Московский государственный университет

имени м.в. ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Баззаев Александр Казбекович

Локально-одномерные разностные схемы для

уравнения диффузии дробного порядка

с краевыми условиями

третьего рода

Специальность 01.01.07 вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва2013

Работа выполнена на кафедре прикладной математики математического факультета Северо-Осетинского государственного университета имени К.Л. Хетагурова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики Кабардино-Балкарского государственного университета имени Х.М. Бербекова Шхануков-Лафишев Мухамед Хабалович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики Московского физико-технического института Лобанов Алексей Иванович кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры прикладной математики и информатики Российского государственного социального университета Киреева Ольга Ильинична

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Южный федеральный университет

Защита диссертации состоится 11 сентября 2013 года в 15 часов 30 на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет ВМиК, ауд. № 685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМиК Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 25 июля 2013 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001. доктор физико-математических наук, профессор Е.В. Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы Использование дробных производных для описания и изучения физических процессов стохастического переноса стало в последние годы одной из популярных областей физики, многие проблемы фильтрации жидкости в сильно-пористых (фрактальных) средах приводят также к необходимости изучения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка.

К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L. O’Shaughnessy1, S. Mandelbrojt 2. В работах M.A.

Al-Bassam 3, M.A. Al-Bassam 4, A.Z. Al-Abedeen, H.L. Arora 5, A.Z. Al-Abedeen получен ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

В монографиях Самко С.Г., Килбаса А.А., Маричева О.И.7, Псху А.В.8, A.A.

Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo9 дан достаточно полный обзор работ, посвященных дифференциальным уравнениям дробного порядка. Монография Нахушева А.М.10 посвящена качественно новым свойствам операторов дробного интегродифференцирования и их применению к дифференциальным уравнениям дробного порядка.

Численным методам решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка посвящены работы Головизнина В.М., Киселёва В.П., Короткина И.А., Юркова Ю.П.11, Головизнина В.М., Киселёва В.П., Короткина И.А., Юркова Ю.П.12, K. Diethelm и N. G. Walz13, K. Diethelm и N. J. Ford14, Таукеновой O’Shaughnessy L., //Problem 433. Amer. Math. Month. 1918. Vol. 25. P. 172-173.

Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del calcolo delle variazione Atti Reale Accad. Naz. Lincei. Rend Cl. sci., s.

mat. e natur. Ser. 6. 1925. Vol. 1. P. 151-156.

Al-Bassam M.A. On fractional calculus and its applications to the theory of ordinary dierential equations of generalized order // Nonlinear analysis and applications (St Johns, New Foundland, Canada, 1981). Lect. Notes in Pure and Appl. Math. Dekker. New York. 1982. Vol. 80. P. 305331.

Al-Bassam M.A. Some existence theorems on dierential equations of genera-lized order // Ibid. 1965. Bd 218. S.

7078.

Al-Abedeen A.Z., Arora H.L. A global existence and uniqueness theorem for ordinary dierential equations of generalized order // Canad. Math. Bull. 1978. Vol. 21. №3. P. 267271.

Al-Abedeen A.Z. Existence theorem on dierential equations of generalized order. // Radain J. Sci. Mosul. Univ.

Iraq. 1976. Vol. 1. P. 95104.

Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторие их приложения. Минск. Наука и техника. 1987. 688 с.

Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005.

A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo. Theory and Applications of Fractional Dierential Equations. Elsevier.

Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. 272 с.

Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткин И.А., Юрков Ю.П. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии: Препринт IBRAE -2002-01. М.: ИБРАЭ РАН, 2002.

Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткин И.А., Юрков Ю.П. Прямые задачи классического переноса радионуклидов в геологических формациях // Изв. РАН. Энергетика. 2004. №4. с. 121 130. и МФ. 1968. Т.8, №3.

С.679-684.

K. Diethelm, G. Walz. Numerical solution of fractional order dierential equations by extrapolation, Numer.

Algorithms 16 (1997), 231-253.

K. Diethelm, N. J. Ford. Analysis of fractional dierential equations, J. Math. Anal. Appl. 265 (2002), 229-248.

Ф.И. и Шханукова-Лафишева М.Х.15 и др. Работа Лафишевой М.М. и Шханукова М.Х.16 посвящена рассмотрению локально-одномерных схем для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями первого рода. В данной работе с помощью принципа максимума доказаны устойчивость и равномерная сходимость локально-одномерных схем для рассматриваемой задачи.

После появления работы Бицадзе А.В. и Самарского А.А.17, внимание математиков все чаще стали привлекать нелокальные задачи математической физики.

Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Самарского А.А., Ионкина Н.И., Ильина В.А., Моисеева Е.И., Чудновского А.Ф., Шополова Н.Н., Гордезиани Д.Г., Нахушева А.М., Шханукова М.Х., Керефова А.А., Митропольского Ю.А., Березовского А.А., Муравей Л.А., Филиновского А.В., Житарашу Н.В., Эйдельмана С.Д., Солдатова А.П., Гулина А.В., Морозовой В.А. и др.

Краевые задачи для параболических уравнений с нелокальным условием возникают при изучении диффузии частиц в турбулентной плазме, переноса влаги в почво-грунтах. К первым работам для параболических уравнений с неклассическими (интегральными) граничными условиями относятся, по-видимому, работы Cannon J.R.18, Камынина Л.И. 19 и Чудновского А.Ф. Цель диссертационной работы 1. Построение локально-одномерных схем для:

(a) уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами;

(b) уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией;

(c) уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной в младших членах;

(d) уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью;

(e) уравнения параболического типа в p-мерном параллелепипеде с нелокальным условием на границе.

2. Доказательство устойчивости и сходимости разностных схем для рассматриваемых задач.

Таукенова Ф.И., Шхануков-Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. №10. С.1871-1881.

Лафишева М.М., Шхануков М.Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка ЖВМ и МФ. 2008. Т. 48. №10. C. 1878-1887.

Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. ДАН СССР. 1969. Т.185. №4. С. 739-740.

Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specicationof energy. Quart. Appl. Math. 21(1963).

Pp. 155-160.

Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. ЖВМ и МФ. 1964. Т.4. №6. С. 1006-1024.

Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло-и влагопереноса в почве // Cб. трудов по агрофизике, вып. 23, Гидрометеоиздат, 1969. С. 41 54.

Методы исследования В работе для построения локально-одномерных схем для рассматриваемых задач используется метод суммарной аппроксимации. Для получения априорных оценок используются метод энергетических неравенств и принцип максимума.

Научная новизна работы В диссертации получены следующие новые результаты:

1. для уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

2. для уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией построены локальноодномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

3. для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной в младших членах построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

4. для уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

5. для уравнения параболического типа в p-мерном параллелепипеде с нелокальным условием на границе построены локально-одномерные схемы. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка для решения локально-одномерной схемы и доказана ее сходимость.

Основные результаты работы, выносимые на защиту 1. Построение локально-одномерных схем для:

(a) уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами;

(b) уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией;

(c) уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной в младших членах;

(d) уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью;

(e) уравнения параболического типа в p-мерном параллелепипеде с нелокальным условием на границе.

2. Устойчивость и сходимость локально-одномерных схем для рассматриваемых Теоретическая и практическая значимость работы Работа носит теоретический характер и является продолжением развития теории краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка с переменными коэффициентами.

Локально-одномерные разностные схемы, построенные для рассматриваемых задач, могут быть использованы при решении прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Апробация результатов работы Основные результаты диссертации представлены в виде докладов на:

1. Международной конференции Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования, 29 июня4 июля, 2008 г., Владикавказ;

2. Международном Российско-Абхазском симпозиуме Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. КБР, г. НальчикЭльбрус, 1722 мая 2009 г.;

3. Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна. Воронеж, января 2010 г.;

4. I региональной междисциплинарной конференции молодых ученых НаукаОбществу. Владикавказ, 1820 марта 2010 г.;

5. Международной научной конференции Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования. Владикавказ, 1924 июля 2010 г.;

6. Международной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов ПЕРСПЕКТИВА-2010, 2326 апреля 2010 г., КБР, п. Эльбрус, ЭУНК 7. Международной конференции молодых ученых Математический анализ и математическое моделирование. Россия, Владикавказ, 1219 июля 2010 г.;

8. Седьмой Всероссийской конференции Математическое моделирование и краевые задачи. Г. Самара, 36 июня 2010 г.;

9. Международном Российско-Болгарском симпозиуме Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. КБР, г. Нальчик, КЧР, а. Хабез, 2530 июня 2010 г.;

10. Международной конференции молодых ученых Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики, г. Нальчик, 58 декабря 2011 г.;

11. Втором Международном Российско-Узбекском симпозиуме Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. КБР, Эльбрус2012;

12. семинарах кафедры вычислительной математики КБГУ в 20102013 г.г.;

13. семинарах по математическому анализу ЮМИ в 20102013 г.г.;

14. семинарах по математическому моделированию и численым методам ЮМИ в 20102013 г.г.;

15. научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительных методов ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова в 20122013 г.г.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 9 работах [1] [9]. Из них [3], [5], [6], [7], [8] и [9] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 132 страницах и состоит из введения, 5 глав и списка литературы, состоящей из 106 наименований.

Первая глава носит в основном методический характер и посвящена изучению локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности с краевыми условиями третьего рода с незнакоопределенным оператором в главной части. Доказываются устойчивость и сходимость локально-одномерных схем для рассматриваемой задачи.

