На правах рукописи

Шарин Евгений Федорович

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С

РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 – дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Якутск – 2010

Работа выполнена на кафедре математического анализа Института математики и информатики ФГАОУ ВПО “Северо-Восточный федеральный университет имени М.К.Аммосова”

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Попов Сергей Вячеславович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Пятков Сергей Григорьевич, Югорский государственный университет (г. Ханты-Мансийск), кандидат физико-математических наук, доцент Ошоров Батор Батуевич, Восточно-Сибирский государственный технологический университет (г. Улан-Удэ).

Ведущая организация: Московский энергетический институт (Технический университет).

Защита состоится 12 ноября 2010 года в 16:00 часов на заседании диссертационного совета K 212.306.05 при ФГАОУ ВПО “Северо-Восточный федеральный университет имени М.К.Аммосова” по адресу: 677000, г. Якутск, ул.

Кулаковского, 48, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Северо-Восточного федерального университета имени М.К.Аммосова.

Автореферат разослан “ ” октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент В.Е. Федоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории дифференциальных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков. Причиной этому, по-видимому, является, с одной стороны, исключительная практическая важность параболических уравнений, а с другой — то, что их исследование связано с развитием различных разделов математики:

теории рядов и интегралов, функционального анализа, теории приближений, теории вероятностей и случайных процессов.

К параболическим уравнениям и системам уравнений приводит математическое описание многих сложных явлений в современном естествознании, экономике и технике. Кроме классических задач теплопроводности и диффузии, параболические уравнения и системы встречаются, например, в теории тепло- и массопереноса при описании процессов сушки и охлаждения, в теории ядерных цепных реакций при изучении процесса замедления нейтронов, в теории сигналов при макроскопическом описании случайного процесса на выходе радиотехнического устройства, при изучении многих процессов в химической и биологической кинетике и в других задачах.

Краевые задачи с негладкими коэффициентами для дифференциального уравнения второго порядка параболического типа являются одним из классических объектов исследования. Теории таких задач посвящена, например, монография О.А. Ладыженской.

Настоящая работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач для некоторых специальных классов параболических уравнений с разрывными коэффициентами. Краевые задачи для уравнений с разрывными коэффициентами были предметом исследований в работах О.А. Олейник, в которых рассмотрены первая краевая задача и задача Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка и первая краевая задача и задача Коши для общего параболического уравнения с разрывными коэффициентами, причем поверхности разрывов коэффициентов параболического уравнения могут зависеть от времени.

В дальнейшем, решению различных краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами были посвящены работы Я.А. Ройтберга и З.Г. Шефтеля, Н.Н. Уральцевой, А.Х. Гудиева, Ю.А. Алхутова и И.Т. Мамедова и других. Из последних работ, посвященных исследованиям разрешимости краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами, хотелось бы отметить работы И.Х. Керефовой, А.Р. Алиева, М.Ф. Череповой, Э.А. Гасымова.

Также в работе рассмотрена краевая задача для параболического уравнения с меняющимся направлением времени. Первыми работами, посвященными уравнениям параболического типа с меняющимся направлением времени, по-видимому, были работы М. Жевре. Имеется целый ряд работ отечественных и зарубежных авторов, в которых поставлены и исследованы краевые задачи для такого вида уравнений. Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением времени. Простейшей моделью является уравнение вида (1) g(x)ut + Lu = f, g(x) = sgn x, где L — эллиптический оператор второго порядка. Отметим, что граничные условия для уравнений вида (1) задают на части верхней и части нижней границы, и они представляют собой, по сути, одно граничное условие. Подобные задачи выходят за рамки общих вопросов теории граничных задач. Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С.А. Терсенова, А.М. Нахушева, И.Е. Егорова, А.А. Керефова, Н.В. Кислова, И.М. Петрушко, С.Г. Пяткова, С.Г. Подгаева, Т.Д. Джураева, В.В. Катышева, Х.Х. Ахмедова, М.С. Боуенди, П. Грисварда, К.Д. Пагани, Г. Таленти, О. Арены и других авторов. В последнее время активно изучались схожие задачи в работах Попова С.В., Пинигиниой Н.Р., Потаповой С.В., Туласынова М.С.

