На правах рукописи

НИКОНЕНКО Сергей Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

ПЕРЕНОСА В МЕМБРАННЫХ СИСТЕМАХ С УЧЕТОМ

ЗАВИСИМОСТИ КИНЕТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТ

КОНЦЕНТРАЦИИ

05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар - 2011

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Кубанский государственный университет" доктор физико-математических наук, профессор

Научный руководитель:

СЕМЕНЧИН Евгений Андреевич доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

ЛЕБЕДЕВ Константин Андреевич доктор физико-математических наук, доцент ШАГРОВА Галина Вячеславовна Российский государственный университет нефти и

Ведущая организация:

газа имени И. М. Губкина

Защита состоится « 28 » декабря 2011 г. в 14:00 час. на заседании диссертационного совета Д 212.101.17 в ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет».

Автореферат разослан « » ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, Барсукова В.Ю.

кандидат физ.-мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы Мембранные системы все шире используются в различных отраслях промышленности, сельского хозяйства, медицины для обессоливания, концентрирования и разделения смесей. Математическое моделирование явлений переноса c одной стороны, позволяет глубже понять механизм этих явлений, с другой стороны, оно необходимо для инженерных расчетов.

При математическом моделировании явлений переноса в мембранных системах в настоящее время общепринятым является предположение о постоянстве кинетических коэффициентов переноса (коэффициентов диффузии в уравнении Нернста-Планка и коэффициентов переноса КедемКачальского). Решения различных краевых задач в таком приближении получены В.М. Волгиным, А.П. Григиным, А.Д. Давыдовым, К. Ларше, К.А. Лебедевым, Х. Манзанаресом, С. Мафэ, М.Х. Уртеновым, А.Н. Филипповым и другими. В то же время из эксперимента известно, что коэффициенты переноса зависят от локальной концентрации раствора;

особенно эта зависимость существенна для мембран (в которых рассматривается внутренний раствор в проводящих порах). Имеется лишь небольшое число публикаций, в которых получены и проанализированы решения с учетом зависимости коэффициентов переноса от концентрации. Это работы К. Ларше, К.А. Лебедева и А.Н. Филиппова, рассмотревших перенос в одномерной многослойной мембранной системе. Однако в этих работах был изучен только стационарный перенос, либо зависимость кинетических коэффициентов в мембране от концентрации локального раствора задавалась эмпирически, а зависимость коэффициентов диффузии во внешнем растворе от его концентрации не учитывалась. Отметим, что учет зависимости кинетических коэффициентов от концентрации существенно усложняет соответствующие математические задачи: линейные системы уравнений становятся квазилинейными.

Таким образом, тема диссертационной работы, посвященной построению математической модели переноса в мембране, в которой учитываются зависимости кинетических коэффициентов от концентрации, и разработке численных методов решения соответствующих краевых задач, является актуальной.

Разработка математической модели процесса переноса ионов в мембране на основе уравнений Кедем-Качальского и микрогетерогенной модели; получение алгоритма и решение краевых задач переноса ионов и растворителя в мембранных системах с учетом зависимости кинетических коэффициентов переноса от локальных концентраций компонентов в растворе.

• Разработать математическую модель переноса ионов в мембране на основе уравнений Кедем-Качальского и микрогетерогенной модели;

• Учесть зависимость коэффициентов переноса в уравнениях КедемКачальского при численном описании транспорта ионов и растворителя;

• Учесть зависимость коэффициентов диффузии при одномерном и двумерном описании электродиффузии в диффузионном пограничном слое (ДПС) раствора;

• Получить приближенные аналитические решения при одномерном и двумерном моделировании электродиффузии в ДПС. Обобщить уравнения Санда, Левека и Пирса.

Работа проведена в Кубанском государственном университете, в рамках Международной Ассоциированной Лаборатории РоссийскоФранцузская лаборатория «Ионообменные мембраны и процессы». Часть работы направлена на решение задач в рамках государственного контракта № 02.740.11.0861 Федеральной целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

Выполнение работы поддержано также Российским Фондом Фундаментальных Исследований (гранты №№ 11-08-93107-НЦНИЛ_а (Соотношения «структура-свойства» ионообменных мембран, влияние наноструктуры мембраны на перенос ионов и растворителя) и 11-08-96511 р_юг_ц (Старение ионообменных мембран: эволюция структуры и свойств в процессе эксплуатации в электродиализных модуля)).

