Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Пензенский государственный университет

На правах рукописи

УДК 517.927.4; 517.958

Валовик Дмитрий Викторович

Нелинейные одно- и двухпараметрические

задачи сопряжения на собственные значения

для системы уравнений Максвелла в слое Специальность 01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Пенза – 2014

Работа выполнена на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Пензенский государственный университет.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор, зав.

кафедрой Математика и суперкомпьютерное моделирование ФГБОУ ВПО Пензенский государственный университет Смирнов Юрий Геннадьевич

Официальные оппоненты: Карчевский Евгений Михайлович, доктор физикоматематических наук, ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет (г. Казань), профессор кафедры Прикладная математика ;

Тихонравов Александр Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва), директор Научноисследовательского вычислительного центра (НИВЦ);

Шестопалов Юрий Викторович, доктор физикоматематических наук, профессор, ФГБОУ ВПО Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики (МГТУ МИРЭА) (г. Москва), ведущий научный сотрудник

Ведущая организация: Институт вычислительной математики (ИВМ) РАН (г. Москва)

Защита состоится 15 октября 2014 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.43 ФГБОУ ВПО Московский государственный университета им. М. В. Ломоносова по адресу: г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 52, 2-й учебный корпус, ВМК.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в Научной библиотеке ФГБОУ ВПО Московский государственный университета им. М. В. Ломоносова, а также на официальном сайте факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова: http://cs.msu.ru в разделе Диссертации.

Автореферат разослан сентября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор Захаров Евгений Владимирович

Общая характеристика работы

Актуальность темы Задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла возникают при изучении распространения электромагнитных волн в неоднородных волноведущих структурах. К таким задачам относится распространение поляризованных ТЕ- и/или ТМ-волн в плоских диэлектрических слоях и диэлектрических цилиндрических волноводах (интерес представляют в том числе и многослойные структуры2 ).

Задачи для сред с постоянной диэлектрической проницаемостью (слой, круглый цилиндрический волновод и др.) являются классическими в электродинамике и хорошо изучены3. На базе результатов этой теории разработано и функционирует множество волноведущих устройств в тех-нике СВЧ и оптике.

Начиная с 60-х гг. прошлого века после создания лазера стали активно изучаться электромагнитные явления в нелинейных средах.

Актуальность исследования задач о распространении ТЕ- и/или ТМволн в нелинейных волноведущих структурах обусловлена двумя обстоятельствами. Во-первых, разработка новых методов исследования таких нелинейных задач на собственные значения актуальна с математической точки зрения, поскольку отсутствуют общие методы исследования указанного класса задач. В данной диссертации предложен общий метод исследования указанного класса задач. Эти нелинейные задачи сводятся к отысканию собственных значений (значений постоянной распространения), при которых волна может распространяться. Отметим, что рассматриваемые задачи являются нелинейными как по искомым функциям, так и по спектральному параметру (или паре спектральных параметров). Во-вторых, задачи с простой геометрией (плоские слои, круглые цилиндрические волноводы) имеют широкие практические приложения1.

Центральной проблемой здесь является определение условий существования постоянных распространения. Знание постоянных распространения необходимо при конструировании волноведущих структур.

Ахмедиев Н. Н., Анкевич А. Солитоны, нелинейные импульсы и пучки. – М.: Физматлит, 2003 ; Шен И. Р. Принципы нелинейной оптики. – М.: Наука, 1989 ; Ponath H.-E., Stegeman G. I.

(editors) Modern problems in condensed matter sciences. Vol. 29. Nonlinear surface electromagnetic phenomena. – North-Holland: Elsevier Science Publishers, 1991.

Joannopoulos J. D. et al. Photonic Crystals. Molding the ow of light. – Princeton and Oxford:

Princeton University Press, 2008 ; Lourtioz J.-M. et al. Photonic Crystals. Towards nanoscale photonic devices. – Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005.

Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов. – М.: Мир, 1984 ; Вайнштейн Л. А.

Электромагнитные волны. – М.: Радио и связь, 1988 ; Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. – Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1948.

В последние десятилетия предпринимались попытки обобщения известных результатов линейной теории на случай нелинейных задач. Первые фундаментальные результаты были получены В. М. Елеонским, Л. Г. Оганесьянцем и В. П. Силиным4. Первые математически строгие решения задач сопряжения на собственные значения для ТЕ-волн были получены в работах В. С. Серова, Ю. Г. Смирнова, Ю. В. Шестопалова, H.-W. Schrmann5. Также важные результаты получены в работах A. D. Boardman, D. N. Christodoulides, K. M. Leung6. Заметим однако, что общего метода исследования предложено не было, так же как не было получено общих результатов о существовании и локализации собственных значений.

Как известно, в линейной среде ТЕ- и ТМ-волны распространяются не взаимодействуя. Явление нелинейности приводит к новому, принципиально важному результату: существует режим распространения ТЕ- и ТМ-волн, в котором ТЕ- и ТМ-волны, распространяясь каждая со своей постоянной распространения и на своей частоте, взаимодействуют, но сохраняют структуру поверхностных волн, образуя связанную волну. Изучение связанных волн, с одной стороны, интересно с физической точки зрения, поскольку они описывают новые режимы распространения волн в волноведущих структурах, которые, в частности, могут оказаться полезными на практике. С другой стороны, возникает новый класс математических задач на собственные значения. Постоянные распространения в такой задаче существуют дискретными парами, что соответствует парным собственным значениям, или двухпараметрической задаче на собственные значения7. Математические методы исследования таких задач пока также не разработаны.

Взаимодействие между ТЕ- и ТМ-волнами в нелинейной волноведущей структуре с керровской нелинейностью рассматривалось как у нас8, Eleonskii P. N., Oganes’yants L. G., Silin V. P. // Soviet Physics JETP. – 1972. – V. 35, № 1. – P. 44–47.

