На правах рукописи

Северов Дмитрий Станиславович

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПОТОКОВ ДАННЫХ В ПАКЕТНЫХ СЕТЯХ

НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2013 2

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор, член-корреспондент РАН Холодов Александр Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Тормасов Александр Геннадьевич, кафедра теоретической и прикладной информатики Московского физикотехнического института (государственного университета), заведующий кафедрой доктор физико-математических наук профессор Галанин Михаил Павлович отдел № Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН заведующий отделом

Ведущая организация: Институт радиотехники и электроники (ИРЭ) им. В.А. Котельникова РАН

Защита состоится «» _ 2013г. в час. на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ.

Автореферат разослан «» 2013г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.156. О.С. Федько

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы В современных условиях информационные технологии в значительной степени определяют уровень развития науки, техники, экономики и в целом качество жизни и состояние окружающей среды. Концепция пакетной связи, при которой данные нерегулярно предаются относительно крупными фрагментами, является закономерным результатом эволюции информационных технологий. Непрерывно растёт значимость глобальных, корпоративных и ведомственных выделенных пакетных сетей, операторских сетей общего пользования с широкополосным проводным и беспроводным доступом к всевозможным информационным услугам. По мере снижения стоимости базовых электронных компонентов всё более актуальной становится массовая социально-бытовая концепция «умной» среды обитания, предусматривающей информационное взаимодействие окружающих нас вещей.

Прогнозирование поведения пакетных сетей становится весьма актуальной задачей, вызванной практической необходимостью. Аналитические методы исследования компьютерных сетей, например, теория сетевых очередей, были адекватны на ранних стадиях развития. Позже рост быстродействия современного сетевого оборудования и усложнение протоколов обмена информацией выдвинули на передний край имитационное моделирование.

В настоящее время имитационное моделирование сетей используется при анализе поведения под нагрузкой, верификации протоколов, оптимизации конфигурации, оценке перспективности новых технологий, апробации сценариев реагирования на изменения.

На актуальность потокового подхода к моделированию сетей пакетной передачи данных косвенным образом указывают достижения численного моделирования сплошных сред. Поток вещества, являясь по своей природе дискретным, имеющим молекулярную структуру, достаточно адекватно и эффективно представляется математическими моделями непрерывного типа.

Учитывая отсутствие чётких границ применимости дискретного и потокового подходов к моделированию пакетных сетей, исследование возможности моделирования пакетных сетей на основе интегральных и дифференциальных уравнений, в том числе в частных производных, представляется достаточно перспективным.

Актуальность исследуемой проблемы обусловлена необходимостью моделирования, позволяющего при всегда ограниченных ресурсах памяти и быстродействия достигать приемлемой адекватности и точности.

Цели и задачи работы Целью данной работы является комплексное исследование передачи данных в компьютерных пакетных сетях с использованием уравнений в частных производных, соответствующих алгоритмов, управляющих поведением моделируемой сети, и создание комплекса программ для имитационного моделирования работы данной сети. Задачи работы:

1. Развитие метода потокового моделирования процессов обработки и передачи данных в компьютерных пакетных сетях с использованием уравнений в частных производных.

2. Построение новой потоковой модели объектов сети, сопоставимой по качеству моделирования с дискретнособытийными моделями.

3. Разработка нового численного метода решения гиперболических систем уравнений в частных производных, его высокопроизводительной реализации и соответствующего комплекса программ для потокового имитационного моделирования поведения пакетной сети на длительные временные интервалы.

4. Проведение ряда сравнительных вычислительных экспериментов с использованием потоковой и дискретнособытийной имитационных моделей пакетных сетей для исследования вычислительной эффективности разработанных алгоритмов при увеличении числа узлов сети.

Научная новизна В данной работе предложена имитационная модель процессов и объектов пакетной сети, адаптированная к потоковому моделированию. Соответствующая математическая модель, предложенная в работе, определяет структуру моделируемой системы, причинно-следственные связи и свойства её элементов, существенные для достижения целей моделирования. Использование потокового подхода к имитационному моделированию определяет новизну данной модели.

