МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.98

Горбачев Алексей Николаевич

ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ

ОТОБРАЖЕНИЙ

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Степин Анатолий Михайлович

Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук, Качуровский Александр Григорьевич кандидат физико-математических наук, Тихонов Сергей Викторович

Ведущая организация: Обнинский государственный технический университет атомной энергетики (ИАТЭ)

Защита диссертации состоится 1 октября 2010 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механикоматематического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 31 августа 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы Начиная с 30-х годов XX века эргодическая теория активно развивалась и в настоящее время представляет собой основной аппарат для анализа статистических свойств динамических систем. Базовым понятием эргодической теории является понятие инвариантной меры отображения. Различные вопросы, связанные с существованием инвариантных мер, статистическими свойствами динамических систем, подходы к изучению и применению эргодической теории содержатся в работах Дж. Д. Биркгофа1, Дж. фон Неймана2, Е. Хопфа3, П. Халмоша4, В. А. Рохлина5, Н.

Н. Боголюбова6, Д. В. Аносова и Я. Г. Синая7, А. Б. Катка и А.

М. Степина8, каждая из которых, в свою очередь, повлекла за собой серию работ в данном направлении.

Необходимость в изучении многозначных отображений возникла в таких классических областях как анализ9,10, геометBirkho G. D., Proof of the ergodic theorem // Proc Natl Acad Sci USA 17(1931): 656- von Neumann J., Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis // Proc Natl Acad Sci USA 18(1932): 70- Hopf E., Statistik der geodatischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krummung // Leipzig Ber. Verhandl. Sachs. Akad. Wiss. 91(1939): 261-304.

Халмош П., Лекции по эргодической теории, пер. с англ., М., 1959;

Рохлин В.А., Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой // УМН 1967, т. 22, вып. 5(137), с. 3-56.

Боголюбов Н.Н., Избранные труды в трех томах, т.1, Киев, Наукова думка, 1969.

Аносов Д. В., Синай Я. Г., Некоторые гладкие эргодические системы // УМН, 1967, т. 22, вып. 5(137), с. 107- Каток А. Б., Степин А. М., Аппроксимации в эргодической теории // УМН 1967, т. 22, вып. 5(137), с. 81- Yuan G. X.-Z. KKM theory and applications in nonlinear systems. New York: Marcel Dekker, 1999, 648 p.

Kigami J., Analysis on fractals. Cambridge: Cambridge univ. press, 2001, 226 p.

рия11,12, топология13,14. Свойства многозначных отображений исследуются в теории марковских процессов15 и в приложениях, связанных с динамическими системами, таких, как, математическая экономика16, теория игр17.

В настоящей работе изучаются инвариантные меры многозначных отображений. Родственное понятие полиморфизмов ввел А. М. Вершик18, одновременно распространив на них некоторые результаты классической эргодической теории. Кроме того, ряд результатов, относящихся к исследованию эргодических свойств полиморфизмов принадлежат А. Л. Федорову19, В. В.

Рыжикову20, К. Б. Игудесману21. Многозначные отображения с инвариантной мерой появляются в связи с подходом МонжаКанторовича к гидродинамической задаче Ньютона (см. обзор А.

Ю. Плахова22 ), а также в проблеме сингулярности бесконечных Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999, 768 с.

Barnsley M., Fractals everywhere. Boston: Academic press, 1988, 394 p.

Борисович Ю. Г., Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский.

Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига, 2005, 216 с.

Сибирский К. С., Шубэ А. С. Полудинамические системы. Кишинев:

Штиинца, 1987, 271 с.

Бебутов М., Цепи Маркова с компактным пространством состояний // Мат. сборник, Т. 10(52), вып. 3, с. 213-238.

Гиндельбранд В., Ядро и равновесие в большой экономике, М.: Наука, 1986, 200 с.

Берж К., Общая теория игр нескольких лиц. М.: Физматгиз, 1961, Вершик А.М., Многозначные отображения с инвариантной мерой (полиморфизмы) и марковские операторы // Записки научн. сем. ЛОМИ, 1977, вып. 72, с. 26-61.

Федоров А. Л., Полиморфизмы и разбиения пространств Лебега // Функц. анализ и его приложения, 1982, т.16, вып. 2, стр. 88- Рыжиков В. В., Полиморфизмы, джойнинги и тензорная простота динамических систем // Функц. анализ и его приложения, 1997, т.31, вып. 2, стр. 45- Igudesman K. B., Dynamics of nite-multivalued transformations // Lobachevskii Jour. of Math. 2005, vol. 17, p. 47-60.

