САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
Небосько Евгений Юрьевич
СИНТЕЗ АДАПТИВНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ В ЗАДАЧАХ
ИНВАРИАНТНОСТИ И ОТСЛЕЖИВАНИЯ
01.01.09 Дискретная математика и математическая кибернетика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Санкт-Петербург 2010
Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математикомеханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Якубович Владимир Андреевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Чурилов Александр Николаевич (Санкт-Петербургский государственный морской технический университет) кандидат физико-математических наук, Лихтарников Андрей Леонидович (Институт проблем машиноведения РАН)
Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Защита состоится " " 2011 г. в часов на заседании совета Д.212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при СанктПетербургском государственном университете по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311 (помещение ПОМИ РАН).
Адрес диссертационного совета: 198504, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Университетский пр., 28.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, СанктПетербург, Университетская наб., 7/9.
Автореферат разослан " " 20 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.212.232. доктор физ.-мат. наук, профессор В. М. Нежинский
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Задачи инвариантности и отслеживания являются классическими задачами теории управления, имеют длинную историю и активно исследуются как математиками, так и инженерами вследствие их практической значимости. Указанные задачи изучались в работах Г.В. Щипанова, Ф.Р. Гантмахера, А.И. Кухтенко, М.В. Меерова, Я.Н. Ройтенберга, У.А. Уонэма, Б.М. Фрэнсиса, А. Линдквиста, В.А. Якубовича, А.В. Проскурникова и многих других авторов. В недавних статьях В.А. Якубовича и А.В. Проскурникова получено описание всех стабилизирующих регуляторов, решающих задачи инвариантности, отслеживания и более общие задачи соответствия выхода системы выходу эталонной модели. В данных работах параметры объекта считаются известными (в качестве неопределенности выступает внешнее воздействие или задающий сигнал). Исследование таких задач в случае неопределенных коэффициентов является актуальной задачей, поскольку параметры и внешние условия функционирования любой реальной системы, как правило, неизвестны или известны неточно.
Целью работы является получение условий существования адаптивных регуляторов в задачах инвариантности и отслеживания при неопределенных коэффициентах системы, а также их конструктивное описание.
Методы исследований включают теорию дифференциально-разностных уравнений, методы построения универсальных регуляторов, рассмотренные в работах В.А. Якубовича и А. В. Проскурникова, методы теории адаптивного управления, метод рекуррентных целевых неравенств, рассмотренные в работах В.А. Якубовича, В.Н. Фомина, В.А. Бондарко, В.И. Пономаренко и др.
Научную новизну работы составляют следующие результаты. Получены достаточные условия существования и конструктивное описание класса строго реализуемых адаптивных регуляторов, решающих задачи об инвариантности неопределенной системы управления, отслеживания произвольного неизвестного сигнала, соответствия выхода неопределенной системы выходу заданной эталонной модели.
Теоретическая и практическая ценность. В работе описываются конструктивные процедуры синтеза регуляторов, решающих задачи инвариантности, отслеживания, соответствия заданной модели для неопределенных систем, которые объединяют в себе теорию построения универсальных регуляторов, развитую в работах В.А. Якубовича, А.В. Проскурникова и др., с результатами теории адаптивного управления.
Полученные результаты могут быть использованы на практике для расчета и построения разнообразных систем управления (управление автономными транспортными средствами, автономными летающими аппаратами и др.), обеспечивающих повышение качества систем в условиях неопределенности.
Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической кибернетики и двух конференциях: Международном научно-техническом семинаре "Робототехника. Взгляд в будущее", С.-Петербург, 2010 г., XI-й Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(конференции Пятницкого), Москва, 2010г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5]. Работы [1-3] являются публикациями из перечня ВАК.
Работы [1,2,3,4] написаны в соавторстве. В этих работах Е.Ю. Небосько принадлежат формулировки и доказательства теорем о достижении цели управления, имитационное моделирование, В.А Якубовичу общие постановки задачи и указание методов их решения. В работах [1,2,3] А.В. Проскурникову принадлежит параметризация регуляторов, решающих указанные задачи при условии, что коэффициенты объекта известны.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 82 страницы состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы (74 наименования).
