Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

механико-математический факультет

На правах рукописи

Рахмонов Фируз Заруллоевич

Асимптотическая формула в проблеме

Варинга–Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2011 2

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Чубариков Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, профессор Гриценко Сергей Александрович кандидат физико–математических наук, доцент Постникова Людмила Петровна

Ведущая организация: Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого

Защита диссертации состоится 16 декабря 2011 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, дом 1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А.О.Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация является исследованием в аналитической теории чисел, относящаяся к области аддитивной теории чисел. В аддитивной теории чисел изучаются вопросы о представлении некоторой последовательности натуральных чисел суммой ограниченного количества слагаемых заданного вида, и исторически первыми примерами подобных задач стали:

• тернарная проблема Гольдбаха (1742 г.) о представлении нечетных чисел суммой трех простых слагаемых;

• проблема Эйлера (1742 г.)(или бинарная проблема Гольдбаха) о представлении четных чисел в виде суммы двух простых;

• теорема Лагранжа о представлении натуральных чисел суммой не более четырех квадратов натуральных чисел;

• проблема Варинга1 (1770 г.) являющаяся обобщением теоремы Лагранжа, которая утверждает, что последовательность, образованная фиксированной степенью n чисел натурального ряда, образует в нем базис конечного порядка G(n), т.е. что каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде xn + xn +... + xn = N, 1 2 r где x1, x2,..., xr — натуральные числа и количество слагаемых r не превосходит фиксированной величины G(n), называемой порядком базиса последовательности {xn }, или функцией Харди;

• поставленная в начале 19-го века проблема о том, что фиксированная степень n простых чисел p при любом натуральном n образует базис конечного порядка V (n) в натуральном ряде. Вновь постановка этой проблемы появилась в работе П. Эрдша2. Другими словами, преде полагалось, что каждое достаточно большое натуральное N может быть представлено в виде N = pn + pn + · · · + pn, 1 2 k где p1, p2,..., pk — простые числа и k V (n). Данная задача называется проблемой Гольдбаха – Варинга, поскольку обобщает, с одной стороны, проблему Гольдбаха о представлении числа суммой простых чисел, а с другой стороны — проблему Варинга о представлении числа суммой степеней натуральных чисел.

Waring E. Meditationes algebraicae. Cambridge. 1770.

Erdosh P. On the easier Waring problem for powers of primes. I. // Proc. of the Cambridge Phil.

Soc., January 1937, V. XXXIII, Part I, p. 6–12.

• теорема Эстермана 3 о представлении натурального числа N > N0 в виде p1 + p2 + m2 = N, p1 и p2 –простые числа, m–целое число.

И.М.Виноградов4, 5 в 1937 г. создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами. Он обнаружил, что суммы по простым числам могут быть составлены путем только сложений и вычитаний из сравнительно небольшого числа других сумм (решето Виноградова), хорошие оценки которых могут быть получены с помощью метода оценок двойных сумм и средств, не имеющих какого–либо отношения к теории функции (s) или L–рядов (метод сглаживания двойных сумм). Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы Полученная оценка для S(, x) в соединении с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях, позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.

В том же 1937 г. И.М.Виноградов с помощью указанного соображения с последующим применением метода Г.Вейля получил оценку суммы Ю.В.Линник6 с помощью идей Г.Харди и Д.Литтлвуда, применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотностых теоремах для нулей L– рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки тригонометрической суммы S(, x). Тем самым Ю.В.Линником было дано новое доказательство теоремы И.М.Виноградова о трех простых числах (проблема Гольдбаха). Н.Г.Чудаков7 также предложил подобный метод исследования тригонометрических сумм S(, x) с помощью оценки средних значений функций Чебышева, получение которой в свою очередь основывается на распределении нулей L–рядов Дирихле в критической полосе.

Estermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), рр. 501-516.

Виноградов И.М. Избранные труды. — М.: Изд-во АН СССР, 1952.

Виноградов И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976.

Линник Ю.В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова // Мат. сборник, 1946, т.

19, вып. 1, стр. 3-8.

Чудаков Н.Г. On Goldbach-Vinogradof s theorem // Ann of Math.,1947, 48, p.515-545.