Плахов А. Ю., Рассеяние в биллиардах и задачи ньютоновской аэродинамики // УМН, 2009, т. 64, вып. 5(389), с. 97- сверток распределений Бернулли (см. работы П. Эрдеша23, В.

Пэрри24, Ю. Переса, В. Шлага и Б. Соломяка25, П. И. Трошина26 ).

Результаты реферируемой работы связаны со следующими вопросами эргодической теории однозначных отображений.

Известное утверждение Н. Н. Боголюбова, полученное на базе его и Н. М. Крылова27 результата об инвариантной мере непрерывного отображения, состоит в следующем: для аменабельной полугруппы однозначных преобразований S компактного пространства найдется S-инвариантная мера6.

Уравнение для плотности абсолютно непрерывной инвариантной меры однозначного отображения (в одномерном случае) было выведено А. Реньи28. Там же было показано, что для кусочно гладкого растягивающего отображения такая мера эргодична и, следовательно, единственна.

В монографии Р. Фелпса29 с использованием теоремы представления Шоке30 и построенного Дж. Фельдманом31 описания крайних точек множества инвариантных вероятностных мер показано, что множество инвариантных мер однозначного отображения является симплексом.

Erdos P., On a family of symmetric Bernoulli convolutions // Amer. J.

Math., 1939, vol. 61, p. 974-975.

Parry W., On the -expansions of real numbers // Acta. Math. Acad. Sci.

Hung., 1960, vol. 11, p. 401-416.

Peres Y., Shlag W., Solomyak B., Sixty years of Bernoulli convultions // Fractal Geometry and Stochastics 2 / ed. by C. Bandt. Basel, 2000, p. 39-65.

Трошин П. И., Об инвариантности меры для одной 2-трансформации // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009, т. 151, с. 183-191.

Bogoliubov N. N., Krylov N. M., La theorie generalie de la mesure dans son application a l’etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire // Ann. Math. II, 1937, vol. 38, p. 65-113.

Renyi A., Representations for real numbers and their ergodic properties // Acta math. Acad. sci. hungar., 1957, 8, c. 477-493.

Фелпс Р., Лекции о теоремах Шоке, М., Мир, 1968.

Choquet G., Existance et unicite des representations integrales au moyen des points extremaux dans les cones convexes // Seminaire Bourbaki, 1956, 139, 15 pp Feldman J., Representations of invariant measures, 1963, dittoed notes, pp.

Для несжимающих однозначных отображений окружности в работе Ш. И. Ахалая и А. М. Степина32 найдена граница гладкости отображения, при переходе через которую абсолютно непрерывная инвариантная мера данного отображения становится бесконечной.

Одним из нерешенных вопросов в эргодической теории однозначных отображений является задача Фюрстенберга33 о существовании сингулярной меры на окружности, инвариантной относительно преобразований возведения в квадрат и возведения в куб. В настоящей работе предложена чисто аналитическая формулировка этой задачи и указана ее связь с инвариантными мерами для многозначных отображений.

Цель работы Представленная диссертация посвящена изучению эргодических свойств многозначных отображений. Основная цель работы исследовать вопрос о существовании инвариантных мер различных многозначных отображений, изучить их свойства и структуру множества инвариантных мер.

Научная новизна В работе получен ряд новых результатов, основными из которых являются следующие:

1. Для уравнений и систем уравнений, которые определяются действием непрерывных отображений компактного топологического пространства на вероятностные меры, дано полное описание решений.

2. Показано, что множество инвариантных мер линейного многозначного отображения не является симплексом Шоке.

Ахалая Ш. И., Степин А. М., Об абсолютно непрерывных инвариантных мерах несжимающих преобразований окружности // Тр. МИАН 2004.

N244, 23-34.

Furstenberg H., Disjointness in Ergodic Theory, Minimal Sets, and a Problem in Diophantine Approximation // Mathematical Systems Theory 1(1):

1-49 (1967) 3. Установлено, что конечность или бесконечность абсолютно непрерывных инвариантных мер зависит от класса гладкости несжимающего многозначного отображения.

Основные методы исследования Результаты диссертации получены с использованием методов эргодической теории, вещественного и функционального анализа, теории рядов Фурье.

Практическая и теоретическая ценность Диссертация носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут найти применение в различных вопросах теории динамических систем, теории случайных процессов.

Апробация результатов Основные результаты работы неоднократно докладывались на следующих семинарах:

• Межкафедральный научно-исследовательский семинар Динамические системы и эргодическая теория механикоматематического факультета МГУ под руководством акад.

