На правах рукописи

Аристархова Анна Вячеславовна

КОНТАКТНО-АВТОДУАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ

МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Специальность 01.01.04 – геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань – 2009

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре геометрии математического факультета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

КИРИЧЕНКО ВАДИМ ФЕДОРОВИЧ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

ТОЛСТИХИНА ГАЛИНА АРКАДЬЕВНА

ЛИПАГИНА ЛАРИСА ВЛАДИМИРОВНА

Ведущая организация: Чувашский государственный педагогический универси­ тет им. И.Я. Яковлева

Защита состоится 17 декабря в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного со­ вета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: Россия, 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 27 октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Липачев Е.К.

Общая характеристика диссертационной работы Настоящая работа, с одной стороны, посвящена 5-мерным Актуальность работы.

многообразиям, снабженным почти контактной метрической структурой. Теория же струк­ тур, указанного типа, занимает видное место в ряду дифференциально-геометрических структур, изучаемых на данный момент, в силу приложений к современной математиче­ ской физике (например, к классической механике, к теории геометрического квантования и др.), а также в силу богатства геометрического содержания самой этой теории и ее свя­ зей с другими разделами современной геометрии (например, с теорией гиперповерхностей римановых многообразий). Более полувека не иссякает интерес ученых и просто исследова­ телей к теории многообразий, наделенных почти контактными (метрическими) структура­ ми, которые являются естественным обобщением контактных (метрических) структур. В самом деле, основополагающими для данной теории явились работы С. Чженя, Дж. Грея, В. Бутби, Х. Вана и С. Сасаки, появившиеся в 50-ые годы XX века; впоследствии, ис­ следования в этом направлении были представлены многочисленными и разнообразными (в методах, подходах и результатах) работами, которые объединяет лишь то, что изуче­ нию преимущественно подвергались исключительно некоторые классы почти контактных метрических и контактных многообразий, несмотря, например, на практически необозри­ мую классификацию первых. Так, наиболее изученными, а также интересными (с точки зрения дальнейшего повествования) являются такие подклассы почти контактных метри­ ческих многообразий, как квази-сасакиевы, косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу.

Класс квази-сасакиевых многообразий был введен в рассмотрение Д. Блэром, а, впо­ следствии, изучался с различных точек зрения многими авторами. Так, к примеру, Блэр установил, что не существует квази-сасакиевой структуры четного ранга, что вектор является вектором Киллинга и что с точностью до гомотетии квази-сасакиево много­ образие постоянной кривизны является сасакиевым или косимплектическим; он же на­ шел условия, при которых квази-сасакиево многообразие является прямым произведени­ ем сасакиева и келерова многообразий. В свою очередь, Канемаки, доказал некоторые достаточные условия по поводу того, когда квази-сасакиево многообразие имеет указан­ ное строение локально. Позже наиболее полное описание упомянутого вопроса было да­ но Кириченко В.Ф. и Рустановым А.Р. в терминах дополнительных свойств симметрии тензора римановой кривизны квази-сасакиевых многообразий; они же выделили несколь­ ко интересных классов квази-сасакиевых многообразий и изучили их, используя полную группу структурных уравнений квази-сасакиевых многообразий. Подробно был исследо­ ван так называемый класс 1 квази-сасакиевых многообразий, исчерпывающее описание локального строения которых также дали Кириченко В.Ф. и Рустанов А.Р., приведя к то­ му же полные классификации квази-сасакиевых многообразий класса 1 постоянной -голоморфной секционной кривизны и квази-сасакиевых многообразий данного класса, удовлетворяющих аксиоме -голоморфных -плоскостей, что существенно обобщило известные результаты Танно, касающиеся классификации сасакиевых пространственных форм, а также углубило результаты Огиуэ и Исихары, касающиеся почти контактных метрических многообразий, в частности многообразий Сасаки, удовлетворяющих аксиоме Рассмотрение класса квази-сасакиевых многообразий в настоящей работе обуслов­ лено тем, что он включает в себя два наиболее изученных класса почти контактных метрических многообразий – класса косимплектических и класса сасакиевых многообра­ зий, которые в эрмитовой геометрии являются контактными аналогами келеровых мно­ гообразий. При этом, известно, что косимплектические и сасакиевы структуры, характе­ турный эндоморфизм), соответственно, являются «граничными» подклассами квази-саса­ киевых структур. В действительности последнее объясняется совершенно естественным многообразии 2+1.