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении обосновывается актуальность темы, ставятся задачи исследования и приводится краткое содержание работы по главам.Первая глава посвящена описанию основных задач и обзору известных результатов. В частности, изложены основные тезисы дискуссии вокруг работ Г.В. Щипанова.
Во второй главе рассматриваются задачи инвариантности и, как частный случай, задача стабилизации неопределенной системы.
В разделе 2.1 исследуется частный случай задачи инвариантности - задача стабилизации. В этом случае внешнее воздействие равно нулю. Для линейного неопределенного объекта в дискретном времени строится семейство регуляторов, которое посредством ограниченного управления обеспечивает ограниченность выхода системы сколь угодно малой постоянной.
Раздел 2.2 посвящен изучению задачи инвариантности в следующей постановке. Рассматривается объект управления вида где yt Rn, ut Rn, t Rl –выход, управляющее воздействие и измеряемое внешнее воздействие соответственно, A(), B(), F ()–матричные полиномы с вещественными коэффициентами размеров n n, n n, n l соответственно. Символ –оператор сдвига на шаг вперед yt = yt+1, A( )yt = A0 yt+dA + A1 yt+dA 1 + · · · + AdA yt. Предполагается, что det A0 0. Не ограничивая общности, считается, что A0 In – единичная матрица размерности n. Предполагается также, что deg A = dA > dB = deg B и dA > dF = deg F, dB dF. Внешнее воздействие t считается доступным измерению и ограниченным:
Коэффициенты полиномов A(), B(), F () в (1) считаются неизвестными, предполагается только минимальнофазовость объекта (1), т.е. устойчивость Требуется построить регулятор, который для любого (неизвестного заранее) внешнего воздействия t, удовлетворяющего (2) и любых начальных данных системы, обеспечивал бы свойство:
Закон управления строится на основе теоремы о параметризации всех линейных стабилизирующих регуляторов для объекта вида (1) с известными коэффициентами, обеспечивающих стремление выхода системы к нулю независимо от внешнего воздействия (Проскурников А.В., Якубович В.А. Задача об инвариантности системы управления//Доклады РАН, 2003, т.389, N6, с.742путем замены матричных полиномов A, B, F формируемыми указанным ниже образом оценками At, B t, F t, которые корректируются на каждом шаге. Именно, управление определяется из соотношения (уравнения регулятора) вида Здесь –произвольный устойчивый скалярный полином, rt – вещественный (n n)-матричный полином, такой что det rt 0, матричные полиномы соответствующих размерностей At, B t, F t –некоторые оценки полиномов A, B, F, построенные по наблюдениям y0, y1,..., yt+dA 1, 0, 1,..., t+dF и управлениям u0, u1,..., ut+dB.
Закон управления строится таким образом, чтобы при каждом t регулятор (4) являлся строго реализуемым (неупреждающим). Вводятся следующие определения. Под степенью скалярной рациональной функции f () = b()/a(), где a,b – полиномы, будем понимать число deg f = deg b deg a, под степенью рациональной матрицы – наибольшую из степеней элементов.
Регулятор вида D u = C y + F называется строго реализуемым (неупреждающим), если deg((D )1 C ) 0 и deg((D )1 G ) 0, т.е. все элементы матриц (D )1 ()C () и (D )1 ()G () – правильные рациональные функции. Только такие регуляторы имеют практический смысл. В формуле (5) полиномы и rt выбираются следующим образом. Пусть q = 2 deg A deg B 1. Берется произвольный устойчивый полином (), deg q. Пусть произвольный матричный полином степени deg, первые dA dB старших членов которого совпадают с соответствующими членами матричного полинома ()In. Матричный полином делится с остатком на At () (это можно сделать, так как At = In по предположению): = rt At + Qt, где deg Qt < deg A. Если при каждом t B0, старший коэффициент полинома B t (), невырожденная матрица, то регулятор (4), (5) с этими rt и строго реализуем.
