На правах рукописи

Сапегина Ирина Владимировна

Организация процесса обучения математике

в 5-6 классах, ориентированного на понимание

Специальность: 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания

(математика, уровень общего образования)

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата педагогических наук

Санкт-Петербург 2002 2

Работа выполнена на кафедре методики обучения математике Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена

Научный руководитель: кандидат педагогических наук, профессор Евдокия Ивановна Лященко

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор Нина Фёдоровна Радионова кандидат педагогических наук, доцент Валентина Михайловна Туркина

Ведущая организация: Вологодский государственный педагогический университет

Защита состоится 23 января 2003 года в 1100 на заседании Диссертационного Совета Д 212.199.03 по присуждению учёной степени доктора наук при Российском государственном педагогическом университете имени А.И. Герцена (191186, г. Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, д. 48, корпус 1, ауд. 237).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена.

Автореферат разослан 20 декабря 2002 года Учёный секретарь диссертационного совета И.В. Симонова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

В современных условиях, когда школа нацелена на гуманистическое образование, развитие учащихся - основная её задача.

Однако в силу высокой абстрактности математических понятий и логической строгости обоснования фактов учебный материал предъявляется учащимся со значительным акцентом на его синтаксический состав. Данное обстоятельство инициирует учащихся к формальному запоминанию учебного материала, что не способствует развитию учащихся. Особенно этот вопрос актуален для детей 5-6 классов, когда их опыт конкретен и постичь высокий уровень абстрактности для них затруднительно. (Ж. Пиаже, Л.В. Выготский, Э. Эриксон и др.).

В исследованиях проблем методики обучения математике вопросам уменьшения формализма знаний уделялось немало внимания - это и использование познавательных функций математических задач (Д. Пойа, Л.М. Фридман, В.В. Крылов и др.), и различного рода обобщения при обучении математике (В.А. Далингер, В.Е. Ярмолюк и др.), и организация диалогового обучения (Е.Е. Семёнов, С.Ю. Курганов, Н.В. Седова и др.). Но эти и другие исследования не касались проблем целостности изучаемого материала, содержательных связей внутри этой целостности, средств представления и раскрытия целостности и др., что составляет основу обучения математике, нацеленного на понимание.

Хотя считается, что понимание есть всегда, при любом обучении, в психологии выделяется понимание в узком и широком смысле.

В широком смысле понимание – универсальная характеристика интеллектуальной деятельности человека, которая оказывается непременным атрибутом любого уровня познания и общения в каждом психическом процессе. В данном исследовании рассматривается понимание в узком смысле, для которого характерны (в единстве) три основных параметра, связанных со спецификой математики: установление связей и их значимости в абстрактных понятиях, построение целостности изучаемого объекта. Причём установление свойств и связей, на основе созданных для этого условий, учащийся должен выполнить самостоятельно, чаще всего в диалоге с учителем или сверстниками.

В качестве основных условий возникновения понимания в названном смысле мы считаем содержательный анализ (в разных формах его представления) и диалог.

На основе содержательного анализа учебного материала выделяются основные тематические узлы, а также противоречия, проблемы, на которых необходимо заострить внимание с целью понимания учебного материала, устанавливаются разные виды связей, что лежит в основе создания познавательных математических ситуаций. Именно установление содержательных, семантических связей позволяет раскрыть целостность знаний.

Под познавательными математическими ситуациями мы понимаем конкретный математический материал, представленный в целостном виде, в котором обозначено противоречие. Этот материал представляет математические факты, содержательные связи между математическими фактами, способы их организации и изучения. Познавательные математические ситуации направлены на приобретение новых смыслов. Но так как понимание по своему характеру диалогично, то разрешение таких ситуаций возможно и эффективно в диалоге с учащимися.

Использованием результатов содержательного анализа занимались в основном в системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова в начальной школе. В 5-6 классах данной проблемой занимается В.М. Туркина, но она использует данное понятие для исследования проблем преемственности. Мы же в своём исследовании используем его для поиска адекватных форм представления наиболее существенных содержательных связей в учебном материале.