Помимо начально-краевых задач в диссертации для линейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами рассмотрен вопрос разрешимости нелокальной краевой задачи дифракции и связанной с ней обратной коэффициентной задачи. Ранее задачи в такой постановке не рассматривались.

Нелокальные краевые задачи — это задачи, в которых вместо задания значений решения или (и) его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же или иных функций на других внутренних или граничных многообразиях.

В настоящее время особый интерес к нелокальным задачам обусловлен, с одной стороны, значительными теоретическими достижениями в данном направлении и, с другой стороны, их важными приложениями.

Впервые внимание к задачам с нелокальными условиями для параболических и для гиперболических уравнений было привлечено в работах Дж.Кэннона и Л.И.Камынина. Впоследствии в работах ряда авторов эта проблема получила дальнейшее развитие.

Задачи с нелокальными условиями для параболических уравнений активно изучаются в последнее время. Большую роль в развитии этого направления сыграли статьи А.В. Бицадзе и А.А. Самарского, в которых были предложены новые постановки задач для уравнений в частных производных.

А.М. Нахушев исследовал нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений гиперболического и параболического типа. Подобные задачи в классах суммируемых функций с общими нелокальными по времени условиями были изучены в работах А.А. Керефова, J. Chabrowski, В.В. Шелухина, Г.М. Либермана, А.И. Кожанова. и др.

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения вместе с решением неизвестных коэффициентов дифференциальных уравнений, неизвестной правой части, неизвестных граничных или начальных условий. Неизвестные элементы начально-краевых задач определяются по некоторой дополнительной информации. Такой информацией служат различного рода условия переопределения. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов, геофизики, сейсмологии, компьютерной томографии, геотомографии, диагностики плазмы, квантовой теории рассеяния, подводной акустики, квазиоптики, дифракции, теории колебаний молекул, георадиолокации приводят к обратным задачам, что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики и современного математического моделирования.

Теория обратных задач составляет важное самостоятельное направление исследований в области дифференциальных уравнений. Публикации по обратным и некорректным задачам появились в первой половине 20-го века.

Они были связаны с физикой, геофзикой, астрономией и другими областями естествознания. В 1943 году А.Н. Тихонов указал на практическую важность подобных задач и возможность устойчивого их решения. В 50–60-х годах появился ряд новых подходов, которые стали основополагающими для теории некорректных задач и привели к ней внимание многих математиков.

В настоящее время теория обратных задач активно развивается представителями целого ряда отечественных математических школ. Корректность обратных задач для параболических уравнений, а также краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении о независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственных переменных изучались во многих работах — отметим здесь, прежде всего, работы Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова, Е.Г. Саватеева, А.И. Прилепко, В.В. Васина, А.И. Кожанова, Ю.Я. Белова, С.И. Кабанихина, Н.И. Иванчова, И.А. Калиева, М.М. Сабитовой, В.Е. Федорова, Д.С. Ткаченко, С.Г. Пяткова, Н.Л. Абашеевой и других. Целый ряд результатов в последние десятилетия зарубежные авторы из Италии, Голландии, Швеции, Франции, Японии и другие.

Цель диссертационной работы — доказательство теорем существования и единственности в пространствах Гельдера для параболических уравнений 2n-го порядка с разрывными коэффициентами; доказательство разрешимости в пространствах Соболева нелокальной задачи дифракции, а также связанной с ней обратной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых изучение краевых задач сводится к исследованию систем интегральных уравнений. Для доказательства разрешимости нелокальных и обратных задач применен метод продолжения по параметру.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: поставлены и исследованы краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами с общими условиями склеивания, найдены и явно представлены необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач; доказана безусловная разрешимость исходной задачи; доказана теорема единственности и существования решения краевой задачи для параболического уравнения 2n-го порядка с разрывными коэффициентами; доказана разрешимость нелокальной задачи дифракции и связанной с ней обратной задачи для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах.