Смирнов Ю. Г., Куприянова С. Н. // Жур. выч. мат. и матем. физ. – 2004. – Т. 44, № 10. – С. 1850–1860 ; Sch rmann H.-W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. // Phys. Rev. E. – 1998. – V. 58, № 1. – P. 1040–1050 ; Sch rmann H.-W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. // J. Phys. A:

Math. Gen. – 2002. – V. 35, № 50. – P. 10789–10801 ; Sch rmann H.-W., Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V. // Phys. Rev. E. – 2005. – V. 71, № 1. – P. 016614-1–10 ; Serov V. S., Shestopalov Yu. V., Sch rmann H.-W. // Dokl. Math. – 1999. – V. 60. – P. 742–744 ;

Smirnov Yu. G., Valovik D. V. // ISRN Math. Phys. – 2013. – Vol. 2013. – P. 1–7.

См., например, Leung K. M. // Phys. Rev. B. – 1985. – Vol. 32, № 8. – P. 5093–5101 ; Joseph R. I., Christodoulides D. N. // Optics Letters. – 1987. – V. 12, № 10. – P. 826–828.

Atkinson F. V., Mingarelli A. B. Multiparameter eigenvalue problems. Sturm – Liouville theory. – NW: CRC Press, 2011.

Елеонский В. М., Оганесьянц Л. Г., Силин В. П. // Успехи физ. наук. – 1972. – Т. 107, № 3. – С. 516–518 ; Eleonskii V. M., Oganes’yants L. G., Silin V. P. // Soviet Phys. JETP. – 1973. – Vol. 36. № 2. – P. 282–285.

так и за рубежом9. В указанных работах отсутствуют результаты о разрешимости такой задачи. Использование предложенного в диссертации метода позволило доказать существование дискретных пар собственных значений, а также предсказать и теоретически обосновать существование нового волноводного режима для нелинейных волноведущих структур.

Цель работы Основной целью диссертации является разработка общего математического аппарата для исследования нелинейных одно- и двухпараметрических задач сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла в слое.

Методы исследования Проведенные исследования опираются на методы решения краевых задач на собственные значения для уравнений в частных производных;

классические результаты теории обыкновенных дифференциальных уравнений; методы теории интегральных уравнений; методы функционального анализа; численные методы исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы Результаты работы являются новыми и получены автором лично.

В работе предложен и развит новый математический подход, позволяющий исследовать нелинейные одно- и двухпараметрические задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла.

Разработанный подход обладает большой теоретической общностью и позволяет исследовать широкий класс нелинейных задач.

Основные результаты диссертации Результаты диссертации состоят в следующем:

• предложен и развит новый математический подход – метод интегральных дисперсионных уравнений, позволяющий исследовать нелинейные одно- и двухпараметрические задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла;

• введены понятия собственного значения и парных (или связанных) собственных значений для некоторых классов нелинейных задач сопряжения на собственные значения;

Boardman A. D., Twardowski T. // J. Opt. Soc. Am. B. – 1988. – Vol. 5, № 2. – P. 523–528 ;

Boardman A. D., Twardowski T. // Phys. Rev. A. – 1989. – Vol. 39, № 5. – P. 2481–2491.

• доказаны теоремы об эквивалентности соответствующей однопараметрической задачи сопряжения на собственные значения и дисперсионного уравнения, о существовании и локализации собственных значений, о распределении нулей и периодичности собственных функций в однопараметрических задачах, исследованы некоторые конкретные типы нелинейностей, а также связь между решениями нелинейных задач и решениями соответствующих линейных задач;

• доказаны теоремы об эквивалентности соответствующей двухпараметрической задачи сопряжения на собственные значения и дисперсионного уравнения, о существовании и локализации парных собственных значений в двухпараметрической задаче, исследована связь между решениями нелинейной задачи и решениями соответствующей линейной задачи, предложены и обоснованы численные методы нахождения приближенных собственных значений;

• в результате исследования найдены новые типы нелинейных волн (ТЕ-, ТМ-, ТЕ-ТМ-волн) в изученных волноведущих структурах.

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее теоретическая значимость заключается в создании и обосновании принципиального нового математического метода для изучения нелинейных спектральных задач теории волноводов. Введены понятия собственного значения и парных собственных значений для некоторых классов нелинейных спектральных задач.

Также предложен, обоснован и реализован численный метод нахождения приближенных собственных значений в рассматриваемых задачах.

Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по теории нелинейных спектральных и краевых задач.

Практическая значимость работы состоит в том, что построенный математический аппарат позволил доказать существование нелинейных режимов распространения электромагнитных волн и предсказать существование новых типов нелинейных волн.

Обоснованность и достоверность результатов Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается корректной постановкой задач, применением строгих математических методов, полными математическими доказательствами, сравнением результатов с простейшими модельными задачами.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• семинаре кафедры физики Osnabrck University, руководитель – проф. H.-W. Schrmann (Германия, г. Оснабрюк, 2010, 2011);

• семинаре по электродинамике факультета ВМК, МГУ им. М. В. Ломоносова, руководители – проф. Е. В. Захаров и проф. А. С. Ильинский (Россия, г. Москва, 2012);

• семинаре кафедры Прикладная математика Казанского (Приволжского) федерального университета, руководитель – проф. Н. Б. Плещинский (Россия, г. Казань, 2013);

• семинаре кафедры Electrical, Electronic, and Communication Engineering университета Chuo, руководитель – проф. K. Kobayashi (Япония, г. Токио, 2013);

• семинаре кафедры Electrical Engineering университета Nihon, руководитель – проф. T. Yamasaki (Япония, г. Токио, 2013);

• семинаре Computational and Applied Mathematics университета Chalmers, руководитель – проф. S. Larsson (Швеция, г. Гетеборг, 2013);

• семинаре Вычислительная математика и приложения, Институт вычислительной математики РАН, руководитель – чл.-корр. РАН, проф.

