На правах рукописи

Алтынбаев Фанис Хайдарович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ

СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ТЕЙЛОРОВСКИХ

РАЗЛОЖЕНИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ

Ульяновск– 2005

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика»

Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»

(СамГТУ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Заусаев Анатолий Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Леонтьев Виктор Леонтьевич доктор физико-математических наук профессор Куликова Нэлли Васильевна

Ведущая организация:

Институт астрономии Российской академии наук (ИНАСАН) (г. Москва)

Защита состоится «_» 20 г. в _ часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: г. Ульяновск, Университетская Набережная, 1, ауд. 703.

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432970, г. Ульяновск, ул. Толстого, д. 42, УлГУ, научная часть

С диссертацией можно ознакомиться библиотеке Ульяновского государственного университета

Автореферат разослан «_» _ 20 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Веревкин А.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время достижения в области математического моделирования и вычислительного эксперимента как информационной технологии получений новых знаний об окружающем нас мире приобретают большое значение для различных областей науки, в том числе и для современной астрономии.

В связи с возросшим объемом информации об элементах орбит малых тел, принадлежащих Солнечной системе, возрос интерес к проблеме астероидной опасности. Разработка математической модели и программного обеспечения для численных теорий движения малых тел Солнечной системы является одним из составных этапов при решении этой проблемы. Наибольшую опасность для Земли, наряду с короткопериодическими кометами и крупными фрагментами в метеорных потоках, представляют астероиды (в частности астероиды групп Аполлона, Амура и Атона). Исследование их происхождения, устойчивости движения, оценка вероятности столкновения и предотвращение катастрофических последствий является лишь неполным перечнем проблем, требующих решения. Точность получаемых прогнозов диктуется адекватностью математической модели и адекватностью получаемых на её основе выводов и зависит от ряда факторов: учета в физической модели полного спектра действующих сил; выбора численного метода и его сходимости; устойчивости и погрешности самой математической модели.

Изучение движения малых тел Солнечной системы на основе решения стандартной задачи n-тел с учетом лишь гравитационных эффектов, не позволяют получать долгосрочные адекватные прогнозы. Учет релятивистских эффектов необходим для создания высокоточных численных теорий движения небесных объектов.

Бурное развитие численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений движения небесных объектов, произошло с созданием вычислительных машин. Д. К. Куликовым1 были построены алгоритмы Коуэлла 8-10 порядков. Ш. Когеном и Э. Хаббартом2 – алгоритмы типа Адамса-Мултона-Коуэлла до 16 порядка. В. Ф. Мячин и О. А. Сизова3, а также А. Ф. Заусаев4 разработали метод тейлоровских разложений для задачи Куликов Д.К. Интегрирование уравнений движения небесной механики на электронных вычислительных машинах по квадратурному методу Коуэлла с автоматическим выбором шага // Бюлл. ИТА, 1960 г. Том 7. №10. С.770-797.

Cohen C.J., Hubbard E.C. An Algorithm Applicable to Numerical Integration of Orbits in Multirevolution steps // Astron. J. 1960. V. 65. P.454-456.

Мячин В.Ф., Сизова О.А. Совместное интегрирование уравнений небесной механики численным методом Тейлора-Стеффенсона // Бюлл. ИТА. 1970. №5. С.389-400.

Заусаев А.Ф. Численное интегрирование уравнений движения возмущаемого тела методом Тейлора // Бюлл. Инта астрофиз. АН Тадж. ССР. №77. С.24-28.

n-тел. Гибридные и неявные методы были разработаны М. С. Яров-Яровым5, Э. Эверхартом6 и другими.

Недостатками методов Коуэлла, Адамса-Мултона, гибридных методов является то, что они основаны на использовании разностных схем, что отражается на точности получаемых результатов. Методы, разработанные В. Ф. Мячиным, О. А. Сизовой и А. Ф. Заусаевым ориентированны на решение задачи n-тел и не допускают введения в правые части дифференциальных уравнений движения небесных объектов действия дополнительных возмущений.

Учитывая потребность в повышении точности применяемых методов, а также необходимость учета дополнительных действующих сил, устранение выше перечисленных недостатков является актуальной задачей, определяющей направление исследования диссертационной работы.

Цель работы.

1. Разработка универсального метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений на основе метода тейлоровских разложений, позволяющего решать обыкновенные дифференциальные уравнения, правые части которых являются степенными функциями.