Область приложений полученных результатов — краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами, в том числе и для уравнений с меняющимся направлением времени.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре “Уравнения переменного типа” профессора С.В. Попова (кафедра математического анализа ИМИ СВФУ), на семинаре “Дифференциальные уравнения с частными производными” профессора И.Е. Егорова (ФГНУ “НИИ математики при ЯГУ”), на научной конференции “Лаврентьевские чтения РС(Я)” (Якутск, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007), на Всероссийской научной конференции “Информационные технологии в науке, образовании и экономике” (Якутск, 2005, 2007), на IV и V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2004, 2007), на Всероссийской школе-семинаре и Всероссийской научной конференции для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов “Математическое моделирование развития Северных территорий РФ” (Якутск, 2005, 2006, 2007, 2008), на XLIII и XLIV Международной научной студенческой конференции “Студент и научно- технический прогресс” (Новосибирск, 2005, 2006), на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов–2007” (Москва, 2007), на Молодежной международной научной школе-конференции “Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач” (Новосибирск, 2009), на Международной конференции по математическому моделированию “Mathematical modeling” (КНР, г. Линьи, 2010), на научном семинаре лаборатории обратных и некорректных задач ИМ СО РАН под руководством профессора Ю.Е. Аниконова (Новосибирск, 2010), а также на научном семинаре “Неклассические уравнения математической физики” ИМ СО РАН под руководством профессора А.И.

Кожанова (Новосибирск, 2010).

Работа выполнена при финансовой поддержке следующих грантов: гранта ректора ЯГУ (2005 г.); гранта НП МО РФ “Университеты России” (2002гг.); гранта ИМИ ЯГУ для студентов и магистрантов (2006 г.); гранта ФЦНТП “Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники” на 2002-2006 годы по мероприятию 1.9 “Проведение молодыми учеными научных исследований по приоритетным направлениям науки, высоких технологий и образования” (2006 г.); грантов ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 гг. по мероприятию 1.3.1 “Проведение научных исследований молодыми ученымикандидатами наук” (2009-2010 гг.) и по лоту “Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области математики” мероприятия 1.1; гранта Президента РС(Я) (2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах: 7 статьях и 15 тезисах докладов [1]–[22].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 118 страниц. Список цитируемой литературы содержит 227 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, даны краткие исторические сведения по теме диссертации, в кратком виде приводится содержание работы.

Первая глава носит вспомогательный характер, состоит из трех параграфов. В первом параграфе даются определения и некоторые свойства гельдеровских и соболевских пространств, во втором параграфе приводятся некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений. В третьем параграфе приведены общие понятия о нелокальных и обратных задачах для уравнений с частными производными.

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, доказываются теоремы существования и единственности решения краевых задач для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами.

В §2.1 и §2.2 исследована краевая задача для уравнения Пусть в уравнении (2) функция f (x) = A, x > 0 и f (x) = B, x < 0, где A, B – положительные постоянные. Известно, что решение уравнения (2) в классе ограниченных функций будет единственным при выполнении начальных условий и условий непрерывности производных до 1-го порядка.

Решение уравнения (2) ищется из пространства Гельдера Hx t ( ), p= 2l+, 0 < < 1, которое удовлетворяет полной матрице условий склеивания:

где aij — элементы невырожденной матрицы, l 1 — целое число.

В §2.1 поставлена и исследована следующая задача: в области Q найти функцию u(x, t) удовлетворяющую уравнению (2), для которой выполняются условия (3), (4).

Результатом настоящего параграфа является явное описание условий разрешимости краевой задачи (2)–(4). Условия разрешимости будут иметь вид:

где Ls — линейные интегральные операторы от 1 (x) и 2 (x), выписываемые в явной форме.

Методом доказательства является метод параболических потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению систем интегральных уравнений. Этот метод, развитый в работах Е.Е. Леви, Е. Хольмгрена, М. Жевре, Г.М. Мюнтца, А.Н. Тихонова, В.П. Михайлова, Б. Пини, Л. Каттабрига, О.А. Ладыженской, В.А. Солонникова и других, является одним из эффективных средств доказательства теоремы существования решения для параболических уравнений.

