На правах рукописи
Гао Цзесин
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ
МЕТАМАТЕРИАЛОВ АНАЛИТИЧЕСКИМИ И ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ
01.01.03 – Математическая физика
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2011
Научный руководитель: Доктор физико-математических наук профессор Боголюбов Александр Николаевич
Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук профессор Беланов Анатолий Семенович Доктор физико-математических наук профессор Слепков Александр Иванович
Ведущая организация: Учреждение Российской Академии Наук Институт прикладной математики имени М.В.Келдыша Российской Академии Наук
Защита состоится “22”декабря 2011 г. в час. на заседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском Государственном Университете имени М.В.
Ломоносова (119991, Москва, Ленинские горы, Физический факультет МГУ, ауд. СФА).
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.
Автореферат разослан “” 2011 г.
Ученый секретарь Диссертационного Совета Д 501.002. доктор физико-математических наук профессор Грац Ю.В.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы Интенсивное развитие различных областей радиоэлектронной промышленности потребовало разработки принципиально новых материалов, сильно взаимодействующих с электромагнитными волнами. Метаматериалы – это искусственные вещества, взаимодействие которых с электромагнитным полем существенно отличается от взаимодействия обычных природных материалов. Среди новых метаматериалов особый интерес представляют бианизотропные, биизотропные, в частности обладающие сильной киральностью искусственные киральные среды, а также материалы-«левши».
На данный момент можно выделить множество направлений и научных проблем, исследуемых и решаемых в области электродинамики и оптики киральных сред.
Некоторые из этих проблем носят чисто теоретический интерес. В то же время метаматериалы находят широкое практическое применение, например в построении интегрированных оптических приборов и микросхем, различных волноведущих систем, проектировании антенн и поглощающих покрытий с заданными электродинамическими свойствами, а также во многих других областях радиотехники и прикладной электродинамики.
Применение новых материалов даёт неоспоримые преимущества по сравнению с традиционно используемыми средами. В связи с этим для многих приложений требуются алгоритмы, которые позволили бы с высокой гарантированной точностью производить численный эксперимент, определять постоянные распространения и поля мод в волноведущих системах. Для создания таких алгоритмов прежде всего необходимо строить адекватные математические модели подобных систем и всесторонне исследовать их свойства методами математической физики. Однако теоретическое исследование различных систем и устройств на основе метаматериалов с помощью аналитических методов, также как и применение традиционных алгоритмов для их численного моделирования, вызывает значительные трудности. Поэтому разработка и практическое применение новых аналитических и численных методов исследования электродинамических систем на основе метаматериалов, а также реализация разработанных алгоритмов в виде пакетов программ является весьма актуальной задачей.
Цель диссертационной работы Цель диссертационной работы состояла в следующем:
1. Исследование электромагнитных экранированных резонаторов, заполненных однородным киральным веществом. В качестве примера приведено рассмотрение сферического кирального резонатора.
2. Исследование начально-краевых и краевых задач, описывающих процесс возбуждения электромагнитных колебаний заданным распределением зарядов и токов в области с неоднородным киральным заполнением.
3. Построение математической двумерной модели для плоскопараллельного волновода с прямоугольной киральной вставкой методом смешанных конечных элементов.
4. Построение модели трехмерного прямоугольного волновода с частичным киральным заполнением методом конечных разностей во временной области.
Научная новизна 1. Предложен метод исследования металлических резонаторов с киральным 2. Исследована начально-краевая задача о возбуждении электромагнитных колебаний в конечной и бесконечной областях с кусочно-постоянным обобщенного решения этой задачи. Предложен проекционный алгоритм приближенного решения задачи.
киральным заполнением методом смешанных конечных элементов.
Положения, выносимые на защиту Основные научные результаты диссертации состоят в следующем:
1. Предложен алгоритм исследования экранированных резонаторов, заполненных однородным киральным веществом. В качестве иллюстративного примера рассмотрен сферический киральный резонатор, для которого получены выражения для собственных полей и характеристическое уравнение для собственных частот.
2. Показано, что задача о возбуждении сторонними источниками электромагнитных колебаний в области с неоднородным киральным заполнением, ограниченной идеально проводящей поверхностью, либо являющейся дополнением к ограниченному идеальному проводнику, имеет единственное обобщённое решение в специально введенном функциональном пространстве. Доказательство теорем было проведено конструктивно с использованием проекционного метода, на основании чего был сделан вывод о целесообразности применения проекционных методов для численного анализа математических моделей соответствующих систем и устройств.
3. Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, подкреплены результатами численного моделирования волноведущих систем с неоднородным киральным заполнением с использованием различных модификаций метода конечных разностей и конечных элементов.
Практическая значимость В диссертации наряду с теоретическими исследованиями разработаны численные алгоритмы и приведены результаты расчета конкретных волноведущих систем с киральным заполнением. На основе доказанной теоремы существования и единственности обобщенного решения начально-краевой задачи делается вывод о целесообразности применения для численного расчета соответствующих систем проекционных методов. Рассмотрена задача о расчете сферического резонатора с киральным заполнением. Предложены и реализованы конкретные численные методы для решения задач расчета киральных волноводов.
Апробация работы Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и всероссийских и международных конференциях:
1. Семинар кафедры математики МГУ им. М. В. Ломоносова.
2. The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Russia, August 14-21, 2011.
3. Научная конференция “Тихоновские чтения”, МГУ, факультет ВМиК, июнь 2011.
4. IV Всероссийская научно-техническая конференция “Радиолокация и радиосвязь”, 29 ноября – 3 декабря 2010 г., Институт радиотехники и электроники им.
В.А. Котельникова РАН.
5. Научная конференция “Ломоносовские чтения”, секция физики, подсекция “Теоретическая и математическая физика”, МГУ, физический факультет, 2010.
Публикации По теме диссертации опубликованы 3 статьи в рецензируемых журналах и публикации в материалах конференций.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 72 наименования. Диссертация содержит 120 страниц, 30 рисунков и таблицы.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении приводится краткая характеристика диссертационной работы, показана актуальность темы, сформулированы основные задачи исследования. Излагается краткое содержание глав диссертации.
Первая глава является вводной. В этой главе рассмотрены характерные черты метаматериалов и устройств на их основе. Приводится ряд численных и специально разработанных аналитических методов, достаточно широко применяемых при моделировании электродинамических систем, основанных на использовании метаматериалов.
Общие линейные соотношения (материальные уравнения), связывающие векторы электромагнитного поля в произвольной линейной среде, можно записать в виде:
Вид коэффициентов a11, a12, a21 и a22 определяется конкретной моделью среды.
Такие линейные среды общего вида называются бианизотропными. Приведенные соотношения учитывают эффекты пространственной дисперсии первого порядка по волновому вектору плоских волн. В биизотропных средах материальные параметры являются скалярами или псевдоскалярами.
Изотропная киральная среда является частным случаем биизотропной среды.
Киральная среда – это среда, локальные макроскопические свойства которой неинвариантны относительно зеркальных отражений, то есть изменяются при некоторых зеркальных отображениях. Отсутствие зеркальной симметрии называется киральностью.
В результате процессы, происходящие в такой среде, обнаруживают несимметрию правого и левого, а соответствующие характеристики среды описываются псевдотензорными величинами. Среды из киральных молекул (или содержащие киральные объекты) называются киральными. Такие среды хорошо исследованы в оптике, включая кристаллооптику, где они называются активными или гиротропными.
Естественные киральные среды были известны с начала 19 века. Термин "киральный" введен Уильямом Томсоном. Естественными киральными объектами являются молекулы сахаров, аминокислот, ДНК и органических полимеров. К числу искусственных киральных объектов можно отнести спирали, лист Мебиуса, неправильный тетраэдр и т.д.
Киральность и связанная с ней оптическая активность начали вновь привлекать внимание современных ученых после микроволновых экспериментов Линдмана (K. F.
Lindman) и Пикеринга (W. H. Pickering). В микроволновом диапазоне они получили результаты, схожие с аналогичными результатами для оптических частот. В Советском Союзе и России киральными средами занимались и занимаются Б.З. Каценеленбаум, Е.Н.
Коршунова, А.Н. Сивов, А.Д. Шатров и другие ученые. На кафедре математики физического факультета МГУ исследования в этой области проводили и проводят проф.
Моденов В.П., проф. Боголюбов А.Н. и их сотрудники. В последнее время в связи с прогрессом в области современных технологий появились новые искуственные киральные материалы, которые способствовали развитию интереса к исследованиям в этой области. Были разработаны планарные и объемные киральные среды.
Обычно искусственные киральные материалы получают путем включения случайно ориентированных проводящих киральных объектов в подложку.
Существует несколько распространенных форм записи материальных уравнений киральной среды, например:
где - диэлектрическая постоянная, магнитная постоянная и параметр киральности рассматриваемой среды соответственно. В случае киральной среды, изготовленной при помощи произвольным образом ориентированных и равномерно распределенных в некиральном веществе проволочных пружинок, потерями в которых можно пренебречь, материальные уравнения для гармонических по времени полей (зависимость от времени везде далее выбирается в виде e i t ) записываются следующим образом:
проницаемость и магнитную проницаемость, если киральный адмитанс справедливыми для любой киральной среды без потерь, построенной из киральных объектов произвольной формы.
