На правах рукописи

ЭНБОМ Екатерина Александровна

НЕКОТОРЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В ТРЕХМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 -дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа Самарского государственного педагогического университета.

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Волкодавов Виктор Филиппович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Репин Олег Александрович, доктор физико-математических наук, профессор Хайруллин Равиль Сагитович

Ведущая организация: Орловский государственный университет

Защита состоится 10 декабря 2003 года в 1700 часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан «30» (№/И&бк*Х/ 2003 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент ^ ^ ^ - < 3. -г_ Е.К.Липачев U "" I О О С - ^ Ц щ д д ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в ограниченных и неограниченных трехмерных областях специального вида.

Актуальность темы. В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а так же уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этому классу уравнений объясняется как большой теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в безмоментной теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Развитие современной науки показало, что вырождающиеся уравнения являются хорошей моделью реальных физических и биологических процессов. А это обусловило актуальность постановки и решения для них различных краевых задач, которые в настоящее время являются предметом фундаментальных исследований многих математиков.

Значительные результаты исследований дифференциальных уравнений рассматриваемого вида изложены в известных работах Ф.Трикоми, Ф.И.Франкля, С.Геллерстедта, К.И.Бабенко, А.В.Бицадзе, М.М.Смирнова, О.А.Олейник, В.А.Ильина, В.П.Михайлова, которые можно считать основополагающими в развитии теории этих уравнений.

Благодаря усилиям отечественных и зарубежных математиков теория гиперболических и эллиптических уравнений, вырождающихся либо на некотором множестве точек внутри рассматриваемой области, либо на ее границе, особенно интенсивно развивалась в последние сорок лет. В их работах рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а так же ставились и исследовались новые краевые задачи для таких уравнений.

Существенный вклад в развитие данной теории внесли болгарские математики Г.Д.Карактопраклиев, П.Р.Попиванов и другие; представители математических школ Ближнего Зарубежья: Т.Ш.Кальменов, С.Л.Алдашев, Н.Р.Раджабов, Ар.Базарбеков, С.С.Харибегашвили, Т.Д.Джураев, О.М.Джохадзе и другие. Большая заслуга в развитии теории краевых задач для вырождающихся уравнений принадлежит отечественным математикам:

СППулькину, А.М.Нахушеву, В.И.Жегалову, В.Ф.Волкодавову, В.Н.Врагову, Е.И.Моисееву, Ф.Г.Мухлисову, Л.И.Чибриковой, Р.С.Хайрулину, Н.Б.Плещинскому,, К.Б.Сабитову, О.А.Репину, А.Н.Зарубину, В.В.Азовскому, А.М.Ежову, А.А.Андрееву и др.

Если до недавнего времени в основном изучались краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка, то затем выяснилось, что важную роль в изучении различных процессов и явлений действительного мира играют уравнения третьего и более высоких порядков. За последние полтора десятилетия внимание многих ученых привлекли исследования гиперболических уравнений третьего порядка, ими были разработаны некоторые методы решения таких задач: метод Римана, метод Римана-Адамара, метод общих и специальных решений и другие. В частности, значительная роль в разработке этих методов принадлежит математикам Казанской и Самарской школ.

Несмотря на значительное количество серьезных результатов, полученных математиками по данной тематике, теория краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерном пространстве требует дальнейшей разработки. Поэтому рассмотрение частных случаев таких уравнений является так же важным элементом построения теории и представляет определенный интерес.

Цель работы. Основной целью диссертации является доказательство корректности постановки граничных задач и задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений третьего порядка, вырождающихся в одной граничной точке области. В частности, исследование поведения решения в точке вырождения уравнения.

Методы исследования. Для исследования граничных задач, которые можно считать аналогом задачи Коши, используется метод Римана-Адамара. Функцию Римана-Адамара удалось записать в явном виде благодаря симметрии рассматриваемого уравнения. При исследовании решения в точке вырождения уравнения применяется аппарат гипергеометрических функций.