Е. Е. Тыртышников (Россия, г. Москва, 2013);

• научно-методологическом семинаре НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова, руководитель – д.ф.-м.н., проф. А. В. Тихонравов (Россия, г. Москва, 2013);

• семинаре, руководимом акад. РАН, проф. В. А. Ильиным и акад.

РАН, проф. Е. И. Моисеевым (факультет ВМК, МГУ им. М. В. Ломоносова, Россия, г. Москва, 2013);

• международных конференциях Days on Diraction (Россия, г. Санкт-Петербург, 2007, 2011, 2013);

• 13-й и 14-й международных конференциях Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (Украина, г. Киев, 2010; г. Харьков, 2012);

• международных конференциях Progress in Electromagnetic Research Symposium (Китай, г. Сучжоу, 2011; Малайзия, г. Куала Лумпур, 2012; Россия, г. Москва, 2012);

• международном семинаре Workshop on Large-Scale Modeling (Швеция, г. Сунне, 2012);

• международной конференции International Symposium on Electromagnetic Theory (Япония, г. Хирошима, 2013).

Работа была поддержана грантами РФФИ (№ 06-07-89063а, 2008– 2009; № 12-07-97010-р_A, 2012–2013; № 11-07-00330-A, 2011–2012), ФЦП (№ 2.1.1/1647, 2009–2011; № 14.B37.21.1950, 2012–2013), программы Visby (2012–2013, Швеция), Грантами Президента РФ (МК-2074.2011.1, 2011– 2012; MK-90.2014.1, 2014–2015).

Публикации Основные результаты диссертации отражены в 29 научных работах (2 монографии; 27 статей, из них 7 публикаций без соавторов). Все указанные статьи опубликованы в реферируемых журналах (статьи [3–25] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК РФ, в которых рекомендуется публиковать основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук), обе монографии также прошли рецензирование. В совместных работах профессору Ю. Г. Смирнову принадлежит первоначальная постановка задач, аспирантам Е. В. Зарембо и Е. Ю. Смолькину – программная реализация некоторых численных методов, Д. В. Валовику – получение конкретных результатов и их доказательства.

Структура и объем работы Диссертация изложена на 155 страницах, включающих 11 рисунков, и состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащего наименований, и четырех приложений.

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и дан обзор работ по теме исследований, изложено краткое содержание и сформулированы основные результаты диссертации.

В главе 1 исследуется нелинейная однопараметрическая задача сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла, описывающая распространение поверхностных электромагнитных ТЕволн в слое, диэлектрическая проницаемость которого является произвольной функцией от модуля напряженности электрического поля.

Рассматриваются монохроматические ТЕ-волны Eeit, Heit, распространяющиеся вдоль границы однородного, изотропного, немагнитного диэлектрического слоя := {(x, y, z) R3 : 0 x h}, здесь комплексные амплитуды; – круговая частота.

Слой расположен в декартовой системе координат Oxyz между двумя полупространствами x < 0 и x > h. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 > 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду µ = µ0, где µ0 > 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Диэлектрическая проницаемость волновода описывается следующим выражением: = 2 + f (|E|2), где 2 > max(1, 3), f C 1 [0, +), f (s2) 0 и f (0) = 0.

Комплексные амплитуды (1.1) удовлетворяют стационарным уравнениям Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границах раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле затухает как O(|x|1) при |x|.

Доказано, что компоненты ТЕ-волн, распространяющихся вдоль границы слоя, имеют представление где – неизвестный (действительный) спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Обозначим k0 := 2 µ0 0. Подставляя компоненты (1.3) в систему (1.2), выполняя нормировку в соответствии с формулами x = k0x, dx = k0 d, = k0, j = 0 (j = 1, 2, 3), обозначая Y () := Ey () и опуская значок тильды, получаем Функция Y дифференцируема так, что Условия сопряжения для функции Y следуют из условий непрерывности касательных компонент электромагнитного поля и имеют вид где [f ]|x=x0 = lim f (x) lim f (x).

Определение 1.1. Число = такое, что при фиксированном значении Y (0) = 0 (без потери общности можно считать Y (0) > 0) существует не равная тождественно нулю функция Y (x; ), которая удовлетворяет уравнению (1.4), условиям (1.6), (1.7) и затухает как O(|x|1) при |x|, будем называть собственным значением, а функцию Y (x; ), соответствующую этому собственному значению, – собственной функцией.

Задача PE : доказать существование собственных значений, удовлетворяющих определению 1.1.

Разыскиваются такие положительные значения, что справедливо max(1, 3) < 2 < 2. Это условие соответствует классической задаче распространения ТЕ-волн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью1, поэтому мы придерживаемся его при изучении задачи PE.

При x < 0 и x > h уравнение (1.4) является линейным. Учитывая условие на бесконечности, получаем, что решения уравнения (1.4) в указанных областях имеют вид Постоянная A в (1.8) отвечает значению Y (0) (см. определение 1.1) и предполагается фиксированной (известной).

Постоянная B определяется условиями сопряжения (1.7).

Внутри слоя уравнение (1.4) принимает вид Первый интеграл рассматриваемого уравнения имеет вид где (Y 2 ) = 0 f (u)du; C – постоянная.

Постоянная C вычисляется из первого интеграла (1.10) с использованием решения (1.8) и условий сопряжения (1.7) и равна Неизвестная постоянная B определяется из уравнения которое имеет два действительных решениях ±B.

Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. – М.: Радио и связь, 1988.

Постоянные B и C не зависят ни от точки x = h, ни от спектрального параметра ; кроме того, C > 0.

Доказано, что дисперсионное уравнение задачи PE имеет вид где функция () определяется из уравнения ( 2 + k2 ) + ( ) C;

C определена формулой (1.11); n = 0, 1, 2,...

Важно отметить, что дисперсионное уравнение (1.13) не зависит от решений уравнения (1.12).

Фактически уравнение (1.13) является семейством (но не системой) уравнений для различных n. Необходимо решать относительно кажD дое из получающихся уравнений. Другими словами, пусть E – множество решений дисперсионного уравнения (1.13). Тогда E = i, где j содержит все положительные решения (и только их) уравнения (; j) h = 0. Кроме того, i j = для всех возможных i = j.

Пусть E – совокупность всех собственных значений задачи PE. Справедлива следующая теорема об эквивалентности, которая, в частности, утверждает, что E = E.

Теорема 1.1 (об эквивалентности). Значение = является собственным значением задачи PE тогда и только тогда, когда существует целое число n = n 0 такое, что = удовлетворяет уравнению (; n) h = 0.

Кроме того, собственная функция Y (x; ) имеет в точности n нулей при x (0, h); если xi является i-м нулем функции Y (x; ), то xi = wd + (i 1)T2.

Теорема 1.2 (о периодичности). Пусть – собственное значение задачи PE. Если собственная функция Y (x; ) имеет более двух нулей при x (0, h), тогда функция Y (x; ) периодическая с периодом 2T2.

Пусть = (max(1, 3), 2) и hk = inf (; k), hk = sup (; k).

Величина всегда существует. Указанная sup существует не всегда, например, sup не существует, если f 0. Когда мы пишем hk, мы предполагаем, что указанный (конечный) sup существует.

Теорема 1.3. Пусть для некоторого p выполняется hp < hp, sup f C [0, +) и h таково, что hinf < h < hsup, тогда задача PE имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Теорема 1.4. Пусть (; k) неограничена при 2, f C 1 [0, +) и h таково, что для некоторого p выполняется hp < h, тогда задача PE имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

В теоремах 1.3, 1.4 утверждается существование собственных значений; в теоремах 1.5, 1.6 – их изолированность.

Теорема 1.5. Пусть для некоторого p выполняется hp < hp, функsup ция f (u) является аналитической функцией в C (как функция комплексного переменного u = Y 2 ) и h таково, что hp < h < hp, тогда задача PE имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Кроме того, если условие hp < hp справедливо для всех p, то мноsup жество собственных значений E задачи PE является дискретным на D = { R : 2 }, т.е. на каждом отрезке I D содержится не более конечного числа (изолированных) собственных значений.

Теорема 1.6. Пусть функция (; k) неограничена при 2, функция f (u) является аналитической функцией в C (как функция комплексного переменного u = Y 2 ) и h таково, что для некоторого p выполняется hp < h, тогда задача PE имеет по крайней мере одно реinf шение (собственное значение).

Кроме того, если условие hp < hp справедливо для всех p, то мноsup жество собственных значений E задачи PE является дискретным на D = { R : 2 }, т.е. на каждом отрезке I D содержится не более конечного числа (изолированных) собственных значений.

Величины hk и hk можно находить численно.

Условие 2 < 2 является точным. Действительно, для функции f получаем линейную задачу. В такой линейной задаче необходимо 2 < 2.

Также в первой главе исследованы две задачи для конкретных функций нелинейности: задача PE1 : f Y 2 (закон Керра); задача PE2 :

f 1+Y 2 (нелинейность с насыщением). Эти нелинейности находят широкое применение в нелинейной оптике.

В теоремах 1.7, 1.8 используются следующие обозначения для собственных значений задач PE1, PE2 : i значит, что все собственные значения упорядочены по возрастанию; (m) значит, что это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (1.13) при n = m; значком PE обозначается линейная задача с постоянным = 2, такая задача имеет не более конечного числа собственных значений, обозначаемых i.

Теорема 1.7 (Задача PE1 ). Пусть min(1, 3) 0, max(1, 3) < 2, > 0 и Y (0) = 0. В этом случае для любого h > 0 задача PE1 имеет бесконечное число положительных собственных значений i (с точкой накопления на бесконечности).

Собственные значения i имеют следующие свойства:

1) если 1, 2,... – все решения задачи PE1, то 2) если задача PE имеет p решений 1 < 2 <... < p, то существует 0 > 0 такое, что для любого = < 0 справедливо где 1,..., p – первые p решений задачи PE1 при = ;

2’) если q > p, то lim q = +;

3) для больших значений и произвольно малого > 0 справедливо следующее асимптотическое двойное неравенство:

где • (m) = 2 + f 1 4m, f 1 есть обращение функции f (t) = t1 ln t;

3’) если 2C < 1, где C = (2 1)A2 + 0, 5A4, то для больших значений справедливо более простое асимптотическое неравенство (m) (m), где (m) = 2 + m ln(2C) ;

4) если собственное значение i, то max |Y (x; i)|.

Теорема 1.8 (Задача PE2 ). Пусть min(1, 3) 0, max(1, 3) < 2,, > 0 и Y (0) = 0. Тогда существует hmin > 0 такое, что для любого h > hmin задача PE2 имеет конечное число (и не менее одного) положительных собственных значений i.

Для всякого собственного значения i задачи PE2 справедливо, что кроме того, для всяких допустимых m и m + 1 справедливо где max берется среди всех положительных решений уравнения (1.13) с заданным n = m.

В главе 2 исследуется нелинейная однопараметрическая задача сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла, описывающая распространение поверхностных электромагнитных ТМволн в анизотропном слое, заполненном средой, диэлектрическая проницаемость которой является произвольной функцией от модуля напряженности электрического поля.