В цилиндре QT = G (0, T ], основанием которого является прямоугольный параллелепипед G = {x = (x1, x2,..., xp) : 0 < x <, = 1, 2,..., p} с границей, рассмотрим задачу:

где k (x, t), q (x, t), f (x, t) заданные функции x и t такие, что где QT = G [0, T ], G = G +, C m,n класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными порядка m по x и n по t. Такие несколько завышенные условия гладкости потребуются при построении разностной схемы второго порядка аппроксимации.

Отметим, что локально-одномерные схемы для задачи (1) (3) были рассмотрены в работе Фрязинова И.В.21, но при условиях k, q положительные постоянные, а в работе Андреева В.Б.22 для задачи (1) (3) были построены разностные схемы с расщепляющимся оператором.

Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Ox На отрезке [0, T ] также введем равномерную сетку = {tj = j ; j = 0, 1,..., j0 } с шагом = T /j0. Каждый из отрезков [tj, tj+1] разобьем на p частей, введя точки tj+/p = tj + /p, = 1, 2,..., p 1 и обозначим = tj+(1)/p, tj+/p, = 1, 2,..., p.

Задаче (1) (3) поставим в соответствие цепочку одномерных уравнений.

Уравнение (1) перепишем в виде Фрязинов И.В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи// Ж.вычисл.матем. и матем. физ. 1964. Т.4, 1106 1112.

Андреев В.Б. О сходимости разностных схем с расщепляющимся оператором, аппроксимирующих третью краевую задачу для параболического уравнения. // ЖВМ и МФ. 1969. Т.9. №2. С. 337-349.

где f (x, t), = 1, 2,..., p, произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и f (x, t), удовлетворяющие условию Будем последовательно решать задачи полагая при этом Аппроксимируем каждое уравнение (4) номера двухслойной неявной схемой на полуинтервале tj+(1)/p, tj+/p, тогда получим цепочку p одномерных разностных уравнений где коэффициенты a сеточные функции, которые выбираются из условий второго порядка аппроксимации на равномерной сетке. Можно использовать следующую аппроксимацию коэффициентов k (x, t):

К уравнению (7) надо присоединить граничные и начальные условия. Запишем разностный аналог для граничных условий (5):

Условия (8) имеют порядок аппроксимации O(h ). Применяя известный прием повышения точности аппроксимации краевых условий третьего рода до второго порядка по h, получим разностный аналог задачи (1) (3):

где где Характеристикой точности решения локально-одномерной схемы является разность z j+/p = y j+/p uj+/p, где uj+/p решение исходной дифференциальной задачи (1) (3). Тогда для погрешности z получаем задачу:

Для решения разностной задачи (9) справедлива Теорема 1. Локально-одномерная схема (9) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (9) справедлива оценка где M зависит от размерности области.

Справедлива Теорема 2. Пусть задача (1) (3) имеет единственное непрерывное в QT решение u(x, t) и существуют непрерывные в QT производные Тогда разностная схема (9) сходится со скоростью O(|h|2 + ), так что где Вторая глава посвящена разностным методам решения уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода. Данная глава состоит из двух параграфов. Первый параграф посвящен рассмотрению многомерных чисто неявных разностных схем для рассматриваемой задачи, а во втором для нее строятся локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума доказываются устойчивость и сходимость разностных схем для рассматриваемой задачи.

В цилиндре QT = G [0 < t T ], основанием которого является p-мерный прямоугольный параллелепипед G = {x = (x1, x2,..., xp) : 0 < x <, = 1, 2,..., p} с границей, G = G рассматривается третья начально-краевая задача:

где Лиувилля порядка, 0 < < 1, c0, c1 положительные постоянные, = В дальнейшем будем предполагать, что коэффициенты уравнения (12) (14) обладают таким количеством непрерывных производных, которое необходимо для обеспечения нужной гладкости решения u(x, t) в цилиндре QT.

В работе Таукеновой Ф.И. и Шханукова-Лафишева М.Х.23 предложен дискретный аналог дробной производной порядка, 0 < < 1:

где Используя (15), получаем разностное уравнение К уравнению (16) присоединим граничные и начальные условия. Разностный аналог для граничных условий (13) имеет вид:

Условия (17) имеют порядок аппроксимации O(h ). Применяя известный прием повышения порядка аппроксимации краевых условий до O(h2 + ) на решениях уравнения (12), получим следующий разностный аналог задачи (12) (14):

где Для решения разностной задачи (18) справедлива Таукенова Ф.И., Шхануков-Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. №10. С.18711881.

Теорема 3. Разностная схема (18) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (18) справедлива оценка где Задача для погрешности z имеет вид:

Нерпин С.В., Чудновский А.Ф. Энерго-и массо-обмен в системе растение-почва-воздух.

