МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 512.643, 512.552

Маркова Ольга Викторовна

ФУНКЦИЯ ДЛИНЫ И МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ

01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2009

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, доцент Гутерман Александр Эмилевич доктор физико-математических наук, профессор Михалев Александр Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кожухов Игорь Борисович доктор физико-математических наук, профессор Туганбаев Аскар Аканович

Ведущая организация: Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 11 декабря 2009 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механикоматематического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 11 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор Иванов А.О.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования Длиной конечной системы S порождающих конечномерной ассоциативной алгебры A над произвольным полем называется наименьшее натуральное число l(S), такое что слова длины не большей l(S) порождают данную алгебру как векторное пространство. Длиной алгебры называется максимум длин ее систем порождающих, обозначим ее l(A).

Задача вычисления длины полной алгебры матриц Mn (F) как функции порядка матриц возникла в работах Спенсера и Ривлина1, 2 1959–60гг. в связи с возможным применением в механике. В общей формулировке эта проблема была поставлена Пазом3 в 1984 году и до сих пор является открытой. Существует гипотеза, состоящая в том, что зависимость между длиной и порядком матриц линейная и задается следующей формулой:

Гипотеза (Паз3 ). Пусть F произвольное поле. Тогда l(Mn (F)) = 2n 2.

Известно3, что эта гипотеза верна при n = 2, 3, 4. Однако, все существующие верхние оценки длины алгебры матриц не являются линейными.

Оценка, полученная в работе Паза, является квадратичной относительно порядка матриц.

Теорема 1 (Паз3 ). Пусть F произвольное поле. Тогда n2 + l(Mn (F)), где. обозначает наименьшее целое число, большее или равное данному.

В работе 1997 г. Паппачена4 предложил обобщение метода комбинаторного подсчета линейно независимых слов, использованного Пазом, и с его помощью получил верхнюю оценку длины произвольной ассоциативной алгебры A в виде функции двух ее инвариантов: размерности и m(A) максимальной степени минимального многочлена элементов алгебры.

A. J. M. Spencer, R. S. Rivlin, The theory of matrix polynomials and its applications to the mechanics of isotropic continua, Arch. Ration. Mech. Anal., 2(1959), 309–336.

A. J. M. Spencer, R. S. Rivlin, Further results in the theory of matrix polynomials, Arch. Ration. Mech.

Anal., 4(1960), 214–230.

A. Paz, An application of the Cayley–Hamilton theorem to matrix polynomials in several variables, Linear Multilinear Algebra, 15(1984), 161–170.

C. J. Pappacena, An upper bound for the length of a nite-dimensional algebra, J. Algebra, 197(1997), 535–545.

Тогда l(A) < f (dim A, m(A)).

Для матричной алгебры эта теорема дает верхнюю оценку вида O(n3/2 ):

Некоторые системы порождающих, длины которых не превосходят 2n 2, рассмотрены в работе Константайна и Дарнолла5 и в работе Лонгстаффа6.

Пример системы порождающих длины 2n 2 в случае, когда основное поле является алгебраически замкнутым характеристики 0, построен в работе Лаффи7.

Это направление тесно связано с изучением коммутативных подалгебр матричной алгебры классической областью исследований, восходящей еще к работе Шура8. Эта область активно развивается в течение последнего столетия, достаточно упомянуть работы9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. В работе Паза3, например, было доказано, что верхняя оценка длины коммутативной матричной подалгебры над полем комплексных чисел C равна n 1, т.е. для коммутативных подалгебр получена линейная относительно порядка матриц точная верхняя оценка длины.

D. Constantine, M. Darnall, Lengths of nite dimensional representations of PWB algebras, Linear Algebra Appl., 395(2005), 175–181.

W. E. Longsta, Burnside’s theorem: irreducible pairs of transformations, Linear Algebra Appl., 382(2004), 247–269.

T. J. Laey, Simultaneous reduction of sets of matrices under similarity, Linear Algebra Appl., 84(1986), 123–138.

I. Schur, Zur Theorie der Vertauschbren Matrizen, J. Reine Angew. Math., 130(1905), 66–76.

M. Gerstenhaber, On dominance and varieties of commuting matrices, Ann. Math., 73 (1961), Issue 2, 324–348.

R. C. Courter, The dimension of maximal commutative subalgebras of Kn, Duke Math. J., 32 (1965), 225–232.

Д. А. Супруненко, Р. И. Тышкевич, Перестановочные матрицы. 2-е изд. Москва: УРСС, 2003.