Для доказательства разрешимости задач с интегральными условиями строится решение уравнения, зависящее от трех произвольных функций, которые определяются затем, исходя из данных задачи. При этом используется метод интегральных уравнений и аппарат специальных функций.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1) Доказана однозначная разрешимость двух задач в бесконечной области специального вида для уравнения, вырождающегося в одной граничной точке области. Эти задачи представляют собой аналог задачи Коши. Их новизна состоит в том, что на некоторой части нехарактеристической границы области задаются оба условия Коши, а на другой части нехарактеристической границы области искомая функция подчинена только одному из условий Коши.

2) Построена функция Римана-Адамара и доказана корректность этих задач методом Римана-Адамара. Метод Римана-Адамара, обычно применяемый для решения задач, в которых одно из граничных условий задается на характеристической поверхности, в данной работе впервые применен для решения видоизмененной задачи Коши.

3) Поставлены и исследованы две смешанные задачи, в которых решение уравнения ищется в ограниченной области и искомая функция подчинена как граничным, так и интегральным условиям.

4) Получены формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра первого рода, которые возникают в процессе решения этих задач и получены явные представления искомых функций при различных значениях параметра уравнения.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Она является продолжением развития теории краевых задач и задач с интегральными условиями для вырождающихся уравнений гиперболического типа. Методы исследования рассмотренных задач могут быть применены для изучения более сложных уравнений третьего порядка.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались:

- на третьей международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 1998г.), - на межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 1998,2001,2003г.), - на 52-ой, 54-ой, 55-ой научных конференциях Самарского государственного педагогического университета (Самара, 1998,2000, 2001г.), - на международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами» (Душанбе, 2003г.);

содержание диссертации обсуждалось так же:

- на научном семинаре по дифференциальным уравнениям в Самарском государственном педагогическом университете в 1997-2002 г.г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор В.Ф.Волкодавов), - на научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 2001 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор О.П. Филатов), - на научном семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления в Удмуртском государственном университете в Ижевске в 2001 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Е.Л.Тонков), - на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета в 2003 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор В.И.Жегалов).

Публикации. Одиннадцать работ, опубликованных автором по теме диссертации, полностью отражают ее содержание. Список статей приведен в конце автореферата. Результаты, полученные в совместных с научным руководителем работах [4] и [10], принадлежат авторам в равной мере.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 121 странице и состоит из введения, двух глав и библиографии, включающей 101 наименование.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении отмечается актуальность темы диссертации, приводится обзор результатов исследований по ее тематике, кратко излагается содержание работы.

В первой главе исследованы две задачи, каждую из которых можно считать аналогом задачи Коши. В отличие от классической постановки задачи Коши, в этих задачах значение искомой функции и ее нормальной производной задаются не на всей нехарактеристической поверхности, а лишь на ее частях.

Уравнение будем рассматривать в области трехмерного евклидова пространства. Область представляет собой трехгранный угол с вершиной в начале координат, образованный частями плоскостей В первом параграфе доказывается однозначная разрешимость следующей задачи.

В области требуется найти функцию u(x,y,z) со следующими свойствами:

Из требования непрерывности искомой функции в следует наличие условия Во втором параграфе исследована задача.

В области требуется найти функцию u(x,y,z) со следующими свойствами:

Таким образом, в первой задаче на одной нехарактеристической части границы области задаются значения искомой функции и ее нормальной производной, а на другой нехарактеристической части границы - значения искомой функции. Во второй задаче на одной нехарактеристической части границы области так же задаются значения искомой функции и ее нормальной производной, а на другой части - значения нормальной производной.

Для решения обеих задач применен метод Римана-Адамара. Функция Римана для уравнения (1.1) известна1 и имеет следующий вид:

Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Таблицы Функций Римана и Римана-Адамара для некорых дифференциальных уравнений в n-мерных евклидовых пространствах. -Самара, 1994. -31с.

Симметрия уравнения (1.1) относительно плоскости х — у позволила построить функцию Римана-Адамара, которая и сыграла основную роль при доказательстве существования и единственности решения поставленных задач. Идея построения функции Римана-Адамара заимствована из работы СП. Пулькина2.

плоскостями образуют две ограниченные области; мы возьмем ту, Так как уравнение (1.1) симметрично относительно х и у, то функция следующим образом:

Очевидно, что так:

Рассмотрим реализацию метода Римана-Адамара, например, для первой задачи.