Новым результатом является то, что потоковый подход на основе уравнений в частных производных сохраняет возможности прямого детального моделирования и комплексного исследования всех существенных особенностей протоколов взаимодействия в сети при весьма умеренных требованиях к вычислительным ресурсам. Результаты настоящей работы показывают, что непрерывно-потоковая модель сплошной среды обеспечивает хорошую степень подобия интегральных характеристик сети соответствующим характеристикам дискретно-событийной модели.

Научная и практическая ценность В соответствии с указанными целями исследования моделирующая сеть представлялась ориентированным графом.

В качестве примера для моделирования выбраны наиболее распространённые протоколы и алгоритмы глобальной сети Интернет: базовый протокол сетевого уровня IP - Internet Protocol, протокол управления передачей TCP - Transmission Control Protocol в версии Reno-1990; алгоритм активного управления очередями маршрутизаторов RED-Random Early Detection.

Выявлено, что вычислительная эффективность потокового метода моделирования в значительной мере зависит не только от свойств самого метода, но и от свойств комплекса программ, который реализуется метод: объёма используемых ресурсов;

возможностей распараллеливания процессов; полноты набора моделируемых протоколов; совместимости с существующими средствами моделирования; практического удобства использования созданных средств моделирования.

Научная ценность работы заключается в подтверждении эффективности использовании потокового подхода на основе уравнений в частных производных. Данная методология и разработанные алгоритмы могут лечь в основу новых протоколов для имитационного моделирования пакетных сетей.

Соответствие специальности 05.13. Работа содержит все необходимые компоненты специальности 05.13.18:

1. Математическое моделирование. Разработана имитационная потоковая модель пакетной сети с применением уравнений в частных производных, описывающая поведение сети на длительных временных интервалах.

2. Численные методы. Для разработанной имитационной потоковой модели получена система уравнений в частных производных, для решения которой был реализован новый эффективный численный метод высокого порядка точности, основанный на использовании продолженных систем уравнений.

3. Комплексы программ. Для проведения имитационного моделирования пакетных сетей на основе полученной потоковой модели был разработан программный комплекс для численного моделирования компьютерных сетей с использованием высокопроизводительных вычислительных алгоритмов (свидетельство о государственной регистрации № 2011617671 от 03.10.2011).

Апробация работы Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

• 48-я и 50-я научные конференции МФТИ, МоскваДолгопрудный, 2005, 2007;

• III European Conference on Computational Mechanics, Lisbon, Portugal, 2006;

• XV международная конференция “Математика.

Компьютер. Образование», Дубна, 2008;

• V Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2008;

• XIV Байкальская Всероссийская конференция с математические технологии в науке и управлении», Иркутск, 2009.

Публикации По теме диссертации автором опубликовано восемь работ, три из которых [5-7] – в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ.

Личный вклад автора в работы с соавторами Все научные результаты, вынесенные на защиту, получены лично автором. Постановка задачи и результаты расчетов обсуждались с научным руководителем Холодовым А.С.

Объём и структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и трех приложений. Работа изложена на 113 страницах текста, содержит 2 таблицы, рисунков. Библиография включает 66 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследуемых проблем, сформулированы цели и задачи диссертационной работы. Описаны научная новизна, научная и практическая значимость, апробация работы.

В первой главе дан анализ состояния и проблем методологии имитационного моделирования Изложение ведется в направлении от цели к задачам работы и её результатам.

В первом параграфе рассматриваются общие проблемные вопросы моделирования компьютерных сетей.

В следующем параграфе объект и предмет исследования рассматриваются более детально. Затем применительно к проводным сетям дается анализ известных решений в рассматриваемой области имитационного моделирования.

Представлены дискретно-событийный и агрегатно-потоковый подходы. Сформулированы проблемы, требующие разрешения, и поставлены конкретные задачи исследования. В том числе, сформулированы требования, определяющие базовые элементы концептуальной модели системы, имитирующей реально развернутую компьютерную сеть.

В третьем параграфе показано, что имитационное моделирование определяет специфические условия и требования к разрабатываемой модели, математическому обеспечению, численным методам и комплексам прикладных программ для моделирования пакетных компьютерных сетей в части структуры, декомпозиции и значимых характеристик.