T. J. Laey, The minimal dimension of maximal commutative subalgebras of full matrix algebras, Linear Algebra Appl., 71 (1985), 199–212.

T. J. Laey, S. Lazarus, Two-generated commutative matrix subalgebras, Linear Algebra Appl., 147 (1991), 249–273.

W. C. Brown, F. W. Call, Maximal commutative subalgebras of n n matrices, Commun. Algebra, 21(12)(1993), 4439–4460.

Youngkwon Song, A construction of maximal commutative subalgebra of matrix algebras, J. Korean Math.

Soc., 40 (2003), No. 2, 241–250.

Приложения разрабатываемой теории возникают в следующем классе задач вычислительных методов в теории матриц (см., например, работы16, 17 ):

пусть дана подалгебра в полной алгебре матриц Mn (F) порядка n над полем F (обычно полем комплексных или действительных чисел), заданная порождающим множеством A1,..., Ak, и требуется проверить, обладает ли данная алгебра некоторым заданным свойством. При этом процедура проверки должна быть рациональной, т.е. использующей конечное число арифметических операций с элементами матриц. Такие процедуры как правило включают в себя рациональную процедуру вычисления базиса алгебры; длина порождающего множества A1,..., Ak ограничивает сверху число матриц, участвующих в рассматриваемых произведениях матриц, т.е. является мерой сложности этой процедуры. Также длина определяет сложность рациональной процедуры проверки, является ли некоторое множество системой порождающих для заданной алгебры.

Отметим, что в ряде вычислительных задач требуется оценить длину произвольного подмножества S в алгебре A, которое может порождать не всю алгебру, а ее собственную подалгебру A A. Или, найти такое число M N, что для любой подалгебры A A будет справедлива оценка l(A ) M. В силу тривиальной оценки длины l(A ) dim A 1, всегда можно положить M = dim A 1. Однако, как показывает, например, оценка в теореме 3, тривиальная оценка может не быть точной.

Таким образом, вопросы, связанные с вычислением и оцениванием длин различных матричных подалгебр, мотивированы приложениями и активно разрабатываются. Поэтому построение общей теории функции длины представляет не только самостоятельный теоретический интерес, но и является эффективным инструментом работы с различными классами вычислительных задач в прикладной и теоретической алгебре. Этим объясняется актуальность.

Цель работы Изучение основных алгебраических свойств функции длины и применение этих результатов к вычислению или оцениванию длин классических матричных подалгебр.

Ю.А. Альпин, Х.Д. Икрамов, Об унитарном подобии матричных семейств, Матем. заметки, 74: (2003), 815–826.

Al’pin Yu.A., Ikramov Kh.D., Reducibility theorems for pairs of matrices as rational criteria, Linear Algebra Appl., 313(2000), 155–161.

Научная новизна Полученные в диссертации результаты являются новыми. Среди них:

• Исследование основных теоретико-кольцевых свойств функции длины:

– сохранение длины алгебры при добавлении внешней единицы;

– точные верхняя и нижняя оценки длины прямой суммы алгебр;

– неубывание длины при переходе к алгебраическому расширению основного поля;

– невозрастание длины алгебры при эпиморфизмах;

– нижняя оценка длины тензорного произведения алгебр;

– верхняя оценка длины локальной алгебры как функция индекса нильпотентности ее радикала Джекобсона и размерности фактора • Доказательство того, что длина подалгебры может превышать длину содержащей ее алгебры на любое натуральное число, и что отношение длины подалгебры к длине алгебры может быть любым рациональным числом из отрезка [1, 2].

• Нахождение точной верхней оценки длины коммутативных матричных алгебр в случае произвольного поля (теорема 2.2.1). Характеризация коммутативных матричных подалгебр максимальной длины над произвольными полями в терминах порождающих элементов (теоремы 2.4. и 2.2.17).

• Исследование верхней оценки длины коммутативной алгебры как функции двух инвариантов этой алгебры размерности и максимальной степени минимального многочлена элементов алгебры (теорема 2.5.14).

• Вычисление длин следующих классических матричных подалгебр: алгебры верхнетреугольных матриц; алгебры диагональных матриц; алгебры Шура; алгебры Куртера.

Основные методы исследования Наряду с классическими методами и результатами линейной алгебры и теории колец, используются также методы комбинаторной алгебры, ориентированные на исследование функции длины алгебр, развитые автором.