Л.:ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ, 1975г.

Нигматулин Р.Р. Особенности релаксации системы с остаточной памятью //. Физ. твердого тела. 1985. Т.27.

№5. C. где = +, = O(1), = O(h2 + ). Таким образом, разностная задача (43) обладает суммарной аппроксимацией Для граничных условий получаем Для решения разностной задачи (43) справедлива Теорема 10. Локально-одномерная схема (43) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (43) справедлива оценка По аналогии с работой Лафишевой М.М. и Шханукова М.Х. 28 можно показать, что на кубической сетке h1 = h2 =... = hp = h при условиях для погрешности z справедлива оценка Итак, справедлива Лафишева М.М., Шхануков М.Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // ЖВМ и МФ. 2008. Т. 48. №10. C. 1878-1887.

Теорема 11. Пусть задача (40) (42) имеет единственное непрерывное в QT решение и существуют непрерывные в QT производные тогда решение разностной задачи (43) равномерно сходится к решению дифференциальной задачи (40) (42) со скоростью Пятая глава посвящена рассмотрению нелокальной краевой задачи для уравнения параболического типа в p-мерном параллелепипеде. С помощью метода энергетических неравенств получена априорная оценка для решения локальноодномерной схемы и доказана ее сходимость.

В работе Чудновского А.Ф. 29 обращено внимание на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий для уравнения влагопереноса где D(w) коэффициент диффузивности, w влажность в долях единицы, x глубина.

Для уравнения (45) Чудновский А.Ф. сформулировал задачу с нелокальным условием:

Нелокальное условие (46) означает, что поток влаги через поверхность x = равен содержанию влаги в активном слое почвы от 0 до, условие (47) означает изоляцию в смысле обмена влагой между слоем почвы x = и ее нижними слоями, и в начальный момент задан глубинный ход влажности (48).

В цилиндре QT = G [0 < t T ], основанием которого является прямоугольный параллелепипед G = {x = (x1, x2,..., xp) : 0 < x <, = 1, 2,..., p} с границей, рассматривается задача Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло-и влагопереноса в почве // Cб. трудов по агрофизике, вып. 23, Гидрометеоиздат, 1969. С. 41 54.

где c0, c1, c2 положительные постоянные.

Разностный аналог задачи (49) (51) имеет вид где Задача для погрешности z j+/p = z () имеет вид:

Т.е., разностная задача (52) обладает суммарной аппроксимацией Для решения разностной задачи (52) справедлива Теорема 12. Локально-одномерная схема (52) (53) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (52) (53) справедлива оценка где M(t) > 0 не зависит от h и.

Справедлива Теорема 13. Пусть задача (49) (51) имеет единственное непрерывное в QT решение u(x, t) и существуют непрерывные в QT производные тогда локально-одномерная схема (52) (53) сходится со скоростью O(|h|2 + ), так что Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Шханукову-Лафишеву Мухамеду Хабаловичу за поддержку и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации 1. Баззаев А.К. Локально-одномерная разностная схема для III-й краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка в двумерной области. //Сборник научных трудов Северо-Осетинского отделения Академии наук высшей школы Российской Федерации, 2008, №6, C. 134139.

2. Баззаев А.К. Численное решение третьей краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка методом суммарной аппроксимации. Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. - Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008 376 с.

3. Баззаев А.К., Шхануков М.Х. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями III рода // ЖВМ и МФ., 2010, Т. 50, №7, C. 12001208.

4. Баззаев А.К. Первая краевая задача для обобщенного уравнения параболического типа с дробной производной по времени в многомерной области // Труды молодых ученых. Серия: Математика. 2010. Выпуск №4, C. 147162.

5. Баззаев А.К. Третья краевая задача для обобщенного уравнения параболического типа c дробной производной по времени в многомерной области // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2010. №2, C. 514.

6. Баззаев А.К. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с краевыми условиями третьего рода. // Владикавказский математический журнал, 2011, Т. 13, Выпуск 1, C. 312.

7. Баззаев А.К., Гутнова Д.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для параболического уравнения с нелокальным условием. // ЖВМ и МФ, 2012, том 52, № 6, с. 10481057.

8. Баззаев А.К., Мамбетова А.Б., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально- одномерная схема для уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью // ЖВМ и МФ, 2012, том 52, № 9, с. 16561665.

9. Баззаев А.К. Разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода в многомерной области. // Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 1116.

Баззаев Александр Казбекович Локально-одномерные разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Подписано в печать 15.07.2013. Усл. п. л. 1, Формат бумаги 60841/16. Тираж 100 экз. Заказ № Отпечатано в ИПЦ СОИГСИ им. В.И. Абаева ВНЦ РАН и Правительства РСО-Алания 362040, г. Владикавказ, пр. Мира, 10.