РАН проф. Д. В. Аносова, д. ф.-м. н. проф. А. М. Степина (2005-2010);

• Ортогональные ряды кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством член-корр. РАН, проф. Б. С.

Кашина, д. ф.-м. н., проф. С. В. Конягина(2009).

Результаты диссертации докладывались также на Добрушинской международной конференции, Москва, 2009.

Публикации Результаты опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата [1-4].

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, каждая из которых разбита на два параграфа и списка литературы, который включает 48 наименований. Общий объем диссертации составляет 81 страницу.

Краткое содержание работы Во введении дан обзор работ, в которых изучаются многозначные отображения, приведены основные определения, а также излагаются основные результаты диссертации. В первой главе исследован вопрос существования инвариантных мер для растягивающих многозначных отображений и многозначных отображений, задаваемых параметризацией. Во второй главе изучены свойства множества инвариантных мер линейного многозначного отображения и связь с задачей Фюрстенберга. В третьей главе установлены некоторые свойства абсолютно непрерывных инвариантных мер для многозначных отображений.

Многозначное отображение R множества 1 в 2 сопоставляет каждой точке 1 1 подмножество R(1 ) 2. График R такого отображения – это множество {(1, 2 ), 1 1, Предполагается, что множества 1 и 2 суть измеримые пространства (т.е. снабжены -алгебрами измеримых подмножеств), а рассматриваемые отображения 1 в 2 – измеримы.

Образ T меры на 1 относительно измеримого однозначного отображения T : 1 2 это мера на 2, определяемая равенством T (A) = (T A) для любого измеримого A 2.

В том случае, если пространства 1 и 2 совпадают, будем опускать индексы. Мера на называется инвариантной для (относительно) T, если T =.

Пусть 1, 2 : координатные проекции.

Определение. Мера µ на инвариантна относительно многозначного измеримого отображения R пространства в Отметим связь с понятием полиморфизма18 (µ), понимаемого как диаграмма Утверждение 1.1.1. Каждое многозначное отображение R из в себя с инвариантной мерой µ задает полиморфизм (µ) на, и обратно, для любого полиморфизма (µ) существует многозначное отображение R из в себя с инвариантной мерой µ.

По аналогии с однозначными отображениями можно определить понятия инвариантной функции и инвариантного множества полиморфизма. В работе указан пример полиморфизма, для которого существует инвариантная функция, но нет инвариантного множества.

Описана конструкция естественного расширения полиморфизма и исследована ее связь с понятием факторотображения:

показано, что факторпространство, факторотображение и фактормера естественного расширения по специальному разбиению совпадают с исходными пространством, отображением и мерой соответственно.

Многозначное отображение R пространства в себя, параметризовано измеримыми однозначными отображениями r1, r2 :

, если R = (r1 (t), r2 (t)), t. В частности, R может быть и однозначным с параметризацией r1 (t) = t, r2 (t) = R(t).

Справедливо Утверждение 1.1.2. Для многозначного отображения R из в себя, параметризованного отображениями r1 и r2, инвариантная мера существует тогда и только тогда, когда найдется мера на, удовлетворяющая условию r1 = r2.

Мера в этом случае называется (r1, r2 )–инвариантной.

Линейное (k, l)–отображение S 1 это многозначное отображение окружности в себя с параметризацией r1 (t) = kt, r2 (t) = lt.

В параграфе 1.1 для такого отображения построен пример инвариантной меры с непостоянной плотностью, а также приведены два примера бесконечнозначных отображений с непрерывной параметризацией.

Параграф 1.2 посвящен изучению действий преобразований на меры.

Пусть r1,..., rn преобразования (однозначные) пространства с заданной на нем –алгеброй измеримых множеств. Рассмотрим уравнение В том случае, когда n = 2, 1 = 1, 2 = 1, любое решение уравнения (1) по определению есть (r1, r2 )–инвариантная мера, следовательно (в силу утверждения 1.1.2), для многозначного отображения, параметризованного посредством r1 и r2, существует инвариантная мера.

Пусть S дискретная полугруппа. Мера µ на называется S–инвариантной, если s = для любого s S. Согласно классическому результату Боголюбова и Крылова, если r1,..., rn непрерывные преобразования компактного топологического пространства, а полугруппа S с образующими r1,..., rn правоаменабельна, то существует S–инвариантная мера, которая и является решением уравнения (1).

В работе имеется пример, который показывает, что не все меры, удовлетворяющие уравнению (1) S–инвариантны.

Символом r1,..., rn обозначается полугруппа с образующими r1,..., rn.

