угла разориентации между соседними зернами, позволяющего определить количество, границы и формы зерен [8].

5) Из-за сильной деформации образца, а также на границах зерен не всегда можно определить ориентацию кристаллитов. Наличие таких неиндексируемых областей является одной из проблем EBSD метода, которую решают усреднением неопределенных ориентаций по известным соседним.

Можно сказать, что развитие технологии эксперимента опережает развитие математического аппарата по обработке экспериментальных данных электронной микроскопии. Поэтому представляет интерес изучение подобных вопросов с помощью математического моделирования отдельных ориентаций и ФРО.

В связи с этим в диссертационной работе предложен метод математического моделирования ФРО, который позволил исследовать влияние различных параметров проведения эксперимента и параметров обработки данных на точность вычисления ФРО.

Целью диссертационной работы является разработка метода моделирования функции распределения ориентаций зерен поликристаллического материала, составление комплекса программ и проведение ряда исследований о влиянии различных факторов на точность вычисления ФРО.

Методы исследования. В диссертационной работе для получения отдельных ориентаций использовался специализированный метод Монте-Карло, описанный в [4]. Этот метод позволяет моделировать дискретные нормальные распределения на группе SO(3).

Для вычисления ФРО по дискретным данным применялся ядерный метод [9].

В диссертационной работе решены следующие задачи:

1) разработаны математическая модель, алгоритм и программы численного расчета функции распределения ориентаций по набору отдельных ориентировок;

2) исследована зависимость точности восстановления ФРО от числовых значений параметров, а именно: объема выборки, характеристики распределения (аналога остроты текстуры);

3) показано влияние погрешности определения ориентации на результат вычисления ФРО;

4) численно определены наилучшие ядра сглаживания для ядерного метода: это ядро Епанечникова и ядро с косинусом;

предложено два метода определения параметра сглаживания;

6) разработан алгоритм вычисления статистической зависимости элементов выборки, проведено численное исследование влияния статистической зависимости ориентировок на результат вычисления ФРО;

7) предложен метод вычисления усредненных упругих свойств по отдельным ориентациям. По экспериментально полученным данным вычислена ФРО и проведен расчет усредненных упругих свойств поликристаллического магния.

Научная новизна работы Впервые наиболее полно аналитически и численно проведено математическое моделирование ФРО с помощью специализированного метода Монте-Карло вычисления дискретных нормальных распределений на группе SO(3).

Проведено исследование точности вычисления ФРО по набору индивидуальных кристаллографических ориентаций ядерным методом в зависимости от различных параметров (объем выборки, острота текстуры, количество сверток, ядро сглаживания, параметр сглаживания).

Проведено моделирование погрешностей измерений ориентаций, исследовано их влияние на точность вычисления ФРО.

Впервые предложена модель и алгоритм вычисления статистической зависимости ориентаций, проведено исследование влияния статистической зависимости на точность вычисления ФРО.

Обоснованность и достоверность результатов работы.

Практически любую текстуру можно аппроксимировать стандартными распределениями (одним или несколькими), это показано, например, в [10]. Поэтому в диссертационной работе для моделирования набора ориентаций зерен поликристалла использовалось дискретное нормальное распределение на группе SO(3), получаемое методом Монте-Карло [4]. Для проверки достоверности получаемых результатов модельная ФРО сравнивалась с известным распределением в виде ряда по обобщенным шаровым функциям [11].

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

1) научный семинар кафедры прикладной математики НИЯУ МИФИ, 2007, 2008, 2009 и 2010 гг.;

2) международная конференция “New Achievements in Materials and Environmental Sciences”, Metz, France, 7–9 ноября 2007 г.;

3) международная конференция «Inverse Problems: Modeling and Simulation», at Oludeniz, Fithiye, Turkey, May 26–30, 2008 г.;

4) научный семинар в университете г. Метц (Франция), июля 2008 г.;

5) международная конференция «Рентгеновское, синхротронное излучения, нейтроны и электроны для исследования наносистем и материалов. Нанобиоинфокогнитивные технологии», Москва, Россия, 16–20 ноября, 2009 г.;

6) ежегодная Научная Сессия НИЯУ МИФИ, Москва, январь 2006, 2007, 2008 и 2009 гг.;

7) научный семинар в Институте металлургии и материаловедения им. А.А. Байкова РАН, 27 мая 2010 г.;

8) научный семинар в Объединенном институте ядерных исследований, ЛНФ, Дубна, 8 июня 2010 г.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют подобрать некоторые параметры проведения EBSD измерений ориентаций отдельных зерен, параметры вычисления ФРО по набору ориентаций, помогут также оценить погрешность вычисления ФРО.

На защиту выносятся:

1) модель и алгоритм вычисления ФРО по набору отдельных ориентаций, полученных специализированным методом Монте-Карло для нормальных распределений на группе SO(3);

2) результаты расчета зависимости точности вычисления ФРО от числовых значений параметров: объем выборки и острота текстуры при использовании ядерного метода;

выбор ядра сглаживания для вычисления ФРО;

методы определения параметра сглаживания в ядерном методе;

5) алгоритм численного расчета статистической зависимости элементов выборки, результат ее влияния на точность вычисления ФРО;

6) результаты численного моделирования погрешности в элементах выборки и ее влияния на результат вычисления ФРО;

7) метод расчета упругих свойств материала на основе данных EBSD измерений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов и заключения. Работа содержит 123 страницы, включая 35 рисунков, 11 таблиц и список литературы, состоящий из 131 наименования литературных источников.

Краткое содержание работы Во введении обсуждается актуальность темы исследования, приводится общая характеристика диссертационной работы, а также ее структура, дается краткий обзор литературы по тематике работы.

В первом разделе приводятся основные понятия текстурного анализа, такие как: ориентация кристаллита, функция распределения ориентаций, полюсная фигура. В первом разделе описываются экспериментальные методы получения ориентировок зерен поликристаллического материала: рентгеновский способ измерения полюсных фигур, нейтронный способ измерения полюсных фигур, методы электронной микроскопии измерения ориентировок отдельных зерен (SEM, TEM, EBSD). Схема EBSD установки приведена на рис. 1.

В разделе представлен обзор литературы, освещающей направления научных исследований последних лет по текстурному анализу. Приведены основные методы вычисления ФРО по дискретным наборам данных: метод гистограмм, проекционный и ядерный методы. Ядерный метод восстановления ФРО по дискретному набору данных заключается в следующем [12]:

Пусть функция распределения ориентаций f ( g ), g SO(3) представляется в виде ряда по обобщенным шаровым функциям Tl mn g [11]: