СТРУКТУРА И ОБЪЁМ ДИССЕРТАЦИИ

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе приведен анализ теоретических и экспериментальных работ по вопросам распространения акустической энергии в различных средах. Изложен обзор основной литературы по методам расчета и описания потоков акустической энергии, исследованиям в области отрицательной рефракции и метаматериалов, разработки и создания различных типов кристаллических резонаторов, исследованиям распространения акустических пучков в анизотропных средах, а также теоретическим основам акустической микроскопии и фокусировки энергии.

Во второй главе рассмотрена задача о распространении акустических волн от точечного векторного монохроматического источника в однородной изотропной среде.

Задача об акустическом поле такого источника решалась еще в работе Рэлея, но вопрос о пространственном распределении потоков энергии был решен впервые в данной диссертационной работе. Изначально постановка задачи сводилась к проверке того факта, что в дальнем поле потоки энергии от любого точечного источника являются радиальными.

Это свойство волновой энергии является общим практически для любых типов волн и до сих пор под сомнение не ставилось. Однако на основе известного точного аналитического решения в настоящей работе показано, что даже в дальнем поле существует нерадиальная составляющая потока энергии. Этот результат проиллюстрирован на рис. 1. Точечная сила действует вдоль оси Z.

Рис. 1. Потоки акустической энергии от точечного вектороного источника в сравнении с радиальными линиями в нескольких произвольных направлениях В третьей главе проведено обобщение метода параксиального и параболического уравнения на случай распространения акустических волн в анизотропной среде для случая, когда ось пучка является осью симметрии кристалла (или анизотропного материала), в частности, при наличии вогнутостей на поверхности медленности и возможном проявлении эффекта отрицательной рефракции. Отрицательная рефракция способствует фокусировке волн даже на плоской границе раздела изотропная среда – кристалл, хотя строгая аналитическая теория такой анизотропной фокусировки акустических волн до настоящего момента в литературе не была развита. Для корректной фокусировки лучей от точечного волнового источника необходимо использовать поперечно-изотропную линзу с изотропией при повороте вокруг оси, перпендикулярной плоскости ее поверхности. Этим свойством обладают слои гексагональных кристаллов с осью Z, направленной по нормали к плоскости их границы. Поверхность медленности для акустических волн в таких кристаллах может быть вогнутой вблизи оси Z, но только для квазипоперечных волн. Такое условие выполняется, в частности, в кристалле цинка, фокусировка в котором за счет отрицательной рефракции исследовалась в работе [2]. На рис. 2 изображено сечение поверхности медленности плоскостью XZ в этом кристалле. Отметим, что для медленных квазисдвиговых волн кривая медленности имеет заметные (большие по угловому размеру) вогнутые участки вблизи оси Z (и небольшие вогнутости вблизи оси X).

Рис. 2. Сечение поверхности медленности кристалла цинка плоскостью XZ Для построения данных кривых использованы те же упругие модули, что и в работе [2].

Удобным свойством поверхности медленности является коллинеарность нормали к этой поверхности и вектора групповой скорости. Результаты расчета сечения поверхности групповых скоростей (т.е. волновой поверхности, определяющей форму волновых фронтов для излучения от точечного источника) на основе этого свойства показаны на рис. 3.

Рис. 3. Сечение XZ волновой поверхности кристалла цинка для медленной квазипоперечной моды Так называемые "ласточкины хвосты", присутствующие на рис. 3, соответствуют вогнутой области поверхности медленности вплоть до точек перегиба. При этом очевидно, что эффект фокусировки посредством анизотропной отрицательной рефракции может иметь место лишь для вогнутых участков волновой поверхности. Такие вогнутости согласно рис. 8 находятся в конусе лучевых углов примерно ± 30 от оси Z. Эти пределы определяют максимальную угловую апертуру плоских акустических линз из кристалла цинка.

Анализ распространения акустических пучков в условиях отрицательной рефракции проводился на основе параксиального уравнения, которое при распространении пучка вдоль оси симметрии кристалла имеет вид В частности, для квази-сдвиговых волн, поляризованных вблизи оси X и распространяющихся вблизи Z C1 = c11 (c13 + c55 ) 2 /( c33 c55 ), C 2 = c66, C3 = c55, ui = u1.

Решение уравнения (1) ищем в виде волнового пучка, распространяющегося вдоль оси x3, ui = A( x1, x2, x3 ) exp( ikx 3 it), где k 2 = 2 / C3, а под u i подразумевается основная компонента смещения или иная полевая переменная акустического поля, относящаяся к этой компоненте. Предположение о слабой зависимости амплитуды пренебречь ее второй производной по x3, что приводит к следующему параболическому уравнению В случае одинаковых коэффициентов C1 и C 2 ур. (2) сводится к более простому виду коэффициенты C1 и C 2 имеют различные значения, то переход от уравнения (2) к уравнению (3) также возможен путем изменения масштабов по осям координат x1, x 2.

Замечательным свойством параболического уравнения (3) является существование у него простых аналитических решений, описывающих трехмерную пространственную структуру волновых пучков. В общем случае решения представляются в виде эрмит-гауссовых пучков в декартовых координатах или в виде лягерр-гауссовых пучков в цилиндрических координатах [3]. Простейшим решением является гауссов пучок (нулевая мода) [3,4] где D = 2 x3 /( ka ), A(0) и a - минимальную ширину пучка, которая соответствует точке x3 = 0. Эта точка волн, является фокусом для пучков, описываемых уравнением (4), поэтому параметр определяет поперечный размер фокального пятна. Подчеркнем, что в отличие от известного изотропного решения, коэффициент отрицательным, то это приводит к следующему интересному свойству волновых пучков. В этом случае пучки, имеющие выпуклые волновые фронты, фокусируются и сходятся, в противоположность их дифракционному расплыванию в обычном изотропном или квазиизотропном случае, когда имеет место обычная рефракция, и наоборот для пучков с вогнутыми волновыми фронтами. Это необычное свойство проявляется в тех секторах направлений распространения, где поверхность медленности является вогнутой. Известно, что пространственно локализованные моды в виде бегущих волн могут возникать в периодической системе линз вследствие последовательной фокусировки расходящихся волновых пучков [4,5]. Логично предположить, что подобное явление может наблюдаться и в периодической системе, состоящей из чередующихся слоев двух разных типов с отрицательной рефракцией лучей на их границах.

Рис. 4. Качественная картина пространственного распределения волновых полей в слоистой структуре В диссертационной работе показано, что в случае выполнения определенного соотношения между толщинами слоев в такой периодической многослойной системе могут распространяться квазиволноводные моды с сильно подавленной дифракцией (рис. 4).

Рис. 5. Локализованные резонансные моды в качестве пикселей для тактильных и графических датчиков В случае использования двух слоев (рис. 5) такая система превращается в двухслойный резонатор, причем указанные сфокусированные волноводные моды одновременно будут собственными модами резонатора. Уникальным свойством такой фокусировки является отсутствие для нее фиксированной оси, т.е. локализованные и слабо затухающие колебания могут возбуждаться в произвольной точке на поверхности рассматриваемых плоских кристаллических резонаторов. Для этого необходимо создавать пространственное распределение возбуждающих сил на поверхности, соответствующее желаемому положению резонансной моды. Произвольный выбор оси локализации позволяет рассматривать такую слоистую систему как возможную матрицу для создания решетки из несвязанных или слабо связанных резонаторов В Главе 3 также исследуется и другое влияние отрицательной рефракции акустических волн на их распространение в анизотропной среде, которое выражается в виде дополнительных осцилляций в V(z) сигнале микроскопа при смещении фокуса микроскопа в область над поверхностью образца.

Рис. 6. Геометрия задачи о донных отражениях акустических лучей вследствие отрицательной рефракции в пластине в случае положительной дефокусировки: 1 – иммерсионная жидкость, 2 – образец, 3 – линза акустического микроскопа, 4 – ультразвуковой преобразователь.

На рис. 6 показана геометрия задачи о прохождении излучения акустического микроскопа в анизотропный образец, материал которого обладает свойством отрицательной рефракции вблизи оси микроскопа. На рис. 7 даны соответствующие поверхности медленности, характеризующие иммерсионную жидкость (находящуюся между линзой микроскопа и образцом и предназначенную для согласования акустических импедансов). В диссертационной работе исследован вопрос формирования в подобной конфигурации дополнительных сигналов в выходном сигнале V микроскопа при перемещении фокуса над поверхностью образца.