Основной результат данного параграфа формулируется в виде следующей теоремы.

Тогда 1) при a12 = 0, a11 A + a22 B = 0 и выполнении 2l + 1 условий вида (5), 2) при a12 = 0 и выполнении 2l условий (5) существует единственное решение краевой задачи (2)—(4) из пространства Hx t (Q± ).

p,p/ Дифференциальные свойства решения рассмотренной задачи раскрывает следующая теорема 2.

Теорема 2. Пусть 1 (x) H p1 (+ ), 2 (x) H p2 ( ) и выполнены условия (6) при a12 = 0, a11 A + a22 B = 0. Тогда существует единственное выполнении 1) одного условия вида (5), если 0 < p < 1. При этом 2) двух условий вида (5), если 1 < p < 2. При этом 3) трех условий вида (5), если 2 < p < 3. При этом Следствие 1. Пусть 1 (x) H 2 (+ ), 2 (x) H 2 ( ) и выполнены условия теоремы 2. Тогда существует единственное решение u(x, t) Cx t (Q± ) краевой задачи (2)–(4) при выполнении трех условий вида (5) и при этом uxx (x, t), ut (x, t) C(Q).

§2.2 состоит из двух частей, в которых доказывается безусловная разрешимость исследуемой краевой задачи (2)–(4) в области Q. Путем расширения области решения достигается уменьшение количества условий разрешимости исходной задачи, также определяется область, в которой достигается безусловная разрешимость. Доказаны следующие две теоремы.

Теорема 3. Пусть 1 (x) H 1+ (+ ), 2 (x) H 1+ ( ) и выполнены условия (6) при a12 = 0. Тогда при выполнении двух условий вида (5) существует единственное решение краевой задачи (2) — (4) из пространства Теорема 4. Пусть 1 (x) Wq2 (+ ), 2 (x) Wq2 ( ), 0 < < 1. Тогда существует единственное решение краевой задачи (2)—(4) из пространства Hx t2 (Q± ) C 2,1 (Q± ).

В §2.3 исследована начально-краевая задача для уравнения теплопроводности 2n-го порядка: найти решение u(x, t) уравнения при выполнении условий склеивания и начальных условий где 1 (x), 2 (x) — заданные функции.

Пусть функция f (x) > 0 терпит разрыв первого рода при x = 0, для простоты, возьмем f (x) = A при x + и f (x) = B при x, где A, B – положительные постоянные.

Пусть выполнено условие на коэффициенты A и B:

где A1, A2 — квадратные невырожденные матрицы n-го порядка, которые явно определяются в ходе доказательства теоремы.

Методом параболических потенциалов простого слоя с неизвестными плотностями (t), (t), построенными при помощи фундаментального решения и элементарных решений Пини–Каттабрига, поставленная задача сводится к решению системы 2n уравнений где F1 (t), F2 (t) – заданные интегральные операторы от 1 и 2.

Если решение поставленной задачи разыскивать из пространства Гельдера p,p/2n теорема 5.

Теорема 5. Пусть 1 (x) H p (+ ), 2 (x) H p ( ) и выполнено условие (10). Тогда при выполнении 2nl + 1 условий вида (5) существует единственQ± ).

В §2.4 исследована начально-краевая задача для параболического уравнения с меняющимся направлением времени при граничных условиях Доказываются теорема и следствие, в которых уточняются теоремы разрешимости краевой задачи (11)–(13), полученные ранее в работах С.А. Терсенова и Н.В. Кислова.

(1; 2), f (x, t) L2 (Q), то при выполнении двух условий вида (5) существует единственное решение краевой задачи (11)–(13) u(x, t) Hx t (Q± ) при этом uxx (x, t), ut (x, t) L2 (Q).

Следствие 2. Пусть 0 (x) H 2 (+ ), T (x) H 2 ( ), f (x, t) 0, то при выполнимости двух условий вида (5) существует единственное решение краевой задачи (11)–(13) u(x, t) Cx t (Q± ), при этом uxx (x, t), ut (x, t) C(Q).