Рассматриваются монохроматические ТМ-волны Eeit, Heit, распространяющиеся вдоль границы однородного, изотропного, немагнитного диэлектрического слоя := {(x, y, z) R3 : 0 x h}, здесь комплексные амплитуды; – круговая частота.

Слой расположен в декартовой системе координат Oxyz между двумя полупространствами x < 0 и x > h. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости = 1 0 и = 3 0 соответственно, где 0 > 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду µ = µ0, где µ0 > 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Диэлектрическая проницаемость волновода описывается следующим диагональным тензором 3 3:

элементы xx, zz имеют вид где f > max(1, 3), g 0 – постоянные (вещественные) составляющие диэлектрических проницаемостей xx, zz ; a, b, c, d – неотрицательные постоянные, не все равные нулю;

и f (0) = g(0) = 0. Кроме того, функции f и g являются таковыми, что выполняется соотношение (Z 2) = (X 2 ). Условие (Z 2 ) = (X 2) на компоненты тензора (2.2) указано в1, где утверждается, что многие типы нелинейностей удовлетворяют такому условию. В главе 2 доказано, что без этого условия можно обойтись. Элемент yy не оказывает влияния на распространение ТМ-волн.

Joseph R. I., Christodoulides D. N. // Optics Letters. – 1987. – V. 12, № 10. – P. 826–828.

Комплексные амплитуды (2.1) удовлетворяют стационарным уравнениям Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле затухает как O(|x|1) при |x|.

Доказано, что компоненты ТМ-волн, распространяющихся вдоль границы слоя, имеют представление где – неизвестный (действительный) спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Обозначим k0 := 2 µ0 0. Подставляя компоненты (2.5) в систему (2.4), выполняя нормировку в соответствии с формулами x = k0x, Z() := Ez, X() := iEx и опуская значок тильды, получаем где с учетом предыдущего Функции X, Z дифференцируемы так, что Условия сопряжения для функций X, Z следуют из условий непрерывности касательных компонент электромагнитного поля и имеют вид Определение 2.1. Число = такое, что при фиксированном значении X(0) = 0 (без потери общности можно считать X(0) > 0) существуют не равные тождественно нулю функции X(x; ), Z(x; ), которые удовлетворяют системе уравнений (2.6), условиям (2.8), (2.9) и затухают как O(|x|1) при |x|, будем называть собственным значением, а функции X(x; ), Z(x; ), соответствующие этому собственному значению, – собственными функциями.

Задача PM : доказать существование собственных значений, удовлетворяющих определению 2.1.

Разыскиваются такие положительные значения, что справедливо неравенство max(1, 3) < 2 < f. Это условие соответствует классической задаче распространения ТМ-волн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью (см. Вайнштейн Л. А.), поэтому мы придерживаемся его при изучении задачи PM.

При x < 0 и x > h система (2.6) является линейной. Учитывая условие на бесконечности, получаем, что решения системы (2.6) в указанных областях имеют вид Постоянная A в (2.10) отвечает значению X(0) (см. определение 2.1) и предполагается фиксированной (известной), а постоянная B определяется условиями сопряжения (2.9).

Внутри слоя система (2.6) принимает вид Система (2.11) может быть переписана в нормальной форме Первый интеграл системы (2.11) имеет вид Обозначим через X0 := X(0 + 0), Xh := X(h 0), Z0 := Z(0 + 0), Zh := Z(h 0) предельные значения функций X и Z на границах слоя изнутри.

Справедливы формулы которые получены из условий сопряжения (2.9) и решений (2.10).

Поскольку постоянная A предполагается известной, то X0 определяется из первого уравнения (2.14).

Обозначим f0 := f aX0 + bZ0 и G0 := G X0, Z0. Тогда, используя первый интеграл (2.13), подставляя x = 0, найдем Неизвестные значения Xh и Zh определяются из системы уравнений где fh := f (aXh + bZh ) и Gh := G(Xh, Zh ).

При известном значении Zh постоянная B определяется по формуле B = k3 Zh.

Доказано, что дисперсионное уравнение задачи PM имеет вид где величины (0), (h) определяются формулами а функция w имеет следующий вид:

где функция () определяется из уравнения где s = a2 +b(f +f )2, t = a2 +b(f +f )2, а функции f и g имеют тот же смысл, что и выше; постоянная C определяется формулой (2.15); n = 1, 2, 3,...

Важно отметить, что дисперсионное уравнение (2.17) не зависит от решений системы (2.16).

Фактически уравнение (2.17) является семейством (но не системой) уравнений для различных n. Необходимо решать относительно кажD дое из получающихся уравнений. Другими словами, пусть M – множество решений дисперсионного уравнения (2.17). Тогда M = i, D где j содержит все положительные решения (и только их) уравнения (; j) h = 0. Кроме того, i j = для всех возможных i = j.

Пусть M – совокупность всех собственных значений задачи PM.

Справедлива следующая теорема об эквивалентности, которая, в частD ности, утверждает, что M = M.

Теорема 2.1 (об эквивалентности). Значение = является собственным значением задачи PM тогда и только тогда, когда существует целое число n = n 0 такое, что = удовлетворяет уравнению (; n) h = 0.

Кроме того, собственная функция Z(x; ) имеет в точности n нулей при x (0, h); если xi является i-м нулем функции Z(x; ), то Теорема 2.2 (о периодичности). Пусть – собственное значение задачи PM. Если собственная функция Z(x; ) имеет более двух нулей при x (0, h), тогда функция Z(x; ) периодическая с периодом 2T2.

Пусть = (max(1, 3), f ) и hk = inf (, k), hk = sup (, k).