Описывается следующее правило подбора коэффициентов матричных полиномов At, B t, F t, замыкающее систему (1), (4). Начальные оценки (для t = 0) берутся произвольно так, чтобы det B0 = 0. Пусть при некотором t (в момент времени t + dA ) известны некоторые оценки At, B t, F t полиномов A, B и F соответственно. Рассматривается для этого t целевое неравенство:
Вводятся обозначения:
Целевое неравенство (6) переписывается в виде:
Для подстройки вектора оценок t, используется следующий алгоритм типа "Полоска" (Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами, М., Наука, 1981):
(6), будет обеспечивать цель управления (3).
В разделе 2.3 рассматривается задача об инвариантности для неопределенного скалярного объекта в непрерывном времени.
Раздел 2.4 иллюстрирует применение теоретических результатов к задаче управления автономным транспортным средством. Рассматривается автономное транспортное средство (АТС), например, автобус, движущееся c постоянной скоростью. Предполагается, что задана целевая траектория, которая геометрически представляет собой совокупность дуг окружностей и отрезков.
На АТС находится сенсор, измеряющий отклонения от заданной траектории.
Считается, что измеряется (или оценивается) кривизна траектории в точке, ближайшей к сенсору. Под кривизной подразумевается величина = R, где Rрадиус кривизны. Кривизна считается постоянной на каждом из промежутков между измерениями и рассматривается как (неизвестное заранее) измеряемое возмущение (t). Предполагается, что измерения проводятся в равноотстоящие моменты времени: tk = kh, h–период измерений. Целью управления является следование целевой траектории в смысле обеспечения достаточной малости величины отклонения сенсора от траектории в моменты измерений.
Движение АТС описывается системой уравнений Компоненты фазового вектора x имеют следующий физический смысл:
- угол между осью транспортного средства и вектором скорости (против часовой стрелки);
r- мгновенная угловая скорость поворота АТС вокруг центра тяжести (против часовой стрелки);
- угол между касательным вектором дороги в точке, ближайшей к центру тяжести и осью транспортного средства (против часовой стрелки);
y- расстояние от сенсора до дороги (по нормали, со знаком - в зависимости от того, с какой стороны дороги находится сенсор: слева- плюс, справа- минус).
В формуле (9) u – угол поворота передних колес или, то же самое, угол поворота руля,, как говорилось выше, кривизна дороги в точке, ближайшей к сенсору. Компоненты матриц A, B и F выражаются через физические параметры АТС, такие как масса, скорость, различные длины, коэффициенты жесткости, центральный момент инерции. Управление на каждом из промежутков принимается постоянным Производится стандартная процедура перехода от непрерывного объекта к дискретному объекту в форме пространства состояний и затем к дискретному объекту в форме вход-выход где yk = y(hk), uk = u(hk), k = (hk). Символ –оператор сдвига на шаг вперед yk = yk+1. A, b, f - скалярные полиномы. Следуя результатам раздела 2.2 строится семейство регуляторов обеспечивающих для объекта (11) и, следовательно, для объекта (9) выполнение условия На рисунках 1, 2 представлены результаты численных экспериментов по данной задаче для трех различных регуляторов из построенного класса в виде графиков отклонений от дороги и углов поворота руля (управляющих воздействий) как функций времени. Для первого регулятора выбрано R = 4, rk = 1, для второго rk = 1, а R()- устойчивый полином с корнями [0.5 0.2 0.1 0.01], параметры третьего регулятора имеют вид: rk = 1, а R()- устойчивый полином с корнями [0.7 0.2 0.1 0.01]. Из работы Ю. Аккермана (J. Ackermann, Рис. 1: Графики отклонений от дороги y для трех различных регуляторов (слева направо от первого к третьему).
Рис. 2: Графики углов поворотов руля (управлений) u для трех различных регуляторов (слева направо от первого к третьему).
J.Gudner, W.Sienel, R.Stainhauser, V.I.Utkin Linear and Nonlinear Controller Design for Robust Automatic Steering. IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 3, № 1, march 1995, pp. 132-142) взяты численные значения физических параметров, которые соответствуют характеристикам реального городского автобуса O 305. Неизвестными параметрами считаются масса автобуса и его скорость. Известны только границы изменения этих параметров.