Одним из эффективных средств выявления содержательных связей можно назвать диалог в связи с “активным диалогическим пониманием” (М.М. Бахтин). В этом случае диалог не используется как инструмент для каких-то внешних целей, а позволяет усовершенствовать каждому учащемуся свою концепцию мира, свой образ мира, то есть диалог в понимающем обучении состоит в примирении разных смысловых позиций.

Ориентация обучения на понимание (в узком смысле) учебного материала с целью не только осмысления знаний, но и способов, средств их получения, учитывающая диалоговый характер понимания, определила актуальность нашего исследования.

Проблема исследования состоит в разработке методики создания познавательных математических ситуаций, провоцирующих вопросы, направленные на обеспечение понимания математики с учётом специфики учебного материала в 5-6 классах.

Решение проблемы исследования определило цель исследования, которая заключается в организации обучения математике в 5-6 классах, ориентированного на понимание учебного материала.

Объектом нашего исследования является процесс обучения математике в 5-6 классах с использованием диалога.

Предметом исследования являются познавательные математические ситуации в 5-6 классах, провоцирующие вопросы, нацеленные на понимание математики.

Для оценки изменений, происходящих в развитии учащихся в результате организации обучения, нацеленного на понимание, мы определили гипотезу исследования.

Гипотеза исследования: если при обучении основным понятиям математики в 5-6 классах создавать познавательные математические ситуации, провоцирующие вопросы, то это заложит основы построения учебного диалога, положительно повлияет на математическую речь учащихся и будет способствовать пониманию математики.

В процессе исследования проблемы и проверки достоверности гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать методические средства построения диалога в 5-6 классах при изучении математики – познавательные математические ситуации, и методику их реализации.

2. Обосновать необходимость построения и использования провоцирующих вопросов (элементов учебного диалога) в 5-6 классах при изучении систематического курса математики.

3. Построить и провести экспериментальное исследование эффективности обучения в диалоге на основе познавательных математических ситуаций.

4. Предложить разработанные материалы для работы в классах общеобразовательной школы, в лицейских классах, классах с углублённым изучением математики.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

- изучение и анализ философской, математической, психологопедагогической литературы по проблеме исследования;

- анализ содержания программ и учебников по математике для 5- - наблюдение за деятельностью учащихся и учителей при изучении математики;

- беседы с учителями и учащимися по проблеме исследования;

- организация и проведение констатирующего, поискового и преобразующего экспериментов;

- количественная и качественная обработка данных, полученных в ходе экспериментов.

Также учитывался личный опыт работы в школе в качестве учителя математики в течение трёх лет.

Исследование проводилось с 1999 по 2002 гг. и включало 4 этапа.

На первом этапе был проведён анализ специфических особенностей математики как школьного предмета и проблемы понимания его учащимися 5- классов. Результатом данного анализа стала теоретическая разработка основных положений исследования.

На втором этапе был изучен вопрос обучения в диалоге, после чего выделены основные цели, требования, условия проведения учебного диалога на уроках математики для учащихся младшего подросткового возраста.

На третьем этапе осуществлялся преобразующий эксперимент для проверки достоверности выдвинутой гипотезы.

На четвёртом этапе была проведена количественная и качественная обработка материалов эксперимента, сделаны общие выводы об основах учебного диалога в 5-6 классах, об изменениях в речи учащихся, о способностях учащихся к пониманию математики.

Научная новизна и теоретическая значимость.

- Впервые в обучении математике учащихся 5-6 классов обоснована возможность и необходимость создания условий, способствующих пониманию специфики математического учебного материала.

- С учётом условий понимания математики разработаны требования к созданию познавательных математических ситуаций при обучении математике в 5-6 классах.

- Определена специфика вопросов, нацеленных на понимание математики в 5-6 классах как основного средства диалогового обучения.

Практическая значимость исследования состоит в разработке методики обучения математике в 5-6 классах через создание:

- познавательных математических ситуаций, выражение ситуаций в виде: а) гипотез; б) проблемных вопросов; в) графовых схем.

- систем провоцирующих вопросов к конкретным познавательным Результаты исследования могут быть использованы учителями общеобразовательных учебных заведений при обучении математике.

Достоверность результатов исследования обеспечивают:

- разносторонний теоретический анализ проблемы;

- результаты экспериментальной проверки, подтвердившей справедливость основных положений диссертации.

Апробация результатов исследования.

Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в школах № 145 и № 318, высшем педагогическом училище (колледже) № г. Санкт-Петербурга. Результаты одобрены учителями (Жуковой М.В., Гудковой О.В., Кудрявцевой Е.В.), преподавателями (Бакаловой Т.В, Тихомировой Н.Д.). Основные результаты исследования докладывались автором на Герценовских чтениях (С.-Петербург, 2001, 2002), методологическом семинаре кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И. Герцена (2000), на педагогической конференции “Формула успеха” (С.-Петербург, школа № 145, 2001), на ХХ Всероссийском семинаре преподавателей математики “Формирование духовной культуры личности в процессе обучения математике в школе и вузе” (Вологда, 2001).

На защиту выносятся:

1. Теоретическое и экспериментальное обоснование целесообразности использования наборов познавательных математических ситуаций в процессе обучения математике в 5-6 классах, ориентированном на понимание.

2. Основные требования к созданию познавательных математических ситуаций и способы их реализации (выделение тематических узлов, выделение типов содержательных связей, установление соответствия между типами связей и функциями вопросов).

3. Требования к организации определённого уровня диалога с учётом возрастных возможностей учащихся 5-6 классов и специфики предмета математики в этих классах (наличие нескольких смысловых позиций;

создание мотивационных ситуаций, провоцирующих вопросы учащихся;

преимущественное использование вопросов, направленных на установление содержательных связей).

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии.

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы проблема, цели и задачи исследования, гипотеза и положения, выносимые на защиту, раскрывается научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе разработана теоретическая база для создания и осмысления познавательных математических ситуаций, их использования в процессе изучения математики в 5-6 классах.

В параграфе 1 рассматриваются вопросы, связанные с проблемой понимания (в узком смысле) учебного материала.

Понимание - придание объекту смысла через отражение существенных свойств и связей объекта. Для понимания характерны (в единстве) три основных параметра: установление связей, установление значимости связей, построение целостности изучаемого объекта.

Понимание имеет непосредственное отношение к усвоению новых знаний, в частности, к переходу от “сырых” исходных данных к их осмысленному представлению в форме знаний. Не вызывает также сомнения, что понимание как-то связано и с переоценкой, переосмыслением уже имеющихся знаний и выведением из них новых.

Почему же зачастую при изучении математики в школе у учащихся не возникает потребности понимать? Одним из объяснений этого явления может быть следующее: в школе детям учитель старается объяснить как можно лучше, подробнее, всё растолковать. А ведь понимание – это я, мои мысли, мои суждения, мой опыт. Поэтому понимание всегда в той или иной мере восходит к личностной мировоззренческой позиции.

Психологи (Л.М. Веккер, А.А. Залевская и др.) называют понимание продуктивно-личностным процессом, так как результатом (продуктом) этого процесса является нечто личностно-новое. Непонятая мысль, если в ней действительно отсутствуют проблески понимания, перестаёт быть мыслью и может быть только механически воспроизведённым фактом, поэтому дети часто математику заучивают.

Такой ситуации, когда кто-то передаёт своё личностное знание другому, поскольку у того его ещё недостаточно, просто не может быть: личностное знание можно только “наработать” самому, но не взять у кого-то в готовом виде.

В этом параграфе рассматривается основная характеристика процесса понимания – его диалогичность, которая проявляется в примирении разных смысловых позиций, создании на их основе нового целостного представления, понимания.

Обосновывается необходимость и возможность обучения математике с нацеленностью на понимание уже с 5-6 классов.

В 5-6 классах постоянно складывается ситуация, когда большинство математических фактов воспринимаются на веру. И в силу специфики возраста и учебного материала, чтобы факты не оставались изолированными друг от друга и внутренне чуждыми ученику, необходимо постоянно устанавливать связи между фактами. Поэтому главную роль в обучении математике уже с этого возраста должно играть понимание в отмеченном нами смысле.

В параграфе 2 рассматривается понятие “познавательная математическая ситуация”.

Под познавательными математическими ситуациями будем понимать конкретный математический материал, представленный в целостном виде, в котором обозначено противоречие. Этот материал представляет математические факты, содержательные связи между математическими фактами, определяет способы их организации и изучения. Познавательные математические ситуации направлены на приобретение новых смыслов.