Рис. 7. Поперечное сечение поверхностей акустической медленности для образца и иммерсионной жидкости Рис. 8. Разность времен пробега лучей по траекториям типа (a) и (b) в зависимости от безразмерного расстояния дефокусировки Рис. 9. Часть поверхности медленности в увеличенном масштабе с отмеченными точками, соответствующими экстремумам в выходном сигнале микроскопа Эти дополнительные сигналы характеризуются временной задержкой (рис. 8), причем максимумы и минимумы в непрерывном режиме работы микроскопа или дополнительные импульсы в импульсном режиме однозначно соответствуют различным точкам на поверхности медленности анизотропного образца (рис. 9). Такая связь позволяет получать дополнительную информацию о внутренней структуре исследуемого материала, обладающего вблизи оси симметрии линзы свойством отрицательной акустической рефракции.

Далее в главе 3 излагается теория необычной анизотропной волноводной локализации, при которой традиционный волноводный профиль скорости заменяется на антиволноводный для изгибных волн в тонких кристаллических пластинах с переменной плотностью.

Рис. 10. Действительные и комплексные ветви кривых медленности (S) для изгибных волн в кристаллических пластинах из (a) лития и (b) парателлурита. Действительные ветви показаны сплошными кривыми, а комплексные - пунктирными Рис. 11. Поперечные профили локальной волновой скорости v (пунктир) и волнового поля w (сплошные кривые) для изгибных волноводных волн в кристаллических пластинах из лития и парателлурита. Безразмерная горизонтальная координата ~ = 4 4 y выбрана таким образом, что профили скорости для обоих кристаллов в этом представлении совпадают.

Точное аналитическое решение для изгибных волн, полученное в настоящем разделе, описывает локализованные волноводные моды в случае наличия "антиволноводного" профиля скорости в анизотропной градиентной среде с локальной вогнутостью медленности.

Фактически, этот "антиволноводный" профиль становится волноводным, поскольку в изучаемом случае он приводит к возникновению волноводного эффекта. Для полученного решения относительная ширина волноводного пучка сингулярно уменьшается при стремлении локальной кривизны кривой медленности к нулю.

В четвертой главе метод параболического уравнения обобщается на случай произвольной анизотропии. С этой целью разработана методика получения коэффициентов локальной эллипсоидной аппроксимации поверхности медленности. Это позволило создать общий алгоритм получения решений для поля акустических гауссовых пучков в кристаллах, распространяющихся вблизи выбранного направления (не совпадающего с направлением фононной фокусировки). Приведены примеры применения алгоритма в сравнении с известными экспериментальными данными (рис. 12, рис. 13).

Рис. 12. Пучки квазипродольных (a),(b), квазипоперечных (c),(d) и чисто сдвиговых (e) (без учета пьезоэффекта) волн в кварце. В левой колонке все картины поля рассчитаны при помощи развиваемой в настоящем параграфе теории. Картины поля (b) и (d) взяты для сравнения теории с известным экспериментом [6]. Рисунок (f) показывает соответствующие поверхности медленности (серый цвет) и аппроксимирующие эллипсы (черный). Волны возбуждаются с левого торца кристалла.

Рис. 13. Экспериментальное наблюдение (a) и теоретические расчеты (b),(c) пучка квазипоперечных волн в кристалле парателлурита Построенные согласно развитой теории двумерные картины распределения поля акустических пучков в анизотропных кристаллах показывают качественное и количественное согласие с результатами акустооптической визуализации этих пучков в экспериментах [6,7]. Полученные решения для пучков объемных акустических волн корректно учитывают не только дифракцию пучка, но и эффект отклонения групповой скорости от фазовой в анизотропных средах.

Отметим, что в работе [8] также рассматривал параболическое приближение для кривой медленности, но в случае поверхностных волн. При этом во множителе отвечающем за спадание поля (см. уравнения (12-15) [8]) с расстоянием стоит лишь одна координата, т.е.