При проведении экспериментов в определенный момент времени (t = 20c) "истинные" значения массы и скорости резко меняются. Графики демонстрируют, что регуляторы успешно подстраиваются к неопределенным параметрам и обеспечивают выполнение цели управления.
В третьей главе рассматриваются задачи отслеживания и более общая задача соответствия эталонной модели, где выход системы должен "отслеживать" выход эталонной модели. В разделе 3.1 рассматривается объект управления вида (1), где yt Rn, ut Rn, t Rn –выход, управляющее воздействие и задающий сигнал соответственно, A(), B(), F ()–матричные полиномы с вещественными коэффициентами размеров n n, n n, n n соответственно. Как обычно, символ –оператор сдвига на шаг вперед yt = yt+1, A( )yt = A0 yt+dA +A1 yt+dA 1 +· · ·+AdA yt. Предполагается, что det A0 0. Не ограничивая общности, считается, что A0 In – единичная матрица размерности n. Предполагается также, что deg A = dA = dB = deg B и dA dF = deg F.
Задающий сигнал t считается доступным измерению и ограниченным:
Коэффициенты полиномов A(), B(), F () в (1) считаются неизвестными, предполагается только минимальнофазовость объекта (1), т.е. устойчивость матричного полинома B(): det B() = 0 при C, || 1.
Требуется построить регулятор, который при любом (неизвестном заранее) задающем воздействии t, удовлетворяющем (12) и любых начальных данных системы, обеспечивал бы свойство:
Закон управления, как и ранее, строится на основе теоремы о параметризации всех линейных стабилизирующих регуляторов для объекта вида (1) с известными коэффициентами, обеспечивающих стремление выхода системы к заданному сигналу путем замены матричных полиномов A, B, F формируемыми указанным ниже образом оценками At, B t, F t, которые корректируются на каждом шаге (Проскурников А.В., Якубович В.А.Синтез стабилизирующего регулятора в задаче отслеживания//Доклады РАН, 2005, т.404, N3, с.321Управление определяется из соотношения Здесь –произвольный устойчивый скалярный полином, rt – вещественный (n n)-матричный полином, такой что det rt 0, матричные полиномы соответствующих размерностей At, B t, F t –некоторые оценки полиномов A, B, F, построенные по предшествующим наблюдениям и управлениям. В формуле (15) полиномы и rt выбираются так, чтобы регулятор (14) являлся неупреждающим. Именно, пусть q = deg A. Берется произвольный устойчивый поq. Матричный полином I делится с остатком на At () лином (), deg I = rt At + Qt, где deg Qt < deg At. Если при каждом t B0, старший коэфt фициент полинома B t (), невырожденная матрица, то регулятор (14), (15) с этими rt и строго реализуем.
Система замыкается алгоритмом подстройки неизвестных параметров по правилу, описанному выше для задачи инвариантности. Установлен следующий результат.
Теорема 2. Пусть для объекта управления (1) выполнены все описанные предположения и пусть старший коэффициент полинома B() объекта (1)– неособая матрица. Тогда любой адаптивный регулятор вида (14), (8), с описанным выбором начальных оценок 0 и достаточно малым > 0 из (6), будет обеспечивать цель управления (13).
В разделе 3.2 рассматривается задача отслеживания полигармонических сигналов с известным спектром. Для объекта вида (1) предполагается, что сигнал t имеет вид где j произвольные (заранее неизвестные) комплексные векторные амплитуды, частоты j фиксированы (известны) и k = j + 2l, k = j, l Z. В отличие от предыдущего случая предполагается, что deg A = dA > dB = deg B и dA > dF = deg F. Цель управления имеет вид (13).