В этом параграфе выделены основные типы связей внутри математического понятия и между математическими понятиями, которые можно условно, только для их исследования, но не реального использования, разделить на две большие группы:

- формальные;

- содержательные (объективно семантические).

К формальным связям мы относим такие, которые могут быть до такой степени формализованы, что их установление и взаимосвязи между ними можно передать машине.

В школьном курсе математики к таким связям (отношениям) можно отнести те, которые устанавливаются между объёмами понятий с использованием логических операций: конъюнкции (союз “и”), дизъюнкции (союз “или”), отрицания (частица “не”), следования (“если…, то…”) и равносильности (“тогда и только тогда, когда …”).

К содержательным (семантическим) связям мы отнесли связи, которые регулируются смыслами: целое-часть; связи единой содержательной трактовки (предметного основания); сходство-различие; связи, выполняющие одну и ту же познавательную (объяснительную) функцию; связи, имеющие одинаковую интерпретацию либо на другом языке, либо в модели более низкого уровня абстракции; детерминированные связи; случайные и др.

Перечислить все типы связей не представляется возможным: эта система носит открытый характер в отличие от формализованных связей. Но если говорить об учебном математическом материале в 5-6 классах, то перечисленные виды связей охватывают материал предмета.

Просто назвать связь является недостаточным условием для понимания материала, необходимо включить её в определённый контекст, где будут установлены не отдельные связи, а представлена их взаимосвязь. Так мы обратились к познавательным математическим ситуациям.

Одной из важнейших психолого-педагогических особенностей познавательной математической ситуации является ее большая или меньшая проблемность. Познавательные математические ситуации выступают условием, средством для познания. Они связаны с конкретизацией фактов, установлением содержательных связей, с обнаружением незнания, порождением сомнения.

Как показали наши эксперименты и анализ литературы, одним из удачных средств для целостного представления какого-либо “сложного” объекта, может быть граф (схема). И это для нас особенно важно, так как любая познавательная математическая ситуация представляет собой некоторое целое, содержащее определённые связи и взаимосвязи. В этом случае связи, имеющиеся в рассматриваемом материале, представляются наглядно.

- детерминированные связи (алгоритмом, теоремой, определением, формулой);

- - связь “сходство-различие”.

В вершинах графа находятся ключевые понятия темы. Ребра графа отражают разные связи между понятиями, в частности, связи “род-вид’’, “сходство-различие”, детерминированные связи. Для установления каждого вида связи используются определенные виды вопросов, описанию которых посвящён параграф 3.

Основное внимание в параграфе 3 уделяется диалогу.

Выделены виды диалога в зависимости от содержания учебного материала: диалог по актуализации знаний, по установлению связей с прошлым опытом; диалог по установлению и раскрытию связей нового материала со старым или между компонентами нового знания; диалог проецирования изучаемого вопроса в разные сферы его применения.

Каждый вид диалога может проходить на разных смысловых уровнях.

1. Вопросно-ответный уровень диалога. Этот уровень диалога характеризуется обращением к памяти учащихся до обращения к их мыслительной деятельности. Связи в учебном материале, таким образом, устанавливаются на основе уже имеющихся знаний учащихся.

2. Диалог, в основе которого сообщение разнообразных позиций по одной теме. Этот уровень диалога характеризуется тем, что учащиеся сами видят противоречие и предлагают свой выход из него. Каждый устанавливает удобные ему взаимосвязи. Кто-то высказывает мысль, а кто-то другой, слушая это высказывание, понимает его, но это понимание зависит от индивидуального “контекста”, который может измениться.

3. Диалог, в процессе которого идёт совместный поиск смысла. Этот уровень диалога характеризуется высокой степенью заинтересованности учащихся, проявляется в стремлении “докопаться до истины”. В такой ситуации фоновые знания не сразу пополняются, как в предыдущем случае, а ставятся под сомнение. Если говорить о понимании, то этот уровень диалога наиболее предпочтителен.

По результатам исследований школы Ж. Пиаже “характерное для юношества рефлексивное мышление зарождается с 10-12 лет” и происходит полная перестройка интеллекта. Подросток начинает анализировать поставленные перед ним задачи, выясняет возможные отношения (связи), пути их сочетания.