1. Построена новая модель переноса ионов в мембране на основе известных моделей: модели переноса Кедем-Качальского и структурнокинетической микрогетерогенной модели. Математически задача представляет собой краевую задачу в многослойной области для квазилинейной системы уравнений второго порядка в частных производных. Модель позволяет адекватно описывать перенос ионов и растворителя; зависимость коэффициентов переноса Кедем-Качальского от концентрации локального внутреннего раствора строго учитывается с помощью микрогетерогенной модели.

2. Разработан алгоритм решения нестационарных задач переноса в одномерных трехслойных областях, когда коэффициенты переноса внутри мембраны локально рассчитываются как функции внутреннего раствора с использованием микрогетерогенной модели. Получены две версии алгоритма для случаев, когда электрический режим задается в виде плотности тока или в виде скачка потенциала в системе.

3. При решении нестационарных задач в случае наложения постоянного тока, превышающего свое предельное значение, расчет граничной концентрации осуществляется с использованием уравнения, полученного из решения стационарной задачи Рубинштейна. Данный способ позволил получать ненулевые граничные концентрации и конечное значение скачка потенциала через мембрану, что, в свою очередь, впервые дало возможность проводить расчеты хронопотенциограмм при временах, превышающих переходное время.

4. Получены обобщения известных аналитических решений Санда (нестационарная одномерная электродиффузия) и Левека (стационарная двумерная электродиффузия) в случае, когда учитывается зависимость коэффициента диффузии электролита от концентрации. Получены приближенные формулы для расчета эффективных значений коэффициента диффузии в уравнении Санда и толщины диффузионного слоя в уравнении Пирса, вытекающего из решения Левека.

Научная и практическая значимость 1. Предложенный алгоритм и созданная математическая модель могут быть использованы для решения широкого круга задач массопереноса в электрохимии мембран, где процессы описываются уравнениями НавьеСтокса, Нернста-Планка, материального баланса и электронейтральности, в условиях наложенного электрического поля. Математическая модель реализована в виде пакета прикладных программ. Большое практическое значение имеют приближенные аналитические решения, обобщающие уравнения Санда, Левека и Пирса. Полученные в диссертационной работе поправки позволяют получать теоретические оценки переходного времени в хронопотенциометрии, толщины диффузионного слоя и предельной плотности тока в электролизерах, электродиализаторах и в лабораторных ячейках, более близкие к экспериментальным по сравнению с классическими уравнениями.

2. В ходе диссертационной работы проведен расчет скорости диффузионного переноса метанола через катионообменную мембрану Нафион. Полученные результаты имеют практическое значение для разработки топливных элементов. Получен сертификат об использовании результатов диссертационной работы в Воронежском государственном университете и в Восточном парижском университете, Париж, Франция.

Основные положения, выносимые на защиту 1. Математическая модель переноса ионов в мембране, построенная на основе уравнений переноса Кедем-Качальского и структурнокинетической микрогетерогенной модели.

2. Алгоритм решения нестационарной одномерной краевой задачи, позволяющий моделировать хронопотенциограммы при сверхпредельных плотностях токах и временах, превышающих переходное время.

3. Уравнение, описывающее концентрационную зависимость эффективной толщины диффузионного слоя в уравнении Пирса, и уравнение, аппроксимирующее эффективное значение коэффициента диффузии в уравнении Санда как функцию концентрации.

Личное участие автора в получении научных результатов Основные результаты диссертационной работы получены лично автором:

построен алгоритм решения нестационарной краевой одномерной задачи в многослойной области, описывающей электродиффузию ионов; получено численное решение нестационарной краевой задачи для случая диффузионного переноса метанола через катионообменную мембрану Нафион; проведен сравнительный анализ результатов численного расчета с экспериментальными данными, полученными в Восточном Парижском университете; получены формулы, описывающие концентрационные зависимости эффективной толщины диффузионного слоя в уравнении Пирса и эффективного коэффициента диффузии в уравнении Санда как функции концентрации; проведено численное моделирование экспериментальных хронопотенциограмм, взятых из литературы; выполнена оценка погрешности, получаемой без учета поправок на зависимость коэффициентов диффузии соли от концентрации; разработан комплекс программ математического моделирования переноса ионов в многослойной мембранной системе.

диссертационной работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях по мембранной электрохимии и вычислительной математике: «Мембранная электрохимия. Ионный перенос в органических и неорганических мембранах» (г. Туапсе, 2010, 2011 гг.);

International Congress on Membranes “ICOM 2011”, July 23 – 29 (Amsterdam – The Netherlands 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ:

в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для опубликования научных результатов; имеется Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2011617937.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка обозначений, списка цитируемой литературы и двух приложений. Работа изложена на 134 страницах машинописного текста и содержит 20 рисунков, 3 таблицы, список литературы из 164 наименований и 2 акта об использовании результатов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и основные задачи исследования, указано содержание работы по разделам.

В главе 1 диссертационной работы проведен обзор работ, посвященных моделированию электродиффузионного переноса в мембранных системах. Особое внимание обращено на модели, описывающие перенос внутри мембран. Установлено, что наиболее адекватной в широком смысле слова является модель Кедем-Качальского. Уравнения переноса выведены в рамках неравновесной термодинамики и учитывают все основные и перекрестные взаимодействия. Транспорт ионов определяется градиентами концентрации и электрического потенциала, а также конвективным транспортом растворителя, который, в свою очередь, зависит от градиента давления, и градиентом концентрации и потенциала. Кинетические коэффициенты в уравнениях Кедем-Качальского, называемые практическими коэффициентами, удобны тем, что они могут напрямую определяться из эксперимента.

Проведен анализ известных методов решения уравнений переноса в растворе и в мембране.

Из проведенного анализа литературы сделаны выводы, на основании которых поставлены цели и задачи диссертационной работы.

В главе 2 описан объект исследования – мембранная система, включающая в себя чередующиеся анионо- и катионообменные мембраны, а также раствор между ними (Рис. 1).

Раствор между мембранами прокачивается с постоянной скоростью (средняя скорость V0). Функциональным свойством анионообменных мембран является то, что они пропускают через себя в основном анионы, катионообменные мембраны пропускают в основном катионы. Следствием такой селективной проницаемости является то, что при наложении электрического тока концентрация электролита в системе изменяется: убывает у одной из границ мембраны и увеличивается у другой. Это свойство позволяет проводить обессоливание и концентрирование растворов электролитов.

Основным уравнением переноса в растворе является так называемое расширенное уравнение Нернста-Планка с конвективным членом:

где J i – плотность потока ионов сорта i, Di ( ci ) – коэффициент диффузии напряженность электрического поля, нормированная на RT / F ( E = E, R – газовая постоянная, T – температура, F – число Фарадея, E – размерная напряженность электрического поля), V – скорость течения жидкости.

Уравнение (1) дополняется условием переноса тока, условием электронейтральности и уравнением сохранения вещества:

здесь i – плотность тока, t – время.

Комбинация уравнений (1)-(4) позволяет выразить напряженность электрического поля через i. Для одномерного переноса вдоль оси х имеем:

При использовании условия электронейтральности (3) третье слагаемое в уравнении (5) обнуляется.

Подстановка (5) в (1) в случае бинарного электролита и выполнения условия локальной электронейтральности приводит к уравнению где коэффициент диффузии электролита D и число переноса иона «i» в растворе выражаются, соответственно, формулами:

Таким образом, при выполнении условия электронейтральности уравнение Нернста-Планка (1) эквивалентно уравнению (6).

Для описания переноса заряженных и незаряженных компонентов в мембране О. Кедем и А. Качальский получили в рамках термодинамики неравновесных процессов следующее уравнение, которое можно рассматривать как расширенную форму уравнения (6):

где P ( ci ) - коэффициент диффузионной проницаемости, ti ( ci ) - число переноса ионов i, Lp ( ci ) - коэффициент гидравлической проницаемости, s коэффициент отражения Ставермана, p - давление.

