КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Губайдуллина Рената Камилевна

ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА

ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.01 вещественный, комплексный и

функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 2012

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет”

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Габдулхаев Билсур Габдулхаевич

Научный консультант: кандидат физико-математических наук, доцент Агачев Юрий Романович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кац Борис Александрович кандидат физико-математических наук, доцент Шакиров Искандер Асгатович

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится "22" марта 2012 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.081.10 при ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет” по адресу: 420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд.337.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет” по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан " " февраля 2012 г. и размещен на официальном сайте ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет”.

Ученый секретарь совета Д 212.081. к.ф.-м.н., доцент Е.К. Липачев I

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многие прикладные задачи физики, механики, математической физики, в частности, контактные задачи теории упругости, некоторые задачи теории дифракции, теории статики и теории трещин приводят к многомерным интегральным уравнениям с полярными ядрами и ядрами типа Михлина-Трикоми-Жиро.

Первые значительные результаты по исследованию свойств решений таких уравнений и участвующих в них интегралов в двумерном случае появились в работах Ф. Трикоми, Ж. Жиро, С.Г. Михлина. Они, в частности, получили формулы дифференцирования соответствующих интегралов, формулы для композиции слабосингулярных и сингулярных интегралов и нашли случаи решения уравнений в замкнутой форме. В дальнейшем эти результаты были развиты в различных направлениях: распространение на случай евклидового пространства произвольной размерности; исследование уравнений, заданных в произвольной ограниченной области и на многообразиях с краем; изучение свойств интегралов с обобщенными слабосингулярными ядрами и свойств решений уравнений с такими интегралами;

исследование в пространствах Лебега Lp, 1 p < (возможно, с весом) и весовых пространствах Гельдера вопросов разрешимости соответствующих уравнений.

Систематическое исследование многомерных интегральных уравнений с полярными ядрами и с ядром Трикоми-Михлина-Жиро в случае задания уравнения на всем евклидовом пространстве и на ограниченном замкнутом множестве этого пространства проведено С.Г. Михлиным и изложено в его известных монографиях. В случаях открытого ограниченного множества исследование свойств решений многомерных слабосингулярных интегральных уравнений и некоторых классов сингулярных интегральных уравнений содержится в монографиях К.Е. Аткинсона, Г.М. Вайникко, И.К. Лифанова и Л.Н. Полтавского, С.Г. Михлина и С. Прёсдорфа, Г.С.Кита и М.В. Хая, И.В. Бойкова (см. также библиографию в них).

К настоящему времени теория для уравнений с полярными ядрами и ядрами типа Трикоми-Михлина-Жиро хорошо разработана. Из этой теории следует, что за исключением частных случаев такие уравнения в замкнутой форме не решаются. Поэтому как для теории, так и, в особенности, для практики важное значение имеют разработка приближенных методов решения соответствующих многомерных сингулярных интегральных уравнений и исследование вопросов их разрешимости.

Вопросами приближенного решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений и сингулярных интегральных уравнений с ядром Трикоми-Михлина-Жиро занимались С.Г. Михлин, С. Прёсдорф, Г.М. Вайникко, Б.Г. Габдулхаев, А.Б. Самохин, И.В. Бойков, их ученики и последователи. При этом значительное число работ посвящено итерационным методам решения указанных уравнений и лишь небольшое количество работ – построению приближенных решений с помощью прямых методов, таких, как: методы Галеркина и Ритца, методы коллокаций и квадратур на базе сплайновой аппроксимации. Однако, несмотря на сказанное, в этой области всё ещё остается ряд нерешенных задач. К ним, прежде всего, следует отнести следующие: нахождение новых достаточных условий разрешимости уравнений; построение в определенном смысле наилучших итерационных методов; разработка простых вычислительных схем прямых методов со строгим теоретическим обоснованием. Данная диссертационная работа в некоторой степени восполняет этот пробел.

Целью настоящей диссертации является разработка со строгим теоретико-функциональным обоснованием приближенных методов решения двумерных слабосингулярных и сингулярных интегральных уравнений в круге и исследование вопросов разрешимости соответствующих уравнений. При этом под теоретико-функциональным обоснованием, согласно Л. В. Канторовичу и Б. Г. Габдулхаеву, понимается следующий круг задач:

а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующего уравнения;

б) установление оценок погрешности приближенного решения;

в) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и исследование скорости сходимости;

г) исследование устойчивости и обусловленности приближенных методов.