Он переходит от конкретного мышления к абстрактному. Логическая память начинает доминировать над механической, более тонким становится восприятие.

Если говорить о младших школьниках (1-3 классов), то гибкость мыслительных процессов, как утверждают психологи (Г.А. Цукерман и др.), не обнаруживается почти ни у кого из них. Но начиная с 10-11 лет способные учащиеся уже демонстрируют известную гибкость в ходе поисков нескольких решений в задачах (правда, это происходит после наводящих вопросов). Психологи (Л.С. Выготский, Ж. Пиаже, Э. Эриксон, Г.А. Цукерман и др.) утверждают, что в возрасте 10-12 лет у детей появляется предрасположенность к анализирующей деятельности, они начинают задумываться над отношениями между данными, захвачены открывающимся разнообразием точек зрения на один и тот же факт, проявляют самостоятельность, которая понимается как независимость от чужих влияний, инициативность, способность обходиться без посторонней помощи.

Итак, учащиеся 5-6 классов психологически уже готовы спрашивать, формулировать предположения, искать способы их проверки, собирать недостающую информацию, то есть учиться самостоятельно, расширять пределы собственных знаний и умений.

Диалог на уроках математики, выполняя свою основную функцию - осмысление результатов содержательного анализа, получение познавательных математических ситуаций, а также их разрешение, – будет наиболее эффектным для понимания, если пройдёт на третьем смысловом уровне. В то же время, осмысление результатов содержательного анализа, выделение познавательной математической ситуации возможно и на двух первых уровнях. Что касается диалога для разрешения уже поставленной и принятой проблемы, то для понимания учебного материала необходим диалог только третьего смыслового уровня. Учитывая возрастные особенности учащихся 5-6 классов, мы пришли к выводу, что хотя ученики уже и предрасположены к такой деятельности, но есть ряд особенностей подросткового возраста, которые затрудняют организацию диалога третьего смыслового уровня.

К ним можно отнести, например, склонность к мечтанию и фантазированию. Для младших подростков чаще всего близок разговор, а не диалог, дети ещё не умеют слушать друг друга, очень часто стремятся говорить о несуществующих проблемах. Младший подросток ещё мало способен встать на чужую точку зрения, обнаружить разницу своей и чужой позиции, он далеко не всегда замечает, что собеседник высказывает мысль, отличную от его собственной, не умеет обнаружить логические противоречия разговора.

Диалог для младших подростков – это “одежда на вырост”. Даже самые хитрые приёмы организации учебного диалога не могут гарантировать истинного обмена мнениями между учениками в силу их возрастных особенностей (прежде всего из-за их некритичности к словам учителя и эгоцентричного характера мышления). Детям необходимо ещё научиться взаимопониманию, умению согласовывать разные точки зрения.

Поэтому мы обратились к фрагментам диалога для понимания, а именно к определённым вопросам, которые выполняют основную функцию в создании познавательных математических ситуаций, заставляют учащихся задуматься, увидеть противоречие, установить новую взаимосвязь или незнание, непонимание. Стремление же подростков увидеть смысл, значимость рассматриваемого вопроса побуждает их задавать всё новые и новые вопросы.

Представление в виде графа учебного материала позволяет с помощью определённых вопросов раскрыть свойства отдельных составляющих графов и особенно суть рёбер графов, которые несут информацию о видах связей и о взаимосвязи различных компонентов содержания. Вопросы в данном контексте используются как для раскрытия формальной, так и смысловой (семантической, содержательной) природы связей, и тем самым расширяют области понимания и повышают уровень понимания.

Возможные вопросы к графовой схеме, представленной на с. 9:

- Какие числа являются делителями (кратными) данному числу? (Связь, детерминированная определением).

- В каком виде можно представить любое натуральное число по утверждению основной теоремы арифметики? (Связь, детерминированная - Какое правило нахождения НОД (НОК) вы можете предложить?

(Связь, детерминированная алгоритмом).

- Можно ли утверждать, что ОК трёх чисел является кратным для первого числа? (Связь “род-вид”).

- Верно ли, что НОД двух чисел является делителем каждого из них?

(Связь “род-вид”).

- Что общего и чем отличаются способ нахождения НОК и НОД при разложении натуральных чисел на простые множители? (Связь “сходство-различие”).