Обычно при решении задач переноса кинетические коэффициенты D, ti (в уравнении (6)), P, ti, Lp (в уравнении (9)) считаются постоянными (работы Г. Санда, М.Х. Уртенова, С. Мафэ и др.). В данной диссертационной работе эти коэффициенты рассматриваются как функции локальной концентрации. Для выражения зависимости D ( c ) использовалось уравнение Нернста-Хартлея где D0 коэффициент диффузии электролита при бесконечном разбавлении (нулевой концентрации) раствора, g фактор активности. Зависимость g(c) в виде полиномов для трех наиболее употребительных в электрохимии растворов (KCl, NaCl, LiCl) была найдена из литературы. Для KCl, NaCl и LiCl эта функция имеет, соответственно, вид:

где с — концентрация электролита в моль/дм3; g, как видно из уравнения (10), величина безразмерная.

Зависимость кинетических коэффициентов P, ti, Lp от концентрации электролита в поровом пространстве мембраны найдена путем использования известной микрогетерогенной модели. Согласно этой модели, мембрана представляет собой многофазную систему, содержащую, по крайней мере, две электронейтральные фазы: гелевую фазу и межгелевое пространство, заполненное электронейтральным равновесным раствором (Рис.2). Гелевые участки представляют собой микропористые, глобально гидрофильные области мембраны, содержащие подвижные и неподвижные ионы, молекулы воды и полимерные цепи.

Для описания переноса ионов в микрогетерогенной модели используется уравнение Нернста-Планка, записываемое в форме где i ( x, t ) – электрохимический потенциал ионов i в сечении мембраны х.

раствор в межгелевых промежутках, соответственно, в микрогетерогенной модели используется следующее уравнение:

где f1 и f2 – объемные доли фаз геля и раствора, соответственно, f1 + f2 =1; структурный параметр мембраны, характеризующий взаимное расположение фаз друг относительно друга.

Для выражения зависимости Li и Li от локальной концентрации порового раствора применяются уравнения:

где Di и Di – коэффициенты диффузии ионов i в гелевой фазе мембраны и в растворе, соответственно; ci и ci – концентрации ионов i в гелевой фазе мембраны и в растворе:

индекс А относится к коионам (знак заряда совпадает со знаком заряда фиксированных ионов), 1 – к противоионам (знак заряда противоположен знаку заряда фиксированных ионов); Q – концентрация фиксированных ионов в гелевой фазе; K D – константа Доннана. Концентрация ионов i в расчете на единицу объема мембраны рассчитывается по уравнению:

Параметры K D, Q, D1, D A, f1 ( f 2 ) и считаются известными константами раствором, берутся такими же, как и в свободном растворе.

кинетические коэффициенты Кедем-Качальского:

Разработан и описан алгоритм численного решения.

Рассматривается нестационарная модель переноса (Рис. 3) ионов и/или растворителя через мембрану с двумя прилегающими к ней ДПС.

Переменные, относящиеся к левому ДПС, имеют нижний индекс L;

переменные в правом ДПС имеют индекс R, в мембране – M.

Рис. 3 – Схематическое представление трехслойной мембранной системы.

Нестационарный перенос ионов i в диффузионных слоях раствора описывается уравнением Нернста-Планка (1) без конвективного слагаемого, условием протекания тока (2) и условием электронейтральности (3), при этом напряженность E выражается уравнением (5). Другим способ выражения потоков может быть использование уравнения Кедем-Качальского (9) в мембране и его аналога (6) в растворе. Под концентрацией ci внутри мембраны следует понимать концентрацию виртуального раствора: гипотетического раствора, с которым малый объем мембраны находится в состоянии локального равновесия.

Алгоритм расчета зависит от того, какой электрический параметр системы задан: плотность тока i или суммарный скачок потенциала:

I. Рассмотрим случай, когда задана плотность тока i. Она может быть постоянной величиной или являться известной функцией времени.

Шаг 1. Расчет начальных потоков.

Рассчитываются потоки при t=0 по известным концентрациям, вначале в мембране, а затем в левом (L) и правом (R) ДПС раствора:

где среднее значение величины Aav ( A = P, D или E ) определяется как Aav = ( A( j 1) + A( j ) ) / 2. На границах с мембраной (jL=0 и jR=0) потоки в растворе находятся из условия непрерывности.