Методика исследования. При выводе и обосновании полученных в диссертации результатов существенно используются теория приближения функций многочленами и сплайнами, общая теория приближенных методов анализа, а также результаты из функционального анализа и теории сингулярных интегральных уравнений. При этом подходы и рассуждения, применяемые в работе, основываются на использовании результатов и методик исследований, предложенных в работах научного руководителя.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. В работе установлены достаточные условия однозначной разрешимости двумерных интегральных уравнений с полярным ядром и сингулярных интегральных уравнений с ядром Трикоми-Михлина-Жиро. Для исследуемых уравнений дано теоретическое обоснование вычислительных схем ряда итерационных и прямых методов их решения; в частности, получены эффективные оценки погрешности построенных приближенных решений в универсальных терминах конструктивной теории функций. Изучены свойства двумерного полиномиального оператора Лагранжа и предложены с обоснованием два способа вычисления двумерных слабосингулярных интегралов на основе полиномиальной и сплайновой аппроксимаций.

Теоретическое и практическое значение. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при разработке и исследовании точных и приближённых методов решения многомерных сингулярных и слабосингулярных интегральных уравнений, возникающих при решении конкретных прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на итоговых конференциях Казанского государственного университета за 2004 – 2006 гг., 2011 г., на Седьмой, Восьмой и Десятой международных Казанских летних школах-конференциях “Теория функций, её приложения и смежные вопросы” (Казань, 27 июня – 4 июля 2005 г., июня – 4 июля 2007 г., 1 - 7 июля 2011 г.), на Пятой, Шестой и Десятой молодёжных научных школах-конференциях “Лобачевские чтения” (Казань, 28 ноября – 2 декабря 2005 г., 28 ноября – 2 декабря 2006 г., 31 октября – 4 ноября 2011 г.), на Второй международной научно-практической конференции “Дни науки – 2006” (Днепропетровск, 17 – 28 июня 2006 г.). Кроме того, по мере получения результаты докладывались на городском научном семинаре при Казанском университете “Теория аппроксимации и ее приложения” (научный руководитель, профессор Б.Г. Габдулхаев) и на семинаре кафедры теории функций и приближений (научный руководитель, профессор Ф.Г. Авхадиев).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах научному руководителю и научному консультанту принадлежат постановка задач и определение общего подхода к исследованиям, соответствующие результаты получены лично диссертантом.

Структура и объем работы. Работа объемом 105 страниц состоит из введения, 2 глав, содержащих 13 параграфов и списка литературы, насчитывающего 114 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, приводится обзор работ по теме диссертации и дается краткое изложение полученных автором результатов.

Первая глава диссертации посвящена построению и исследованию приближенных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений (кратко: с.с.и.у.). В ней вводятся основные пространства, в которых ведутся исследования, строятся кубатурные формулы для вычисления двумерных слабосингулярных интегралов, исследуется разрешимость интегральных уравнений с полярными ядрами и разрабатываются вычислительные схемы приближенных методов решения таких уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием.

В §1 приводятся вспомогательные результаты из общей теории приближенных методов функционального анализа, теории приближения функций полиномами и доказываются некоторые новые результаты из конструктивной теории функций, необходимые во всем дальнейшем изложении.

§2 посвящен исследованию двух групп кубатурных формул для интеграла с фиксированной особенностью При этом для приближенного вычисления слабосингулярного интеграла использовались результаты построения кубатурных формул специального вида для регулярных интегралов, когда областью интегрирования является круг. Первая группа кубатурных формул построена с применением квадратурной формулы Гаусса с весовой функцией Якоби r1 на отрезке [0, 1] и квадратурной формулы наивысшей тригонометрической степени точности. Кубатурная формула в данном случае имеет следующий вид:

где u C(D), rk и Ak – узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса, а i – попарно неэквивалентные равноотстоящие узлы на отрезке длиной 2. Для построения второй группы кубатурных формул вместо классического аппарата полиномиального приближения использовался аппарат сплайн-функций, в частности, сплайнов нулевой и первой степеней.

Для обеих групп кубатурных формул установлены оценки погрешности.

В §3 установлены достаточные условия существования и единственности решения с.с.и.у.