В 1971 году Кенмоцу ввел в рассмотрение новый класс почти контактных метриче­ ских структур, характеризуемых для любых гладких векторных полей и тождеством киевых структур, но фактически характеризующим структуры (в определенном смысле) противоположные сасакиевым. Впоследствии, такие почти контактные метрические струк­ туры были названы структурами Кенмоцу. Отметим, что Кенмоцу изучил замечательные свойства введенных им структур и привел их примеры. Позднее Синха и Шриваштава изучали многообразия Кенмоцу постоянной -голоморфной секционной кривизны, а Ко­ баяши М. определил свойства контактных нормальных подмногообразий и контактных родовых нормальных подмногообразий в многообразиях Кенмоцу. Исчерпывающее описа­ ние многообразий, наделенных структурой Кенмоцу, дал Кириченко В.Ф.; он не только исследовал локальное строение указанных многообразий, тем самым приведя их изящный пример (используя теорию локально конформных преобразований), но и получил полную классификацию данных многообразий точечно постоянной -голоморфной секционной кривизны, указав случай глобального постоянства этой кривизны на рассматриваемых многообразиях.

Наконец, с другой стороны, настоящая работа посвящена изучению обобщения тако­ го понятия, как автодуальность, определенного, в принципе, на 4-мерных ориентирован­ ных римановых многообразиях, наделенных рядом особенностей. Отметим, что, с точки зрения римановой геометрии, размерность 4 – первая (в сравнении с размерностями 2 и 3), в которой тензор кривизны, являющийся тензором валентности четыре, не определя­ тому же, группа, является единственной неполупростой группой, (при ), что приводит нас к важнейшей особенности 4-мерного ориентированного риманова многообразия, заключающейся в специфическом строении структурной группы глав­ ного расслоения ориентированных ортонормированных реперов над таким многообразием расслоении кососимметричных 2-форм над многообразием разлагает -модуль дифференциальных 2-форм на этом многообразии в прямую сумму двуx 3-мер­ тиавтодуальных 2-форм, соответственно (здесь размерность модулей сечений понимается как размерность слоев соответствующих расслоений). На этой основе, с помощью тензора Вейля конформной кривизны, рассматриваемого как симметричный автоморфизм модуля, как известно, и строится теория конформно полуплоских многообразий, называе­ мая автодуальной геометрией.

Конформно полуплоские, т.е. автодуальные либо антиавтодуальные, (4-мерные) мно­ гообразия играют достаточно значимую роль в современной науке в силу связи их геомет­ рии с геометрией эйнштейновых многообразий (с которой, в свою очередь, связаны имена выдающихся геометров) и с твисторной геометрией (имеющей непосредственное прило­ жение в теории гравитации и в теории полей Янга-Миллса). Так, например, известная теорема Пенроуза-Атьи-Хитчина-Сингера утверждает, что каноническая почти комплекс­ ная структура пространства твисторов 4-мерного ориентированного риманова многообра­ зия интегрируема тогда и только тогда, когда это многообразие конформно полуплоско.

Хитчин доказал, что если к тому же указанное многообразие – компактное многообра­ зие Эйнштейна положительной скалярной кривизны, то оно изометрично либо 2 со стандартными метриками. Кроме того, Хитчин доказал, что 4-мерное ориентированное компактное риманово многообразие имеет келерово пространство твисторов тогда и толь­ ко тогда, когда это многообразие конформно эквивалентно либо 2 с их стандартными конформными структурами. Чен, Бургиньон и Дердзински получили классификацию ком­ пактных автодуальных келеровых многообразий (интересно, что Чен, Бургиньон и Дерд­ зински получили указанный результат независимо друг от друга, используя совершенно разные методы), а Ито – классификацию автодуальных многообразий Келера-Эйнштейна и исчерпывающую характеристику компактных автодуальных келеровых многообразий.