Бинарная проблема Гольдбаха до сих пор не решена. Лучший современный результат, наиболее близко подходящий к доказательству этой проблемы, принадлежит Дж.P.Чену8. В этой знаменитой работе он доказал, что каждое четное число N представимо в виде где P2 – простое число или произведение двух простых чисел.

В XIX веке проблема Варинга была доказана для отдельных значений n, но реального прогресса на пути к решению проблемы удалось достичь только в XX веке. В 1909 г. эту проблему решил Д.Гильберт9, тем самым он установил существование функции G(n).

В 1938 г. Хуа Ло Ген10, пользуясь оценкой И.М.Виноградова для тригонометрических сумм с простыми числами, доказал асимптотическую формулу для числа представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов простых чисел и показал, что особый ряд этой формулы больше абсолютной положительной постоянной при N 5(mod24). Тем самым Хуа Ло Ген доказал, что всякое достаточно большое натуральное число N 5(mod24) является суммой пяти простых квадратов.

А в 1948 –1956 гг. И.М.Виноградов, используя вместо метода Г.Вейля свой метод тригонометрических сумм, доказал общую теорему об оценке суммы S (f ). С помощью этой теоремы и упрощенной верхней границы в теореме о среднем нашел асимптотическую формулу в проблеме Гольдбаха – Варинга, о том, что каждое достаточно большое натуральное N может быть представлено в виде где p1, p2,..., pk — простые числа.

В асимптотической формуле И.М. Виноградова вопрос о положительности особого ряда = (k; N ), то есть вопрос о существовании функции V (n) и ее верхней оценки в зависимости только от значения параметра n до 2009 г. оставался открытым и, следовательно, проблема Гольдбаха – Варинга в полном объеме до самого последнего времени оставалась нерешенной.

Сhen J.R. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes // Kexue Tongbao, 1966, v.17, p.385-386.

Гильберт Д. Избранные труды. Т.1. Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия.

Основания математики. –М.: Изд-во "Факториал 1998. – 575с.

Hua L.K. Some results in the additive prime number theory // Quart J Math (Oxford), 1938, 9: 68– В.Н.Чубариков11, 12, 13, 14 создал теорию кратных тригонометрических сумм с простыми числами, являющуюся дальнейшим развитием метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова, и решил проблему Гильберта – Камке в простых числах. В.Н. Чубариков указал арифметические условия, позволяющие свести эту проблему к исследованию разрешимости в p – адических числах при всех p < 2n некоторой системы уравнений варинговского типа. Использование подобных арифметических условий разрешимости позволили ему полностью решить и проблему Гольдбаха – Варинга. Он доказал:

Теорема (В.Н. Чубариков15 ). Пусть n 2 — фиксированное натуральное число, p1, p2,..., pk — пробегают значения простых чисел, превосходящих 2n. Тогда существует функция V (n) такая, что при k V (n) для всех достаточно больших N имеет место представление Более того, справедливы неравенства где функция = (n, p) определяется из соотношения p n, (p1) | n.

Цель работы. Целью работы является изучение поведения тригонометрических сумм с простыми числами, точное вычисление и оценка снизу особого ряда, а также их приложение в асимптотической формуле для количества представлений натурального числа в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел.

Методика исследований. В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе • методы L – рядов Дирихле, методы Ю.В. Линника и Н.Г.Чудакова, основанные на плотности нулей L – рядов Дирихле в критической Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // ДАН СССР, 1984, т.278, №2, с.302-304.

Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, сер. мат., 1985, т.49, №5. с. 1031-1067.

Чубариков В.Н. Об одновременном представлении натуральных чисел суммами степеней простых чисел // ДАН СССР. 1986, т.286, №4. С.828-831.

Чубариков В.Н. Многомерная аддитивная задача с простыми числами // ДАН СССР. 1986, т.290, №4, с.805-808.

Чубариков В.Н. К проблеме Варинга-Гольдбаха В. Н. Чубариков // Доклады Академии наук.