где На плоскости, то есть на границе о б л а с т е й и, функция Римана-Адамара терпит разрыв. Поэтому, для того, чтобы иметь возможность ириПулышн СП. Некоторые краевые задачи для у р а в н е н и я / / Уч.зап. Куйбышевского пед.ин-та, 1958. Вып. 21. С.3-54.

менить формулу Остроградского-Гаусса, построим вспомогательную двусвязную область, где мы отступаем на достаточно малую величину Если и - решение поставленной задачи, а - функция Римана-Адамара, то из (1.8) следует тождество. Интегрируя его по двусвязной области и применяя теорему Остроградского-Гаусса, связывающую тройной интеграл с поверхностным, будем иметь:

где - граница области направляющие косинусы внутренней нормали к. Так как состоит из девяти плоских фигур, то тождество (1.9) перепишем в виде:

После вычисления и преобразования этих интегралов и после перехода к пределу при получаем тождество, из которого находим явное представление искомой функции Доказательство разрешимости второй задачи отличается от первой лишь преобразованием некоторых интегралов в тождестве (1.10). Для нее так же получено представление решения в явном виде.

Из формул, дающих решение задач, видно, что искомая функция непрерывна всюду в области, за исключением, быть может, точки вырождения уравнения, то есть начала координат. В связи с этим, проведено детальное исследование поведения решения в окрестности этой точки. В результате оценки интегралов, фигурирующих в записи решения, выявлены условия, кторые нужно предъявить к граничным функциям, обеспечивающие непрерывность искомой функции в точке вырождения уравнения.

Теорема 1.1.

Пусть для граничных функций выполняются требования:

где - непрерывная функция в, имеющая непрерывные частные производные первого порядка и непрерывные смешанные производные второго порядка в ;

- непрерывная функция в,имеющая непрерывные частные производные первого порядка и непрерывные смешанные производные второго порядка в ;

Тогда функция дает единственное решение поставленной задачи (1.1)-(1.4).

Непрерывная зависимость решения от начальных данных доказывается обычными методами классической теории уравнений с частными производными математической физики. Основную роль при этом играет оценка интегралов, фигурирующих в записи решения, которая проводится так же, как и при исследовании поведения решения в окрестности начала координат.

Теорема 1.2.

Пусть граничные функции удовлетворяют условиям:

где - непрерывная функция в, имеющая непрерывные частные производные первого порядка и непрерывные смешанные производные второго порядка в либо ограничены в окрестности точки (0,0), либо могут обращаться в этой точке в бесконечность порядка меньше единицы;

Тогда функция дает единственное решение задачи (1.1), (1.5)которое непрерывно зависит от начальных данных.

Таким образом, симметрия уравнения (1.1) относительно х и у и метод Римана-Адамара позволили доказать корректность поставленных в этой главе двух задач.

Во второй главе рассмотрены две задачи, в которых искомая функция, наряду с обычными граничными условиями, удовлетворяет и интегральному условию. Задачи с интегральными условиями являются новым направлением в современной теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Возникновение интегральных условий объясняется тем, что на практике часто бывает возможным измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины. Так, задачи с интегральными условиями могут служить математическими моделями физических явлений, связанных, например, с задачами, возникающими при изучении физики плазмы. А.А. Самарский приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из таких задач3. А.М.Нахушев указал примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями при изучении процессов влагопереноса в пористых средах и в задачах математической биологии.

Пусть Н - область в трехмерном евклидовом пространстве, ограниченная частями плоскостей:

В области требуется найти функцию и(x,y,z) со следующими свойствами:

и интегральному условию:

Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1980. Т. 16,-Минск, №11. С. 1925-1935.

Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. - М.: Высшая школа, 1995. -301 с.

В области требуется найти функцию u(x,y,z) со следующими свойствами:

и интегральному условию где Таким образом, в задаче А задаются значения искомой функции на характеристической части границы области и значения ее производной на нехарактеристической части границы. Кроме того, искомая функция удовлетворяет интегральному условию, которое представляет собой усреднение с весом производной В задаче В на характеристической и нехарактеристической частях границы области задаются значения искомой функции, а интегральное условие представляет собой усреднение с весом производной Для доказательства разрешимости первой задачи строится решение уравнения (2.1), зависящее от трех произвольных функций:

Функции непосредственно определяются, исходя из граничных условий. А функция определяется как решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода:

где При доказательстве его разрешимости рассмотрены три случая:

В случае непосредственным дифференцированием уравнение (2.6) сводится к уравнению типа Абеля. Доказано следующее утверждение.