Здесь (и далее) D - круг единичного радиуса с центром в начале координат, x = (x1, x2 ), y = (y1, y2 ) – его точки, r(x, y) = |x y| – евклидово расстояние между точками x и y, h(x, y), a(x) – непрерывные, а f (x) – квадратично-суммируемая (возможно, с весом) в круге D данные функции соответственно, u(x) – искомая функция. Приведем один из полученных результатов.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:

1) функция a(x) C(D) не обращается в нуль ни в одной точке области D;

2) h(x, y) C(D2 );

3) функция разлагается в симметричный ряд сходящийся в пространстве L2 (D2 ), где {k (s)} = {k (s1, s2 )} – лиk=1 k= нейно независимая система функций из L2 (D). Тогда с.с.и.у. (1) имеет единственное решение u (x) L2 (D) при любой правой части f (x) L2 (D) где m – точная нижняя грань функции |a(x)|.

В §4 предлагается эффективный итерационный метод решения с.с.и.у.

(1). Исходное уравнение записывается в эквивалентном виде где B = B( ) = E A : L2 L2 есть так называемый оператор перехода.

Выбирая здесь из условия минимальности нормы оператора B в L2, т.е.

= 0 = m/M 2, где m – точная нижняя грань функции |a(x)|, а константа M ограничивает норму оператора A в пространстве L2 (D), приближения к решению будем получать по следующему итерационному правилу:

Доказывается, что при таком выборе параметра оператор B = B(0 ) является сжимающим отображением. Получены оценки погрешности и доказана устойчивость предложенного метода относительно исходных данных.

В §5 исследуется общий проекционный метод Галеркина решения с.с.и.у.

(1). Доказана однозначная разрешимость соответствующей системы линейных алгебраических уравнений, и установлена сходимость приближенных решений, полученных предложенным методом, к точному решению исследуемого уравнения.

В §6 предлагаются проекционно-итеративные методы, основанные на исследованных в §§4 и 5 итерационном и проекционном методах. Необходимость разработки таких методов заключается в том, что разрешимость системы линейных алгебраических уравнений проекционного метода возможна, вообще говоря, только при значениях n порядка системы, начиная с некоторого натурального. Поэтому при больших значениях n задача решения системы алгебраических уравнений становится трудоемкой.

Проекционно-итеративные методы позволяют в определенной степени эту проблему решить. Для предложенных проекционно-итеративных методов установлены эффективные оценки погрешности.

Среди прямых методов решения интегральных уравнений особое место занимает метод механических квадратур (кубатур). Это связано, прежде всего, с простой вычислительной схемой указанного метода. Вместе с тем его обоснование вызывает значительные трудности. В §§7 и 8 нами предлагаются вычислительные схемы метода кубатур решения с.с.и.у. (1).

§7 посвящен теоретическому обоснованию метода механических кубатур решения с.с.и.у. с фиксированной особенностью вида где a(x), f (x) и h(x, y) – данные непрерывные функции в D и D D соответственно. Вычислительная схема метода строится с применением одной из построенных в §2 кубатурных формул. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений {cki } искомой функции u(r, ) u(r cos, r sin ) в узлах кубатурной формулы (rk, i ) (k = 1, n, i = 1, m), где {rk } – нули многочлена Якоби из ортогональной системы на [0, 1] с весом r1, {i } = 2i/m +, R. Доказывается сходимость метода и устанавливается оценка его погрешности в среднем. Как следствие сходимости метода в среднем, доказывается сходимость метода в узлах кубатурной формулы, а из нее, в свою очередь, сходимость в равномерной метрике.

В §8 предлагаются вычислительная схема и теоретическое обоснование метода механических кубатур решения с.с.и.у. (1). При построении вычислительной схемы метода используются результаты Б.Г. Габдулхаева и П.Н.

Душкова по решению методом механических квадратур одного одномерного сингулярного интегрального уравнения. Слабосингулярный интеграл из (1) преобразуется следующим образом:

Рассматривается новый интегральный оператор где s – произвольно фиксированный параметр, а Тогда для с.с.и.у.