Недавние исследования Арсеньевой О.Е. и Кириченко В.Ф. существенно обобщили и до­ полнили результаты Хитчина, Бургиньона, Дердзински, Чена, Ито, а также Коды. Так, Арсеньева О.Е. получила полную классификацию автодуальных обобщенных келеровых многообразий постоянной скалярной кривизны, а также доказала, что обобщенное келе­ рово многообразие антиавтодуально тогда и только тогда, когда его скалярная кривизна равна нулю. Совместная же работа Арсеньевой О.Е. и Кириченко В.Ф. «Автодуальная геометрия эрмитовых поверхностей» содержит ряд красивых и неожиданных результатов, касающихся геометрии конформно полуплоских эрмитовых поверхностей (т.е. 4-мерных почти эрмитовых многообразий со знакоопределенной метрикой и интегрируемой почти комплексной структурой) как классического, так и гиперболического типа (обобщенных эрмитовых поверхностей); там же приведена полная классификация компактных автоду­ альных эрмитовых -поверхностей, являющихся обобщенными многообразиями Хопфа, решающая проблему Чена в этом классе эрмитовых многообразий.

Таким образом, приведенный обзор исследований как некоторых классов почти кон­ тактных метрических многообразий, так и конформно полуплоских многообразий, ни в коей мере не претендующий на полноту, показывает насколько эти проблемы занимали и занимают умы геометров, продолжающих их активное изучение. Однако, до настоящего времени не были подняты вопросы, связанные с возможностью обобщения на 5-мерный случай понятий автодуальных и антиавтодуальных 2-форм, играющих фундаментальную роль в 4-мерной римановой геометрии. В частности, не рассматривалась возможность обобщения понятий автодуальных и антиавтодуальных многообразий на случай 5-мер­ ных римановых многообразий, снабженных почти контактной структурой (согласованной с метрикой); также не высказывалась идея рассмотрения теории, основанной на замене тензора Вейля на тензор Римана-Кристоффеля в рамках автодуальной геометрии, обоб­ щенной на 5-мерный случай. К сказанному хочется добавить еще и то, что выдающийся ученый А.Л. Бессе (во введении книги «Четырехмерная риманова геометрия. Семинар Артура Бессе. 1978/79» под его редакцией) заметил: «Когда инерция мышления подтал­ кивает меня перейти к исследованиям в размерности 5, мой внутренний голос протестует.

Я склонен с ним согласиться».

В настоящей же работе подробно исследуются указанные проблемы; а именно, в данной работе известная конструкция конформно полуплоских (4-мерных) многообразий распространяется на 5-мерные римановы многообразия, снабженные почти контактной метрической структурой, а следовательно, и 4-мерным гиперраспределением. На этой ос­ нове, с помощью тензора Вейля, вводится в рассмотрение контактный аналог конформно полуплоских многооборазий. Построенная таким образом конструкция оказалась богатой геометрическим содержанием, что было продемонстрировано на примере квази-сасакие­ вых, косимплектических и сасакиевых многообразий, а также на примере многообразий Кенмоцу. Более того, разработанный в работе формализм для тензора Вейля был приме­ нен к тензору Римана-Кристоффеля, что позволило получить ряд интересных результа­ тов, касающихся указанных многообразий.

Цель диссертационной работы формно-полуплоских (т.е. контактно-автодуальных либо контактно-антиавтодуальных) по­ чти контактных метрических многообразий, называемой в дальнейшем контактно-автоду­ альной геометрией, и в изучении контактно-автодуальной геометрии некоторых классов 5-мерных почти контактных метрических многообразий. При этом, основными задача­ ми исследования 1) Обобщение концепции автодуальных и антиавтодуальных 2-форм на случай 5-мер­ ных почти контактных метрических многообразий, а также определение внутренним об­ разом понятий контактно-автодуальных, контактно-антиавтодуальных и контактно-кон­ формно-полуплоских (т.е. контактно-автодуальных либо контактно-антиавтодуальных) по­ чти контактных метрических многообразий.