– 2009. – Т.427, №1, с. 24- • метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова;

• метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических сумм и интегралов;

• круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• изучено поведение тригонометрической суммы с простыми числами когда приближается рациональным числом с маленьким знаменателем и устанавлена ее связь с плотностными теоремами для нулей L–рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы;

• получена оценка сверху для модуля квадратичной тригонометрической суммы с простыми числами S2 (; x, 1), когда приближается рациональным числом с большим знаменателем;

• исследован особый ряд асимптотической формулы для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида p + 1 и найдено арифметическое условие, при выполнении которого этот особый ряд больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от N ;

• доказана асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида p + 1.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах по аналитической теории чисел под руководством Г.И.Архипова и В.Н.Чубарикова на механико–математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова, на VIII Международной конференции “Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения”, посвященная 190-летию П.Л.Чебышева и 120-летию И.М.Виноградова в Саратове, 12- сентября 2011 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объм работы. Диссертация состоит из оглавления, списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы, включающего 38 наименований. Объм диссертации составляет 95 страниц коме пьютерной врстки в редакторе математических формул LTEX.

Во введении излагается история вопроса и приводится краткий обзор результатов, связанных с темой диссертации. Также во введении формулируются основные результаты диссертации и кратко описывается ее содержание.

Первая глава диссертации состоит из трех параграфов и посвящена исследованию поведения тригонометрических сумм с простыми числами вида m– фиксированное натуральное число.

Первый параграф носит вспомогательный характер, в нем приведены известные результаты, которые используются в последующих параграфах.

Во втором параграфе этой главы изучается поведение тригонометрических сумм с простыми числами Sm (; x, k), когда приближается рациональным числом с маленьким знаменателем и устанавливается его связь с плотностными теоремами для нулей L– рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы.

Определение. Пусть c 2, < 1 и B 1 абсолютные постоянные, T T0 > 0, H T, тогда оценка вида называется плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы для нулей L – рядов Дирихле по модулю q.

q x 3c exp ln0,76 x, b > (B + 3)(m + 1)– произвольное фиксированное число, k – фиксированное натуральное число, Тогда справедливо равенство:

Доказательство теоремы 1.1 основывается на дальнейшем развитии методов работы Ю.В.Линника6 и Н.Г.Чудакова16, в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и попадание простых чисел в короткие интервалы.

Zhan Tao17 доказал, что соотношение (1) имеет место при c 8/3, 1/3 и B 216. Поэтому из теоремы 1.1 получим следующие безусловные Следствие 1.1.1. Пусть xm 8 exp(ln0,76 x), q x 4 exp ln0,76 x, b 220(m + 1), тогда для остаточного члена теоремы 1.1 справедлива оценка:

Следствие 1.1.2. Пусть q > (ln x)b тогда при выполнении условий следствия 1.1.1 справедлива оценка:

В третьем параграфе первой главы получена оценка сверху для модуля квадратичной тригонометрической суммы с простыми числами Chudakov N.G. On the dierence between two neighboring prime numbers // Mat. Sb., 1, 1936, – 814.

Zhan Tao, On the mean square of Dirichlet L – functions // Acta Math Sinica, 8(1992), No 2, pp.204– 224.

Sm (; x, k), m = 2, k = 1, когда приближается рациональным числом с большим знаменателем.

Теорема 1.2. Пусть x x0 > 0, –вещественное число, = a + q2, (a, q) = 1, q 1, || 1, тогда Доказательство теоремы проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова, и ее основу составляют леммы 1.15 и 1.16 об оценке двойных тригонометрических сумм от квадратичного многочлена.

Лемма 1.15. Пусть M 1 и N 1 произвольные положительные числа, M N, M N x, am и bn функции натурального аргумента такие, что c(N ) – абсолютное положительное постоянное, зависящее только от N.

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору В.Н.Чубарикову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

1. Рахмонов Ф.З. Оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами. // Вест. Моск. ун-та. сер.1, математика. механика. 2011 г., №3, стр. 56-60.

2. Рахмонов Ф.З. Исследование особого ряда в проблеме Варинга– Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами // Дискретная математика, 2011 г., т.23, №4, стр. 3-23.

3. Рахмонов Ф.З. Асимптотическая формула для проблемы ВарингаГольдбаха со сдвинутыми простыми числами // “Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения”, Тезисы докладов VIII Международной конференции посвященной 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова, Саратов, 12-17 сентября 2011 г.,