- Где, при решении каких задач может понадобиться найти НОК или НОД? (Связь с познавательной функцией).

- Сделайте вывод, какой способ нахождения НОД и НОК наиболее удобен и при каких ситуациях. (Связь с познавательной функцией).

Вторая глава раскрывает особенности методики обучения математике в 5-6 классах с ориентацией на понимающее усвоение.

В параграфе 4 формулируются основные положения данной методики, к которым мы отнесли:

- Описание познавательной математической ситуации по возможности осуществляется в виде графа для целостного представления учебного - Постановка вопросов учащимися, а в случае необходимости - провоцирование вопросов учителем.

- Использование диалога (а именно, определённых вопросов) в качестве средства понимания учебного материала при построении и разрешении познавательных математических ситуаций.

- Проведение целенаправленного обучения некоторым приёмам по созданию познавательных математических ситуаций, а также поиску вопросов определённого вида.

Деятельность учителя начинается с проведения содержательного анализа темы, так как содержание учебного материала характеризуется определённой системой внутренних связей между понятиями. После чего учитель переходит к установлению основной идеи, смысла данного отрезка учебного материала, устанавливает возможные связи и закономерности (тем самым выделяет тематические узлы). Любой тематический узел можно представить в виде графа (схемы), построить на основе гипотезы, вопросов. Осмысление каждой познавательной математической ситуации происходит в диалоге.

В параграфе 5 описывается реализация предложенной методики: подготовительная работа, проведённая с учащимися к моменту изучения темы “Делимость натуральных чисел”; организация и основные этапы проведения урока по теме “Применение разложения чисел на множители к нахождению наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного натуральных чисел”; содержание урока и его основные результаты. Мы показали методику работы только на одной теме в силу специфики изложения. На самом деле методика подготовительной работы позволила создать условия, в которых учащийся был вынужден по-другому воспринимать информацию, причём любую. То есть он заведомо сомневается, у него постоянно протекает внутренний диалог, для него стала привычной ситуация непонимания.

Параграф 6 посвящён описанию педагогического эксперимента и его результатов.

Констатирующий эксперимент проводился с целью определения уровня мышления учащихся, а также установления способностей и возможностей учащихся к пониманию математики. Наблюдение показало, что учащиеся 5-6 классов на уроках математики практически не задают вопросов учителю, отвечают формально, заученно, стремятся в значительной мере не к получению новых знаний, пониманию изучаемого материала, а к положительной оценке, которую может дать учитель или родители. Определение уровня мышления проводилось по методикам Р. Атаханова.

Анализ полученных результатов привел к организации поискового эксперимента, в ходе которого мы использовали разные формы (урок, лекция, семинар, мастерская, урок-диалог и др.); средства (индивидуальные задания, перевод с одного языка на другой, системы вопросов и т. п.); разнообразные задания (составление математического кроссворда по определённой теме, составление текстовых задач, написание математической автобиографии, изучение этимологии математических понятий, составление структурных схем с выделением взаимосвязей между понятиями и др.), способствующие пониманию математики. Из предложенных форм, средств, задач выбирали наиболее эффективные с точки зрения особенностей программ по математике и затрат времени на обучение учащихся 5-6 классов, учитывая их уровень психологического развития.

Возможность изучения нового материала в диалоге с учащимися мы апробировали на теме “Положительные и отрицательные числа”. Тема была выбрана не случайно. Мы хотели на локальном материале, но в то же время противоречиво-ярком, построить диалог по раскрытию противоречий.

На основе полученных данных была уточнена гипотеза и разработана методика обучения математике учащихся 5-6 классов через создание познавательных математических ситуаций, описание, осмысление и разрешение которых осуществляется с помощью определённых вопросов.

Преобразующий эксперимент проходил уже на фоне той благоприятной обстановки, созданной всей методической системой, описанной в параграфе 5.

Цель проведения преобразующего эксперимента состояла в опытной проверке гипотезы – может ли обучение основным понятиям математики в 5- классах через создание познавательных математических ситуаций и провоцируемых ими вопросов повлиять на математическую речь учащихся, на их нацеленность на понимание учебного материала, а также на развитие способностей к обучению в диалоге.