2) Изучение контактно-автодуальной геометрии квази-сасакиевых, косимплектиче­ ских, сасакиевых многообразий, а также многообразий Кенмоцу.

3) Определение естественным образом понятий контактно -автодуальных, контакт­ но -антиавтодуальных и контактно-полуплоских (т.е. контактно -автодуальных либо контактно -антиавтодуальных) почти контактных метрических многообразий, путем за­ мены тензора Вейля на тензор Римана-Кристоффеля в рамках разработанного фор­ мализма для тензора.

4) Изучение контактно -автодуальной геометрии квази-сасакиевых, косимплекти­ ческих, сасакиевых многообразий, а также многообразий Кенмоцу.

5) Определение понятий псевдо-конформно-плоских и псевдоплоских почти контакт­ ных метрических многообразий, а также их изучение на примере квази-сасакиевых, ко­ симплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

Основные результаты настоящего диссертационного исследова­ Научная новизна.

ния являются новыми. Выделим важнейшие из них.

1) В первой главе введено обобщение автодуальных и антиавтодуальных 2-форм на случай 5-мерных почти контактных метрических многообразий, а также на пространстве присоединенной -структуры указанных многообразий подсчитаны их компоненты. По­ средством последнего удалось внутренним образом определить понятия контактно-авто­ дуальных, контактно-антиавтодуальных и контактно-конформно-полуплоских почти кон­ тактных метрических многообразий. При этом, применяя построенную конструкцию к тензору Римана-Кристоффеля, естественным образом были определены понятия контакт­ но -автодуальных, контактно -антиавтодуальных и контактно-полуплоских почти кон­ тактных метрических многообразий.

2) Во второй главе изучена контактно-автодуальная геометрия квази-сасакиевых, косимплектических и сасакиевых многообразий. А именно, установлены аналитический критерий контактной автодуальности и признак контактной антиавтодуальности квази­ сасакиевых многообразий. С помощью указанного критерия контактной автодуальности был получен ряд результатов, касающихся сасакиевых и косимплектических многообра­ зий, важнейшими из которых являются полные классификации контактно-автодуальных сасакиевых и контактно-автодуальных косимплектических многообразий. Учитывая при­ знак контактной антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий, было доказано, что 5-мерное косимплектическое многообразие контактно-антиавтодуально тогда и только то­ гда, когда оно является риччи-плоским многообразием, и, что 5-мерное сасакиево много­ образие контактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является многообра­ зием Эйнштейна с космологической константой. Кроме того, введя в рассмотрение псевдо-конформно-плоские многообразия, было доказано, что 5-мерное квази-сасакиево многообразие класса 1 псевдо-конформно-плоско тогда и только тогда, когда оно кон­ формно плоско; в качестве очевидных следствий последнего факта, было получено, что 5-мерные косимплектические и сасакиевы многообразия псевдо-конформно-плоски тогда и только тогда, когда они конформно плоски.

3) В третьей главе изучена контактно -автодуальная геометрия квази-сасакиевых, косимплектических и сасакиевых многообразий. Именно, установлены аналитические кри­ терии контактной -автодуальности и контактной -антиавтодуальности квази-сасаки­ евых многообразий. С помощью критерия контактной -автодуальности квази-сасакие­ вых многообразий были получены полные классификации контактно -автодуальных са­ сакиевых и контактно -автодуальных косимплектических многообразий. С учетом же критерия контактной -антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий, было до­ казано, что 5-мерное косимплектическое многообразие контактно -антиавтодуально то­ гда и только тогда, когда оно является риччи-плоским многообразием, и, что контактно -антиавтодуальных сасакиевых многообразий не существует. Далее, введя в рассмотре­ ние псевдоплоские многообразия, был получен аналитический критерий псевдоплоскости квази-сасакиева многообразия, т. е. было доказано, что 5-мерное квази-сасакиево многооб­ разие класса 1 с нильпотентным характеристическим гомоморфизмом (т.е. 2 ) псевдоплоско тогда и только тогда, когда оно плоско. Также доказано, что 5-мерное саса­ киево многообразие не может быть псевдоплоским.