Третья глава посвящена исследованию нелокальной краевой задачи дифракции и связанной с ней обратной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами. В §3.1 рассматривается следующая нелокальная задача: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q = (0, T ), = [1; 1] решением уравнения где и такую, что для нее выполняются условия С помощью метода продолжения по параметру и принципа неподвижной точки Шаудера доказана теорема существования и единственности решения нелокальной задачи (14)–(17).

Определим пространства V0 и V1 :

Теорема 7. Пусть выполняются условия и пусть Тогда для любой функции f (x, t) из пространства L2 (Q) и любой функции u0 (x) из пространства W 1 (), такой что u0 (1) = u0 (1) = 0, u0 (0, t) = u0 (+0, t), d1 u0x (0, t) = d2 u0x (+0, t), краевая задача (14)–(17) имеет единственное решение u(x, t), принадлежащее пространству V0.

В §3.2 установлено, что обратная коэффициентная задача: найти функции u(x, t), q(x) связанные в прямоугольнике Q уравнением где при выполнении для функции u(x, t) следующих условий:

также имеет единственное решение в пространстве V1.

Теорема 8. Пусть выполнены условия Тогда обратная задача (20)–(24) имеет решение {u(x, t), q(x)}, u(x, t) V1, q(x) L (), для любых функций f (x, t), u0 (x), u1 (x), (t) и (t) таких, что f (x, t) L2 (Q), ft (x, t) L2 (Q), (t) W2 ([0, T ]), (t) W2 ([0, T ]), u0 (x) W2 (), u1 (x) W2 (), u0 (1) = (0), u0 (1) = (0), u1 (1) = (T ), u1 (1) = (T ), u0 (0) = u0 (+0), d1 u0x (0) = d2 u0x (+0), u1 (0) = u1 (+0), d1 u1x (0) = d2 u1x (+0).

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Шарин, Е.Ф. Обратная коэффициентная задачи и связанная с ней нелокальная задача для параболического уравнения с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // Математические заметки ЯГУ. Т.17, Вып. 1. – Якутск, 2010. – C. 154–173.

[2] Шарин, Е.Ф. Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // VII Лаврентьевские чтения: Научная конференция студентов и молодых ученых. Секция – математика, механика и физика: Сборник статей. Том 1.– Якутск, 2003. С. 149–153.

[3] Шарин, Е.Ф. Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // Материалы XLII международной научной студенческой конференции “Студент и научно-технический прогресс”: Математика / НГУ. Новосибирск, 2004. С. 55–56.

[4] Шарин, Е.Ф. Гельдеровские классы решений параболических уравнений с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // IV Международная конференция по математическому моделированию: Тез. докл. / Под ред. И.Е.

Егорова.– Якутск: Изд-во ГУ “РОНПО”, 2004. С. 49–50.

[5] Шарин, Е.Ф. Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // VIII Лаврентьевские чтения:

Научная конференция студентов и молодых ученых. Секция – математика, механика и физика: Сборник статей. Том 1.– Якутск, 2004. C. 66–67.

[6] Шарин, Е.Ф. Гельдеровские классы решений параболических уравнений с полной матрицей условий сопряжения / Е.Ф. Шарин // Материалы XLIII международной научной студенческой конференции “Студент и научнотехнический прогресс”: Математика / НГУ. Новосибирск, 2005. С.55–56.

[7] Шарин, Е.Ф. Разрешимость краевых задач для параболических уравнений с полной матрицей условий сопряжения / Е.Ф. Шарин // IX Лаврентьевские чтения: Научная конференция студентов и молодых ученых. Секция – математика, механика и физика: Сб. статей. Том 1.– Якутск, 2005. С. 55–59.

[8] Шарин, Е.Ф. Безусловная разрешимость краевых задач для параболических уравнений с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // Математические заметки ЯГУ. Т.12, вып. 1. Якутск, 2005. С. 134–138.

[9] Шарин, Е.Ф. Гельдеровские классы решений для параболических уравнений с полной матрицей условий сопряжения / Е.Ф. Шарин // Труды МНСК “Студент и научно-технический прогресс”: Математика / Новосибирск: Издво НГУ, 2005. С. 193–198.