Известно, что традиционная дискретно-событийная методология имитационного моделирования проводных компьютерных систем, как наиболее структурно стабильных и изученных, имеет ряд неустранимых ограничений, связанных с необходимостью обработки лавинно нарастающего числа сопутствующих событий и ведущих к исчерпанию ресурсов памяти и быстродействия моделирующей вычислительной системы при большом числе моделируемых узлов в пакетной сети. Некоторое ослабление влияния ограничений традиционной дискретно-событийной методологии возможно путем использования многопроцессорных вычислительных машин и оптимальных алгоритмов обработки сообщений в моделирующей среде. Выходом из создавшейся ситуации может быть разработка альтернативной методологии агрегатнопотокового моделирования, предполагающей отказ от учета дискретности индивидуального пакета и переход на представления о сплошном потоке пакетов по каналам сети.

В конце первой главы делается вывод о том, что сопоставление характерных особенностей имитационного моделирования на основе различных методологий агрегатнопотоковых и дискретно-событийных моделей обнаруживает их различия и аналогии.

Во второй главе дано изложение основных методических особенностей, выявленных при анализе существующих инструментов дискретного имитационного моделирования с возможностью их использования при потоковом моделировании.

инструментов имитационного моделирования и требований, предъявляемых к их разработке. В частности анализируются:

1) системы динамического моделирования пакетных сетей;

2) особенности динамических систем имитационного моделирования;

3) комплексы имитационного моделирования пакетных сетей;

4) интегрированные инструменты имитационных комплексов:

типы узлов; каналы связи и глобальные сети; рабочая нагрузка; протоколы; представление результатов.

Во втором параграфе анализируются существующие имитаторы структурно вариабельных сетей.

В третьем параграфе рассмотрены особенности имитационного моделирования беспроводных сетей.

В итоге показана возможность оптимизации дискретнособытийного имитирования пакетных сетей путем укрупнения структурных блоков. При этом обеспечивается некоторый рост быстродействия, но теряется ценная для аналитических оценок информация. Такие качества пакетных сетей, как «беспроводность» и «мобильность», не ослабляют, а усиливают влияние ограничений, свойственных дискретно-событийному подходу к имитационному моделированию, и подтверждают актуальность развития потокового подхода.

В третьей главе представлена новая математическая модель пакетного потокового моделирования IP-сетей передачи данных на основе уравнений сплошной среды. Рассмотрены:

1) структура модели в виде графа;

2) моделируемые величины;

3) моделируемые сессии;

4) ключевые элементы модели.

Сеть передачи данных (см. Рис.1) рассматривается как набор узлов, соединённых каналами связи. Функциональная специализация позволяет выделить два типа узлов. Узлы типа А перенаправляют потоки данных, создаваемые и/или терминируемые узлами другого типа B. Функциональное устройство сети позволяет предложить представление сети в виде направленного графа. Каждая вершина типа Pа, соотнесённая с узлом типа А, реализует правила маршрутизации. Каждая вершина типа Pb, соотнесённая с узлом типа B, реализует оконечные сетевые протоколы. Каждое ребро графа соотносится с очередью и следующим за ней однонаправленным каналом.

Необходимость передать через сеть данные от одной вершины типа Pb к другой вершине такого же типа создаёт один или более потоков данных. Каждый такой поток данных назовём сессией и будем рассматривать как перенос некоторого модельного «вещества» или «жидкости», специфичной для данной сессии.

Рис. 1. Концептуальная модель IP-сети: A,B – узлы IP-сети, соединённые каналом; А – узел - маршрутизатор с вершиной типа Pa и выходными В своём движении модельная жидкость последовательно минует все очереди на пути своей сессии. Часть её может быть утрачена при сбросе части данных в результате активного управления очередями в IP-сетях. Размер пакетов моделируемой IP-сети соотносится с плотностью жидкости, а темп продвижения этих пакетов в очереди со скоростью жидкости.

Факты потери данных некоторой сессии и особенно моменты этих потерь в значительной мере могут определять последующее поведение протоколов данной сессии. Поскольку ПСС-модель не отслеживает движение каждого пакета в отдельности, то чтобы обеспечить модель, например, протокола TCP необходимой информацией, предлагается сопровождать движение по сети модельной жидкости сопутствующим движением информации о потерях этой жидкости. Последняя характеризуется своей плотностью распределения вдоль очереди – d. Утрата модельного вещества в результате управления определённой очередью отражается плотностью распределения этой утраты вдоль очереди –.