Величина всегда существует. Указанная sup существует не всегда, например, sup не существует, если f 0, g 0. Когда мы пишем hk,sup мы предполагаем, что указанный (конечный) sup существует.

Теорема 2.3. Пусть для некоторого p выполняется hp < hp, sup f C [0, +), g C [0, +), система (2.16) имеет действительное решение (Xh, Zh) и h таково, что hp < h < hp, тогда задача PM имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Теорема 2.4. Пусть (, k) неограниченна при 2, f C 1 [0, +), g C 1 [0, +), система (2.16) имеет действительное решение (Xh, Zh) и h таково, что для некоторого p выполняется hp < h, тогда задача PM имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

В теоремах 2.3, 2.4 утверждается существование собственных значений; в теоремах 2.5, 2.6 – их изолированность.

Пусть правые части системы (2.12) являются аналитическими функциями (как функции комплексных переменных (u, v) = (X 2, Z 2)) в некотором шаре B(0, R) с центром в нуле и радиусом R > 0. Шар выбран таким образом, что |2X 2 fX 2 + f | < f, где > 0 – фиксированное достаточно малое число. В силу непрерывности функции f такое число R всегда существует, поскольку f (0) = 0 и f ограничена на B(0, R).

Теорема 2.5. Пусть для некоторого p выполняется hp < hp, си- sup стема (2.16) имеет действительное решение (Xh, Zh ), правые части системы (2.12) являются аналитическими функциями (как функции комплексных переменных (u, v) = (X 2, Z 2)) в некотором шаре B(0, R), где R > 0, число M является наибольшим из модулей максимумов правых частей системы (2.12) и h 3M таково, что hp < h < hp, тогда задача PM имеет по крайней мере одно решение.

Кроме того, если условие hp < hp справедливо для всех p, то мноsup жество собственных значений M задачи PM является дискретным на D = { R : 2 }, т.е. на каждом отрезке I D содержится не более конечного числа (изолированных) собственных значений.

Теорема 2.6. Пусть (, k) неограниченна при 2, система (2.16) имеет действительное решение (Xh, Zh), правые части системы (2.12) являются аналитическими функциями (как функции комплексных переменных (u, v) = (X 2, Z 2)) в некотором шаре B(0, R), где R > 0, число M является наибольшим из модулей максимумов правых частей системы (2.12) и h 3M таково, что для некоторого p выполняется hp < h, тогда задача PM имеет по крайней мере одно решение.

Кроме того, если условие hp < hp справедливо для всех p, то мноsup жество собственных значений M задачи PM является дискретным на D = { R : 2 }, т.е. на каждом отрезке I D содержится не более конечного числа (изолированных) собственных значений.

Величины hk и hk можно находить численно.

Заметим, что условие 2 < f является точным. Действительно, для функций f 0, g 0 получаем линейную задачу. В такой линейной задаче необходимо 2 < f.

В главе 3 исследуется нелинейная двухпараметрическая задача сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла, описывающая распространение связанных электромагнитных ТЕ-ТМволн в слое с керровской нелинейностью.

Рассмотрим электромагнитные волны распространяющиеся вдоль границы однородного, изотропного, немагнитного диэлектрического слоя := {(x, y, z) R3 : h x h}, здесь комплексные амплитуды; E, M – круговые частоты; ( · )T – операция транспонирования.

Слой расположен в декартовой системе координат Oxyz между двумя полупространствами x < 0 и x > h. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости = 1 0 и = 3 0 соответственно, где 0 > 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду µ = µ0, где µ0 > 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Диэлектрическая проницаемость волновода описывается законом Керра1, который имеет вид = 2 + |EE M |2, где 2 > max(1, 3), Поля (3.1) удовлетворяют системе уравнений условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границах раздела сред x = h, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле затухает как O(|x|1) при |x|.

Делоне Н. Б. Взаимодействие лазерного излучения с веществом. – М.: Наука, 1989; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: для вузов. В 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. – М.: Физматлит, 2001; Шен И. Р. Принципы нелинейной оптики. – М.: Наука, 1989.

Доказано, что компоненты ТЕ-ТМ-волн, распространяющихся вдоль границы слоя, имеют представление где E, M – пара неизвестных (действительных) спектральных параметров (пара постоянных распространения связанной ТЕ-ТМ-волны).

Пусть k0 = M 0µ0. Подставляя поля (3.2) с компонентами (3.4) в систему (3.3), нормируя в соответствии с формулами x = k0x, dx = k0 d, := E M и опуская значок тильды, получаем Функции X, Y, Z дифференцируемы так, что Условия сопряжения для функций X, Y, Z следуют из условий непрерывности касательных компонент электромагнитного поля и имеют вид [Z M X]|x=±h = 0, [Y ]|x=±h = 0, [Y ]|x=±h = 0, [Z]|x=±h = 0. (3.7) Определение 3.1. Пару чисел (E, M ) такую, что при заданных значениях X(0), Y (0) существует не равный тождественно нулю вектор W = (X, Y, Z)T такой, что функции X, Y, Z удовлетворяют системе уравнений (3.5), условиям (3.6), (3.7) и затухают как O(|x|1 ) при |x|, будем называть парным собственным значением. Вектор W, который соответствует парному собственному значению, будем называть собственным вектором, а компоненты X(x; E, M ), Y (x; E, M ), Z(x; E, M ) вектора W – собственными функциями.

Задача P : доказать существование парных собственных значений (E, M ), удовлетворяющих определению 3.1.