становится возможным применить одну из построенных в §2 кубатурных формул. В результате мы приходим к вычислительной схеме метода кубатур решения уравнения (1):

относительно приближенных значений {cki } искомой функции u(x) = u(r, ) в узлах (rk, i ) (k = 1, n, i = 1, m). Доказана Теорема 8.1. При определенном согласовании параметров s, n и m система алгебраических уравнений метода механических кубатур однозначно разрешима (хотя бы при достаточно больших n и m). Для погрешности приближенных решений u s(nm) в пространстве L2 верна оценка где As и f – оператор As и функция f после перехода к полярной системе координат, = (s, ) = CF < 1, |h(x, y)| C, F = max а En, (u; r)C – наилучшее равномерное приближение функции u(r, ) по переменной r алгебраическими многочленами степени не выше n, коэффициенты которых являются произвольными непрерывными функциями относительно переменной, E,µ (u; )C – наилучшее равномерное приближение функции u(r, ) по переменной тригонометрическими многочленами степени не выше µ = [(m 1)/2], коэффициенты которых являются произвольными непрерывными функциями относительно переменной r.

В §9 для вычислительной схемы метода наименьших квадратов решения уравнения (1) дано его теоретическое обоснование в пространстве L2 (D).

В главе II диссертации исследуются сингулярные интегральные уравнения вида где a(x) C(D), g(x) L2 (D) – данные, а u(x) L2 (D) – искомая функции; характеристика f () L1 [0, 2] удовлетворяет необходимому и достаточному условию существования сингулярного интеграла из (3) в смысле а функция h(x, y) C(D ) такова, что Для уравнения (3) устанавливаются достаточные условия разрешимости, приводятся вычислительные схемы ряда приближенных методов и дается их теоретическое обоснование.

В §10 устанавливаются простые и эффективные условия, достаточные для существования и единственности решения уравнения (3) в пространстве квадратично-суммируемых в круге D функций. В частности, имеет место следующая Теорема 10.1. Пусть R, и выполняется одно из условий:

) функция f () является нечетной функцией и для u L2 (D) ) f () является четной функцией и для u L2 (D) Если m = m0 + > 0, то оператор A : L2 (D) L2 (D) непрерывно обратим и Следствие. В условиях теоремы интегральное уравнение (3) имеет единственное решение u = A1 g L2 (D) при любой правой части g L2 (D), и для него справедливо неравенство В §11 построены вычислительные схемы итерационных методов решения с.и.у. (3), обеспечивающие наилучшую скорость сходимости построенных приближений к точному решению, и получены оценки их погрешности в пространстве L2.

§12 посвящен теоретическому обоснованию проекционного метода решения с.и.у. (3). Приближенное решение уравнения (3) ищется в виде обобщенного многочлена где {k } – полная ортонормальная система функций в L2 (D), а неизвестные коэффициенты {k } находятся из системы линейных алгебраических уравнений метода Галеркина где cl (z) – коэффициенты Фурье функции z L2 (D) по системе {k }. Для вычислительной схемы (3), (4), (5) справедлива Теорема 12.1. В условиях теоремы 10.1 система (5) однозначно разрешима при любых n N и приближенные решения (4) сходятся в L2 (D) к точному решению u (x) уравнения (3). При этом погрешность приближенной формулы u (x) un (x) может быть оценена с помощью неравенств где En (u ) - наилучшее среднеквадратическое приближение функции u L2 (D) всевозможными элементами вида (4), M – константа, определяемая из неравенства A L2 (D)L2 (D) M.

В §13 исследуются проекционно-итеративные методы решения с.и.у. (3), построенные на основе исследованных в §§11 и 12 итерационном и проекционном методах. Согласно этому методу приближения к решению, полученному проекционным методом (4), (5), ищутся по итерационному правилу где Pn : L2 Xn L2 – линейный проекционный оператор, Xn – линейная оболочка, натянутая на первые n N элементов линейно независимой полной ортонормальной системы функций {k }, n N, а u0 – произвольное начальное приближение из Xn.