Таким образом, задача состоит в том, чтобы собрать и оценить полную вычислительную модель, состоящую из моделей вышеописанных элементов.

Модель сплошной среды Основу потоковой модели составляют уравнения переноса условных веществ и информации о потере этого вещества Здесь q {qm | m = 1… M } - индекс очереди в совокупности всех очередей модели, а s {sn | n = 1K N } - индекс сессии в совокупности всех сессий модели.

Пространственная координата x q имеет смысл положения пакета в очереди, измеренного в единицах пакетов от головы очереди. Скорость движения вещества u q считается одинаковой для всех сессий, проходящих через очередь q.

интерфейса на выходе очереди q, q = s очереди q, измеренная в единицах пакетов.

Здесь u q = u q, а usq - скорость продвижения данных сессии s поступающей на вход очереди q.

Сходным образом определяются граничные условия для уравнений (1) на входной границе xq = Здесь s и d sq относятся к сессии s поступающей на вход очереди q. На выходной границе xqm = X qm, граничные условия не требуются, а значения s m (t, X qm ), d sqm (t, X qm ), однозначно определяются из соотношений (1), благодаря ограничению (2).

В данной работе в качестве политики активного управления очередью (AQM – active queue management) был выбран алгоритм случайного раннего обнаружения (RED – Random Early Detection), при этом сброс происходит из хвоста очереди.

Здесь - случайная величина с равномерным распределением на отрезке [0;1], а P q (t ) - вероятность сброса пакета, которая в терминах RED AQM определяется следующим образом Здесь tdrop - момент последнего сброса данных в очереди q Здесь X q (t) - переменная ожидаемая (прогнозируемая) длина очереди, а X min, X max, Pmax постоянные параметры RED AQM.

Последнее уравнение интерпретирует дискретное выражение скользящего среднего Безразмерный постоянный параметр q [1,10] определяет степень зависимости ожидаемой длины очереди от кратковременных колебаний длины реальной очереди. Параметр q равен интервалу времени между замерами реальной длины очереди.

В данной работе мы пренебрегаем задержками и потерями в каналах связи в сравнении с задержками и потерями в очередях предшествующих этим каналам. Также считаем несущественным время перенаправления данных при маршрутизации. В таком приближении модель маршрутизации сводится к присвоению необходимых значений с выходов моделей очередей и оконечных протоколов на входы моделей каналов и наоборот, с выходов моделей каналов на входы моделей очередей и оконечных протоколов.

Рассматриваемые модели каналов и сессий являются однонаправленными. Поэтому для представления двунаправленного канала моделируемой сети, с парой очередей на его входах, потребуются два ребра сетевого графа. Отметим также зависимости потока данных на выходе TCP-источника от потока квитанций на его входе, а также потока квитанций на выходе TCP-получателя от потока данных на его входе.

Для исследования протокола ТСР ограничимся случаем, когда друг другу попарно взаимно-однозначно соответствуют источник, получатель, прямая и возвратная сессии. Зависимость выходных потоков TCP-получателя от входных имеет следующий вид.

Здесь a – значение, соответствующее размеру квитанции, v {vk | k = 1…K } индекс вершины в совокупности всех вершин модели. Зависимость выходных потоков TCP - источника от входных задается версией NewReno протокола TCP.

Алгоритм численного решения задачи После инициализации структур данных выполняется расчет динамики сети во времени с определённым временным шагом. Приведённые выше уравнения численно интегрируются.

Интегрирование ключевых соотношений в частных производных (1) выполняются с использованием нового эффективного численного метода высокого порядка точности, основанного на использовании продолженных систем уравнений. На каждом временном шаге в моделях очередей выполняются следующие действия:

1. учёт притока данных в хвост очереди;

2. вычисление действительной и ожидаемой длин очередей;

3. определение вероятности сброса очереди;

4. учёт сброса очереди;

5. сохранение значений переменных состояния очереди;

6. определение значений выходного потока очереди.