Решения (линейной) системы (3.5) при x < h и x > h в соответствии с условиями излучения имеют вид Z(x) = kM1 C (h)e(x+h)kM1 ; Z(x) = kM3 C (h) e(xh)kM3, где CM, CE, CM и CE – постоянные интегрирования. Постоянные CM, CE предполагаются заданными (они отвечают значениям X(0), Y (0) в определении 3.1), а постоянные CM, CE определяются из условий сопряжения.

fY = (X 2 + Y 2 + Z 2)Y, fZ = (X 2 + Y 2 + Z 2 )Z, тогда внутри слоя систему (3.5) можно записать в виде Обращая линейные части второго и третьего уравнений в системе (3.9), перейдем к интегральным уравнениям.

Пусть LE = dx2 + kE, LM = dx2 + kM. Тогда функции Грина для следующих краевых задач имеют вид Переходя от системы дифференциальных уравнений (3.9) к интегральным (используя найденные функции Грина и вторую формулу Грина) и затем используя условия сопряжения (3.7) в полученной системе интегральных уравнений, получаем систему дисперсионных уравнений где gM (h, M ) := 1 3kM 2 kM 1kM 3 sin 2kM h QE (h, E, M ) := (kE1 cos 2kE h kE sin 2kE h) h cos kE (x + h)fY dx QM (h, E, M ) := 2M (1kM sin 2kM h 2 kM 1 cos 2kM h)fX (h 0) Доказано, что в интегральной форме система дифференциальных уравнений (3.9) может быть записана в виде и u C = max |u(x)|, а C[h, h] = C[h, h] C[h, h] C[h, h];

линейный оператор N1 имеет вид где матрицы ядер K(x, s) и K(x, s) имеют вид q11 = 1M kM, q13 = 1M, q22 =, q31 = 1M, q33 = 1kM ;

q11 = M p1 (s), q13 = kM p1 (s), q22 = q(s), q31 = kM p2(s), q33 = kM p2(s) и p1(s) = M kM1 1 kM sin 2kM kM (sh) cos 2kM h, p2(s) = 1 kM sin M1M h2kM1 cos 2kM h, q(s) = kE sin 2kE hkE1 cos 2kE h, а операторы J, J представимы следующим образом:

и h = (h1, h2, h3 )T, где Операторы K, K, J, J являются линейными.

Теорема 3.1. Пусть Br0 {u : u r0} – шар радиуса r0 с центром в нуле. Также пусть выполняются два условия:

Тогда существует единственное решение u Br0 уравнения (3.16).

Справедлива следующая теорема единственности.

имеет единственное решение u в шаре Br {u : u r } и u Отметим, что A > 0 не зависит от.

Также справедлива теорема о непрерывной зависимости решения операторного уравнения (3.16) от спектрального параметра.

Теорема 3.3. Пусть ядра матричного оператора N и правые части h уравнения (3.16) непрерывно зависят от параметра 0, где 0 некоторый действительный отрезок. Пусть также h. Тогда решение u() уравнения (3.16) для 0 существует, единственно и непрерывно зависит от параметра 0.

Переходя к пределу при 0 в системе дисперсионных уравнений (3.13) для нелинейного слоя, получаем известные уравнения для линейных задач о распространении ТЕ- и ТМ-волн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью, а именно: gE (h, E ) = 0, gM (h, M ) = 0, где функции gE (h, E ), gM (h, M ) определены формулами (3.14), (3.15) (эти дисперсионные уравнения, определяющие собственные значения, хорошо известны и полностью изучены).

Для собственных значений E и M указанных линейных задач справедливы неравенства:

В задаче разыскиваются решения, удовлетворяющие этим же неравенствам.

Обозначим где js,m = m – m-й неотрицательный корень уравнения sin x = 0, а jc,m = (2m+1) – m-й положительный корень уравнения cos x = 0;

Доказано, что если уравнение gE (h, E ) = 0 имеет lE корней E, E,..., EE, то существует целое число 0 < mE < lE такое, что Доказано, что если уравнение gM (h, M ) = 0 имеет lM корней M, M,..., MM, то существует целое число 0 < mM < lM такое, что Мы предполагаем, что уравнения gE (h, E ) = 0 и gM (h, M ) = 0 имеют lE и lM корней соответственно (выбором h всегда можно добиться того, что оба уравнения будут иметь корни, а одно из них будет иметь заданное число корней).

сами функций Грина (3.11), (3.12). Пусть i > 0 и j > 0, i = 0, lE, j = 0, lM, – достаточно малые числа такие, что локализация собственi) (j) ных значений E, i = 1, lE и M, j = 1, lM, линейных задач, указанная выше, не нарушается.

Построим отрезки При наших предположениях функция gE (E ) имеет различные знаки на концах отрезков E и обращается в нуль в точках E. Тот же самый вывод имеет место для функции gM (M ). Обозначим := E M, где Основным результатом третьей главы является следующая Теорема 3.4. Пусть 2 > max(1, 3) > 0 и уравнения gE (h, E ) = 0, gM (h, M ) = 0 имеют lE и lM решений соответственно. Тогда найдется значение 0 > 0 такое, что для всякого 0 < 0 существует по крайней мере lE ·lM парных собственных значений E, M E M, i = 1, lE, j = 1, lM, задачи P.

Из теоремы 3.4 следует, что при указанных предположениях существуют поверхностные связанные ТЕ-ТМ-волны, распространяющиеся вдоль границы изотропного слоя с керровской нелинейностью. Так как в линейном слое связанных волн не существует, то из утверждения теоремы следует, что в нелинейном слое существует новый режим распространения волн. При доказательстве теоремы 3.4 получена теоретическая оценка величины 0 через нормы соответствующих операторов.

В главе 3 предложен и обоснован (доказана сходимость) итерационный метод нахождения приближенных парных собственных значений задачи P.

Монографии [1] Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах. – Пенза: Изд-во ПГУ, 2010.