Утверждение 1.2.1. Пусть r1 и r2 непрерывные отображения компактного топологического пространства, а полугруппа S = r1, r2 абелева. Тогда в групповой алгебре A = { i si, si S} над S существует последовательность, дейi= ствие которой на произвольную конечную меру на имеет предельную точку (r1, r2 )–инвариантную меру.

Коммутативность полугруппы преобразований может быть заменена правоаменабельностью при введении дополнительного условия.

Говорят, что в полугруппе S выполнен закон сокращения, если для любых элементов a, b, c S из ca = cb или ac = bc следует a = b.

Утверждение 1.2.2. Пусть r1 и r2 непрерывные отображения компактного пространства с –алгеброй измеримых множеств на нем, полугруппа S = r1, r2 правоаменабельна и в S выполнен закон сокращения. Тогда в групповой алгебре A={ i si, si S} над S существует последовательность, действие которой на произвольную конечную меру на имеет предельную точку (r1, r2 )–инвариантную меру.

Несколько более сложная конструкция позволяет описать все решения системы уравнений:

Теорема 1.2.1. Пусть r1,..., rn непрерывные отображения компактного пространства с –алгеброй измеримых множеств на нем, полугруппа S = r1,..., rn правоаменабельна и в S выполнен закон сокращения. Тогда в групповой алгебре A={ i si, si S} над S существует последовательность, действие которой на произвольную конечную меру на имеет предельную точку решение системы (2).

В параграфе 1.2 показано также, что класс мер, удовлетворяющих системе (2), шире класса S–инвариантных мер: приведен пример отображений r1,..., rn с полугруппой S = r1... rn таких, что существует решение системы (2), не являющееся S– инвариантной мерой.

Аналогичным образом в §1.2 решаются уравнения вида A1 f = A2 f или системы A1 f =... = An f, где операторы A1,..., An действуют в пространстве равномерно ограниченных на окружности функций класса C, 1.

В параграфе 2.1 изучается структура множества инвариантных мер многозначных отображений.

Многозначное отображение R на S 1, параметризованное гладкими отображениями r1 и r2, называется растягивающим, если для почти всех t S 1 выполняются неравенства r2 (t) > r1 (t) > 0.

В отличие от растягивающих однозначных отображений окружности, для таких многозначных отображений абсолютно непрерывная инвариантная мера не единственна. Более того, имеет место следующее Утверждение 2.1.1. Существует бесконечно много линейно независимых абсолютно непрерывных мер, инвариантных относительно растягивающего многозначного отображения окружности.

Пусть P непустое компактное подмножество локально выпуклого линейного топологического пространства E, µ вероятностная мера на P. Говорят, что точка p E представлена посредством меры µ, если f (p) = f dµ для любого непрерывP ного линейного функционала f на E. Точка p P называется крайней, если она не представляется в виде выпуклой линейной комбинации других элементов P. Множество крайних точек обозначим через exP.

Следующая теорема указывает на различия свойств мер, инвариантных относительно однозначных и многозначных отображений.

Теорема 2.1.1. Существуют многозначное отображение F окружности в себя, элемент m из множества M инвариантных мер для F и две различные меры, представляющие m и сосредоточенные на exM.

Существует такое существенно многозначное отображение R окружности в себя, что для любого элемента y из множества инвариантных мер Y существует единственная мера µ, представляющая y и сосредоточенная на exY.

При помощи теоремы 2.1.1 и теоремы Шоке-Мейе о максимальных мерах29 доказывается Теорема 2.1.3. Существуют многозначные отображения окружности в себя, множество инвариантных мер которых суть симплексы или не являются симплексами.

Параграф 2.2 посвящен изучению различных типов мер, инвариантных относительно многозначных и однозначных отображений. Помимо абсолютно непрерывных инвариантных мер для линейного (2, 3)–отображения (описанных как частный случай в утверждении 2.1.1) в работе построены атомическая и сингулярная непрерывная инвариантные меры для этого отображения. Тем самым существует соответствующее решение уравнения T2 = T3, где – мера на окружности, а T2 и T3 – отображения удвоения и утроения аргумента. Вопросы подобного типа изучались Фюрстенбергом еще в 60-е годы XX века, который поставил следующую (до сих пор нерешенную) проблему:

Существует ли сингулярная непрерывная мера на окружности, инвариантная относительно отображений T2 и T3 ?

В работе показано, что данный вопрос эквивалентен следующему:

Существует ли функция ограниченной вариации из L2 [0, 2] не равная тождественной и такая, что коэффициенты ее ряда Фурье F (t) = + cn e2int удовлетворяют следующим трем условиям:

Как видно из нижеследующего утверждения, для определенного класса коэффициентов, удовлетворяющих условиям (3), (4), (5), сумма ряда Фурье с такими коэффициентами имеет неограниченную вариацию.