(в наших обозначениях) D ~ y, а не их линейная комбинация, как это следует из (14.28) и (14.29). Это означает, что формулы статьи [8] могут работать только в том случае, когда направление распространения пучка является симметричным и нет сноса осевой волны пучка. В другой публикации [9] также было получено уравнение для акустического пучка, претендующее на правильность в общем анизотропном случае. Однако в этом уравнении нет всех перекрестных производных по координатам. На языке эллипсоида медленности, приближенно описывающего локальную медленность вблизи оси пучка, отсутствие перекрестных производных означает, что ось пучка совпадает с одной из главных осей эллипсоида. В такой конфигурации уравнение из работы [9] может описывать лишь только симметричные пучки, для которых отсутствует снос энергии осевой волны. Кроме того, данное уравнение выведено в системе координат такой, что ось пучка взята совпадающей с направлением потока энергии центральной волны, и согласно процедуре вывода значение угла сноса центральной волны пучка никак не влияет на конечное уравнение. Подчеркнем, что излагаемый метод построение параболического уравнения для акустических пучков в анизотропных средах правильно учитывает и дифракцию и зависимость групповой скорости от направления распространения волн, чего не было в работах [8, 9].

Пятая глава посвящена аналитической теории акустических резонаторов двух типов.

Рассмотрены планарно-выпуклые кристаллические резонаторы, для которых решается задача о нахождении собственных мод. Моды таких резонаторов представляются в виде результата интерференции гауссовых пучков с использованием параболического уравнения для описания поля этих пучков и теории для описания данных пучков, развитой в предыдущей главе. Для этого получено сначала параксиальное волновое уравнение для пучков акустических волн, распространяющихся в кварцевом резонаторе АТ-среза. Далее параксиальное уравнение согласно вышеизложенной процедуре приведено к изотропному параболическому уравнению, и затем в известном решении этого уравнения путем возвращения к исходным координатам можно получить уравнение для параболического пучка в анизотропном кристалле кварца. Полученные результаты были использованы при расчете нескольких собственных мод колебаний кварцевого планарно-выпуклого резонатора AT-среза, соответствующих условиям экспериментальных наблюдений в работе [1] (рис. 14).

Таким образом, в диссертационной работе построена теория, позволяющая использовать параболическое уравнение для описания распространения пучков акустических волн в материале с произвольной анизотропией. Сравнение результатов теоретических расчетов с известными экспериментами и расчетными данными для акустических пучков в кристаллах показывают, что разработанная теория правильно предсказывает как снос энергии, так и дифракцию пучка.

Рис. 14. Первые 6 мод планарно-выпуклого кварцевого резонатора AT-среза. Параметры резонатора: основная рабочая частота ~4 МГц, диаметр пластины 10 мм, радиус кривизны см, размеры пучка на плоской грани 2х2 мм. Верхний ряд – экспериментальные данные [1], нижний ряд – теоретические расчеты автора.

В общем случае форма резонаторов не ограничивается рассмотренным случаем плоско-выпуклых пластин, а может быть весьма разнообразной. Однако число известных аналитических решений для волновых мод резонаторов различной формы довольно ограничено (см. справочник [10]). Среди относительно простых по форме резонаторов можно выделить пирамидальные резонаторы. В последнее время эта форма стала исследоваться все более интенсивно, что связано, в частности, с развитием технологий селективного травления кремния. Эти технологии позволяют создавать сложные по форме структуры в микромасштабах [11]. Как оказалось, в процессе травления поверхности кристаллических кремниевых пластин,, наиболее простой в реализации является именно пирамидальная форма поверхностей. В физической литературе волновые резонансы пирамид исследовались относительно слабо, несмотря на, казалось бы, их простую геометрическую форму. В уже указанном справочнике по волновым резонансам объектов разной формы [10] пирамиды вообще не упоминаются, а имеющиеся в литературе теоретические изучения этого вопроса ограничены исключительно лишь компьютерными расчетами на основе применения численных. Данный пробел восполняется в настоящей диссертационной работе, где вместо поиска общего решения волнового уравнения в произвольных пирамидальных областях дана попытка найти специальную форму пирамиды, для которой замкнутые лучевые траектории имели бы особый простой вид.

Рис. 15. Распределение амплитуды волнового поля в боковом вырезе пирамиды для наклонной моды с квантовыми числами p = 4, q = 6, r = 8.