Шаг 2. t>0. Вычисление новых концентраций.

Вначале рассчитываются новые концентрации ( t = t + t ) в растворах R и L в соответствии с уравнением (4) имеем:

В мембране на ее границах ( jM = 0 и jM = N M ) из условия локального равновесия вычисляются концентрации виртуального раствора:

Затем осуществляется расчет новых концентраций c во внутренних точках мембраны:

Далее выполняется вычисление концентраций виртуального раствора в мембране, решается обратная задача нахождения c из c*, используя уравнения (17) и (18).

Шаг 3. Вычисление новых потоков.

Как и на шаге 1, по известным концентрациям ( t = t + t ) вначале рассчитываются потоки в мембране, а затем в левом (L) и правом (R) ДПС раствора в соответствии с уравнениями (23).

После расчета потоков возвращаемся к шагу 2 для вычисления новых концентраций.

II. В случае, когда задан скачок потенциала U, его можно представить в виде где ROhm (омическое сопротивление системы) и dif (скачок диффузионного потенциала) являются функциями концентраций и их производных по х.

Таким образом, эти функции можно рассчитать, если известно распределение концентраций, после чего из уравнения (27) можно найти плотность тока i.

Далее используется алгоритм расчета для случая, когда i является заданным параметром.

Замечание: При приближении к переходному времени «новые»

концентрации могут принимать отрицательное значение. В случае, если концентрация ионов в узле j (начиная с jL=0) при t = t + t принимает отрицательное значение, ее значение перерассчитывается с использованием следующей формулы, полученной ранее из решения стационарной задачи Рубинштейна:

определяемый квадратом отношения дебаевской длины LD к толщине диффузионного слоя; I=2i/ilim — удвоенное отношение плотности тока к предельному значению ilim, определяемому уравнением Пирса. Расчет концентраций в соседних узлах (j=jL+1) при t = t + t осуществляется путем применения уравнения сохранения (4) в интегральной форме с учетом поправки на сдвиг концентрации при j=jL.

В главе 3 получены модификации аналитических решений Санда, Левека и Пирса.

Уравнение Санда выведено для одномерной диффузии в полубесконечной области, граничащей с электродом или мембраной.

Рассматривается диффузионный слой, в котором конвективным переносом можно пренебречь. В этом случае система уравнений (1)-(4) упрощается до вида:

Из условия непрерывности потока ионов k на границе с мембраной/электродом вытекает следующее граничное условие:

где i – плотность тока, Tk. - эффективное число переноса противоионов в мембране (доля тока, переносимого ионами k), значение которого необходимо задавать как параметр. Tk можно найти, исходя либо из экспериментальных данных, либо из решения другой задачи.

Г. Санд (1901 г.) получил аналитическое решение уравнения (29) с условием (31) на границе раствора с электродом (х=0) при постоянном значении коэффициента диффузии D. Для переходного времени (время, при котором c(0, t) обращается в ноль) получено уравнение:

Переходное время является важной характеристикой нестационарных процессов в электрохимии. При t= граничная концентрация электролита cs у поверхности мембраны/электрода приближается к нулю (Рис. 4) и происходит смена механизма переноса: развивается сопряженная конвекция, которая облегчает доставку свежего раствора к поверхности мембраны.

Быстрый рост скачка потенциала, а затем его замедление приводят к появлению перегиба на хронопотенциограмме (Рис. 5а). Точка перегиба отвечает переходному времени. Для ее нахождения определяется максимум на производной скачка потенциала по времени (Рис. 5b).

В случае переменного коэффициента диффузии задача (29)-(30) не имеет аналитического решения. В данной работе эта задача решена численно с использованием метода конечных разностей, описанного в главе 2. Учет зависимости коэффициента диффузии электролита от концентрации осуществляется с использованием уравнения Нернста-Хартлея (10) и аппроксимаций (11)-(13) для g(c). Расчетная хронопотенциограмма заметно ближе к экспериментальной, если учитывается зависимость D(c) (Рис. 5).