Закон управления выбирается в виде (Линдквист А., Якубович В.А. Универсальные регуляторы для оптимального отслеживания сигналов в линейных дискретных системах.// Доклады РАН. 1998. Т.361. N2. С.177–180, Проскурников А.В., Якубович В.А.Синтез стабилизирующего регулятора в задаче отслеживания//Доклады РАН, 2005, т.404, N3, с.321-325) Полиномы и rt выбираются следующим образом. Пусть q = dA dB + max(N, da 1). Берется произвольный устойчивый скалярный полином (), deg q. Пусть произвольный матричный полином степени d, первые dA dB старших членов которого совпадают с соответствующими членами матричного полинома I(). Матричный полином делится с остатком на At () (это можно сделать, так как At = In по предположению):
= rt At + Qt, где deg Qt < deg A. Матричный полином L() выбирается таt коэффициент полинома B t (), невырожденная матрица, то регулятор с такими и rt строго реализуем и уравнения (19) разрешимы при всех t.
Система замыкается алгоритмом подстройки неизвестных параметров по описанному выше правилу. Установлен следующий результат Теорема 3. Пусть для объекта управления (1) выполнены все описанные предположения и пусть старший коэффициент полинома B() объекта (1)– неособая матрица. Тогда любой адаптивный регулятор вида (17), (8), с описанным выбором начальных оценок 0 и достаточно малым > 0 из (6), будет обеспечивать цель управления (13).
В разделе 3.3 рассматривается задача соответствия эталонной модели. Рассмотрим объект управления вида (1), где yt Rn, ut Rn, t Rl –выход, управляющее воздействие и внешний сигнал соответственно, A(), B(), F ()– матричные полиномы с вещественными коэффициентами размеров nn, nn, n l соответственно. Как обычно, символ –оператор сдвига на шаг вперед yt = yt+1, A( )yt = A0 yt+dA + A1 yt+dA 1 + · · · + AdA yt. предполагается, что det A0 0. Не ограничивая общности, считается, что A0 In – единичная Внешний сигнал t считается доступным измерению и ограниченным:
Коэффициенты полиномов A(), B(), F () в (1) считаются неизвестными, предполагается только минимальнофазовость объекта (1), т.е. устойчивость Предполагается, что задана эталонная модель где Am – гурвицев матричный полином размера n n, Fm – произвольный матричный полином размера n l. Коэффициенты Am и Fm считаются известными. Пусть dAm = deg Am, dFm = deg Fm и dAm dFm dA dB.
Требуется построить регулятор, который для любого (неизвестного заранее) задающего воздействия t, удовлетворяющего (20) и любых начальных данных системы, обеспечивал бы свойство:
Управление выбирается в виде (Проскурников А.В., Якубович В.А. Линейные системы управления с эталонной моделью//Доклады РАН, 2007, т.415, N4, с.461-464) где коэффициенты полиномов Dt, C t, Gt имеют вид Полиномы и rt выбираются следующим образом.
Пусть q = max(2 deg Adeg B deg Am 1, 0). Берется произвольный устойчивый скалярный полином (), deg q. Выберем R = Am и соответственно обозначим dR = deg R = deg + deg Am. Пусть произвольный матричный полином степени dR, первые dA dB старших членов которого совпадают с соответствующими членами матричного полинома R(). Матричный полином делится с остатком на At () (это можно сделать, так как At = In по предположению): = rt At + Qt, где deg Qt < deg A. Если при каждом t B0, старший коэффициент полинома B t (), невырожденная матрица, то регулятор (23) с этими rt и строго реализуем.
Система замыкается алгоритмом подстройки неизвестных параметров по описанному выше правилу. Установлен следующий результат.
Теорема 4. Пусть для объекта управления (1) выполнены все описанные предположения и пусть старший коэффициент полинома B() объекта (1)– неособая матрица. Тогда любой адаптивный регулятор вида (23), (8), с описанным выбором начальных оценок 0 и достаточно малым > 0 из (6), будет обеспечивать цель управления (22).
Заключение.
1. Для многомерных дискретных неопределенных систем синтезировано широкое семейство адаптивных неупреждающих регуляторов, обеспечивающих инвариантность выхода системы управления от неизвестного заранее измеряемого внешнего воздействия.
«