В работе получено точное аналитическое решение задачи о волновых резонансах в пирамидальной области. Такие решения для пирамиды до сих пор в литературе отсутствовали. Полученное решение относится к акустическим резонансам в пирамидальной полости специальной правильной формы с квадратным основанием и ортогональными противоположными боковыми гранями в случае, когда полость заполнена идеальным газом или жидкостью, а на ее стенках выполняются граничные условия Неймана. Найденные моды рассматриваемой пирамиды представляют собой симметричную комбинацию вырожденных мод куба, который можно составить из 6 идентичных таких пирамид. Детально исследованы три наиболее простых семейства мод пирамиды, соответствующие ориентации волновых векторов вдоль ребер, больших и малых диагоналей куба. Для каждого семейства исследованы положения пучностей и узлов волнового поля, построены характерные картины пространственного распределения амплитуды колебаний, определены траектории волновых лучей. Эта информация представляет интерес для возбуждения и детектирования выделенных мод пирамиды. Представленный лучевой анализ показывает, что менее симметричные наклонные моды куба также пригодны для построения резонансных решений в пирамиде. Обнаружено, что только часть из них, для которой квантовые числа, соответствующие номерам мод, имеют одинаковую четность, удовлетворяет волновому уравнению и граничным условиям. Для четных чисел общая формула для поля резонансных мод имеет вид где p = p / a, q = q / a, r = r / a. Для нечетных чисел косинусы в формуле (6) заменяются синусами Резонансные частоты для обоих типов мод (6) и (7) определяются одним и тем же выражением где p, q, r - произвольные целые числа, соответствующие номерам мод.

Найденные моды являются либо симметричными, либо антисимметричными одновременно по всем координатам. Задача о существовании мод смешанной симметрии, т.е.

мод, симметричных по одной координате и антисимметричных по другой, остается открытой. Для таких мод задача о колебаниях в пирамиде не сводится к задаче о колебаниях в составном кубе без внутренних границ. Из сравнения высокочастотной асимптотики распределения мод в спектре куба и пирамиды следует, что найденное решение согласно формуле Вейля является полным для четверти рассматриваемой пирамиды.

Основные результаты и выводы работы 1. Показано, что потоки энергии объемных акустических волн от точечного силового источника в однородном изотропном твердом теле, а также потоки энергии в пучке кристаллической пластине не являются прямолинейными даже в дальнем поле.

плоскопараллельных слоев; б) дополнительные сигналы в акустическом микроскопе при расположении фокуса над поверхностью образца; в) волноводная локализация изгибных волн в градиентных пластинах с антиволноводным согласно традиционным представлениям профилем скорости.

объемных акустических волн эллипсоидом в общем анизотропном случае, и на этой основе предложено обобщение теории гауссовых пучков.

резонаторов с использованием решений для гауссовых пучков, изучены эффекты анизотропного снятия вырождения мод в таких резонаторах.

5. Найдены точные аналитические решения волнового уравнения для резонансных идеальным газом или жидкостью.

Список литературы 1. Sauerbrey G. Investigation of resonant modes of planoconvex AT-plates // 21st Annual Symposium on Frequency Control. 1967. P. 63-71.

2. Imamura K., Tamura S. Negative refraction of phonons and acoustic lensing effect of a crystalline slab // Phys. Rev. B. 2004. V. 70. N. 17. 174308. 7 p.

3. Daly B.C., Norris T.B., Chen J., Khurgin J.B. Picosecond acoustic phonon pulse propagation in silicon // Phys. Rev. B. 2004. V. 70. N. 21. 214307. 8 p.

4. Kogelnik H., Li T. Laser beams and resonators // Proc. IEEE. 1966. V. 54. N. 10. P. 1312Tien P.K., Gordon J.P., Whinnery J.R. Focusing of a light beam of Gaussian field distribution in continious and periodic lens-like media // Proc. IEEE. 1965. V. 53. N. 2. P.

6. Staudt J.H., Cook B.D. Visualization of quasilongitudinal and quasitransverse elastic waves // J. Acoust. Soc. Amer. 1967. V. 41. N. 6. P. 1547-1548.

7. Балакший В.И., Парыгин В.Н., Чирков Л.Е. Физические основы акустооптики М.:

Радио и связь, 1985. 278 c.

8. Mason I.M., Ash E.A. Acoustic surface-wave beam diffraction on anisotropic substrates // J.

Appl. Phys. 1971. V. 42. N. 13. P. 5343-5351.

9. Заболотская Е.А. Нелинейное распространение звукового пучка в кристалле // Акуст.

журн. 1986. Т. 32. N. 1. С. 61-64.

10. Blevins R.D. Formulas for Natural Frequency and Mode Shape. Malabar, Florida: Krieger, 11. Meacham J.M., Ejimofor C., Kumar S., Degertekin F.L., Fedorov A.G. Micromachined ultrasonic droplet generator based on a liquid horn structure // Rev. Sci. Instrum. 2004. V.