2. Создание программного обеспечения для реализации универсального метода на основе метода тейлоровских разложений.

3. Разработка математической модели движения небесных тел (больших планет, астероидов) с учетом в дифференциальных уравнениях как гравитационных сил, так и релятивистских эффектов.

4. Исследование сходимости, устойчивости, погрешности математической модели и обоснование оптимального выбора параметров численного эксперимента.

5. Составление на основе разработанного метода объектноориентированных программ численного интегрирования уравнений движения и исследование движения астероидов, сближающихся с Землей; выявление наиболее опасных объектов среди астероидов, представляющих потенциальную угрозу для Земли.

Научная новизна.

1. Модифицирован метод численного интегрирования дифференциальных уравнений на основе метода тейлоровских разложений за счет получения универсальных формул нахождения точных производных любого порядка от правых частей, содержащих степенные функции.

2. Проведено исследование сходимости, устойчивости и погрешности метода Тейлора на примере решения модельных задач, описывающих движение различных небесных тел (больших планет, астероидов) для различных порядков аппроксимации и шагов интегрирования.

Яров-Яровой М.С. О применении уточненных методов численного интегрирования в небесной механике. // Труды ГАИШ. - М.: 1974. Т.45, С.179-200.

Everhart E. Implicit single methods for integrating orbits // Celestial mechanics. 1974. №.10. Р.35-55.

3. Разработан комплекс программного обеспечения для реализации метода тейлоровских разложений и его применения при математическом моделировании движения небесных объектов.

4. На основе математического и программного обеспечения проведено исследование движения 1230 астероидов (на примере групп Аполлона, Амура, Атона) на длительные интервалы времени, выполнена их систематизация и классификация, выявлены 49 потенциально опасных для Земли астероидов и создан каталог их орбитальной эволюции.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Модификация метод численного интегрирования дифференциальных уравнений на основе метода тейлоровских разложений за счет получения универсальных формул нахождения точных производных любого порядка от правых частей, содержащих степенные функции 2. Метод вычислительного эксперимента при анализе математической модели движения небесных тел с использованием банка данных координат и скоростей планет, позволяющий на порядок понизить размерность системы уравнений и повысить вычислительную эффективность модели.

3. Алгоритмы и комплекс проблемно-ориентированных программ для решения уравнений движения небесных тел на основе метода тейлоровских разложений 4. Новые качественные и количественные результаты исследования орбитальной эволюции малых тел (на примере астероидов групп Аполлона, Амура и Атона), сближающихся с большими планетами, и их классификация и систематизация.

Практическая значимость работы. Работа имеет теоретический характер. Разработанный метод может применяться для решения любых обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих в правых частях степенные функции. Разработано математическое и программное обеспечение, имеющее универсальный характер, для исследования малых тел Солнечной системы: комет, крупных фрагментов в метеорных потоках и т.д. Результатом исследования явилось создание каталога орбитальной эволюции потенциально опасных для Земли астероидов. Результаты прогноза относительно потенциально опасных астероидов могут быть использованы при решении проблем, связанных с астероидной опасностью.

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований проверена путем всестороннего исследования численного метода, основанного на представлении решения в виде тейлоровских разложений, на устойчивость, сходимость, а также согласованностью координат и скоростей больших планет на различные моменты времени с результатами, полученными высокоточными численными методами другими авторами.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований.

Работа выполнялась в рамках плана НИР Самарского государственного технического университета (тема "Математическое моделирование движения небесных объектов, разработка высокоточных численных методов интегрирования уравнений движения небесных тел и их программного обеспечения").

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на третьей, четвертой и пятой Международных конференциях молодых ученых "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2002, 2003, 2004 гг.), на двенадцатой Межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2002), на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2004), на Всероссийской астрономической конференции ВАК 2004 "Горизонты Вселенной" (Москва, 2004), на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2004), на шестой Международной Петрозаводской конференции "Вероятностные методы в дискретной математике" (Кисловодск, 2004), на пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004), на шестом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005), на Международном симпозиуме "Астрономия – 2005: состояние и перспективы развития" (Москва, 2005), на Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2005), на Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 2005), на первом Международном форуме молодых ученых "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2005), на научных семинарах "Механика и прикладная математика" Самарского государственного технического университета (рук. проф. Радченко В.П., 2003-2005 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Имеется одна работа, выполненная в соавторстве, в которой автору в равной степени принадлежит как постановка задачи, так и результат выполненного исследования. Все остальные работы выполнены автором самостоятельно Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы и трех приложений, в которых приведен каталог эволюции 49 потенциально опасных астероидов и листинги разработанных программ. Общий объем диссертации 218 страниц, основной текст изложен на 144 страницах. Диссертация содержит 35 рисунков и 11 таблиц. Список литературы включает 127 наименований.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и основные направления исследований, приводится структура диссертации.

Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи Глава 1 носит постановочный характер. Поскольку в диссертационной работе рассматривается класс систем дифференциальных уравнений, порожденный задачами небесной механики, то в первой главе приводится обзор существующих численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений движения небесных объектов: метода тейлоровских разложений получившего развитие в работах В.Ф. Мячина и О.А. Сизовой3, Р. Брукке7, А.Ф. Заусаева4; метода Рунге-Кутты, получившего прогресс благодаря усилиям Дж. Батчера8, Дж. Шенкса9, Е. Фельберга10, Э. Хейрера11, А. Кертиса 12; неявного одношагового метода Эверхарта13; многошаговых методов, разработанных впервые Адамсом и Коуэллом и изложенных во многих научных изданиях, касающихся численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, например Я.С. Бахвалов14, а также в некоторых научных изданиях и статьях по небесной механике: М.Ф. Субботин15, Г.А. Чеботарев16, Д.К. Куликов1, С. Oesterwintwer и C. Cohen17; экстраполяционных методов Невилла и Штера, Булирша и Штера18. Рассматриваются характерные особенности, достоинства и недостатки каждого из них. В конце обзора аналитических методов проводится их краткая сравнительная характеристика и выделяется (как наиболее точный) метод, основанный на представлении решения в виде разложении в ряд Тейлора.

При вычислении эволюции небесных объектов решается так называемая задача n-тел, заключающаяся в изучении движения n материальных точек под действием их взаимного притяжения по закону Ньютона. Отмечается, что поскольку аналитического решения этой математической задачи на сегодняшний день не существует, применяются методы численного интегрирования уравнений движения.

Также в первой главе проводится обзор по малым телам (астероидам) Солнечной системы, включающий в себя: краткое историческое содержание по Broucke R. Solution of the N-body Problem with Recurrent Power Series. - Celest. Mech. 1971. V.44,1, P.110-115.

Батчер Дж. Методы Рунге-Кутты. // Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир. 1979. C.76-85.

Shanks J. Solutions of Differential Equations of Functions. // Ausral. Math. Soc. 1966. V.20. P.21-38.

Fehlberg E. Klassische Runge-Kutta Formeln fufter und siebenter Ordnung mit Schrittwei-ter Controll. // Computing.1969, V.4, P.93-106.

Hairer E.A Runge-Kutta Method of Order 10. // Inst. of Math. 1978. V.21, P.48- Curtis A.R. Algorithm of Tenth Order // Inst. Math. Appl. 1975. V.16, P.35- Everhart E. Implicit single methods for integrating orbits // Celestial mechanics. 1974. №.10. Р.35-55.

Бахвалов Я.С. Численные методы. М.: Наука, 1973, 631 с.

Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.

Чеботарев Г.А. Аналитические и численные методы небесной механики. М.-Л.: Наука, 1965. Oesterwinter C., Cohen C. New Orbital Elements for Moon and Planets. // Celest. Mech. 1969. V.5.

P.317- Холл Дж Уатт Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир 1979 г., 312 с.

открытию астероидов, современное научное состояние проблемы, рассматриваются астероиды вблизи Земли.

Приводится блок-схема моделирования какого-либо явления или процесса исследования на основе концепции А. А. Самарского; выполнено предметное уточнение каждого шага применительно к моделированию движения малых тел Солнечной системы.

Заканчивается глава постановкой задачи. Обозначаются цели представляемой диссертационной работы.

Глава 2. Разработка математической модели решения задачи n-тел на основе метода тейлоровских разложений. Создание банка данных координат и скоростей больших планет Содержание второй главы условно можно разделить на две части.

Первая – это создание математического обеспечения, необходимого для успешной реализации решения задачи n-тел. Описываются различные системы координат и алгоритмы перехода от одной системы к другой. Также описываются григорианский календарь, используемый в повседневной жизни, и юлианские дни, удобные при численном интегрировании задач небесной механики. Приводятся схемы перехода от одного времяисчисления к другому.