Теоретическая и практическая значимость Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах теории колец, линейной алгебры, вычислительных методов.

Апробация результатов Результаты диссертации неоднократно докладывались на научноисследовательских семинарах: научно-исследовательский семинар по алгебре кафедры Высшей алгебры МГУ, “Кольца и модули”, “Теория матриц” и “Избранные вопросы алгебры ” кафедры Высшей алгебры МГУ (2004–2009гг.);

на семинаре факультета математики университета г. Билефельда, Германия в 2005 и 2006 гг..

Также результаты докладывались на следующих конференциях:

• Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, Москва, 2004;

• Международный семинар по компьютерной алгебре и информатике, посвященный 30-летию лаборатории вычислительных методов, Москва, • 2-я международная конференция по матричным методам и операторным уравнениям, Москва, 2007;

• 8-я конференция по линейной алгебре, Любляна, Словения, 2008;

• Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша, Москва, 2008;

• Международная конференция “Современные проблемы математики, механики и их приложений,” посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего, Москва, 2009;

• Научная конференция “Ломоносовские чтения” Москва, 2009.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы и списка публикаций автора по теме диссертации. Общий объем работы составляет 129 страниц. Список литературы включает 35 наименований.

Публикации Результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1–9].

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертации, описано содержание диссертации и сформулированы основные результаты.

Глава 1 посвящена изучению основных теоретико-кольцевых свойств функции длины.

В разделе 1.2 показано, что длина системы порождающих не меняется при обратимых линейных заменах этой системы.

В разделе 1.3 показано, что длина алгебры не меняется при присоединении к алгебре внешней единицы.

Теорема (1.3.1). Пусть F произвольное поле и A конечномерная алгебра без единицы над полем F. Определим F-алгебру A1 = AF со следующими операциями:

Тогда A1 конечномерная F-алгебра с единичным элементом (0, 1) и l(A) = l(A1 ).

В разделе 1.4 получены точные оценки длины прямой суммы алгебр.

Теорема (1.4.2). Пусть A и B конечномерные ассоциативные алгебры над полем F длин lA и lB, соответственно. Тогда выполнены следующие неравенства:

В качестве следствия вычислена длина алгебры верхнетреугольных матриц, найдены оценки для длин подалгебр данной алгебры.

Основной результат раздела 1.5 заключается в том, что длина алгебры не уменьшается при переходе к алгебраическому расширению основного поля.

Построен пример строго возрастания длины алгебры при переходе к алгебраическому замыканию поля.

В разделе 1.6 исследуется поведение длины при переходе от алгебры к ее фактор-алгебрам. В частности, доказана :AB эпиморфизм. Тогда l(B) l(A).

В разделе 1.7 получена точная нижняя оценка длины тензорного произведения алгебр.

В разделе 1.8 длина произвольной конечномерной локальной алгебры оценена сверху функцией от индекса нильпотентности ее радикала Джекобсона и размерности фактор-алгебры по радикалу.

Теорема (1.8.6). Пусть F конечномерная лорадикал Джекобсона алгебры A, чекальная F-алгебра. Пусть J(A) рез N обозначен индекс нильпотентности радикала J(A). Пусть D = dimF A/J(A). Тогда l(A) DN 1.

В главе 2 исследуется длина коммутативных алгебр. Получено обобщение результата Паза о длине коммутативных матричных подалгебр на случай произвольного поля.

Теорема (2.2.1). Пусть F произвольное поле и A коммутативная подалгебра в Mn (F). Тогда l(A) n 1.

Также показана точность этой оценки. Более того охарактеризован класс коммутативных матричных подалгебр длины n 1.

Матрица C Mn (F) называется циклической, если подалгебра A порождена циклической матрицей.

Как следствие, установлено, что максимальные по длине коммутативные подалгебры в Mn (F) являются также максимальными по включению.

В разделе 2.3 приведены примеры вычисления длин таких классических коммутативных матричных подалгебр, как алгебра Шура, алгебра Куртера и др. Также эти примеры показывают, что длины максимальных по включению коммутативных подалгебр в Mn (F) могут принимать любое натуральное значение в отрезке от 1 до n 1, т.е. максимальные по включению коммутативные подалгебры не обязательно имеют максимальную длину.

В разделе 2.5 получена точная верхняя оценка длины коммутативной алгебры как функция таких инвариантов алгебры, как размерность алгебры и максимальная степень минимального многочлена элементов алгебры.