4) В четвертой главе исследованы контактно-автодуальная и контактно -автодуальная геометрии многообразий Кенмоцу. Получена полная классификация контактно-авто­ дуальных многообразий Кенмоцу и доказано, что 5-мерное многообразие Кенмоцу кон­ тактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием Эйн­ штейна с космологической константой. Установлен критерий конформной псевдо­ плоскости многообразий Кенмоцу, утверждающий, что 5-мерное многообразие Кенмоцу псевдо-конформно-плоско тогда и только тогда, когда оно конформно плоско. В заклю­ чение, было доказано, что 5-мерное многообразие Кенмоцу не может быть ни контактно -автодуальным, ни контактно -антиавтодуальным, а значит, не может быть и псевдо­ плоским многообразием.

Практическая и теоретическая значимости.

ретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для даль­ нейшего изучения контактно-автодуальной геометрии подходящих многообразий, в соот­ ветствующих разделах дифференциальной геометрии и математической физики, а также для чтения спецкурсов, для написания курсовых, дипломных и диссертационных работ в высших учебных заведениях, где проводятся исследования по сходной тематике.

Апробация работы.

лись на научно-исследовательском семинаре по дифференциально-геометрическим струк­ турам на многообразиях кафедры геометрии (рук. д. ф.-м. н., проф. Кириченко В.Ф.) Московского Педагогического Государственного Университета (Россия, Москва, апрель 2009 г.), на V общероссийской научной конференции «Актуальные вопросы науки и об­ разования» (Россия, Москва, май 2009 г.), на международной конференции «Геометрия в Одессе – 2009» (Украина, Одесса, май 2009 г.), на международной научной конференции «Лаптевские чтения – 2009» (Россия, Москва-Тверь, август 2009 г.), на международной конференции «Геометрия в Астрахани – 2009» (Россия, Астрахань, сентябрь 2009 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в 8 печатных рабо­ Публикации.

тах, из них 1 статья в рецензируемом журнале [1], рекомендованным ВАК РФ, 4 работы в виде тезисов докладов научных конференций [2–5] и 3 работы, депонированные в ВИ­ НИТИ РАН [6–8].

Структура и объем диссертации.

дения, 4 глав, включающих 17 параграфов, списка литературы и списка публикаций ав­ тора. Работа изложена на 94 страницах машинописного текста.

Краткое содержание диссертационной работы содержит исторический обзор исследований по теме диссертации, а также Введение обоснование ее актуальности. Здесь же сформулированы цель и основные задачи насто­ ящего исследования, новизна которого отражена в приведенных основных результатах работы. Далее, во введении указаны практическая и теоретическая значимости работы, ее апробация и публикации автора по теме исследования. Завершает введение краткое содержание диссертационного исследования.

Первая глава «Основные понятия», работке основных понятий и аппарата теории контактно-конформно-полуплоских многооб­ разий, которая является обобщением классической автодуальной геометрии на 5-мерный случай.

В первом параграфе «Почти контактные метрические многообразия» излагаются хорошо известные понятия и факты контактной геометрии, которые используются в на­ стоящем исследовании по мере необходимости.

Во втором параграфе «Автодуальные и антиавтодуальные формы на почти кон­ тактных метрических многообразиях» разработано обобщение теории автодуальных и антиавтодуальных 2-форм, на случай 5-мерных почти контактных метрических многооб­ разий, кульминацией которого явилось доказательство леммы, уточняющей компоненты рассматриваемых форм на пространстве присоединенной -структуры. Именно, в усло­ -репере:

Заметим, что здесь и далее индексы,,,,, пробегают значения от 1 до 2, где, условимся, что индексы,,, пробегают значения,,,.