[10] Шарин, Е.Ф. Разрешимость параболических краевых задач с полной матрицей условий сопряжения / Е.Ф. Шарин // Математические заметки ЯГУ. Т. 12, вып. 2. Якутск, 2005. С. 109–115.

[11] Шарин, Е.Ф. О разрешимости параболических краевых задач с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // Всероссийская научная конференция “Информационные технологии в науке, образовании и экономике”;

Тез. докл. Часть I. / Якутск: РИЦ “Офсет”, 2005. – С. 92.

[12] Шарин, Е.Ф. О гладкости решений краевых задач для уравнения теплопроводности с негладкими начальными функциями / Е.Ф. Шарин // Международная конференция, посвященная памяти И.Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского): Тезисы докладов.

– М.: Изд-во МГУ, 2007. – С. 290.

[13] Шарин, Е.Ф. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с разрывными начальными функциями / Е.Ф. Шарин // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения И.Н. Векуа (Новосибирск, 28 мая – июня 2007 г.): Тезисы докладов / Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск, 2007. – С. 378.

[14] Шарин, Е.Ф. Краевая задача для параболического уравнения четвертого порядка с разрывными начальными функциями / Е.Ф. Шарин // Всероссийская научная конференция “Информационные технологии в науке, образовании и экономике”; Тез. докл. Часть 2. / Якутск: Филиал Изд-ва ЯГУ при ИМИ ЯГУ, 2007. С. 85–86.

[15] Шарин, Е.Ф. Краевая задача для уравнения теплопроводности с разрывными начальными функциями / Е.Ф. Шарин // V Международная конференция по математическому моделированию, посвященная 75-летию со дня рождения академика В.Н. Монахова: Тез. докл. / Под ред. И.Е. Егорова. – Якутск: РИЦ “Офсет”, 2007. – С. 52–53.

[16] Шарин, Е.Ф. Разрешимость краевых задач для параболических уравнений 2n-го порядка с разрывными начальными функциями / Е.Ф. Шарин // VI Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов “Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка”; Тез.докл. / Якутск: Филиал Изд-ва ЯГУ при ИМИ ЯГУ, 2008. С. 45–46.

[17] Шарин, Е.Ф. Разрешимость краевых задач для параболических уравнений с разрывными начальными функциями и меняющимся направлением времени / Е.Ф. Шарин // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 5-12 октября 2008 г.): Тез. докладов / Ин-т математики СО РАН. Новосибирск, 2008.

С. 235.

[18] Шарин, Е.Ф. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с разрывными начальными функциями и с меняющимся направлением эволюции / Е.Ф. Шарин, С.В. Попов // Математические заметки ЯГУ. Т. 15, Вып. 1. – Якутск, 2008. С. 91–105.

[19] Шарин, Е.Ф. Об одной задаче для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. – М.: Изд-во “Университетская книга”, 2009. – С. 234.

[20] Шарин, Е.Ф. Краевые задачи для параболических уравнений с меняющимся направлением времени / С.В. Попов, С.В. Потапова, Е.Ф. Шарин // Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение. Всероссийская конференция, приуроченная к 90-летию академика Л.В.

Овсянникова (Новосибирск, 23–28 апреля 2009 г.): Тез. докладов / Ин-т гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН. Новосибирск, 2009. С. 116–117.

[21] Шарин, Е.Ф. Об одной задаче для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач. Молодежная международная научная школа-конференция (Новосибирск, 10-20 августа 2009 г.): Тез. Докладов / Ин-т математики СО РАН. Новосибирск, 2009. – С. 114.

[22] Sharin, E.F. Inverse problem for parabolic equation with discontinuous coecients / E.F. Sharin // International Young Scientists Conference on Mathematical Modeling. Linyi, China, May, 24–25, 2010. Abstracts. / Yakutsk: IMI YSU, 2010. – pp. 48–50.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Подписано в печать 08.10.2010 г. Формат 60x84/16.

Печ.л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 25.

Отпечатано в филиале издательства СВФУ, Институт математики и информатики СВФУ.

Адрес: г.Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112)