В данной работе в моделях каналов выполняется только перенос информации с входа на выход. В моделях ТСР-приёмников информация передаётся с входа на выход с учётом преобразования плотности. В моделях TCP-передатчиков выполняются следующие действия:

1. изменение переменных состояния протокола TCP в зависимости от режима и количества поступивших квитанций;

2. накопление оцениваемого времени задержки сессии (туда и обратно);

3. изменение режима в зависимости от поступившей информации о потерях, текущего режима и оценки времени задержки;

4. определение значений выходного потока.

Результаты расчетов Для сравнительной оценки пакетной модели, реализованной в ns-2, и предложенной нами ПСС-модели проводилось моделирование как простейших сетей (см. Рис.2), так и более сложных конфигураций (см. Рис.3).

s-источник d-получатель Рис. 2. Различные конфигурации простейших сетей. (а) одиночная Кбит/пакет, (б) сонаправленные 8 Кбит/пакет, (в) встречные 8 Кбит/пакет.

Рис. 3. Сложная кольцевая конфигурация сети, моделировалось 1280 сессий, при этом имело место одна загруженная очередь на пути каждой сессии.

Использовались следующие характеристики сети: пропускная способность магистрали – 20 Мбит/с; хорды подсети - 5 Мбит/с; размер пакетов – Кбит/пакет. Трафик был организован так, чтобы половина пакетов отправлялась по магистрали в соседнюю подсеть, а вторая половина по хорде подсети.

Простейшие сети представлялись одиночной TCP сессией (Рис.2-а), а также парой сонаправленных (Рис.2-б) и парой противонаправленных сессий (Рис.2-в). Эволюция интересующих нас характеристик - размеров очередей и TCP окон, в течение первых секунд представлены на графиках позволяющих оценить степень подобия полученных результатов (см. Рис. 4-7). Видно, что модели сходным образом демонстрируют основные явления, характерные для динамики протокола TCP. Однако распределение моментов времени, в которые происходит переключение режимов протокола, противонаправленных сессий в пакетной модели обнаруживает относительно высокочастотные колебания длины очереди, при этом в ПСС-модели таких колебаний нет (см. Рис.6). Последнее наблюдение позволяет судить об ожидаемой разнице в разрешающей способности пакетной и ПСС-модели. Важно, что указанные различия в деталях поведения оставляют наиболее близкими друг к другу.

Пакеты Рис. 4. Пакетное моделирование (ns-2). Две сонаправленные сессии. Синяя Потоковое моделирование. Две сонаправленные сессии линия – размер общей очереди; красная и зеленая – размеры двух ТСР-окон.

Пакеты Рис. 5. Потоковое моделирование. Две сонаправленные сессии. Синяя линия – размер общей очереди; краснаяДве сонаправленные сессии.

Пакетное моделирование (ns-2). и зеленая – размеры двух ТСР-окон.

Пакеты Рис. 6. Пакетное моделирование (ns-2). Две противонаправленные сессии.

Потоковое моделирование. Две противонаправленные сессии Синяя линия – размер общей очереди; красная и зеленая – размеры двух ТСРокон.

Пакеты Рис. 7. Потоковое моделирование. Две (ns-2). Две противонаправленные сессии.

Пакетное моделирование противонаправленные сессии. Синяя линия – размер общей очереди; красная и зеленая – размеры двух ТСР-окон.

Для сравнения интегрального поведения модельной компьютерной сети в целом по гистограммам усреднённой производительности и усреднённого времени оборота соединений RTT рассмотрен случай относительно сложной кольцевой конфигурация сети (Рис.3). Соответствующие усредненные результаты производительности сети и задержки в зависимости от сессии показаны на (Рис.8) и (Рис.9).

Усреднение результатов выполнялось за период времени в сек.

пакетов в секунду Рис. 8. Гистограммы производительностей сессий.

Гистограмма производительностей Заметно, что большинство соединений демонстрируют сходные величины. Вместе с этим присутствует больший разброс значений производительности отдельных соединений от значений характерных для соответствующей группы соединений. Необходимо также отметить группы соединений, у которых заметно отличаются значения задержки (см. Рис.9).