[2] Smirnov Yu.G., Valovik D.V. Electromagnetic wave propagation in nonlinear layered waveguide structures. – Penza: PSU Press, 2011.

Публикации в журналах, рекомендованных ВАК [3] Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. К задаче о распространении нелинейных связанных электромагнитных ТЕ-ТМ-волн в слое // Жур. вычисл. матем. и матем.

физ. – 2014. – T. 54, № 3. – С. 504–518.

[4] Smirnov Yu.G., Valovik D.V. Problem of nonlinear coupled electromagnetic TETE wave propagation // J. Math. Phys. – 2013. – V. 54, № 8. – P. 083502-1–13.

[5] Валовик Д.В., Смолькин Е.Ю. Расчет постоянных распространения неоднородных нелинейных двухслойных круглых цилиндрических волноводов методом задачи Коши // Радиотехн. и электроника. – 2013. – Т. 58, № 8. – С. 759–767.

[6] Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г., Смолькин Е.Ю. Нелинейная задача сопряжения на собственные значения, описывающая распространение ТЕ-волн в двухслойных цилиндрических диэлектрических волноводах // Жур. вычисл. матем. и матем.

физ. – 2013. – T. 53, № 7. – С. 1150–1161.

[7] Smirnov Yu.G., Valovik D.V. Coupled electromagnetic transverse-electrictransverse magnetic wave propagation in a cylindrical waveguide with Kerr nonlinearity // J. Math. Phys. – 2013. – V. 54, № 4. – P. 043506-1–22.

[8] Valovik D.V. On the problem of nonlinear coupled electromagnetic transverse electric-transverse magnetic wave propagation // J. Math. Phys. – 2013. – V. 54, № 4. – P. 042902-1–14.

[9] Валовик Д.В., Зарембо Е.В. Решение нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с керровской нелинейностью, методом задачи Коши // Радиотехн. и электроника. – 2013. – Т. 58, № 1. – C. 69–72.

[10] Валовик Д.В., Зарембо Е.В. Метод задачи Коши решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью // Жур. вычисл. матем. и матем. физ. – 2013. – T. 53, № 1. – C. 74–89.

[11] Smirnov Yu.G., Valovik D.V. Coupled electromagnetic TE-TM wave propagation in a layer with Kerr nonlinearity // J. Math. Phys. – 2012. – V. 53, № 12. – P. 123530-1–24.

[12] Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. О распространении связанных электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в плоском слое с керровской нелинейностью // Изв. вузов.

Поволжский регион. Физ. матем. науки. – 2012. – № 4. – С. 21–48.

[13] Валовик Д.В., Смолькин Е.Ю. Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглом диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ. матем. науки. – 2012. – № 3. – С. 29–37.

[14] Валовик Д.В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейной среде с насыщением // Радиотехн. и электроника. – 2011. – Т. 56, № 11. – C. 1329–1335.

[15] Валовик Д.В. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью // Жур. вычисл. матем. и матем. физ. – 2011. – Т. 51, № 9. – C. 1729–1739.

[16] Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. Нелинейные эффекты в задаче о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью // Радиотехн.

и электроника. – 2011. – Т. 56, № 3. – C. 309–314.

[17] Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в диэлектрическом слое из нелинейного метаматериала // Изв.

вузов. Поволжский регион. Физ. матем. науки. – 2010. – № 3. – С. 71–87.

[18] Валовик Д.В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (II. ТМ-волны) // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.

матем. науки. – 2010. – № 2. – С. 54–65.

[19] Валовик Д.В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (I. ТЕ-волны) // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.

матем. науки. – 2010. – № 1. – С. 18–27.

[20] Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. Расчет постоянных распространения и полей для поляризованных электромагнитных ТМ-волн в нелинейном анизотропном слое // Радиотехн. и электроника. – 2009. – T. 54, № 4. – С. 411–417.

[21] Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра // Жур. вычисл. матем. и матем. физ. – 2008. – T. 48, № 12. – С. 2186–2194.

[22] Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. Нелинейная задача на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое // Изв. вузов.

Математика. – 2008. – № 10. – С. 70–74.

[23] Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое // Радиотехн. и электроника. – 2008. – T. 53, № 8. – С. 934–940.

[24] Валовик Д.В. О существовании решений нелинейной краевой задачи на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн // Изв. вузов.

Поволжский регион. Физ. матем. науки. – 2008. – № 2. – С. 86–94.

[25] Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном анизотропном слое // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ. матем. науки. – 2007. – № 4. – С. 51–59.

Публикации в других журналах [26] Smirnov Yu.G., Valovik D.V. Boundary eigenvalue problem for Maxwell equations in a nonlinear dielectric layer // Appl. Math. – 2010. – № 1. – P. 29–36.

[27] Smirnov Yu.G., Valovik D.V. Nonlinear eects of electromagnetic TM wave propagation in anisotropic layer with Kerr nonlinearity // Adv. Math. Phys. – 2012. – V. 2012. – P. 1–21.

[28] Valovik D.V. Electromagnetic wave propagation in nonlinear layered waveguide structures. Computational approach to determine propagation constants // Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, Volume 52: Inverse Problems and Large Scale computations, 2013, P. 71–91.

[29] Smirnov Yu.G., Smol’kin E.Yu., Valovik D.V. Nonlinear Double-Layer Bragg Waveguide: Analytical and Numerical Approaches to Investigate Waveguiding Problem // Adv. in Numer. Anal. – 2014. – V. 2014. – P. 1–11.

Редактор А. Г. Темникова Технический редактор А. Г. Темникова Компьютерная верстка Д. В. Валовика Подписано в печать 10.08.2014. Формат 6084 16.

Усл. печ. л. 1,63. Заказ № 008474. Тираж 100.

Пенза, Красная, 40, Издательство ПГУ Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: [email protected]