75. N. 5. P. 1347-1352.

Авторские публикации 1. Козлов А.В., Можаев В.Г. Парадокс нерадиальности потоков энергии акустических волн от точечного источника в однородных изотропных твердых телах // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005". Секц. Физ. Сб. тез. Физ. ф-т МГУ. 2005.

2. Козлов А.В., Можаев В.Г. Анализ фокусировки акустических волн при отрицательной рефракции на плоской границе кристаллов. В сб.: Форум «Всемирный год физики в Московском университете». Конференция молодых ученых. Сб. материалов. М., 2005.

3. Kozlov A.V., Mozhaev V.G. Localization of acoustic bulk modes due to negative refraction in crystal resonators // Proceedings of the 20th EFTF. Abstracts. Braunschweig. 2006. P. 33.

4. Kozlov A.V., Mozhaev V.G. Localization of acoustic bulk modes due to negative refraction in crystal resonators. In: Proceedings of 20th European Frequency and Time Forum. 2006.

Braunschweig, Germany. 2007. P. 147-154.

5. Козлов А.В., Можаев В.Г. Проявление отрицательной рефракции в акустической микроскопии анизотропных пластин // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2006". Секц.

Физ. Сб. тез. Физ. ф-т МГУ. 2006. C. 6-8.

6. Козлов А.В., Можаев В.Г. Локализованные акустические волны и резонансы в слоях кристаллов с отрицательной рефракцией. В сб.: X Всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах». Звенигород, Московская область, 22- мая 2006 г. CD–издание. Секция 6. С. 21-23.

7. Козлов А.В., Можаев В.Г. Локализованные акустические волны и резонансы в слоях кристаллов с отрицательной рефракцией // Изв. РАН. Сер. Физ. 2006. Т. 70. № 12. С.

1716-1721.

8. Козлов А.В., Можаев В.Г. Структура акустических полей в пирамидальном отражателе и резонаторе // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2007". Секц. Физ. Сб. тез.

Физ. ф-т МГУ. 2007. C. 169.

9. Козлов А.В., Можаев В.Г. Оптимальная форма и анализ мод пьезорезонаторов на основе теории волновых пучков // Труды XI Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн" - "Волны-2007". 2007. Ч. 5. "Динамика колебательных процессов ". С. 14-16.

10. Козлов А.В., Можаев В.Г. Новый подход к анализу мод и выбору формы планарновыпуклых пьезокристаллических резонаторов. В сб.: Сборник трудов XIХ сессии Российского акустического общества. М.: ГЕОС. 2007. Т. 1. С. 267-270.

11. Kozlov A.V., Mozhaev V.G. Exact analytic solution to the problem of acoustic resonances in pyramidal cavities of particular shape. In: Abstracts. 2007 IEEE International Ultrasonics Symposium and Short Courses. 28-31 October, 2007. New York, NY, USA. P. 207-208.

12. Kozlov A.V., Mozhaev V.G. Additional signals due to negative refraction in acoustic microscopy of anisotropic plates // Phys. Lett. A. 2008. V. 372. N. 26. P. 4718–4721.

13. Kozlov A.V., Mozhaev V.G. V(z) oscillations at upward defocusing // J. Acoust. Soc. Amer.

2008. V. 123. N. 5. Pt. 2. P. 3930.

14. Kozlov A.V., Mozhaev V.G., Zyryanova A.V. Waveguide effect under "antiguiding" conditions in graded anisotropic media // J. Phys.: Cond. Matt. 2010. V. 22. N. 7. P. (11pp).

15. Козлов А.В., Можаев В.Г. Обобщение метода параболического уравнения для расчета акустических пучков в кристаллах // Труды школы-семинара «Волны-2011». Секция 7. Акустоэлектроника и акустооптика. С. 30-34.

16. Kozlov A.V., Mozhaev V.G. Exact solutions for wave resonances in rectangular pyramidal cavity // Days on Diffraction. Proceedings. 2011. P. 92-97.

17. Можаев В.Г., Козлов А.В. Новые решения для автоколлимированных акустических пучков в кристаллах. Ломоносовские чтения - 2011. Секция физики. Научная конференция. Сборник тезисов докладов. М.: Физический ф-т МГУ, 2011. С. 34-38.