ПСС-модель обнаруживает значительную экономию вычислительных ресурсов. В наибольшей степени экономится занимаемая вычислительная память и в меньшей степени время численного моделирования (см. Рис.10).

миллисекунды Гистограмма задержек Рис.10. Потребление вычислительных ресурсов в зависимости от количества Расходы времени и памяти подсетей: слева – время вычислений в секундах; справа – количество использованной памяти в мегабайтах; треугольники – пакетная модель ns-2;

В заключении приведены основные результаты работы.

В Приложении 1 приведён список сокращений, в Приложении 2 – список определений, в Приложении 3 – список обозначений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Развит метод потокового моделирования процессов обработки и передачи данных в компьютерных пакетных сетях с использованием уравнений в частных производных.

2. Построена новая потоковая модель объектов сети, сопоставимая по качеству моделирования с дискретнособытийными моделями. В отличие от дискретно-событийной модели, где отслеживается эволюция каждого индивидуального пакета данных, разработанная агрегатно-потоковая модель оперирует обобщенными параметрами всего потока данных.

3. Предложен численный метод решения гиперболических высокопроизводительная реализация и соответствующий комплекс программ для потокового имитационного моделирования поведения пакетной сети на длительные временные интервалы (свидетельство о государственной регистрации № 2011617671 от 03.10.2011).

4. Проведен ряд сравнительных вычислительных экспериментов с использованием потоковой и дискретнособытийной имитационных моделей пакетных сетей для комплексного исследования вычислительной эффективности разработанных алгоритмов при увеличении числа узлов сети.

Показано, что потоковая модель пакетной сети является при той же точности менее ресурсоемкой, чем дискретно-пакетная модель при моделировании топологически сложных крупномасштабных проводных компьютерных сетей.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Д.С. Северов, Н.В. Ковшов, М.И. Миненко Математическое моделирование работы вычислительных сетей, использующих протоколы UDP и TCP/IP// Труды XLVIII научной конференции.

/ Моск. физ. – техн. ин-т. – М. – Долгопрудный, 2005. – С. 30-31.

2. Kholodov Y.A, Kholodov A.S., Kovshov N.V., Simakov S.S., Severov D.S., Bordonos A.K., Bapaev A.Z. Computational models on graphs for nonlinear hyperbolic and parabolic systems of equations.

// Proceedings of the III European Conference on Computational Mechanics, Springer, eds. C. A. Mota Soares et, al., 2006. – P. 43.

3. Д.С. Северов О моделировании TCP/IP сетей на основе сетевых потоков данных. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и экономика: Труды L научной конференции. / Моск. физ. – техн. ин-т. – М. – Долгопрудный, 2007. – Том 2 – С.140-142.

4. Д.С. Северов, Н.В. Ковшов, М.И. Миненко, Я.А. Холодов Численное моделирование IP-сетей передачи информации на основе пакетных потоков данных // Моделирование и обработка информации. Сб.ст. / Моск.физ.-тех.ин-т. – М., 2008. – С. 19-31.

5. Д.С. Северов, С.В. Трифонов, М.И. Миненко, Я.А. Холодов.

Численное моделирование IP-сетей передачи данных в рамках уравнений сплошной среды. // Научно-технический вестник / СПбГУ ИТМО – Санкт-Петербург. 2008. – № 46. С. 218-227.

6. Д.С. Северов. Потоковая модель сплошной среды для анализа IP-сетей // Современные технологии. Системный анализ.

Моделирование. / ИрГУПС. – 2009. – №1. – С. 146-149.

7. D.S. Severov, A.S. Kholodov, Y.A. Kholodov. Comparison of Packet Level and Fluid Models of IP Networks // Mathematical Models and Computer Simulations. – 2012. – V. 4, N 4, P. 385–393.

8. Свид. о гос. рег. прог. для ЭВМ 2011617671 Российская моделирования компьютерных сетей с использованием высокопроизводительных вычислительных алгоритмов / Холодов Я.А, Северов Д.С., Холодов А.С. – № заявл. 9.08.11 ; опубл. 03.10.11.

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПОТОКОВ ДАННЫХ В ПАКЕТНЫХ СЕТЯХ

НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 16.05.2013 Формат 60 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0.

Федеральное государственное бюджетное образовательное высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.