Теорема 13.1. В условиях теоремы 10.1 решение un Xn проекционного метода (4), (5) можно найти как предел в L2 итерационной последовательности (6), причем для u0 = (m/M 2 )Pn g справедливы оценки Теорема 13.2. В условиях теоремы 10.1 единственное решение u L2 (D) уравнения (3) можно найти как предел в L2 итерационной последовательности (6). При этом для любых n, j N и u0 Xn справедлива оценка если же u0 = (m/M 2 )Pn g, то Приведем здесь ещё один результат для проекционно-итеративного метода решения уравнения (3), основанного на итерационном правиле Теорема 13.3. Пусть за начальное приближение u0 L2 (D) берется приближенное решение un Xn уравнения (3), полученное проекционным методом (4), (5). Тогда погрешность k-го приближения u uk оценивается по формуле Заключение. В работе получены и выносятся на защиту следующие основные результаты:

1. Предложены достаточные условия существования и единственности решений двумерных слабосингулярных и сингулярных интегральных уравнений в круге, приводящихся к уравнениям второго рода.

2. Для двумерных интегральных уравнений с полярным ядром и двумерных сингулярных интегральных уравнений типа Трикоми-Михлина-Жиро в круге построены вычислительные схемы и проведено теоретическое обоснование итерационных методов, общего проекционного метода Галеркина и метода механических кубатур.

3. Для двумерных интегралов в круге с полярным ядром предложены с обоснованием два способа построения кубатурных формул.

1. Габдулхаев, Б. Г. Методы решения одного класса многомерных сингулярных интегральных уравнений / Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина // Материалы Седьмой международной Казанской летней научной школыконференции “Теория функций, её приложения и смежные вопросы” (Казань, 27 июня – 4 июля 2005 г.). – Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского, Том 30. – Казань: Изд-во Казан. мат. о-ва. – 2005. – С. 30 - 34.

2. Габдулхаев, Б. Г. О кубатурных формулах для одного класса многомерных слабо сингулярных интегралов / Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина // Матерiали II Мiжнародно науково-практично конференцi “Днi науки – 2006”, Т. 35. Математика. – Днiпропетровськ: Наука и освiта. – 2006. – С. 12 - 18.

3. Габдулхаев, Б. Г. Приближенные методы решения одного класса многомерных сингулярных уравнений / Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина // Известия вузов. Математика. – 2006.

– № 11. – С. 11 - 16.

4. Губайдуллина, Р. К. Метод наименьших квадратов решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений / Р. К. Губайдуллина// Материалы Пятой молодёжной научной школы-конференции “Лобачевские чтения –2006” (Казань, 28 ноября – 2 декабря 2006 г.). – Казань:

Изд-во Казан. мат. о-ва. – 2006. – С. 66 - 68.

5. Губайдуллина, Р. К. Приближенные методы решения одного класса многомерных слабосингулярных интегральных уравнений / Р. К. Губайдуллина // Сб. докладов конференции, посвященной 10-летию филиала КГУ в г. Зеленодольске “Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук”(23 ноября 2006 г.). – Казань: Казан. гос. ун-т. – 2006. – С. - 96.

6. Губайдуллина, Р. К. Об оценках операторов Лагранжа в многомерных пространствах / Р. К. Губайдуллина // Материалы Восьмой международной Казанской летней научной школы-конференции “Теория функций, её приложения и смежные вопросы” (Казань, 27 июня - 4 июля 2007 г.). – Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского, Том 35. – Казань: Изд-во Казан.

мат. о-ва. – 2007. – С.83 - 85.

7. Агачев, Ю. Р. Об одном многомерном слабосингулярном интегральном уравнении / Ю. Р. Агачев, Р. К. Губайдуллина // Известия вузов. Математика. – № 11. – 2007. – С. 3 - 11.

8. Губайдуллина, Р. К. Сходимость в среднем кубатурного метода для одного класса интегральных уравнений / Р. К. Губайдуллина // Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы “Современные проблемы теории функций и их приложения”, посвященной памяти академика П.Л.Ульянова.

– Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. – 2008. – С. 59 - 60.

9. Агачев, Ю. Р. Кубатурный метод решения одного класса многомерных слабосингулярных интегральных уравнений / Ю. Р. Агачев, Р. К. Губайдуллина // Известия вузов. Математика. – № 12. – 2009. – C. 3 - 13.

10. Губайдуллина, Р. К. Метод механических кубатур решения одного класса двумерных слабо сингулярных интегральных уравенений / Р. К. Губайдуллина // Материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции “Теория функций, её приложения и смежные вопросы” (Казань, 1 - 7 июля 2011 г.). – Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского, Том 43. – Казань: Изд-во Казан. мат. о-ва. – 2011. – С. 106 - 109.