Отметим также, что при рассмотрении электромагнитной модели обычной (некиральной) среды полагают, что она описывает свойства сплошной среды. Киральные же свойства связаны с проявлением дискретной структуры среды. Киральный параметр пропорционален отношению a, где a - линейный размер частицы-элемента среды, - длина волны. При a 0 киральные свойства среды исчезают. Таким образом, учет киральных свойств означает учет влияния «крупинок» среды или пространственной дисперсии. В оптике естественных сред значение отношения a оказывается порядка 103 104, вследствие чего оптическая активность в естественных средах практически не нашла своего применения из-за малости эффекта. Исключением можно считать лишь жидкие кристаллы. С развитием новых технологий в производстве искусственных электромагнитных сред величину увеличить. В этом случае киральность уже не является малой поправкой, и свойства киральной среды могут кардинально отличаться от свойств диэлектрика.
Одним из наиболее рациональных способов анализа электромагнитных полей в биизотропных и, в частности, киральных средах является введение новых векторов поля, для которых уравнения Максвелла распадаются на две независимые (для случая однородной среды) системы дифференциальных уравнений первого порядка. Этот подход основан на факторизации векторного волнового уравнения. В итоге задача нахождения собственных волн для неограниченной киральной среды сводится к решению двух несвязанных задач для обычных изотропных сред. Таким образом, собственные волны в неограниченных однородных киральных средах оказываются циркулярно поляризованными (право циркулярно поляризованная – RCP и лево циркулярно поляризованная – LCP) и имеют различные волновые числа k + и k. Это позволяет использовать киральные структуры для изменения поляризации падающего электромагнитного излучения. Например, периодическая система правовинтовых спиралей, расположенных в одной плоскости, позволяет преобразовывать падающие RCP и LCP волны в линейно-поляризованные и наоборот, сохранять циркулярную поляризацию поступающего излучения. В многослойных кирально-диэлектрических структурах удаётся получить окна непрозрачности для RCP и LCP волн. Таким образом, полученные системы демонстрируют поляризационно-избирательные свойства и их можно рассматривать в качестве поляризационных фильтров.
Далее в первой главе проанализированы основные методы исследования и математического моделирования киральных сред и устройств на их основе.
Из численных методов рассматриваются метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод Бубнова-Галеркина. Наряду с численными методами, были разработаны и новые аналитические методы, которые позволяют моделировать ряд электродинамических систем на основе метаматериалов. В диссертационной работе кратко рассмотрены два аналитических метода: метод векторных цепей и метод диадных функций Грина.
Вторая глава посвящена исследованию электромагнитных экранированных резонаторов с идеально проводящими стенками, заполненных однородным киральным веществом. В диссертации предложен алгоритм расчета таких систем. В качестве примера применения развитой методики исследован сферический киральный резонатор, для которого получено характеристическое уравнение и вид собственных полей.
Показано, что в таком резонаторе могут формироваться только гибридные собственные колебания, чистые E- и H- колебания не возбуждаются.
Рассматривается достаточно общая спектральная задача. Предположим, что некоторая область V с замкнутой поверхностью заполнена однородным киральным веществом, которое характеризуется материальными уравнениями (3), где, и – константы. Тогда уравнения Максвелла во внутренних точках области V будут иметь следующий вид:
Пусть поверхность является идеально проводящей, а n – единичный вектор нормали к этой поверхности, направленный внутрь V. Тогда краевые условия на границе имеют вид:
где jind surf – плотность индуцированного поверхностного тока, индуцированного поверхностного заряда, En и H n – нормальные составляющие векторов E и H на поверхности.
Введем следующие линейные комбинации векторов Е и Н:
U 2 ( M, t ) = v ( M ) eit, а их комплексные амплитуды в области V будут удовлетворять уравнениям Определённая сложность решения рассматриваемой спектральной задачи связана с тем, что для векторов u и v нельзя получить на границе условия, не содержащие наведенных токов и зарядов. В диссертационной работе развит следующий алгоритм исследования собственных частот и собственных колебаний кирального резонатора.
Сначала строится общее решение системы (10)-(13). Далее векторы e и h выражаются через найденные векторы u и v, и результат подставляется в однородные граничные условия (8). С помощью такого подхода получается характеристическое уравнение для нахождения собственных частот. После нахождения собственных частот можно найти неизвестные коэффициенты в выражениях для e и h и получить собственные поля.