Теорема 2.1.

Тогда функция C\(x,z), определяемая формулой является непрерывным решением уравнения (2.6) и это решение единственно.

функции, получаем явное представление решения задачи. Итак, справедлива теорема.

Теорема 2.2.

Тогда существует единственное решение задачи А.

В случае имеют место следующие утверждения.

1) непрерывна и имеет непрерывные производные по первому аргументу до (п + l)-ro порядка включительно в, причем сама функция и ее производные по первому аргументу до п -го порядка Тогда функция является непрерывным решением интегрального уравнения и это решение единственно.

Единственность решения интегрального уравнения следует из однозначности всех преобразований, выполненных при получении формулы (2.7).

Теорема 2.4.

Тогда существует единственное решение задачи А в случае, когда случаев. Результатом исследования этого случая являются две теоремы.

Для доказательства разрешимости задачи В воспользуемся решением уравнения (2.1) следующего вида:

Так же, как и в первой задаче, произвольные функции определяются непосредственно, исходя из граничных условий, а функция находится как решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода с параметром:

где При доказательстве его разрешимости опять рассматриваются три случая:

интегрального уравнения и получены представления решения задачи в явном виде.

В заключение приношу глубокую благодарность научному руководителю, заслуженному деятелю науки РФ, доктору физико-математических наук, профессору Виктору Филипповичу Волкодавову за постоянное внимание к моей работе и помощь в ее выполнении.

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1. Энбом Е.А. Смешанная задача для одного дифференциального уравнения третьего порядка с вырождением в одной точке. // Труды третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск.: Изд-во «Красный октябрь», 1998. -С.241.

2. Энбом Е.А. Аналог задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения третьего порядка. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды восьмой межвузовской конференции. Самара, 29-31 мая, 1998. Ч.З. Секция «Дифференциальные уравнения и краевые задачи». - Самара.: Изд-во СамГТУ, 1998. -С.105-107.

3. Энбом Е.А. Смешанная задача для одного модельного уравнения третьего порядка и ее применения. // Доклады 52-ой научной конференции СамГПУ.

Сборник трудов.- Самара, 1998. -С.133-136.

4. Энбом Е.А. Об одном интегральном уравнении Вольтерра первого рода и его применении к решению задачи с интегральным условием./ Е.А.Энбом, В.Ф.Волкодавов // Доклады 54-й научной конференции СГПУ. 4.1. - Самара.: СГПУ, 2000. -С.30-35.

5. Энбом Е.А. Формула обращения для одного интегрального уравнения Вольтерра первого рода и ее применение к решению задачи для вырождающегося уравнения третьего порядка. // Доклады 54-ой научной конференции СГПУ. 4.1. - Самара, 2000. -С.103-108.

6. Энбом Е.А. Об одной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды одиннадцатой межвузовской конференции. Самара, 29-31 мая, 2001. 4.3. Секция «Дифференциальные уравнения и краевые задачи». - Самара.: Изд-во СамГТУ, 2001. -С.136-140.

7. Энбом Е.А. Задача А2 для одного уравнения третьего порядка. // Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ.Самара, 2001. -С.74-80.

8. Энбом Е.А. Задача Коши для вырождающегося уравнения третьего порядка.

// Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ.- Самара, 2001. -С.80-87.

9. Энбом Е.А. Аналог задачи Коши для уравнения третьего порядка. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции, Самара, 29-31 мая 2003. 4.3. Секция «Дифференциальные уравнения и краевые задачи». Самара. :Изд-во СамГТУ, 2003.

-С.171-173.

10. Энбом Е.А. Неклассическая задача для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка./ Энбом Е.А., Волкодавов В.Ф. // Известия вузов. Математика. -Казань, 2003. -Деп. в ВИНИТИ 23.07.2003. №1445-В2003.

11. Энбом Е.А. Задача с интегральным условием для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка. //Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами, Душанбе, 25-28 октября 2003 г. Душанбе. :Издво «Нодир», 2003. -С.174-177.