Чтобы оценить эффективность данной методики и подтвердить гипотезу, было проведено несколько исследований. Мы оценили изменения, тесно связанные с проблемой понимания, которые произошли в диалоговых способностях учащихся и в их рече-мыслительной деятельности.

К способностям учащихся продуктивно участвовать в диалоге относятся:

способность к сомнению, способность вообразить, домыслить за другого, способность к аргументированию и др. Учащимся были предложены следующие задания.

Задание 1. Почему только одно простое число оканчивается на цифру 2?

Аргументируйте свой ответ.

Задание 2. Л. Эйлер утверждает, что “нужно исключить единицу из последовательности простых чисел: так как, будучи началом всех натуральных чисел, она не является ни простым, ни составным”.

О чём говорил учёный? Поясните своими словами.

Далее мы перешли к оценке изменений в рече-мыслительной деятельности учащихся и использовали методики “ассоциативные связи”, “метод определения понятий”, “сравнение и различение”.

Для этого испытуемым:

- представлялось определённое слово и предлагалось ответить на него любым другим пришедшим в голову словом (например, слово “делитель”).

- предлагалось дать определение тому или иному термину (научному понятию), внимательно изучался характер ответа (например, были предложены такие понятия: “простое число”, “разложение на множители” и др.).

- необходимо было ответить на вопросы: “Что общего между признаками делимости натуральных чисел на 2 и на 3?”, “Что общего между простыми и составными числами?” и др.

Результаты исследований отражены в таблице.

238 человек В результате исследования диалоговых способностей было установлено такое соотношение: в диалоге способны участвовать 53 % учащихся, при определённых условиях – ещё 28 %. А вот 19 % учащихся пока ещё не будут принимать участия в диалоге.

В результате исследования рече-мыслительной деятельности было получено следующее процентное соотношение: вербально-логические связи стали устанавливать 64 % учащихся, наглядно-действенные – 36 % учащихся. Если сравнить показатели с первоначальным уровнем, то вербально-логические связи удалось установить только 30 % учащихся, 9 % не установили связей вообще.

Кроме того, мы качественно оценили изменения в математических способностях учащихся. Во-первых, можно отметить возросший интерес учащихся к изучению математики (о чём свидетельствуют результаты психологических исследований, проведённых специалистами психологического центра в школе № 145; анкеты учителей), а во-вторых, учащиеся стали сомневаться, что проявилось при выполнении следующих заданий:

Задание 1. Допишите в каждом ряду по 2 числа: 5; 25; 125;…;… Задание 2. Запишите число, большее 30, имеющее только три простых делителя.

Задание 3. Может ли в разложении на простые множители числа содержаться множитель 3? Почему?

Самым удивительным результатом выполнения этих заданий было появление знаков вопроса в тексте решения (у 2/3 учащихся). Следовательно, учащиеся выполняли задания осмысленно, сомневались, хотели понять. Именно на основе непонимания, сомнения и желания разобраться в сложившейся ситуации и возникает понимание.

Таким образом, в ходе теоретико-экспериментального исследования были решены поставленные задачи и подтверждена выдвинутая гипотеза.

Основные положения диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:

1. Лященко Е.И., Сапегина И.В. К вопросу организации процесса обучения математике, ориентированного на понимание. – Сб.: Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2000. - С. 77. (0,04 п. с.) 2. Особенности вопросов при организации содержательного анализа на уроках математики в 5-6 классах. – Сб.: Проблемы теории и практики обучения математике. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2001. – С. 46-49. (0,3 п.с.) 3. Специфика диалога при обучении математике. – Сб.: Формирование духовной культуры личности в процессе обучения математике в школе и вузе. – Вологда: Изд-во “Легия”, 2001. – С. 82-83. (0,08 п.с.) 4. Лященко Е.И., Сапегина И.В. Выявление взаимосвязей в математическом материале - одно из условий его понимания. - Сб.: Методология и история математики. - СПб.: Изд-во ЛГОУ им. А.С.Пушкина, 2002. – С. 73-79.

(0,25 п.с.) 5. Познавательные математические ситуации в обучении младших подростков. – Сб.: Проблемы теории и практики обучения математике. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2002. – С. 74-77. (0,08 п.с.)