Теорема (2.5.14). Пусть F произвольное поле. Пусть A ассоциативная конечномерная коммутативная F-алгебра с единицей. Пусть где [x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x, и {x} = x [x]. Тогда l(A) g(dim A, m(A)).

В коммутативном случае эта оценка является улучшением общей оценки Паппачены из теоремы 2. Этот результат использован для вычисления длины алгебры диагональных матриц над произвольным полем.

Теорема (2.6.1). Пусть F произвольное поле.

1. Если поле F бесконечно, то l(Dn (F)) = n 1.

2. Если F = Fq конечное поле из q элементов, то Глава 3 посвящена изучению вопроса о связи длины подалгебры с длиной содержащей ее алгебры. В алгебре матриц любого порядка, превышающего 3, построены примеры, показывающие, что функция длины может расти при переходе к подалгебрам. Для матричных подалгебр порядков 2 и 3 установлено, что длина подалгебры не превосходит длины содержащей ее алгебры.

Полностью решен вопрос о возможных значениях разности длины подалгебры и длины содержащей ее алгебры: показано, что длина подалгебры может превышать длину содержащей ее алгебры на любое натуральное число.

Теорема (3.1.11). Пусть k N произвольное натуральное число, пусть n = 4k. Тогда существуют такие алгебры A A Mn (F), что l(A ) l(A) = k.

В разделе 3.2 рассмотрены специальные конструкции двух- и трехблочных верхнетреугольных матричных подалгебр. Заметим, что до настоящего времени существовало не много примеров алгебр с явно вычисленной длиной.

Поэтому вычисление длин подалгебр данного вида представляет непосредственный интерес. Помимо этого, представленные конструкции дают пример того, что отношение длины подалгебры к длине алгебры может быть любым рациональным числом из отрезка [1, 2].

числа, натуральные числа. Пусть циклическая матрица, Тогда 2. при n = m = 1, 2 и n = 2, m = 1 выполнено An,m = An,m и l(An,m ) = l(An,m );

3. при n 3 выполнено Теорема (3.2.22). Пусть F n1 n2 + n3 + 2. Пусть An1,n2,n3 Tn1 (F) Tn2 (F) Tn3 (F), Тогда l(An1,n2,n3 ) = n1 1.

Следствие (3.2.23). Пусть F циклическая матрица, положим Тогда 1. l(An1,n2,n3 ) = n1 + n2 + n3 1;

2. l(An1,n2,n3 ) l(An1,n2,n3 ) = n2 + n3 ;

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук, доценту Александру Эмилевичу Гутерману и доктору физико-математических наук, профессору Александру Васильевичу Михалеву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку, а также всему коллективу кафедры высшей алгебры за доброжелательную и творческую атмосферу.

1. Маркова О.В., О длине алгебры верхнетреугольных матриц, Успехи математических наук, 60:3 (2005), 177–178.

2. Маркова О.В., Вычисление длин матричных подалгебр специального вида, Фундаментальная и прикладная математика, 13:4 (2007), 165–197.

3. Markova O.V., Matrix algebras and their length, в сб. Matrix methods:

theory, algorithms, applications., World Scientic Publishing, 2008, 116–139.

4. Guterman A.E., Markova O.V., Commutative matrix subalgebras and length function, Linear Algebra and its Applications, 430(2009), 1790–1805.

5. Маркова О.В., Характеризация коммутативных матричных подалгебр максимальной длины над произвольным полем, Вестник Московского университета. Сер.1. Математика. Механика. 5(2009), 53–55.

6. Markova O.V., On the length of matrix subalgebras, Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, Тезисы докладов, Москва, 2004, стр. 233.

7. Markova O.V., On the commutative matrix subalgebras of maximal length, Международный семинар по компьютерной алгебре и информатике, посвященный 30-летию лаборатории вычислительных методов, Тезисы докладов, Москва, 2005, стр. 18– 8. Markova O.V., Matrix algebras and their length, 2-я международная конференция “Матричные методы и операторные уравнения”, Тезисы докладов, Москва, 2007, 55–56.

9. Markova O.V., On the algebraic properties of the length function, Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша, Тезисы докладов,Москва, 2008, 327–328.

В работе [4], совместной с А.Э. Гутерманом научным руководителем диссертанта, А.Э. Гутерману принадлежат формулировки основных результатов разделов 5,6,8 и предварительная формулировка теоремы 7.9.

Доказательства всех основных результатов работы и формулировки основных результатов разделов 1–4 принадлежат диссертанту.