Подробно описываются виды движения небесных объектов: эллиптическое, параболическое, гиперболическое. Дается понятие элементов орбит – величин, характеризующих положение орбиты в пространстве, ее размеры и форму, а также положение небесного тела на орбите.

Вторая часть – это разработка математической модели решения задачи n-тел на основе метода тейлоровских разложений и создание банка данных координат и скоростей больших планет.

В пункте 2.5 рассматривается задача n-тел и дифференциальные уравнения, характеризующее движение n материальных точек под действием взаимного притяжения друг к другу с учетом релятивистских эффектов, имеющие следующий вид19:

где X – матрица-столбец с элементами x, y, z ; X i - матрица столбец с элементами xi, yi, zi ; m, x, y, z – масса и гелиоцентрические координаты возмущаемого тела; mi, xi, yi, zi – массы и гелиоцентрические координаты Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972. 382 с.

Решение данной системы дифференциальных уравнений находится путем разложения в ряды Тейлора:

Автором настоящей диссертационной работы получен универсальный алгоритм нахождения i-ой производной от степенной функции (P m ), позволивший реализовать рассматриваемый метод.

Производная от степенной функции вычислялась по следующей формуле:

при этом значения определяются через значения с меньшими индексами по формуле сводящая весь процесс вычисления производной от степенной функции к определению производной от F1,1, которая определялась по формуле Лейбница Для решения дифференциальных уравнений, характеризующих движение n материальных точек под действием взаимного притяжения друг к другу с учетом релятивистских эффектов, была разработана программа на языке C++.

Пункты 2.5.4 и 2.5.5 посвящены исследованию эффективности применения метода разложения в ряд Тейлора для решения задачи n-тел и поиску оптимальных параметров при реализации предложенного алгоритма.

Выполнено исследование влияния порядка аппроксимирующей формулы на точность результатов при решении дифференциальных уравнений движения больших планет. В частности, для Меркурия при удержании в разложении 18-ти слагаемых, достигается точность до 13-ого знака после запятой, после чего дальнейшего улучшения результатов уже не происходит. Для всех остальных планет максимальная точность решения равна 19 значащим цифрам после запятой и достигается при удержании в разложении 17 слагаемых.

Поскольку одним из приложений диссертационной работы являлось исследование движения малых тел Солнечной системы, сближающихся с Землей, то простым решением задачи n-тел в этом случае пользоваться было не эффективно. Более целесообразным для этой задачи оказалось использование банка данных координат и скоростей больших планет. Использование банка данных при численном интегрировании уравнений движения малых тел Солнечной системы позволило понизить порядок системы уравнений до трех уравнений второго порядка. При совместном численном интегрировании движения девяти планет и малого тела без использования банка данных пришлось бы решать систему, состоящую из 30 дифференциальных уравнений второго порядка. Этот прием позволил повысить вычислительную эффективность метода более чем на порядок.

Построение банка данных описано в пункте 2.6 диссертации.

Для согласования расчетных данных с телескопическими наблюдениями, при создании банка данных координат и скоростей больших планет на интервале времени порядка 104 лет, точность координат планет на конце интервала интегрирования должна быть не ниже 10-5 а. е. (астрономических единиц), которая достигается при шаге интегрирования 0.5 дня и удержании в разложении Тейлора не менее 10 слагаемых, либо при шаге интегрирования 1. дня и удержании в разложении не менее 12 слагаемых. Из сопоставления временных затрат получено, что наиболее эффективными параметрами для метода являются удержание в разложении 12-ти слагаемых при выборе шага интегрирования 1.0 дня. С этими параметрами проведено интегрирование уравнений движения больших планет и получен банк данных координат и скоростей на интервале времени 10000 лет с 3030 года до н. э. по 6970 год н. э.

В пункте 2.6.2 была проверена точность полученного банка данных путем сравнения результатов с данными исследований проводимыми методом Эверхарта, а также с данными одной из самых совершенных численных теорий DE40520.

Кроме этого, во второй главе даются формулы вычисления координат и скоростей больших планет при использовании банка данных путем уточнения значений, полученных методом экстраполяции от ближайших точных значений.

В завершение сделаны выводы по главе 2.

Standish E.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides DE405/LE405 // JPL IOM, 312, 1998, P1- Глава 3. Исследование эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура, Атона на основе метода тейлоровских разложений Глава 3 посвящена изучению эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура, Атона, как представляющих потенциальную опасность для Земли.