Утверждение 2.2.1. Пусть pm m–е по счету натуральное число, взаимно простое с 2 и 3. Тогда функция недифференцируема почти всюду на (0, 2).

Cхожие условия на коэффициенты Фурье можно указать для линейных многозначных отображений окружности, а также для линеаризуемых (с помощью непрерывной монотонной замены координат) отображений. В отличие от однозначных отображений, не все растягивающие многозначные отображения можно линеаризовать. В параграфе 2.2 построен пример нелинеаризуемого многозначного отображения.

В параграфе 3.1 получено уравнение на плотность абсолютно непрерывной инвариантной меры многозначного отображения, которое является аналогом уравнения Перрона-Фробениуса.

Пусть пространство с –алгеброй измеримых подмножеств, R многозначное отображение в себя с графиком R, мера на R с проекциями 1 = 1 и 2 = 2.

Теорема 3.1.1. Абсолютно непрерывная относительно мера µ на R инвариантна для R тогда и только тогда, когда для почти всех x где – плотность меры µ относительно, а = 1 (1 + 2 ).

Похожее уравнение можно получить и для параметризованных отображений:

Теорема 3.1.2.Абсолютно непрерывная относительно мера на является (r1, r2 )–инвариантной тогда и только тогда, когда где – плотность меры относительно.

Приведенные выше два уравнения имеют хотя бы одно решение для случая растягивающего многозначного отображения.

При этом множество растягивающих многозначных отображений не совпадает с множеством параметризованных отображений с аменабельной полугруппой, описанным в §1.2. На это указывает построенный в параграфе 3.1 пример растягивающего многозначного отображения такого, что полугруппа, образованная r1 и r2 не является аменабельной.

В параграфе 3.2 показано, что конечность или бесконечность абсолютно непрерывной инвариантной меры зависит от класса гладкости отображения.

Назовем многозначное отображение R кусочно-непрерывным (кусочно-дифференцируемым, класса C ), если имеет место разбиение:

где 1,..., n графики некоторых однозначных кусочнонепрерывных (кусочно-дифференцируемых, класса C ) отображений 1,..., n однозначных ветвей отображения R.

Кусочно-гладкое многозначное отображение R растягивает (несжимает) в точке x0 R, если существует такое разбиение R = 1... n, для которого из условия x0 i следует, что Для несжимающих многозначных отображений класса C установлена следующая теорема, характеризующая структуру соответствующих инвариантных мер.

Теорема 3.2.1. Если несжимающее в (0, 0) многозначное отображение R из S 1 в себя класса гладкости C 2 растягивает во всех других точках непрерывности, то для R существует бесконечная абсолютно непрерывная инвариантная мера. Если при этом R не менее чем двузначно в окрестности нуля, то для R одновременно существует и конечная абсолютно непрерывная инвариантная мера.

Ограничение на класс гладкости в теореме 3.2.1 существенно, как показывает следующая Теорема 3.2.2. Для любого (1, 2) найдется такое несжимающее в {(0, 0)} и растягивающее в других точках непрерывности многозначное отображение из S 1 в себя класса гладкости C, что все инвариантные для него абсолютно непрерывные меры с единственной возможной особенностью в точке (0, 0) конечны.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Михайловичу Степину за постановку задач, ценные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации 1. А. Н. Горбачев, А. М. Степин “Об инвариантных мерах для многозначных отображений”, Успехи математических наук, 2009, т.64, вып.6 (390), стр. 173-174.

2. А. Н. Горбачев ”Инвариантные меры несжимающих многозначных отображений окружности”, Вестник МГУ, сер.1.

Математика. Механика, 2010, т. 3, с. 43-46.

3. А. Н. Горбачев, А. М. Степин “Инвариантные меры многозначных отображений”, Деп. в ВИНИТИ 13.10.09 № 619В2009 МГУ, Москва, 22 стр.

В работах [1], [3] на роль аменабельности в задаче об инвариантных мерах (Теорема 1) указано А. М. Степиным, реализация этой идеи выполнена А. Н. Горбачевым; наблюдения о возможности неединственного разложения инвариантной меры по крайним точкам сделано А. М. Степиным, основанное на этом доказательство теоремы 2 предложено А. Н. Горбачевым.

4. A. N. Gorbachev ”Invariant Measures for Multivalued Mappings”, Сборник трудов Добрушинской международной конференции, 2009, стр. 71-73.