Рис. 5 – Хронопотенциограмма (а) и ее производная по времени (b) для анионообменной мембраны АМХ в растворе 0.1 М NaCl при плотности тока i=23.89 мА/см2. Точки – экспериментальные данные1; сплошные кривые 1 и рассчитаны с учетом зависимости D(c); кривая 2 – при D=D0; при расчете кривой 1 сделано предположение, что измерительный капилляр в обедненном растворе находится на расстоянии 5 мкм от поверхности мембраны В работе найдены эффективные значения коэффициента диффузии Def, подстановка которых в уравнение Санда дает верное значение. Значения Def как функции концентрации в объеме раствора с0 для случая NaCl аппроксимированы многочленом:

Def = D0 0.0859c0 2 + 0.4138c0 0.4184c0 2 + 1. Аналитическое уравнение Санда (31) дает возможность проверки корректности численного решения, полученного в данной работе.

Действительно, для этого достаточно сравнить значение, найденное численно при D(с)= D0=const, со значением, полученным из уравнения (31). Для получения достаточно высокой точности расчетов необходимо брать большое число шагов N по координате х. Разумным компромиссом можно считать N =450, когда относительная ошибка расчета составляет 0,5%. Эта ошибка примерно в два раза меньше экспериментальной, что позволяет уверенно использовать уравнение (31), например, для расчета эффективных чисел переноса по экспериментально определенному переходному времени.

Уравнения Левека и Пирса применяются для описания так называемого предельного состояния, в котором, как и в случае переходного состояния в хронопотенциометрии, граничная концентрация cs достигает малых значений по сравнению с концентрацией в объеме раствора c0.

Уравнение Пирса выводится из граничного условия непрерывности потоков (30), когда cs много меньше c0:

Поскольку при наступлении предельного состояния концентрация в диффузионном слое меняется от некоторого постоянного значения в объеме раствора c0 до значения cs у поверхности мембраны, близкого к нулю (Рис. 5), то возникает проблема, какую же величину D нужно использовать в уравнении (33)? Имеются работы, в которых значение D отнесено к бесконечно разбавленному раствору (Е.И.Володина и др.), а также работы (И. Крол и др.), в которых D отнесено к концентрации перемешиваемого раствора.

Анализ вывода уравнения Пирса показывает, что поскольку производная берется у поверхности мембраны, а в предельном состоянии локальная концентрация здесь близка к нулю, то D должно быть отнесено к бесконечно Pismenskaia N. et al., // J. Membr. Sci. 2004. Vol. 228. No. 1. P. разбавленному раствору. Но тогда проблема переходит в другую плоскость:

каким должно быть значение, чтобы уравнение Пирса оставалось корректным и в том случае, когда учитывается тот факт, что D меняется с изменением концентрации/координаты?

Ответ на последний вопрос следует искать в зависимости толщины диффузионного слоя от концентрации электролита в объеме раствора. Для решения данной задачи необходимо рассмотреть двумерную геометрию, представленную на Рис.1: вместе с электродиффузионным переносом ионов по нормали к поверхности мембраны необходимо учесть их конвективный перенос вместе с вынужденным течением раствора вдоль поверхности мембран.

Рассмотрим элементарное звено электрохимической ячейки (Рис.1) — так называемую парную камеру, состоящую из чередующихся катионо- и анионообменных мембран (Рис.1), между которыми прокачивается раствор электролита. Течение жидкости между мембранами считается ламинарным и установившимся. В этом случае решение уравнения Навье-Стокса с граничными условиями прилипания приводит к параболическому распределению скорости по поперечной координате х, известному как распределение Пуазейля:

где v – средняя скорость течения, h – расстояние между мембранами.

Подстановка уравнения (6) в уравнение (4) в случае для стационарного При рассмотрении предельного состояния системы (плотность тока равна ilim) принимается, что концентрация электролита у поверхности мембраны всюду, кроме входа в канал (продольная координата y=0), много меньше его концентрации в объеме раствора. В этом случае граничное условие на поверхности мембраны (х=0) можно записать в виде:

На входе в канал концентрация электролита при всех значениях поперечной координаты х равняется c0in, что дает начальное условие В безразмерных переменных данная задача имеет следующий вид:

где В случае постоянного коэффициента диффузии, g(c)=1, задача (38)– (41) имеет приближенное аналитическое решение (М. Левек) для коротких