Предложенная методика применяется для исследования сферического резонатора с киральным заполнением. Пусть область V представляет собой шар радиуса R с идеально проводящей границей. Находим решение u, v системы уравнений (10)-(13), записанных в сферических координатах. Векторы e и h связаны с векторами u и v следующим образом:
В результате получаем общее решение вида Поскольку поверхность шара является идеальным проводником, то для вектора e должно выполняться граничное условие равенства нулю тангенциальной составляющей [r, e] r = R = 0. Потребуем, чтобы компонента e обращалась в нуль при r = R. Для этого должна быть справедлива следующая однородная система уравнений:
Компонента enm также обращается в нуль при r = R. При этом автоматически выполняется условие (9) на нормальные составляющие векторов e и h.
Однородная система (20) имеет нетривиальное решение в том и только том случае, когда ее определитель равен нулю. Отсюда получается характеристическое уравнение для нахождения собственных частот np сферического кирального резонатора:
Уравнение (21) решалось численно с помощью математического пакета MATLAB, и из анализа его решений следует, что с ростом параметра значения собственных частот уменьшаются и происходит их сближение (рис 1).
Рис. 1. Зависимость собственных частот от кирального адмитанса для отношения частот к значению – наименьшей собственной частоте резонатора при отсутствии собственным частотам E- и H-колебаний соответственно.
В случае обычной среды, когда = 0, характеристическое уравнение (21) вырождается в два уравнения где k0 = Уравнения (22) и (23) – это характеристические уравнения для собственных частот E- и H-колебаний обычного сферического экранированного резонатора с идеально проводящей границей соответственно.
На основании подготовительной теоремы Вейерштрасса можно показать, что решения уравнения (21) непрерывно зависят от параметра киральности. Обозначим через E те из них, которые при равном нулю параметре киральности совпадают с частотами E-колебаний обычного сферического резонатора. Воспользуемся первым уравнением системы (20) для того, чтобы найти связь между коэффициентами Anm и Bnm. В результате получим выражения для комплексных амплитуд собственных колебаний кирального резонатора, которые в пределе при = 0 с точностью до нормировочного множителя совпадут с E-колебаниями обычного сферического резонатора.
Аналогично получается еще одна серия решений для кирального сферического резонатора, которые в пределе при равном нулю параметре киральности с точностью до нормировочного множителя совпадают с H-колебаниями обычного сферического некирального резонатора. Следовательно, можно сделать вывод о том, что в киральном резонаторе поддерживаются только гибридные собственные колебания.
В третьей главе исследуется задача о возбуждении электромагнитных колебаний заданным распределением зарядов и токов в области с неоднородным киральным заполнением. Область, в которой рассматривается задача, может либо быть конечной с идеально проводящей ограничивающей поверхностью, либо представлять собой дополнение к идеально проводящему ограниченному телу.
Рассматривается достаточно общая начально-краевая задача о возбуждении электромагнитных колебаний в области с кусочно-постоянным киральным заполнением.
Пусть - конечное или бесконечное множество в 3. Если множество конечное, то будем считать, что оно ограничено идеально проводящей поверхностью. Если же множество бесконечное, то будем считать, что - дополнение к области конечно, ограничено поверхностью и представляет собой идеальный проводник.
Пусть область состоит из конечного числа подобластей:
причём все из них, кроме, может, подобласти 0, конечны, и общая для подобластей k и p граница kp регулярна и ограниченна. В случае бесконечной области подобласть 0 неограниченна (рис 2).
Рис.2. а) Первый случай: конечная область в случае q = 2 ; б) второй случай: бесконечная область в случае q = 2. Здесь 0 - бесконечная подобласть области.
Пусть подобласти k имеют однородные киральные заполнения с параметрами k = 0,1,..., q, причём 0 = 0 и 0 = 0, если подобласть 0 неограниченна. В 1, 2,..., q помещены в обычную непроводящую среду, характеризующуюся диэлектрической проницаемостью Предположим, что в области имеются сосредоточенные в некоторой конечной подобласти сторонние токи плотности j. При постановке начально-краевой задачи относительно векторов Е и Н будем исходить из системы уравнений Максвелла, материальных уравнений (3), а также из того, что краевое условие для тангенциальной составляющей вектора Е на границе между киральной средой и идеальным проводником имеет такой же вид, как и в случае границы между обычной средой и проводником. В к поверхности Рассмотрим обобщенную постановку задачи (24)-(28). Обозначим u = {E, H}.
«